专题10 随机事件的概率（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题10 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）下列事件是必然事件的是（       ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【分析】 本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】 解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）下列成语描述的事件为不可能事件的是（     ）． A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 守株待兔 D. 熟能生巧 【答案】A 【分析】 本题考查事件的分类，熟练掌握相关知识是解题关键． 不可能事件指一定不会发生的事件，通过分析各成语的含义，判断其描述的事件是否可能发生． 【详解】 解：对于A．水中捞月：月亮在水中仅为倒影，实际无法捞取，一定不会发生，为不可能事件； 对于 B．一箭双雕：虽困难，但可能发生，不是不可能事件； 对于C．守株待兔：兔子撞树桩为偶然事件，可能发生，不是不可能事件； 对于 D．熟能生巧：指练习多了，就能掌握技巧，是可能实现的，不是不可能事件． 故选：A． 3．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）下列事件中，不可能事件的是（     ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 【答案】D 【分析】 本题考查事件类型的区分，需熟记不可能事件、必然事件和随机事件的概念．根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），判断各选项：A、B为随机事件，C为必然事件，D为不可能事件． 【详解】 解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； B、买一张彩票，中奖500万，是随机事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（     ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 秋去冬来 D. 一箭双雕 【答案】D 【分析】 本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义进行逐一判断即可，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】 解：A．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意； B．旭日东升是必然事件，故该选项不符合题意； C．秋去冬来是必然事件，故该选项不符合题意； D．一箭双雕是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A. 任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B. 在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C. 射击运动员射击一次，命中环 D. 任意掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】 本题考查了事件的分类，掌握必然事件的定义是解题的关键，在一定条件下一定会发生的事件是必然事件．根据必然事件的定义，分析各选项是否一定发生即可． 【详解】 解：A、任意选择电视频道可能不播放动画片，是随机事件； B、只装有黑球的袋子一定摸出黑球，是必然事件； C、射击运动员射击一次可能不命中环，是随机事件； D、任意掷一枚硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件． 故选：B． 6．（25-26学年九上·吉林长春·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（     ） A. 某运动员跳高成绩为12米 B. 投掷一枚硬币，正面向上 C. 任意画一个正方形，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】A 【分析】 本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义（一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项即可． 【详解】 解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； A．跳高12米超出人类能力和物理极限，一定不会发生，是不可能事件； B．投掷硬币正面向上可能发生，是随机事件； C．正方形一定是轴对称图形，是必然事件； D．射击命中靶心可能发生，是随机事件； 故选：A 7．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）下列事件是必然事件的是（     ） A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放《焦点访谈》 C. 关于x的方程有实数根 D. 射击运动员射击一次，命中十环 【答案】C 【分析】 本题考查了事件的分类，必然事件是指一定会发生的事件，选项C中方程的判别式恒为正，因此总有实数根，是必然事件；其他选项都不是必然事件，即可作答． 【详解】 解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、打开电视频道，正在播放《焦点访谈》，不是必然事件，故该选项不符合题意； C、∵，，∴关于x的方程有实数根，是必然事件，该选项符合题意； D、射击运动员射击一次，命中十环，不是必然事件，故该选项不符合题意； 故选：C 8．（25-26学年九上·吉林松原·期末）下列事件中，属于随机事件的是（       ） A. 三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D. 明天太阳从西方升起 【答案】C 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断．本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】 解：A、三角形的内角和是，是必然事件，不符合题意； B、负数大于正数，是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6，是随机事件，符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 9．（25-26学年九上·吉林长春·期末）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（       ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【分析】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】 解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 10．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球．从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（       ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【详解】试题分析根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可知在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是随机事件，故B正确， 故选B． 考点：随机事件 11．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）下列事件为必然事件的是（     ） A. 在平面上画一个三角形，其内角和是 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 购买1张彩票，中奖 【答案】C 【分析】 本题考查事件的分类，熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此并结合相关知识逐项判断即可． 【详解】 解：A、在平面上画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故该选项不符合题意； C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆是必然事件，故该选项符合题意； D、购买1张彩票，中奖是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 【答案】A 【分析】 本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键．根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】 解：A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意； B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意； C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意； D．摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意； 故选：A． 13．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（       ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 【答案】C 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】 解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 14．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（） A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球 【答案】A 【分析】 根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可． 【详解】 A、是必然事件，故本选项符合题意； B、是随机事件，故本选项不符合题意； C、是随机事件，故本选项不符合题意； D、是随机事件，故本选项不符合题意， 故选∶A． 【点睛】 解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 15．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）下列事件：①长春市某天的最低气温为-200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是　　　　　　（只填写序号）． 【答案】② 【分析】 根据随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件对各项进行判断即可得出答案． 【详解】 解：① 长春市某天的最低气温为-200℃，是不可能事件，故不符合题意； ② 人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意； ③ 在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，故不符合题意； 故答案为：② ． 【点睛】 本题考查了随机事件的定义，解题的关键在于正确掌握随机事件的定义． 16．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）成语“日出东方”，从数学的观点看，成语中描述的事件是　　　　　　　　　　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 【答案】必然 【分析】 本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断成语描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】 解：“日出东方”，是必然会发生的事件．因此，成语中描述的事件是必然事件． 故答案为：必然． 17．（25-26学年九上·吉林松原·期末）事件：“太阳从东方升起”是　　　　　　事件（填“必然”或“随机”）． 【答案】必然 【分析】 本题考查事件的分类，掌握好每类事件的定义是关键． 事件分为必然事件、随机事件和不可能事件．根据每类事件的定义去判断即可． 【详解】 解：根据事件分类，必然事件是指在每次试验中必然会发生的事件．太阳从东方升起是确定的自然现象，属于必然事件． 故答案为：必然． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先弄清正方体骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出掷得“6”的概率． 【详解】 解：因为抛掷一枚正方体骰子共有六种情况出现， 因此掷得“6”的概率是． 故选：D． 【点睛】 本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 2．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】 解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了概率公式求概率；到的自然数中，偶数有个，总数为，根据概率公式，概率为偶数个数与总数之比 【详解】 解：从到的自然数中，偶数包括，，，，共个，总数为个， 因此任取一个数是偶数的概率为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查几何概率，理解几何概率的定义，掌握几何概率的计算方法是正确解答的关键．根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可． 【详解】 解：正方形被分成个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是个小正方形， 任意投掷飞镖次，击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率是． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·吉林松原·期末）盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 -此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】 解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）把标号为1，2，3的三个小球放入一个不透明的口袋中，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球的标号的和大于3的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于3的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号的和大于3的有6种， ∴两次摸出的小球标号的和大于3的概率是， 故选：D 【点睛】 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． (1) 小问详解： 解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 3．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）《浪浪山小妖怪》自上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，已成为中国影史二维动画电影票房冠军电影，其出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里小猪妖、蛤蟆精、黄鼠狼精和猩猩怪的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．将小猪妖和蛤蟆精的组合或黄鼠狼精和猩猩怪的组合称为“一套”，小曲和小星依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】 【分析】 本题考查简单事件的概率的计算，掌握好列表法和树状图法是关键，要做到不重复不遗漏． 两人依次抽取，所以树状图要画两层，共有12种等可能性的结果，其中满足要求的有4种，相除得到所求的概率． 【详解】 画树状图如下： 共有12种等可能性的结果，其中满足题意要求的有：，，和共4种， ∴他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为：． 4．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）2026年是马年，生肖马在中国文化中被视为刚健进取、忠诚奉献、自由奔放、活力热情、成功成就的象征．如图，现有三张正面印有不同马图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取1张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取1张．请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽出的卡片图案相同的概率． 【答案】小明两次抽出的卡片图案相同的概率为 【分析】 本题主要考查概率，采用列表或树状图即可求得答案． 【详解】 由列表可知，共有个等可能的结果，其中事件 “两次抽出的卡片图案相同”包含个结果，所以． 答：小明两次抽出的卡片图案相同的概率为． 第一次第二次 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 5．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某校在大课间有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．请用画树状图的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：树状图如下所示： 由上可得，所有机会均等的结果有16种，其中小明和小聪随机选到同一种体育活动的结果有4种， ∴小明和小聪随机选到同一种体育活动的概率为． 6．（25-26学年九上·吉林松原·期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 7．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．赛前小明和小华同学计划在三项赛事中随机抽取一项进行现场观赛，三项赛事分别为：A．游泳；B．花样游泳；C．跳水．请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率． 【答案】 【分析】 本题考查列举法求概率，涉及简单概率公式，熟记简单概率公式及列举法求概率的方法是解决问题的关键． 采用列表法，得到总的等可能结果及满足题意的可能结果，代入简单概率公式计算即可得到答案． 【详解】 解：列表如下： 由表格可知，小明和小华现场观赛的情况共有种，其中小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的情况有种， 小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率是． 小华小明 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 8．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）今年寒假，老师布置了两个实践任务：A．制作“冰雪＋体育”手抄报；B．制作“冰雪+非遗”手抄报，并让学生们随机抽取两个任务中的一个进行组队．用画树状图（或列表）的方法，求小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率． 【答案】 【分析】 本题考查概率的计算，解题的关键是通过树状图列出所有可能的结果，再找到符合要求的结果，最后根据概率公式计算即可． 根据题意通过树状图列出所有可能的结果有种，符合要求的结果有种，根据概率公式计算即可． 【详解】 解：树状图如下： 从树状图可得所有可能结果为，共种， 小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的结果只有种，即， 所以小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率为． 9．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人把球传给另外两个人的机会是均等的．假如开始时球在甲手中，用画树状图的方法，求经过3次传球后球回到甲手中的概率． 【答案】 【分析】 根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】 解：画树状图如图所示，    共有8种等可能结果，符合题意的有2种， ∴经过3次传球后球回到甲手中的概率 【点睛】 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 10．（25-26学年九上·吉林长春·期末）寒假期间，学苑社区为学生们开设了冰雪体验营．甲、乙两名同学需要通过抽签从3个不同的体验项目中选择一个参加．抽签规则如下：在3张相同的卡片上分别标注字母对应三个项目（：制作冰灯，：雪地露营，：冰雪摄影），甲同学先随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一项目的概率． 【答案】共有机会均等的结果9种， 【分析】 此题考查了树状图或列表法求概率，利用树状图列出所有等可能的情况，用抽中同一项目的结果数除以总的结果数即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，画出树状图如下： 共有机会均等的结果9种，其中抽中同一项目的结果有3种， （抽中同一项目）． 11．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小玲随机抽取了两张卡片，用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率． 【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是掌握概率求解方法．根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的有4种结果， 所以小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率为． 12．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，现将它们背面朝上搅匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是______； （2）小刚从中一次性随机抽取两张扑克牌，记下每张扑克牌上的数字，用列表或画树状图的方法求抽到的扑克牌正面上的两个数字乘积为奇数的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，运用概率公式求解，即可作答． （2）先画树状图，再得出共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种，运用概率公式求解，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4， ∴小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是； (2) 小问详解： 解：由题意，画树状图如图． 由树状图知，共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种， ∴两个数字乘积为奇数的概率． 13．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】根据题意，树状图如下： 共有9种等可能的情况数， P（小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票）． 【点睛】 本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：画树状图如下： 总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 15．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）在做“灯泡亮了”的物理实验时，设计的电路如图所示．实验器材包括电源、一个小灯泡、三个开关、、和导线若干．若从三个开关中随机选择一个闭合后，再从剩余的开关中随机选择一个闭合，用画树状图（或列表）的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小灯泡发光的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡发光的结果数有4种（必须闭合，和中有一个闭合）， ∴小灯泡发光的概率为． 16．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率． 【答案】 【分析】 本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 根据列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】 解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：， ∴抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为． 17．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，某学习小组在活动课上制作了、、三张卡片，这三张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这三张卡片放置于暗箱中摇匀．小华从暗箱中随机抽取两张，用画树状图或列表的方法求小华抽到两张内容均为化学变化的卡片的概率． ． 面包发霉       ． 铁丝生锈       ． 冰雪融化 【答案】 【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合条件事件的结果数目，则事件发生的概率为．先判断所给卡片内容属于化学变化还是物理变化，再画树状图表示出所有可能情况，最后利用概率公式计算即可． 【详解】 解：由题意得：．面包发霉和．铁丝生锈属于化学变化， ．冰雪融化属于物理变化， 画树状图如下： 共有种等可能结果，其中小华抽到两张内容均为化学变化的卡片结果有，，共种， 所以（抽到两张内容均为化学变化的卡片）．              18．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）甲、乙、丙三名选手参加“飞花令”比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的对手：在一个不透明的口袋中放入两个黑球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，三人从中各摸出一个球，摸到黑球的两人即为首场比赛的对手． （1）若甲第一个摸球，则他摸到黑球的概率是______； （2）求乙、丙两人成为首场比赛对手的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）     （2）乙、丙两人成为首场比赛对手的概率为      【分析】 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列表表示出所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，最后根据概率公式结算． (1) 小问详解： 一共有3个球，黑球有2个，所以他摸到黑球的概率是； 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 所有可能的结果有6种，其中符合题意的结果有2种． 所以． 黑1 黑2 白 黑1 （黑2，黑1） （白，黑1） 黑2 （黑1，黑2） （白，黑2） 白 （黑1，白） （黑2，白） 【点睛】 本题主要考查了列表法求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 19．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为、、三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是列表法与树状图法、概率公式，解题关键是熟练掌握列表法和树状图法．画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式即可得答案． 【详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果共3种， 所以小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 20．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图是一个商场抽奖用的可自由转动的转盘，被分成3个完全相同的扇形，分别涂有“蓝、绿、黄”三种颜色，转盘指针固定不动．转动转盘待其停止后，观察指针所指区域的颜色，若指针落在区域分界线上则重新转动．按上述规则任意转动转盘两次（第一次停止后再进行第二次转动），用画树状图或列表的方法，求两次指针所落区域颜色不相同的概率． 【答案】 【分析】 本题考查画树状图或列表法求简单事件的概率，掌握好树状图的画法和正确列表是解题关键． 运用列表法表示出所有可能的结果，找到符合要求的结果后，用概率公式计算即可． 【详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两次指针所落区域颜色不相同的结果有6种， 两次指针所落区域颜色不相同的概率为． 蓝 绿 黄 蓝 （蓝，蓝） （蓝，绿） （蓝，黄） 绿 （绿，蓝） （绿，绿） （绿，黄） 黄 （黄，蓝） （黄，绿） （黄，黄） 21．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】不公平； 根据题意，画树状图如下： ∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和不大于5）＝ ， ∵≠， ∴游戏不公平； 【分析】 根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和不大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果不概率相等，则游戏不公平； 【详解】 【点睛】 本题考查了列树状图求概率，以及运用概率判断事情的公平性，解题的关键是数字之和大于5的概率是多少． 22．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）甲、乙两个人乘坐长春轨道交通1号线，在东北师大站下车，现有B、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． （1）甲走出口的概率是_____； （2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）根据题意，列出表格，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种，利用概率公式求解可得． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲走出口的结果有1种， 甲走出口的概率是． (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ． 23．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）在一个不透明的盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,5，这些卡片处数字外均相同，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 【答案】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是偶数的概率为． 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题关键是用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果，然后利用概率=所求情况数÷总情况数． 24．（25-26学年九上·吉林长春·期中）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“书签”、“钥匙扣”、“冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相等，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率． 【答案】 【分析】 本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 先画出树状图，找出甲、乙两位同学同时从中随机抽取一个作为纪念品的所有等可能的结果，再找出甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙两位同学同时从中随机抽取一个作为纪念品共有9种等可能的结果，其中，甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率为． 答：甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率为． 25．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． (2) 小问详解： 列表如下：                                 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 26．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）从，，1，3这4个数中，随机抽取两个不同的数，分别记作，，则抛物线的图象的顶点在第一象限的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查利用列表法和树状图求概率，掌握概率是所求情况数与总情况数之比，第一象限点的符号，二次函数的顶点坐标是解决问题的关键； 抛物线的顶点为，先列出图表，再根据第一象限内坐标的特点解答，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】 解：列表如下： 由表可知，共有12种等可能的结果， ∵抛物线的图象的顶点在第一象限， ∴符合条件的点有和， ∴抛物线的图象的顶点在第一象限的概率为， 故答案为：． 1 3 1 3 27．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）现有三张正面分别写有汉字“新”“年”“好”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将三张卡片的背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“好”的概率为________． （2）若从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽得的两张卡片是“新”和“年”的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查等可能随机事件的概率，学会画树状图，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． (1) 小问详解： 解：∵3张卡片中，只有1张卡片是“好”， ∴从中随机抽取1张卡片,卡片是“好”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：法一，根据题意，画树状图如下： 由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中抽出的两张卡片是“新”和“年”的情况有2种，所以（抽出的两张卡片是“新”和“年”）． 法二，根据题意，列表如下： 由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中抽出的两张卡片是“新”和“年”的情况有2种，所以（抽出的两张卡片是“新”和“年”）．                             第一张第二张 新 年 好 新 （年，新） （好，新） 年 （新，年） （好，年） 好 （新，好） （年，好） 28．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名． （1）填空：小聪抽到《数学大爆炸》是　　　事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”） （2）请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率． 【答案】（1）不可能     （2）      【分析】 本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．理解随机事件的定义，掌握树状图或者列表法求事件概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可判断； （2）画出树状图或者表格，可知一共有9种等可能的结果，小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有5种，利用概率公式即可得解． (1) 小问详解： 因为没有《数学大爆炸》这本书，所以小聪不可能抽到《数学大爆炸》为不可能事件， 故答案为：不可能； (2) 小问详解： 设A表示《生活中的数学》，B表示《数学家的故事》，C表示《奇妙数世界》，则用列表法列举如下： 由表可知总的情况有9种，都是等可能性的，其中小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有：CA，CB，AC，BC，CC，共5种情况， 小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为：． 答：小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为． 小华               小聪 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 29．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图是某商场的停车场，现仅剩下“”、“”、“”三个车位． （1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是                 ． （2）分别记这三个车位为A、B、C，张明和王红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的运算，画树状图或列表的方法求概率，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键． （1）直接运算概率即可； （2）利用列表法作出表格，再分析求解即可． (1) 小问详解： 解：∵只剩下三个车位， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意列表得： 一共有种情况，其中相邻的情况有，，，四种情况， ∴， 答：两人停车在相邻车位的概率为． 王红               张明 30．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）随着“雪假”的来临，吉林省各大滑雪场面向中小学生出台了“3小时免费滑雪”优惠政策．甲、乙两位同学都想在12月5日去体验滑雪，他们分别在净月潭滑雪场（A）、长春莲花山滑雪场（B）、长春天定山滑雪场（C）中任选一个去体验，假设他们选择任意滑雪场的可能性均等且互不影响．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率． 【答案】甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率为 【分析】 本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图或列表表示出所有等可能的结果数，以及甲、乙两位同学去同一个滑雪场的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 画树状图如下： 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择同一滑雪场的结果有3种， P（甲乙同去一个滑雪场） 答：甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率为． A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 31．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） （1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为______； （2）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：会选择方案二．理由如下： 方案二的树状图如图，共有9种等可能的结果，领到一份奖品的情况有4种， ∴领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二．      【分析】 本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． (1) 小问详解： 解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字、、．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作，把第二次转动停止后指针指向的数字的倍记作，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的概率为　　　　　．（注：长度单位一致） 【答案】 【分析】 本题考查三角形三边关系和列表法与树状图法，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】 解：画树状图得： ∴共有种等可能的结果，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的有组：，，；，，；，，；，，， ∴以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的概率为． 故答案为：． 33．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”“秋”、“冬”图案的不透明卡片．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． （1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是______； （2）从中随机抽取一张卡片，放回后再抽取一张，请你用树状图或列表法求抽出两张卡片不是同一季节的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：树状图： 所有等可能发生的情况共16种，其中两张卡片不是同一季节的情况共12种， 所以两张卡片不是同一季节的概率． 34．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，列举法求概率，利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3， 5 ，6）、（3， 5， 9）、（3 ，6，9）、（5， 6， 9）四种等可能结果， 其中能组成三角形的有（3 ，5 ，6）、（5 ，6 ，9）两种等可能结果， 所以能组成三角形的概率 35．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别． （1）从中任取一球，球上的数字为奇数的概率是_________________________； （2）从中任取两球，请用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之和为偶数的概率． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． (1) 小问详解： 解：∵不透明的口袋里有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，球上的数字为奇数的是1与3， ∴从中任取一球，球上的数字为奇数的概率为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图，得 ∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有4种情况， ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：． 36．（25-26学年九上·吉林长春·期末）陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1）     （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 37．（25-26学年九上·吉林长春·期中）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，当两辆汽车经过这个十字路口时，用画树状图（或列表）的方法求至少有一辆车向左转的概率． 【答案】 【分析】 本题考查的是利用树状图或表格法求概率，利用树状图法或表格法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 利用树状图法求出一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种，然后用概率公式解答即可． 【详解】 解：设经过这个十字路口的两辆汽车分别为A，B，画树状图如下：    由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种， 至少有一辆车向左转的概率是． 38．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： (2) 小问详解： 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（       ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 袋子中有1个红球和2个黄球，从中随机地取出一个球是黄球 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案． 【详解】 解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项错误； B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项错误； 、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项正确． 故选：D． 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ）． A. 朝上的点数是的概率 B. 朝上的点数是奇数的概率 C. 朝上的点数大于的概率 D. 朝上的点数是的倍数的概率 【答案】D 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在左右，因此可以判断各选项． 【详解】 解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在左右． A选项：朝上的点数是的概率为，故选项A不符合题意； B选项：朝上的点数是奇数（含）的概率为，故选项B不符合题意； C选项：朝上的点数大于（含）的概率为，故选项C不符合题意； D选项：朝上的点数是的倍数（含）的概率为，即朝上的点数是的倍数的概率与之最接近，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）下列说法正确的是（       ） A. 频率就是概率 B. 从1、3、5、7四个数中随机选出一个数为奇数，是必然事件 C. 某同学投中篮球的概率是0.8，则该同学投篮球10次，一定投中8次 D. 口袋中装有1个白球和2个黄球，搅匀后从中随机摸出一个球是白球的概率是0.3 【答案】B 【分析】 本题主要考查概率与频率的区别以及必然事件的概念，区分概率与频率是解题的关键． 根据频率是试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论值；必然事件是指一定发生的事件以及概率的计算公式；来逐一判断选项是否正确即可． 【详解】 解：对于A：频率是试验中事件发生的次数与总次数的比值，概率是理论值，两者不一定相等，∴不符合题意； 对于B：∵从1、3、5、7中随机选一个数，其中所有数都是奇数，∴选出的数一定是奇数，是必然事件，∴符合题意； 对于C：概率0.8表示每次投中的可能性，但实际投篮球10次投中的次数不一定是8次，∴不符合题意； 对于D：∵口袋中总球数为3，白球1个，∴摸出白球的概率为，且，∴不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（       ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】 解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 5．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）某农科院在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子个数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子的个数 187 347 530 733 912 1090 1256 1443 1618 1802 发芽种子的频率 0.935 0.868 0.883 0.916 0.912 0.908 0.897 0.902 0.899 0.901 根据频率的稳定性，可以估计该作物种子发芽的概率为 　　　　　　　　　．（精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据即可得到答案． 【详解】 解：由试验数据可知，当种子个数较大时，发芽种子的频率稳定在0.9附近， ∴估计该作物种子发芽的概率为0.9． 故答案为：0.9． 6．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共90个，这些球除颜色外都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里约有　　　　　　　　　　　个红球． 【答案】18 【分析】 本题考查频率估计概率，由概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 利用频率估计概率，红球的频率稳定在，因此红球数量可通过总球数乘以频率计算得出即可． 【详解】 解：根据频率与概率的关系，红球的频率稳定在， ∴摸出红球的概率为， 则红球数量约为． 故答案为：18． 7．（25-26学年九上·吉林长春·期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有　　　　　　　个 【答案】4 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率， 首先根据频率得出摸到红球的概率为，再设黄球为x，并根据概率公式得出方程，求出解即可． 【详解】 解：∵经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为． 设黄球为x个，根据题意，得， 解得． 经检验，是该方程的解， 所以袋子中的黄球有4个． 故答案为：4． 8．（25-26学年九上·吉林延边·期中）一个不透明的口袋中装有若干个红球和个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约　　　　　个． 【答案】10 【分析】 本题考查频率与概率的关系，涉及的知识点是“频率稳定时可近似代替概率”及“概率的计算（部分量与总量的比值）”．解题方法是利用频率估计概率，结合红球概率与球的总数的关系列方程求解；解题关键是明确红球概率=红球个数÷（红球个数+白球个数），并将频率转化为概率．易错点是混淆“红球概率”与“白球概率”的关系，或计算时总量遗漏红球个数．解题思路为：设红球个数为未知数，根据“红球概率”，结合红球个数与白球个数的和为总球数，列方程求解红球个数． 【详解】 解：设红球个数为，则总球数为． 由概率公式得． 解方程： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了株，计划从中各抽取株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是__________． A．依次抽取株                                               B．随机抽取株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取株             D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取株 【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图。 【分析与应用】 （3）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 乙 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （4）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数． 【答案】【调查与收集】B 【整理与描述】（1）； （2）补全乙样本的频数分布直方图如图所示， 【分析与应用】（3）填表如下： （4） 【分析】 本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． 【调查与收集】利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断； 【整理与描述】（1）根据频率的定义计算甲样本中组的频率； （2）先计算出乙样本组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图； 【分析与应用】（3）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可； （4）根据样本估计总体，列式计算即可． 【详解】 解：【调查与收集】为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取株作为样本． 故选：B； 【整理与描述】（1）甲样本中组的频率是：， 故答案为：； （2）乙样本的总频数为， 组的频数为：， 【分析与应用】（3）甲样本各组中间值分别为：，，，，， ， 乙样本共个数据，中位数为第、个数据的平均值， 前两组频数的和为：，前三组频数的和为：， 第、个数据在组， 故乙样本中位数出现的组别在组， （4）甲样本中组的频数为，甲种葡萄树种植了株， 估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为：（株）． 答：估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为株． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．C 9．A 10．B 11．C 12．A 13．C 14．A 15．【答案】② 【分析】 根据随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件对各项进行判断即可得出答案． 【详解】 解：① 长春市某天的最低气温为-200℃，是不可能事件，故不符合题意； ② 人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票，是随机事件，符合题意； ③ 在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，是必然事件，故不符合题意； 故答案为：② ． 【点睛】 本题考查了随机事件的定义，解题的关键在于正确掌握随机事件的定义． 16．【答案】必然 【分析】 本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断成语描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】 解：“日出东方”，是必然会发生的事件．因此，成语中描述的事件是必然事件． 故答案为：必然． 17．【答案】必然 【分析】 本题考查事件的分类，掌握好每类事件的定义是关键． 事件分为必然事件、随机事件和不可能事件．根据每类事件的定义去判断即可． 【详解】 解：根据事件分类，必然事件是指在每次试验中必然会发生的事件．太阳从东方升起是确定的自然现象，属于必然事件． 故答案为：必然． 考点02 概率 1．D 2．A 3．【答案】 【分析】 本题考查了概率公式求概率；到的自然数中，偶数有个，总数为，根据概率公式，概率为偶数个数与总数之比 【详解】 解：从到的自然数中，偶数包括，，，，共个，总数为个， 因此任取一个数是偶数的概率为． 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题考查几何概率，理解几何概率的定义，掌握几何概率的计算方法是正确解答的关键．根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可． 【详解】 解：正方形被分成个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是个小正方形， 任意投掷飞镖次，击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率是． 故答案为：． 5．【答案】5 【分析】 -此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可． 【详解】 解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋， ∴盒子中共有个棋， 往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚， 根据取得黑棋的概率变为， 可得， 解得， 故答案为：5． 考点03 用列举法求概率 1．D 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． (1) 小问详解： 解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 3．【答案】 【分析】 本题考查简单事件的概率的计算，掌握好列表法和树状图法是关键，要做到不重复不遗漏． 两人依次抽取，所以树状图要画两层，共有12种等可能性的结果，其中满足要求的有4种，相除得到所求的概率． 【详解】 画树状图如下： 共有12种等可能性的结果，其中满足题意要求的有：，，和共4种， ∴他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为：． 4．【答案】小明两次抽出的卡片图案相同的概率为 【分析】 本题主要考查概率，采用列表或树状图即可求得答案． 【详解】 由列表可知，共有个等可能的结果，其中事件 “两次抽出的卡片图案相同”包含个结果，所以． 答：小明两次抽出的卡片图案相同的概率为． 第一次第二次 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：树状图如下所示： 由上可得，所有机会均等的结果有16种，其中小明和小聪随机选到同一种体育活动的结果有4种， ∴小明和小聪随机选到同一种体育活动的概率为． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵共有4张卡片， ∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为． 7．【答案】 【分析】 本题考查列举法求概率，涉及简单概率公式，熟记简单概率公式及列举法求概率的方法是解决问题的关键． 采用列表法，得到总的等可能结果及满足题意的可能结果，代入简单概率公式计算即可得到答案． 【详解】 解：列表如下： 由表格可知，小明和小华现场观赛的情况共有种，其中小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的情况有种， 小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率是． 小华小明 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 8．【答案】 【分析】 本题考查概率的计算，解题的关键是通过树状图列出所有可能的结果，再找到符合要求的结果，最后根据概率公式计算即可． 根据题意通过树状图列出所有可能的结果有种，符合要求的结果有种，根据概率公式计算即可． 【详解】 解：树状图如下： 从树状图可得所有可能结果为，共种， 小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的结果只有种，即， 所以小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率为． 9．【答案】 【分析】 根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】 解：画树状图如图所示，    共有8种等可能结果，符合题意的有2种， ∴经过3次传球后球回到甲手中的概率 【点睛】 本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 10．【答案】共有机会均等的结果9种， 【分析】 此题考查了树状图或列表法求概率，利用树状图列出所有等可能的情况，用抽中同一项目的结果数除以总的结果数即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，画出树状图如下： 共有机会均等的结果9种，其中抽中同一项目的结果有3种， （抽中同一项目）． 11．【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是掌握概率求解方法．根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】 解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的有4种结果， 所以小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率为． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，运用概率公式求解，即可作答． （2）先画树状图，再得出共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种，运用概率公式求解，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4， ∴小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是； (2) 小问详解： 解：由题意，画树状图如图． 由树状图知，共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种， ∴两个数字乘积为奇数的概率． 13．【答案】 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】根据题意，树状图如下： 共有9种等可能的情况数， P（小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票）． 【点睛】 本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：画树状图如下： 总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小灯泡发光的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡发光的结果数有4种（必须闭合，和中有一个闭合）， ∴小灯泡发光的概率为． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 根据列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】 解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：， ∴抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为． 17．【答案】 【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合条件事件的结果数目，则事件发生的概率为．先判断所给卡片内容属于化学变化还是物理变化，再画树状图表示出所有可能情况，最后利用概率公式计算即可． 【详解】 解：由题意得：．面包发霉和．铁丝生锈属于化学变化， ．冰雪融化属于物理变化， 画树状图如下： 共有种等可能结果，其中小华抽到两张内容均为化学变化的卡片结果有，，共种， 所以（抽到两张内容均为化学变化的卡片）．              18．【答案】（1）     （2）乙、丙两人成为首场比赛对手的概率为      【分析】 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），列表表示出所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，最后根据概率公式结算． (1) 小问详解： 一共有3个球，黑球有2个，所以他摸到黑球的概率是； 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 所有可能的结果有6种，其中符合题意的结果有2种． 所以． 黑1 黑2 白 黑1 （黑2，黑1） （白，黑1） 黑2 （黑1，黑2） （白，黑2） 白 （黑1，白） （黑2，白） 【点睛】 本题主要考查了列表法求概率，掌握概率计算公式是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是列表法与树状图法、概率公式，解题关键是熟练掌握列表法和树状图法．画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式即可得答案． 【详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果共3种， 所以小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 20．【答案】 【分析】 本题考查画树状图或列表法求简单事件的概率，掌握好树状图的画法和正确列表是解题关键． 运用列表法表示出所有可能的结果，找到符合要求的结果后，用概率公式计算即可． 【详解】 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两次指针所落区域颜色不相同的结果有6种， 两次指针所落区域颜色不相同的概率为． 蓝 绿 黄 蓝 （蓝，蓝） （蓝，绿） （蓝，黄） 绿 （绿，蓝） （绿，绿） （绿，黄） 黄 （黄，蓝） （黄，绿） （黄，黄） 21．【答案】不公平； 根据题意，画树状图如下： ∴P（两次数字之和大于5）＝ ，P（两次数字之和不大于5）＝ ， ∵≠， ∴游戏不公平； 【分析】 根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于5和两次数字之和不大于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果不概率相等，则游戏不公平； 【详解】 【点睛】 本题考查了列树状图求概率，以及运用概率判断事情的公平性，解题的关键是数字之和大于5的概率是多少． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了列表法与树状图法求概率． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）根据题意，列出表格，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种，利用概率公式求解可得． (1) 小问详解： 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中甲走出口的结果有1种， 甲走出口的概率是． (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人走同一出口的结果有3种， ． 23．【答案】 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是偶数的概率为． 【点睛】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题关键是用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果，然后利用概率=所求情况数÷总情况数． 24．【答案】 【分析】 本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 先画出树状图，找出甲、乙两位同学同时从中随机抽取一个作为纪念品的所有等可能的结果，再找出甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，甲、乙两位同学同时从中随机抽取一个作为纪念品共有9种等可能的结果，其中，甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率为． 答：甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率为． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． (1) 小问详解： 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． (2) 小问详解： 列表如下：                                 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 26．【答案】 【分析】 此题考查利用列表法和树状图求概率，掌握概率是所求情况数与总情况数之比，第一象限点的符号，二次函数的顶点坐标是解决问题的关键； 抛物线的顶点为，先列出图表，再根据第一象限内坐标的特点解答，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】 解：列表如下： 由表可知，共有12种等可能的结果， ∵抛物线的图象的顶点在第一象限， ∴符合条件的点有和， ∴抛物线的图象的顶点在第一象限的概率为， 故答案为：． 1 3 1 3 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查等可能随机事件的概率，学会画树状图，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． (1) 小问详解： 解：∵3张卡片中，只有1张卡片是“好”， ∴从中随机抽取1张卡片,卡片是“好”的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：法一，根据题意，画树状图如下： 由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中抽出的两张卡片是“新”和“年”的情况有2种，所以（抽出的两张卡片是“新”和“年”）． 法二，根据题意，列表如下： 由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中抽出的两张卡片是“新”和“年”的情况有2种，所以（抽出的两张卡片是“新”和“年”）．                             第一张第二张 新 年 好 新 （年，新） （好，新） 年 （新，年） （好，年） 好 （新，好） （年，好） 28．【答案】（1）不可能     （2）      【分析】 本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事件的定义：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．理解随机事件的定义，掌握树状图或者列表法求事件概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可判断； （2）画出树状图或者表格，可知一共有9种等可能的结果，小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有5种，利用概率公式即可得解． (1) 小问详解： 因为没有《数学大爆炸》这本书，所以小聪不可能抽到《数学大爆炸》为不可能事件， 故答案为：不可能； (2) 小问详解： 设A表示《生活中的数学》，B表示《数学家的故事》，C表示《奇妙数世界》，则用列表法列举如下： 由表可知总的情况有9种，都是等可能性的，其中小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的情况有：CA，CB，AC，BC，CC，共5种情况， 小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为：． 答：小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率为． 小华               小聪 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了概率的运算，画树状图或列表的方法求概率，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键． （1）直接运算概率即可； （2）利用列表法作出表格，再分析求解即可． (1) 小问详解： 解：∵只剩下三个车位， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意列表得： 一共有种情况，其中相邻的情况有，，，四种情况， ∴， 答：两人停车在相邻车位的概率为． 王红               张明 30．【答案】甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率为 【分析】 本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图或列表表示出所有等可能的结果数，以及甲、乙两位同学去同一个滑雪场的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 画树状图如下： 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择同一滑雪场的结果有3种， P（甲乙同去一个滑雪场） 答：甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率为． A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 31．【答案】（1）     （2） 解：会选择方案二．理由如下： 方案二的树状图如图，共有9种等可能的结果，领到一份奖品的情况有4种， ∴领取到一份奖品的概率为， ， 选择方案二．      【分析】 本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用概率公式求解； （2）根据题意画出树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案． (1) 小问详解： 解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 32．【答案】 【分析】 本题考查三角形三边关系和列表法与树状图法，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解题的关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】 解：画树状图得： ∴共有种等可能的结果，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的有组：，，；，，；，，；，，， ∴以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的概率为． 故答案为：． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了树状图法求概率以及统计表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：树状图： 所有等可能发生的情况共16种，其中两张卡片不是同一季节的情况共12种， 所以两张卡片不是同一季节的概率． 34．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，列举法求概率，利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3， 5 ，6）、（3， 5， 9）、（3 ，6，9）、（5， 6， 9）四种等可能结果， 其中能组成三角形的有（3 ，5 ，6）、（5 ，6 ，9）两种等可能结果， 所以能组成三角形的概率 35．【答案】（1）     （2）．      【分析】 此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1、2、3、4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案． (1) 小问详解： 解：∵不透明的口袋里有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，球上的数字为奇数的是1与3， ∴从中任取一球，球上的数字为奇数的概率为． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图，得 ∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有4种情况， ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：． 36．【答案】（1）     （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 37．【答案】 【分析】 本题考查的是利用树状图或表格法求概率，利用树状图法或表格法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 利用树状图法求出一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种，然后用概率公式解答即可． 【详解】 解：设经过这个十字路口的两辆汽车分别为A，B，画树状图如下：    由树状图可得，一共有9种等可能的结果，其中至少有1辆汽车向左转的结果有5种， 至少有一辆车向左转的概率是． 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，其中，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”有5种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：有题意可知，“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）共有三种情况，则小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为． 故答案为： (2) 小问详解： 解：根据题意可画树状图如下： 由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种， 小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为． 考点04 用频率估计概率 1．D 2．D 3．B 4．C 5．【答案】0.9 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据即可得到答案． 【详解】 解：由试验数据可知，当种子个数较大时，发芽种子的频率稳定在0.9附近， ∴估计该作物种子发芽的概率为0.9． 故答案为：0.9． 6．【答案】18 【分析】 本题考查频率估计概率，由概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 利用频率估计概率，红球的频率稳定在，因此红球数量可通过总球数乘以频率计算得出即可． 【详解】 解：根据频率与概率的关系，红球的频率稳定在， ∴摸出红球的概率为， 则红球数量约为． 故答案为：18． 7．【答案】4 【分析】 本题主要考查了用频率估计概率， 首先根据频率得出摸到红球的概率为，再设黄球为x，并根据概率公式得出方程，求出解即可． 【详解】 解：∵经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为． 设黄球为x个，根据题意，得， 解得． 经检验，是该方程的解， 所以袋子中的黄球有4个． 故答案为：4． 8．【答案】10 【分析】 本题考查频率与概率的关系，涉及的知识点是“频率稳定时可近似代替概率”及“概率的计算（部分量与总量的比值）”．解题方法是利用频率估计概率，结合红球概率与球的总数的关系列方程求解；解题关键是明确红球概率=红球个数÷（红球个数+白球个数），并将频率转化为概率．易错点是混淆“红球概率”与“白球概率”的关系，或计算时总量遗漏红球个数．解题思路为：设红球个数为未知数，根据“红球概率”，结合红球个数与白球个数的和为总球数，列方程求解红球个数． 【详解】 解：设红球个数为，则总球数为． 由概率公式得． 解方程： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：． 9．【答案】【调查与收集】B 【整理与描述】（1）； （2）补全乙样本的频数分布直方图如图所示， 【分析与应用】（3）填表如下： （4） 【分析】 本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． 【调查与收集】利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断； 【整理与描述】（1）根据频率的定义计算甲样本中组的频率； （2）先计算出乙样本组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图； 【分析与应用】（3）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可； （4）根据样本估计总体，列式计算即可． 【详解】 解：【调查与收集】为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取株作为样本． 故选：B； 【整理与描述】（1）甲样本中组的频率是：， 故答案为：； （2）乙样本的总频数为， 组的频数为：， 【分析与应用】（3）甲样本各组中间值分别为：，，，，， ， 乙样本共个数据，中位数为第、个数据的平均值， 前两组频数的和为：，前三组频数的和为：， 第、个数据在组， 故乙样本中位数出现的组别在组， （4）甲样本中组的频数为，甲种葡萄树种植了株， 估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为：（株）． 答：估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为株． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）下列事件是必然事件的是（       ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）下列成语描述的事件为不可能事件的是（     ）． A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 守株待兔 D. 熟能生巧 3．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）下列事件中，不可能事件的是（     ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 4．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（     ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 秋去冬来 D. 一箭双雕 5．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）下列事件中，属于必然事件的是（     ） A. 任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B. 在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C. 射击运动员射击一次，命中环 D. 任意掷一枚硬币，正面朝上 6．（25-26学年九上·吉林长春·期末）下列事件中，属于不可能事件的是（     ） A. 某运动员跳高成绩为12米 B. 投掷一枚硬币，正面向上 C. 任意画一个正方形，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 7．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）下列事件是必然事件的是（     ） A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B. 打开电视频道，正在播放《焦点访谈》 C. 关于x的方程有实数根 D. 射击运动员射击一次，命中十环 8．（25-26学年九上·吉林松原·期末）下列事件中，属于随机事件的是（       ） A. 三角形的内角和是 B. 负数大于正数 C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是6 D. 明天太阳从西方升起 9．（25-26学年九上·吉林长春·期末）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（       ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 10．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球．从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（       ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 11．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）下列事件为必然事件的是（     ） A. 在平面上画一个三角形，其内角和是 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 购买1张彩票，中奖 12．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（     ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 13．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（       ） A. 水涨船高 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 缘木求鱼 14．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（） A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球 15．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）下列事件：①长春市某天的最低气温为-200℃；②人们外出旅游时，使用手机App购买景点门票；③在平面内任意画一个三角形，其内角和等于180°，其中是随机事件的是　　　　　　（只填写序号）． 16．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）成语“日出东方”，从数学的观点看，成语中描述的事件是　　　　　　　　　　　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 17．（25-26学年九上·吉林松原·期末）事件：“太阳从东方升起”是　　　　　　事件（填“必然”或“随机”）． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）掷一枚均匀的正方体骰子，掷得“6”的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是　　　　　． 4．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·吉林松原·期末）盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是　　　　　　　　． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）把标号为1，2，3的三个小球放入一个不透明的口袋中，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球的标号的和大于3的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 3．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）《浪浪山小妖怪》自上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，已成为中国影史二维动画电影票房冠军电影，其出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里小猪妖、蛤蟆精、黄鼠狼精和猩猩怪的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．将小猪妖和蛤蟆精的组合或黄鼠狼精和猩猩怪的组合称为“一套”，小曲和小星依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 4．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）2026年是马年，生肖马在中国文化中被视为刚健进取、忠诚奉献、自由奔放、活力热情、成功成就的象征．如图，现有三张正面印有不同马图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取1张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取1张．请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽出的卡片图案相同的概率． 第一次第二次 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 5．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某校在大课间有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．请用画树状图的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 6．（25-26学年九上·吉林松原·期末）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型．科技小组的同学打算利用抽签的方式选择学习内容，他们将四个类型的图标依次制成四张卡片（卡片背面完全相同），且将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）从中随机抽取一张，抽到人工智能机器人的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，若两次抽到的卡片内容一致，则选择该卡片内容学习．请用列表或画树状图的方法求两次抽取到的卡片内容一致的概率． 7．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．赛前小明和小华同学计划在三项赛事中随机抽取一项进行现场观赛，三项赛事分别为：A．游泳；B．花样游泳；C．跳水．请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率． 小华小明 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 8．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）今年寒假，老师布置了两个实践任务：A．制作“冰雪＋体育”手抄报；B．制作“冰雪+非遗”手抄报，并让学生们随机抽取两个任务中的一个进行组队．用画树状图（或列表）的方法，求小冰和小雪这两位同学都抽到任务B的概率． 9．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人把球传给另外两个人的机会是均等的．假如开始时球在甲手中，用画树状图的方法，求经过3次传球后球回到甲手中的概率． 10．（25-26学年九上·吉林长春·期末）寒假期间，学苑社区为学生们开设了冰雪体验营．甲、乙两名同学需要通过抽签从3个不同的体验项目中选择一个参加．抽签规则如下：在3张相同的卡片上分别标注字母对应三个项目（：制作冰灯，：雪地露营，：冰雪摄影），甲同学先随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一项目的概率． 11．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小玲随机抽取了两张卡片，用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率． 12．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，现将它们背面朝上搅匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是______； （2）小刚从中一次性随机抽取两张扑克牌，记下每张扑克牌上的数字，用列表或画树状图的方法求抽到的扑克牌正面上的两个数字乘积为奇数的概率． 13．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率． 14．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 15．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）在做“灯泡亮了”的物理实验时，设计的电路如图所示．实验器材包括电源、一个小灯泡、三个开关、、和导线若干．若从三个开关中随机选择一个闭合后，再从剩余的开关中随机选择一个闭合，用画树状图（或列表）的方法求小灯泡发光的概率． 16．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率． 17．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，某学习小组在活动课上制作了、、三张卡片，这三张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这三张卡片放置于暗箱中摇匀．小华从暗箱中随机抽取两张，用画树状图或列表的方法求小华抽到两张内容均为化学变化的卡片的概率． ． 面包发霉       ． 铁丝生锈       ． 冰雪融化 18．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）甲、乙、丙三名选手参加“飞花令”比赛，他们通过摸球的方式决定首场比赛的对手：在一个不透明的口袋中放入两个黑球和一个白球，它们除颜色外其他都相同，三人从中各摸出一个球，摸到黑球的两人即为首场比赛的对手． （1）若甲第一个摸球，则他摸到黑球的概率是______； （2）求乙、丙两人成为首场比赛对手的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 黑1 黑2 白 黑1 （黑2，黑1） （白，黑1） 黑2 （黑1，黑2） （白，黑2） 白 （黑1，白） （黑2，白） 19．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为、、三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 20．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图是一个商场抽奖用的可自由转动的转盘，被分成3个完全相同的扇形，分别涂有“蓝、绿、黄”三种颜色，转盘指针固定不动．转动转盘待其停止后，观察指针所指区域的颜色，若指针落在区域分界线上则重新转动．按上述规则任意转动转盘两次（第一次停止后再进行第二次转动），用画树状图或列表的方法，求两次指针所落区域颜色不相同的概率． 蓝 绿 黄 蓝 （蓝，蓝） （蓝，绿） （蓝，黄） 绿 （绿，蓝） （绿，绿） （绿，黄） 黄 （黄，蓝） （黄，绿） （黄，黄） 21．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 22．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）甲、乙两个人乘坐长春轨道交通1号线，在东北师大站下车，现有B、C、D三个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等． （1）甲走出口的概率是_____； （2）请用树状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率． 23．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）在一个不透明的盒子里装有三张卡片，分别标有数字1,2,5，这些卡片处数字外均相同，现随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率． 24．（25-26学年九上·吉林长春·期中）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“书签”、“钥匙扣”、“冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相等，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学同时抽到“冰箱贴”的概率． 25．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 26．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）从，，1，3这4个数中，随机抽取两个不同的数，分别记作，，则抛物线的图象的顶点在第一象限的概率为　　　　　　． 1 3 1 3 27．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）现有三张正面分别写有汉字“新”“年”“好”的卡片，卡片除正面汉字不同外，其余均相同．将三张卡片的背面朝上洗匀． （1）若从中随机抽取一张卡片，则抽得的卡片是“好”的概率为________． （2）若从中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽得的两张卡片是“新”和“年”的概率．                             第一张第二张 新 年 好 新 （年，新） （好，新） 年 （新，年） （好，年） 好 （新，好） （年，好） 28．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）某校七年级开展数学文化节活动，推荐给同学们三本数学课外读物，分别是《生活中的数学》《数学家的故事》《奇妙数世界》，小聪和小华将这三本书的书名写在形状大小、颜色完全相同的三张卡纸上，并把卡纸反放在桌面，先由小聪随机抽一张卡纸，记录书名后放回，再由小华抽一张卡纸，记录书名． （1）填空：小聪抽到《数学大爆炸》是　　　事件；（填“必然”，“不可能”，“随机”） （2）请用树状图或者列表法，求小聪和小华两个人中至少一个人抽中《奇妙数世界》的概率． 小华               小聪 A B C A AA BA CA B AB BB CB C AC BC CC 29．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图是某商场的停车场，现仅剩下“”、“”、“”三个车位． （1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是                 ． （2）分别记这三个车位为A、B、C，张明和王红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率． 王红               张明 30．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）随着“雪假”的来临，吉林省各大滑雪场面向中小学生出台了“3小时免费滑雪”优惠政策．甲、乙两位同学都想在12月5日去体验滑雪，他们分别在净月潭滑雪场（A）、长春莲花山滑雪场（B）、长春天定山滑雪场（C）中任选一个去体验，假设他们选择任意滑雪场的可能性均等且互不影响．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率． A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 31．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转） （1）若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为______； （2）如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由． 32．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字、、．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作，把第二次转动停止后指针指向的数字的倍记作，以长度分别为、、的三条线段能构成三角形的概率为　　　　　．（注：长度单位一致） 33．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）在学校举办的“诵读中华经典——古诗词”比赛中，有一个环节是关于“春夏秋冬”的诗词比赛，为使得比赛公平，组委会设计了四张背面完全相同，正面印有“春”、“夏”“秋”、“冬”图案的不透明卡片．规定抽到哪个季节的卡片即背诵哪个季节的诗词一首． （1）从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是“春”的概率是______； （2）从中随机抽取一张卡片，放回后再抽取一张，请你用树状图或列表法求抽出两张卡片不是同一季节的概率． 34．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明． 35．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别． （1）从中任取一球，球上的数字为奇数的概率是_________________________； （2）从中任取两球，请用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之和为偶数的概率． 36．（25-26学年九上·吉林长春·期末）陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 37．（25-26学年九上·吉林长春·期中）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，当两辆汽车经过这个十字路口时，用画树状图（或列表）的方法求至少有一辆车向左转的概率． 38．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． （1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为_____； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的的概率． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（       ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B. 袋子中有1个红球和2个黄球，从中随机地取出一个球是黄球 C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ）． A. 朝上的点数是的概率 B. 朝上的点数是奇数的概率 C. 朝上的点数大于的概率 D. 朝上的点数是的倍数的概率 3．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）下列说法正确的是（       ） A. 频率就是概率 B. 从1、3、5、7四个数中随机选出一个数为奇数，是必然事件 C. 某同学投中篮球的概率是0.8，则该同学投篮球10次，一定投中8次 D. 口袋中装有1个白球和2个黄球，搅匀后从中随机摸出一个球是白球的概率是0.3 4．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（       ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 5．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）某农科院在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子个数 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽种子的个数 187 347 530 733 912 1090 1256 1443 1618 1802 发芽种子的频率 0.935 0.868 0.883 0.916 0.912 0.908 0.897 0.902 0.899 0.901 根据频率的稳定性，可以估计该作物种子发芽的概率为 　　　　　　　　　．（精确到0.1） 6．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共90个，这些球除颜色外都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里约有　　　　　　　　　　　个红球． 7．（25-26学年九上·吉林长春·期末）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有　　　　　　　个 8．（25-26学年九上·吉林延边·期中）一个不透明的口袋中装有若干个红球和个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约　　　　　个． 9．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了株，计划从中各抽取株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是__________． A．依次抽取株                                               B．随机抽取株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取株             D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取株 【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图。 【分析与应用】 （3）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 乙 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （4）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $