专题07 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题07 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】 解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 (        ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】A 【详解】 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm， 由勾股定理得：斜边AB=5cm， 以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则圆过AB的中点，BC>r， 所以⊙C 与直线AB 的位置关系是相交. 故选：A．　 3．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与直线的位置关系是　　　　　　．（填“相交”“相切”或“相离”） 【答案】相切 【分析】 作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可得到圆与直线的位置关系． 【详解】 解：作于点， ，， ， ∵的半径是， 与相切， 故答案为：相切． 【点睛】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系的判定．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】 解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查切线长定理． 设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理，等量代换，即可得三角形的周长． 【详解】 解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可得，，，，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴三角形的周长是． 故选：A． 3．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】 解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 与相切．     （2）      【分析】 本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的相关性质，包括直径所对的圆周角为． （1）根据等边对等角可得，，由此可得，即可得平行，再由平行线的性质即可证明． （2）根据直径所对的圆周角为，可得，再设，由勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为的直径， ， ， 设，则， 在中，则， 又， 即， ， ． 5．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，是的弦，与相切于点．圆心在线段上．已知，求的大小． 【答案】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质；连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接， 相切于点， ， ， ， ， ． 6．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，是的直径，，． （1）求证：是的切线． （2）若，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 是的直径， 是的切线．     （2）      【分析】 此题考查了扇形面积、切线的判定等知识． （1）证明，又由是的直径即可证明是的切线； （2）根据求出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设与相交于点C，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 7．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，内接于，为直径，平分B交于点D． （1）过点D作，求证：为的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴为的切线．     （2）      【分析】 （1）连接半径利用角平分线性质得出等弧，进而得到圆心角；结合推出，证明垂直于半径从而判定为切线． （2）由为直径可知，用勾股定理求出的长，得到圆的半径；根据（1）中，用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴，      ∵， ． 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为2，则k的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】 解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 9．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接． （1）求证：平分． （2）若，，求车轮的半径． 【答案】（1）证明：连结． 切于点， ． ， ， ． ， ∴， ， 平分．     （2）      【分析】 此题考查了切线的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和垂直得到，再利用等边对等角得到，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设的半径为，则． 在中，，，，， 解得，即的半径为． 10．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，为的直径，C为上一点，连接为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）10      【分析】 （1）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等和切线的判定定理解答即可； （2）由题意得为直角三角形，再利用勾股定理即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得： ∴为直角三角形 ∵的半径为3，为 ∴ ∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，同圆的半径相等，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 11．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，的半径为5，弦于E，． 求证：； 若于F，于G，试说明四边形OFEG是正方形． 【答案】(1)证明：， ， ，即， (2)四边形OFEG是正方形 理由如下： 如图，连接OA、OD． ，，， 四边形OFEG是矩形，，． ， ． ， ≌， ． 矩形OFEG是正方形 【分析】 (1)根据圆心角、弧、弦的关系先由得到，再得到，从而判断； (2)先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到，，则利用得到，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系,解题的关键是：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系. 12．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵直线是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 13．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）2      【分析】 本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，再设，则，然后根据求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为2． 14．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线；     （2）的半径为      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 15．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． （1）求证：； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）连接，利用切线的性质和平行线的判定可得，由此可知，然后根据等腰三角形进行角的等量代换； （2）利用三角函数的定义，在和中建立边长的关系，即可求解线段的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，，， ， ， 在中， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数的应用，证明角相等时，连接切点与圆心是圆的切线问题中常用的辅助线的作法；边长的计算中，利用三角函数将角的关系转化为边的比例关系，体现了几何问题中“数”与“形”的相互转化． 16．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）3      【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理． （1）连接，根据为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论； （2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得的值，进而得到的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的半径为3． 考点03 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查正多边形的内角度数和外接圆的定义，找到正多边形的外接圆圆心和正多边形的关系是解题关键． 利用先求出正六边形的内角度数，再通过正六边形的外接圆中边所对圆心角的度数，得到正六边形的边与外接圆的半径的关系即可． 【详解】 解：如图，正六边形每个边所对圆心角为， 故图中正六边形的任意两个相邻顶点与外接圆圆心之间的连线构成的三角形是等边三角形， 所以正六边形的边长等于外接圆半径， 所以半径为， 故选：C． 2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】 解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】 本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 3．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需　　　　　个五边形． 【答案】7 【分析】 延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案． 【详解】 延长正五边形的相邻两边，交于圆心， ∵正五边形的外角等于360°÷5=72°， ∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°-72°-72°=36°， ∴360°÷36°=10， ∴排成圆环需要10个正五边形， 故排成圆环还需 7个五边形． 故答案为7． 【点睛】 本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角． 4．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，是边长为4的正方形的外接圆．求图中阴影部分的扇形面积． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题的关键． 先根据正方形性质和勾股定理求出，，再根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：∵是边长为4的正方形的外接圆 ，，， ∴在中，，即， ． ． 5．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）作图并填空： （1）在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】（1） 解：如图，正六边形即为所求：      （2）      【分析】 （1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． (1) 小问详解： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； (2) 小问详解： 如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01直线与圆相离、相切、相交 考点02圆的切线 考点3正多边形与圆 》 考点01直线与圆相离、相切、相交 1.(25-26学年九上·吉林延边州期末)已知⊙O与直线l有2个公共点，若⊙O直径为8cm,则圆心0到 直线1的距离可以是( A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末)在RtAABC中，∠C=90°，BC=3cm,AC=4cm,以点C 为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 3.(25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， BC=4cm,以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 (填“相交”“相切”或“相离”) B 考点02圆的切线 1.(25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学期末)如图，PA,PC是⊙O的切线，A,C为切 点，若AB是⊙O的直径，且∠P=68°，则∠BAC的度数为( B A.34 B.39 1/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.51 D.56 2.(25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末)如图，周长为18cm的三角形纸片ABC,其中AC=4cm.小 刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O,他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE.则三角形 BDE的周长是( D E A.10cm B.9cm C.8cm D.7cm 3.(25-26学年九上·吉林吉林期中)如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，并与⊙O的另一条切线 分别相交于C、D两点，已知PA=5cm,则△PCD的周长为 cm. A 0 B 4.(25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径的⊙O 与BC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E,垂足为点F. E ○ (1)求证：DE与⊙O相切； (2)若AO=5,CD=2AD,求CD的长. 5.(25-26学年九上：吉林第二实验学校期中)如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B.圆心O在 线段PA上.已知∠P=50°，求∠PAB的大小. B 0 2/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末)如图，AB是⊙O的直径，∠ABP=45°，AB=AP. B D (1)求证：PA是⊙O的切线， (2)若AB=4,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) 7.(25-26学年九上·吉林松原期末)如图，△ABC内接于⊙O,AB为直径，CD平分∠ACB交 ⊙O于点D. C 0 B E D (1)过点D作DE‖AB,求证：DE为⊙O的切线： (2)若AC=6,BC=8,求阴影部分的面积， 8.(25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末)如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为 ⊙A的直径，点C在函数y=kx>0的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为2，则k的值为一 B 9.(25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末)停车楔（图1)，又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于 防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动.如图2为停 车楔工作模型侧面示意图，水平地面DE与车轮⊙O切于点D,AB为⊙O的直径，射线AB与射线ED 交于点C,AE⊥DE于点E,连接AD 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 图1 图2 (1)求证：AD平分∠CAE (2)若BC=10cm,CD=30cm,求车轮⊙O的半径. 10.(25-26学年九上·吉林松原·期末)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC,BC,D 为AB延长线上一点，连接CD,且∠BCD=∠A, D B (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为3，CD为2▣，求AD的长. 11.(25-26学年九上·吉林松原乾安县期中)如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E,AB=CD=8 1求证：AC=BD: 2若OF⊥CD于F,OG⊥AB于G,试说明四边形OFEG是正方形. A G D 12.(25-26学年九上·吉林松原乾安县期中)如图，AB为⊙O的直径，射线AC交⊙O于点C,AD平 分∠CAB交⊙O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交 AC于点M. 417 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F (1)求证：直线DE是⊙O的切线： (2)若∠F=30°，ME=▣，求DM的长. 13.(25-26学年九上吉林吉林期中)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O:D是AC 的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E B D (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AB=12,BC=8,求EC的长. 14.(25-26学年九上·吉林延边州·期末)如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D在AB的 延长线上，连接CD,使∠BCD=∠A」 B (1)求证：CD是⊙O的切线. (2)若∠ODC=30°，BD=3,求⊙O的半径. 15.(25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是边 AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作⊙O,⊙O与AC相切于点D,连接BD. 517 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 (1)求证：∠ABD=∠CBD: ②)0B=2,snA=子，则BC的长为 16.（25-26学年九上·吉林白城通榆县期末)如图，以点0为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点 C,延长AB至点D,连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E E D (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若CD=4,DB=2,求⊙O的半径. 》 考点03正多边形与圆 1.(25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末)正六边形的边长是6cm,则它的外接圆的半径为 ) A.3▣ B.4cm C.6cm D.3/▣ 2.(25-26学年九上·吉林四平双辽·期末)若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为 3.(25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末)如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示 的是前3个五边形，要完成这一圆环还需 个五边形， 617 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末)如图，⊙O是边长为4的正方形ABCD的外接圆.求图中 阴影部分的扇形面积， A B D C 5. (25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末)作图并填空： ● (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知⊙O的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定 后必须用黑色字迹的签字笔描黑) (2)若已知⊙O的半径为2，则这个内接正六边形的面积为： 717 专题07 直线与圆的位置关系 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．A 2．A 3．【答案】相切 【分析】 作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可得到圆与直线的位置关系． 【详解】 解：作于点， ，， ， ∵的半径是， 与相切， 故答案为：相切． 【点睛】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系的判定．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离． 考点02 圆的切线 1．A 2．A 3．【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】 解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 4．【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 与相切．     （2）      【分析】 本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的相关性质，包括直径所对的圆周角为． （1）根据等边对等角可得，，由此可得，即可得平行，再由平行线的性质即可证明． （2）根据直径所对的圆周角为，可得，再设，由勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：为的直径， ， ， 设，则， 在中，则， 又， 即， ， ． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质；连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接， 相切于点， ， ， ， ， ． 6．【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 是的直径， 是的切线．     （2）      【分析】 此题考查了扇形面积、切线的判定等知识． （1）证明，又由是的直径即可证明是的切线； （2）根据求出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设与相交于点C，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 7．【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴为的切线．     （2）      【分析】 （1）连接半径利用角平分线性质得出等弧，进而得到圆心角；结合推出，证明垂直于半径从而判定为切线． （2）由为直径可知，用勾股定理求出的长，得到圆的半径；根据（1）中，用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴，      ∵， ． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．设，则，则，根据三角形的面积公式得出，列出方程求解即可． 【详解】 解：设， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴，则点D到的距离为a， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 9．【答案】（1）证明：连结． 切于点， ． ， ， ． ， ∴， ， 平分．     （2）      【分析】 此题考查了切线的性质、勾股定理、等边对等角，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质和垂直得到，再利用等边对等角得到，即可证明结论成立； （2）利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设的半径为，则． 在中，，，，， 解得，即的半径为． 10．【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）10      【分析】 （1）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等和切线的判定定理解答即可； （2）由题意得为直角三角形，再利用勾股定理即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得： ∴为直角三角形 ∵的半径为3，为 ∴ ∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，同圆的半径相等，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 11．【答案】(1)证明：， ， ，即， (2)四边形OFEG是正方形 理由如下： 如图，连接OA、OD． ，，， 四边形OFEG是矩形，，． ， ． ， ≌， ． 矩形OFEG是正方形 【分析】 (1)根据圆心角、弧、弦的关系先由得到，再得到，从而判断； (2)先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到，，则利用得到，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系,解题的关键是：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系. 12．【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵直线是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 13．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）2      【分析】 本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，再设，则，然后根据求解即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为2． 14．【答案】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线；     （2）的半径为      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 15．【答案】（1） 证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）连接，利用切线的性质和平行线的判定可得，由此可知，然后根据等腰三角形进行角的等量代换； （2）利用三角函数的定义，在和中建立边长的关系，即可求解线段的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，，， ， ， 在中， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角函数的应用，证明角相等时，连接切点与圆心是圆的切线问题中常用的辅助线的作法；边长的计算中，利用三角函数将角的关系转化为边的比例关系，体现了几何问题中“数”与“形”的相互转化． 16．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线．     （2）3      【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理． （1）连接，根据为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论； （2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得的值，进而得到的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的半径为3． 考点03 正多边形与圆 1．C 2．【答案】 【分析】 根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】 解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】 本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 3．【答案】7 【分析】 延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案． 【详解】 延长正五边形的相邻两边，交于圆心， ∵正五边形的外角等于360°÷5=72°， ∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°-72°-72°=36°， ∴360°÷36°=10， ∴排成圆环需要10个正五边形， 故排成圆环还需 7个五边形． 故答案为7． 【点睛】 本题考查了正五边形与圆的有关运算，属于层次较低的题目，解题的关键是正确地构造圆心角． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，熟练掌握正多边形和圆的性质是解题的关键． 先根据正方形性质和勾股定理求出，，再根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：∵是边长为4的正方形的外接圆 ，，， ∴在中，，即， ． ． 5．【答案】（1） 解：如图，正六边形即为所求：      （2）      【分析】 （1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． (1) 小问详解： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； (2) 小问详解： 如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $