精品解析：吉林省长春市高新区慧仁学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法．根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】解： A、是该几何体的左视图； B、不是该几何体视图； C、是该几何体的俯视图； D、是该几何体的主视图． 故选：C． 3. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 5. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为a．已知，冬至时该市的正午日光入射角约为，则立柱高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的正切函数求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角函数的应用，正切掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式并把解集在数轴上表示，解不等式得解集为，即可求解；掌握解法及解集在数轴上表示方法，注意含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 7. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 8. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作，垂足为F，设，证明，有，根据E为的中点，可得，，进而有，，可得，，则有，问题随之得解． 【详解】如图，过点A作，垂足为F， 设，， ∵轴，， ∴轴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．提公因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将化简为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 12. 已知一次函数（k为常数，且）的函数值随自变量的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，据此可得k的符号，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限，当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数（k为常数，且）的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故答案为：一． 13. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 14. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，BE＝2，EC＝4，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG．现给出以下结论： ① ② ③ ④ 其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可． ②证明Rt△ADG≌Rt△AFG得∠DAG=∠FAG，DG=FG，进而得∠EAG=∠BAD，便可判断②的正误； ③设GD=GF=x，在Rt△ECG中，利用勾股定理EG2=EC2+CG2，可得DG=FG=3，则CG=CD-DG=3=GF，即可判断； ④证明FG：EG=3：5，先求出求出△ECG的面积，再求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD=BE+EC=6，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°， 由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=2，∠BAE=∠EAF， ∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴DG=FG，∠GAF=∠GAD， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=（∠BAF+∠DAF）=45°，故①正确， 由折叠知AB=AF，∠ABE=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE， ∵正方形ABCD中，AB=AD，∠ADG=90°， ∴AD=AF， ∵AG=AG， ∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠DAG=∠FAG，DG=FG ∴∠BAE+∠DAG=∠EAF+∠FAG，BE+DG=EF+FG ∴∠EAG=∠BAD＝45°，EG= BE+DG，故②正确； 设GD=GF=x， 在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2， ∴（2+x）2=42+（6-x）2， ∴x=3， ∴DG=FG=3， ∴CG=CD-DG=3=GF， 即：，故③正确 ∵S△ECG=×3×4=6，FG：FE=3：2， ∴FG：EG=3：5， ∴S△GFC=×6=3.6，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，先根据完全平方公式和去括号法则化简，然后合并同类项，最后把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算．先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的定义计算，再合并即可． 【详解】解： ． 17. 每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该药店利润平均每月的增长率为，根据某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设该药店利润平均每月的增长率为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该药店利润平均每月的增长率为． 18. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边AB于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE是菱形． （2）连接BD，若BD＝AD＝4，，则CE的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先证明BE=CD，得四边形BCDE为平行四边形，再利用BC=CD得证； （2）先证明∠A=∠DBE，再利用∠DBE的正切值并结合菱形性质，求出CE长度即可． 【小问1详解】 证明：∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE， ∵ CD∥AB， ∴ CD∥BE，∠DCE＝∠BEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BC＝BE， ∵BC＝DC， ∴BE＝DC， ∵CD∥BE， ∴四边形BCDE为平行四边形， ∵BC=CD， ∴四边形BCDE是菱形． 【小问2详解】 解：设BD交CE于点F， ∵四边形BCDE为菱形， ∴BD⊥CE， ∵AD=BD， ∴∠A=∠DBE， ∴=， 即， ∵BD=4， ∴DF=BF=2， ∴EF=CF=1， ∴CE=2EF=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的应用等知识点．灵活使用菱形的判定定理是解题关键． 19. 某校初一年级有600名男生 ，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动． （1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中_________（填“A”或“B”），调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况； （2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下： 成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15 人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1 这组测试成绩的平均数为_________个，中位数为__________个； （3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准． 【答案】（1）B （2）7；5 （3）90名 【解析】 【分析】（1）根据随机调查要具有代表性考虑即可求解； （2）利用加权平均数公式计算，再根据中位数的概念确定这组测试成绩的中位数即可； （3）根据中位数确定样本中不合格的百分比，再乘以该校初一男生的总人数即可求解． 【小问1详解】 解：∵随机调查要具有代表性， ∴从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况， 故答案为：B； 【小问2详解】 解：； 这组数据排序后，中位数应该是第10，11两个人成绩的平均数，而第10，11两人的成绩都是5， ∴这组测试成绩的中位数为， 故答案：7；5 【小问3详解】 解：以（2）中测试成绩的中位数5作为该校初一男生引体向上的合格标准，则这组测试成绩不合格的人数有3人， ∴不合格率为 ， ∴该校初一男生不能达到合格标准的人数为（名）． 【点睛】本题考查了随机调查，中位数，众数以及利用样本估计总体，读懂题意，理解概念是解题的关键． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段上找一点，连结，使． （2）在图②中的线段上找一点，连结，使． （3）在图③中的内部找一点，连结、，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】(1)取格点，连接交于点，连接，可证明，得，则； (2)取格点，连接交于点，连接，可证明，得，则，所以； (3)解法一∶取的中点及格点，连接交于点，连接，再取格点，连接，则，所以，则， 所以，则； 解法二∶取格点，连接交于点，连接，再连接，则，所以，得，则，所以． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接交于点，连接， ， 点及就是所求的图形， 理由∶ 连接，则，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点D及就是所求的图形； 【小问2详解】 解：如图，取格点，连接交于点，连接， ， 点及就是所求的图形， 理由∶ 连接，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点及就是所求的图形； 【小问3详解】 解：解法一∶ 如图，取的中点及格点，连接交于点，连接， ， 点及就是所求的图形， 理由∶ 由（1）图知：， ∴， ∴点为格点， 再取格点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点及就是所求的图形； 解法二：如图，取格点，连接交于点，连接， ， 点及就是所求的图形， 理由：连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点及就是所求的图形． 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，三角形面积公式，相似三角形判定及性质，平行线性质，灵活运用所学知识是关键． 21. 长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点．甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大．在此过程中，若两人各自行走的路程y（米）与乙出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示． （1）______． （2）求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式． （3）在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离． 【答案】（1）180 （2） （3）45 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）由图象直接得出结论； （2）用待定系数法求出函数解析式； （3）根据甲、乙路程相等求出的值，再求出距栈道端的距离． 【小问1详解】 解：由图象可知，的值为180， 故答案：180； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； 【小问3详解】 解：由图象可知，乙行走的速度为(米/分)， 根据题意得：， 解得， 此时甲距栈道端的距离为(米)． 22. 【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题： 如图①，在与中，，，． 求证：． 【方法探究】以下是小强的方法： 证明：如图②，延长AC到点G，使，连结BG． ∵，∴∴． 接下来只需证明，进而就能得出． 请你补全余下的证明过程． 【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍、半关系，可谓一举两得． 【方法应用】如图③，在中，，，延长BC到点D，使，点E在边AC上，连结DE，当时，的大小为______°． 【拓展延伸】如图④，在中，，．若， 求边AC长．（精确到0.1） ［参考数据：，，] 【答案】【方法探究】见解析；【方法应用】70；【拓展延伸】4.7 【解析】 【分析】【问题呈现】根据题意，证明，可得，则，即可得证； 【方法应用】连接，根据题意求得，根据三角形的外角性质可得，根据已知条件以及垂直平分线的性质可得，根据三线合一可得，即可求解． 【拓展延伸】如图，延长CB至点D，使，连结AD．由，可得，在中，可得，代入数值即可求解． 【详解】解：【方法探究】 ∵， ∴，即． ∵，， ∴． ∴． ∴． 方法应用】 如图，连接， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：70． 【拓展延伸】 如图，延长CB至点D，使，连结AD． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∵， 在中， ∴． ∵，， ∴． 所以，AC的长约为4.7． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，解直角三角形，理解题意是解题的关键． 23. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结． （1）过点Q作边的垂线段，交于H，求证：； （2）当A，Q，C三点共线时，求线段的长； （3）线段的长度的最小值是______； （4）四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）；3 【解析】 【分析】（1）根据旋转和矩形的性质，利用证明结论即可； （2）先证明，再列出比例式，求出长，再利用勾股定理解答即可； （3）点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，然后利用线段的和差解答即可； （4）过点Q作于点Q，设，根据列函数关系式，配方得到最大值解答即可． 【小问1详解】 解：∵是矩形， ∴， 又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点Q作于点H， ∵点E是的三等分点， ∴， 由（1）可知， ∴，，， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得点到的距离为， ∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小， 即最小为； 【小问4详解】 解：过点Q作于点Q，设， 则，， ∴ ， ∴当时，最大为， 这时，， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是得到． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，且经过点．点在该抛物线上，其横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当，的取值范围是____________． （3）将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围； （4）设点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，且轴．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的图象与性质即可求出取值范围； （3）注意分类讨论，利用二次函数的图象与性质，画出临界状态分析即可； （4）注意分类讨论，利用二次函数的图象与性质，画出临界状态分析即可． 【小问1详解】 解：由对称轴为直线得， ， 解得， 将点代入得， ， 解得，， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由解析式得， ，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，为， ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，； 当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，， 如图所示，当点在轴的左侧，正好落在上时， 此时，， 解得（正值已舍），此时符合题意； 如图所示，当时， 符合题意， ∴当点在轴左侧，； 如图所示，当时， 此时，不符合题意； 如图所示，当点在轴的右侧时，点恰好落在上， 此时，， 解得，，此时符合题意； 如图所示，当时， 此时符合题意； 如图所示，当点正好落在上时， 此时，， 解得（负值已舍），此时符合题意； 如图所示，当时， 此时不符合题意； 当点在轴右侧时，， 综上，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围为：或； 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形， ∴轴， ∴， 当点在点左侧，且均在轴左侧时，如图所示， 此时，； 当重合，此时轴，不符合题意，如图所示， 当时，矩形在抛物线的外部，不符合题意，如图所示， 当时，轴，不符合题意，如图所示， 当时，此时，符合题意，如图所示， 当点M落在抛物线上时，如图： 此时，,由于对称轴为直线， ∴， ∴时，符合题意； 当轴时，不符合题意，如图所示， 此时，， ∴， 解得，或（舍去）， 当时，如图所示，符合题意， 综上所述，m的取值范围是：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. 2 D. 8 2. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A B. C. D. 3. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为a．已知，冬至时该市的正午日光入射角约为，则立柱高约为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ） A. 4.5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：______． 10. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为_________． 11. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 12. 已知一次函数（k为常数，且）的函数值随自变量的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第__________象限． 13. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 14. 如图，点E在正方形ABCD边BC上，BE＝2，EC＝4，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG．现给出以下结论： ① ② ③ ④ 其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 计算： 17. 每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率． 18. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边AB于点E，连接DE． （1）求证：四边形BCDE是菱形． （2）连接BD，若BD＝AD＝4，，则CE的长为______． 19. 某校初一年级有600名男生 ，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动． （1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中_________（填“A”或“B”），调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况； （2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下： 成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15 人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1 这组测试成绩的平均数为_________个，中位数为__________个； （3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段上找一点，连结，使． （2）在图②中的线段上找一点，连结，使． （3）在图③中的内部找一点，连结、，使． 21. 长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点．甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大．在此过程中，若两人各自行走的路程y（米）与乙出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示． （1）______． （2）求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式． （3）在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离． 22. 【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题： 如图①，在与中，，，． 求证：． 【方法探究】以下是小强方法： 证明：如图②，延长AC到点G，使，连结BG． ∵，∴∴． 接下来只需证明，进而就能得出． 请你补全余下的证明过程． 【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍、半关系，可谓一举两得． 【方法应用】如图③，在中，，，延长BC到点D，使，点E在边AC上，连结DE，当时，的大小为______°． 【拓展延伸】如图④，在中，，．若， 求边AC的长．（精确到0.1） ［参考数据：，，] 23. 如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结． （1）过点Q作边的垂线段，交于H，求证：； （2）当A，Q，C三点共线时，求线段的长； （3）线段的长度的最小值是______； （4）四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）对称轴为直线，且经过点．点在该抛物线上，其横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当，的取值范围是____________． （3）将此抛物线上两点之间部分（包括两点）记为图象，当图象与直线只有一个公共点时，求的取值范围； （4）设点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，且轴．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $