3.3 抛物线综合限时训练卷02-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 抛物线综合限时训练卷，通过多题型系统考查抛物线定义、方程及综合应用，培养直观想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8选择+3填空|轨迹方程、焦点弦、准线性质|从定义出发，构建方程与几何性质的关联| |综合提升|5解答题|切线问题、面积计算、实际应用|通过多知识点融合，发展数学建模与运算能力|

3.3 抛物线综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．（2026·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三下·云南昆明·期中）设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（   ） A．中点的横坐标是 B． C． D． 10．（25-26高一下·重庆·期中）已知点为曲线图象上的动点，直线，曲线，下列说法正确的是（    ） A．不存在定点，使得等于到直线的距离 B．存在定点，使得等于到直线的距离 C．曲线与曲线有两个不同的交点 D．曲线与曲线有四个不同的交点 11．（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 13．（2026·北京昌平·一模）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 14．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 16．（2026·河南新乡·三模）某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 17．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 18．（25-26高二下·重庆·阶段检测）设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知  . (1)求C的方程； (2)过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 19．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 抛物线综合限时训练卷02 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 2．（2026高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 3．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知抛物线：的准线为，为上的一点，为的焦点，直线与圆：相切于点，若，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，表达出，，从而得到方程，求出，进而得到点到的距离. 【详解】由题意得，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆：的圆心为，半径， 设，则，， 由抛物线定义可得， 其中 ， 由得，解得， 故点到的距离为. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 5．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    6．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于点，，且，若的面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可知，准线：，设，则，利用，可得到，再由的面积为，可解得的值. 【详解】由题意可得，准线：，设，    将代入中得，则， ,,, 因为， 所以，化简得，即， 因为， 所以. 7．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设直线方程联立得韦达关系式，用向量垂直列方程求参，再用抛物线焦半径性质得比值. 【详解】由题意知，设，，，其中． 由消去x，得，则，． 所以，． 因为，所以，因， 则得， 即， 将韦达定理代入，得， 整理得，即，解得， 所以，解得，，则．    8．（2026·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设出直线的方程并与抛物线联立方程组，可求出点坐标，由于点可求得点坐标和直线的斜率，从而表示出点坐标，利用平面向量的数量积坐标表现可证 为直角三角形，最后结合外接圆周长进而求解. 【详解】设点 ，由题意得抛物线焦点为 ，准线 的方程为 ， 因为直线的倾斜角为，则其斜率为，其方程为 ，即 ， 将其与抛物线方程联立 ，消去得 ， 整理得 ，解得 . 因为点在第一象限，所以 ，即 ，则， 又由，可得； 由于点，得 ，则直线的斜率为， 直线的方程为， 令 ，得．所以 . 在 中，易得 ， ， 因 可得 ， 因此 为直角三角形，其外接圆的直径为鈄边， 由抛物线定义可知 ， 则外接圆的周长为 . 由题意得 ，解得 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三下·云南昆明·期中）设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（   ） A．中点的横坐标是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】依题意设直线的方程为，代入抛物线方程，求出韦达定理，利用弦长公式列方程求得，根据抛物线定义，直线与圆的位置关系判断方法以及三角形面积公式逐一分析计算即可判断. 【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率为，又经过抛物线的焦点，故直线的方程可设为， 将其代入消去，整理得， 设，则， 于是，，， 由，解得， 则，， 对于A，中点的横坐标是，故A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得， 则，故B正确； 对于C，由A项可知到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切于点，则轴，于是， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 10．（25-26高一下·重庆·期中）已知点为曲线图象上的动点，直线，曲线，下列说法正确的是（    ） A．不存在定点，使得等于到直线的距离 B．存在定点，使得等于到直线的距离 C．曲线与曲线有两个不同的交点 D．曲线与曲线有四个不同的交点 【答案】BC 【分析】抛物线向左平移1个单位，并向上平移2个单位得到曲线,从而可求出曲线焦点坐标，准线方程，由抛物线定义即可判断A，B； 先将化为，即曲线为两直线，,将直线方程与联立即可得解. 【详解】抛物线向左平移1个单位，并向上平移2个单位得到曲线， 故曲线焦点为，准线方程为，即定点符合题意，选项B正确，A错误； 因为可化为， 即曲线为两条直线，. 与联立得，化简得，故与有一个交点； 同理与有一个交点. 曲线与曲线有两个不同的交点，选项C正确，D错误. 11．（2026·全国二卷·高考真题）已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与E没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【分析】过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，结合向量条件与相似三角形比例关系求得|FB|，再由中点坐标性质和中位线公式计算p. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 13．（2026·北京昌平·一模）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由抛物线的准线方程为，则可设交点， 因为点在圆上，所以， 又点关于轴的对称点，代入抛物线方程得， 将代入可得：， 因为，所以解得，，    由题意，则可得，， 因为，则在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径，圆方程为， 由直线上存在满足条件的，等价于该直线与圆有公共点， 即圆心到直线的距离不大于半径：， 解得，即的取值范围为. 14．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】设出及直线l的倾斜角、方程，联立抛物线的方程，根据面积公式及抛物线的定义可得到的比例关系，进而根据韦达定理可求得斜率，最后可求得倾斜角. 【详解】因为抛物线，所以， 设，直线l的倾斜角为，方程为，则， 由消去得，所以. 因为A在第一象限，所以. 因为直线l的倾斜角为，，所以与互补， 所以. 由抛物线的定义得， 所以，所以，即， 所以，所以为锐角，所以，如图： 所以，所以， 所以， 又，所以，所以，所以， 又，所以. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）结合抛物线定义建立关于的方程并求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式和面积建立关于的方程并求解. 【详解】（1）对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. （2）求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 16．（2026·河南新乡·三模）某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线，把点光源置于它的焦点处，光线经镜面反射后成为平行光束，使照射距离加大.若抛物线的方程为，焦点为，过的直线交于M，N两点，当直线MN垂直于轴时，. (1)求的方程. (2)光的反射定律告诉我们：光从一种介质入射到两种介质的分界面时发生反射，反射光线与入射光线、法线处在同一平面内；反射光线与入射光线分别位于法线的两侧；反射角等于入射角.如图，从点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射，反射光线为，证明：所在直线平行于轴. 【答案】(1) (2)证明：因为不是顶点，故抛物线在处的切线的斜率必存在且不为零且纵截距也不为零， 如图，设抛物线在处的切线的方程为， 由得，① 则，得， 代入①式，得，故点的坐标为. 过点作直线AP垂直于直线l，AP与轴交于点， 则直线AP的方程为. 令，可得，又，所以. 又，所以， 所以，又由反射定律知，所以， 所以AH所在直线平行于轴. 【分析】（1）由题设得抛物线的通径，求出后可得抛物线的方程； （2）设抛物线在处的切线的方程为，联立直线方程和抛物线方程后可求的坐标，从而可求法线方程与轴的交点坐标，故可证，结合题设中的反射定律可证所在直线平行于轴. 【详解】（1）由题设，通径的长为，故，所以抛物线的方程为. （2）略 17．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2) 抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为， 直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得， 化简可得， 根据韦达定理可得，， 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. (3)， 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由题意可知，准线方程为，即，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）略 （3）， ， 因此， 设点到直线的距离为，，的方程为， ， 因此， 因为，所以当时，取到最小值1， 因此的最小值为， 此时直线的方程为. 18．（25-26高二下·重庆·阶段检测）设抛物线 的焦点为为上一点，且，若过作准线的垂线垂足为，已知  . (1)求C的方程； (2)过的直线交于两点，过作的切线交直线于点，过作交于 . ①证明:直线 MN 过定点； ② 求的最大值. 【答案】(1) (2)①设, 易知直线的斜率存在且不为，故设， 联立，得， 则，得， 则， 易知直线的斜率存在，若斜率不为，则设, 令，得，故， 因为，所以直线的斜率为， 则，即，此时直线 MN 过定点； 若直线的斜率为，则，则, 则，此时，，则直线，过原点， 故直线 MN 过定点； ② 【分析】（1）不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为，在中利用勾股定理即可； （2）①设，，联立直线与抛物线的方程，利用化简直线的方程，得出，再化简直线的方程即可，再求出直线斜率为零时的情况即可； ②联立直线与抛物线的方程，利用弦长公式求出，再求出点坐标，得出，即可化简，结合函数的单调性求解，再求出直线斜率为零时的情况即可. 【详解】（1）由抛物线的定义知，， 不妨设点在第一象限，准线与轴的交点为， 因为，故为等边三角形，则， 因为，所以，则，得， 故抛物线方程为； （2）①略 ②易知直线的斜率存在，联立得， 则， 则， 由①知，，与联立得，， 则，故， 则， 因为在上单调递增，所以， 所以，此时，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 19．（2026·湖北武汉·三模）已知抛物线：，为坐标原点，过点作斜率的直线交抛物线于两点，其中在第一象限，直线交抛物线于另一点，其中，直线与直线交于点． (1)求抛物线的方程； (2)记与的面积分别为，． （ⅰ）当，，，四点共圆时，求直线的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由，求出点的坐标，代入抛物线方程求解即可； （2）（ⅰ）联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，，由，，，四点共圆可得，从而得，代入的表达式，得，求解即可； （ⅱ）先求出点的横坐标，由三角形的面积可得，求出的范围即可得答案. 【详解】（1）因为点，则， 又， 则， 所以， 代入抛物线：， 得到，解得， 所以抛物线的方程为． （2）（ⅰ）因为直线方程为， 设，， 联立， 消得到， 则，， 当，，，四点共圆时， 则有，， 故，则， 所以， 又， 同理可得， 由两点间的距离公式可得，， 所以， 即， 整理得到， 又，所以， 故直线的方程为． （ⅱ）由，，得到直线：， 由，，得， 直线：， 联立方程， 解得， 由，， 得， 所以， 又 ， 当时，由，得， 又直线的斜率， 则， 所以， 故的取值范围为. 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $