3.2双曲线综合练习（2）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线核心概念与综合应用，以点差法、韦达定理等为工具，构建从方程求解到定点定值证明的完整方法体系，体现数学思维的逻辑性与严谨性。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程与几何性质|1-3,7-8|定义法求方程、离心率公式|从焦点、渐近线等几何量推导标准方程，体现概念生成逻辑| |直线与双曲线位置关系|4-6,9-11|点差法求中点弦、判别式法求切线|联立方程结合韦达定理，构建代数与几何的转化链条| |综合应用|12-22|向量垂直、定点定值证明|以面积、斜率关系为载体，发展推理能力与模型意识|

【高二平面解析几何】08双曲线(2) 学校： 姓名： 班级： 考号： 1.已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2，其一条渐近线斜率为V2. (1)求双曲线的标准方程； A(1,1) (2)过点 能否作直线'，使直线与所给双曲线交于P、两点，且点A是弦P的中点？如果直线 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由 试卷第1页（共3页） :x2、2 =1 2.已知双曲线 4 ()设点尸为左焦点，B为双曲线右支上任一点，写出点厂坐标与直线FB斜率的取值范围， (2)过点 (m,2(m>0)作的切线， ①若切线斜率为k,求实数k与实数m满足的关系式： ②若可以作两条这样的切线、(，它们的斜率分别为名、名。若=， ,求实数”的取值范围及'的取 值范围. 试卷第2页（共3页） 3已知双线C学-家=16>06>0的有在点为人5,0). .x2y2 近线方程为广 2 (1)求双曲线C的标准方程： ②若斜率为*的直线'与圆+广-相切，与双由线S交于4，B两点，且O0B≥4（其中0为坐标原 点)，求k的取值范围 试卷第3页（共3页） E:xy 4.已知双曲线 a26F=1a>0,b>0 的焦距为2c,渐近线方程为y=士2√2x,右焦点F到直线 c 8 的距离为3· (1)求E的方程： (2)已知直线x-四+3=0交E于B,C两点，E的左顶点记为A,若AB/1CF,求弦长BCI. 试卷第4页（共3页） 5.在平面直角坐标系xO少中，一动直线1分别交y=一x,y=x于A,B(A,B横坐标同号)两点，且 △AOB的面积恒为4， (1)求AB中点M的轨迹C的方程； 8 (②)若直线y=2x+t交轨迹C于p,Q两点，△POQ的面积为3，求，的值 6.已知定直线L:x=2,点M在1右侧，且M到F(2,0)的距离与到1的距离之比为2，记其轨迹为曲线 试卷第5页（共3页） r (1)求「的方程： (②过F与x轴垂直的直线交「于A,C两点，过P的直线？交「于B,D两点若四边形ABCD的面积为 18V3l2 ,求的方程 7.已知A0,3),B(4,5)为双曲线c:。方1（a>0'6>0)上的两点 试卷第6页（共3页） (1)求C的离心率： (2)过点B的直线1与C的下支交于点P,若△ABP的面积为12，求l的方程. C:2 8已知双曲线C:3少=1 右焦点为F. (1)求双曲线的渐近线方程； 试卷第7页（共3页） 2知3， 点Q在双曲线C上且PQ不与坐标轴垂直，若aPQF为直角三角形，求aPQF的面积 9.已双曲线c:号-兰=0>a>0)的右信点为F20,斜率为的直线交C于AB两点，且B M(m,2m)(m≠0)） 的中点为 试卷第8页（共3页） (1)求C的方程： (2)是否存在实数m,使∠AFB=90°？若存在，求出m的值：若不存在，说明理由. C: 10.已知点F、5依次为双曲线C:云示=1(a>0,b>0) 的左、右焦点，且FF=6,B(0,-b), B2(0,b) 试卷第9页（共3页） ①考0=5，以=(43)为法向量的直线'经过8，求F到1的距离。 ②若双曲线C上存在点P,使得7，BP=2,求实数b的取值范围。 x2y2 1山.已知双曲线F:疗厅1(>0，b>0)的右焦点为F2,0,一条渐近线的方程为y=5x E (I)求E的方程. 试卷第10页（共3页） ②过直线=5x上一点P作直线，与E交于4,8两点 ①证明：当PA=PA时，P必与原点重合， i)求P4PB的最小值 12.己知双曲线E:mr2-w2=1经过点2W2,0842,V3) (1)求E的方程； 试卷第11页（共3页） 1:y=kx+b(k≠0) (2)设直线 经过E的右焦点，且与E交于不同的两点M,N,点N关于x轴的对称点为 P,证明：直线PM过定点 M:x 13.已知双曲线M27=1 N:y 1 与双曲线”3t的焦距相等 (I)求t的值及N的离心率. (2)设O为坐标原点，直线：y=x+mm≠0且k+m≠0)与N交于A,B两点. 试卷第12页（共3页） (若《=lm=5,证明：H8> (i)若直线OA,OB的斜率之积为-km,证明：直线l不经过V的左焦点. 4,F如双自线C号茶=a>0A>0的离心率。=2”无膜点A-L0-过C的右共点P作与转不 重合的直线1，交C于P、Q两点. (1)求双曲线C的方程： (2)求证：直线AP、AQ的斜率之积为定值： 试卷第13页（共3页） ③)设PF=F®，试问：在x轴上是否存在定点工，使得 示⊥（匝-0）恒成立？若存在，求出点T的坐 标；若不存在，说明理由. x2 y2 15.已知双曲线C。=1。 (a>0,b>0)的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P(2,1)在双 曲线C上. (1)求双曲线C的方程： (2)斜率为-l的直线与双曲线C的右支交于M、N两点（异于点P).求证：直线MP、NP的斜率之和 为定值. 试卷第14页（共3页） x2 y2 16.已知双曲线C.云下1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为5，，实轴长为25，点到双 曲线C的渐近线的距离为1，过的直线与C交右支于A,B两点 C (1)求双曲线C的方程： (2)证明：存在x轴上的一点M,使得MAMB为定值. 试卷第15页（共3页） 17.已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为0,25)，离心率为5.记C的上、下顶点分别为4,4， 过点0,4的直线与C的上支交于M,N两点 (1)求C的方程： ②直线4M和4N的率分别为K和，求+的最小值 试卷第16页（共3页） 直线4M与4N “与交于点P,证明：点P在定直线上. 18,已知双曲线C的中心为坐标原点，上焦点为0,25)，离心率为5.记C的上、下顶点分别为4，名， 过点(04) 的直线与C的上支交于M,N两点 (1)求C的方程： @直线1M和4W的斜率分别记为和，求证名=-3张 试卷第17页（共3页) )直线4M与4N 与交于点P,证明：点P在定直线上 19.已知双自线C号茶-a>0>0叭的条新近线的翁车为5左、有焦点分别为F（4,0),F4.0 (1)求C的方程， (②设x轴上方的点4，B分别在C的左支与右支上，若B=34求直线1的方程 试卷第18页（共3页） 已知双曲线C,尸 2W3 3 20. C存=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,R,离心率为3，且点2 3在双 曲线C上 (1)求双曲线C的方程： (②若双曲线上存在一点A,满足4派·=3，求点A到双曲线的两条新近线的距离之和。 试卷第19页（共3页） E:xy 21.已知双曲线a2h3=1(a>0,b>0)-)-x2=1 有相同的渐近线，且过点N(2,-V2) (1)求E的方程； a2 MF x= (2)设M为双曲线上任一点，F为双曲线右焦点，M到直线c的距离为d,求d的值： ③)已知O为坐标原点，直线-y+m=0与E交于P0两点，且 p-00=4,求"的值 试卷第20页（共3页） x2 y2 2.已知双曲线C:a京=1 (a,b>0)的一条渐近线方程为y=V3x,且过点(2,3).设A,B分别 是C的左、右顶点，M,N是C的右支上异于点B的两点， (1)求C的方程： (2)若直线MN经过C的右焦点F,且斜率为2，求aBMN的面积； (3③)设直线AM,BW 的翁率分别为，名，者2+6=0， 求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标 试卷第21页（共3页） 《【高二平面解析几何】08双曲线(2)》参考答案 1 2(2)不存在，理由为： 假定直线存在，设以1() P(x,y)(x2,2) 为中点的弦的两端点为 则有+x=2乃+为=2 衣A虹根据双曲线的对称性知·由点、 在双曲线上， X1≠X2 PO x2-y=22x号-y=2 得 两式相减得2(6+6x-)】-3+)0-)=0 -2=2 所以2×2(x-x)-2(y-2)=0,所以-x, 即以4 为中点的弦所在直线的斜率k=2, 放直线P0的方程为-1=2(x-),即2x-y-1=0. [2x2-y2=2 联立2x-y-1=0,消去y得2x2-4x+3=0, △=(-4)-4×2×3=-8<0 因此直线！与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在. x2 y2 【详解】（1山)解：因为双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的标准方程为。户=1(a>0,6>0) 答案第1页（共2页） 2a=2 a=1 为该双曲线的实轴长为，：一条渐近线斜率为、5，则√2，解得b 2、2 因此，该双曲线的标准方程为 21 (2)略 2.①F-5,0kme(-2,2) 20m-k-4mk+8=0。@m的取值范国@U,2,'的取值范围@U8o） T:x2、y2 =1 【详解】(1)对于双曲线 4 ,可得02=1，b2=4, 则c=a+=5,即=5 F(-V5,0) 因此左焦点 双曲线渐近线斜率为±2，B在右支上，当B趋向无穷远时，直线FB斜率趋近±2，且永远取不到±2， 因此ks的取值范围是(-2,2)， （2)0设切线方程为-2=(x-则，即=+2-，代入双曲线方程 4x2-y2=4 (4-k2)x2-2k(2-km)x-[(2-km)2+4]=0 整理得： 因为是切线，判别式A=0,化简整理得： (m2-1）k2-4mk+8=0 ②存在两条斜率存在的切线，说明上述关于k的方程有两个不相等的实根， m2-1≠0 因此：△=(4m)2-32(m2-1)=16(2-m2)>0, 结合m>0 ,解 得0<m<1或<m<5 所以m的取值范围为(0,1,2) 8 由韦达定理，m二， 当me(0,1)时，m2-1e(-1,0),得1三m2-<8 答案第2页（共2页） 878 当m0,2)时，m2-1(0,,得-m一>8， 因此1的取值范围为(-o,-8)U(8,+o). 【详解】(1)由题意知双曲线C的半焦距为：c=V5, ,0 y=± 2 b v2 又双曲线C的渐近线方程为二2得：a2,② 由a2+b2=c2,③ a2=2,b2=1 联立①②③解得： x2 故双曲线C的标准方程为：2严=】 (2)设直线I的方程为：y=k+m, m=1今m2=k2+1 因为直线1与圆x2+y2=1相切，则有：√k2+1 又直线I与双曲线C交于A,B两点， x2 2s1 联立直线，与双曲线C的方程得：y=:+m· 答案第3页（共2页） 消去'整理得：（1-2k)r-4mx-(2m2+2)-0 由A=(4m-4×1-2k2)x[-(2m2+2】 =16k2m2+16k2-8m2-8=16k2(k2+1)+16k2-8(k2+1)-8 =16k+24-16=822-+2>0,解得>2 设46.则5*=架%2 1-2k2, 由O1.oB=+=+(低+m,+m）=(1+k)x+mk+)+m -（1+k)2m2+2）+42m2+m2(1-2k）-(m2+2k2+2) 1-2k2 1-2k2 将m=3+1代入上式得：o:OB+2+2）《+1+2+2）2上4 1-2k2 1-2k2 3k2+ 化简得： 2k2- 2453张2+3 2k2-1 420→二70，解得：s 2k2-1 5 <ks压≤k互 即2 5或5 2, 所以k的取值范围为： y=kx+m x2、2 4.(1)8-1310 答案第4页（共2页） [b=22 a a28 【详解】(1)由题意知， 3C- c3· 解得 所以的方程为 c2=a2+b2 a2=1,b2=8 E x-my+3=0 8m2-1≠0 联立。整理得8m-y-48my+640 由△=(48m)2-4×64(8m2-1）>0,可 48m 乃+2= 8m2-1 *1 得 则 64 ;因为 8 B(x,y),C(x,2）h=8m2- A(-1,0),AB/CF 又直线-mv+3=0过点F(-3,0)nF6,0) 过点 ,且 所以HlFC=Al5F=1:3 所以片=3乃0，《也可利用斜率相等或向量共线得出=3别) 48m 4y-8m2-1 将①式代入得 64，消去得3×12m2 64 3=8m2-1 (8m2-128m2-1 解得m'、4 5 BC=+m=1+m+y2)-4y2 =V+m.16vm2+1_16(m2+) 16 8m2-18m2-l 3 答案第5页（共2页） r-y=4@1=4 5.(1) 【详解】)解：设1a,-o,B6,6,由题知b>0, 则S.aw=0Alo8=×V2ax5b==ab=4, 设Mk则x=2,y2”所以--+2a方心--4， 4 4 4 因此，B中点M的轨迹C的方程-=4 (2)解：设P(,）.Q3,) 格-2代-广4，数理r+40 代入 则a=(a-3x4+4到-4-480，解得>12与+=告5= t2+4 3· 由弦长公式可得： g=+-g- 4+9.5xm-48 3 3， .d--Ml_l 设点o到直线P0的距离为d,则“V2+(15, 所以s.n-jl@Id-5x其-g 3V53, 两边同时平方，化简整理得 4-1202-64=(-16(2+4)=0 解得=16或t2=-4(舍)，所以t=±4. 答案第6页（共2页） 【详解】（山设M(x),x> 2, Vx-2)2+y2 =2 因为M到F2.0的距离与到的距离之比为2，所以 x1 x-2 x2-4x+4+y2 =4 两边平方可得x2-x+ 1 4 所以x-4x+4+y=42-4+1 所以3x2-y广=3，所以2- 31, (2)由题意可知的方程为x=2,代入「的方程可得 (2,3),C(2,-3) 由愿意的斜率存在，所以设直线的方程为'=k(-2）, y=k(x-2) 联立-号1，可得6-r4松x-4状-3-0 42 五+6=3>0 设 ,所以 xx= 0 △=(4k2）-4×(3-k2)x(-4k2-3)>0 C(x,y),D(x2,y2) 所以<5或>5 简m水-房+矿-】 4k2) -4x42-3 3-k2 答案第7页（共2页） 3 16k4-4(-42-3)3-k2）3 36k2+36 (3-2) 2(3-2) 3 36k2+36 因为F为4C的中点.所以5D=2S4m=183,所以2(3-k2 =95 K2+1 =√3 所以(3-k22 整理得3-19+26=0解得-2（舍去）或2-号>3。 3 所以四 3，所以2的方程 3(-2) 7.四5Q,=2-3或少= 【详解】（山）将0,3)代入c的方程，得a=3将(4,5)代入c的方程，得9=1，即b=3 √a2+b e= 故离心率为 a (2)由题意知4=4+(5-3=25，直线AB的方程为x-2y+6=0 设点)到百或相的系g为g测S4=12,日d号。 答案第8页（共2页） xp-2yp+6_12 由点到直线的距离公式得√5 5,所以p-2yp+6=12 又点P在C的下支上，由知片-=9，且<0 xp-2yp+6=12 「xp=0xp=-4 由y2-x,2-9,解得yp=-3或yp=-5, xp-2yp+6=-12 由y2-x,2=9，得y,2-24y+111=0,解得yp=12±33>0，舍去 所以点P的坐标为0，-)或4，-)， 当P0,-3)时，直线的斜率为K=0=2,所以方程为：y=2x-3 4-0 当P4到时，线，的率为=留-手所以方思：-5=-，即y 5 5 所以直线的方程为y=2x-3或y=4x &0=号p92西 a2=3,b2=1mma=V3,b=1 【详解】(1)由题意知， ，则 所以双曲线的南近线方程为”-±名=士 -x 3 男知50，.已作 点O在双曲线c上且PO不与坐标轴垂直，则∠FPQ≠ 2 O当P四时，将，)代入双曲线方程可得2±氵A 答案第9页（共2页） ②当∠F0P=2时，设Q(,）), @=(-2w.P顶=片】 则 FoP0=k-2)%=0 2%t39, 6 =×14-2x59_239 则5w23 69 VA 452V39 故aPOF的面积为9或9· 1 9.(1)x2-y2=2(②)存在；m=6 6 【详解】(1)如图，作出符合题意的图形， x设 ,则 A(x,乃）B(x2,y2) a2 b2 当-业.乃+h=b2 14m_b2 两式相减得-xx+5a,即22ma,则a2=b2. 又4+=4，所以0==2，故C的方程为 2-y2=2 (2)设直线4B的方程为y=2x+t, 答案第10页（共2页) [x2-y2=2, -*60-a-f-20. 测4北+小-6>0且-，+贵 3 假设存在m∈R,使1B=90°，则团，历=0， 1 因为=(G-2,y),F历=(3-2)，且%=2x+,h 2+1, 丽历=6-2-2沙+=5+任-2+*+4=0 所以 5-42-8+t-4.4t++4=0 t= 故43 23 ,整理得-4t+1=0,解得4 由2m=空+4，解得m=石放存在m=石，使∠AF=90 1 uwe受 18 【详解】(1)依题意，c=3,b=V9-5=2 则双曲线C:￡上」 :54=1,80,-2F6,0 、因为直线的法向量为n=（4,3),所以直线/的斜率k=-, :4x+3y+m=0B,(0,-2), 设直线 ，将 代入解得：m=6, d=4×3+3x0+6_18 此时1：4x+3y+6=0,F到1的距离为”V42+325; (2)设双曲线上的点P》满足P,A,P=-2, P=(x.y+b)B.P=(x.y-b) 所以BPP=r+)-B=-2,即+广=-2 答案第11页（共2页） x2 y2 区多-，02-22沙2 时2a9≥a2,且。2=g∴2b2-229→6≥2 2 V22 又因为6<c=3,·实数b的取值范围是2,3刃 B . 31 （回（①方法一：设P6,易知直线1的斜幸一定存在，设：）=-0+v51 3x2-y2-3=0 由y=kx-)+V3,得6-k2)x2-2k(5-kx-(N3-k2-3=0 3-k2≠0 △>0 设 ,则 2kt(3-k) A(x,y)B(x2,y2) +x2= 3-k2 PA=PB+ 2k5-2=21 3-k2 ,整理得(N3k-3)t=0 3-k2≠0k≠±31=0 ,即点P与原点重合 答案第12页（共2页) P(xo,yo)A(x,)B(x2,y2) 方法二：设 3 3,作差可得仍-2y+)=3x-x:+). p=P=整，%》 2，.(0-2)y=3(x-x2)x’ 又%=5x,0-⅓水=V(x-名 由题意知，直线1的斜率一定存在，且斜率不能等于5，即乃VB(,-), .x=0y0=0 ,即点P与原点重合 (ii)1 。,b=5 【详解】(1)设E的半焦距为c(c>0)由题知c=2,a b=V3aa2+b2=a2+(N3a)2=4a2=c2=4a2=1.b2=3a2=3 x22 1 “E的方程为3 (2)(i)略 (i面设PV 当1与x轴垂直时，1：x=>》,设点4），则B.=）, .PAPB=V3-3+=32-i 又点4在B上，-等=1，即对-听=3，P4P9=3 3 3x2-y2-3=0 当的斜率存在时，由y=k(x-)+V3得(3-k2)x2-2k3-k)x-(3-k-3=0' 答案第13页（共2页） [3-k2≠0 △>0 ,则+5= 2(V3-k) 3-k2 A(x,)B(x2,y2) =5--3 3-k2 PA-PB=1+2+2x=(1+k2)2-+x+ =029.5,-,当-0等9 3-k2 综上，PP 的最小值为1. 12,09y▣ @油1)知8的右焦点为3,0)，则：)=(-3列 y=k(x-3), 联立5=1简去得，-+48-72-80 设M(,N(G为)小.则1-8≠0A>0,即 8 48k2 72k2+8 故+8二，5 -8k2-1. 因为点N关于x轴的对称点为P,所以P(,)】 y-y=4+(x-x) 则直线PM的方程为 x-x2 根据对称性可知，直线PM经过的定点必在x轴上， 令y=0,得 x=-y+5=5+业-kG-3+xk飞-3) y+y2 +y2 k(x-3)+k(x2-3) 答案第14页（共2页) 2k72k+8-348k2 -26-3G+5)=82 8k2-1 k(x+x2)-6k ←48K2 8k216 2× 48k2 ,叶x=8k2-13x。 8k2-1 当且， k0≠8 48k2 144k2+16-144k2 =8, 8k216 482-(48k2-6)3 所直线PM过定)0人 〔1 8m=l, m=8 【详解】(1)由题意可得 x2 32m-3n=1解得n=1所以B的方程为g-y=1 (2)略 13.(1)=65 (2) 设1，B(,) x2 y2 ①证明：将y=x+5代入361，得2-25x-9=0, 则5+5=25，=-9,4=12+36>0 所以4=1+及VG+x'-4x5=V2xV48=V6>V95 x2 y2 )将y=c+m代入专着-得2-)2-2r-(m+6)=0. 则2-≠0，△=4m+4(m+62-k2）-8(m2-32+6)>0 2km m2+6 x+5=2-5= 2-k2 答案第15页（共2页） ko=,kos=兰， =52，“ko4kog=-hmy 2-(+m）+m）-kam ∴.XX2 刺aj+a(6*动=-+如g+w 0整理得6k2-2m=m(m2+6) N的左焦点的坐标为3,0)，假设直线经过N的左焦点，则州=3认， 则62-18=-3k2(9k2+6) 因为km≠0，所以k≠0，所以4=9k2+6,即9k2=-2, 这与9k2≥0矛盾，所以假设不成立，故直线不经过N的左焦点 【详解】(1)依题意可得2+7=3+t,解得t=6, N a2=3,b2=6 所以双曲线中， 6,则c2=a2+b=9 (2)略 x2、2 14,03=1 (2)由题意 知F(2,0).设直线：x=mv+2, 与双曲线方程联立得3m-)严+12my+9=0 △=(12m)2-363m2-1=36m2+36>0 答案第16页（共2页） 12m 乃+y2= 3m2-1 设 则 9 P(x,)Q(x2,2) yy2=3m2-1 故直线AP、AQ的斜率之积为 9 .2 VV2 1y2 3m2-1 一=-1 x+1x2+1(my+3)(my+3)m2y2+3m(y+y2)+99m2 -12m +3m 3m2-1 +9 3m2-1 (3)存在， 【详解】(I)设双曲线的半焦距为C. 由题意知a=l,c=ea=2.故b2=c2-a2=3, 所以，双曲线C的方程为一了1 (2)略 =- (3)由题意知(2-，乃)=2(：-2，乃)，得. 设T,0)）,则P-0=(-)-as-)y-) 亦1m-@)即F(匝-0)=0」 又邪-60，即g小6少-0，解得=受。 所以受 y2 y+4=2m+20y+2=2m.9+2=} 1--h y+y y+y2 -12m 2, (y2 度在x轴上存在定点0。使得严-网恒成 答案第17页（共2页） 15.(四2少2=1 x2 ②如图，设点M(,）、N,）,设直线M的方程为=+m, 因为点P不在直线MN上，则m-1≠2，可得m≠3， y=-x+m 联立2-=l,消去y可得2-4mr+2(m2+1=0, 则△=16m-8(m+刂=8m-小>0，解得m<-1或m>1, x+x2=4m>0 由题意可得x=2(m2+1)>0,所以m>1且m≠3 +6p=+h1三二出+m-lt5tm- 所以 x-2x2-2x-2 x2-2 =m-3-(s-2,m-3-(s-2) x-2 x2-2 =m-3+m-3-2=m-3x+4)-2=m-3x+54-2 x-2'x2-2 (x-2)(x2-2) xx2-2(x+x2)+4 （m-3(4m-4)-2=4m-100m-3引-2=0 2(m2+1-8m+42(m-1)(m-3) 即直线MP、NP的斜率之和为O C详解】（①双曲线C的右焦点为FC0,浙近线方程为y=士，即c土心=0 bebe =b=1 所以焦点F到一条渐近线的距离为Vb2+a2c 答案第18页（共2页） 因为点P)在双线C上，所以产-11，解得。万： x2 故双曲线C的标准方程为2严=】 (2)略 16.()3-y=1 (2)证明见解析 【详解】(1)解：因为实铂长为25.故=5 ,2V3 -bc 而点到风曲线C的渐近线的矩离为1，故+。6=1， x 故双曲线的方程为： 32=1 (2)证明：设C为半焦距，则C=V3+1=2,故5(2,0)， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设：x=少+2,4：，少)，B(5,山)】 x2-3y2=3 由x=y+2可得(y+2)-3y2=3即(-3)y2+4y+1=0, 故4=16r2-42+12=12+12r>0且y=2一3<0， -4t 所以-5<1<5，又%+%=2-3 设M(m,0）,则=(G-m),M=(G-m) 故M.M沥=(G-m-m)+X%=(+2-m6,+2-m）+ =(+1)yy+t(2-m)(g+y2)+(2-m) =e+3*2-m"+2-m 答案第19页（共2页) =（4m-7）r2+1 t2-3 +(2-m)2 4m-71 5 MA.M为定值当且仅当1=-3，故m=3, M 敏存在轴上的一点”行0 2 使得MA·MB为定值且定值为9. y2 x2 =1 17.(1)416(2)-1(3)证明见解析 y2 x2 【详解】(1)设双曲线的标准方程为F=1(a>0,b>0) e=e=5 a 由题意可得 c2=a2+b2 ,解得 c=2V5 a=2b=4 y2 x2 所以双曲线的标准方程为46 （2)双曲线的上下顶点为4(02），4(0-2），设直线MN的方程为”=c+4, 设M(,).N(,) y=+4 联立 y22，消去，可得 =1 、416 y(4k2-1)x2+32kx+48=0 32k 48 则5+x=4k2-1,5=4k2-i,且42-1<0： 答案第20页（共2页) 3 所以x2= 2+5), 入 A P k=-2.为-=a+2.x=@西+2x= 6x+)+2x1 以k2xy2+2+62+6-(x+x2)+6x 所以3所以+名=-2站传--1， 2 所以当飞=1时，+专人的最小值为-1： (3)直线4“的方程为 y=kx+2 AN =k2x-2 ,直线的方程为 y=kx+2 y-2-k=- 联立y=kx-2,得y+2k23,解得y=1, 即点P在定直线上y=1 y2 x2 18.(1)416(2)-1 3) 直线的方程为=x+2南4N AM y=kx-2 ,直线的方程为 y=kx+2 y-2k=- 联立y=kx-2,得y+2k3,解得y=1, 即点P在定直线上y=1. y2 x2 【详解】（1)设双曲线的标准方程为云示-1a>0,6>0 答案第21页（共2页） e=c=5 a 由题意可得c2=a2+b ,解得 c=2√5 a=2,b=4 y2 x2 所以双曲线的标准方程为4161： (②)双曲线的上下顶点为402)，4Q,-2),设直线MN的方程为=c+4,M(G,以w(,）, y=a+4 y2 x2 联立4161，消去y,可得4秋-2+32+48=0 32k 48 则+=46=4二，且42-1<0 3 所以=2x+), k--2,为-+2.为-西+2五= 2+3)+2x1 所以房+2青+6+6-+)+6 3 3 所以k3=-3k; (3)略 x2 y2 =1 19.(四412(2)15x-y+415=0 x2 y2 b 【详解】山）双曲线亡一尔的渐近线方程为 =士-x b=5 a,依题意， ,可得b=V3a. 由焦点坐标可知c=4,而a2+b2=c2,即a2+3a2=16, ,b=2V3 解得0=2，所以b 答案第22页（共2页） x2 y2 所以c的方程为4121， （2②设4），%>0.B(,）而5(4,0)，B(40), 则B=(G-4y)A-(6+4,) x-4=3(x+4) x=3x+16 由FB=3FA,得y=3y,解得4=3y,即得B(3x,+16,3y), 五监= 412 依题意， B+16_B-L解得入即 4 12 =5,A(-3,⑤) :y-0x+4 又F(4,0),所以直线AE的方程为15-0=-3+4，整理得V5-y+4W5=0: x2 20.(0①3-y2=1 Q 23 2.5 【详解】(1)因为双曲线c的离心率为3，且点，3在双曲线C上， 答案第23页（共2页） c25 5)2 3 3 a2=3 所以a -=1→ b2=1 b2 所以双曲线的方程为 c2=a2+b2 c2=4 C 321 (2)由(1)可知a=5,b=1c=2 所以双曲线的渐近线方程为y=士万 5x,即x-5y=0和x+5y=0: 双曲线的左右焦点坐标分别为F(-20),F20)设4，小亨-=1 因为丽=3 所以2--%)(2-，)=3→(-2-x)2-)+(←}=3 [x+=7 [x=6 即+好=7：于是有 车-g=196=1, 3 由双曲线的对称性，不妨取4(6，】 6-同6+56-5+6+5-6 所以点，到双曲线的两条渐近线的距离之和为1P+(2+( 22 A x2 y2 =1 21.()36(2)V5 (3)±4 【详解】(1) 答案第24页（共2页) x-y+m=0 的渐近线方程为 ,所以 ①， 卫-=1 y=±V2x b=2 a 42 因为双曲线E过点N(2,5),所以。存-1②. [a2=3 联立①②得b2=6, x2 y2 所以E的方程为36=1 四由行50，三，a以.则等吾1好-2-6. MF=Vx-3}+6=V号-6x+9+2x-6=5x-1,d=x。-1, ME-3-l-5 所以dx。-1 （父y=1 36 (3)联立 k-y+m=0得x-2x-m2-6=0' △=(-2m)2-4(-m2-6)=8m2+24>0 设P(,4）,(）,则+=2m,x6=-m-6 yy2=(x+m)(x2+m)=xx2+m(x+x2）+m2=-m2-6+2m2+m2=2m2-6 0p.00=xx2+y2=-m2-6+2m2-6=m2-12=4 解得m=±4.。 答案第25页（共2页) 202-若-lg65 (③)方法一由题意得，MN的斜率不为0， M 设MW为x=my+t.M(,y）N(:,) x=my+t ie2-号-1.得6r-p+6+r-3=0, -6mt 3t2-3 所以3m2-1≠0，且 y+y3m2-,y3m. 因为-兰-1,41,0：B0,0: 3 如音高是 3 又头+=0，如，质 kkw=当=-6 x-1x2-1 即4=-6(my+i-(m+t-） 整理得6m+小+6m(-1+)+6t-=0 所u6w0子6n-06--0, 化简得t2-4t+3=0,解得t=1或3， 当=1时，MW的方程为=m+1,此时MN过点B(L ,不合题意， 答案第26页（共2页） 当=3时，MN的方程为=my+3,此时MW过点B,0),符合题意， (3,0) 所以MN恒过定点 3,0) 方法二由题意得，MN的斜率不为O, 设MN为=mw+1.M(,片）N(,) x=my+t 白-号=1，得m-p2+6m+3-3=0: -6mt 所以3m210a+以3=3m21yy-3m21. 2y+2=0 又2k+k=0,即x+1为-1， 2y(x2-1)+y2(x+1)=2y(my2+t-1)+y2(my+t+1)=0 整理得 myy2+2(t-1)y+(t+1)y2=0 即3m%+2(-10+⅓)--3)y=0 所以+2-3--%=0， 3m2-1 a0小-3- 当⅓=3m-1) -6mt -6mt,3m(t-1)3m(t+1) -3m-,y3m-h=3m-t3m-=-3m-, 时锅 3m(t+1)3m(t-1)）3m23t2-3,3t2-3 3m2-1 3m2-1厂3m2-13m2-13m2-1, 3m(t-1) 所以2≠一 3m2-1’ 所以1=3，此时N的方程为=mw+3,所以MN恒过定点 3,0) 答案第27页（共2页） b-5 【详解】(1)由题意得49，解得=1， (a261 b=√3 x2、2 所以C的方程为一31 (2)由题意 (2,0) ,直线W的方程为"=2(r-2,即2x-y-4=0. y=2(x-2) 设M(x,y),N(x,2),由3x2-y2=3,得x2-16x+19=0, 所以+3=165=19 则MN=V1+(2)-=V1+(2V(:-x'-4x=V1+(2°V162-4x19=5x6W5=30, 2-25 又点BL,0)到直线MN的距离为=店氵， 所以。BMN的面积为S=方Nd=65】 (3)略 答案第28页（共2页)