专题06 圆（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题06 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）已知的半径，则点P与的位置关系是（       ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半径是弦 4．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 6．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（       ） A.  B.  C. 7 D. 8 7．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，的半径为，，则弦的长为　　　　　． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（       ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，⊙P与y轴相切于点C(0，3)，与x轴相交于点A(1，0)，B(9，0).直线y=kx-3恰好平分⊙P的面积，那么k的值是       (       ) A.  B.  C.  D. 2 4．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）学习圆的知识后，小明同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径，弦，请你计算求出直尺的宽度． 6．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 7．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    （1）作于点，求的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 9．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸），直径于点．则这根圆柱形木材的直径的长为　　　　　　　　寸． 10．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，是的直径，弦于，若，则的长是　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 12．（25-26学年九上·吉林延边·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 13．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，是的直径，弦于点E，，，连接．求的长． 14．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 15．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 16．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F， （1）若，求证：． （2）若，，，求的长． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 4．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，，求证：． 5．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 6．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）某校为了解九年级600名学生周末在家课外阅读的情况，在该校九年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末用于课外阅读的时长进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟） 【收集整理数据】 男生：25，32，32，40，45，56，60，66，68，69，70，70，70，80，88，90，95，97，102，105． 女生：29，35，35，48，55，56，60，60，65，70，72，75，80，88，88，88，90，98，99，109． 【分析数据】数学兴趣小组统计了两组数据的平均数、中位数和众数，并按A，B，C，D四个等级对女生课外阅读情况绘制了不完整的扇形统计图（说明：A级：不高于49分钟，B级：50分钟分钟，C级：70分钟分钟，D级：不低于90分钟），如下： 组别 平均数（单位：分钟） 中位数（单位：分钟） 众数（单位；分钟） 男生 68 a 女生 70 b 88 根据以上信息解答下列问题： （1）______，______． （2）在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是______度． （3）如果该校九年级共有男生320人，请估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数． 7．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 8．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 9．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为　　　　　　　．（只考虑小于的角） 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，，是的半径，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，是的外接圆，点在上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，点在上，，则(       ) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图， 为 的直径，已知圆周角 ，则 （       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，都是的弦，且．若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图四边形内接于，连接．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（       ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 15．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为（     ）． A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点在半圆上，点的读数分别为，则的大小为　　　　　　　度． 20．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，是的直径，的半径为，的长为，求弦的长． 21．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，已知是圆内接三角形，若，则　　　　　　度． 22．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 23．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，是的直径，D，C是上的点，，则　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的上找一点D，使得． （2）在图②中的上找一点E，使得平分． （3）在图③中的上找一点F，使得． 25．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，四边形内接于，若，则　　　　　　． 26．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 27．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，标出的外接圆圆心O． （2）在图1中，作与互补，且点D为格点． （3）在图2中，在上找一点M，连接，使． 28．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，已知是的直径，点，在上，．若，求的度数． 29．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 30．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，连接，若，则　　　　　　　　　度． 31．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点D，使得． （2）在图②中的圆上找一点E，使得平分． 32．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，图、图、图都是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点、、均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图中标出圆心； （2）在图中的上找一格点，使得； （3）在图中的上找一点，使平分． 33．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）（多选）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E． （1）求证：∠CDB=∠A； （2）若BD=5，AD=12，求CD的长． 34．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，若，求的度数． 36．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． （1）______； （2）判断的形状，并证明你的结论． （3）当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 37．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． 38．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，是的外接圆，，且且恰好经过圆心． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 39．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为　　　　　　米． 3．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为　　　　　　　　　　cm． 5．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）若一个圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为　　　　． 7．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为　　　　　　　　　　　　　．（结果保留） 8．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，四边形内接于，连接，，，若的半径为3，则的长为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）一扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 11．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　（结果保留π）． 12．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，，，是上的三点，，，． （1）__________． （2）求阴影部分的面积． 13．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，在中，，，．以C为圆心，为半径画弧，分别交，于点E，D，求图中阴影部分的面积． 14．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 15．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A、B在大圆上，点C、D在小圆上，和的长度分别是．若扇形和扇形的面积相等，则的大小关系是：　　　　　．（填“>”“<”或“=”） 18．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 19．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点．，，，则长为　　　　　　　　（结果保留）． 21．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，定滑轮上一点P旋转，则物体上升的高度为　　　　　　．（结果保留） 22．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放在一起，上面这张纸片绕着直径的一端顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，点的对应点为点，圆心的对应点为点，弧与直径交于点，连接点与圆心，求弧的长． 23．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， （1）过点作，交于点，若，求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 24．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）直接写出点B关于原点对称的点的坐标_____； （2）画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； （3）求点A经过的路径的长（结果保留根号和π）． 25．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是　　　　　　．（结果用表示） 26．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 5大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）已知的半径，则点P与的位置关系是（       ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 2．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最长的弦为直径，即可求解． 【详解】 解：∵的半径为， ∴的直径为， ∵是的弦， ∴， ∴弦的长不可能为． 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半径是弦 【答案】C 【分析】 掌握圆的基本概念是解题的关键，注意区分弦、直径、弧和半径的定义． 根据圆的基本概念，弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦且是圆中最长的弦；弧是圆上两点间的部分，不一定是半圆；半径不是弦． 【详解】 ∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径； ∴ A错误． ∵ 弧是圆上两点间的部分，半圆是弧的一种，但弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆； ∴ B错误． ∵ 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，因为任何其他弦的长度都小于直径； ∴ C正确． ∵ 半径是从圆心到圆上一点的线段，而弦需要两个端点都在圆上； ∴ D错误． 故选：C． 4．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最大的弦为直径，即可求解． 【详解】 解：的半径为， 的直径为， 是的弦， ， 弦的长不可能为， 故选：A． 5．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【分析】 根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】 解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆．    D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选D． 【点睛】 圆的认识． 6．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，为的高，，，点是上一动点，连结，取的中点，连结．若的半径为2，则长的最大值为（       ） A.  B.  C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 连结，根据等腰三角形的三线合一得到，由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，当取最大值时，长度最大，求出的最大值，即可求解． 【详解】 解：如图，连结， ， 为等腰三角形， 为的高， 为的中点， ， 在中，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， 当取最大值时，长度最大， 点是上一动点， 当过圆心时，最大， 此时， 长的最大值为． 故选：． 【点睛】 本题考查点和圆的位置关系、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线定理，明确当取最大值时，长度最大是解题的关键． 7．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等． 由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到 【详解】 略 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的相关性质，等边对等角，三角形内角和定理．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，的半径为，，则弦的长为　　　　　． 【答案】4 【分析】 利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得． 【详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为4． 【点睛】 本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】 解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意．   故选：B ． 2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（       ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查圆的概念辨析，垂径定理，根据点的位置，为半径时，最长，时，最短，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】 解：当点与点或点重合时，为半径，长度最长为5； 当时，由垂线段最短，可知此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长可能是； 故选C． 3．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，⊙P与y轴相切于点C(0，3)，与x轴相交于点A(1，0)，B(9，0).直线y=kx-3恰好平分⊙P的面积，那么k的值是       (       ) A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-3即可得出结论． 【详解】 连接PC,PA，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C(0，3)，∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形,∴PD=OC=3,∵A(1，0)，B(9，0)，∴AB=9-1=8，∴AD=AB=×8=4,∴OD=AD+OA=4+1=5，∴P(5，3)，∵直线y=kx-3恰好平分⊙P的面积，∴点P在直线y=kx-3上，∴3=5k-3，解得．故选A． 【点睛】 本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论． 4．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】 解；如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 5．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）学习圆的知识后，小明同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径，弦，请你计算求出直尺的宽度． 【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 连接，过点O作，垂足为H，在中，用勾股定理即可求出结果． 【详解】 解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为． 6．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】 本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】 解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 7．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，如图，先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】 解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    （1）作于点，求的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】（1）的长为     （2）水面截线减少了      【分析】 本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为； (2) 小问详解： 如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了． 9．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸），直径于点．则这根圆柱形木材的直径的长为　　　　　　　　寸． 【答案】26 【分析】 此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理得到尺寸，，利用勾股定理列方程求出半径，即可得到答案． 【详解】 解：连接， 由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆柱形木材的直径长为26寸． 故答案为：26 10．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，是的直径，弦于，若，则的长是　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解． 【详解】 解：连接， ∵是的直径，弦于，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：12． 11．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）的直径是      【分析】 本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 12．（25-26学年九上·吉林延边·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．    素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．    问题解决： 任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长 任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行． 【答案】任务1： ； 任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，可共挂8盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是； 任务3： 半径； 任务4：船体在圆弧的拱顶正下方可以通过 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式； 任务2：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 即可解答； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D，得出，则，设该圆的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 任务4：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答． 【详解】 解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， ∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    任务4：由任务3可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过． 13．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，是的直径，弦于点E，，，连接．求的长． 【答案】1 【分析】 本题考查的是垂径定理，勾股定理，熟悉垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据题意，再在，利用勾股定理求得，再根据即可． 【详解】 解：是的直径，弦于点E，，， ， 在中，，即，解得， ． 所以的长为1． 14．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如图，这是摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接、，已知，碗深，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 15．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 【答案】半径的长为． 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．根据题意，设半径，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：设半径的长为， ∴， ∵弓形高， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 答：半径的长为． 16．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F， （1）若，求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即；     （2）4      【分析】 此题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出，得到，进而证明即可； （2）首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】 解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】 略 4．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系以及等腰三角形的判定，熟练掌握等弧所对的圆周角相等、等角对等边是解题的关键．要证明，可通过证明来实现，需利用弧与弦的关系以及圆周角定理相关知识，结合已知进行推导． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 5．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 【答案】证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 【分析】 过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 6．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）某校为了解九年级600名学生周末在家课外阅读的情况，在该校九年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末用于课外阅读的时长进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟） 【收集整理数据】 男生：25，32，32，40，45，56，60，66，68，69，70，70，70，80，88，90，95，97，102，105． 女生：29，35，35，48，55，56，60，60，65，70，72，75，80，88，88，88，90，98，99，109． 【分析数据】数学兴趣小组统计了两组数据的平均数、中位数和众数，并按A，B，C，D四个等级对女生课外阅读情况绘制了不完整的扇形统计图（说明：A级：不高于49分钟，B级：50分钟分钟，C级：70分钟分钟，D级：不低于90分钟），如下： 组别 平均数（单位：分钟） 中位数（单位：分钟） 众数（单位；分钟） 男生 68 a 女生 70 b 88 根据以上信息解答下列问题： （1）______，______． （2）在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是______度． （3）如果该校九年级共有男生320人，请估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数． 【答案】（1）70，71     （2）72     （3）56人      【分析】 （1）根据中位数、众数的意义求解； （2）用360度乘以D级女生所占的比例即可； （3）用该校女生的人数乘以D级女生所占的比例即可． (1) 小问详解： 解：20位男生周末用于课外阅读的时长中70分钟出现3次，出现次数最多，所以众数为分钟， 20位女生周末用于课外阅读的时长的中位数为第10，11两个的平均数，即分钟， 故答案为：70，71； (2) 小问详解： 解：20位女生周末用于课外阅读的时长中D级有4人， 所以在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； (3) 小问详解： 解：该校九年级共有男生320人，该校有九年级600名学生， 所以估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数为人． 【点睛】 本题考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，由样本所占百分比估计总体的数量等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】 略 8．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 【答案】（1）80     （2） 补全图形如下：      （3）     （4）300      【分析】 本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． (1) 小问详解： 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； (2) 小问详解： 由； (3) 小问详解： 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； (4) 小问详解： 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 9．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为　　　　　　　．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】 此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】 解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是圆周角定理．根据邻补角的定义求出的度数，根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半”求出的度数． 【详解】 解：，， ， ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结论． 【详解】 解：， ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 4．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，，是的半径，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 5．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．根据圆内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，是的外接圆，点在上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理．根据圆周角定理解答即可． 【详解】 解：∵点在上，， ∴． 故选：C 7．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【详解】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，点在上，，则(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据圆周角定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,即可得出结论． 【详解】 解：∵在⊙O中,，点D在⊙O上，∠CDB=25°， ∴∠AOB=2∠CDB=50°． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 9．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】 解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 10．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图， 为 的直径，已知圆周角 ，则 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了圆周角定理，根据为直径，直径所对的圆周角是直角求得的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等求得的度数即可． 【详解】 解：∵为直径， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 11．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 12．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，都是的弦，且．若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了同弧所对的圆周角相等，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图四边形内接于，连接．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选：C． 14．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（       ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】D 【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解. 【详解】∵为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴=∠AOB =×60°=30°. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键. 15．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和． 根据内接四边形的性质得出的度数，再由点是的中点，得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 16．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 17．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据圆内接四边形的性质得到， 因为，则，，利用圆周角定理即可得到的度数． 【详解】 解：四边形内接于，， ， ， ， ， 故选：C． 18．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，是的直径，点、为上的点．若，则的度数为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是解题的关键． 由圆周角定理可得，从而可求得，再根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 19．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点在半圆上，点的读数分别为，则的大小为　　　　　　　度． 【答案】25 【分析】 本题主要考查圆周角定理．根据题意，连接，由题意得：，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， 由题意得：， ∵与都对， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，是的直径，的半径为，的长为，求弦的长． 【答案】 【分析】 先根据圆周角定理由是的直径得到，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】 解：是的直径， ， 在中，，， ， 即弦的长为． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，也考查了勾股定理的运算． 21．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，已知是圆内接三角形，若，则　　　　　　度． 【答案】 【分析】 由，，根据等边对等角，即可求得，又由三角形内角和定理，求得的度数，然后利用圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 22．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 23．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，是的直径，D，C是上的点，，则　　　　　　　　． 【答案】25 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，先求出，再根据是的直径，求得，最后根据圆周角定理即得答案． 【详解】 解：， ， 是的直径， ， ． 故答案为：25． 24．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的上找一点D，使得． （2）在图②中的上找一点E，使得平分． （3）在图③中的上找一点F，使得． 【答案】（1） 如图所示．（答案不唯一）              （2） 如图所示．（答案不唯一），      （3） 如图所示．如图，，点F即为所求， 【分析】 本题考查了格点作图，圆周角定理． （1）根据圆周角定理即可解答； （2）根据网格的特点取格点N，可得，根据等腰三角形三线合一性质可证，最后根据垂径定理即可解答； （3）取格点，使得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 25．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，四边形内接于，若，则　　　　　　． 【答案】70 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】 解：∵四边形内接于，， ∴． 故答案为：70． 26．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】 本题考查了同弧所对的圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数． 【详解】 解：， ． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，标出的外接圆圆心O． （2）在图1中，作与互补，且点D为格点． （3）在图2中，在上找一点M，连接，使． 【答案】（1） 解：如图1，点即为所求；     （2） 解：如图1，点即为所求；      （3） 解：如图2，点即为所求； 【分析】 本题考查圆的确定，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用网格特点，中垂线的判定，作的中垂线，交点即为点O； （2）根据圆内接四边形的对角互补，以及到圆心距离相等的点在圆上，确定点即可； （3）根据垂径定理和圆周角定理可知：的中垂线与的交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由网格特点和勾股定理可知：， ∴四点共圆， ∴与互补； (3) 小问详解： 由图可知：， ∴， ∴． 28．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，已知是的直径，点，在上，．若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题的关键． 利用圆周角定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 29．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，在中，弦、交于点，且．求证：． 【答案】证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】 略 30．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，连接，若，则　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，根据三角形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】 解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 31．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点D，使得． （2）在图②中的圆上找一点E，使得平分． 【答案】（1） 解：如图① ，点D即为所求（答案不唯一）；      （2） 解：如图② ，，即为所求． 【分析】 本题考查圆周角定理，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角定理得到在线段右边的圆上任意一点都满足． （2）取线段中点，直线与圆的交点即为，此时平分． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，图、图、图都是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点、、均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图中标出圆心； （2）在图中的上找一格点，使得； （3）在图中的上找一点，使平分． 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求；      （2） 解：如图所示，点即为所求；      （3） 如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了网格作图，涉及圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握网格中的基本作图方法和相关性质定理． （1）利用勾股定理的逆定理可得到，则为的直径，取的中点即为圆心； （2）在劣弧上任取一点，根据圆内接四边形的对角相等即可得解； （3）取线段与网格的交点，过点、作射线与的交点即为点，易知点为的中点，由垂径定理可得平分． (1) 小问详解： ，，， ， ， 为的直径，的中点即为圆心； (2) 小问详解： 在劣弧上任取一点，则与互为圆内接四边形的对角， ； (3) 小问详解： 取线段与网格的交点，过点、作射线与的交点即为点， 易知点为的中点， ， ， 平分． 33．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）（多选）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E． （1）求证：∠CDB=∠A； （2）若BD=5，AD=12，求CD的长． 【答案】（1）∠CDB=∠A；（2）CD=． 【分析】 （1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等得出结论； （2）根据直径得出∠ADB=90°，根据勾股定理得出AB的长度，根据等面积法求出DE的长度，根据垂径定理可得CD=2DE，求出CD的长度． 【详解】 （1）∵AB为直径， ∴AB⊥CD， ∴， ∴； （2）∵AB为直径， ∴， 又∵BD=5，AD=12， ∴AB=13， 又∵AB⊥CD， ∴， 又∵AB为直径，AB⊥CD， ∴． 【点睛】 考点：垂径定理的应用. 34．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】 解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，． （1）求的半径长； （2）如图1，若，求的长； （3）如图2，若，求的度数． 【答案】（1）2     （2）     （3）      【分析】 本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先根据勾股定理求出的长度，然后根据的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，即可求解； （2）设与相交于点E，根据等面积法求出，然后根据垂径定理求解即可； （3）证明是等边三角形，得出，根据勾股定理的逆定理证明，结合等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． (1) 小问详解： 解∶∵，，， ∴， ∵， ∴是是直径， ∴的半径为； (2) 小问详解： 解：设与相交于点E， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∵，是是直径， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 36．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． （1）______； （2）判断的形状，并证明你的结论． （3）当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 【答案】（1）60     （2） 是等边三角形． 证明：， ． 由（1）得． ． ∴是等边三角形；     （3）菱形．      【分析】 （1）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明即可； （3）如图所示，连接，，设与交于点D，根据题意证明出和都是等边三角形，得到，即可得到四边形是菱形． (1) 小问详解： ∵ ∴ ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，连接，，设与交于点D ∵当点O落在上时， ∴ ∵ ∴和都是等边三角形 ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】 此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 37．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵四边形、四边形 均为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形；     （2）      【分析】 （）由平行四边形的性质可得，，，，即得到，，进而即可求证； （）由圆内接四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质可证，即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形 是的内接四边形，， ∴， ∵四边形、四边形 、均为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴． 38．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，是的外接圆，，且且恰好经过圆心． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．     （2）2      【分析】 （1）连接，利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论； （2）连接，直径所对圆周角，中，，则，可证．则，进一步得到，即可得的半径为2． 本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接． 由（1）得， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 即的半径为2． 39．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 根据正方形的性质可得，结合，可得，故① 符合题意；证明，可得，故② 符合题意；当时，，可得，，可得，故③ 不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④ . 【详解】 解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故① 符合题意； ∵，， ∴， ∴，故② 符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③ 不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④ 符合题意； 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正方形的性质，扇形面积的求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及扇形面积公式． 根据正方形得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：∵，正方形内接于， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了扇形弧长公式的应用．扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为扇形半径），将，代入公式即可求解． 【详解】 根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）， 故答案为：． 3．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是12cm，当重物上升时，滑轮的一条半径OA绕轴心按逆时针方向旋转的度数　　　　　　　　　． 【答案】<度 【分析】 本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】 解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为　　　　　　　　　　cm． 【答案】40 【分析】 设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设弧所在圆的半径为r， 由题意得， ， 解得，r=40cm． 5．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 6．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）若一个圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为　　　　． 【答案】 【分析】 根据圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°，根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】 如图，∵圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°， ∴∠DAC=120°，扇形ACD的半径为AD=12， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为　　　　　　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，四边形内接于，连接，，，若的半径为3，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图所示，连接，首先根据等边对等角得出，，然后求出，然后利用圆周角定理求出，然后利用弧长公式求解即可． 此题考查了等边对等角，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】 如图所示，连接 ∵， ∴， ∴ ∴ ∵的半径为3 ∴的长． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）一扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查弧长公式，根据计算即可，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 【详解】 故答案为： 10．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm． （1）求⊙O的直径． （2）求的长． 【答案】（1）⊙O的直径为8cm．（2） 【分析】 (1)根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB. (2)连接OD,先算出∠AOD,再利用弧长公式计算即可. 【详解】 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°． ∵AD＝4， ∴AB＝8． ∴⊙O的直径为8cm． （2）连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°． ∴的长为． 【点睛】 本题考查圆相关的计算,关键在于熟记圆的性质及弧长公式. 11．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆O与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　（结果保留π）． 【答案】 【分析】 根据题意，可证出，然后依次求出、扇形、的面积，由组合图形的面积公式求出答案． 【详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵为直径的半圆O， ∴， ∴， ∴， ∴，扇形的面积， ∴可得阴影部分的面积． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，，，是上的三点，，，． （1）__________． （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理； （1）根据圆周角定理可得，求得，进而求得，进而求解的度数； （2）根据扇形面积公式即可求解； (1) 小问详解： 解：是所对的圆周角，是所对的圆周角， ， ，， ， ，，， ，， ； 故答案为： (2) 小问详解： 解：阴影部分的面积为． 13．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，在中，，，．以C为圆心，为半径画弧，分别交，于点E，D，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算、含的直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据题意和图形可知阴影部分的面积，利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】 解：连接，过点E作于点F，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴三角形为等边三角形． ∴，， ∴． ∴，， ∴． 14．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，，      （2） 解：如图，即为所求，；      （3）      【分析】 本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 15．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：∵正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆， ∴，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解． 【详解】 解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 17．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A、B在大圆上，点C、D在小圆上，和的长度分别是．若扇形和扇形的面积相等，则的大小关系是：　　　　　．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】 本题考查了扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式（用弧长表示）是解题的关键．设大圆的半径为，小圆的半径为，根据扇形的面积公式（用弧长表示）列出等式，由判断与的大小关系即可． 【详解】 解：设大圆的半径为，小圆的半径为， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：<． 18．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，弧与圆周角的关系，等角对等边，等边三角形的性质与判定，求扇形面积； （1）延长交于点，根据垂径定理可得，根据已知可得，即可得出则，根据等角对等边，即可得证； （2）根据已知先证明是等边三角形，进而根据，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接 ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ 19．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）中，，，．把它沿边所在的直线旋转一周，所得到的几何体的表面积为　　　　　　． 【答案】36π 【分析】 先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可． 【详解】 解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ∴AB＝5， Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4， 所以所得到的几何体的全面积＝π×422π×4×5＝36π． 故答案为36π． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 20．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点．，，，则长为　　　　　　　　（结果保留）． 【答案】 【分析】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式“（为圆心角的度数，表示圆的半径）”是解题关键．先求出，再利用弧长公式即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴长为， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，定滑轮和动滑轮是劳动人民在长期的生产生活实践中，发挥智慧和才能创造出来的简单机械．用一个半径为的定滑轮和动滑轮带动物体上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，定滑轮上一点P旋转，则物体上升的高度为　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案． 【详解】 解：， ∴物体上升的高度为 故答案为：． 22．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放在一起，上面这张纸片绕着直径的一端顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，点的对应点为点，圆心的对应点为点，弧与直径交于点，连接点与圆心，求弧的长． 【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质，等边对等角，弧长的计算，通过旋转的性质求出的度数是解题关键． 利用旋转的性质，得到的度数，再通过等边对等角求出的度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】 解：由旋转可知，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵的半径为10， ∴弧的长为． 23．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，是的外接圆，半径为，连接，，， （1）过点作，交于点，若，求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． (1) 小问详解： 解：，， ， 在中，，， ∴， ； (2) 小问详解： 解：， ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 24．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）直接写出点B关于原点对称的点的坐标_____； （2）画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； （3）求点A经过的路径的长（结果保留根号和π）． 【答案】（1）；     （2） 如图，即为所求；      （3）点A经过的路径的长为．      【分析】 本题考查了关于原点对称的两点坐标关系，旋转作图，弧长公式． （1）根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出； （2）根据要求作图即可； （3）根据弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由图可知，则点B关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：点A经过的路径的长． 25．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角；若，，则扇面（阴影）部分的面积是　　　　　　．（结果用表示） 【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形面积公式的应用，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】 解：∵，， ∴ （）， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】 ∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 27．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵为直径作， ∴， ∴，即， 又是的直径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据等式性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据三角形外角的性质求出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，则，证明是等边三角形，得出，进而求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．B 2．D 3．C 4．A 5．D 6．B 7．【答案】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等． 由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到 【详解】 略 8．【答案】 【分析】 本题考查了圆的相关性质，等边对等角，三角形内角和定理．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．【答案】4 【分析】 利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得． 【详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为4． 【点睛】 本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 考点02 垂直于弦的直径 1．B 2．C 3．A 4．【答案】4 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】 解；如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 5．【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 连接，过点O作，垂足为H，在中，用勾股定理即可求出结果． 【详解】 解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为． 6．【答案】直径为 【分析】 本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】 解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 7．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，如图，先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】 解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 8．【答案】（1）的长为     （2）水面截线减少了      【分析】 本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为； (2) 小问详解： 如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了． 9．【答案】26 【分析】 此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理得到尺寸，，利用勾股定理列方程求出半径，即可得到答案． 【详解】 解：连接， 由题可知， ∵为半径， ∴尺寸， 设， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴这根圆柱形木材的直径长为26寸． 故答案为：26 10．【答案】12 【分析】 本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解． 【详解】 解：连接， ∵是的直径，弦于，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：12． 11．【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）的直径是      【分析】 本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 12．【答案】任务1： ； 任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，可共挂8盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是； 任务3： 半径； 任务4：船体在圆弧的拱顶正下方可以通过 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键． 任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式； 任务2：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 即可解答； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D，得出，则，设该圆的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 任务4：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答． 【详解】 解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示： 根据题意可得：， 设该抛物线的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； 任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标最小为， 把代入得： ， 解得：， ∴悬挂点的横坐标取值范围为； 方案一：从顶点处开始悬挂， ∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，， ∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为， ， ∴可以挂（盏）， 最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为； 任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D， 由题意可得：， ∴， 设该圆的半径为r，则， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：；    任务4：由任务3可知，， 当河段水位涨达到最高时，， ∵货船漏出水面高米， ∴该货船顶端与圆心距离， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过． 13．【答案】1 【分析】 本题考查的是垂径定理，勾股定理，熟悉垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据题意，再在，利用勾股定理求得，再根据即可． 【详解】 解：是的直径，弦于点E，，， ， 在中，，即，解得， ． 所以的长为1． 14．【答案】 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：是的中点， ， ． 设， ，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 15．【答案】半径的长为． 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．根据题意，设半径，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】 解：设半径的长为， ∴， ∵弓形高， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 答：半径的长为． 16．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即；     （2）4      【分析】 此题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出，得到，进而证明即可； （2）首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 考点03 圆心角 1．D 2．C 3．【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】 略 4．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系以及等腰三角形的判定，熟练掌握等弧所对的圆周角相等、等角对等边是解题的关键．要证明，可通过证明来实现，需利用弧与弦的关系以及圆周角定理相关知识，结合已知进行推导． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 5．【答案】证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 【分析】 过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 6．【答案】（1）70，71     （2）72     （3）56人      【分析】 （1）根据中位数、众数的意义求解； （2）用360度乘以D级女生所占的比例即可； （3）用该校女生的人数乘以D级女生所占的比例即可． (1) 小问详解： 解：20位男生周末用于课外阅读的时长中70分钟出现3次，出现次数最多，所以众数为分钟， 20位女生周末用于课外阅读的时长的中位数为第10，11两个的平均数，即分钟， 故答案为：70，71； (2) 小问详解： 解：20位女生周末用于课外阅读的时长中D级有4人， 所以在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； (3) 小问详解： 解：该校九年级共有男生320人，该校有九年级600名学生， 所以估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数为人． 【点睛】 本题考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，由样本所占百分比估计总体的数量等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．【答案】证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】 略 8．【答案】（1）80     （2） 补全图形如下：      （3）     （4）300      【分析】 本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． (1) 小问详解： 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； (2) 小问详解： 由； (3) 小问详解： 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； (4) 小问详解： 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 9．【答案】 【分析】 此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】 解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 考点04 圆周角 1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．C 14．D 15．A 16．C 17．C 18．B 19．【答案】25 【分析】 本题主要考查圆周角定理．根据题意，连接，由题意得：，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， 由题意得：， ∵与都对， ∴， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 先根据圆周角定理由是的直径得到，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】 解：是的直径， ， 在中，，， ， 即弦的长为． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，也考查了勾股定理的运算． 21．【答案】 【分析】 由，，根据等边对等角，即可求得，又由三角形内角和定理，求得的度数，然后利用圆周角定理，即可求得的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 22．【答案】 【分析】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 23．【答案】25 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，先求出，再根据是的直径，求得，最后根据圆周角定理即得答案． 【详解】 解：， ， 是的直径， ， ． 故答案为：25． 24．【答案】（1） 如图所示．（答案不唯一）              （2） 如图所示．（答案不唯一），      （3） 如图所示．如图，，点F即为所求， 【分析】 本题考查了格点作图，圆周角定理． （1）根据圆周角定理即可解答； （2）根据网格的特点取格点N，可得，根据等腰三角形三线合一性质可证，最后根据垂径定理即可解答； （3）取格点，使得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 25．【答案】70 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】 解：∵四边形内接于，， ∴． 故答案为：70． 26．【答案】 【分析】 本题考查了同弧所对的圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数． 【详解】 解：， ． 故答案为：． 27．【答案】（1） 解：如图1，点即为所求；     （2） 解：如图1，点即为所求；      （3） 解：如图2，点即为所求； 【分析】 本题考查圆的确定，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用网格特点，中垂线的判定，作的中垂线，交点即为点O； （2）根据圆内接四边形的对角互补，以及到圆心距离相等的点在圆上，确定点即可； （3）根据垂径定理和圆周角定理可知：的中垂线与的交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由网格特点和勾股定理可知：， ∴四点共圆， ∴与互补； (3) 小问详解： 由图可知：， ∴， ∴． 28．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题的关键． 利用圆周角定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 29．【答案】证明：， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 思路是根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论． 【详解】 略 30．【答案】 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，根据三角形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】 解：∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 31．【答案】（1） 解：如图① ，点D即为所求（答案不唯一）；      （2） 解：如图② ，，即为所求． 【分析】 本题考查圆周角定理，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角定理得到在线段右边的圆上任意一点都满足． （2）取线段中点，直线与圆的交点即为，此时平分． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求；      （2） 解：如图所示，点即为所求；      （3） 如图所示，点即为所求． 【分析】 本题考查了网格作图，涉及圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握网格中的基本作图方法和相关性质定理． （1）利用勾股定理的逆定理可得到，则为的直径，取的中点即为圆心； （2）在劣弧上任取一点，根据圆内接四边形的对角相等即可得解； （3）取线段与网格的交点，过点、作射线与的交点即为点，易知点为的中点，由垂径定理可得平分． (1) 小问详解： ，，， ， ， 为的直径，的中点即为圆心； (2) 小问详解： 在劣弧上任取一点，则与互为圆内接四边形的对角， ； (3) 小问详解： 取线段与网格的交点，过点、作射线与的交点即为点， 易知点为的中点， ， ， 平分． 33．【答案】（1）∠CDB=∠A；（2）CD=． 【分析】 （1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，然后根据等弧所对的圆周角相等得出结论； （2）根据直径得出∠ADB=90°，根据勾股定理得出AB的长度，根据等面积法求出DE的长度，根据垂径定理可得CD=2DE，求出CD的长度． 【详解】 （1）∵AB为直径， ∴AB⊥CD， ∴， ∴； （2）∵AB为直径， ∴， 又∵BD=5，AD=12， ∴AB=13， 又∵AB⊥CD， ∴， 又∵AB为直径，AB⊥CD， ∴． 【点睛】 考点：垂径定理的应用. 34．【答案】度 【分析】 本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】 解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 35．【答案】（1）2     （2）     （3）      【分析】 本题考查了圆周角定理及其推论，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先根据勾股定理求出的长度，然后根据的圆周角所对的弦是直径判断出是直径，即可求解； （2）设与相交于点E，根据等面积法求出，然后根据垂径定理求解即可； （3）证明是等边三角形，得出，根据勾股定理的逆定理证明，结合等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解． (1) 小问详解： 解∶∵，，， ∴， ∵， ∴是是直径， ∴的半径为； (2) 小问详解： 解：设与相交于点E， ∵，，，， ∴，即， ∴， ∵，是是直径， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 36．【答案】（1）60     （2） 是等边三角形． 证明：， ． 由（1）得． ． ∴是等边三角形；     （3）菱形．      【分析】 （1）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明即可； （3）如图所示，连接，，设与交于点D，根据题意证明出和都是等边三角形，得到，即可得到四边形是菱形． (1) 小问详解： ∵ ∴ ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，连接，，设与交于点D ∵当点O落在上时， ∴ ∵ ∴和都是等边三角形 ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】 此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 37．【答案】（1） 证明：∵四边形、四边形 均为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形；     （2）      【分析】 （）由平行四边形的性质可得，，，，即得到，，进而即可求证； （）由圆内接四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质可证，即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形 是的内接四边形，， ∴， ∵四边形、四边形 、均为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴． 38．【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．     （2）2      【分析】 （1）连接，利用圆周角定理得到，再求出，即可得到结论； （2）连接，直径所对圆周角，中，，则，可证．则，进一步得到，即可得的半径为2． 本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接． 由（1）得， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴， 即的半径为2． 39．【答案】① ② ④ 【分析】 根据正方形的性质可得，结合，可得，故① 符合题意；证明，可得，故② 符合题意；当时，，可得，，可得，故③ 不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④ . 【详解】 解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故① 符合题意； ∵，， ∴， ∴，故② 符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③ 不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④ 符合题意； 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 考点05 弧长和扇形面积 1．B 2．【答案】 【分析】 本题考查了扇形弧长公式的应用．扇形弧长公式为（其中为弧长，为圆心角度数，为扇形半径），将，代入公式即可求解． 【详解】 根据扇形的弧长公式，该可视区域形成的扇形弧长（米）， 故答案为：． 3．【答案】<度 【分析】 本题考查了弧长公式的计算．重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】 解：滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故答案为：． 4．【答案】40 【分析】 设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设弧所在圆的半径为r， 由题意得， ， 解得，r=40cm． 5．【答案】 【分析】 根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 6．【答案】 【分析】 根据圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°，根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】 如图，∵圆锥的母线长为12，侧面展开图的圆心角为120°， ∴∠DAC=120°，扇形ACD的半径为AD=12， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 7．【答案】 【分析】 本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 如图所示，连接，首先根据等边对等角得出，，然后求出，然后利用圆周角定理求出，然后利用弧长公式求解即可． 此题考查了等边对等角，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】 如图所示，连接 ∵， ∴， ∴ ∴ ∵的半径为3 ∴的长． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查弧长公式，根据计算即可，其中R为扇形的半径，n为圆心角． 【详解】 故答案为： 10．【答案】（1）⊙O的直径为8cm．（2） 【分析】 (1)根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AB. (2)连接OD,先算出∠AOD,再利用弧长公式计算即可. 【详解】 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°． ∵AD＝4， ∴AB＝8． ∴⊙O的直径为8cm． （2）连结OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°． ∴的长为． 【点睛】 本题考查圆相关的计算,关键在于熟记圆的性质及弧长公式. 11．【答案】 【分析】 根据题意，可证出，然后依次求出、扇形、的面积，由组合图形的面积公式求出答案． 【详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵为直径的半圆O， ∴， ∴， ∴， ∴，扇形的面积， ∴可得阴影部分的面积． 故答案为：． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形面积，解题的关键是熟练掌握圆周角定理； （1）根据圆周角定理可得，求得，进而求得，进而求解的度数； （2）根据扇形面积公式即可求解； (1) 小问详解： 解：是所对的圆周角，是所对的圆周角， ， ，， ， ，，， ，， ； 故答案为： (2) 小问详解： 解：阴影部分的面积为． 13．【答案】 【分析】 本题考查扇形面积的计算、含的直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据题意和图形可知阴影部分的面积，利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】 解：连接，过点E作于点F，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴三角形为等边三角形． ∴，， ∴． ∴，， ∴． 14．【答案】（1） 解：如图，即为所求，，      （2） 解：如图，即为所求，；      （3）      【分析】 本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 15．【答案】 【分析】 本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】 解：∵正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆， ∴，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解． 【详解】 解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 17．【答案】< 【分析】 本题考查了扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式（用弧长表示）是解题的关键．设大圆的半径为，小圆的半径为，根据扇形的面积公式（用弧长表示）列出等式，由判断与的大小关系即可． 【详解】 解：设大圆的半径为，小圆的半径为， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：<． 18．【答案】（1） 证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理，弧与圆周角的关系，等角对等边，等边三角形的性质与判定，求扇形面积； （1）延长交于点，根据垂径定理可得，根据已知可得，即可得出则，根据等角对等边，即可得证； （2）根据已知先证明是等边三角形，进而根据，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接 ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ 19．【答案】36π 【分析】 先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可． 【详解】 解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ∴AB＝5， Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4， 所以所得到的几何体的全面积＝π×422π×4×5＝36π． 故答案为36π． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 20．【答案】 【分析】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式“（为圆心角的度数，表示圆的半径）”是解题关键．先求出，再利用弧长公式即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴长为， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了求弧长，定滑轮不省力也不省距，而动滑轮省力但是费距，故点P转动的距离是物体上升距离的2倍，据此根据弧长计算公式求出点P转动的距离即可得到答案． 【详解】 解：， ∴物体上升的高度为 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质，等边对等角，弧长的计算，通过旋转的性质求出的度数是解题关键． 利用旋转的性质，得到的度数，再通过等边对等角求出的度数，利用弧长公式求解即可． 【详解】 解：由旋转可知，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵的半径为10， ∴弧的长为． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． (1) 小问详解： 解：，， ， 在中，，， ∴， ； (2) 小问详解： 解：， ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 24．【答案】（1）；     （2） 如图，即为所求；      （3）点A经过的路径的长为．      【分析】 本题考查了关于原点对称的两点坐标关系，旋转作图，弧长公式． （1）根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出； （2）根据要求作图即可； （3）根据弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由图可知，则点B关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：点A经过的路径的长． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了扇形面积公式的应用，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】 解：∵，， ∴ （）， 故答案为：． 26．【答案】1 【分析】 根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】 ∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 27．【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵为直径作， ∴， ∴，即， 又是的直径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据等式性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据三角形外角的性质求出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，则，证明是等边三角形，得出，进而求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $