3.3 探索与表达规律 随堂练习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

3.3 探索与表达规律 随堂练习2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．“幻方”起源于中国，是我们古代数学的杰作之一．如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若比大2，将填入图②的幻方中，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 3．如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了图书馆的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 4．在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 5．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形，第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，第三幅图有10个圆点，第四幅图有13个圆点，……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（   ） A．29 B．301 C．303 D．400 6．如图，市民公园进行地砖美化工程，工人按下图规律拼出装饰图案（第1个图案用5块彩砖、第2个图案用9块彩砖、第3个图案用13块彩砖，…，依次排列），施工队接到任务，需要拼出使用101块彩砖的图案，请问这个图案是第几个？（    ） A． B． C． D． 7．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 8．同一个代数式可以表示不同的实际意义，下列选项中所求的量不是用代数式表示的是（   ） A．如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为____； B．图中长方形的周长为_____； C．若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为_____； D．分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有_____只． 二、填空题 9．现有一列数：，，若，且，则的值为_________． 10．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可知，的展开式中各项的系数之和为________． 11．观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 13．如图所示，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图⑩中阴影部分的面积是______． 三、解答题 14．请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，则： (1)第9个算式是________________；第n个算式为________________； (2)根据以上规律解答下题：的值． 15．如图是用12根火柴棒摆成的倒“品”字，你能只移动3根火柴棒，把“品”字改成“田”字吗？请在图中标出移动的火柴棒． 16．观察下表中三角形个数变化的规律，填表并回答下面问题： 图形 … 横截线条数 0 1 2 … n 三角形个数 6 （   ） （   ） … （   ） (1)填表； (2)如果图中三角形的个数是102个，那么图中应有多少条横截线？ 17．如图，古代数学家通过画图的形式发现下列各式： ； ； ； ； 按照上述规律，回答下列问题： (1)计算的结果为 ; (2)请用一个含n（n为正整数且）的式子表示这个规律； (3)计算． 18．在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C B C D B 1．【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查多项式规律探索，通过观察各项中和的指数变化，找出第个多项式的形式． 【详解】解：∵第1个多项式：，第2个：，第3个：，第4个：，第5个：， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，...，对应第n项为；b的指数依次为2，4，6，8，10，...，对应第n项为， ∴第个多项式是． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查代数式求值．首先得到，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，即可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵y比x大2， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索与应用，根据题意总结出新运算公式是解题的关键．由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可知的运算结果中，前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， 前两位数为，中间两位数为，其次两位数为，后两位数为， ． 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律问题，关键是用代数式表示数字的变化规律；先分析数列的符号规律与绝对值的变化规律，再根据规律计算第项对应的数． 【详解】解：∵观察数列， ∴符号规律：奇数项为正，偶数项为负， 绝对值规律：第项的绝对值为， ∵第项是偶数项，符号为负， ∴第项的绝对值为， ∴表示的数是：． 故选：C． 5．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类变化规律，观察图形得出摆第幅图需要圆点的个数为，再求出当时的值即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察题图可知： 摆第一幅图需要4个圆点，即； 摆第二幅图需要7个圆点，即； 摆第三幅图需要10个圆点，即； 摆第四幅图需要13个圆点，即； … ∴摆第幅图需要圆点的个数为， ∴第一百幅图中圆点的个数为． 故选B． 6．【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律的探究，关键是找出第个图案所需彩砖数的代数式，再通过解方程求解对应的图案序号． 【详解】解：观察图案可知，第1个图案用5块彩砖，第2个用9块(比第1个多），第3个用块(比第2个多），即每两个图案的彩砖数的差为4， ∴第个图案的彩砖数为； 令， 解方程得：； 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 8．【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、列代数式、数字类规律探索 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是根据题目中所描述的数量之间的关系列出正确的代数式，再进行判断即可． 【详解】解：A选项：如图，动点从数轴上的点向右出发，速度为每秒个单位长度，则秒后点在数轴上表示的数为，故A选项中所求的量可以用代数式表示； B选项：图中长方形的周长为，故B选项中所求的量不可以用代数式表示； C选项：若第个算式，第个算式，按此规律，第个算式的表达式为，故C选项中所求的量可以用代数式表示； D选项：分小熊活动中，已知学生有人，若每人分个，还多个，则小熊一共有只，故D选项中所求的量可以用代数式表示． 故选：B． 9．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据已知的递推公式，结合和的值，逐步计算出，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴． 10．【答案】16 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】根据图片信息可知的展开式中各项的系数，进而即可求解； 【详解】解：根据图片信息可知的展开式中各项的系数分别为：1，4，6，4，1； ∴． 11．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】先观察给出的等式，归纳总结出一般规律，再将所求式子变形，结合规律计算得到结果. 【详解】解：观察已知各式，可得到一般规律：， ∴． 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 13．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】观察图形可知，图①中有个圆，图②中有个圆，图③中有个圆，以此类推，图中有个圆． 分别计算出正方形面积和所有圆的面积之和，利用阴影部分面积等于正方形面积减去所有圆的面积之和进行求解． 【详解】解：图①中，正方形边长为，圆的直径为，半径为 ，阴影部分面积 ； 图②中，正方形边长为，4个圆的直径均为，半径均为 ，阴影部分面积 ； 图③中，正方形边长为，9个圆的直径均为，半径均为， 阴影部分面积 ； 由此规律可知，图中阴影部分的面积均为； 所以图⑩中阴影部分的面积是． 14．【答案】(1)，；， (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，理解数字计算规律，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的规律计算即可； （2）根据材料提示的计算方法将原式拆开，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，第9个算式是，， 第n个算式为，， 故答案为：，；，； （2）解： ． 15．【答案】 解：如图： 【知识点】图形类规律探索 【分析】田字的中心是“十”字，先确定“十”的位置即可判断出该移动的火柴棒了．解决本题的关键是得到新字的图形的中心的特点． 【详解】略 16．【答案】(1)12，18， (2)16 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据三角形的概念和定义进行分析，注意不要遗漏．观察简单图形，得到当横截线条数为条时应有个三角形，即可作答． （2）依题意，列式，再计算即可作答． 本题考查了图形规律，代数式表达式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，没有横线的时候，只有6个三角形； 有一条横线的时候，有个三角形； 有2条横线的时候，有个三角形； 有3条横线的时候，有个三角形； 当横截线条数为条时应有个三角形． （2）解：依题意，， 解得． ∴图中应有条横截线． 17．【答案】(1)210 (2) (3) 【知识点】两个有理数的乘法运算、图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查图形类规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形类的一般规律； （1）根据题中所给规律可进行求解； （2）由题意及（1）可进行求解； （3）利用（2）中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为210； （2）解：由题意得：（n为正整数且）； （3）解： ． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为，可得，代入即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）解：将原式变形，提取， 得到． 根据（1）的结论，． ∴原式． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $