专题03 二次函数（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题03 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·吉林长春·期末）下列函数，属于二次函数是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）若函数是二次函数，则m的值为　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）若点都在二次函数图象上，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）抛物线的开口方向为（     ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 4．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）抛物线上y＝(m－4)x2有两点A(－3，y1)、B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是（       ） A. m＞4 B. m＜4 C. m≥4 D. m≠4 5．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）已知二次函数，则其图像的开口向　　　　　　．（填“上”或“下”） 6．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两点．若点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），则m　　　　　n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 7．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 8．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为　　　　　　　　． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是（          ） A. （0，2） B. （0，－2） C. （2,0） D. （－2，0） 2．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）抛物线的顶点坐标是(              ) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（   ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 6．（25-26学年九上·吉林长春·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林延边·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 9．（25-26学年九上·吉林长春·期中）将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）下列二次函数中，最大值为1的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）要得到抛物线，可以将抛物线：（       ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 15．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 17．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）下列关于二次函数的说法正确的是(       ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 20．（25-26学年九上·吉林长春·期末）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）将抛物线平移，使它平移后顶点为，则需将该抛物线（     ） A. 向右平移1个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移1个单位，向下平移5个单位 C. 向左平移1个单位，向上平移5个单位 D. 向左平移1个单位，向下平移5个单位 23．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·吉林松原·期末）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（       ） A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3 31．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·吉林长春·期末）将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是　　　　　　． 34．（25-26学年九上·吉林延边·期中）将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是　　　　　　． 35．（25-26学年九上·吉林延边·期中）若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是　　　　　　用“”表示． 36．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为　　　　　　． 37．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）将拋物线向下平移3个单位，向左平移1个单位，则得到新的拋物线的表达式为　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则　　　　　　　　　　（填“＞”或“＜”）． 40．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 2．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）把二次函数化成的形式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 4．（25-26学年九上·吉林延边·期中）抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中结论正确的个数为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，那么a、b、c的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，函数的图象与x轴相交于A，B两点，其中点A坐标为，顶点为点．则下列说法正确的是（       ） A.  B. 当时，函数y有最小值4 C. 当时，函数y随自变量x增大而减小 D. 点的坐标为 9．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）已知二次函数为，则它的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知抛物线与轴的交点为，，则该抛物线的对称轴（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 11．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·吉林长春·期末）已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 15．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）已知二次函数的图象如图，下列说法错误的是（     ） A. 图象关于直线对称 B. 的最小值是 C. 图象开口向上 D. 方程没有实数根 16．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（       ） A.  B.  C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 17．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D. 阴影部分的面积为4 18．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D.  20．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过点C，且顶点M在直线上．若，则a的值为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过边长为1的正方形的三个顶点A、B、C，则a的值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  22．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 24．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图为二次函数的部分图象，当时，函致y的取值范围为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）已知二次函数的图象如图所示，则点在第　　　　　　象限． 29．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式． 30．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是          ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是          ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 32．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）已知二次函数的图象过点，顶点坐标为，求二次函数的解析式． 35．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有两个交点，则的取值范围是　　　　　　． 36．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）用配方法把二次函数化为的形式，并写出这个二次函数的顶点坐标． 37．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　　　. 38．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式． 39．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，则点在第　　　　　　象限． 40．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求函数y的取值范围． 41．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为　　　　　　　　　　　　　 42．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，当时，求出点P的坐标． 43．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 44．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过点，，求的值． 45．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是　　　　　　（填序号）． 46．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）抛物线的顶点坐标是，且经过点，求这条抛物线的解析式． 47．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______； （3）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （4）当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值． 48．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有　　　　　　　　　．（只填序号） 49．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，边长为2的正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B，C两点． （1）求b，c的值； （2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 50．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为                  分钟，                  ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为                  分钟． 52．（25-26学年九上·吉林长春·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是　　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点P的坐标； （3）若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 54．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点P，若该抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B左侧，求的面积． 55．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，x的取值范围是                 ； （3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为                 ． 56．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是　　　　　　　　　． 57．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． （1）①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； （2）若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； （3）若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 58．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 59．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为　　　　　　． 60．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有　　　　　　． 61．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求该抛物线对应的函数表达式； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 62．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当的面积是3时，求点P的坐标． 63．（25-26学年九上·吉林长春·期末）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④．其中正确的序号是　　　　　　． 64．（25-26学年九上·吉林长春·期末）已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）当时，求y的取值范围． 65．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 66．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为． （1）当时，______． （2）求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． （3）当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值． 67．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）二次函数与直线的图象交于点． （1）______． （2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 68．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点落在边上时，求的值． （2）当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 69．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，，动点P从A开始沿边向B以2单位/秒的速度移动，动点Q从B开始沿边向C以4单位/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设的面积为S，出发时间为t． （1）写出S和t的函数关系式； （2）当t为何值时，面积为36？ （3）存不存在某一时刻的面积是的面积的三分之一？如若存在，求出t的值；如若不存在，说明理由． 70．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为．    （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 71．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）已知抛物线． （1）无论m取何值，该抛物线总经过一定点，定点坐标为______． （2）抛物线与直线y＝x＋1交于两点，，且，若，求m的值． （3）点P是抛物线上第四象限内一动点，在（2）的条件下，求△PAB面积的最大值． 72．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 73．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 74．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则          ． 75．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，先作出点关于轴的对称点，再作出点关于坐标原点的对称点，顺次连接，，三点得到． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）当点在此抛物线上时，求的值． （3）当此抛物线的最高点在的边上时，直接写出的值． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 76．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 77．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（b、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）求点关于抛物线（b、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）． （3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围． （4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值． 78．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求该抛物线函数关系式，并直接写出顶点坐标． （2）点D是抛物线顶点，当点P在抛物线对称轴右侧时，过点P作轴交抛物线对称轴于点C，连结，若，求m的值． （3）抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． （4）点是平面内的一点．当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 79．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）青蛙起跳后的运动路线为抛物线．某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． （3）仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 80．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在该抛物线上，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； （2）当点在抛物线上时，求的坐标； （3）作点关于坐标原点的对称点，连接、． ①点的坐标为______（用含的代数式表示）； ②当点在轴右侧时，若此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围为______； ③当抛物线的顶点落在边上时，直接写出的值． 81．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）连接，当时，求证：； （3）设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； （4）连接，当时，直接写出的值． 82．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　　． 83．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 84．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______． （3）如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （4）如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 85．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出的值． 86．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ； ； 若点在此抛物线上，则； 若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是　　　　　　． 87．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 88．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线．点是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，连结，过点作，过点作轴，与交于点，以为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时． ①求此抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差； ②求的值； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 89．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点的坐标； （3）若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值； （4）连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 90．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当时，求的最大值和最小值． （3）点为这条抛物线上的一个动点，点的横坐标为（），以点为中心作正方形，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 91．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示） （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 92．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 93．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； （3）点在抛物线上，过点D作直线轴，若直线l与抛物线上A，B两点之间的部分（包含点A，B）有两个交点，则m的取值范围为____________________． 94．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； （4）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 95．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … （2）如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． （3）结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 96．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）连接，当平行于x轴时，求m的值． （3）将抛物线在A、P两点之间的部分（包括A、P两点）的图象记为G． ①当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1，则m的取值范围是__________． ②当图象G与直线只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 97．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则的最大值为　　　　 ． 98．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； （4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 99．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）当时，求该抛物线中y的取值范围． （3）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． （4）当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 100．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 101．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中，已知点的坐标为． （1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当点与点恰好关于抛物线对称轴对称时，设抛物线的顶点为点，求的面积； （3）当此拋物线在点与点之间的部分（包含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 102．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为．点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，构造矩形．设点的横坐标为．    （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在轴上方时，求四边形的周长与的函数关系式； （3）当该抛物线的顶点和点到所在直线的距离相等时，求的值； （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 103．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，点、、在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 104．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的对称轴是直线，且经过点，点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、、，若，，求点坐标； （3）若点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围； （4）将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象，当图象的最大值与最小值之差为3时，直接写出的值． 105．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点，且对称轴为直线，点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与点A重合，抛物线上点M与点A之间的部分（包括端点）记为图象G． （1）求此抛物线所对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点M的坐标； （3）当图象G的最大值与最小值的差为1时，求m的取值范围； （4）连接，以为对角线构造矩形，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点D（异于点A、M），点D关于的对称点是点E，当时，直接写出m的值． 106．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）作点关于抛物线对称轴的对称点（不与重合），连接，当为锐角时，求的值． （4）以为边向下作正方形．当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 107．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结． （1）该抛物线对应的函数表达式为___________； （2）证明：； （3）若点在对称轴左侧，当直线与抛物线（是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为（点在点左侧）． ①请直接写出点、点的坐标（用含的代数式表示）； ②点在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为1时，求的值． 108．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点的坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是______； （3）当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 109．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为 、 ，的值为________； （4）以、为边构造平行四边形．连接、、、，若与面积的和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 110．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点__________，点______________； （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； （4）点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 111．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点和点，与轴交于两点（点在点左侧），点在此抛物线上，横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标． （2）当点在第四象限时，求的取值范围． （3）当点在轴下方时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上．当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大或函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·吉林松原·期末）抛物线的图象与轴的交点坐标为（     ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）抛物线与轴的交点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（     ） A. 4 B.  C. 3 D.  4．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（       ） A.  B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）已知抛物线的图象与x轴交点坐标分别为，，则　　　　　　． 8．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根的积是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　． 10．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　　 12．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）若抛物线（c是常数）与x轴没有公共点，则c的取值范围是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线的顶点坐标为______； （3）当时，直接写出的取值范围． 14．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 15．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　　　　　． 18．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）下表是二次函数的部分取值情况： … 0 1 2 3 … … 0 4 3 … 根据表中信息，回答下列问题： （1）求该二次函数的图象的对称轴， （2）二次函数的图象的顶点坐标是______，表中的值为______，的值为______． （3）在下图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图象 （4）观察图象，直接写出时，的取值范围是______． 19．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）已知拋物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：或． （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的        和        ．（只填序号） ①转化思想        ②分类讨论思想       ③数形结合思想 （2）一元二次不等式的解集为                      ． （3）用类似的方法解一元二次不等式：． 21．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为　　　　　． 22．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 23．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． （1）求点和点的坐标． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当矩形为正方形时，直接写出的值． （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 24．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，已知抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于A、B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点C的坐标； （2）将抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′（3，0），求平移后的解析式． 25．（25-26学年九上·吉林长春·期中）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）的值为            ； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 26．（25-26学年九上·吉林长春·期中）已知抛物线的对称轴为直线． （1）　　　，抛物线与y轴的交点坐标为　　　； （2）求抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若点A在抛物线上，且点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）若直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 27．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论． ①； ②； ③； ④若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为　　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（       ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 2．（25-26学年九上·吉林长春·期末）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是(          ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 3．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（       ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 4．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（     ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ① 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 9．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 10．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． （1）求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求菜园面积的最大值． 11．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是　　　　　　　　米． 12．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 13．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． （1）当时，四边形的面积为______． （2）当的长为多少时，四边形的面积最大？ 15．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投入市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低 1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，设销售单价元，销售利润元． （1）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （2）该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？ 17．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为________． 18．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）在矩形中，． （1）若矩形的面积为，求的长． （2）矩形面积的最大值为________． 19．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 20．（25-26学年九上·吉林松原·期末）综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 21．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 22．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； （3）当______A时，取得最大值为______W． 23．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．     活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出          ；此次试验中实心球达到的最大高度是          ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点．    （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩：          ．（填“”“”或“”） 24．（25-26学年九上·吉林长春·期末）某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长．店长统计，产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同． （1）求该甜品销售量的月增长率； （2）该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．设每杯售价为元，月销量为杯，月利润为元． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出关于的函数关系式，并求出当为何值时取最大值？并求出其最大值． 25．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：______，______；（用含的代数式表示） （2）求出当为何值时，？ （3）设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． （4）在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 27．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）综合与实践 问题情境：综合实践小组的同学对田径运动会上男运动员小宇一次推铅球的一张图片（图1）进行了研究． 建模分析： 第一步：根据铅球运动路线的照片，发现铅球的运动路线是抛物线的一部分． 第二步：以点O为坐标原点，表示水平地面的直线为x轴，铅球出手点A所在的铅垂直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．铅球达到最大高度时的位置为点B，铅球的落地点为点C（点O，A，B，C在同一竖直平面内，铅球大小忽略不计）． 第三步：信息获取． 信息1：铅球出手时离地面的高度为． 信息2：当铅球运动到与出手点相同高度时，与出手点A的水平距离为． 信息3：铅球运动过程中，距离地面的最大高度为． 问题解决： （1）填空：在平面直角坐标系中，点B的坐标为______． （2）在铅球运动过程中，求铅球离地面的高度y（单位：m）与到出手点的水平距离x（单位：m）之间的函数解析式． （3）学校规定男子铅球一、二、三级运动员标准如下：一级运动员须推以上的成绩；二级运动员须推以上的成绩；三级运动员须推以上的成绩．按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为几级运动员？ 28．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 29．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，游乐园计划在点处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好在距离点处达到最高，且最大高度为米．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）求出水柱的落地点的坐标． 30．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出关于的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 31．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是　　　　　　． 32．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 33．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 34．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）． （2）在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？ 35．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑高． （2）求落水点之间的距离． （3）若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 36．（25-26学年九上·吉林长春·期中）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面　　　　　　　　　　米． 37．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据长春市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 38．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为　　　　　米． 39．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）在横线上直接写出y与x之间的函数关系式； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 40．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）． （1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少． 41．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光融合变幻出无穷的水幕．若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条拋物线，垂直于水平面的喷水管高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米．如图所示，以喷水管底部的位置O点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少多少米？ 42．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）综合实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款新的枕头，根据试售统计，若枕头的售价定为每个50元时，每月可销售100个：若枕头的售价每降价1元，则销售量增加10个，当进货量不超过200个时，枕头的进价为每个20元，当进货量超过200个时，超过200个的部分进价变为每个18元．假设枕头全部售完（进货量=销售量），设每个枕头降价x元（x为整数），回答下列问题、 【问题】 （1）任务1：枕头的实际售价为______（用含x的代数式表示）：枕头的销售量为______（用含x的代数式表示）； （2）任务2：若经销商计划进货不超过200个，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时枕头的售价，反之，请说明理由．（利润=（售价-进价）×销售量） （3）任务3：依靠试售数据，若该经销商想让每月利润达到最大值，求此时枕头的售价． 43．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 44．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）鄂尔多斯动物园，是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区．景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为　　　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图． （1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？ （3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值． 46．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　　　　　． 47．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 （1）求抛物线的解析式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 48．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，在中，，，．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点运动．当点不与点重合时，过点作于点，作点关于的对称点为点，连接，．设点的运动时间为秒，与重叠部分图形的面积为． （1）________，________．（用含的式子表示） （2）当点和点重合时，________． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 49．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． （1）当点落在边上时，求的值； （2）求与之间的函数关系式； （3）当时，直接写出的值． 50．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． （1）点的坐标是______； （2）当点与点重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 51．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在上时， ______． （2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 52．（25-26学年九上·吉林延边·期中）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1   分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2   利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3   （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4   请你简要写出时间刻度的设计方案． 53．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． （1）求的长； （2）直接写出点M落在边上时t的值； （3）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 54．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； （2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 55．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． （1）如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． （2）如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·吉林长春·期末）下列函数，属于二次函数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义（形如 ，其中为常数，且）进行判断． 【详解】 二次函数必须是整式函数且最高次项为二次， 对于A：，含有分式项 ，不是整式函数，不是二次函数，故A不符合题意； 对于B：，其中a是参数，未指定，若则变为一次函数， 即不一定是二次函数，故B不符合题意； 对于C：，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 对于D：，是一次函数，不是二次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（，且为常数）的函数是二次函数．逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】 A．为一次函数，不符合题意； B．分母有未知数，不是整式，不符合题意； C． 分母有未知数，不是整式，不符合题意； D．中，，，均为常数，且为整式，符合二次函数定义，符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）若函数是二次函数，则m的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据是二次函数，得，再解得m的值，即可作答． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故答案为：3 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，根据其顶点式可以判断得解． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴其顶点为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）若点都在二次函数图象上，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】 解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）抛物线的开口方向为（     ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵抛物线，， ∴抛物线的开口方向为向上， 故选：A． 4．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）抛物线上y＝(m－4)x2有两点A(－3，y1)、B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是（       ） A. m＞4 B. m＜4 C. m≥4 D. m≠4 【答案】A 【分析】 把A、B两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m分别表示出y1和y2，利用条件可得到m的不等式，可求得m的取值范围． 【详解】 解：∵A（−3，y1）、B（2，y2）在抛物线上， ∴y1＝9（m−4），y2＝4（m−4）， ∵y1＞y2， ∴9（m−4）＞4（m−4）， ∴m＞4， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 5．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）已知二次函数，则其图像的开口向　　　　　　．（填“上”或“下”） 【答案】上 【分析】 根据二次项系数得出抛物线的开口方向． 【详解】 ， ∵， ∴该二次函数的图像开口向上， 故答案为上． 【点睛】 此题考查二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． 6．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点A、B是抛物线y＝ax2（a＞0）上两点．若点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），则m　　　　　n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】求出抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的增减性解答． 【详解】∵抛物线y＝ax2（a＞0） ∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴为y轴 ∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4， ∴m＜n 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）关于的函数表达式为 ；     （2） 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；     （3）或．      【分析】 本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． (1) 小问详解： 解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为 ； (2) 小问详解： 解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 小问详解： 解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 8．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是（          ） A. （0，2） B. （0，－2） C. （2,0） D. （－2，0） 【答案】A 【分析】 根据抛物线的顶点坐标式，直接求解即可． 【详解】 解：抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是 故选A 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 2．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 3．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象的判断，二次函数的图象形状由二次项系数和顶点坐标决定． 先根据解析式确定抛物线的开口方向，再计算顶点坐标，即可确定函数图象的大致位置． 【详解】 解：二次函数中，， 二次项系数， 该二次函数的图象开口向下， ，， 该二次函数的顶点坐标为， 选项符合题意． 故选：． 4．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）抛物线的顶点坐标是(              ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 5．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（   ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【详解】 解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 6．（25-26学年九上·吉林长春·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 7．（25-26学年九上·吉林延边·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】 解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 8．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 故选：C． 9．（25-26学年九上·吉林长春·期中）将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则“左加右减，上加下减”，按照题意求出表达式即可得到答案，熟练掌握求函数图象平移的方法是解决问题的关键． 【详解】 解：将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为． 故选：D 10．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据顶点式，顶点坐标是，可直接得到答案． 此题主要考查了求抛物线的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握：顶点式，顶点坐标是． 【详解】 解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 11．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数顶点解析式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】 解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：A． 12．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查抛物线的顶点坐标．根据的顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 13．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）下列二次函数中，最大值为1的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答． 【详解】 解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意； C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意； D、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； 故选：D 14．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）要得到抛物线，可以将抛物线：（       ） A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【分析】 根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】 解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】 本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 15．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移规律是关键；根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行平移． 【详解】 解：将抛物线向左平移1个单位，得 再向下平移2个单位，得 故选C． 16．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（　　） A. y=3（x+2）2﹣1 B. y=3（x﹣2）2+1 C. y=3（x﹣2）2﹣1 D. y=3（x+2）2+1 【答案】A 【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A. 考点：二次函数图象的平移法则. 17．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可． 【详解】 设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM． 由题意可知，AM=OB， ∵ ∴OA=1，OB=AM=2， ∵抛物线是轴对称图形， ∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积， ∵，， ∴四边形ABOM为平行四边形， ∴． 故选：B． 【点睛】 此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积． 18．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】 解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：A． 19．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）下列关于二次函数的说法正确的是(       ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 【答案】D 【分析】 由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可． 【详解】 解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 20．（25-26学年九上·吉林长春·期末）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数性质，根据抛物线解析式，得到抛物线开口向上，对称轴为．再比较各点横坐标到对称轴的距离，结合二次函数性质可知点到对称轴的距离越大其对应的值越大，即可解题． 【详解】 解：抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为． 又 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 点到对称轴的距离为． 由于开口向上，距离对称轴越远的点值越大．因此，． 故选C． 21．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”求出新抛物线解析式，进而即得出其顶点坐标． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到的新抛物线解析式为，即， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 故选D． 22．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）将抛物线平移，使它平移后顶点为，则需将该抛物线（     ） A. 向右平移1个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移1个单位，向下平移5个单位 C. 向左平移1个单位，向上平移5个单位 D. 向左平移1个单位，向下平移5个单位 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图像，熟练掌握平移的性质是解题关键，先确定原抛物线的顶点坐标，再计算平移所需的水平和垂直移动距离，即可解答． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线平移，使它平移后顶点为， ， 需将原抛物线向左平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位， 故选：C． 23．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可知，该函数图象开口向下，对称轴为直线，点离对称轴越远，函数值越小，计算各点到对称轴的距离，比较大小即可． 【详解】 解：由题意知，抛物线， 二次项系数，则抛物线图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由于抛物线图象开口向下，距离对称轴的距离越大，函数值越小，且， 因此，． 故选：A． 24．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】 解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 25．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 26．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 27．（25-26学年九上·吉林松原·期末）若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 28．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】 解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 29．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故选：D． 30．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（       ） A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3 【答案】C 【分析】 先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线x=2， ∴B、D选项不符合题意， 将点（0，1）代入A中，得（x-2）2+1=（0-2）2+1=5，故A选项错误， 代入C中，得（x-2）2-3=（0-2）2-3=1，故C选项正确． 故选∶C． 【点睛】 本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为 31．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据平移规律直接解答即可． 【详解】 解：原抛物线解析式为 ，向上平移个单位，即在原函数值上加，得新解析式 故答案为：． 32．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】（-1,-3） 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 33．（25-26学年九上·吉林长春·期末）将抛物线向右平移5个单位长度后，得到的抛物线的表达式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，进行解题即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移5个单位长度，得到的新抛物线表达式为 ． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·吉林延边·期中）将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】 解：将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 35．（25-26学年九上·吉林延边·期中）若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是　　　　　　用“”表示． 【答案】 【分析】 本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】 解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答； 根据二次函数的对称性解答即可； 【详解】 解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故答案为：1． 37．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】 解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 38．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）将拋物线向下平移3个单位，向左平移1个单位，则得到新的拋物线的表达式为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”，向下平移3个单位是“减3”，向左平移1个单位是“加1”，从而得到新表达式． 【详解】 解：抛物线 向下平移3个单位，得到 ；再向左平移1个单位，得到 ． 故答案为． 39．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则　　　　　　　　　　（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】 本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，为二次函数的图象上的两个点，且， ∴． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由平移的规律即可求得答案． 【详解】 解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为，即 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 41．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】 解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 42．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）已知抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】 解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（　　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【分析】 由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解． 【详解】 解：∵y＝x2﹣2x+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1， ∴y1＞y3＞y2． 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键． 2．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）把二次函数化成的形式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，关键是掌握配方法的步骤．利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；根据二次函数的图象开口向上，可得，再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，可判断①；根据二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，可判断②；根据当时，，可判断③；根据当时，以及，可判断④． 【详解】 解：二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故②正确； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵当时，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：D 4．（25-26学年九上·吉林延边·期中）抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中结论正确的个数为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 根据图示，对称轴，可以判断的正负关系，并确定，同时根据对称轴可以确定抛物线的最大值为，由此即可求解． 【详解】 解：根据图示，对称轴为， ∴，，，且， ∴， 结论① ，，故原命题错误； 结论② ，当时，二次函数解析式为， ∵对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在与之间，且与关于对称， ∵抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴当时，二次函数解析式为，故原命题正确； 结论③ ， ∵， ∴，故原命题错误； 结论④ ， 当时，二次函数解析式为，且，， ∴，即，故原命题正确； 结论⑤ ， 当时，抛物线有最大值，最大值为， 变形得，，且为任意实数， 当时，，不等式取等号； 当时，，故原命题正确． 综上所述，正确的有② ③ ⑤ ， 故选：． 【点睛】 本题主要考查二次函数图像的性质，系数的关系，掌握二次函数图像在平面直角坐标系的位置，从而确定系数间的关系是解题的关键． 5．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，那么a、b、c的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴直线，再根据二次函数上的点距离对称轴越近，其对应的函数值越大判断即可． 【详解】 解：∵， ∴ 抛物线开口向下，且对称轴直线， ∵，，，， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交此抛物线于点，且，则的面积是（       ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 由y=ax2-2ax+2（a＜0）可得点B坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点D坐标，再通过CD=BC求出BC长度，通过三角形面积=×底×高求解． 【详解】 解：∵抛物线对称轴为直线x=， 点B的坐标为（0，2）， ∴点D的坐标为（2，2）， BD=2-0=2， ∵CD=BC， ∴CD=BD=1， ∴BC=2+1=3． ∴S△ABC=×3×2=3． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查函数图象上点的坐标特征，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）抛物线的对称轴是（     ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线的对称轴，根据二次函数对称轴公式直接计算． 【详解】 ∵ 抛物线为，其中 ，， ∴ 对称轴为直线． 故选：C． 8．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，函数的图象与x轴相交于A，B两点，其中点A坐标为，顶点为点．则下列说法正确的是（       ） A.  B. 当时，函数y有最小值4 C. 当时，函数y随自变量x增大而减小 D. 点的坐标为 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象性质，对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】 解：A、由二次函数图象开口向下，根据二次函数的性质，当时，图象开口向下，而选项为，不符合题意； B、因为图象开口向下，所以函数有最大值，顶点坐标为，当时，函数y有最大值4，而不是最小值，不符合题意； C、由二次函数图象可知，当时，函数y随自变量x增大而增大，而不是减小，不符合题意； D、二次函数图象与x轴关于对称轴对称，已知，对称轴为，设B点坐标为，根据对称轴公式，可求出，即点B的坐标为，符合题意． 故选：D． 9．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）已知二次函数为，则它的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 10．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知抛物线与轴的交点为，，则该抛物线的对称轴（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 【答案】C 【分析】 根据抛物线的对称性得到点A和点B是抛物线上的对称点，所以点A和点B的对称轴即为抛物线的对称轴． 【详解】 ∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0）， ∴该二次函数的对称轴为直线x=2， 故选：C． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x－x1）（x－x2）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．解决本题的关键是掌握抛物线的对称性． 11．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，掌握好二次函数的图象与系数的关系是解题关键． 由二次函数的图象判断出系数a、b、c的符号，并判断每个选项． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， 又∵， ∴，故B正确； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故C错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 故选：B． 12．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据一次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； B、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）符合题意； C、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； D、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； 故选B． 13．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，通过抛物线开口方向、对称轴位置及点A、B的横坐标范围，判断函数值大小及与2的关系，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵抛物线的二次项系数， ∴开口向上，对称轴， ∵， ∴对称轴满足， ∵点A横坐标满足，点B横坐标满足， ∴， ∴点A在对称轴右侧； 同理， ∴点B在对称轴右侧，函数递增， ∴由，得， 令，解方程，得， 解得：或， ∵， ∴， 当时，， ∵满足，且， ∴， ∵满足， ∴， 综上，， 故选：C． 14．（25-26学年九上·吉林长春·期末）已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程，一元二次方程的判别式与根的情况，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数最小值条件得出的值，再计算判别式判断根的情况即可． 【详解】 解：∵二次函数的最小值为， ∴顶点纵坐标，即． 对于方程，判别式． ∴方程无实数根． 故选C． 15．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）已知二次函数的图象如图，下列说法错误的是（     ） A. 图象关于直线对称 B. 的最小值是 C. 图象开口向上 D. 方程没有实数根 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐个判断即可． 【详解】 解：A．由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，∴图象关于直线对称，该选项说法正确，不符合题意； B．由函数图象可知，抛物线的最低点为，∴的最小值是，该选项说法正确，不符合题意； C．由函数图象可知，抛物线开口向上，∴该选项说法正确，不符合题意； D．由函数图象可知，抛物线与轴有两个交点，∴方程有两个实数根，∴该选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 16．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（       ） A.  B.  C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据对称性求出对称轴，根据图象确定的符号，根据对称轴，确定的关系，以及增减性，进行判断即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵， ∴，故B选项错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；故C选项错误，D选项正确； 故选D． 17．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D. 阴影部分的面积为4 【答案】D 【分析】 此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象和系数的关系，根据抛物线开口向上，可得，据此判断A；抛物线与轴的交点在轴的下方，据此判断B；根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断C；首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可判断D． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴， 故A不正确； ∵抛物线与轴的交点在轴的下方， ∴， 故B不正确； ∵时，， ∴， 故C不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， 故D正确． 故选：D． 18．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，抛物线经过点，对称轴是直线，下面结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了抛物线的性质，核心是利用抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点，结合特殊点的函数值，判别式分析代数式的符号． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等性质，逐一分析选项即可． 【详解】 解：已知抛物线经过，对称轴是，结合图象开口向下，因此， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， ，故A错误； 抛物线与轴有2个交点，说明一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式，即，故B错误； 当时，函数值为， 根据图象可得，当时，，故C错误； 对称轴公式，整理，即，故D正确． 故选：D． 19．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A. 21 B. 12 C. 5 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】 解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 20．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在y轴上，抛物线经过点C，且顶点M在直线上．若，则a的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了菱形的性质、待定系数法求函数的解析式以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长，继而求得点坐标，继而求得直线的解析式，然后由抛物线经过点，且顶点在直线上，求得答案． 【详解】 解：将代入得， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 点， 设直线的解析式为：， ， 解得 直线的解析式为：， 抛物线经过点， ， ，， 顶点为：， 顶点在直线上， ， ， 故选：B． 21．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过边长为1的正方形的三个顶点A、B、C，则a的值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，正方形的性质．可得，根据正方形的性质以及二次函数的对称性可得，再代入函数解析式求解． 【详解】 解：连接，交于点 正方形边长为1， ， 则，， 当时，， 当时， 解得． 故选：B． 22．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式等性质是解题的关键． 分别根据二次函数的图象性质，如开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别式等，对每个选项进行分析判断． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴交点在正半轴， ∴ ∴，故A项正确，不符合题意． ∵对称轴， ∴，故B项正确，不符合题意． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故C项错误，符合题意． ∵当时，函数图象在轴下方， ∴，故D项正确，不符合题意． 故选：C． 23．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可. 【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以A选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴，∴，所以C选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴，所以D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 24．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　　. 【答案】直线或轴 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．根据二次函数的性质确定对称轴即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴． 25．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图为二次函数的部分图象，当时，函致y的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，利用图象法进行判断即可． 【详解】 解：由图象可知，当时，，当时，，且时，随着的增大而增大， ∴当时，函致y的取值范围为； 故答案为： 26．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质． 先根据抛物线的对称性得出，两点关于轴对称，，进而得到直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出点坐标，将坐标代入即可求出． 【详解】 解：如图，    抛物线的对称轴为轴，且轴， , 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 关于轴对称， 点和点到的距离相等， ， ， 点的横坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标为，即， 将代入得，． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是　　　　　　　　　　． 【答案】(答案不唯一) 【分析】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象开口向下知，由经过点知，取，即可． 【详解】 解：设二次函数的表达式为， ∵图象开口向下， ∴， ∵图象经过点， ∴当时，， 故，表达式为（其中），取，，得， 故答案为：(答案不唯一)． 28．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）已知二次函数的图象如图所示，则点在第　　　　　　象限． 【答案】二 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，以及判断点所在的象限，解题的关键在于熟练掌握开口方向，图象与y轴的交点情况与系数的关系． 先根据二次函数的图象及性质判断a与c的符号，从而即可得出点所在象限． 【详解】 解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， 则点在第二象限； 故答案为：二． 29．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标且图象过点，求该函数的解析式． 【答案】 【分析】 设顶点式，然后把代入求出的值即可． 【详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是熟悉二次函数的顶点式的应用． 30．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴． 【详解】 ， 故对称轴是直线． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解． 31．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是          ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是          ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）① ③ ；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：① ③ ． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 32．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，通过配方法将一般式转化为顶点式，从而直接读出顶点坐标． 【详解】 解：， 因此抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 33．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】（，0） 【详解】 ∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点P和点Q关于直线对称， 又∵点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的坐标为（-2，0）． 故答案为（-2，0）． 34．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）已知二次函数的图象过点，顶点坐标为，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，把二次函数解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为． 35．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有两个交点，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别式的运用个，理解函数的平移，二次函数交点的含义是关键． 根据题意可得直线的解析式为，联立方程得，，整理得，，根据根的判别式得到，由二次函数与轴的交点可得当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即，由此即可求解． 【详解】 解：线段，点和点的坐标分别为，， ∴直线的解析式为， 将线段向下平移个单位长度后得到的解析式为， ∵平移后与抛物线有两个交点， ∴联立方程得，，整理得，， ∴， 解得，， 在二次函数中，令，则， ∴当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即， ∴， 故答案为： ． 36．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）用配方法把二次函数化为的形式，并写出这个二次函数的顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为 【分析】 本题考查了将二次函数的一般式化为顶点式. 通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，从而直接写出顶点坐标即可. 【详解】 解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 . 37．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）抛物线的对称轴是　　　　　　　　　　　. 【答案】直线 【详解】，a=2，b=3，c=-1， x=-= 故答案为直线. 38．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式． 【答案】y＝﹣x2 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y=ax2，再结合图象，只需把（10，-4）代入求出a的值即可． 【详解】解：设该抛物线的解析式是y＝ax2， 由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得： 100a＝﹣4， 解得：a＝﹣． 故该抛物线的解析式是y＝﹣x2． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解. 39．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，则点在第　　　　　　象限． 【答案】一 【分析】 本题考查的是二次函数图象及性质，系数符号的确定是解题关键．根据对称轴的位置、开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 又对称轴在轴左侧， ， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第一象限， 故答案为：一． 40．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求函数y的取值范围． 【答案】（1）a的值为1，该二次函数的顶点坐标为；     （2）．      【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象经过点，可以求得a的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据和二次函数的性质，可以求得y的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴当时，，当时，， 当时，该函数取得最小值， ∴当时，函数y的取值范围是． 41．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得的最小值是解题的关键．先依据配方法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出的最小值即可. 【详解】 ， 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，有最小值， 的最小值为． ∵是矩形的对角线， ∴， 的最小值为． 故答案为：． 42．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）点P的坐标为      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：将点和点代入， 得 ，解得 ． ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 43．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】 解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 44．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过点，，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，把点和代入函数解析式解答即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， 解得 ， 即，． 45．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）二次函数 的图象如图所示，给出以下四个结论：（1）（2），（3），（4），其中正确的是　　　　　　（填序号）． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，与y轴的交点问题，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象，得函数图象开口向下，得，故，函数与轴的交点在坐标原点，把代入，得，把代入，得，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】 解：观察二次函数 的图象，得函数图象开口向下，即， 则对称轴为直线，即， 整理得， ∵， ∴， 函数与轴的交点在坐标原点， ∴， ∴ 故（1）符合题意； 把代入，得， 观察函数图象，得， 故（2）不符合题意； ∵，且，， ∴， 故（3）符合题意； 把代入，得， ∵， ∴观察函数图象，得， 故（4）符合题意； 故答案为：（1）（3）（4） 46．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）抛物线的顶点坐标是，且经过点，求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数的解析式，先理解题意，设这条抛物线的解析式为，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设这条抛物线的解析式为 将代入得 解得， ∴． 47．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______； （3）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （4）当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值． 【答案】（1）     （2），     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数的相关性质成为解题的关键． （1）将点代入求得c的值即可解答； （2）先确定抛物线的对称轴，然后再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据图像以及题意列不等式求解即可； （4）先确定P、Q、M、N的坐标，然后根据题意列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：将点代入可得，解得：， 所以此抛物线的解析式． (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：，． (3) 小问详解： 解： ∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、， ∴，， ∴,， ∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， ∴，或 解得：或； (4) 小问详解： 解：∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、， ∴，， ∴,， ∵矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时， ① 当矩形的面积被x轴平分，则， ∴点P、点Q的纵坐标互为相反数， ∴，解得：（不符合题意）或， ② 当矩形的面积被y轴平分，则， ∴点P、点Q的横坐标互为相反数， ∴，解得： ∴当或时，矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点． 48．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有　　　　　　　　　．（只填序号） 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】 解：∵抛物线经过，和， ∴ ， ∴ ， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ② ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：① ② ③． 49．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，边长为2的正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B，C两点． （1）求b，c的值； （2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），求m的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线的顶点坐标，结合正方形的边长即可求得结论． (1) 小问详解： 解：∵正方形的边长为2， ∴点B、C的坐标分别为，， ∵二次函数的图象经过B，C两点， ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 由（1）可知抛物线为， ∵， ∴顶点为， ∵正方形边长为2， ∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），m的取值范围是． 【点睛】 本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象与几何变换，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单． 50．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为                  分钟，                  ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为                  分钟． 【答案】（1），     （2）     （3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.      【分析】 本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. (1) 小问详解： 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； (2) 小问详解： 解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； (3) 小问详解： 解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 52．（25-26学年九上·吉林长春·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查二次函数的性质与最值，熟练掌握二次函数的顶点与增减性是解题关键． 结合二次函数的对称轴和开口方向判断增减性，然后算出最大值和最小值． 【详解】 解：二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，取最小值； ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴当时，的最大值为5，即， ∴． 53．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． （1）求抛物线解析式； （2）当线段的长度最大时，求点P的坐标； （3）若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）点E的坐标为      【分析】 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； (3) 小问详解： 解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 54．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为点P，若该抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B左侧，求的面积． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出、、，再根据求解即可． 【详解】 解：已知二次函数，顶点为P， ，· 抛物线与x轴交于A、B两点 对于二次函数，令，即， 解得，． A、B两点坐标为、， ， ． 55．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）已知二次函数． （1）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； （2）当时，x的取值范围是                 ； （3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为                 ． 【答案】（1） 如图所示：      （2）或；     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，再描点，连线，即可作答． （2）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接即可； (2) 小问详解： 解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 56．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的最值，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向下，顶点在内，最大值在顶点处取得，然后求出时的值，最小值在左端点处取得，就可得到y的取值范围． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，； 当时，， ∴当时，函数最小值为， 故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 57．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，抛物线（是常数，且）与轴交于两点，与y轴交于点．并且两点的坐标分别是． （1）①求抛物线的解析式； ②顶点的坐标为___________； ③直线的解析式为___________； （2）若为线段上的一个动点，过点作轴于点，求四边形面积的最大值； （3）若点是抛物线在第一象限上的一个动点，过点作交轴于点．当点的坐标为___________时，四边形是平行四边形． 【答案】（1）①；②；③     （2）     （3）      【分析】 （1）①利用待定系数法解答即可；②把函数解析式化为顶点式，即可求解；③利用待定系数法解答即可； （2）设点P的坐标为，可得，再求出，然后根据，结合二次函数的性质解答即可； （3）根据平行四边形的性质可得轴，从而得到点M的纵坐标为3，即可求解． (1) 小问详解： 解：①把分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为； 故答案为： ②∵， ∴顶点D的坐标为； 故答案为： ③设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为； 故答案为： (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 对于，当时，， ∴点C的坐标为， 即， ∴四边形面积， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为； (3) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵点C的坐标为， ∴点M的纵坐标为3， 对于，当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 58．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】（1）     （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 59．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则点的坐标为，将点的坐标代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵平行于轴，且， ∴点的坐标为， 将点，代入得： ， 解得， 将代入② 得：， 所以点的纵坐标为， 故答案为：． 60．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数的对称性求函数值，的最值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出，，再代入中计算，可判断① ； 利用抛物线的对称轴与对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，即可判断② ； 根据抛物线与轴的交点，根据① 求抛物线的解析式，从而可求得三点中的函数值，从而可比较它们的大小，由此可判断③ ； 根据抛物线与轴的交点，结合的范围、抛物线的顶点坐标，可确定的范围，从而可判断④． 【详解】 解：抛物线，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 故① 正确； ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴方程的根是， 故② 正确； ∵抛物线，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右边，随的增大而增大， ∵抛物线与轴交于点，，点在抛物线上，对称轴为， ∴与都在对称轴的右侧， ∴， ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴为抛物线的顶点， ∵抛物线的顶点在轴的下方， ∴， ∵点在抛物线上，抛物线与轴交于点， ∴， ∴， 故③ 错误； 抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， 当时，的取值范围是， 故④ 正确， 综上所述，① ② ④ 是正确的， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，根据二次函数的对称性求函数值，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 61．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求该抛物线对应的函数表达式； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，抛物线的对称轴为直线．令，得，即点的坐标为，进而可得点的坐标为． （2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （3）结合图象可直接得出答案． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点、点， 抛物线的对称轴为直线， 令，得， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称， ． (2) 小问详解： 解：将，代入得 ， 解得： ， ； (3) 小问详解： 解：∵，， 由图可得，关于的不等式的解集为． 62．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，直线l与x轴交于点D．点P在该抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当的面积是3时，求点P的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为     （2）或      【分析】 本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求函数解析式，化成顶点式即可得解； （2）由题意易得，，根据三角形的面积，即可得解． (1) 小问详解： 解：抛物线经过、两点， ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为， ， ∴该抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由题意可得，， ， ， 解得：， 或． 63．（25-26学年九上·吉林长春·期末）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④．其中正确的序号是　　　　　　． 【答案】② ④ ④ ② 【分析】 本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 根据二次函数的性质可得，，，可判断结论① ；由处的函数值可判断结论② ；由处函数值可判断结论③ ；由处函数值和可判断结论④ ． 【详解】 解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则，，， 时，则， 且，故① 错误； 由对称性可得二次函数与轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ，故② 正确； 由函数图象可得时， ， 代入得：，故③ 错误； 时， ， 代入得：， ， ∴，故④ 正确； 综上所述② ④ 正确， 故答案为：② ④ ． 64．（25-26学年九上·吉林长春·期末）已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先将点代入函数解析式求出 b 的值； （2）根据题意得出二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可． (1) 小问详解： 解：将点代入， 得， 解得； (2) 小问详解： 由（1）得：函数解析式为． 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，； 当时，． 故y的取值范围是． 65．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；② 当时，有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）① 把代入解析式，写出函数解析式即可；② 将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】 解：（1）① 把代入，得： ； ∴； ② ∵， ∴当时，有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 66．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为． （1）当时，______． （2）求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． （3）当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值． 【答案】（1）2     （2）     （3）2或      【分析】 本题考查了二次函数与面积综合，一次函数的应用，几何中的动点问题．熟练掌握二次函数与面积综合，一次函数的应用，几何中的动点问题是解题的关键． （1）由题意知，当时，，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动；分当时，当时，两种情况求解，然后作答即可； （3）由题意得，由直线把分成面积比为两部分，可知分当时，当时，两种情况求解：由当时，；可知该面积解析式不满足要求；分① 当时，；② 当时，；计算求出满足要求的解即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，当时，，， ∴， 故答案为：2； (2) 小问详解： 解：由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动； 当时，，，； 当时，，，； ∴ ； (3) 小问详解： 解：由题意得， ∵直线把分成面积比为两部分， ∴分当时，当时，两种情况求解： 当时，不满足要求，舍去； ① 当时，， 解得，或（舍去）； ② 当时，， 解得，或（舍去）； 综上所述，t的值为2或． 67．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）二次函数与直线的图象交于点． （1）______． （2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）1     （2），顶点坐标为，对称轴为y轴      【分析】 本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据直线的图象过点可求得的值； （2）根据二次函数的图象过点，可求得的值，即可得到二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质即可求得答案． (1) 小问详解： 解：直线的图象过点，可得． 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，点P的坐标为． ∵点P在二次函数的图象上， ， ∴该二次函数的解析式； ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 68．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，在等腰直角中，，，过点作于点．点从点出发，以的速度沿向终点运动．过点作.于点，以，为邻边作．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为． （1）当点落在边上时，求的值． （2）当时，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）；     （2） ．      【分析】 本题考查了二次函数应用—面积问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，然后通过等腰直角三角形性质和勾股定理得，，然后代入即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当点落在边上时，的值为； (2) 小问详解： 解：如图，当时，， ∴； 如图，当时，， 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，， ∴； 综上， ． 69．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，，动点P从A开始沿边向B以2单位/秒的速度移动，动点Q从B开始沿边向C以4单位/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设的面积为S，出发时间为t． （1）写出S和t的函数关系式； （2）当t为何值时，面积为36？ （3）存不存在某一时刻的面积是的面积的三分之一？如若存在，求出t的值；如若不存在，说明理由． 【答案】（1）（）     （2）时，面积为36     （3） 解：不存在． 理由：由题意得， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴不存在某一时刻的面积是的面积的三分之一．      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，一元二次方程的应用． （1）由题意可知，，，求出的取值范围，进而根据计算即可； （2）由题意得，解一元二次方程即可； （3）由题意得，根据根的判别式可知不存在． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴（）； (2) 小问详解： 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴时，面积为36； (3) 小问详解： 略 70．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为．    （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为；     （2）发球机的弹射出口高度应调整为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． (2) 小问详解： 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 71．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）已知抛物线． （1）无论m取何值，该抛物线总经过一定点，定点坐标为______． （2）抛物线与直线y＝x＋1交于两点，，且，若，求m的值． （3）点P是抛物线上第四象限内一动点，在（2）的条件下，求△PAB面积的最大值． 【答案】（1）     （2）m＝－3     （3）      【分析】 （1）将解析式变形，令含项的系数为0，进而求得的值即可求得定点坐标； （2）由（1）的结论求得，B点的坐标，进而求得的值； （3）设，，根据坐标求得直线的解析式，作PM∥y轴，交AB于点M．则，根据三角形面积公式进行计算即可，进而根据二次函数的性质求得最值即可． (1) 小问详解： 由题意得， 当x＝－1，y＝0． 故定点坐标为． (2) 小问详解： ∵直线y＝x＋1与抛物线都经过点， ∴，， 将代入 得m＝－3． (3) 小问详解： 当m＝－3时，抛物线． 设，． 设的解析式为 则 解得 直线的解析式为 如图，作PM∥y轴，交AB于点M．则． ∴ ． ∵，0<t<3， ∴当时，△PAB面积有最大值． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合运用，求得定点的坐标是解题的关键． 72．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 【答案】（1）直线；     （2）．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）把已知点的坐标代入中求出a的值，从而得到抛物线解析式，再利用配方法把一般式配成顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质得到当，y有最小值，然后计算出自变量为1和5所对应的函数值，从而得到y的取值范围． (1) 小问详解： 解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵，且， ∴，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 73．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】（1）     （2）点E的坐标为或．      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点，代入关系式， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的关系式为； (2) 小问详解： 解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 74．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则          ． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为     （2）     （3）m的值为3或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为． (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 75．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，先作出点关于轴的对称点，再作出点关于坐标原点的对称点，顺次连接，，三点得到． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）当点在此抛物线上时，求的值． （3）当此抛物线的最高点在的边上时，直接写出的值． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2），     （3），，，     （4）或或      【分析】 本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像及性质、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想以及确定临界点是解题的关键． （1）把代入即可解答； （2）由题意可知：，将C点代入抛物线解析式即可求m的值； （3）分别求出，顶点为，再分以下三种情况当顶点在边上时；当顶点在边上时；直线的解析式为，当顶点在上时；分别求出m的值即可； （4）临界点分别为：顶点在上时，当C点在抛物线上时，A点在x轴上时，根据临界点确定m的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：把代入， 可得：， ∴． (2) 小问详解： 解：∵点在此抛物线上，其横坐标为， ∴ ∵点A和点C关于坐标原点O对称， ∴， ∴当点C在此抛物线上时，， 解得：，． (3) 小问详解： 解：∵点关于轴的对称点，， ∴， ∵， ∴顶点为， 当顶点在边上时，； 当顶点在边上时，， 解得：或； 当顶点在上时， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 将顶点代入， 解得或； 综上所述：m的值为1，，，． (4) 小问详解： 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，顶点为，对称轴为， ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴内部的点在对称轴的左侧， 当顶点在上时，即， 解得：或（与顶点重合，不符合题意，不合题意舍去）     ∴点A的横坐标为， 当点A向左运动时，满足题意，即时， ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 如图：当C点在抛物线上时， 点A在x轴下方时，有， 解得：（舍去正值）． 此时点A向上运动，运动到x轴时，都符合题意，     ∵， ∴或（舍去正值） ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当C点在抛物线上， 点A在x轴上方时，有， 解得：（舍去负值），此时内部不存在抛物线上的点， 当点A向下运动时，点C在抛物线上方，直到点A运动到x轴时，都符合题意，即抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，如下图： ∵， ∴或（舍去负值）， ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， 综上所述：或或，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大． 76．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4？ （4）当时，若图象G与平行于x轴的直线有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；     （2）     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； (3) 小问详解： 解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； (4) 小问详解： 解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 77．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（b、是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）求点关于抛物线（b、是常数）的对称轴对称的点的坐标（用含的代数式表示）． （3）当点在轴上方时，直接写出的取值范围． （4）若此抛物线在点及点左侧部分的最低点的纵坐标为，求的值． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为     （2）     （3）的取值范围为或     （4）的值为或      【分析】 （1）把点，代入解析式进行求解即可； （2）根据二次函数的性质得出对称轴为直线，进而根据轴对称的性质即可求解； （3）先求得抛物线与轴的交点坐标，根据题意，即可求解； （4）先求得抛物线顶点为，分量种情况讨论，当时，在点左侧的图象顶点为最低点，则，当时，随的增大而减小，则为最低点，得出，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：把，代入， 则 ，                                                           解得 ，                                                           抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： ∴抛物线的对称轴是直线，                                 设点的横坐标为n，由题意，得 ∴                                                                              ∵ ∴ (3) 小问详解： 解：∵ 当时，， 解得： ∵点在轴上方，抛物线开口向上， ∴的取值范围为或； (4) 小问详解： ， 抛物线顶点为， 当时，在点左侧的图象顶点为最低点， 即，                                                          解得；                                                             当时，随的增大而减小， 为最低点， 即当时，，                   解得（舍去），，                               综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，二次函数的图象的性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 78．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求该抛物线函数关系式，并直接写出顶点坐标． （2）点D是抛物线顶点，当点P在抛物线对称轴右侧时，过点P作轴交抛物线对称轴于点C，连结，若，求m的值． （3）抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． （4）点是平面内的一点．当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标     （2）     （3）或     （4）或．      【分析】 此题主要考查了待定系数法求一元二次函数解析式，二次函数的图象及性质，解不等式组，解直角三角形等知识，解题关键是数形结合并注意分类讨论． （1）根据待定系数法，将、两点代入函数关系式，求得未知系数即可，将函数关系式变为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据点D和点P的特征，表示出 P，进一步表示出，，根据正切定义，即可求出m的值； （3）分析图象，发现点P在点B左右两侧的结果不同，因此对m的范围进行分类讨论； （4）根据不与坐标轴平行时，可得到 ，解得 ，当点落在抛物线时，关于对称，解得，然后分，这几种情况分类讨论即可． (1) 小问详解： 解：抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点， ， 解得 ， 抛物线为． ， 顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知对称轴为． 依题意得，P横坐标为m，且， 则P坐标为． 轴交抛物线对称轴于点C， ． ，． ， ．解得． (3) 小问详解： 解：点P是抛物线上一动点，其横坐标为m， ． 依题意得，当时，最高点为P，最低点为， 如图： 则，解得． ， ． 当时，最低点为，最高点为B， 差值为，即， 解得．不在范围内，故舍去． 当时，最低点为P，最高点为B， 则，此时m无解． 当时，最高点为，最低点为B， ，解得． ， ． 综上，或． (4) 小问详解： 解：∵当不与坐标轴平行时，，， ∴ ， ∴ ， ∵，其中， ∴点在上运动， 由题意得，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于、两点，，， 当时，点与横坐标相同， 此时轴， 当时，点在点右侧， 如图所示： 此时均在抛物线外部，抛物线没有落在矩形内部，不符合题意； 当时，即，点在点左侧， 要保证抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时， 解得． 如图所示，满足题意； 当时，与纵坐标相同， 当时，，此时点在左上角，如图所示： 当点落在抛物线时，关于对称， ∴， ∴， 根据图象，可知当时，此时抛物线在矩形外部，不符合题意； 当时，如图所示： 要保证抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， 解得． ∵， ． 当时，与纵坐标相同， 当时，，如图所示： 此时抛物线在矩形外部，不符合题意； 综上，或． 79．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）青蛙起跳后的运动路线为抛物线．某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． （3）仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1）顶点的坐标为，抛物线的解析式为     （2）起跳点与落地点的水平距离的长为     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，核心是利用抛物线的顶点式求解解析式，并结合平移、函数值计算等知识解决实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）通过抛物线的顶点坐标特征（最高点对应顶点），结合已知的水平距离和高度确定顶点，再代入原点坐标求出抛物线解析式； （2）根据“抛物线形状不变”判断其平移规律，得到新抛物线解析式后，求与轴交点的正坐标，进而得到水平距离； （3）先求出障碍物上表面的直线解析式，再结合“竖直距离不少于”的条件，通过函数差值的最小值建立不等式，求解平台高度． (1) 小问详解： 解：其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为， 顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 图像过原点， ， 解得：， ； (2) 小问详解： 解：抛物线的形状不变，， 新的抛物线可以看作由开始的抛物线向上平移了个单位长度得到的， 新的抛物线的表达式为， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； (3) 小问详解： 解：设直线的函数表达式为， 由题意，，， 将，代入得： 解得： 则， 设该平台的高度为， 由题意，设从平台起跳的函数表达式为， 设， 由题意知，， 当时，取最小值为， 解得， 该平台的高度为． 80．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在该抛物线上，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式和顶点坐标； （2）当点在抛物线上时，求的坐标； （3）作点关于坐标原点的对称点，连接、． ①点的坐标为______（用含的代数式表示）； ②当点在轴右侧时，若此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，则的取值范围为______； ③当抛物线的顶点落在边上时，直接写出的值． 【答案】（1），     （2）     （3）①；②；③或      【分析】 （1）将点代入，即可求解解析式，写出顶点式即可得顶点坐标； （2）由已知可得，根据轴可得点的坐标，将坐标代入，即可求解； （3）①根据关于原点对称的点的坐标互为相反数即可求解； ②根据已知结合图象可知需满足在抛物线上或抛物线的内部，列出不等式，求解的取值范围，结合可得； ③当抛物线的顶点落在边、、上时，结合图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线（是常数）经过点， ， ， 抛物线对应的函数表达式为； ， 顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：点在该抛物线上，其横坐标为， ， 轴，点的横坐标为， ， 点在抛物线上， ， 解得或（舍）， ，， 点的坐标为； (3) 小问详解： 解：①，关于原点对称的点的坐标互为相反数， ； 故答案为：； ②点在轴右侧， ，且在轴左侧， 抛物线的对称轴为直线， 在的左侧随的增大而减小， 要使抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小， 需满足内部的抛物线部分在对称轴的左侧， 即满足在抛物线上或抛物线的内部，如图： 将代入，得， ， ， 移项整理得， 对应方程的根为，， 函数的图象开口向上， 不等式的解为， 又， 的取值范围为； ③抛物线的顶点坐标为， 当抛物线的顶点落在边上时，即， 解得，此时顶点即点，顶点也落在边上； 当抛物线的顶点落在边上时， ，， 过两点的直线的解析式为， 将代入得， 解得或， 当时，，， 顶点不落在边上， 当时，，， 顶点落在边上， 或． 【点睛】 本题是二次函数几何综合题，将几何问题转化为坐标运算，如通过点的坐标求直线解析式；分析顶点落在三角形三边的不同情况，主要验证顶点是否在线段上，而非直线的延长线上，这也是本题的易错点． 81．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）连接，当时，求证：； （3）设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； （4）连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）；     （2） 证明：∵当时，代入， 得， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ， 解得，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴．     （3）或；     （4）或4．      【分析】 （1）直接将点坐标代入即可； （2）由题意知，进而可得，据此得证； （3）根据图象明显可知点在点左侧时，最值之差大于，不合题意，点在和顶点之间时，最值之差小于，不合题意；则分两种情况讨论即可； （4）分两种情况讨论：当点在上方时，作点关于轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线解析式，进而联立二次函数解析式求出值；当点在下方时，易得，同理可求值． (1) 小问详解： 解：将点，代入， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意可知顶点坐标为， ∵当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∴此时，，成立； 当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∵，， ∴， ∴， 解得，（舍）； 综上，或； (4) 小问详解： 解：①当点在上方时，作点关于轴对称点，则， 则， ∴， 过作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ∴， 过作轴于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴点， ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在下方时，过作交于点，过作交于点 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴在 ， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴点． ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， ， ， 解得（舍去）或， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】 本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 82．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】 解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故① 正确； 当时，，故② 正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③ 错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④ 正确． 综上所述，正确的有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 83．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）存在，或     （3），，，      【分析】 （1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． (3) 小问详解： 解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 84．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______． （3）如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （4）如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）①；②，；③；     （3）当时，取得最大值为，此时     （4）      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后再根据二次函数性质求解，求出点后利用待定系数法求解直线表达式； （3）设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （4）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． (1) 小问详解： 解：由题意知 ，解得 ， ∴解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为； ∴抛物线的顶点坐标为：，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大， ∴当时，在时，函数取到最大值为：；在时，函数取到最小值为， ∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴ ，解得 ， ∴直线表达式为， 故答案为：，，，； (3) 小问详解： 解：设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； (4) 小问详解： 解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 85．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出的值． 【答案】（1），     （2）①，②或      【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）① 根据解析式写出点的坐标，表示出矩形的周长，再用二次函数的性质求出最值即可；② 根据面积比为1：3，得出坐标关系，代入解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ， 解得 ， 抛物线解析式为； 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得 ， 直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：① 点的横坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以点的坐标为， 当点P在对称轴右侧时，，， 矩形的周长为， 即， 当时，矩形的周长最大，最大值为； 当点P在对称轴左侧时，， 矩形的周长= 周长最大值为； 综上，矩形的周长最大值为； ② 直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分， 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）； 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）． 综上，m的值为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合，解题关键是利用待定系数法求出解析式，利用点的坐标解决问题． 86．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ； ； 若点在此抛物线上，则； 若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故错误； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点 ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 87．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； （2）当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； （3）连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），点P的坐标为；     （2）点E的坐标为；     （3）存在，点N的坐标为或      【分析】 本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； (1) 小问详解： 解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得： ， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； (2) 小问详解： 解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 88．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线．点是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，连结，过点作，过点作轴，与交于点，以为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时． ①求此抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差； ②求的值； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②     （3）或      【点睛】 本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，求得，即可求解； （2）① 根据题意分别求得的坐标，根据函数图象确定最高点和最低点的坐标，即可求解； ② 根据勾股定理求得点的坐标，进而求得的长，根据正切的定义，即可求解； （3）分点分别在对称轴的左侧两种情况分析，结合函数图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线． ∴， 解得 ∴该抛物线对应的函数表达式为 (2) 小问详解： 解：① 如图， 当时． 点横坐标分别为 当时， 当时， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，， ∴当时，取得最小值为 当时，取得最大值为 ∴抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差为 ② 设， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴； (3) 小问详解： ∵点是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为， 当，即时，点在点重合， 当点在点左侧时； ① 当点落在顶点上时， 解得 ② 当经过顶点时，如图， 过作，过抛物线顶点作于点， 则， ∴， ，， ，， ∴， 整理得，， 解得：，， ； 当点在点A右侧时， ① 当落在顶点时，； ② 当经过顶点时，如图， 同理， ，，， 解得：或 ∴ 综上所述，当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，或． 89．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点的坐标； （3）若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值； （4）连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）当轴时，则点和点的纵坐标相等，即点和点关于对称轴对称，根据二次函数的性质即可解答； （3）表示出点和点的纵坐标，当线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，即点和点的纵坐标之差等于横坐标之差，列出方程即可解答； （4）首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，然后分类讨论，分别画图即可解答． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线， ，， ， 则抛物线对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：当轴时，点和点的纵坐标相等， 点和点都在该抛物线上， 点和点关于对称轴对称， 可得， 解得； (3) 小问详解： 解：∵点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、 代入解析式得，，， 如图，过点作轴，过点作轴，则， ， 线段平行于两坐标轴夹角的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得； (4) 小问详解： 解：∵ ∴当时，， 解得或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图，当点在轴下方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点恒在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大，先增大后减小，与题意不符，故该情况不存在； 如图，当点在轴上方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 当，即时， 点在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小，符合题意， 此时； 如图，当点在轴上方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 如图，当点在轴下方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 综上，． 90．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）求这条抛物线的解析式． （2）当时，求的最大值和最小值． （3）点为这条抛物线上的一个动点，点的横坐标为（），以点为中心作正方形，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）的最大值和最小值分别是、     （3）①；②的值为或或．      【分析】 （）通过对称轴为直线，列出方程解出的值； （）画出函数图象，通过二次函数的性质求出最大最小值； （）①通过正方形中点的坐标，求出正方形左端点的横坐标，结合正方形内部的点的增减性得到正方形在对称轴的左边，从而求出的取值范围； ②求出正方形左右两边的函数解析式，在求出交点坐标，通过交点的纵坐标之差为列出方程，求出的值． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令，得，则或， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，则， ∴抛物线与轴的交点为， 抛物线如图所示，    当时，， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴当时，的最大值为，的最小值为； (3) 小问详解： 解：①由题意得，正方形边长为， ∵轴， ∴轴， ∵的横坐标为，且点是正方形的中心，抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧，即， 解得：， ∴， ②当时，， 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，    此时则 解得； 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，    此时， ∴ 解得， ∴； 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，    ， 解得， ∴， 综上所述，m的值为或或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，二次函数的性质，利用增减性解决最大最小值问题，结合几何图形求出参数的值． 91．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点在线段上运动时，求线段的长度；（用含m的式子表示） （3）当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； （4）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）；     （2）.     （3）m=2     （4）或      【分析】 （1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式；根据所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（1）可得到关于m的方程，可求得m的值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过A，C两点， ∴代入抛物线解析式可得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； 令， 可得， 解，， ∵点B在点A右侧， ∴点B坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得 ， 解得 ， ∴直线解析式为； (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴，， ∵P在线段上运动， ∴点M在点N上方， ； (3) 小问详解： 解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时， 则有， ∴M点纵坐标为3， ∴， 解得或， 当时， 则M，N重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； (4) 小问详解： 解：∵， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程， 即， 此时． ∴方程无解， 解方程， 即， ∴， ∴， 综上，m的值为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数和一次函数的图像和性质，二次函数的最值，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 92．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为；     （3）      【分析】 （1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. (1) 小问详解： 解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； (3) 小问详解： ∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 93．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值； （3）点在抛物线上，过点D作直线轴，若直线l与抛物线上A，B两点之间的部分（包含点A，B）有两个交点，则m的取值范围为____________________． 【答案】（1）     （2）     （3）且      【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入表达式求解即可. （2）首先表示出点B平移后的坐标，然后代入求解即可. （3）令，求出，，然后求出点A关于直线的对称点坐标为，然后根据题意分情况求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点，， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线为：. (2) 小问详解： 解：将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度， 即． 将代入， 得， . (3) 小问详解： 解：令，即， 解得，， 点A关于直线的对称点坐标为． 当时，点D在点A左侧，仅有1个交点． 当且时，点D在点A右侧，的左侧（包含），有2个交点． 当时，点D在右侧，（或与点B重合），有1个交点． 当时，为顶点，仅有1个交点． 综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为且． 94．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； （4）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）     （3）     （4）存在，满足条件的点M的坐标为或或      【分析】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； (3) 小问详解： 解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； (4) 小问详解： 解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 95．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： （1）与的几组对应值如下表，其中__________． x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 m 0 1 0 … （2）如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补充完整． （3）结合函数图象：解决下列问题： ①当随的增大而减小时，写出的取值范围__________． ②若方程的所有解的和为，则的值为__________． ③不等式的解集为__________． 【答案】（1）     （2） 描点、连线画出函数的图象如图，      （3）①或；② 2；③或．      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①根据图像写出范围即可；②根据图像，结合表格可知有三个解，分别为，再求和即可；③先求出的根，结合图像写出不等式的解即可． (1) 小问详解： 把代入得，， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①由图可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； ②根据图像，结合表格可知有三个解， 分别为， 所以所有解的和为， 故答案为：2； ③不等式， 当时， 当时，，即， 解得（舍）， 当当时，，即， 解得， ∴原不等式的解为或． 故答案为：或． 96．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）连接，当平行于x轴时，求m的值． （3）将抛物线在A、P两点之间的部分（包括A、P两点）的图象记为G． ①当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1，则m的取值范围是__________． ②当图象G与直线只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）①或；②或或      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求得的值即可； （2）当平行于x轴时，点的纵坐标与相同，即，将点代入，计算求解的值即可； （3）①当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1，分情况讨论，当当点在对称轴的左侧时，即，图象的最高点为顶点；当点在点的右侧时，图象的最高点为， 图象的最低点为，据此进行求解即可； ②将直线与抛物线的表达式联立，利用判别式的范围，得到直线与抛物线有交点，点的坐标为，要使图象G与直线只有一个交点，分情况讨论：当时，点在直线的下方，列出关于的方程，解出的范围，当时，点在直线的上方，并且点在直线的下方，列出关于的方程，解出的范围即可． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线，得 ， 解得 因此，该抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当平行于x轴时，点的纵坐标与相同，即， 将点代入得： 解得或， 由于点的横坐标为，则 因此当平行于x轴时，； (3) 小问详解： 解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为， 则抛物线的图象开口向下，顶点坐标为 当点在对称轴的左侧时，即， 图象的最高点为顶点， 当点最低处于点的纵坐标相等时，此时图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1，由（2）知，， 则m的取值范围是则m的取值范围是； 当点在点的右侧时， 图象的最高点为，要使图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1， 则图象的最低点为， 此时 解得或（舍去） 综上，m的取值范围是或； 故答案为：或； ②根据题意得：， 即 判别式 当时，即， 解得， 此时方程有唯一解，即， 此时满足条件； 当时，即， 解得， 此时抛物线与直线有交点， 由（1）可知，点的坐标为 当时，点在直线的下方， 则， 解得或（舍去）， 因此，当图象G与直线只有一个交点时， 的取值范围为； 当时，点在直线的上方，并且点在直线的下方 则， 解得， 因此，当图象G与直线只有一个交点时， 的取值范围为或． 综上所述，当图象G与直线只有一个交点时，m的取值范围为：或或． 97．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）已知抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，则的最大值为　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题，将线段的最值问题转化为二次函数的最值问题是解决此题的关键．根据二次函数的解析式求出点B、C的坐标，设点D的坐标是，则点E的坐标是，用含x的式子表示出的长． 【详解】 解：当时，可得：， 解得：，， ∵点A在点B左侧， ∴点B的坐标是， 当时，可得：， ∴点C的坐标是， 设直线的解析式是， 把点B的坐标，点C的坐标代入， 可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式是， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∵二次项系数为， ∴有最大值，最大值是． 故答案为：． 98．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； （4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）点的坐标为     （4）存在，点的坐标为或      【分析】 本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． (2) 小问详解： 由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； (4) 小问详解： 设直线的解析式为：，代入， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 99．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． （1）求该抛物线的解析式． （2）当时，求该抛物线中y的取值范围． （3）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． （4）当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）且      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 ， 解得 ， ∴该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． (3) 小问详解： 解：根据题意得； (4) 小问详解： 解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立 ，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 100．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）① 点；②的最大值为     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）① 过点作轴交于点，交轴于点，由得，当时，，则，，由，得，，从而得出点； ② 求出直线的函数表达式为，设，则，，则，故有，然后通过二次函数的性质即可求解； （3）先求得解析式为，设，由在直线上方，，则，然后找出临界点，从而求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ，解得 ，      ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：① 如图，过点作轴交于点，交轴于点， 由得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ② 设直线解析式为，代入， ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值为； (3) 小问详解： 解：设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 设， ∵在直线上方，， ∴， 如图，当点在抛物线上时，， ∴， 解得， ， 当与重合时，此时， 当与重合时，此时， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的的取值范围为或． 101．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中，已知点的坐标为． （1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当点与点恰好关于抛物线对称轴对称时，设抛物线的顶点为点，求的面积； （3）当此拋物线在点与点之间的部分（包含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为     （2）的面积为     （3）或      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解，然后化成顶点式可求顶点坐标； （2）由题意易得，然后可得点P、Q坐标，进而问题可求解； （3）由题意得，由（2）可分当时，当时，当时，然后分类求解即可． (1) 小问详解： 解：把点代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， 把配成顶点式得：， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知：二次函数的对称轴为直线，， ∵点与点恰好关于抛物线对称轴对称， ∴，解得：，则， ∴点、Q的横坐标分别为， ∴，，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 由题意得：， 由（2）可分：当时，此时点P、Q分别位于抛物线的对称轴两侧，且点P离抛物线的对称轴更近， ∴最小值为，最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时点Q离抛物线的对称轴更近， ∴最小值为，最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时最小值为，最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：或． 102．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为．点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，构造矩形．设点的横坐标为．    （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在轴上方时，求四边形的周长与的函数关系式； （3）当该抛物线的顶点和点到所在直线的距离相等时，求的值； （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      （4）或      【分析】 用待定系数法求函数的解析式即可； 先确定的取值范围，再求周长即可； 由题意可知在过点、点于轴平行的直线中间，则点的纵坐标为由此求即可； (4)画出图象，分两种情况讨论：当时,时, 抛物线在矩形PNOM 内的部分所对应的函数值随的增大而减小；当时, 当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小. (1) 小问详解： 解：将代入, ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： ∵点横坐标为, ∴, ∵当点在轴上方， ∴, ∴或, 当时, , ∴四边形的周长； 当时,, ∴四边形的周长； 故四边形的周长与的函数关系式为: ； (3) 小问详解： ∵点横坐标为, ∴, ∵, ∴抛物线的顶点为, ∵抛物线的顶点和点B到所在直线的距离相等， ， 解得 或； (4) 小问详解： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 令, 则： 解得或, ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 综上所述：或时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值 随的增大而减小. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. 103．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，点、、在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． （3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. (1) 小问详解： 解：将代入，得到 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得 ，解得： ， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； (3) 小问详解： 存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 104．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的对称轴是直线，且经过点，点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、、，若，，求点坐标； （3）若点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围； （4）将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象，当图象的最大值与最小值之差为3时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 本题考查了二次函数的几何综合，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线（、是常数）的对称轴是直线，且经过点，即可求出的值，从而求出抛物线的解析式； （2）因为抛物线的解析式为，点、在该抛物线上，横坐标分别为、，则或，再结合，，即可解得的值，从而求出点的坐标； （3）结合点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，即可求出的取值范围； （4）由点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、，先求出点、的坐标，结合图象的最大值和最小值之差为3，然后分类讨论，再列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：抛物线（、是常数）的对称轴是直线， ， 即，解得， ． 抛物线过点， 把点代入中， 得，解得， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、， 把和分别代入中， 得或， 解得或， ． ， ． 如图所示，分别过点、作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ． ， ． ， ，解得， 点坐标为； (3) 小问详解： 解：点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上， ， ． ， ， 解得． 的取值范围是； (4) 小问详解： 解：点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、， 把和分别代入中， 解得或， ． 抛物线（、是常数）的对称轴是直线， 把代入中，解得， 抛物线的顶点坐标为． ① 当、两点均在对称轴的左侧时，此时，即， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 但不属于，所以不符合题意，舍去； ② 当、两点在对称轴的两侧时，且点离对称轴更远时， 此时 ，解得， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即， 解得，． 不属于，不符合题意； 而属于，所以符合题意； ③ 当、两点在对称轴的两侧时，且点离对称轴更远时， 此时 ，解得， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 属于，符合题意； 但不属于，所以不符合题意； ④ 当、两点均在对称轴的右侧时，此时，即， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 但不属于，所以不符合题意，舍去． 综上所述，的值或． 105．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点，且对称轴为直线，点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与点A重合，抛物线上点M与点A之间的部分（包括端点）记为图象G． （1）求此抛物线所对应的函数解析式； （2）连接，当轴时，求点M的坐标； （3）当图象G的最大值与最小值的差为1时，求m的取值范围； （4）连接，以为对角线构造矩形，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点D（异于点A、M），点D关于的对称点是点E，当时，直接写出m的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）m的值为6或      【分析】 （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据轴时，点的纵坐标为，代入解析式计算即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可； （4）分且点在点上方，且点在点下方，和0，三种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（、为常数）经过点，且对称轴为直线， ∴ ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： ∵轴，， ∴点的纵坐标为， 令， 解得（与点A重合，舍去）或， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴当时，取得最小值；当时，随值的增大而减小， ①时， 当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：， ∴，解得：（舍去）； ②时， 当时，函数有最小值：，当时，函数有最大值：， ∴，解得：； ③时， 当时，函数有最小值：，由题意，得：函数的最大值为， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为：； ∴时，满足图象的最大值与最小值差为1； 综上所述：或； (4) 小问详解： ① 当且点在点上方时，如图所示， ∵，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ② 当且点在点下方时，如图所示， ∵，轴，轴， ∴， 由图可知：关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ③ 当时，点在点上方，如图所示， 矩形的边与抛物线没有除之外的交点，不符合题意； 综上所述：符合条件的的值为6或． 【点睛】 注意分类讨论，不要遗漏． 106．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）作点关于抛物线对称轴的对称点（不与重合），连接，当为锐角时，求的值． （4）以为边向下作正方形．当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），     （2）或，     （3）     （4）或      【分析】 （1）将点代入抛物线解析式求解，即可得到该抛物线对应的函数表达式，再将一般式化为顶点式，即可得到其顶点坐标； （2）根据抛物线解析式求出其与轴交点坐标，进而求出点横坐标，再结合解析式求解，即可求出点的坐标； （3）根据抛物线解析式求出，，因为点关于抛物线对称轴的对称点为（不与重合），过点作垂直于直线于点，分情况① 当点在点左侧，且为锐角时，又当点在点下方与点在点上方时，② 当点在点右侧，且为锐角时，又当点在点下方与点在点上方时，进行分析讨论，并结合正切的定义求解，即可解题； （4）由（3）可知点、，利用条件推出点与点分别在对称轴的两侧，记正方形的边与抛物线交于点，分情况① 当点在点左侧，时，过点作于点，② 当点在点右侧，时，作，并过点作于点，结合正方形性质，角的等量代换，以及角的正切值求解，找出临界状态求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：抛物线（是常数）经过点， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为， ， 该抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，有， 解得， 点在轴上，且点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， 或， 或， 当时，； 当时，； 点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， ，， 点关于抛物线对称轴的对称点为（不与重合）， 过点作垂直于直线于点， ① 当点在点左侧，且为锐角时， 有，解得，如图： 又当点在点下方时， （舍去）， 当点在点上方时， ，， ， 此时； ② 当点在点右侧，且为锐角时， 有，解得，如图： 又当点在点下方时， ， ， 此时； 当点在点上方时， （舍去）， 综上，的值为； (4) 小问详解： 解：由（3）可知点、， 抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大， 点与点分别在对称轴的两侧， 记正方形的边与抛物线交于点， ① 当点在点左侧，时，过点作于点，如图所示： 有，解得， 四边形为正方形， ， ， ， ， 当与顶点重合时，为符合条件的临界点， 此时， 有，解得， ； ② 当点在点右侧，时，作，并过点作于点，如图所示： 有， ， ， 同理可得，， 当与顶点重合时，为符合条件的临界点， 此时， 有，解得， ； 综上所述，当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标、对称轴、图像和性质，三角函数，正方形的性质及“分类讨论”思想的应用，解题的关键是利用“数形结合”将几个特殊点在图像中标出相对位置． 107．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结． （1）该抛物线对应的函数表达式为___________； （2）证明：； （3）若点在对称轴左侧，当直线与抛物线（是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为（点在点左侧）． ①请直接写出点、点的坐标（用含的代数式表示）； ②点在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为1时，求的值． 【答案】（1）     （2） 证明：如下图， ∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， ， 为的中位线． ；     （3）①；②或．      【分析】 本题考查的是二次函数综合题，重点考查待定系数法求表达式及二次函数的图象与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）把代入求出，即可解决； （2）由题意得出为的中位线，利用三角形中位线定理即可证明； （3）① 先求出，，根据点为线段中点求出点坐标； ② 先求出，再分两种情况：当在上方时，或当在下方时，分别计算求出即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（是常数）经过点， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如下图， ∵点在抛物线上，横坐标为， ， ∵点在轴上，纵坐标为， ， ∵点关于点的对称点，即点为线段中点， 设点坐标为， ， 解得： ， ； ② 由题意可得，， 同理，得， 当在上方时，如图， 则， 化简得， 解得（舍去），． 当在下方时，如下图， 则， 化简得时， 解得（舍去），． 综上所述，或． 108．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点的坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是______； （3）当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）2或3     （4）且      【分析】 本题考查二次函数综合问题，熟练掌握二次函数基本性质，能够求出函数解析式是解题关键． （1）根据二次函数的顶点列式，然后解出即可解答； （2）根据二次函数图像的性质即可解答； （3）先求出两点坐标，然后对进行分情况讨论即可； （4）画出当时，当时的图形，然后再根据数形结合进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴，， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，点越靠近对称轴，对应的函数值越小， ∴当时，在时，取得最小值，当时，取得最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为：， ∴时，， 解得或， 又∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得，两个解都不符合题意，舍去； 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得，符合题意； 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得或，不符合题意，舍去， ∴综上，的值为或． (4) 小问详解： 解：① 当时，如下图，矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意； ② 当时，如下图，在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而增大，故不满足抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，不符合题意； 当时，两点重合，不构成矩形，故不符合题意； ∴综上，当且时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小． 109．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为 、 ，的值为________； （4）以、为边构造平行四边形．连接、、、，若与面积的和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2），点坐标为     （3），，     （4）      【分析】 （1）将代入抛物线，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，得到对称轴，再由题意确定，解方程即可得到的值，进而得到点的横坐标，代入函数表达式求出纵坐标即可得到点坐标； （3）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，将、代入函数表达式即可得到纵坐标，从而确定点、的坐标；过点作，如图所，分别求出，得到是等腰直角三角形，即，从而得到的值； （4）根据题意，当与面积的和等于面积的一半，分当点在内部、当点在外部，两种情况讨论求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线（是常数）经过点 ， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 抛物线的对称轴为， 点在该抛物线上，且点的横坐标为，点在该抛物线上，且点的横坐标为， ， 解得， 点的横坐标为， 将代入得，则点坐标为； (3) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 当时，，即； 当时，，即； 设直线表达式为， 将、代入可得， ， 消去得到， 点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ； 过点作，如图所示： ， ， 则，， 则， 即是等腰直角三角形， ， 则， 故答案为：，，； (4) 小问详解： 解：由（3）知，设直线表达式为， 当点在内部时，过点作的垂线，交分别于点、点，如图所示： 在中，， ， ， 则， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线下方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，或， ， ； 设直线表达式为， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线上方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，， ， ； 当点在外部时，如图所示： ，即与面积的和不可能等于面积的一半，此种情况不满足题意，舍去； ， ， 综上所述，若与面积的和等于面积的一半，则的取值范围是． 【点睛】 本题考查二次函数综合，综合性强、难度很大，涉及待定系数法其抛物线表达式、抛物线图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、平行四边形性质、一次函数图象与性质、解一元二次方程、由二次函数图象与性质解不等式、三角形面积公式、平行四边形面积公式、不等式组解集求法等知识，熟练掌握二次函数综合问题的求解方法、熟记相关知识点并灵活运用是解决问题的关键． 110．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点__________，点______________； （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； （4）点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；；     （2）；     （3）① 当时，；当时，；②或；     （4）或．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点P的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点， ∴当时，， ， ∵点与点关于抛物线对称轴直线对称， ， 即； (3) 小问详解： 解：①， ∴抛物线的顶点为， ， ∴抛物线开口向下， ∴该抛物线最高点坐标为， 当时，， ， 此时； 当时，， ， ∵该抛物线最高点坐标为， 此时； ② 当时，图象G的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， 当时，（不合题意舍去）， ∴当或时，； 综上所述，m的取值范围为或； (4) 小问详解： 解：点M的坐标为或，理由如下： 如图，当时，则轴， ∴点C和点M关于对称轴对称， ∵点C的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点M的坐标为； 如图，当时，则轴于点F， ， ， ， ， 设，则， ∴点M的坐标为， 把代入，则， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 111．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点和点，与轴交于两点（点在点左侧），点在此抛物线上，横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标． （2）当点在第四象限时，求的取值范围． （3）当点在轴下方时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上．当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大或函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1），     （2）     （3）0或     （4）或      【分析】 （1）待定系数法求解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）由题意知，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；则，，当时，，结合二次函数的图象与性质，求解即可； （3）由题意知，，当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求解即可；当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求出满足要求的解即可； （4）由以为对角线的矩形可知，轴，则，，由题意知，，即；由题意知，分当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的两侧，画图象求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， ， 解得， ， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； ∴，， 由函数图象可知，当点在第四象限时，求的取值范围为； (3) 小问详解： 解：由题意知，， 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得，； 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得，或（舍去）； 综上所述，的值为0或． (4) 小问详解： 解：由以为对角线的矩形可知，轴，则，， 由题意知，，即； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大， ①当矩形在对称轴的同侧，矩形在对称轴的右侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时无解； 当在点的右侧时，，解得，，，此时无解； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的左侧时，关于对称轴对称的点坐标的横坐标为，如图1，     ∴，， 解得，； 当时，，如图2，此时不满足要求；     综上可得：抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ①当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的左侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时不符合题意； 当在点的右侧时，，解得，； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的右侧时，如图3，     ∴，， 解得 ，； 当时，，如图4，此时不满足要求；     ∴当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是． 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，无理数的估算，解一元二次方程，二次函数与特殊的平行四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·吉林松原·期末）抛物线的图象与轴的交点坐标为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查抛物线与坐标轴的交点，掌握好坐标轴上的点的特征是关键． 求抛物线与y轴的交点，即令，计算此时y的值即可． 【详解】 解：令，， ∴抛物线的图象与轴的交点坐标为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）抛物线与轴的交点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】 解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 3．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（     ） A. 4 B.  C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的解；根据函数图象，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数解， ∴可以理解为和有交点， 由图可得，， ∴， ∴的最大值为． 故选C． 4．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（       ） A.  B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 直接观察图象，抛物线与x轴交于，对称轴是直线，所以根据抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而求得关于x的一元二次方程的解． 【详解】 观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为，． 故选：D． 【点睛】 本题考查了用函数图像解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 5．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x=-3、x=0时y的值，就可顶点y的取值范围． 【详解】 =， ∵1>0， ∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5， 当x=-3时，y=-1；当x=0时，y=-4， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】 此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，已知自变量求函数值，解题中注意函数图象的对称轴在取值范围中，即函数存在最值，不要忽略． 6．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】 解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 7．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）已知抛物线的图象与x轴交点坐标分别为，，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出函数值为0时x的值，即可得到答案． 【详解】 解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线的图象与x轴的交点坐标分别为， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根的积是　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先根据抛物线与轴交点求出参数，再利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】 解：将点代入二次函数解析式，得， 解得， 一元二次方程为， 根据根与系数的关系，两根之积为． 故答案为：3． 9．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】 解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴性质以及抛物线与轴交点和一元二次方程解的关系是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴找到已知交点的对称点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的解来解题． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 设抛物线与轴的另一个交点为， 则， 解得， ∴关于的一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 11．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　　 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线对称轴为直线， 由图象可知二次函数过和，结合图像数形结合即可解决题目． 【详解】 解：∵对称轴为直线 由图象知，二次函数过和， ∵抛物线开口向下， ∴当时，或． 故答案为：或． 12．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）若抛物线（c是常数）与x轴没有公共点，则c的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，抛物线与x轴没有公共点，等价于二次方程无实数根，通过判别式小于零求解． 【详解】 ∵抛物线 与x轴没有公共点， ∴方程 无实数根． ∴判别式 ， 解得 ． 故答案为 13．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线的顶点坐标为______； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查抛物线与轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点坐标的特征、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据函数的对称轴和与轴交点可直接得到结论； （2）把解析式化为顶点式即可求解； （3）求出抛物线与轴的交点，然后利用二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：， 抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：时，即， 解得，， 抛物线与轴的交点为， 抛物线开口向上， 当时，． 14．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）已知抛物线． （1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值． 【答案】（1）证明：令得：① △ 方程① 有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）m的值为-3或1. 【分析】 （1）先求得△的值，然后证明△即可； （2）依据此抛物线与直线的一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可． 【详解】 解：（1）略 （2）令：，根据题意有：， 整理得： 解得或． 【点睛】 本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键． 15．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】 解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）若抛物线与x轴只有一个交点，则a的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的解是对应二次函数与x轴交点的横坐标是解题的关键． 当抛物线与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为零，据此列式计算即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）抛物线与轴没有交点，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】 解：抛物线与x轴没有交点， 方程没有实数根， ，即 解得：， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）下表是二次函数的部分取值情况： … 0 1 2 3 … … 0 4 3 … 根据表中信息，回答下列问题： （1）求该二次函数的图象的对称轴， （2）二次函数的图象的顶点坐标是______，表中的值为______，的值为______． （3）在下图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图象 （4）观察图象，直接写出时，的取值范围是______． 【答案】（1）直线     （2）     （3） 根据表格画图如下，      （4）      【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，画二次函数图象． （1）根据解析式化为顶点式得出对称轴，即可求解； （2）把一组已知的对应值代入中可求出c的值，然后利用配方法把抛物线解析式配成顶点，从而得到抛物线的顶点坐标； （3）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，再利用描点法画出二次函数图象； （4）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方的自变量的范围即可． (1) 小问详解： 解：， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：根据表格，当时，，则顶点坐标为 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，，即 故答案为：；；； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：由函数图象可得：当时，， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）已知拋物线的对称轴是直线，若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为m，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 设另一根为m， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图所示），由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：或． （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的        和        ．（只填序号） ①转化思想        ②分类讨论思想       ③数形结合思想 （2）一元二次不等式的解集为                      ． （3）用类似的方法解一元二次不等式：． 【答案】（1）① ③     （2）     （3）或．      【分析】 （1）根据题意容易得出结论； （2）由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即，即可得出结果； （3）设，解方程得出抛物线与x轴的交点坐标，画出二次函数的大致图象，由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，即可得出结果． (1) 小问详解： 解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③； (2) 小问详解： 解：由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：； (3) 小问详解： 解：设， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：或． 21．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CD∥x轴，与抛物线交于点D．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段OB与线段CD的长度和为　　　　　． 【答案】5 【分析】 先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长． 【详解】 解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）， ∴对称轴为直线x=1， ∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)， ∴点B(3，0)， ∴OB=3， ∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)， ∴点D(2，a+k)， ∴CD=2， ∴线段OB与线段CD的长度和为5， 故答案为5． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大． 22．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 【答案】1或3． 【分析】需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况． 【详解】① 当m2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点； ② 当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则 △=（2m+2）2-8（m2-1）=0， 解得 m=3，m=-1（舍去）． 综上所述，m的值是1或3． 23．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． （1）求点和点的坐标． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当矩形为正方形时，直接写出的值． （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为     （2）     （3）；；；     （4）或      【分析】 本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩形的变化情况是解题的关键． （1）把和分别代入运算求解即可； （2）利用二次函数式子表达出，从而得到，令和的纵坐标相等列式运算即可； （3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可； （4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入可得：， ∴， 解得：，， ∴； 把代入可得：， ∴； (2) 小问详解： 解：∵的横坐标为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴当重合时，则， 解得：； (3) 小问详解： 解：当有一组邻边相等时，矩形为正方形，由（2）可得：当时重合； ① 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ② 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ③ 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ④ 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； 综上，的值为：；；；； (4) 小问详解： ① 解：当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ② 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内没有图像，不符合题意； ③ 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ④ 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值既有随增大而减小，又有随增大而增大，不符合题意； 综上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，的取值范围为：或． 24．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，已知抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于A、B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出点C的坐标； （2）将抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′（3，0），求平移后的解析式． 【答案】（1）C（0，3）     （2）      【分析】 （1）令x＝0，求得函数y₁=ax2+（a﹣1）x+3的值即可求得； （2）把B的坐标代入y₁=ax2+（a﹣1）x+3求得a＝-1，设平移后的解析式为，然后把B和B＇的坐标代入，利用待定系数法即可求得平移后的抛物线的解析式． (1) 小问详解： 解：令x＝0，则y₁=ax2+（a﹣1）x+3＝3， ∴C（0，3）； (2) 小问详解： 解：∵抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于B（1，0）， ∴a＋a-1＋3＝0， ∴a＝-1， ∴抛物线为：y1＝-x2-2x+3， 设平移后的解析式为， ∵平移后的抛物线经过B和B＇， ∴ ，解得 ， ∴平移后的解析式为：． 【点睛】 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25．（25-26学年九上·吉林长春·期中）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）的值为            ； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 【答案】（1）     （2）当时，与之间的函数关系式为     （3）点燃分钟，罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一      (1) 小问详解： 解：． 故答案为：6． (2) 小问详解： 解：设， 将，代入， 得 ， 解得 ， ∴（）． (3) 小问详解： 解：当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时， ， 解得，． 答：石油气炉的燃烧时间为280分钟． 26．（25-26学年九上·吉林长春·期中）已知抛物线的对称轴为直线． （1）　　　，抛物线与y轴的交点坐标为　　　； （2）求抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若点A在抛物线上，且点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）若直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1），     （2）， 如下图所示：      （3）     （4）或或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，与坐标轴的交点，画函数图象等知识点； （1）根据对称轴求出，再求出抛物线与y轴的交点坐标即可； （2）根据对称轴为，求出顶点纵坐标即可，再根据列表，描点，连线的步骤画出函数图象； （3）根据点A的横坐标为a，点A到x轴距离是到y轴距离2倍，则点A的坐标为或，分别代入抛物线解析式列方程求解即可； （4）由题意得到，，，再求出与轴交点的横坐标，以及当在上时，，最后从左往右平移直线，分别画出图形，根据抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大列不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：4，； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 部分函数值表格如下： 在平面直角坐标系中找到各个点，并用丝滑的曲线连接得到该抛物线如下图所示： (3) 小问详解： 解：∵点A的横坐标为a，点A到x轴距离是到y轴距离2倍， ∴点A的坐标为或， 将代入得，，，无解； 将代入得，，解得：； 故a的值为； (4) 小问详解： 解：∵直线与x轴的交点为P， ∴， ∵直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M， ∴，， 令，解得， 当在上时，，解得， ① 当时，，如图，此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标不是y随x的增大而增大，不合题意； ② 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ③ 当，四个点都在x轴上，不合题意； ④ 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ⑤ 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ⑥ 当时，，如图，抛物线没有图形在矩形内部，不合题意； ⑦ 当时，抛物线只有一个点在矩形内部，不合题意； ⑧ 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得或， 此时； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，a的取值范围为或或． 27．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论． ①； ②； ③； ④若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的的性质及图象与系数的关系．根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定① ；根据对称性可知也在二次函数图像上，代入即可判断② ；由，，则即可判断③ ；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定④ ． 【详解】 解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，即① 正确， 在二次函数图像，且对称轴为， 也在二次函数图像上，即，故② 正确； ，， ，故③ 错误； ∵， ∴点，关于直线对称， ∵点，均在该二次函数图象上， ∴，即④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（       ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】 解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 2．（25-26学年九上·吉林长春·期末）竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是(          ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题中已知条件求出函数 的对称轴，四个选项中的时间越接近4小球就越高． 【详解】 解：若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 小球达到最高度的是秒， 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（       ） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 1米 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】 解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 4．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】 解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 5．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】 解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴ ， 解得， 故选：D． 6．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解利润由每盒利润与销售量乘积决定是解答本题的关键． 每盒利润为售价减成本，即元；销售量随售价下降而增加，基于基准售价99元时200盒，每降1元增2盒，故售价x元时销售量为盒． 【详解】 解：∵每盒利润：元， 售价下降：元， 销售量增加：盒， ∴销售量：盒， ∴． 故选D． 7．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（     ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ① 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断① ；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断② ；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③ ． 【详解】 解：根据题意得：，故① 正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为， 墙长为，， 解得 ， 的取值范围为，故②错误； 根据题意得：， 解得，， ， ， 的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③ 错误． 故选：D． 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为     （2）喷泉的落水点距水枪的水平距离为米      【分析】 （1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 9．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 10．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． （1）求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求菜园面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得 ， 解得， ， 即； (2) 小问详解： 由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 11．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是　　　　　　　　米． 【答案】4 【分析】 根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】 ∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标． ∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4， ∴顶点坐标为：（2，4）． ∴喷水的最大高度为4米． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题． 12．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求该运动员推铅球的成绩． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． (1) 小问详解： 解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 13．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为　　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】 解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 14．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． （1）当时，四边形的面积为______． （2）当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； (2) 小问详解： 解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 15．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】 解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投入市场进行式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低 1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，设销售单价元，销售利润元． （1）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （2）该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？ 【答案】（1）时，有最大值，最大值为4500元     （2）      【分析】 本题考查二次函数的实际应用． （1）根据题意可得，将其化为顶点式即可； （2）当时，求出相应的的值即可． (1) 小问详解： 解：依题意得 ∵ ，抛物线开口向下 ∴时，有最大值，最大值为4500元； (2) 小问详解： 当时， 解得 ∴当时，每天的销售利润不低于4000元． 17．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为________． 【答案】（1） 图象如图所示， ① 一次；② 二次     （2），当时，；，当时，     （3）65      【分析】 （1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． (1) 小问详解： 解：① 由图2可知，与近似一次函数； ②与近似二次函数． 故答案为：一次；二次． (2) 小问详解： 解：设， 将，；，代入，得， ， 解得 ， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，代入，得， ， 解得， ， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． (3) 小问详解： 解：由（2）可知，， 当时，，即小球运动了， 同一时间，电动小车运动的路程为， ∴，两点间的距离为． 【点睛】 本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 18．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）在矩形中，． （1）若矩形的面积为，求的长． （2）矩形面积的最大值为________． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积以及二次函数的性质是本题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出方程，然后解方程即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式写出关于的函数解析式，利用配方法求二次函数的最值． (1) 小问详解： 解：设的长为． 根据题意，得， 解得，． ∴的长为或． (2) 小问详解： 解：设的长为． 则矩形的面积为：． 当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 20．（25-26学年九上·吉林松原·期末）综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）① 定价为每束30元② 售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元      【分析】 本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题① ；二次函数求最值，解决问题② 即可． (1) 小问详解： 解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 设每天的总利润为，则：， ① 当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ② 由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 21．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1）     （2）工人直立时头顶不会触碰到桥拱      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点代入求解即可； （2）根据工人距点的距离求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． (1) 小问详解： 解：∵，桥拱顶点到水面的距离是， ∴顶点的坐标为， 设桥大拱部分抛物线的函数表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴桥大拱部分抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：把代入解析式得， ∵， ∴工人直立时头顶不会触碰到桥拱． 22．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化关系的图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分．结合图象信息，解答下列问题． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值； （3）当______A时，取得最大值为______W． 【答案】（1）     （2）     （3）2，220      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得 ， 解得 ， 与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：当时，； 当时，的值为． (3) 小问详解： 解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 23．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．     活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出          ；此次试验中实心球达到的最大高度是          ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点．    （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩：          ．（填“”“”或“”） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】 本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的数据找到对称轴，然后根据对称性求得，找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值； （2）已知顶点坐标，利用待定系数法代入顶点式即可求出函数解析式； （3）设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，得出和，再比较即可． 【详解】 解：（1）∵根据表格可知，当与时相等，所以对称轴为直线， ∴故当时，其对称点为，， ∴顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是； （2）∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴为第二次试验抛物线的顶点为， ∴设第二次试验的抛物线的解析式为， ∵把代入，得， ∴； （3）设第一次抛物线为， ∵把代入，得， 解得， ∴， ∵在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴； 在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26学年九上·吉林长春·期末）某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长．店长统计，产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同． （1）求该甜品销售量的月增长率； （2）该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．设每杯售价为元，月销量为杯，月利润为元． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出关于的函数关系式，并求出当为何值时取最大值？并求出其最大值． 【答案】（1）     （2）①．②；当元时，取最大值元．      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设该甜品销售量的月增长率为．产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同．据此列出方程并解方程即可； （2）① 设每杯售价为元，当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．据此列出一次函数解析式即可；② 月利润为元．根据销售量乘以每杯的利润即可列出函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． (1) 小问详解： 设该甜品销售量的月增长率为． 由题意，可得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该甜品销售量的月增长率为． (2) 小问详解： ① ∵当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少． ∴． ② 根据题意可得， ． 当元时，取最大值元． 25．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：______，______；（用含的代数式表示） （2）求出当为何值时，？ （3）设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． （4）在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）当时，     （3）     （4）存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的      【分析】 本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； (3) 小问详解： 由（2）可知，， ； (4) 小问详解： 存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 26．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 【答案】（1）李明这两年纯收入的年平均增长率为 ．     （2）当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识点，解题的关键是要理解题意、能正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据等量关系“李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元”列方程求解即可； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出函数解析式，最后根据x的取值范围求最值即可． (1) 小问详解： 解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：，解得， ， (不合题意，舍去)答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． (2) 小问详解： 解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米， 根据题意可得： 养鸡场面积=， ∵， ∴当时，养鸡场面积最大值为1250． 答：当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 27．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）综合与实践 问题情境：综合实践小组的同学对田径运动会上男运动员小宇一次推铅球的一张图片（图1）进行了研究． 建模分析： 第一步：根据铅球运动路线的照片，发现铅球的运动路线是抛物线的一部分． 第二步：以点O为坐标原点，表示水平地面的直线为x轴，铅球出手点A所在的铅垂直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．铅球达到最大高度时的位置为点B，铅球的落地点为点C（点O，A，B，C在同一竖直平面内，铅球大小忽略不计）． 第三步：信息获取． 信息1：铅球出手时离地面的高度为． 信息2：当铅球运动到与出手点相同高度时，与出手点A的水平距离为． 信息3：铅球运动过程中，距离地面的最大高度为． 问题解决： （1）填空：在平面直角坐标系中，点B的坐标为______． （2）在铅球运动过程中，求铅球离地面的高度y（单位：m）与到出手点的水平距离x（单位：m）之间的函数解析式． （3）学校规定男子铅球一、二、三级运动员标准如下：一级运动员须推以上的成绩；二级运动员须推以上的成绩；三级运动员须推以上的成绩．按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为几级运动员？ 【答案】（1）     （2）     （3）按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为三级运动员.      【分析】 本题考查二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，二次函数的实际应用． （1）根据题意，结合二次函数图象的对称性，即可得点B的坐标； （2）设二次函数的顶点式，根据题意可得点的坐标，设二次函数的顶点式，用待定系数法即可得y与x的函数解析式； （3）令，可得点的横坐标，即可得小宇这次推铅球的成绩，与学校规定进行比较即可． (1) 小问详解： 解：， ∴点B的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意，抛物线经过点，点为抛物线的顶点． 设铅球离地面的高度y与到出手点的水平距离x之间的函数解析式为． 将代入，得， 解得， ∴y与x的函数解析式为． (3) 小问详解： 解：当时，． 解得，（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴铅球推出的距离为， ∵， ∴按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为三级运动员． 28．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】 解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 29．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，游乐园计划在点处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好在距离点处达到最高，且最大高度为米．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）求出水柱的落地点的坐标． 【答案】（1）；     （2）点的坐标为．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，顶点坐标，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式求得a的值即可； （2）将代入（1）的解析式求得x，并取符合题意x的值即可确定点B的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将A代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：由（1）知：， 将代入可得：， 解得：（不符合题意舍去）， ∴水柱的落地点的坐标为． 30．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在2025年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题： 【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？ 【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题： （1）观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”） （2）求出关于的函数解析式． （3）当滑行距离为时，直接写出滑行时间． 【答案】（1）二次函数     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出与的二次函数关系式是解题的关键． （1）由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数； （2）据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可； （3）把代入解析式求出的值即可得出． (1) 小问详解： 解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数， 故答案为：二次函数； (2) 小问详解： 解：设函数解析式为，把，，， ， 解得： ， ∴关于的函数解析式为：； (3) 小问详解： 解：把代入解析式得：， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴当滑行距离为时，滑行时间为． 31．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】 解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 32．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当矩形花园的面积为时，求的长； （3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出此种情况下矩形花园面积的最大值． 【答案】（1）     （2）当矩形花园的面积为时，的长为或     （3）如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），矩形花园面积的最大值为      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）根据矩形面积长宽求解； （2）令，解一元二次方程求解； （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ∴的长为或； (3) 小问详解： 解：∵点P在矩形内部， ∴ ， 解得， ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 33．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】（1）     （2）石块能飞越防御墙      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入函数解析式，求得y的值，与10作比较即可得解． (1) 小问详解： 解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 点的坐标为， ， 解得： 抛物线的表达式为 (2) 小问详解： 当 时，，即石块能飞越防御墙 34．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）． （2）在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）先算出涨价元，再根据条件化简即可． （2）根据（1）中数据列出二次函数解析式，配方求最值即可． (1) 小问详解： 解：涨价元，则少售出件，则销量为件， 故答案为：． (2) 小问详解： 设总利润为w元， 由题意可得， ， ， ， 当时，w取得最大值， 答：当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元． 35．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （1）求雕塑高． （2）求落水点之间的距离． （3）若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱．      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意得，点在图象上． 当时， ． (2) 小问详解： 解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， (3) 小问详解： 略 36．（25-26学年九上·吉林长春·期中）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面　　　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】 解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 37．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）掷实心球是长春市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据长春市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分，按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：该男生在此项考试中能得到满分． 理由如下： 令，即， 解得，（负值舍去）． 该男生在此项考试中能得到满分．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解； （2）令，求出落地点坐标与进行比较，从而作出判断． (1) 小问详解： 解：由题可知抛物线的顶点为， ∴设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； (2) 小问详解： 略 38．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】 解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）在横线上直接写出y与x之间的函数关系式； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元     （3）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是26$ 专题03 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．C 2．D 3．【答案】3 【分析】 本题考查了二次函数的定义，根据是二次函数，得，再解得m的值，即可作答． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故答案为：3 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．C 2．A 3．A 4．A 5．【答案】上 【分析】 根据二次项系数得出抛物线的开口方向． 【详解】 ， ∵， ∴该二次函数的图像开口向上， 故答案为上． 【点睛】 此题考查二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． 6．【答案】＜ 【分析】求出抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的增减性解答． 【详解】∵抛物线y＝ax2（a＞0） ∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，对称轴为y轴 ∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4， ∴m＜n 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴解析式是解题的关键． 7．【答案】（1）关于的函数表达式为 ；     （2） 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；     （3）或．      【分析】 本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． (1) 小问详解： 解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为 ； (2) 小问详解： 解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 小问详解： 解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 8．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．C 9．D 10．A 11．A 12．A 13．D 14．D 15．C 16．A 17．B 18．A 19．D 20．C 21．D 22．C 23．A 24．D 25．A 26．B 27．B 28．C 29．D 30．C 31．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据平移规律直接解答即可． 【详解】 解：原抛物线解析式为 ，向上平移个单位，即在原函数值上加，得新解析式 故答案为：． 32．【答案】（-1,-3） 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 33．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，进行解题即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移5个单位长度，得到的新抛物线表达式为 ． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】 解：将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】 解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 36．【答案】1 【分析】 该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答； 根据二次函数的对称性解答即可； 【详解】 解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故答案为：1． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】 解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 38．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”，向下平移3个单位是“减3”，向左平移1个单位是“加1”，从而得到新表达式． 【详解】 解：抛物线 向下平移3个单位，得到 ；再向左平移1个单位，得到 ． 故答案为． 39．【答案】＜ 【分析】 本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，为二次函数的图象上的两个点，且， ∴． 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 由平移的规律即可求得答案． 【详解】 解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为，即 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 41．【答案】10 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】 解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 42．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，即可得到顶点坐标． 【详解】 解：抛物线的解析式为，将其右移2个单位，下移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为， 平移后抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D 9．C 10．C 11．B 12．B 13．C 14．C 15．D 16．D 17．D 18．D 19．C 20．B 21．B 22．C 23．D 24．【答案】直线或轴 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．根据二次函数的性质确定对称轴即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴． 25．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，利用图象法进行判断即可． 【详解】 解：由图象可知，当时，，当时，，且时，随着的增大而增大， ∴当时，函致y的取值范围为； 故答案为： 26．【答案】 【分析】 本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质． 先根据抛物线的对称性得出，两点关于轴对称，，进而得到直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出点坐标，将坐标代入即可求出． 【详解】 解：如图，    抛物线的对称轴为轴，且轴， , 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 关于轴对称， 点和点到的距离相等， ， ， 点的横坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标为，即， 将代入得，． 故答案为：． 27．【答案】(答案不唯一) 【分析】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象开口向下知，由经过点知，取，即可． 【详解】 解：设二次函数的表达式为， ∵图象开口向下， ∴， ∵图象经过点， ∴当时，， 故，表达式为（其中），取，，得， 故答案为：(答案不唯一)． 28．【答案】二 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，以及判断点所在的象限，解题的关键在于熟练掌握开口方向，图象与y轴的交点情况与系数的关系． 先根据二次函数的图象及性质判断a与c的符号，从而即可得出点所在象限． 【详解】 解：由图知，二次函数开口向下， ， 二次函数的图象与轴交于正半轴， ， 则点在第二象限； 故答案为：二． 29．【答案】 【分析】 设顶点式，然后把代入求出的值即可． 【详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关键是熟悉二次函数的顶点式的应用． 30．【答案】 【分析】 把二次函数解析式配方成顶点式的形式，然后即可写出对称轴． 【详解】 ， 故对称轴是直线． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，配方成顶点式是解题的关键，也可以利用对称轴公式直接求解． 31．【答案】（1）① ③ ；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】 解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：① ③ ． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 32．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，通过配方法将一般式转化为顶点式，从而直接读出顶点坐标． 【详解】 解：， 因此抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 33．【答案】（，0） 【详解】 ∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点P和点Q关于直线对称， 又∵点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的坐标为（-2，0）． 故答案为（-2，0）． 34．【答案】 【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，把二次函数解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为． 35．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别式的运用个，理解函数的平移，二次函数交点的含义是关键． 根据题意可得直线的解析式为，联立方程得，，整理得，，根据根的判别式得到，由二次函数与轴的交点可得当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即，由此即可求解． 【详解】 解：线段，点和点的坐标分别为，， ∴直线的解析式为， 将线段向下平移个单位长度后得到的解析式为， ∵平移后与抛物线有两个交点， ∴联立方程得，，整理得，， ∴， 解得，， 在二次函数中，令，则， ∴当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即， ∴， 故答案为： ． 36．【答案】，顶点坐标为 【分析】 本题考查了将二次函数的一般式化为顶点式. 通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式，从而直接写出顶点坐标即可. 【详解】 解：∵ ， ∴ 顶点坐标为 . 37．【答案】直线 【详解】，a=2，b=3，c=-1， x=-= 故答案为直线. 38．【答案】y＝﹣x2 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y=ax2，再结合图象，只需把（10，-4）代入求出a的值即可． 【详解】解：设该抛物线的解析式是y＝ax2， 由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得： 100a＝﹣4， 解得：a＝﹣． 故该抛物线的解析式是y＝﹣x2． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解. 39．【答案】一 【分析】 本题考查的是二次函数图象及性质，系数符号的确定是解题关键．根据对称轴的位置、开口方向、函数与y轴的交点的位置判断出的符号即可求解． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 又对称轴在轴左侧， ， ， 二次函数与y轴的交点在y轴正半轴， ， 在第一象限， 故答案为：一． 40．【答案】（1）a的值为1，该二次函数的顶点坐标为；     （2）．      【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象经过点，可以求得a的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据和二次函数的性质，可以求得y的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴当时，，当时，， 当时，该函数取得最小值， ∴当时，函数y的取值范围是． 41．【答案】 【分析】 本题主要考查的是矩形的性质，配方法求二次函数的最值，求得的最小值是解题的关键．先依据配方法确定出函数的最小值，依据矩形的对角线相等可得到，然后确定出的最小值即可. 【详解】 ， 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，有最小值， 的最小值为． ∵是矩形的对角线， ∴， 的最小值为． 故答案为：． 42．【答案】（1）     （2）点P的坐标为      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：将点和点代入， 得 ，解得 ． ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 43．【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】 解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 44．【答案】 【分析】 本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，把点和代入函数解析式解答即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， 解得 ， 即，． 45．【答案】（1）（3）（4） 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，与y轴的交点问题，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察函数图象，得函数图象开口向下，得，故，函数与轴的交点在坐标原点，把代入，得，把代入，得，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】 解：观察二次函数 的图象，得函数图象开口向下，即， 则对称轴为直线，即， 整理得， ∵， ∴， 函数与轴的交点在坐标原点， ∴， ∴ 故（1）符合题意； 把代入，得， 观察函数图象，得， 故（2）不符合题意； ∵，且，， ∴， 故（3）符合题意； 把代入，得， ∵， ∴观察函数图象，得， 故（4）符合题意； 故答案为：（1）（3）（4） 46．【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数的解析式，先理解题意，设这条抛物线的解析式为，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设这条抛物线的解析式为 将代入得 解得， ∴． 47．【答案】（1）     （2），     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数的相关性质成为解题的关键． （1）将点代入求得c的值即可解答； （2）先确定抛物线的对称轴，然后再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据图像以及题意列不等式求解即可； （4）先确定P、Q、M、N的坐标，然后根据题意列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：将点代入可得，解得：， 所以此抛物线的解析式． (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：，． (3) 小问详解： 解： ∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、， ∴，， ∴,， ∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， ∴，或 解得：或； (4) 小问详解： 解：∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、， ∴，， ∴,， ∵矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时， ① 当矩形的面积被x轴平分，则， ∴点P、点Q的纵坐标互为相反数， ∴，解得：（不符合题意）或， ② 当矩形的面积被y轴平分，则， ∴点P、点Q的横坐标互为相反数， ∴，解得： ∴当或时，矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点． 48．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】 解：∵抛物线经过，和， ∴ ， ∴ ， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ② ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：① ② ③． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线的顶点坐标，结合正方形的边长即可求得结论． (1) 小问详解： 解：∵正方形的边长为2， ∴点B、C的坐标分别为，， ∵二次函数的图象经过B，C两点， ∴ ， 解得 ； (2) 小问详解： 由（1）可知抛物线为， ∵， ∴顶点为， ∵正方形边长为2， ∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形内（不包括边上），m的取值范围是． 【点睛】 本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象与几何变换，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单． 50．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点的坐标为， 故答案为：． 51．【答案】（1），     （2）     （3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.      【分析】 本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. (1) 小问详解： 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； (2) 小问详解： 解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； (3) 小问详解： 解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 52．【答案】9 【分析】 本题考查二次函数的性质与最值，熟练掌握二次函数的顶点与增减性是解题关键． 结合二次函数的对称轴和开口方向判断增减性，然后算出最大值和最小值． 【详解】 解：二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，取最小值； ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴当时，的最大值为5，即， ∴． 53．【答案】（1）     （2）     （3）点E的坐标为      【分析】 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； (3) 小问详解： 解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 54．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出、、，再根据求解即可． 【详解】 解：已知二次函数，顶点为P， ，· 抛物线与x轴交于A、B两点 对于二次函数，令，即， 解得，． A、B两点坐标为、， ， ． 55．【答案】（1） 如图所示：      （2）或；     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，再描点，连线，即可作答． （2）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接即可； (2) 小问详解： 解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； (3) 小问详解： 解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 56．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的最值，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向下，顶点在内，最大值在顶点处取得，然后求出时的值，最小值在左端点处取得，就可得到y的取值范围． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，； 当时，， ∴当时，函数最小值为， 故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 57．【答案】（1）①；②；③     （2）     （3）      【分析】 （1）①利用待定系数法解答即可；②把函数解析式化为顶点式，即可求解；③利用待定系数法解答即可； （2）设点P的坐标为，可得，再求出，然后根据，结合二次函数的性质解答即可； （3）根据平行四边形的性质可得轴，从而得到点M的纵坐标为3，即可求解． (1) 小问详解： 解：①把分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为； 故答案为： ②∵， ∴顶点D的坐标为； 故答案为： ③设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为； 故答案为： (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 对于，当时，， ∴点C的坐标为， 即， ∴四边形面积， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为； (3) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵点C的坐标为， ∴点M的纵坐标为3， 对于，当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键． 58．【答案】（1）     （2）开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 59．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则点的坐标为，将点的坐标代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵平行于轴，且， ∴点的坐标为， 将点，代入得： ， 解得， 将代入② 得：， 所以点的纵坐标为， 故答案为：． 60．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数的对称性求函数值，的最值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出，，再代入中计算，可判断① ； 利用抛物线的对称轴与对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，即可判断② ； 根据抛物线与轴的交点，根据① 求抛物线的解析式，从而可求得三点中的函数值，从而可比较它们的大小，由此可判断③ ； 根据抛物线与轴的交点，结合的范围、抛物线的顶点坐标，可确定的范围，从而可判断④． 【详解】 解：抛物线，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 故① 正确； ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴方程的根是， 故② 正确； ∵抛物线，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右边，随的增大而增大， ∵抛物线与轴交于点，，点在抛物线上，对称轴为， ∴与都在对称轴的右侧， ∴， ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴为抛物线的顶点， ∵抛物线的顶点在轴的下方， ∴， ∵点在抛物线上，抛物线与轴交于点， ∴， ∴， 故③ 错误； 抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， 当时，的取值范围是， 故④ 正确， 综上所述，① ② ④ 是正确的， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，根据二次函数的对称性求函数值，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 61．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，抛物线的对称轴为直线．令，得，即点的坐标为，进而可得点的坐标为． （2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （3）结合图象可直接得出答案． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点、点， 抛物线的对称轴为直线， 令，得， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称， ． (2) 小问详解： 解：将，代入得 ， 解得： ， ； (3) 小问详解： 解：∵，， 由图可得，关于的不等式的解集为． 62．【答案】（1），顶点坐标为     （2）或      【分析】 本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求函数解析式，化成顶点式即可得解； （2）由题意易得，，根据三角形的面积，即可得解． (1) 小问详解： 解：抛物线经过、两点， ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为， ， ∴该抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由题意可得，， ， ， 解得：， 或． 63．【答案】② ④ ④ ② 【分析】 本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 根据二次函数的性质可得，，，可判断结论① ；由处的函数值可判断结论② ；由处函数值可判断结论③ ；由处函数值和可判断结论④ ． 【详解】 解：二次函数开口向下，则， 二次函数对称轴为，则，，， 时，则， 且，故① 错误； 由对称性可得二次函数与轴的另一交点为， 由函数图象可得时， ，故② 正确； 由函数图象可得时， ， 代入得：，故③ 错误； 时， ， 代入得：， ， ∴，故④ 正确； 综上所述② ④ 正确， 故答案为：② ④ ． 64．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先将点代入函数解析式求出 b 的值； （2）根据题意得出二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可． (1) 小问详解： 解：将点代入， 得， 解得； (2) 小问详解： 由（1）得：函数解析式为． 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，； 当时，． 故y的取值范围是． 65．【答案】（1）①；② 当时，有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）① 把代入解析式，写出函数解析式即可；② 将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】 解：（1）① 把代入，得： ； ∴； ② ∵， ∴当时，有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 66．【答案】（1）2     （2）     （3）2或      【分析】 本题考查了二次函数与面积综合，一次函数的应用，几何中的动点问题．熟练掌握二次函数与面积综合，一次函数的应用，几何中的动点问题是解题的关键． （1）由题意知，当时，，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动；分当时，当时，两种情况求解，然后作答即可； （3）由题意得，由直线把分成面积比为两部分，可知分当时，当时，两种情况求解：由当时，；可知该面积解析式不满足要求；分① 当时，；② 当时，；计算求出满足要求的解即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，当时，，， ∴， 故答案为：2； (2) 小问详解： 解：由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动； 当时，，，； 当时，，，； ∴ ； (3) 小问详解： 解：由题意得， ∵直线把分成面积比为两部分， ∴分当时，当时，两种情况求解： 当时，不满足要求，舍去； ① 当时，， 解得，或（舍去）； ② 当时，， 解得，或（舍去）； 综上所述，t的值为2或． 67．【答案】（1）1     （2），顶点坐标为，对称轴为y轴      【分析】 本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据直线的图象过点可求得的值； （2）根据二次函数的图象过点，可求得的值，即可得到二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质即可求得答案． (1) 小问详解： 解：直线的图象过点，可得． 故答案为：1； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，点P的坐标为． ∵点P在二次函数的图象上， ， ∴该二次函数的解析式； ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 68．【答案】（1）；     （2） ．      【分析】 本题考查了二次函数应用—面积问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，然后通过等腰直角三角形性质和勾股定理得，，然后代入即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当点落在边上时，的值为； (2) 小问详解： 解：如图，当时，， ∴； 如图，当时，， 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，， ∴； 综上， ． 69．【答案】（1）（）     （2）时，面积为36     （3） 解：不存在． 理由：由题意得， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴不存在某一时刻的面积是的面积的三分之一．      【分析】 本题考查了求二次函数解析式，一元二次方程的应用． （1）由题意可知，，，求出的取值范围，进而根据计算即可； （2）由题意得，解一元二次方程即可； （3）由题意得，根据根的判别式可知不存在． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴（）； (2) 小问详解： 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴时，面积为36； (3) 小问详解： 略 70．【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为；     （2）发球机的弹射出口高度应调整为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． (2) 小问详解： 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 71．【答案】（1）     （2）m＝－3     （3）      【分析】 （1）将解析式变形，令含项的系数为0，进而求得的值即可求得定点坐标； （2）由（1）的结论求得，B点的坐标，进而求得的值； （3）设，，根据坐标求得直线的解析式，作PM∥y轴，交AB于点M．则，根据三角形面积公式进行计算即可，进而根据二次函数的性质求得最值即可． (1) 小问详解： 由题意得， 当x＝－1，y＝0． 故定点坐标为． (2) 小问详解： ∵直线y＝x＋1与抛物线都经过点， ∴，， 将代入 得m＝－3． (3) 小问详解： 当m＝－3时，抛物线． 设，． 设的解析式为 则 解得 直线的解析式为 如图，作PM∥y轴，交AB于点M．则． ∴ ． ∵，0<t<3， ∴当时，△PAB面积有最大值． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合运用，求得定点的坐标是解题的关键． 72．【答案】（1）直线；     （2）．      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）把已知点的坐标代入中求出a的值，从而得到抛物线解析式，再利用配方法把一般式配成顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质得到当，y有最小值，然后计算出自变量为1和5所对应的函数值，从而得到y的取值范围． (1) 小问详解： 解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：∵，且， ∴，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 73．【答案】（1）     （2）点E的坐标为或．      【分析】 本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点，代入关系式， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的关系式为； (2) 小问详解： 解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 74．【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为     （2）     （3）m的值为3或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为． (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 75．【答案】（1）     （2），     （3），，，     （4）或或      【分析】 本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像及性质、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想以及确定临界点是解题的关键． （1）把代入即可解答； （2）由题意可知：，将C点代入抛物线解析式即可求m的值； （3）分别求出，顶点为，再分以下三种情况当顶点在边上时；当顶点在边上时；直线的解析式为，当顶点在上时；分别求出m的值即可； （4）临界点分别为：顶点在上时，当C点在抛物线上时，A点在x轴上时，根据临界点确定m的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：把代入， 可得：， ∴． (2) 小问详解： 解：∵点在此抛物线上，其横坐标为， ∴ ∵点A和点C关于坐标原点O对称， ∴， ∴当点C在此抛物线上时，， 解得：，． (3) 小问详解： 解：∵点关于轴的对称点，， ∴， ∵， ∴顶点为， 当顶点在边上时，； 当顶点在边上时，， 解得：或； 当顶点在上时， 设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 将顶点代入， 解得或； 综上所述：m的值为1，，，． (4) 小问详解： 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，顶点为，对称轴为， ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大， ∴内部的点在对称轴的左侧， 当顶点在上时，即， 解得：或（与顶点重合，不符合题意，不合题意舍去）     ∴点A的横坐标为， 当点A向左运动时，满足题意，即时， ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 如图：当C点在抛物线上时， 点A在x轴下方时，有， 解得：（舍去正值）． 此时点A向上运动，运动到x轴时，都符合题意，     ∵， ∴或（舍去正值） ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当C点在抛物线上， 点A在x轴上方时，有， 解得：（舍去负值），此时内部不存在抛物线上的点， 当点A向下运动时，点C在抛物线上方，直到点A运动到x轴时，都符合题意，即抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，如下图： ∵， ∴或（舍去负值）， ∴当时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， 综上所述：或或，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大． 76．【答案】（1）；     （2）     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的图象与性质等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把解析式化为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，根据函数图象开口向下得到离对称轴越远函数值越大，据此可确定最小值，进而可得答案； （3）当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，当时，图象的最大值为，最小值为，据此分别建立方程求解即可； （4）求出直线分别经过点C，点P和抛物线的顶点时m的值，再结合函数图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于、两点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小； 在中，当时， ∵， ∴当时，函数的最小值为，最大值为9，即； (3) 小问详解： 解：解：由（2）得抛物线的顶点坐标为， 在中，当时，，解得或， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，图象的最大值与最小值的差为； (4) 小问详解： 解：当直线恰好经过点C时， 则时， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当直线恰好经过点P时， 则， 解得或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当直线恰好经过抛物线的顶点时， 则， 解得， 此时图象与直线有且只有一个公共点； 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得（舍去）， 当时，若直线与线段有交点（不包括端点）时，此时满足图象与直线有且只有一个公共点， ∴， 解得； 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 77．【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为     （2）     （3）的取值范围为或     （4）的值为或      【分析】 （1）把点，代入解析式进行求解即可； （2）根据二次函数的性质得出对称轴为直线，进而根据轴对称的性质即可求解； （3）先求得抛物线与轴的交点坐标，根据题意，即可求解； （4）先求得抛物线顶点为，分量种情况讨论，当时，在点左侧的图象顶点为最低点，则，当时，随的增大而减小，则为最低点，得出，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：把，代入， 则 ，                                                           解得 ，                                                           抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： ∴抛物线的对称轴是直线，                                 设点的横坐标为n，由题意，得 ∴                                                                              ∵ ∴ (3) 小问详解： 解：∵ 当时，， 解得： ∵点在轴上方，抛物线开口向上， ∴的取值范围为或； (4) 小问详解： ， 抛物线顶点为， 当时，在点左侧的图象顶点为最低点， 即，                                                          解得；                                                             当时，随的增大而减小， 为最低点， 即当时，，                   解得（舍去），，                               综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合，二次函数的图象的性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 78．【答案】（1），顶点坐标     （2）     （3）或     （4）或．      【分析】 此题主要考查了待定系数法求一元二次函数解析式，二次函数的图象及性质，解不等式组，解直角三角形等知识，解题关键是数形结合并注意分类讨论． （1）根据待定系数法，将、两点代入函数关系式，求得未知系数即可，将函数关系式变为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据点D和点P的特征，表示出 P，进一步表示出，，根据正切定义，即可求出m的值； （3）分析图象，发现点P在点B左右两侧的结果不同，因此对m的范围进行分类讨论； （4）根据不与坐标轴平行时，可得到 ，解得 ，当点落在抛物线时，关于对称，解得，然后分，这几种情况分类讨论即可． (1) 小问详解： 解：抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点， ， 解得 ， 抛物线为． ， 顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：由（1）可知对称轴为． 依题意得，P横坐标为m，且， 则P坐标为． 轴交抛物线对称轴于点C， ． ，． ， ．解得． (3) 小问详解： 解：点P是抛物线上一动点，其横坐标为m， ． 依题意得，当时，最高点为P，最低点为， 如图： 则，解得． ， ． 当时，最低点为，最高点为B， 差值为，即， 解得．不在范围内，故舍去． 当时，最低点为P，最高点为B， 则，此时m无解． 当时，最高点为，最低点为B， ，解得． ， ． 综上，或． (4) 小问详解： 解：∵当不与坐标轴平行时，，， ∴ ， ∴ ， ∵，其中， ∴点在上运动， 由题意得，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于、两点，，， 当时，点与横坐标相同， 此时轴， 当时，点在点右侧， 如图所示： 此时均在抛物线外部，抛物线没有落在矩形内部，不符合题意； 当时，即，点在点左侧， 要保证抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时， 解得． 如图所示，满足题意； 当时，与纵坐标相同， 当时，，此时点在左上角，如图所示： 当点落在抛物线时，关于对称， ∴， ∴， 根据图象，可知当时，此时抛物线在矩形外部，不符合题意； 当时，如图所示： 要保证抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， 解得． ∵， ． 当时，与纵坐标相同， 当时，，如图所示： 此时抛物线在矩形外部，不符合题意； 综上，或． 79．【答案】（1）顶点的坐标为，抛物线的解析式为     （2）起跳点与落地点的水平距离的长为     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，核心是利用抛物线的顶点式求解解析式，并结合平移、函数值计算等知识解决实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）通过抛物线的顶点坐标特征（最高点对应顶点），结合已知的水平距离和高度确定顶点，再代入原点坐标求出抛物线解析式； （2）根据“抛物线形状不变”判断其平移规律，得到新抛物线解析式后，求与轴交点的正坐标，进而得到水平距离； （3）先求出障碍物上表面的直线解析式，再结合“竖直距离不少于”的条件，通过函数差值的最小值建立不等式，求解平台高度． (1) 小问详解： 解：其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为， 顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 图像过原点， ， 解得：， ； (2) 小问详解： 解：抛物线的形状不变，， 新的抛物线可以看作由开始的抛物线向上平移了个单位长度得到的， 新的抛物线的表达式为， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； (3) 小问详解： 解：设直线的函数表达式为， 由题意，，， 将，代入得： 解得： 则， 设该平台的高度为， 由题意，设从平台起跳的函数表达式为， 设， 由题意知，， 当时，取最小值为， 解得， 该平台的高度为． 80．【答案】（1），     （2）     （3）①；②；③或      【分析】 （1）将点代入，即可求解解析式，写出顶点式即可得顶点坐标； （2）由已知可得，根据轴可得点的坐标，将坐标代入，即可求解； （3）①根据关于原点对称的点的坐标互为相反数即可求解； ②根据已知结合图象可知需满足在抛物线上或抛物线的内部，列出不等式，求解的取值范围，结合可得； ③当抛物线的顶点落在边、、上时，结合图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线（是常数）经过点， ， ， 抛物线对应的函数表达式为； ， 顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：点在该抛物线上，其横坐标为， ， 轴，点的横坐标为， ， 点在抛物线上， ， 解得或（舍）， ，， 点的坐标为； (3) 小问详解： 解：①，关于原点对称的点的坐标互为相反数， ； 故答案为：； ②点在轴右侧， ，且在轴左侧， 抛物线的对称轴为直线， 在的左侧随的增大而减小， 要使抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小， 需满足内部的抛物线部分在对称轴的左侧， 即满足在抛物线上或抛物线的内部，如图： 将代入，得， ， ， 移项整理得， 对应方程的根为，， 函数的图象开口向上， 不等式的解为， 又， 的取值范围为； ③抛物线的顶点坐标为， 当抛物线的顶点落在边上时，即， 解得，此时顶点即点，顶点也落在边上； 当抛物线的顶点落在边上时， ，， 过两点的直线的解析式为， 将代入得， 解得或， 当时，，， 顶点不落在边上， 当时，，， 顶点落在边上， 或． 【点睛】 本题是二次函数几何综合题，将几何问题转化为坐标运算，如通过点的坐标求直线解析式；分析顶点落在三角形三边的不同情况，主要验证顶点是否在线段上，而非直线的延长线上，这也是本题的易错点． 81．【答案】（1）；     （2） 证明：∵当时，代入， 得， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ， 解得，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴．     （3）或；     （4）或4．      【分析】 （1）直接将点坐标代入即可； （2）由题意知，进而可得，据此得证； （3）根据图象明显可知点在点左侧时，最值之差大于，不合题意，点在和顶点之间时，最值之差小于，不合题意；则分两种情况讨论即可； （4）分两种情况讨论：当点在上方时，作点关于轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线解析式，进而联立二次函数解析式求出值；当点在下方时，易得，同理可求值． (1) 小问详解： 解：将点，代入， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意可知顶点坐标为， ∵当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∴此时，，成立； 当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∵，， ∴， ∴， 解得，（舍）； 综上，或； (4) 小问详解： 解：①当点在上方时，作点关于轴对称点，则， 则， ∴， 过作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ∴， 过作轴于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴点， ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在下方时，过作交于点，过作交于点 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴在 ， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴点． ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， ， ， 解得（舍去）或， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】 本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 82．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】 解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故① 正确； 当时，，故② 正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③ 错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④ 正确． 综上所述，正确的有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 83．【答案】（1）     （2）存在，或     （3），，，      【分析】 （1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： 解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． (3) 小问详解： 解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 84．【答案】（1）     （2）①；②，；③；     （3）当时，取得最大值为，此时     （4）      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）将二次函数解析式化成顶点式，然后再根据二次函数性质求解，求出点后利用待定系数法求解直线表达式； （3）设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （4）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． (1) 小问详解： 解：由题意知 ，解得 ， ∴解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为； ∴抛物线的顶点坐标为：，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大， ∴当时，在时，函数取到最大值为：；在时，函数取到最小值为， ∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴ ，解得 ， ∴直线表达式为， 故答案为：，，，； (3) 小问详解： 解：设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； (4) 小问详解： 解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 85．【答案】（1），     （2）①，②或      【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）① 根据解析式写出点的坐标，表示出矩形的周长，再用二次函数的性质求出最值即可；② 根据面积比为1：3，得出坐标关系，代入解析式求解即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得， ， 解得 ， 抛物线解析式为； 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得 ， 直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：① 点的横坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以点的坐标为， 当点P在对称轴右侧时，，， 矩形的周长为， 即， 当时，矩形的周长最大，最大值为； 当点P在对称轴左侧时，， 矩形的周长= 周长最大值为； 综上，矩形的周长最大值为； ② 直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分， 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）； 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）． 综上，m的值为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合，解题关键是利用待定系数法求出解析式，利用点的坐标解决问题． 86．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故错误； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点 ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 87．【答案】（1），点P的坐标为；     （2）点E的坐标为；     （3）存在，点N的坐标为或      【分析】 本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； (1) 小问详解： 解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得： ， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； (2) 小问详解： 解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 88．【答案】（1）     （2）①；②     （3）或      【点睛】 本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，求得，即可求解； （2）① 根据题意分别求得的坐标，根据函数图象确定最高点和最低点的坐标，即可求解； ② 根据勾股定理求得点的坐标，进而求得的长，根据正切的定义，即可求解； （3）分点分别在对称轴的左侧两种情况分析，结合函数图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线． ∴， 解得 ∴该抛物线对应的函数表达式为 (2) 小问详解： 解：① 如图， 当时． 点横坐标分别为 当时， 当时， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，， ∴当时，取得最小值为 当时，取得最大值为 ∴抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差为 ② 设， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴； (3) 小问详解： ∵点是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为， 当，即时，点在点重合， 当点在点左侧时； ① 当点落在顶点上时， 解得 ② 当经过顶点时，如图， 过作，过抛物线顶点作于点， 则， ∴， ，， ，， ∴， 整理得，， 解得：，， ； 当点在点A右侧时， ① 当落在顶点时，； ② 当经过顶点时，如图， 同理， ，，， 解得：或 ∴ 综上所述，当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，或． 89．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）当轴时，则点和点的纵坐标相等，即点和点关于对称轴对称，根据二次函数的性质即可解答； （3）表示出点和点的纵坐标，当线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，即点和点的纵坐标之差等于横坐标之差，列出方程即可解答； （4）首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，然后分类讨论，分别画图即可解答． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线， ，， ， 则抛物线对应的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：当轴时，点和点的纵坐标相等， 点和点都在该抛物线上， 点和点关于对称轴对称， 可得， 解得； (3) 小问详解： 解：∵点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、 代入解析式得，，， 如图，过点作轴，过点作轴，则， ， 线段平行于两坐标轴夹角的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得； (4) 小问详解： 解：∵ ∴当时，， 解得或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图，当点在轴下方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点恒在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大，先增大后减小，与题意不符，故该情况不存在； 如图，当点在轴上方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 当，即时， 点在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小，符合题意， 此时； 如图，当点在轴上方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 如图，当点在轴下方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 综上，． 90．【答案】（1）     （2）的最大值和最小值分别是、     （3）①；②的值为或或．      【分析】 （）通过对称轴为直线，列出方程解出的值； （）画出函数图象，通过二次函数的性质求出最大最小值； （）①通过正方形中点的坐标，求出正方形左端点的横坐标，结合正方形内部的点的增减性得到正方形在对称轴的左边，从而求出的取值范围； ②求出正方形左右两边的函数解析式，在求出交点坐标，通过交点的纵坐标之差为列出方程，求出的值． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：令，得，则或， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，则， ∴抛物线与轴的交点为， 抛物线如图所示，    当时，， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴当时，的最大值为，的最小值为； (3) 小问详解： 解：①由题意得，正方形边长为， ∵轴， ∴轴， ∵的横坐标为，且点是正方形的中心，抛物线落在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧，即， 解得：， ∴， ②当时，， 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，    此时则 解得； 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，    此时， ∴ 解得， ∴； 如图，当正方形与抛物线两个交点落在边、上时，    ， 解得， ∴， 综上所述，m的值为或或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，二次函数的性质，利用增减性解决最大最小值问题，结合几何图形求出参数的值． 91．【答案】（1）；     （2）.     （3）m=2     （4）或      【分析】 （1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式；根据所求抛物线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，且，则可求表示出M点纵坐标，代入抛物线解析式可求得m的值； （4）由条件可得出，结合（1）可得到关于m的方程，可求得m的值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过A，C两点， ∴代入抛物线解析式可得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为； 令， 可得， 解，， ∵点B在点A右侧， ∴点B坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得 ， 解得 ， ∴直线解析式为； (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴，， ∵P在线段上运动， ∴点M在点N上方， ； (3) 小问详解： 解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时， 则有， ∴M点纵坐标为3， ∴， 解得或， 当时， 则M，N重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； (4) 小问详解： 解：∵， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， ∴或， 解方程， 即， 此时． ∴方程无解， 解方程， 即， ∴， ∴， 综上，m的值为或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数和一次函数的图像和性质，二次函数的最值，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论．在（2）中用m表示出的长是解题的关键，在（3）中确定出是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到是解题的关键． 92．【答案】（1）     （2）新的二次函数的最大值与最小值的和为；     （3）      【分析】 （1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. (1) 小问详解： 解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； (3) 小问详解： ∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 93．【答案】（1）     （2）     （3）且      【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入表达式求解即可. （2）首先表示出点B平移后的坐标，然后代入求解即可. （3）令，求出，，然后求出点A关于直线的对称点坐标为，然后根据题意分情况求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点，， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线为：. (2) 小问详解： 解：将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度， 即． 将代入， 得， . (3) 小问详解： 解：令，即， 解得，， 点A关于直线的对称点坐标为． 当时，点D在点A左侧，仅有1个交点． 当且时，点D在点A右侧，的左侧（包含），有2个交点． 当时，点D在右侧，（或与点B重合），有1个交点． 当时，为顶点，仅有1个交点． 综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为且． 94．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）     （3）     （4）存在，满足条件的点M的坐标为或或      【分析】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； (3) 小问详解： 解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； (4) 小问详解： 解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 95．【答案】（1）     （2） 描点、连线画出函数的图象如图，      （3）①或；② 2；③或．      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①根据图像写出范围即可；②根据图像，结合表格可知有三个解，分别为，再求和即可；③先求出的根，结合图像写出不等式的解即可． (1) 小问详解： 把代入得，， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ①由图可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； ②根据图像，结合表格可知有三个解， 分别为， 所以所有解的和为， 故答案为：2； ③不等式， 当时， 当时，，即， 解得（舍）， 当当时，，即， 解得， ∴原不等式的解为或． 故答案为：或． 96．【答案】（1）     （2）     （3）①或；②或或      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点代入抛物线，求得的值即可； （2）当平行于x轴时，点的纵坐标与相同，即，将点代入，计算求解的值即可； （3）①当图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1，分情况讨论，当当点在对称轴的左侧时，即，图象的最高点为顶点；当点在点的右侧时，图象的最高点为， 图象的最低点为，据此进行求解即可； ②将直线与抛物线的表达式联立，利用判别式的范围，得到直线与抛物线有交点，点的坐标为，要使图象G与直线只有一个交点，分情况讨论：当时，点在直线的下方，列出关于的方程，解出的范围，当时，点在直线的上方，并且点在直线的下方，列出关于的方程，解出的范围即可． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线，得 ， 解得 因此，该抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当平行于x轴时，点的纵坐标与相同，即， 将点代入得： 解得或， 由于点的横坐标为，则 因此当平行于x轴时，； (3) 小问详解： 解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为， 则抛物线的图象开口向下，顶点坐标为 当点在对称轴的左侧时，即， 图象的最高点为顶点， 当点最低处于点的纵坐标相等时，此时图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1，由（2）知，， 则m的取值范围是则m的取值范围是； 当点在点的右侧时， 图象的最高点为，要使图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为1， 则图象的最低点为， 此时 解得或（舍去） 综上，m的取值范围是或； 故答案为：或； ②根据题意得：， 即 判别式 当时，即， 解得， 此时方程有唯一解，即， 此时满足条件； 当时，即， 解得， 此时抛物线与直线有交点， 由（1）可知，点的坐标为 当时，点在直线的下方， 则， 解得或（舍去）， 因此，当图象G与直线只有一个交点时， 的取值范围为； 当时，点在直线的上方，并且点在直线的下方 则， 解得， 因此，当图象G与直线只有一个交点时， 的取值范围为或． 综上所述，当图象G与直线只有一个交点时，m的取值范围为：或或． 97．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题，将线段的最值问题转化为二次函数的最值问题是解决此题的关键．根据二次函数的解析式求出点B、C的坐标，设点D的坐标是，则点E的坐标是，用含x的式子表示出的长． 【详解】 解：当时，可得：， 解得：，， ∵点A在点B左侧， ∴点B的坐标是， 当时，可得：， ∴点C的坐标是， 设直线的解析式是， 把点B的坐标，点C的坐标代入， 可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式是， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∵二次项系数为， ∴有最大值，最大值是． 故答案为：． 98．【答案】（1）     （2）     （3）点的坐标为     （4）存在，点的坐标为或      【分析】 本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． (1) 小问详解： 解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． (2) 小问详解： 由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； (4) 小问详解： 设直线的解析式为：，代入， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 99．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）且      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 ， 解得 ， ∴该抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． (3) 小问详解： 解：根据题意得； (4) 小问详解： 解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立 ，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 100．【答案】（1）     （2）① 点；②的最大值为     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）① 过点作轴交于点，交轴于点，由得，当时，，则，，由，得，，从而得出点； ② 求出直线的函数表达式为，设，则，，则，故有，然后通过二次函数的性质即可求解； （3）先求得解析式为，设，由在直线上方，，则，然后找出临界点，从而求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ，解得 ，      ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：① 如图，过点作轴交于点，交轴于点， 由得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ② 设直线解析式为，代入， ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值为； (3) 小问详解： 解：设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 设， ∵在直线上方，， ∴， 如图，当点在抛物线上时，， ∴， 解得， ， 当与重合时，此时， 当与重合时，此时， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的的取值范围为或． 101．【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为     （2）的面积为     （3）或      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解，然后化成顶点式可求顶点坐标； （2）由题意易得，然后可得点P、Q坐标，进而问题可求解； （3）由题意得，由（2）可分当时，当时，当时，然后分类求解即可． (1) 小问详解： 解：把点代入二次函数解析式得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， 把配成顶点式得：， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）可知：二次函数的对称轴为直线，， ∵点与点恰好关于抛物线对称轴对称， ∴，解得：，则， ∴点、Q的横坐标分别为， ∴，，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 由题意得：， 由（2）可分：当时，此时点P、Q分别位于抛物线的对称轴两侧，且点P离抛物线的对称轴更近， ∴最小值为，最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时点Q离抛物线的对称轴更近， ∴最小值为，最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，此时最小值为，最大值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：或． 102．【答案】（1）     （2）     （3）或      （4）或      【分析】 用待定系数法求函数的解析式即可； 先确定的取值范围，再求周长即可； 由题意可知在过点、点于轴平行的直线中间，则点的纵坐标为由此求即可； (4)画出图象，分两种情况讨论：当时,时, 抛物线在矩形PNOM 内的部分所对应的函数值随的增大而减小；当时, 当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小. (1) 小问详解： 解：将代入, ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： ∵点横坐标为, ∴, ∵当点在轴上方， ∴, ∴或, 当时, , ∴四边形的周长； 当时,, ∴四边形的周长； 故四边形的周长与的函数关系式为: ； (3) 小问详解： ∵点横坐标为, ∴, ∵, ∴抛物线的顶点为, ∵抛物线的顶点和点B到所在直线的距离相等， ， 解得 或； (4) 小问详解： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 令, 则： 解得或, ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 综上所述：或时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值 随的增大而减小. 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. 103．【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. (1) 小问详解： 解：将代入，得到 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得 ，解得： ， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； (3) 小问详解： 存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 104．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 本题考查了二次函数的几何综合，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线（、是常数）的对称轴是直线，且经过点，即可求出的值，从而求出抛物线的解析式； （2）因为抛物线的解析式为，点、在该抛物线上，横坐标分别为、，则或，再结合，，即可解得的值，从而求出点的坐标； （3）结合点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，即可求出的取值范围； （4）由点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、，先求出点、的坐标，结合图象的最大值和最小值之差为3，然后分类讨论，再列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：抛物线（、是常数）的对称轴是直线， ， 即，解得， ． 抛物线过点， 把点代入中， 得，解得， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、， 把和分别代入中， 得或， 解得或， ． ， ． 如图所示，分别过点、作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ． ， ． ， ，解得， 点坐标为； (3) 小问详解： 解：点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上， ， ． ， ， 解得． 的取值范围是； (4) 小问详解： 解：点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、， 把和分别代入中， 解得或， ． 抛物线（、是常数）的对称轴是直线， 把代入中，解得， 抛物线的顶点坐标为． ① 当、两点均在对称轴的左侧时，此时，即， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 但不属于，所以不符合题意，舍去； ② 当、两点在对称轴的两侧时，且点离对称轴更远时， 此时 ，解得， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即， 解得，． 不属于，不符合题意； 而属于，所以符合题意； ③ 当、两点在对称轴的两侧时，且点离对称轴更远时， 此时 ，解得， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 属于，符合题意； 但不属于，所以不符合题意； ④ 当、两点均在对称轴的右侧时，此时，即， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 但不属于，所以不符合题意，舍去． 综上所述，的值或． 105．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）m的值为6或      【分析】 （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据轴时，点的纵坐标为，代入解析式计算即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可； （4）分且点在点上方，且点在点下方，和0，三种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（、为常数）经过点，且对称轴为直线， ∴ ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： ∵轴，， ∴点的纵坐标为， 令， 解得（与点A重合，舍去）或， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴当时，取得最小值；当时，随值的增大而减小， ①时， 当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：， ∴，解得：（舍去）； ②时， 当时，函数有最小值：，当时，函数有最大值：， ∴，解得：； ③时， 当时，函数有最小值：，由题意，得：函数的最大值为， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为：； ∴时，满足图象的最大值与最小值差为1； 综上所述：或； (4) 小问详解： ① 当且点在点上方时，如图所示， ∵，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ② 当且点在点下方时，如图所示， ∵，轴，轴， ∴， 由图可知：关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ③ 当时，点在点上方，如图所示， 矩形的边与抛物线没有除之外的交点，不符合题意； 综上所述：符合条件的的值为6或． 【点睛】 注意分类讨论，不要遗漏． 106．【答案】（1），     （2）或，     （3）     （4）或      【分析】 （1）将点代入抛物线解析式求解，即可得到该抛物线对应的函数表达式，再将一般式化为顶点式，即可得到其顶点坐标； （2）根据抛物线解析式求出其与轴交点坐标，进而求出点横坐标，再结合解析式求解，即可求出点的坐标； （3）根据抛物线解析式求出，，因为点关于抛物线对称轴的对称点为（不与重合），过点作垂直于直线于点，分情况① 当点在点左侧，且为锐角时，又当点在点下方与点在点上方时，② 当点在点右侧，且为锐角时，又当点在点下方与点在点上方时，进行分析讨论，并结合正切的定义求解，即可解题； （4）由（3）可知点、，利用条件推出点与点分别在对称轴的两侧，记正方形的边与抛物线交于点，分情况① 当点在点左侧，时，过点作于点，② 当点在点右侧，时，作，并过点作于点，结合正方形性质，角的等量代换，以及角的正切值求解，找出临界状态求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：抛物线（是常数）经过点， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为， ， 该抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，有， 解得， 点在轴上，且点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， 或， 或， 当时，； 当时，； 点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， ，， 点关于抛物线对称轴的对称点为（不与重合）， 过点作垂直于直线于点， ① 当点在点左侧，且为锐角时， 有，解得，如图： 又当点在点下方时， （舍去）， 当点在点上方时， ，， ， 此时； ② 当点在点右侧，且为锐角时， 有，解得，如图： 又当点在点下方时， ， ， 此时； 当点在点上方时， （舍去）， 综上，的值为； (4) 小问详解： 解：由（3）可知点、， 抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大， 点与点分别在对称轴的两侧， 记正方形的边与抛物线交于点， ① 当点在点左侧，时，过点作于点，如图所示： 有，解得， 四边形为正方形， ， ， ， ， 当与顶点重合时，为符合条件的临界点， 此时， 有，解得， ； ② 当点在点右侧，时，作，并过点作于点，如图所示： 有， ， ， 同理可得，， 当与顶点重合时，为符合条件的临界点， 此时， 有，解得， ； 综上所述，当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标、对称轴、图像和性质，三角函数，正方形的性质及“分类讨论”思想的应用，解题的关键是利用“数形结合”将几个特殊点在图像中标出相对位置． 107．【答案】（1）     （2） 证明：如下图， ∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， ， 为的中位线． ；     （3）①；②或．      【分析】 本题考查的是二次函数综合题，重点考查待定系数法求表达式及二次函数的图象与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）把代入求出，即可解决； （2）由题意得出为的中位线，利用三角形中位线定理即可证明； （3）① 先求出，，根据点为线段中点求出点坐标； ② 先求出，再分两种情况：当在上方时，或当在下方时，分别计算求出即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（是常数）经过点， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如下图， ∵点在抛物线上，横坐标为， ， ∵点在轴上，纵坐标为， ， ∵点关于点的对称点，即点为线段中点， 设点坐标为， ， 解得： ， ； ② 由题意可得，， 同理，得， 当在上方时，如图， 则， 化简得， 解得（舍去），． 当在下方时，如下图， 则， 化简得时， 解得（舍去），． 综上所述，或． 108．【答案】（1）     （2）     （3）2或3     （4）且      【分析】 本题考查二次函数综合问题，熟练掌握二次函数基本性质，能够求出函数解析式是解题关键． （1）根据二次函数的顶点列式，然后解出即可解答； （2）根据二次函数图像的性质即可解答； （3）先求出两点坐标，然后对进行分情况讨论即可； （4）画出当时，当时的图形，然后再根据数形结合进行解答即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴，， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，点越靠近对称轴，对应的函数值越小， ∴当时，在时，取得最小值，当时，取得最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵二次函数解析式为：， ∴时，， 解得或， 又∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得，两个解都不符合题意，舍去； 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得，符合题意； 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得或，不符合题意，舍去， ∴综上，的值为或． (4) 小问详解： 解：① 当时，如下图，矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意； ② 当时，如下图，在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而增大，故不满足抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，不符合题意； 当时，两点重合，不构成矩形，故不符合题意； ∴综上，当且时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小． 109．【答案】（1）     （2），点坐标为     （3），，     （4）      【分析】 （1）将代入抛物线，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，得到对称轴，再由题意确定，解方程即可得到的值，进而得到点的横坐标，代入函数表达式求出纵坐标即可得到点坐标； （3）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，将、代入函数表达式即可得到纵坐标，从而确定点、的坐标；过点作，如图所，分别求出，得到是等腰直角三角形，即，从而得到的值； （4）根据题意，当与面积的和等于面积的一半，分当点在内部、当点在外部，两种情况讨论求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线（是常数）经过点 ， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 抛物线的对称轴为， 点在该抛物线上，且点的横坐标为，点在该抛物线上，且点的横坐标为， ， 解得， 点的横坐标为， 将代入得，则点坐标为； (3) 小问详解： 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 当时，，即； 当时，，即； 设直线表达式为， 将、代入可得， ， 消去得到， 点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ； 过点作，如图所示： ， ， 则，， 则， 即是等腰直角三角形， ， 则， 故答案为：，，； (4) 小问详解： 解：由（3）知，设直线表达式为， 当点在内部时，过点作的垂线，交分别于点、点，如图所示： 在中，， ， ， 则， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线下方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，或， ， ； 设直线表达式为， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线上方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，， ， ； 当点在外部时，如图所示： ，即与面积的和不可能等于面积的一半，此种情况不满足题意，舍去； ， ， 综上所述，若与面积的和等于面积的一半，则的取值范围是． 【点睛】 本题考查二次函数综合，综合性强、难度很大，涉及待定系数法其抛物线表达式、抛物线图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、平行四边形性质、一次函数图象与性质、解一元二次方程、由二次函数图象与性质解不等式、三角形面积公式、平行四边形面积公式、不等式组解集求法等知识，熟练掌握二次函数综合问题的求解方法、熟记相关知识点并灵活运用是解决问题的关键． 110．【答案】（1）；；     （2）；     （3）① 当时，；当时，；②或；     （4）或．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点P的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点， ∴当时，， ， ∵点与点关于抛物线对称轴直线对称， ， 即； (3) 小问详解： 解：①， ∴抛物线的顶点为， ， ∴抛物线开口向下， ∴该抛物线最高点坐标为， 当时，， ， 此时； 当时，， ， ∵该抛物线最高点坐标为， 此时； ② 当时，图象G的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， 当时，（不合题意舍去）， ∴当或时，； 综上所述，m的取值范围为或； (4) 小问详解： 解：点M的坐标为或，理由如下： 如图，当时，则轴， ∴点C和点M关于对称轴对称， ∵点C的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点M的坐标为； 如图，当时，则轴于点F， ， ， ， ， 设，则， ∴点M的坐标为， 把代入，则， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 111．【答案】（1），     （2）     （3）0或     （4）或      【分析】 （1）待定系数法求解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）由题意知，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；则，，当时，，结合二次函数的图象与性质，求解即可； （3）由题意知，，当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求解即可；当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求出满足要求的解即可； （4）由以为对角线的矩形可知，轴，则，，由题意知，，即；由题意知，分当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的两侧，画图象求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， ， 解得， ， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； ∴，， 由函数图象可知，当点在第四象限时，求的取值范围为； (3) 小问详解： 解：由题意知，， 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得，； 当时，最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得，或（舍去）； 综上所述，的值为0或． (4) 小问详解： 解：由以为对角线的矩形可知，轴，则，， 由题意知，，即； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大， ①当矩形在对称轴的同侧，矩形在对称轴的右侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时无解； 当在点的右侧时，，解得，，，此时无解； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的左侧时，关于对称轴对称的点坐标的横坐标为，如图1，     ∴，， 解得，； 当时，，如图2，此时不满足要求；     综上可得：抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而增大时m的取值范围是； 抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小， ①当矩形在对称轴的同侧，当矩形在对称轴的左侧时， 当在点的左侧时，，解得，，此时不符合题意； 当在点的右侧时，，解得，； ②当矩形在对称轴的两侧， 当在点的右侧时，如图3，     ∴，， 解得 ，； 当时，，如图4，此时不满足要求；     ∴当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值y随x的增大而减小时m的取值范围是． 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，无理数的估算，解一元二次方程，二次函数与特殊的平行四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】 解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 7．【答案】3 【分析】 本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出函数值为0时x的值，即可得到答案． 【详解】 解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线的图象与x轴的交点坐标分别为， ∴， 故答案为：． 8．【答案】3 【分析】 本题主要考查抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先根据抛物线与轴交点求出参数，再利用根与系数的关系进行解答即可． 【详解】 解：将点代入二次函数解析式，得， 解得， 一元二次方程为， 根据根与系数的关系，两根之积为． 故答案为：3． 9．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】 解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 10．【答案】， 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线的对称轴性质以及抛物线与轴交点和一元二次方程解的关系是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴找到已知交点的对称点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的解来解题． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， 设抛物线与轴的另一个交点为， 则， 解得， ∴关于的一元二次方程的解为，， 故答案为：，． 11．【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线对称轴为直线， 由图象可知二次函数过和，结合图像数形结合即可解决题目． 【详解】 解：∵对称轴为直线 由图象知，二次函数过和， ∵抛物线开口向下， ∴当时，或． 故答案为：或． 12．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，抛物线与x轴没有公共点，等价于二次方程无实数根，通过判别式小于零求解． 【详解】 ∵抛物线 与x轴没有公共点， ∴方程 无实数根． ∴判别式 ， 解得 ． 故答案为 13．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查抛物线与轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点坐标的特征、二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据函数的对称轴和与轴交点可直接得到结论； （2）把解析式化为顶点式即可求解； （3）求出抛物线与轴的交点，然后利用二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为， ， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：， 抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：时，即， 解得，， 抛物线与轴的交点为， 抛物线开口向上， 当时，． 14．【答案】（1）证明：令得：① △ 方程① 有两个不等的实数根， 原抛物线与轴有两个不同的交点； （2）m的值为-3或1. 【分析】 （1）先求得△的值，然后证明△即可； （2）依据此抛物线与直线的一个交点在轴上可得到，然后解关于的方程即可． 【详解】 解：（1）略 （2）令：，根据题意有：， 整理得： 解得或． 【点睛】 本题主要考查的是抛物线与轴的交点，依据此抛物线与直线的一个交点在轴上得到关于的方程是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】 解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的解是对应二次函数与x轴交点的横坐标是解题的关键． 当抛物线与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为零，据此列式计算即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】 解：抛物线与x轴没有交点， 方程没有实数根， ，即 解得：， 故答案为：． 18．【答案】（1）直线     （2）     （3） 根据表格画图如下，      （4）      【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，画二次函数图象． （1）根据解析式化为顶点式得出对称轴，即可求解； （2）把一组已知的对应值代入中可求出c的值，然后利用配方法把抛物线解析式配成顶点，从而得到抛物线的顶点坐标； （3）通过解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，，再利用描点法画出二次函数图象； （4）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方的自变量的范围即可． (1) 小问详解： 解：， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：根据表格，当时，，则顶点坐标为 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，，即 故答案为：；；； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：由函数图象可得：当时，， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称轴是直线，得到，设另一根为m，根据根与系数的关系得，然后求出另一根即可． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 设另一根为m， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 20．【答案】（1）① ③     （2）     （3）或．      【分析】 （1）根据题意容易得出结论； （2）由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即，即可得出结果； （3）设，解方程得出抛物线与x轴的交点坐标，画出二次函数的大致图象，由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即，即可得出结果． (1) 小问详解： 解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③； (2) 小问详解： 解：由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：； (3) 小问详解： 解：设， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：或． 21．【答案】5 【分析】 先求出抛物线y= a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴，然后根据A和B、C和D均关于对称轴直线x=1对称，分别求出B和D点的坐标，即可求出OB和CD的长． 【详解】 解：∵抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）， ∴对称轴为直线x=1， ∵点A和点B关于直线x=1对称，且点A(-1，0)， ∴点B(3，0)， ∴OB=3， ∵C点和D点关于x=1对称，且点C(0，a+k)， ∴点D(2，a+k)， ∴CD=2， ∴线段OB与线段CD的长度和为5， 故答案为5． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点的知识，解答本题的关键求出抛物线y=a(x-1)2+k（a、k为常数）的对称轴为x=1，此题难度不大． 22．【答案】1或3． 【分析】需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况． 【详解】① 当m2-1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点； ② 当m2-1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则 △=（2m+2）2-8（m2-1）=0， 解得 m=3，m=-1（舍去）． 综上所述，m的值是1或3． 23．【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为     （2）     （3）；；；     （4）或      【分析】 本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩形的变化情况是解题的关键． （1）把和分别代入运算求解即可； （2）利用二次函数式子表达出，从而得到，令和的纵坐标相等列式运算即可； （3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可； （4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入可得：， ∴， 解得：，， ∴； 把代入可得：， ∴； (2) 小问详解： 解：∵的横坐标为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴当重合时，则， 解得：； (3) 小问详解： 解：当有一组邻边相等时，矩形为正方形，由（2）可得：当时重合； ① 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ② 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ③ 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ④ 当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； 综上，的值为：；；；； (4) 小问详解： ① 解：当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ② 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内没有图像，不符合题意； ③ 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ④ 当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值既有随增大而减小，又有随增大而增大，不符合题意； 综上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，的取值范围为：或． 24．【答案】（1）C（0，3）     （2）      【分析】 （1）令x＝0，求得函数y₁=ax2+（a﹣1）x+3的值即可求得； （2）把B的坐标代入y₁=ax2+（a﹣1）x+3求得a＝-1，设平移后的解析式为，然后把B和B＇的坐标代入，利用待定系数法即可求得平移后的抛物线的解析式． (1) 小问详解： 解：令x＝0，则y₁=ax2+（a﹣1）x+3＝3， ∴C（0，3）； (2) 小问详解： 解：∵抛物线y1＝ax2+（a﹣1）x+3（a≠0）与x轴交于B（1，0）， ∴a＋a-1＋3＝0， ∴a＝-1， ∴抛物线为：y1＝-x2-2x+3， 设平移后的解析式为， ∵平移后的抛物线经过B和B＇， ∴ ，解得 ， ∴平移后的解析式为：． 【点睛】 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25．【答案】（1）     （2）当时，与之间的函数关系式为     （3）点燃分钟，罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一      (1) 小问详解： 解：． 故答案为：6． (2) 小问详解： 解：设， 将，代入， 得 ， 解得 ， ∴（）． (3) 小问详解： 解：当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时， ， 解得，． 答：石油气炉的燃烧时间为280分钟． 26．【答案】（1），     （2）， 如下图所示：      （3）     （4）或或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，与坐标轴的交点，画函数图象等知识点； （1）根据对称轴求出，再求出抛物线与y轴的交点坐标即可； （2）根据对称轴为，求出顶点纵坐标即可，再根据列表，描点，连线的步骤画出函数图象； （3）根据点A的横坐标为a，点A到x轴距离是到y轴距离2倍，则点A的坐标为或，分别代入抛物线解析式列方程求解即可； （4）由题意得到，，，再求出与轴交点的横坐标，以及当在上时，，最后从左往右平移直线，分别画出图形，根据抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大列不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：4，； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 部分函数值表格如下： 在平面直角坐标系中找到各个点，并用丝滑的曲线连接得到该抛物线如下图所示： (3) 小问详解： 解：∵点A的横坐标为a，点A到x轴距离是到y轴距离2倍， ∴点A的坐标为或， 将代入得，，，无解； 将代入得，，解得：； 故a的值为； (4) 小问详解： 解：∵直线与x轴的交点为P， ∴， ∵直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M， ∴，， 令，解得， 当在上时，，解得， ① 当时，，如图，此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标不是y随x的增大而增大，不合题意； ② 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ③ 当，四个点都在x轴上，不合题意； ④ 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ⑤ 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ⑥ 当时，，如图，抛物线没有图形在矩形内部，不合题意； ⑦ 当时，抛物线只有一个点在矩形内部，不合题意； ⑧ 当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得或， 此时； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，a的取值范围为或或． 27．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的的性质及图象与系数的关系．根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定① ；根据对称性可知也在二次函数图像上，代入即可判断② ；由，，则即可判断③ ；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定④ ． 【详解】 解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，即① 正确， 在二次函数图像，且对称轴为， 也在二次函数图像上，即，故② 正确； ，， ，故③ 错误； ∵， ∴点，关于直线对称， ∵点，均在该二次函数图象上， ∴，即④ 正确； 故答案为：① ② ④ ． 考点06 实际问题与二次函数 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．【答案】（1）抛物线的表达式为     （2）喷泉的落水点距水枪的水平距离为米      【分析】 （1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 9．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ (2) 小问详解： 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得 ， 解得， ， 即； (2) 小问详解： 由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 11．【答案】4 【分析】 根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】 ∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标． ∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4， ∴顶点坐标为：（2，4）． ∴喷水的最大高度为4米． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键． （1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，可设该抛物线对应的函数表达式为，将点A坐标代入即可求出二次函数的解析式， （2）把代入（1）解析式中，即可求出运动员的成绩． (1) 小问详解： 解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 13．【答案】20 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】 解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 14．【答案】（1）12     （2）      【分析】 本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； (2) 小问详解： 解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 15．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】 解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 16．【答案】（1）时，有最大值，最大值为4500元     （2）      【分析】 本题考查二次函数的实际应用． （1）根据题意可得，将其化为顶点式即可； （2）当时，求出相应的的值即可． (1) 小问详解： 解：依题意得 ∵ ，抛物线开口向下 ∴时，有最大值，最大值为4500元； (2) 小问详解： 当时， 解得 ∴当时，每天的销售利润不低于4000元． 17．【答案】（1） 图象如图所示， ① 一次；② 二次     （2），当时，；，当时，     （3）65      【分析】 （1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． (1) 小问详解： 解：① 由图2可知，与近似一次函数； ②与近似二次函数． 故答案为：一次；二次． (2) 小问详解： 解：设， 将，；，代入，得， ， 解得 ， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，代入，得， ， 解得， ， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． (3) 小问详解： 解：由（2）可知，， 当时，，即小球运动了， 同一时间，电动小车运动的路程为， ∴，两点间的距离为． 【点睛】 本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 18．【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积以及二次函数的性质是本题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出方程，然后解方程即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式写出关于的函数解析式，利用配方法求二次函数的最值． (1) 小问详解： 解：设的长为． 根据题意，得， 解得，． ∴的长为或． (2) 小问详解： 解：设的长为． 则矩形的面积为：． 当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 20．【答案】（1）     （2）① 定价为每束30元② 售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元      【分析】 本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题① ；二次函数求最值，解决问题② 即可． (1) 小问详解： 解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得： ， ∴； (2) 小问详解： 设每天的总利润为，则：， ① 当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ② 由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 21．【答案】（1）     （2）工人直立时头顶不会触碰到桥拱      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点代入求解即可； （2）根据工人距点的距离求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． (1) 小问详解： 解：∵，桥拱顶点到水面的距离是， ∴顶点的坐标为， 设桥大拱部分抛物线的函数表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴桥大拱部分抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：把代入解析式得， ∵， ∴工人直立时头顶不会触碰到桥拱． 22．【答案】（1）     （2）     （3）2，220      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可设与之间的函数关系式为，然后把点、代入解析式进行求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质可进行求解． (1) 小问详解： 解：图象是经过原点的一条抛物线， 设与之间的函数关系式为． 将点、代入，得 ， 解得 ， 与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：当时，； 当时，的值为． (3) 小问详解： 解：由（1）可知：与之间的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故答案为2，220． 23．【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】 本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的数据找到对称轴，然后根据对称性求得，找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值； （2）已知顶点坐标，利用待定系数法代入顶点式即可求出函数解析式； （3）设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，得出和，再比较即可． 【详解】 解：（1）∵根据表格可知，当与时相等，所以对称轴为直线， ∴故当时，其对称点为，， ∴顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是； （2）∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴为第二次试验抛物线的顶点为， ∴设第二次试验的抛物线的解析式为， ∵把代入，得， ∴； （3）设第一次抛物线为， ∵把代入，得， 解得， ∴， ∵在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴； 在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 24．【答案】（1）     （2）①．②；当元时，取最大值元．      【分析】 此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设该甜品销售量的月增长率为．产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同．据此列出方程并解方程即可； （2）① 设每杯售价为元，当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．据此列出一次函数解析式即可；② 月利润为元．根据销售量乘以每杯的利润即可列出函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． (1) 小问详解： 设该甜品销售量的月增长率为． 由题意，可得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该甜品销售量的月增长率为． (2) 小问详解： ① ∵当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少． ∴． ② 根据题意可得， ． 当元时，取最大值元． 25．【答案】（1），     （2）当时，     （3）     （4）存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的      【分析】 本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； (3) 小问详解： 由（2）可知，， ； (4) 小问详解： 存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 26．【答案】（1）李明这两年纯收入的年平均增长率为 ．     （2）当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识点，解题的关键是要理解题意、能正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据等量关系“李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元”列方程求解即可； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出函数解析式，最后根据x的取值范围求最值即可． (1) 小问详解： 解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：，解得， ， (不合题意，舍去)答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． (2) 小问详解： 解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米， 根据题意可得： 养鸡场面积=， ∵， ∴当时，养鸡场面积最大值为1250． 答：当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 27．【答案】（1）     （2）     （3）按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为三级运动员.      【分析】 本题考查二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，二次函数的实际应用． （1）根据题意，结合二次函数图象的对称性，即可得点B的坐标； （2）设二次函数的顶点式，根据题意可得点的坐标，设二次函数的顶点式，用待定系数法即可得y与x的函数解析式； （3）令，可得点的横坐标，即可得小宇这次推铅球的成绩，与学校规定进行比较即可． (1) 小问详解： 解：， ∴点B的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意，抛物线经过点，点为抛物线的顶点． 设铅球离地面的高度y与到出手点的水平距离x之间的函数解析式为． 将代入，得， 解得， ∴y与x的函数解析式为． (3) 小问详解： 解：当时，． 解得，（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴铅球推出的距离为， ∵， ∴按小宇这次推铅球的成绩，他可以选拔为三级运动员． 28．【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】 解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 29．【答案】（1）；     （2）点的坐标为．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，顶点坐标，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式求得a的值即可； （2）将代入（1）的解析式求得x，并取符合题意x的值即可确定点B的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意得：，顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将A代入抛物线解析式可得， 解得：． 所以抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：由（1）知：， 将代入可得：， 解得：（不符合题意舍去）， ∴水柱的落地点的坐标为． 30．【答案】（1）二次函数     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出与的二次函数关系式是解题的关键． （1）由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数； （2）据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可； （3）把代入解析式求出的值即可得出． (1) 小问详解： 解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数， 故答案为：二次函数； (2) 小问详解： 解：设函数解析式为，把，，， ， 解得： ， ∴关于的函数解析式为：； (3) 小问详解： 解：把代入解析式得：， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴当滑行距离为时，滑行时间为． 31．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】 解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 32．【答案】（1）     （2）当矩形花园的面积为时，的长为或     （3）如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），矩形花园面积的最大值为      【分析】 本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）根据矩形面积长宽求解； （2）令，解一元二次方程求解； （3）由点P在矩形内部可得x的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x的关系式为； (2) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ∴的长为或； (3) 小问详解： 解：∵点P在矩形内部， ∴ ， 解得， ∵， 当时，y随x增大而增大， ∴时，y取最大值为， 答：花园面积最大值为． 33．【答案】（1）     （2）石块能飞越防御墙      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入函数解析式，求得y的值，与10作比较即可得解． (1) 小问详解： 解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 点的坐标为， ， 解得： 抛物线的表达式为 (2) 小问详解： 当 时，，即石块能飞越防御墙 34．【答案】（1）     （2）当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）先算出涨价元，再根据条件化简即可． （2）根据（1）中数据列出二次函数解析式，配方求最值即可． (1) 小问详解： 解：涨价元，则少售出件，则销量为件， 故答案为：． (2) 小问详解： 设总利润为w元， 由题意可得， ， ， ， 当时，w取得最大值， 答：当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元． 35．【答案】（1）     （2）     （3） 解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱．      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意得，点在图象上． 当时， ． (2) 小问详解： 解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， (3) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】 解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 37．【答案】（1）     （2） 解：该男生在此项考试中能得到满分． 理由如下： 令，即， 解得，（负值舍去）． 该男生在此项考试中能得到满分．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数解析式． （1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解； （2）令，求出落地点坐标与进行比较，从而作出判断． (1) 小问详解： 解：由题可知抛物线的顶点为， ∴设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； (2) 小问详解： 略 38．【答案】 【分析】 本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】 解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 39．【答案】（1）     （2）当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元     （3）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元      【分析】 （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售量×（售价进价）=2400，解方程求出在自编量范围内的解即可； （3）根据销售利润=销售量×（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． (1) 小问详解： 根据题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元； (3) 小问详解： 根据题意得：， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为2640， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 40．【答案】（1）（0＜x＜8）     （2）当x=4时，阴影部分面积最大值为32cm2．      【分析】 （1）由AE=BF=CG=DH=x（cm）得出BE=CF=DG=AH=（8-x）（cm），然后根据三角形面积求解． （2）将二次函数的解析式化为顶点式再求解． (1) 小问详解： 解：由正方形的性质可得：cm， ∵AE=BF=CG=DH=x cm， ∴BE=CF=DG=AH=（8-x）cm， ∴（0＜x＜8）， (2) 小问详解： ， ∵a=-2＜0， ∴当x=4时，y有最大值为32， 故当x=4时，阴影部分面积最大值为32cm2． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握正方形的性质，掌握二次函数求函数最值的方法． 41．【答案】（1）     （2）为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意并列出二次函数表达式是解决本题的关键． （1）根据题意运用待定系数法求解即可； （2）根据题意令，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得抛物线经过点，且顶点为点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入表达式得，解得：， 抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：将代入函数表达式得， 解得，， ，不符合题意，故舍去， 为了使水落下后全部进入湖中，喷水管离岸边至少米． 42．【答案】（1）；     （2）能，此时枕头的售价为45元     （3）枕头售价为39元      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用问题．此题具有一定难度，解题的关键是理解题意，根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，求出最值，注意灵活运用二次函数解决实际问题． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“利润=（售价-进价）×销售量”，代入相应数据，列出方程，求解即可； （3）列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：根据题意得：枕头的实际售价为元； 枕头的销售量为个； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 整理得，， 解得，，， ∵进货不超过200个， ∴， 解得，， ∴， ∴此时枕头的售价为元； (3) 小问详解： 解：设利润为元，根据题意得： 当销售量不超过200个时，有： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4000元； 当销售量超过200个时，有： ， ∵， ∴当时，有最大值，为4410元； ∴当降价11元时，每月利润达到最大值，此时售价为元． 43．【答案】（1）d，h     （2） 描点，连线，画出图象如图： ；     （3）①0.88；② 则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．      【分析】 （1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）① 观察图象即可得出结论；② 求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． (1) 小问详解： 解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ② 设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 44．【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】 解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故答案为：． 45．【答案】（1）     （2）当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元     （3）50      【分析】 （1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式． （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值． （3）将1200元代入新函数，先求解的值，再根据最大利润为1250元进行检验即可得到的m． (1) 小问详解： 设解析式为 根据图像可知，点在上 ∴ ，解得 ∴y与x的函数关系式为 (2) 小问详解： 设每天获利w元，根据题意得 ∵， ∴当时，w取最大值为1250， 答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元． (3) 小问详解： 由（2）知，当w最大时， ，解得，， ∵当时，时，当时，w最大， 即． 【点睛】 本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键． 46．【答案】4． 【分析】 根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】 解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 47．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键． （1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案； （2）在中，令解出的值，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米， 抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：在中，令得： ， 解得（舍去）或， 处距桥墩的距离至少为米． 48．【答案】（1），     （2）1     （3）当时，；当时，      【分析】 本题考查的是含30度角的直角三角形性质、勾股定理及列二次函数表达式， （1）先求出，再根据含30度角的直角三角形性质、勾股定理求出结论； （2）先求出，由对称得出，解出即可； （3）分两种情况：当点和点重合之前时，即时；或当点和点重合之后时，即时，分别列出关系式即可． (1) 小问详解： 解：在中，，， 由题意得：， ， ； (2) 小问详解： 解：在中，，，， ， ； ∵点关于的对称点为点，点和点重合， ， ； (3) 小问详解： 解：当点和点重合之前时，即时， ，点关于的对称点为点， ， ， ，， 与重叠部分图形的面积为； ∵， ∴点到达点时时间为秒， 当点和点重合之后时，即时，如下图， 由题意得：，，， ， 在中， ， ， 与重叠部分图形的面积为 ， 综上所述，当时，；当时，． 49．【答案】（1）2     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意可得三角形是等腰直角三角形，根据几何关系求得的长，则可求出矩形的运动时间； （2）分4种情况：当时，此时重叠部分图形为矩形本身；当时，此时重叠部分图形为矩形减去一个三角形，求出三角形面积即可；当时，此时重叠部分图形为梯形，求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可； （3）将代入所求函数解析式中即可求得的值． 本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等，注意分类讨论． (1) 小问详解： 解：∵在矩形中，， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴如图1当点落在边上时，三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵矩形速度为每秒， ∴， ∴当点落在边上时，的值为2． (2) 小问详解： ① 当时，如图1，； ② 当时，如图2，设交于点，交于点， 由（1）得三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又在矩形中， ∴三角形是等腰直角三角形，， 又，， ∴； ③ 当时，如图3，设交于点， 在矩形中，， ∴四边形是直角梯形， ，， ∴； ④ 当时，如图4，设交于点， 在矩形中，， 又∵ ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为 ． (3) 小问详解： 当时，， 整理得， 解得，（舍去）， 随着矩形的移动，矩形与重叠部分的面积越来越小，故当时，． 50．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 本题考查了几何动点问题综合，涉及含角直角三角形的性质、二次函数性质、一元一次方程、勾股定理，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）根据含角直角三角形的三边关系得到、的长，即可得解； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）先确定的取值范围，然后分类讨论：当时；当时；根据三角形和梯形面积公式分别列式即可解答． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当点和点重合时，则， 依题意得：，， 则，， ， 解得， 即当点与点重合时，； (3) 小问详解： 解：当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， 分两种情况讨论： 当时，如图， ， ， ； ②当时，如图，交于点， ， ， ， ， ； 综上所述， ． 51．【答案】（1）     （2） 【分析】 本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质； （1）由是等腰直角三角形，得到，，，当点F在上时，由题意得，，则，由矩形，得到，则，据此列方程求解即可； （2）当在上，到之前时；当在上，到之后时；当在上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形． (1) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 当点F在上时，由题意得，，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当在上，在上之前，，如图， 此时矩形和重叠部分的图形为矩形，； 当在上，在上之后，，如图， 此时矩形和重叠部分的图形为五边形，不合题意； 当在上时，如图，设与交点， 此时矩形和重叠部分的图形为梯形， 此时由题意可得：，， ∵， ∴，解得， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形和重叠部分的图形面积； 综上所述， ． 52．【答案】任务1：变化量分别为，；；；； 任务2：； 任务3：（1）， （2）； 任务4：时间刻度方案要点： ① 时间刻度的0刻度在水位最高处； ② 刻度从上向下均匀变大； ③ 每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【分析】 任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】 解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：略 【点睛】 本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 53．【答案】（1）；     （2）2；     （3） ．      【分析】 （1）利用等腰三角形底边三线合一和直角三角形斜边中线性质可得，即可求得的长； （2）用含t的式子表示出和，建立方程求解即可； （3）分类讨论：时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积；时，重合面积为正方形的面积减去多出等腰直角三角形的面积；时，重合面积为正方形的面积的一半． (1) 小问详解： 解：在等腰直角三角形中，，边上的高． 是等腰直角三角形斜边上的中线， ； (2) 小问详解： 解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，        如图：点M落在边上时， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ，解得：； (3) 小问详解： 由（2）知，当时，如图： 为正方形的面积，即； 当时，如图： 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图： ； ． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、正方形的性质、实际问题与二次函数、分段函数的定义，分类讨论思想等知识点，掌握这些是解题的关键． 54．【答案】（1）①4；② 是；③     （2）      【分析】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）① 由表中数据直接可以得出结论； ② 由表中数据直接可以得出结论； ③ 用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． (1) 小问详解： 解：① 由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； (2) 小问详解： 解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 55．【答案】（1）①12；②；     （2），      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）① 由勾股定理和三角形的面积可得、，，由当时，，即点P和点D重合，即，然后根据三角形面积公式求解即可；② 由题意可知：，然后分当P在上和上两种情况，分别运用线段的和差以及勾股定理求得，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）设，将代入（1）所得的解析式可得，即；再利用对称性可得，然后把代入求得a的值即可确定关于的函数解析式；如图：当时，，此时点P和点E重合且可得，从而确定的长． (1) 小问详解： 解：① ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ② 由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． (2) 小问详解： 解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $