专题02 一元二次方程（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（            ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）已知是方程的一个实数根，则m的值为（       ） A. 1 B.  C. 3 D.  4．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A. 1，，6 B. ，2，6 C. 1，2， D. 1，2，6 6．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）下列各式中，是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（     ） A.  B. 2 C.  D. 0 10．（25-26学年九上·吉林延边·期中）已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（     ） A. 2016 B. 2018 C. 2024 D. 2025 13．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）已知是方程的一个根，则的值为（     ） A. 1 B.  C. 3 D.  14．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）若m是方程的一个根，则的值为（     ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 16．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）请写一个一元二次方程　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是　　　　　　． 19．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则　　　　　　． 20．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）把一元二次方程化成一般形式是　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　. 22．（25-26学年九上·吉林松原·期末）已知a是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）是关于x的一元二次方程的解，则.　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·吉林松原·期末）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）已知是方程的一个根，求代数式的值． 28．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）已知是方程的一个实数根，则的值为　　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）方程的解为（       ） A.  B.  C. ， D. ， 5．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林松原·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）一元二次方程的解为（     ） A.  B. ， C.  D. ， 8．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）用配方法解方程，变形正确的是（） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（                  ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·吉林延边·期中）用配方法解方程时，原方程变形为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）解方程：x2+2x+1＝4． 14．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末） 解方程 15．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）解方程：x2+4x﹣1=0． 16．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）解方程：． 17．（25-26学年九上·吉林松原·期末）阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，①两边同除以2得，②配方得，③即，或④⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； （2）请你写出正确的解答过程． 18．（25-26学年九上·吉林长春·期末）解方程：． 19．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）解方程：． 20．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）解方程x2﹣4x+1=0． 21．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）方程的解是　　　　　　　 23．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）解方程： 24．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）阅读理解并解答： （1）【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； （2）【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 25．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）解方程：． 26．（25-26学年九上·吉林长春·期末）解方程：． 27．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）解方程： 28．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m=　　　　　，n=　　　　　． 29．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长18米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 30．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）解方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·吉林松原·期末）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2．（25-26学年九上·吉林延边·期中）关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 3．（25-26学年九上·吉林长春·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（       ） A. 4 B.  C. 1 D.  4．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 5．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(       ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 7．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9．（25-26学年九上·吉林长春·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 10．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 11．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A. 且 B.  C. 且 D.  12．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  13．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）一元二次方程根的判别式的值为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为　　　　　． 17．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）解方程：． 18．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　　　　． 19．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　. 20．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　． 21．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）判断一元二次方程根的情况． 22．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）解方程：． 23．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）解一元二次方程：． 24．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m为何值时，平行四边形是菱形？并求出此时菱形的边长． 26．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）解方程：． 27．（25-26学年九上·吉林延边·期中）解方程： （1） （2） 28．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）解方程：． 29．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）若关于x的方程没有实数根，则c的值可以是　　　　　　　　（写出一个即可）． 33．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）解方程：． 34．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）若关于x的方程根的判别式的值为8，则m的值是　　　　　　． 35．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）解方程：． 36．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）解方程：． 39．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）解方程：． 40．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 41．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）解一元二次方程：． 42．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）一元二次方程的根的判别式的值为　　　　　　． 43．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）解方程：． 44．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）解方程：． 45．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求该方程的根． 46．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若方程有两个相等实数根，求的值． （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）方程的解为（     ） A.  B.  C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·吉林延边·期中）方程的根是（） A.  B.  C. ， D. ， 3．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）一元二次方程的解是（     ） A. ， B. ， C.  D. ， 4．（25-26学年九上·吉林长春·期末）方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（   ） A. 4 B.  C.  D. 不存在 6．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）因式分解：　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·吉林长春·期中）因式分解：　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）方程的根为　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）用适当的方法解方程： 10．（25-26学年九上·吉林松原·期末）用适当方法解下列方程： （1） （2） 11．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）解方程： 12．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）解方程：． 13．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）用适当的方法解方程：． 14．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）分解因式：　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）用适当的方法解方程：． 16．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）用适当的方法解方程：． 17．（25-26学年九上·吉林松原·期末）已知方程是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 18．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框： 小明：两边同除以得．则． 小华：移项，得．提取公因式，得．则或．解得，． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”） （2）请你选择合适的方法解一元二次方程． 19．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）一元二次方程较大的根是　　　　　　. 20．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）解方程： （1）； （2）． 21．（25-26学年九上·吉林长春·期中）解方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： （1）若，则______． （2）解方程：． （3）直接写出的解． 23．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 24．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下： ，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1）计算：______，______． （2）若，求的值． 25．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）阅读理解 回顾初中阶段各类方程的解法可以知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解．类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，；∵且，∴，不是原方程的解，原方程的解为． 【问题】（1）方程的解是______； （2）方程的解是______； 【拓展】请你利用转化思想解二元二次方程组： ； 【应用】如图，矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，再沿草坪边沿，走到点处，把拉直并在点处固定，然后沿草坪边，走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处；求的长． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为　　　　　　． 3．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 5．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）关于x的方程． （1）若该方程没有实数根，求k的取值范围； （2）若是该方程的一个根，请求出它的另一个根． 6．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，则的值为________，该方程的另一个根为________． 7．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根及以此两根为直角边长的三角形的周长． 8．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求k的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·吉林延边·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．设小路宽x米，则根据题意，可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？ 这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（　　） A. 涨价后每件玩具的售价是元; B. 涨价后每天少售出玩具的数量是件 C. 涨价后每天销售玩具的数量是件 D. 可列方程为： 9．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为______． 11．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 12．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 14．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）通过广州国际汽车展览会调研，某汽车公司计划加大“油电混”汽车的生产量．该公司计划这种“油电混”汽车的月生产量由明年一月份的4000辆增加到三月份的4840辆．求该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率． 15．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 16．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 17．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选，如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是多少？ 18．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）一块矩形绿地的长比宽多，面积是，求该矩形绿地的长． 19．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率． 20．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 21．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 22．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 23．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草坪的面积是．设小路的宽度均为，根据题意可列方程为　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 25．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 26．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为和的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为，根据题意，列方程为　　　　　　． 28．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为　　　　　　． 29．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？ 30．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 31．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 32．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费64万元，今年投入图书购置经费100万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 33．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售                 件，每件盈利                 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 34．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行．年月，某无人配送站订单量为万单，通过技术优化与路线调整，月订单量增长至万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 35．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在长，宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为，求所修建道路的宽度． 36．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． （1）当时，的长为       ； （2）置物架的高的长为        （用含x的式子表示）； （3）为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 37．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 38．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元． 求6、7两月平均每月降价的百分率； 如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由． 39．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t(s)，四边形PBDQ的面积为S(cm2). (1)当点P到达边AB的中点时，求PQ的长； (2)求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)连接DP，当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值． 40．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）（多选）如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）． （1）用含x的代数式表示BC的长． （2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长． 41．（25-26学年九上·吉林松原·期末）柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？ 42．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． （1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； （3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 43．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 44．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，某青少年活动中心进行场地改造，将原正方形空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空白处空地用来栽种蔬菜．设原正方形空地的边长为，如果栽种蔬菜的面积为12，求原正方形空地的边长x的值． 45．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某地区年数字阅读市场规模为万元，年数字阅读市场规模达到万元，求该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率． 46．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，已知图中阴影部分停车位的占地面积和为，设停车场内车道的宽度为，根据题意，可列方程为　　　　　． 47．（25-26学年九上·吉林长春·期中）在长春新民大街历史文化街上，某商家售卖小龙玩偶，已知这款小龙玩偶的成本价是20元，当售价为40元时，每天可以售出100件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件，设该款小龙玩偶降价x元(，且为正整数)，每天售卖件数为件． （1）写出与之间的函数关系式； （2）当售价降2元时，求该商家每天卖小龙玩偶所获利润； （3）为让利于游客，并使该商家每天的利润是2240元，问这款小龙玩偶应该降价多少元？ 48．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． （1）______米（用含的代数式表示）； （2）若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长． 49．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 50．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． （1）汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． （2）求汽车行驶了18米时的速度． （3）当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 51．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？ 52．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）青山村种的水稻2023年平均每公顷产7000千克，2025年平均每公顷产8470千克，如果水稻每公顷产量的年平均增长率相同，求青山村2024年水稻平均每公顷产量． 53．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． （1）求9月份营业额． （2）求10、11月份营业额的月平均增长率． 54．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，设它们的运动时间为t秒． （1）根据题意知：______，______（用含t的代数式表示） （2）经过几秒时，的面积等于4平方厘米？ （3）在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的二分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 55．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）为何值时，在的垂直平分线上？ （2）为何值时，的长度为？ 56．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 57．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合力定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 58．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． （1）点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． （2）当点在上时，用含的代数式表示的长． （3）当的面积为时，求的值． 59．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． （1）求管理通道的宽； （2）实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．C 13．B 14．C 15．C 16．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义写出一个一元二次方程即可． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式是（，，为常数，）， 是一个一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 17．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：由题意把代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】 解：一元二次方程中，一次项为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 19．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意得，， 解得，， 故答案为：1． 20．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】 解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 22．【答案】2031 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，得到的值，再整体代入代数式求值． 【详解】 解：是方程的一个根， ，即， ． 故答案为：． 24．【答案】-2 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程得：，所以， 所以 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 25．【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，掌握好方程的解的意义是解题关键． 利用方程根的定义，将a代入方程得到的值，然后代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，变形得，， ∴． 故答案为：2026． 26．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】 解：将代入方程， 得，即， 解得， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查整式化简求值，由是方程 的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案． 【详解】 是方程 的一个根， ， ， ， ． 28．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】 解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 29．【答案】2026 【分析】 根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程，得， 移项，得， 将代入． 考点02 配方法 1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．B 8．A 9．C 10．A 11．C 12．C 13．【答案】x＝1或x＝﹣3 【分析】 根据配方法解方程的步骤计算可得． 【详解】 解：∵x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， 则x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得：x＝1或x＝﹣3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14．【答案】 【分析】 方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】 解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 15．【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【分析】 方程变形后，利用配方法求出解即可． 【详解】 方程变形得：x2+4x=1， 配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5， 开方得：x+2=±， 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 16．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 先去括号，整理成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的解法解方程即可． 【详解】 解：， 整理，得， 配方，得， ， 于是，得， 解得． 17．【答案】（1）；     （2） 解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，．      【分析】 本题考查一元二次方程的配方法求解，核心是掌握配方法的规范步骤：移项、化二次项系数为1、等式两边同时加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式后开平方求解． （1）分析小王的解题过程，配方时仅在左边加4，右边未同步加4，违反等式的基本性质，因此步骤③ 开始出错； （2）严格按照配方法的正确步骤逐步计算即可得到方程的解． (1) 小问详解： 解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③ 仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 18．【答案】，． 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出． 【详解】 解：， ， ， ， ∴，， 解得， 19．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 20．【答案】x1=2+，x2=2-. 【分析】 根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】 解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得，． 22．【答案】 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可. 【详解】 解： 故答案为 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键. 23．【答案】x=-1或x=3 【分析】 本题利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】 解：x-1=±2， x-1= 2或x-1=-2， 解得：x=-1或x=3． 【点睛】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键． 24．【答案】（1）2，     （2）代数式有最大值59，相应的x的值为7      【分析】 本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干过程，则当时，则，即可作答． （2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，． 当时，则， 则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴， ∴． 当时，则， 则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是． 25．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 26．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 解：， ， ， ， ，． 27．【答案】 【分析】原方程乘以2，后利用配方法整理成为完全平方公式进行计算即可. 【详解】解：原方程乘以2，得 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了解一元二次方程，通过变形方程配方成完全平方公式求解是解答本题的关键. 28．【答案】① -1    ② 4 【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2−2x＝3，再配方得（x−1）2＝4，故可以得出结果． 【详解】∵x2−3＝2x， ∴x2−2x＝3， 则x2−2x＋1＝3＋1，即（x−1）2＝4， ∴m＝−1、n＝4， 故答案为−1、4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 29．【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，这个最小值是；（3）当时，围成的生物园最大面积为． 【分析】 本题考查了配方法求最值，完全平方公式特点，解题的关键在于熟练掌握配方法． （1）根据配方法整理即可； （2）类比题干求代数式的最小值步骤，整理求代数式的最小值，即可解题； （3）根据题意得到米，米，利用长方形面积公式表示出围成的生物园的面积，再结合配方法求解，即可解题． 【详解】 解：（1）， ， 即在横线上添上一个常数项为， 故答案为：； （2）代数式有最小值， ， 当时，有最小值， 当时，代数式有最小值，这个最小值是． （3）设垂直于墙的一边长为米， 即米，米， 则围成的生物园的面积为 ， ， ， ， 当时，围成的生物园最大面积为． 30．【答案】，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】 解：， ∴， ， ， ，． 考点03 公式法 1．D 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．A 12．A 13．【答案】10 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=36-4(m-1)=0,求出m的值即可 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根 ∴Δ=36-4(m-1)=0, 解得m=10 故答案为：10 【点睛】本题考查了利用一元二次方程的判别式来求系数，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等得实数根，则Δ=0．根与判别式的关系是：当一元二次方程有两个不相等得实数根时，Δ＞0；当一元二次方程有两个相等得实数根时，Δ=0；当一元二次方程没有实数根时，Δ＜0；反之也成立． 14．【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【分析】 利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 15．【答案】13 【分析】 根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac即可求出值． 【详解】 解：∵a=1，b=3，c=-1， ∴△=b2-4ac=9+4=13． 所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13． 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了根的判别式，解决本题的关键是熟记根的判别式． 16．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得判别式为零． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足， ∴， 解得． 故答案为：． 17．【答案】，． 【分析】 先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】 解：， 这里a=3，b=6，c=-4， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 18．【答案】 【分析】 利用根的判别式列出关于的方程，求解即可． 【详解】 解：根据题意，可得， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题关键． 19．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程的根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：一元二次方程的判别式为，其中，，， 代入得． 由于方程有两个不相等的实数根， 故，即， 解得． 故答案为：． 21．【答案】无实数根 【分析】 此题考查了一元二次方程根的判定，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 把一元二次方程转换成标准表达式，列出判别式与比较即可． 【详解】 解：方程化为， ， ， 方程无实数根． 22．【答案】， 【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】 解：， ，，， ∴，则方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴原方程的解为，． 23．【答案】无实数根 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况是关键． 根据题意，得到，结合根的判别式即可求解． 【详解】 解：在一元二次方程中，， ∴， ∴方程无实数根． 24．【答案】且 【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是方程有两个不相等的实数根，则，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 故答案为：且. 25．【答案】，菱形的边长为4 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】 解：∵平行四边形是菱形， ， ∴方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ∴，即菱形的边长为 4 ； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是 4 ． 26．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，方程运用配方法求解即可． 【详解】 解：移项得， 配方得， ，． 27．【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查的是解分式方程． （1）观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：方程两边同乘以， 得， 解得， 经检验：是原方程的解； (2) 小问详解： 解：，，， ， ∴， 解得，． 28．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 解： ，，， ， 所以 ， 即，． 29．【答案】 【分析】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．熟记相关结论是关键． 【详解】 解：由题意得：， 解得：； 故答案为： 30．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 31．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】 解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 32．【答案】3（答案不唯一） 【分析】 本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据所给方程没有实数根，可得出，进而求出的取值范围即可解决问题． 【详解】 解：因为关于的一元二次方程没有实数根， 所以， 解得． 所以的值可以为3， 故答案为：3（答案不唯一）． 33．【答案】， 【分析】 先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程． 【详解】 解： ， ， ∴，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣公式法．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 34．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于x的方程根的判别式的值为8，列式，进行计算，解得m的值，即可作答． 【详解】 解：∵关于x的方程根的判别式的值为8， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】 由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为． 故答案为：． 37．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，由此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】 解：对于一元二次方程，其中，，， 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 38．【答案】． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得． 39．【答案】 【分析】 本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，用求根公式计算即可． 【详解】 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 40．【答案】（1）证明：． ∵不论m为何值，，即． ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）m=1 【分析】 （1）求出一元二次方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】 解：（1） 略 （2）解关于x的一元二次方程，得 ， ∴，． ∵方程的两个根都是正整数， ∴是正整数， ∴或． 又∵方程的两个根不相等， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况是解答的关键． 41．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ， ∴， ∴， 解得，． 42．【答案】4 【分析】 根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式． 43．【答案】，． 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用公式法的求根公式来求解即可． 【详解】 解：方程，其中，，． ∴， ∴ 解得：，． 44．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ 解得，． 45．【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案； （2）由题意根据m的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】 解：（1）由题意， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴； （2）∵且为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴，． 【点睛】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式． 46．【答案】（1）；（2）17． 【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分① 长为7的边是等腰的腰和② 长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】 解：（1）关于的一元二次方程有两个相等实数根， 方程根的判别式， 解得； （2）由题意，分以下两种情况： ① 当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得或， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的周长为， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ② 当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 由（1）已得：， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上，这个三角形的周长为17． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 考点04 因式分解法 1．C 2．C 3．B 4．C 5．B 6．【答案】 【分析】 本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 7．【答案】 【详解】 解：=； 故答案为 8．【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 解得，． 10．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 11．【答案】， 【分析】 此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】 解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 12．【答案】， 【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】 ， ， 则或， 解得，． 13．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 14．【答案】 【分析】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， ， ， 解得． 16．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 整理得， 解得． 17．【答案】（1） 证明：中，，，， ， ， ， 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；     （2）k的值为1，方程的另一个根是      【分析】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程： （1）通过计算判别式，从而得到根的判别式为非负数，可判断方程根的情况； （2）将代入方程求出k的值，然后根据解方程的方法得出另一个根． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得：， 解得， ，即， ， 或， 解得，， 即k的值为1，方程的另一个根是． 18．【答案】（1）不正确，不正确，     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法和步骤． （1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据题目特点选择合适的方法求解即可． (1) 小问详解： 解：小明的解法中忽略的情况，小华的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； (2) 小问详解： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 19．【答案】 【分析】 利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，， 所以方程较大的根是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法因式分解． 20．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ， 或， ，； (2) 小问详解： ， ， ， ， 21．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 用配方法分解因式即可； 用因式分解法分解因式即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 配方得：， 因式分解得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 因式分解得：， 整理得：， 或， 解得：，． 22．【答案】（1）2     （2）     （3）      【分析】 本题考查了无理方程，解一元二次方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． （1）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （2）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （3）仿照材料中的解方程的方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 两边平方去掉根号，得：， 解得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为； (3) 小问详解： 解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：， 整理得， 即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为0． 23．【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形．     （2）      【分析】 （1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．【答案】（1）；     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，实数的运算，理解题意并列得正确的算式或方程是解题的关键． （1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）由题意易得，根据定义的运算列得一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； (2) 小问详解： ∵， ∴， 整理得：， 解得：，． 25．【答案】【问题】（1），，；（2）；【拓展】 或 ；【应用】的长为． 【分析】 本题考查用转化的思想解方程，解题的关键是解无理方程时注意验根． （1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； [拓展]根据代入法得出，进而解一元二次方程，求得的值，进而求得的值，即可求解； [应用]（3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】 （1）解：， ， ， 解得，，， 故答案为：，，． （2）解：， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， 当时，，符合要求； 当时，，不合题意，舍去； 综上可知，的解为； [拓展]（3） 由② 得③ ， 把③ 代入① 得， 整理得：， 解得：，， 把：，分别代入方程② 得，， ， ∴原方程组的解为 或 [应用]（4）因为四边形是矩形 所以， 设，则 因为 ， ∴ ∴ 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 解得. 经检验，是方程的解 答：的长为 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．【答案】4 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 3．【答案】3 【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3， 解得：a=3． 故答案是：3． 考点：根与系数的关系． 4．【答案】（1） 证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）3      【分析】 本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得：， ∴， 解得． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （2）由根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为． 6．【答案】（1） 证明：，根据根的判别式公式有， 化简得， 方程总有两个实数根．     （2）；      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解与根的求解．熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解与根的求解是解题的关键． （1）运用一元二次方程根的判别式，通过判断的取值范围来证明方程总有两个实数根； （2）将已知根代入方程求出，再利用因式分解求解出方程的另一个根即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得， 解得， 把代入， 得到， 因式分解得， 解得， 该方程的另一个根为． 故答案为：，． 7．【答案】（1） 证明：在方程中，． 则 任何数的平方都大于等于0，即， 不论为何值，该方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关性质并能灵活运用勾股定理． （1）利用一元二次方程根的判别式证明方程总有实数根； （2）先将已知根代入方程求出的值，再求出另一个根，最后利用勾股定理求出斜边长度，进而求出三角形周长． （1）证明： (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：已知是方程的一个根，将代入方程得： ， 解得， 将代入原方程，得， 解得：，即另一个根为， 已知直角三角形的两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，斜边． 三角形的周长为． 8．【答案】（1） 证明：由题意得： ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意可根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）由题意得，然后代入进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据题目中的等量关系列出方程即可． 【详解】 解：根据题意列方程得． 故答案为： ． 10．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出方程是解题的关键． 根据正方形田和圆形田面积之和为252，结合正方形田的边长与圆形田的直径相等，运用面积公式列出一元二次方程即可． 【详解】 解：由题意得：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为252， 设正方形田的边长为x，则圆形田的直径为，列方程为： ． 故答案为：． 11．【答案】10． 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）=121， ∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）． ∴每轮传染中平均一个人传染了10个人． 【点睛】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 12．【答案】1 【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】 解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 13．【答案】（1）     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 14．【答案】该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为，根据平均月增长率的计算公式列式求解即可． 【详解】 解：设该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为． 15．【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】 解：设每次降价的百分率为x． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 17．【答案】边和边减少的长度是3米 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：设边和边减少的长度是x米. ，整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：边和边减少的长度是3米. 18．【答案】该矩形绿地的长为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设该矩形绿地的长为，则宽为，根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设该矩形绿地的长为，则宽为 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍）． 答：该矩形绿地的长为． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准相等关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，根据“原有量增长率现有量”，n表示增长的次数，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这两个月的利润平均月增长的百分率是． 20．【答案】50% 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 根据增长率问题的公式，列方程求解即可． 【详解】 解：设该工厂二、三月份的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得（舍去）， 答：该工厂二、三月份的月平均增长率为50%． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设第二、三两个月的月平均增长率为，利用该单车公司第三个月投放单车的数量该单车公司第一个月投放单车的数量（第二、三两个月的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设第二、三两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：第二、三两个月的月平均增长率为． 22．【答案】共有8个队参赛 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个队参赛，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【详解】 解：设共有x个队参赛，则 解得：（舍去）． 答：共有8个队参赛． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度均为，根据题意可得，剩余草坪的面积等于长为，宽为的矩形面积，据此列出方程，即可求解． 【详解】 解：设小路的宽度均为，根据题意得， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 首先设上下边衬的宽度为未知数，根据左右边衬与上下边衬宽度的关系表示出左右边衬宽度。再依据装裱后面积与原作品面积的倍数关系，列出方程，最后求解方程并舍去不符合实际意义的解，从而得到上下边衬的宽度． 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程并求解是解题的关键． 【详解】 解：设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是， 依题意得： （舍） 答：此作品上下边衬的宽度是． 25．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】 设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程： 解得，（舍去） 答：该市充电桩数量的年平均增长率为． 26．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】 解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 27．【答案】（答案不唯一） 【分析】 设所镶彩纸的宽为，则大长方形的长和宽分别为、，再根据彩纸面积为相片面积的列出方程即可． 【详解】 解：设所镶彩纸的宽为，则大长方形的长和宽分别为、， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 28．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】 解：根据题意，得， 故答案为：． 29．【答案】全班有名同学 【分析】 设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案． 【详解】 解：设此班有x名同学， 则， 解得:， (舍去)， 答：此班有名同学． 【点睛】 本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 30．【答案】花园的长，宽为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； 【详解】 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴当时， （舍去）或当时，． 答：花园的长，宽为． 31．【答案】（1）     （2）8元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 32．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 设该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为x，利用增长率的关系列出方程运算即可． 【详解】 解：设该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为x， 根据题意列方程得：， 解得：或， ∵，应舍去， ∴， 答：该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为． 33．【答案】（1）,     （2）每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元     （3） 不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了．      【分析】 （1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． (1) 小问详解： 设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． (2) 小问详解： 解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． (3) 小问详解： 略 34．【答案】该配送站的月平均增长率为． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该配送站的月平均增长率为，利用该配送站月订单量该配送站月订单量（该配送站的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：设该配送站的月平均增长率为． 根据题意，得， ， ， ， 解得：（舍），， 经检验，是方程的解，符合题意． 答：该配送站的月平均增长率为． 35．【答案】所修建道路的宽度为1m 【分析】 利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：，解方程即可． 【详解】 解：假设修建的路宽应米， 利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程： ， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：所修建道路的宽度为． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．【答案】（1）5     （2）     （3）      【分析】 （1）依题意得四边形，四边形，四边形均为矩形，则，，，当时，则，则，由此可得出的长； （2）根据，，，则，进而得，； （3）依题意得，由（2）可知，，根据矩形的面积为得，由此解得，，当时，则，符合题意，当时，则，不合题意，舍去，由此可得x的值． (1) 小问详解： 解：依题意得：四边形是矩形，四边形是正方形， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ，，， 当时，则， ∵矩形置物架是用总长为的木板制作的， ， ， 故答案为：5； (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：依题意得：， 由（2）可知，， ∵矩形的面积为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，则， ∵为了便于放置物品，要求的高度不小于， 符合题意， 当时，则，不合题意，舍去， ∴x的值为． 【点睛】 此题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，列代数式，理解矩形的判定与性质，正方形的性质，根据矩形的面积列出一元二次方程是解决问题的关键． 37．【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 38．【答案】(1) 10%;(2) 不会跌破元． 【分析】（1）设6、7两月平均每月降价的百分率是x，则6月份的房价为10000（1-x），7月份的房价为10000（1-x）2，然后根据7月份的8100元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出9月份商品房成交均价，然后和6500元/m2进行比较即可作出判断． 【详解】设、两月平均每月降价的百分率为， 根据题意得：， 即， 解得或（舍去）． 答：6、7两月平均每月降价的百分率是10%；  ∵（元）． ∴不会跌破元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 39．【答案】（1）cm；（2）S==-6t2+24t-18（1＜t＜2）；（3）t的值为s或s，S=4cm2． 【分析】（1）根据题意用t表示出AP、AQ，求出AP，计算即可； （2）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算； （3）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，当点P在线段AB上时，AP=4t，AQ=3t， 当点P到达边AB的中点时，AP=2，即4t=2， 解得，t=， ∴AQ=， ∴PQ=（cm）； （2）当点P在边AB上时， S=×AB×AD-×AP×AQ =6-6t2（0＜t＜1）； 当点P在边BC上时， CP=3-3（t-1）=6-3t，CQ=4-4（t-1）=8-4t， S=×BC×CD-×CP×CQ =-6t2+24t-18（1＜t＜2）； （3）当点P在边AB上时，由题意得，×3t×4t=×3×4， 12t2=4， 解得，t=， 当点P在边BC上时，由题意得，×[3-3（t-1）]×[4-4（t-1）]=×3×4， 解得，t1=（舍去），t2= 答：当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，t的值为s或s，S=4cm2． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 40．【答案】（1）（32﹣4x）m；（2）AB的长是6m． 【分析】（1）根据BC的长＝32﹣4AB列出式子即可； （2）根据题意列出方程即可解决问题. 【详解】解：（1）由题意得，BC的长为：（32﹣4x）m． （2）由题意，得x（32﹣4x）＝3×16． 解得x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，32﹣4x＝24＞8（不合题意，舍去）， 当x＝6时，32﹣4x＝8． 答：AB的长是6m． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 41．【答案】这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意得， 整理得， 解得，． 当时，平行于墙的边长为米米（不符合实际，舍去）； 当时，平行于墙的边长为米米（符合实际）． 答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米． 42．【答案】（1）     （2）     （3） 解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． (1) 小问详解： 解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 (3) 小问详解： 略 43．【答案】（1）当移动2秒或4秒时，的面积为；     （2）当移动3秒时，四边形的面积为，理由： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； (2) 小问详解： 略 44．【答案】5 【分析】 本题考查了列一元二次方程解应用题：用x表示出空白处长方形的长和宽，根据其面积为12列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】 解：由题意可知，栽种蔬菜区域的长为，宽为． 根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故原正方形空地的边长的值为5． 45．【答案】该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题是解题的关键． 利用增长率问题的公式，若初始量为，年平均增长率为，经过年后的量为，则有，进行计算即可． 【详解】 解：设该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为， 根据题意，得        解这个方程，得：，（舍）．        经检验，符合题意．        答：该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为． 46．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是分析阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式列出方程． 将阴影部分拼接后可看作一个长方形，其长为停车场的长减去车道宽度，宽为停车场的宽减去车道宽度，再根据长方形面积公式列方程． 【详解】 解：由题意可知，把阴影部分拼接起来，可形成一个长方形，这个长方形的长为米，宽为米， 根据长方形的面积公式“面积长宽”，已知阴影部分停车位的占地面积和为， 所以可列方程为． 故答案为：． 47．【答案】（1）(，且为正整数)     （2）2160元     （3）应该降价6元      【分析】 本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，列出与之间的函数关系式即可； （2）先求出y的值，再根据利润等于单件利润乘以销售数量，即可解答； （3）依题意列出一元二次方程，求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意，得 (，且为正整数)． (2) 小问详解： 当时，(件)， (元)． 答：该商家每天卖小龙玩偶所获利润2160元． (3) 小问详解： ， 解得： (为让利顾客，故不符合题意，舍去)，． 答：这款小龙玩偶应该降价6元． 48．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用以及长方形的面积公式，熟练掌握根据题意列代数式和列方程的方法是解题的关键． （1）根据栅栏总长度和的长度，找出与的数量关系，从而用含的代数式表示． （2）根据长方形面积公式列出方程，求解后结合墙的长度对解进行取舍． (1) 小问详解： 解：∵栅栏总长度为米，的长为米，且有段与平行的栅栏（包括中间的分隔栅栏）， ∴（米）， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意得，， ， ， 解得，． 当时，米米，不符合题意，舍去； 当时，米米，符合题意． 答：栅栏的长为米． 49．【答案】（1）     （2）8640元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可， （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． (1) 小问详解： 解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：由题意，得（元）． 答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元． 50．【答案】（1）13     （2）10米/秒     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． (1) 小问详解： 解：（米/秒）， 故答案为：13； (2) 小问详解： 解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． (3) 小问详解： 解：由题意得， ∴． 51．【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，设切去的正方形的边长为，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】 解：设正方形的边长为，则盒子底的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵当时，，，不合题意，舍去， ∴． 答：铁皮各角应该切去的正方形的边长是． 52．【答案】7700千克 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意易得，求出增长率，然后求解即可． 【详解】 解：设青山村2023年至2025年水稻产量年平均增长率为，则 （舍去）， 青山村2024年水稻每公顷产量为：（千克） 答：青山村2024年水稻平均每公顷产量为7700千克． 53．【答案】（1） 440万元     （2）       【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． （1）根据增长后的量增长前的量（增长率），结合9月份比8月份增加即可计算； （2）设月平均增长率为x，用x表示出11月份营业额列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%， ∴ 9月份营业额 为（万元）； 答：9月份营业额为440万元． (2) 小问详解： 解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x， 则10月份营业额为万元，11月份营业额为万元， 根据题意，， 解得（负值已舍去）， 答：10、11月份营业额的月平均增长率为． 54．【答案】（1）厘米；厘米     （2）1或4秒     （3） 解：的面积不能等于矩形的面积的二分之一，理由如下： 假设经过x秒，的面积等于矩形的面积的二分之一，根据题意得：， 整理得：， 此时， 所以此方程无解， ∴的面积不能等于矩形的面积的二分之一．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据题意，列出代数式，即可求解； （2）根据“的面积等于4平方厘米”，列出方程，即可求解； （3）假设经过x秒，的面积等于矩形的面积的二分之一，根据题意，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意知：厘米，厘米； 故答案为：厘米；厘米； (2) 小问详解： 解：∵的面积等于4平方厘米，， ∴， 即， 解得：， 即经过1或4秒时，的面积等于4平方厘米； (3) 小问详解： 略 55．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 56．【答案】（1）2.4秒     （2） 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分；     （3）经过秒或5秒或秒后，的面积为      【分析】 （1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 57．【答案】（1）1600元；（2）55元 【分析】 （1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】 解：（1）（60-40）×[100-（60-50）×2]=1600（元）． 答：每天的销售利润为1600元． （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件， 依题意，得：（x-40）[100-2（x-50）]=1350， 整理，得：x2-140x+4675=0， 解得：x1=55，x2=85（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 58．【答案】（1）；     （2）     （3）的值为或      【分析】 本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点运动到点时，所走路程为，根据速度可得出的值；点从点出发向点运动，点回到中点，可直接求出． （2）结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）分三种情况讨论：点在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示，令，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：在矩形中，，， ， 点运动到点时，所走路程为， 点的速度为每秒个单位长度， （秒）， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，， 当点运动到点时，（秒）， 此时点的运动路程为， 点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度，，，， 此时点在边上，． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：当点在时， ，， ，如图所示： 此时． (3) 小问详解： 解：当点在上时，，如图所示： 则，，，， ， 令， 解得，（舍去）； 当点在时，，如图所示： 同理得， ， 令，解得； 当点在时，同时当点运动到点时，， 此时，如图所示： 同理得， ， 令，解得（舍去）； 综上所述，当的面积为时，则的值为或． 59．【答案】（1）2米     （2）①，；②      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． (1) 小问详解： 解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． (2) 小问详解： 解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】 将一元二次方程变形为一般形式，一般形式的二次项系数为，常数项为，所以二次项系数与常数项之和为． 故选：B 2．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 3．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）已知是方程的一个实数根，则m的值为（       ） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的应用，把代入方程得出，求出方程的解即可． 【详解】 解：∵x=1是方程的根， ∴代入得：， 即， ∴ 故选：C． 4．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】 解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．中，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意； C．中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A. 1，，6 B. ，2，6 C. 1，2， D. 1，2，6 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，把方程化成一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，根据定义解答即可． 【详解】 解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是． 故选C． 6．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】 解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简为，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 7．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程，只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 8．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）下列各式中，是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一选项进行判断正误即可． 【详解】 解：对于A：最高次数为1，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于B：不是整式方程，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于C：可化为，∴是一元二次方程，符合题意； 对于D：不是方程，缺少等号，∴不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 9．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）关于的一元二次方程的一个根为0，则值为（     ） A.  B. 2 C.  D. 0 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义及二次项系数不为0的条件，代入根后求解参数，并验证二次项系数非零． 由方程的一个根为0，则将代入可得到关于a的方程，同时，一元二次方程要求二次项系数不为0，求解即可得a的值． 【详解】 解：将代入原方程： 则，， 化简得，， 解得，, 方程为一元二次方程， 二次项系数, ， , 故选：C． 10．（25-26学年九上·吉林延边·期中）已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．由于关于的一元二次方程有一个非零根，那么代入方程中即可得到，再将方程两边同时除以即可求解． 【详解】 解：∵于的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∵， ∴方程两边同时除以，得， ∴；   故选：A ． 11．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式． 将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式． 【详解】 解：∵原方程为， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 乘以（使二次项系数为正）：， ∴一般形式为， 故选：C． 12．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（     ） A. 2016 B. 2018 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义以及代数式求值，解题的关键是理解一元二次方程根的定义以及利用整体代入的方法求解代数式的值． 根据一元二次方程根的定义，将代入方程可得，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】 解：∵是方程的根， 将代入方程可得， 化简可得，， 将代入代数式可得， ， 故选：C． 13．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）已知是方程的一个根，则的值为（     ） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，属于基础题，解题的关键是理解一元二次方程的解，并能将其代入方程得到代数式的值． 利用方程根的定义，将已知方程代入所求表达式直接计算． 【详解】 解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 故选：B． 14．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．把代入方程得，解出的值即可求解． 【详解】 解：把代入方程得， 解得：， 故选：C． 15．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）若m是方程的一个根，则的值为（     ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于的等式，再对所求式子进行变形，代入计算． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即． ∴ 故选：C． 16．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）请写一个一元二次方程　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义写出一个一元二次方程即可． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式是（，，为常数，）， 是一个一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：由题意把代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 18．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）一元二次方程的一次项系数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】 解：一元二次方程中，一次项为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】 解：由题意得，， 解得，， 故答案为：1． 20．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）把一元二次方程化成一般形式是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】 解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 22．（25-26学年九上·吉林松原·期末）已知a是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2031 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 23．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，得到的值，再整体代入代数式求值． 【详解】 解：是方程的一个根， ，即， ． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）是关于x的一元二次方程的解，则.　　　　　　　　　　． 【答案】-2 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程得：，所以， 所以 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 25．（25-26学年九上·吉林松原·期末）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，掌握好方程的解的意义是解题关键． 利用方程根的定义，将a代入方程得到的值，然后代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，变形得，， ∴． 故答案为：2026． 26．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】 解：将代入方程， 得，即， 解得， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题考查整式化简求值，由是方程 的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案． 【详解】 是方程 的一个根， ， ， ， ． 28．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】 解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）已知是方程的一个实数根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】2026 【分析】 根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入方程，得， 移项，得， 将代入． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末）一元二次方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的求解，可利用直接开平方法，结合平方根的定义得出方程的解. 【详解】 ∵， ∴，即，. 2．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】 解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）方程的解为（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 直接开平方即可得． 【详解】 解：∵x2=4， ∴x=2或x=-2， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，掌握如果方程化成x2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±是关键． 5．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】 解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6．（25-26学年九上·吉林松原·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】 解：， ， 配方得，即， 只有选项A符合题意； 故选：A． 7．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）一元二次方程的解为（     ） A.  B. ， C.  D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 利用直接开平方法解方程． 【详解】 解：， ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【详解】 解： 移项得， 配方得，即． 故选：A． 9．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）用配方法解方程，变形正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型． 根据配方法即可求出答案． 【详解】 解：∵， 故选：C． 10．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（                  ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 11．（25-26学年九上·吉林延边·期中）用配方法解方程时，原方程变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5． 故选：C． 【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 12．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：移项得，， 配方得，， 即， ∴变形正确的是， 故选：． 13．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）解方程：x2+2x+1＝4． 【答案】x＝1或x＝﹣3 【分析】 根据配方法解方程的步骤计算可得． 【详解】 解：∵x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， 则x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得：x＝1或x＝﹣3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14．（25-26学年九上·吉林吉林丰满区·期末） 解方程 【答案】 【分析】 方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】 解：移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程求解，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 15．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）解方程：x2+4x﹣1=0． 【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【分析】 方程变形后，利用配方法求出解即可． 【详解】 方程变形得：x2+4x=1， 配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5， 开方得：x+2=±， 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 16．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 先去括号，整理成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程的解法解方程即可． 【详解】 解：， 整理，得， 配方，得， ， 于是，得， 解得． 17．（25-26学年九上·吉林松原·期末）阅读下面小王解方程的过程，并解决下列问题． 解：移项得，①两边同除以2得，②配方得，③即，或④⑤ （1）上述解题过程有误，开始出现错误的步骤是___________(填序号)； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；     （2） 解：， 移项得， 两边同除以2得， 配方得， 即， 或， ，．      【分析】 本题考查一元二次方程的配方法求解，核心是掌握配方法的规范步骤：移项、化二次项系数为1、等式两边同时加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式后开平方求解． （1）分析小王的解题过程，配方时仅在左边加4，右边未同步加4，违反等式的基本性质，因此步骤③ 开始出错； （2）严格按照配方法的正确步骤逐步计算即可得到方程的解． (1) 小问详解： 解：配方法中，等式两边需同时加上一次项系数一半的平方，步骤③ 仅左边加，右边仍为，未加，因此开始出现错误的步骤是； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出． 【详解】 解：， ， ， ， ∴，， 解得， 19．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 20．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【分析】 根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】 解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 21．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 解得，． 22．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）方程的解是　　　　　　　 【答案】 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可. 【详解】 解： 故答案为 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键. 23．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）解方程： 【答案】x=-1或x=3 【分析】 本题利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】 解：x-1=±2， x-1= 2或x-1=-2， 解得：x=-1或x=3． 【点睛】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选取不同的解法是解题关键． 24．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）阅读理解并解答： （1）【方法呈现】把一个多项式进行配方，可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则代数式的最小值是______，这时相应的x的值是______； （2）【尝试应用】求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 【答案】（1）2，     （2）代数式有最大值59，相应的x的值为7      【分析】 本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题干过程，则当时，则，即可作答． （2）模仿题干过程，则，因为，则．当时，则，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，． 当时，则， 则代数式的最小值是2，这时相应的x的值是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解： ， ∵， ∴， ∴． 当时，则， 则代数式的最大值是59，这时相应的x的值是． 25．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 26．（25-26学年九上·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】 解：， ， ， ， ，． 27．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）解方程： 【答案】 【分析】原方程乘以2，后利用配方法整理成为完全平方公式进行计算即可. 【详解】解：原方程乘以2，得 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了解一元二次方程，通过变形方程配方成完全平方公式求解是解答本题的关键. 28．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m=　　　　　，n=　　　　　． 【答案】① -1    ② 4 【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2−2x＝3，再配方得（x−1）2＝4，故可以得出结果． 【详解】∵x2−3＝2x， ∴x2−2x＝3， 则x2−2x＋1＝3＋1，即（x−1）2＝4， ∴m＝−1、n＝4， 故答案为−1、4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 29．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长18米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，这个最小值是；（3）当时，围成的生物园最大面积为． 【分析】 本题考查了配方法求最值，完全平方公式特点，解题的关键在于熟练掌握配方法． （1）根据配方法整理即可； （2）类比题干求代数式的最小值步骤，整理求代数式的最小值，即可解题； （3）根据题意得到米，米，利用长方形面积公式表示出围成的生物园的面积，再结合配方法求解，即可解题． 【详解】 解：（1）， ， 即在横线上添上一个常数项为， 故答案为：； （2）代数式有最小值， ， 当时，有最小值， 当时，代数式有最小值，这个最小值是． （3）设垂直于墙的一边长为米， 即米，米， 则围成的生物园的面积为 ， ， ， ， 当时，围成的生物园最大面积为． 30．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 根据配方法求解即可． 【详解】 解：， ∴， ， ， ，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·吉林松原·期末）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【分析】 直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】 一元二次方程中的， 则其根的判别式为， 因此，方程没有实数根， 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（25-26学年九上·吉林延边·期中）关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 3．（25-26学年九上·吉林长春·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（       ） A. 4 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】根据根的判别式的意义得到△=22-4a=0，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得△=22-4a=0， 解得a=1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】 解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 5．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个相等实数根，据此求出的取值范围即可． 【详解】 解：依题意，， 解得：， 故选：C． 6．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的定义、根的判别式，根据已知方程的根的情况来确定根的判别式，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】 解：关于x的一元二次方程有实根， ，且， 解得且， 故选D． 7．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的情况；通过计算判别式Δ的值，判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】 解：∵ 方程化为标准形式：， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（25-26学年九上·吉林长春·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 10．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】 解：∵   ，即， ∴ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 11．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0且a+2≠0， ∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0， 解得：a≤且a≠-2， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 12．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 13．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=36-4(m-1)=0,求出m的值即可 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根 ∴Δ=36-4(m-1)=0, 解得m=10 故答案为：10 【点睛】本题考查了利用一元二次方程的判别式来求系数，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等得实数根，则Δ=0．根与判别式的关系是：当一元二次方程有两个不相等得实数根时，Δ＞0；当一元二次方程有两个相等得实数根时，Δ=0；当一元二次方程没有实数根时，Δ＜0；反之也成立． 14．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是　　　　　　　　　　　　． 【答案】0，（答案不唯一，即可）． 【分析】 利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以 解得 故答案为：0，（答案不唯一，即可） 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 15．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）一元二次方程根的判别式的值为　　　　　　． 【答案】13 【分析】 根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac即可求出值． 【详解】 解：∵a=1，b=3，c=-1， ∴△=b2-4ac=9+4=13． 所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13． 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了根的判别式，解决本题的关键是熟记根的判别式． 16．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得判别式为零． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足， ∴， 解得． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】 先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】 解：， 这里a=3，b=6，c=-4， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键． 18．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　　　　． 【答案】 【分析】 利用根的判别式列出关于的方程，求解即可． 【详解】 解：根据题意，可得， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题关键． 19．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 20．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程的根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：一元二次方程的判别式为，其中，，， 代入得． 由于方程有两个不相等的实数根， 故，即， 解得． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）判断一元二次方程根的情况． 【答案】无实数根 【分析】 此题考查了一元二次方程根的判定，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 把一元二次方程转换成标准表达式，列出判别式与比较即可． 【详解】 解：方程化为， ， ， 方程无实数根． 22．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用公式法求解即可． 【详解】 解：， ，，， ∴，则方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴原方程的解为，． 23．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）解一元二次方程：． 【答案】无实数根 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况是关键． 根据题意，得到，结合根的判别式即可求解． 【详解】 解：在一元二次方程中，， ∴， ∴方程无实数根． 24．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是方程有两个不相等的实数根，则，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 故答案为：且. 25．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m为何值时，平行四边形是菱形？并求出此时菱形的边长． 【答案】，菱形的边长为4 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】 解：∵平行四边形是菱形， ， ∴方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ∴，即菱形的边长为 4 ； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是 4 ． 26．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，方程运用配方法求解即可． 【详解】 解：移项得， 配方得， ，． 27．（25-26学年九上·吉林延边·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查的是解分式方程． （1）观察方程可得最简公分母是：，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：方程两边同乘以， 得， 解得， 经检验：是原方程的解； (2) 小问详解： 解：，，， ， ∴， 解得，． 28．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 解： ，，， ， 所以 ， 即，． 29．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．熟记相关结论是关键． 【详解】 解：由题意得：， 解得：； 故答案为： 30．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 31．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】 解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）若关于x的方程没有实数根，则c的值可以是　　　　　　　　（写出一个即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】 本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据所给方程没有实数根，可得出，进而求出的取值范围即可解决问题． 【详解】 解：因为关于的一元二次方程没有实数根， 所以， 解得． 所以的值可以为3， 故答案为：3（答案不唯一）． 33．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程． 【详解】 解： ， ， ∴，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣公式法．解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 34．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）若关于x的方程根的判别式的值为8，则m的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的判别式，根据关于x的方程根的判别式的值为8，列式，进行计算，解得m的值，即可作答． 【详解】 解：∵关于x的方程根的判别式的值为8， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 36．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次方程根与判别式的关系，解题的关键是列出方程求解即可．根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】 由题意可知，， 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得，，即实数的值为． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式，由此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】 解：对于一元二次方程，其中，，， 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． 38．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得． 39．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）解方程：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，用求根公式计算即可． 【详解】 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 40．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明：． ∵不论m为何值，，即． ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）m=1 【分析】 （1）求出一元二次方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【详解】 解：（1） 略 （2）解关于x的一元二次方程，得 ， ∴，． ∵方程的两个根都是正整数， ∴是正整数， ∴或． 又∵方程的两个根不相等， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况是解答的关键． 41．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解： ， ∴， ∴， 解得，． 42．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）一元二次方程的根的判别式的值为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据一元二次方程根的判别式公式可直接得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的公式． 43．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用公式法的求根公式来求解即可． 【详解】 解：方程，其中，，． ∴， ∴ 解得：，． 44．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ 解得，． 45．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求该方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 （1）由题意两个不相等的实数根根据判别式大于0进行分析计算即可求出答案； （2）由题意根据m的范围可知m=1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】 解：（1）由题意， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴； （2）∵且为正整数 ∴ ∴ ∴ ∴，． 【点睛】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式． 46．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）若方程有两个相等实数根，求的值． （2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；（2）17． 【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分① 长为7的边是等腰的腰和② 长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】 解：（1）关于的一元二次方程有两个相等实数根， 方程根的判别式， 解得； （2）由题意，分以下两种情况： ① 当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得或， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的周长为， 当时，方程为，解得或， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ② 当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 由（1）已得：， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上，这个三角形的周长为17． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）方程的解为（     ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键． 直接提取公因式即可求解． 【详解】 解：， ， ，或， 方程的解为，， 故选C． 2．（25-26学年九上·吉林延边·期中）方程的根是（） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的解法，涉及的知识点是“因式分解法解一元二次方程”．解题方法是通过移项将方程化为标准形式，再提取公因式进行因式分解，进而求解方程的根；解题关键是正确移项，避免漏根，同时掌握因式分解的方法．易错点是直接两边除以x，导致丢失这个根．解题思路为：先将方程移项化为，再提取公因式得到，根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”求解方程的根． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． ∴方程的根为，． 故选：C． 3．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）一元二次方程的解是（     ） A. ， B. ， C.  D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 通过因式分解法求解方程，利用零乘积性质得出解． 【详解】 ∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即 , ， 故选B． 4．（25-26学年九上·吉林长春·期末）方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】 解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 5．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（   ） A. 4 B.  C.  D. 不存在 【答案】B 【分析】先解方程，后利用三角形的三边关系进行取舍，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，无法构成三角形，舍去 当时，这个三角形的周长是 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系，掌握一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系是解题的关键． 6．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）因式分解：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·吉林长春·期中）因式分解：　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：=； 故答案为 8．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）方程的根为　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 9．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 解得，． 10．（25-26学年九上·吉林松原·期末）用适当方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 11．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）解方程： 【答案】， 【分析】 此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】 解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 12．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】 ， ， 则或， 解得，． 13．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 14．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）分解因式：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， ， ， 解得． 16．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）用适当的方法解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 整理得， 解得． 17．（25-26学年九上·吉林松原·期末）已知方程是关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：中，，，， ， ， ， 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；     （2）k的值为1，方程的另一个根是      【分析】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程： （1）通过计算判别式，从而得到根的判别式为非负数，可判断方程根的情况； （2）将代入方程求出k的值，然后根据解方程的方法得出另一个根． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得：， 解得， ，即， ， 或， 解得，， 即k的值为1，方程的另一个根是． 18．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框： 小明：两边同除以得．则． 小华：移项，得．提取公因式，得．则或．解得，． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”） （2）请你选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确，     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法和步骤． （1）根据一元二次方程的解法，嘉嘉的解法中忽略的情况，淇淇的解法中提取公因式中符号错误，进而可作出判断； （2）可根据题目特点选择合适的方法求解即可． (1) 小问详解： 解：小明的解法中忽略的情况，小华的解法中应为，符号错误，故两人的解法都不正确， 故答案为：不正确，不正确； (2) 小问详解： 解： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 19．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）一元二次方程较大的根是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，， 所以方程较大的根是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法因式分解． 20．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ， 或， ，； (2) 小问详解： ， ， ， ， 21．（25-26学年九上·吉林长春·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，常用的解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 用配方法分解因式即可； 用因式分解法分解因式即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 配方得：， 因式分解得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 移项得：， 因式分解得：， 整理得：， 或， 解得：，． 22．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）阅读与思考 为落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结，各类方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”．利用“转化”思想，我们还可以解一些新方程．例如：，像这样根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程，解法如下： 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为，． 请你完成下列问题： （1）若，则______． （2）解方程：． （3）直接写出的解． 【答案】（1）2     （2）     （3）      【分析】 本题考查了无理方程，解一元二次方程，解无理方程的基本思路是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，要注意验根． （1）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （2）仿照材料中的解方程的方法求解即可； （3）仿照材料中的解方程的方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 两边平方去掉根号，得：， 解得， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：，即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为； (3) 小问详解： 解：， 移项，得：， 两边平方去掉根号，得：， 整理得， 即， 解这个一元二次方程，得，， 检验：当时，左边，右边， ∴左边右边， 当时，左边，右边， ∴左边右边， ∴原方程的解为0． 23．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形．     （2）      【分析】 （1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）对于任意两个非零实数，，定义运算“”如下： ，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1）计算：______，______． （2）若，求的值． 【答案】（1）；     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，实数的运算，理解题意并列得正确的算式或方程是解题的关键． （1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）由题意易得，根据定义的运算列得一元二次方程，解方程即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； (2) 小问详解： ∵， ∴， 整理得：， 解得：，． 25．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）阅读理解 回顾初中阶段各类方程的解法可以知道：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解．类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如：解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，；∵且，∴，不是原方程的解，原方程的解为． 【问题】（1）方程的解是______； （2）方程的解是______； 【拓展】请你利用转化思想解二元二次方程组： ； 【应用】如图，矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，再沿草坪边沿，走到点处，把拉直并在点处固定，然后沿草坪边，走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处；求的长． 【答案】【问题】（1），，；（2）；【拓展】 或 ；【应用】的长为． 【分析】 本题考查用转化的思想解方程，解题的关键是解无理方程时注意验根． （1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； [拓展]根据代入法得出，进而解一元二次方程，求得的值，进而求得的值，即可求解； [应用]（3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】 （1）解：， ， ， 解得，，， 故答案为：，，． （2）解：， 两边平方，得， 整理，得， 解得，， 当时，，符合要求； 当时，，不合题意，舍去； 综上可知，的解为； [拓展]（3） 由② 得③ ， 把③ 代入① 得， 整理得：， 解得：，， 把：，分别代入方程② 得，， ， ∴原方程组的解为 或 [应用]（4）因为四边形是矩形 所以， 设，则 因为 ， ∴ ∴ 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 解得. 经检验，是方程的解 答：的长为 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解． 【详解】 解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选B． 2．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 3．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　　　　　　． 【答案】3 【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3， 解得：a=3． 故答案是：3． 考点：根与系数的关系． 4．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）3      【分析】 本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得：， ∴， 解得． 5．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）关于x的方程． （1）若该方程没有实数根，求k的取值范围； （2）若是该方程的一个根，请求出它的另一个根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （2）由根与系数的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为． 6．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为，则的值为________，该方程的另一个根为________． 【答案】（1） 证明：，根据根的判别式公式有， 化简得， 方程总有两个实数根．     （2）；      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解与根的求解．熟练掌握一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解与根的求解是解题的关键． （1）运用一元二次方程根的判别式，通过判断的取值范围来证明方程总有两个实数根； （2）将已知根代入方程求出，再利用因式分解求解出方程的另一个根即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入， 得， 解得， 把代入， 得到， 因式分解得， 解得， 该方程的另一个根为． 故答案为：，． 7．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：不论k为何值，该方程总有实数根； （2）若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根及以此两根为直角边长的三角形的周长． 【答案】（1） 证明：在方程中，． 则 任何数的平方都大于等于0，即， 不论为何值，该方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关性质并能灵活运用勾股定理． （1）利用一元二次方程根的判别式证明方程总有实数根； （2）先将已知根代入方程求出的值，再求出另一个根，最后利用勾股定理求出斜边长度，进而求出三角形周长． （1）证明： (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：已知是方程的一个根，将代入方程得： ， 解得， 将代入原方程，得， 解得：，即另一个根为， 已知直角三角形的两条直角边分别为1和2，根据勾股定理，斜边． 三角形的周长为． 8．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：由题意得： ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意可根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）由题意得，然后代入进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得：， ∵， ∴， 整理得：， 解得：． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·吉林延边·期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A. （3+x）（4﹣0.5x）＝15 B. （x+3）（4+0.5x）＝15 C. （x+4）（3﹣0.5x）＝15 D. （x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【分析】 根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】 解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）如图，学校课外生物小组的试验田的形状是长为、宽为的矩形，为了方便管理，要在中间开辟两横一纵共三条等宽的小路，小路与试验田的各边垂直或平行，要使种植面积为，则小路的宽为多少米?若设小路的宽为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程解决实际问题，根据题意，将图中小路平移，如图所示，得到种植面积为的地方即是图中空白部分，有题中条件得到空白矩形的长与宽，利用矩形面积公式代值即可得到方程，掌握平移方法处理此类问题是解决问题的关键． 【详解】 解：将小路平移到边上，如图所示：    图中空白部分即是种植面积为的地方，则， 故选：B． 3．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系．设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【详解】 解：设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题意可得： ． 故选：B 4．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】 解：由题意可得方程为； 故选D． 5．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．设小路宽x米，则根据题意，可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查列一元二次方程解决实际问题．将两条小路平移到草坪的边上，设小路宽x米，则非阴影部分为一个矩形，其长为米，宽为米，根据“非阴影部分的面积是230平方米”即可列出方程． 【详解】 解：设小路宽x米，根据题意，得 故选：B 6．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期中）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后的面积是原来矩形草坪面积的，根据题意，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据矩形面积公式，结合“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”这一条件，找出等量关系列出方程． 【详解】 解：设该草坪的长和宽各增加，根据“扩建后的面积是原来矩形草坪面积的”得，， 故选：A． 7．（25-26学年九上·吉林吉林·期中）为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次降价后的单价为元，则第二次降价后的单价为元，再根据经过两次降价，单价由2200元降为1980元列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：B． 8．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场每天要获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？ 这道应用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（　　） A. 涨价后每件玩具的售价是元; B. 涨价后每天少售出玩具的数量是件 C. 涨价后每天销售玩具的数量是件 D. 可列方程为： 【答案】D 【详解】A.涨价后每件玩具的售价是元，正确；B.涨价后每天少售出玩具的数量是件，正确；C.涨价后每天销售玩具的数量是件，正确；D.可列方程为：，错误，应为(30+x-20)(300-10x)=3750，故选D. 9．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据题目中的等量关系列出方程即可． 【详解】 解：根据题意列方程得． 故答案为： ． 10．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为______． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出方程是解题的关键． 根据正方形田和圆形田面积之和为252，结合正方形田的边长与圆形田的直径相等，运用面积公式列出一元二次方程即可． 【详解】 解：由题意得：正方形田的边长与圆形田的直径相等，面积之和为252， 设正方形田的边长为x，则圆形田的直径为，列方程为： ． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】10． 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）=121， ∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）． ∴每轮传染中平均一个人传染了10个人． 【点睛】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 12．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】 解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 13．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 14．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）通过广州国际汽车展览会调研，某汽车公司计划加大“油电混”汽车的生产量．该公司计划这种“油电混”汽车的月生产量由明年一月份的4000辆增加到三月份的4840辆．求该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率． 【答案】该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为，根据平均月增长率的计算公式列式求解即可． 【详解】 解：设该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 该“油电混”汽车这两个月生产量的平均月增长率为． 15．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． ”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．） 【答案】周瑜去世时年龄为36岁 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及十位数字个位数字个位数字的平方，据此列方程可得答案，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设周瑜去世的年龄十位数字为，则个位数字为， 则根据题意：， 整理得：，解得，， 由题意，而立之年督东吴，则舍去， ∴周瑜去世的年龄为岁， 16．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期末）为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元，求每次降价的百分率 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每次降价的百分率为x，根据两次降价后每盒元，可列方程，解方程即可求出降价的百分率． 【详解】 解：设每次降价的百分率为x． 由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率为． 17．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选，如图，某停车场为了解决充电难的问题，现将长为20米，宽为10米的矩形停车场进行改造．如图，将矩形停车场的边和边分别减少相等的长度，减少的这部分区域用于修建充电桩，剩余停车场的面积为119平方米，求边和边减少的长度是多少？ 【答案】边和边减少的长度是3米 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设边和边减少的长度为x米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：设边和边减少的长度是x米. ，整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：边和边减少的长度是3米. 18．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）一块矩形绿地的长比宽多，面积是，求该矩形绿地的长． 【答案】该矩形绿地的长为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设该矩形绿地的长为，则宽为，根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设该矩形绿地的长为，则宽为 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍）． 答：该矩形绿地的长为． 19．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准相等关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，根据“原有量增长率现有量”，n表示增长的次数，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这两个月的利润平均月增长的百分率是． 20．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）某电子设备厂专注于小型智能传感器的生产，随着春节前智能家居市场需求攀升，工厂在年初调整了生产计划．已知该工厂一月份为满足首批订单需求，实际产量折合产值达5万元；二月份，工厂优化了生产线流程，同时招聘了20名熟练技工，产量逐步提升；到三月份，不仅完成了节前加急订单，产值更是突破至11.25万元．假设二月份与三月份工厂每月产量（以产值计算）的月平均增长率相同，试求该工厂二、三月份的月平均增长率是多少？ 【答案】50% 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 根据增长率问题的公式，列方程求解即可． 【详解】 解：设该工厂二、三月份的月平均增长率为， 根据题意可得，， 解得（舍去）， 答：该工厂二、三月份的月平均增长率为50%． 21．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设第二、三两个月的月平均增长率为，利用该单车公司第三个月投放单车的数量该单车公司第一个月投放单车的数量（第二、三两个月的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设第二、三两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：第二、三两个月的月平均增长率为． 22．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，求共有多少个队参加？ 【答案】共有8个队参赛 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个队参赛，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【详解】 解：设共有x个队参赛，则 解得：（舍去）． 答：共有8个队参赛． 23．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草坪的面积是．设小路的宽度均为，根据题意可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设小路的宽度均为，根据题意可得，剩余草坪的面积等于长为，宽为的矩形面积，据此列出方程，即可求解． 【详解】 解：设小路的宽度均为，根据题意得， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·吉林吉林昌邑区·期中）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 【答案】 【分析】 首先设上下边衬的宽度为未知数，根据左右边衬与上下边衬宽度的关系表示出左右边衬宽度。再依据装裱后面积与原作品面积的倍数关系，列出方程，最后求解方程并舍去不符合实际意义的解，从而得到上下边衬的宽度． 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程并求解是解题的关键． 【详解】 解：设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是， 依题意得： （舍） 答：此作品上下边衬的宽度是． 25．（25-26学年九上·吉林延边朝鲜族·期中）随着新能源电动汽车的快速增加，某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2023年底，该市约有万个充电桩，根据规划到2025年底，全市的充电桩数量将会达到万个，则从2023年底到2025年底，该市充电桩数量的年平均增长率为多少？ 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该市充电桩数量的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】 设该市充电桩数量的年平均增长率为，可列方程： 解得，（舍去） 答：该市充电桩数量的年平均增长率为． 26．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】 解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 27．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为和的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为，根据题意，列方程为　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 设所镶彩纸的宽为，则大长方形的长和宽分别为、，再根据彩纸面积为相片面积的列出方程即可． 【详解】 解：设所镶彩纸的宽为，则大长方形的长和宽分别为、， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 28．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，在视觉上给人以镂空的感觉和艺术享受．小雨奶奶以冬奥会元素为主题，裁剪了一张长为，宽为的矩形剪纸（如图所示），小雨为了完好保存剪纸，计划将其塑封，塑封时需四周留白（上下左右宽度相同），且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】 解：根据题意，得， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？ 【答案】全班有名同学 【分析】 设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案． 【详解】 解：设此班有x名同学， 则， 解得:， (舍去)， 答：此班有名同学． 【点睛】 本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 30．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道长的墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为．求花园的长和宽． 【答案】花园的长，宽为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； 【详解】 解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴当时， （舍去）或当时，． 答：花园的长，宽为． 31．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1）     （2）8元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 32．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费64万元，今年投入图书购置经费100万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 设该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为x，利用增长率的关系列出方程运算即可． 【详解】 解：设该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为x， 根据题意列方程得：， 解得：或， ∵，应舍去， ∴， 答：该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为． 33．（25-26学年九上·吉林延边州·期末）某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售                 件，每件盈利                 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】（1）,     （2）每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元     （3） 不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了．      【分析】 （1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． (1) 小问详解： 设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． (2) 小问详解： 解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． (3) 小问详解： 略 34．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行．年月，某无人配送站订单量为万单，通过技术优化与路线调整，月订单量增长至万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 【答案】该配送站的月平均增长率为． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该配送站的月平均增长率为，利用该配送站月订单量该配送站月订单量（该配送站的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：设该配送站的月平均增长率为． 根据题意，得， ， ， ， 解得：（舍），， 经检验，是方程的解，符合题意． 答：该配送站的月平均增长率为． 35．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在长，宽的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为绿化带，已知绿化带的面积为，求所修建道路的宽度． 【答案】所修建道路的宽度为1m 【分析】 利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程：，解方程即可． 【详解】 解：假设修建的路宽应米， 利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程： ， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：所修建道路的宽度为． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图（1）是用总长为的木板制作的矩形置物架，抽象为图（2）中的矩形，该置物架上面部分是边长为的正方形，中间部分为矩形，点M，N分别为线段，的中点，且． （1）当时，的长为       ； （2）置物架的高的长为        （用含x的式子表示）； （3）为了便于放置物品，要求EG的高度不小于，若矩形的面积为，求x的值． 【答案】（1）5     （2）     （3）      【分析】 （1）依题意得四边形，四边形，四边形均为矩形，则，，，当时，则，则，由此可得出的长； （2）根据，，，则，进而得，； （3）依题意得，由（2）可知，，根据矩形的面积为得，由此解得，，当时，则，符合题意，当时，则，不合题意，舍去，由此可得x的值． (1) 小问详解： 解：依题意得：四边形是矩形，四边形是正方形， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ，，， 当时，则， ∵矩形置物架是用总长为的木板制作的， ， ， 故答案为：5； (2) 小问详解： 解：，，， ， ， ； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：依题意得：， 由（2）可知，， ∵矩形的面积为， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时，则， ∵为了便于放置物品，要求的高度不小于， 符合题意， 当时，则，不合题意，舍去， ∴x的值为． 【点睛】 此题主要考查了用一元二次方程解决实际问题，矩形的判定与性质，正方形的性质，列代数式，理解矩形的判定与性质，正方形的性质，根据矩形的面积列出一元二次方程是解决问题的关键． 37．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 38．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）在国家政策的调控下，某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元． 求6、7两月平均每月降价的百分率； 如果房价继续回落，按此降价的百分率，请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元？请说明理由． 【答案】(1) 10%;(2) 不会跌破元． 【分析】（1）设6、7两月平均每月降价的百分率是x，则6月份的房价为10000（1-x），7月份的房价为10000（1-x）2，然后根据7月份的8100元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出9月份商品房成交均价，然后和6500元/m2进行比较即可作出判断． 【详解】设、两月平均每月降价的百分率为， 根据题意得：， 即， 解得或（舍去）． 答：6、7两月平均每月降价的百分率是10%；  ∵（元）． ∴不会跌破元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 39．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点P从点A出发，沿A→B→C向终点C匀速运动，在边AB，BC上分别以4cm/s，3cm/s的速度运动，同时点Q从点A出发，沿A→D→C向终点C匀速运动，在边AD，DC上分别以3cm/s，4cm/s的速度运动，连接PQ，设点P的运动时间为t(s)，四边形PBDQ的面积为S(cm2). (1)当点P到达边AB的中点时，求PQ的长； (2)求S与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)连接DP，当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值． 【答案】（1）cm；（2）S==-6t2+24t-18（1＜t＜2）；（3）t的值为s或s，S=4cm2． 【分析】（1）根据题意用t表示出AP、AQ，求出AP，计算即可； （2）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算； （3）分点P在边AB上、点P在边BC上两种情况，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，当点P在线段AB上时，AP=4t，AQ=3t， 当点P到达边AB的中点时，AP=2，即4t=2， 解得，t=， ∴AQ=， ∴PQ=（cm）； （2）当点P在边AB上时， S=×AB×AD-×AP×AQ =6-6t2（0＜t＜1）； 当点P在边BC上时， CP=3-3（t-1）=6-3t，CQ=4-4（t-1）=8-4t， S=×BC×CD-×CP×CQ =-6t2+24t-18（1＜t＜2）； （3）当点P在边AB上时，由题意得，×3t×4t=×3×4， 12t2=4， 解得，t=， 当点P在边BC上时，由题意得，×[3-3（t-1）]×[4-4（t-1）]=×3×4， 解得，t1=（舍去），t2= 答：当直线DP将矩形ABCD分成面积比为1：5两部分时，t的值为s或s，S=4cm2． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 40．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）（多选）如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）． （1）用含x的代数式表示BC的长． （2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长． 【答案】（1）（32﹣4x）m；（2）AB的长是6m． 【分析】（1）根据BC的长＝32﹣4AB列出式子即可； （2）根据题意列出方程即可解决问题. 【详解】解：（1）由题意得，BC的长为：（32﹣4x）m． （2）由题意，得x（32﹣4x）＝3×16． 解得x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，32﹣4x＝24＞8（不合题意，舍去）， 当x＝6时，32﹣4x＝8． 答：AB的长是6m． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 41．（25-26学年九上·吉林松原·期末）柳州窑埠古镇计划用长32米的木质栅栏，靠一面墙围一个矩形的螺蛳粉主题小吃摊位（墙的长度为18米），要求围成的摊位面积为120平方米，求这个矩形摊位垂直于墙的边长为多少米？ 【答案】这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设矩形摊位垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 依题意得， 整理得， 解得，． 当时，平行于墙的边长为米米（不符合实际，舍去）； 当时，平行于墙的边长为米米（符合实际）． 答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10米． 42．（25-26学年九上·吉林松原乾安县·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． （1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； （2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； （3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． (1) 小问详解： 解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 (3) 小问详解： 略 43．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】（1）当移动2秒或4秒时，的面积为；     （2）当移动3秒时，四边形的面积为，理由： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； (2) 小问详解： 略 44．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，某青少年活动中心进行场地改造，将原正方形空地一边减少了1，另一边减少了2，剩余空白处空地用来栽种蔬菜．设原正方形空地的边长为，如果栽种蔬菜的面积为12，求原正方形空地的边长x的值． 【答案】5 【分析】 本题考查了列一元二次方程解应用题：用x表示出空白处长方形的长和宽，根据其面积为12列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】 解：由题意可知，栽种蔬菜区域的长为，宽为． 根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去）． 故原正方形空地的边长的值为5． 45．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某地区年数字阅读市场规模为万元，年数字阅读市场规模达到万元，求该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率． 【答案】该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用中的增长率问题是解题的关键． 利用增长率问题的公式，若初始量为，年平均增长率为，经过年后的量为，则有，进行计算即可． 【详解】 解：设该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为， 根据题意，得        解这个方程，得：，（舍）．        经检验，符合题意．        答：该地区这两年数字阅读市场规模的年平均增长率为． 46．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，已知图中阴影部分停车位的占地面积和为，设停车场内车道的宽度为，根据题意，可列方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是分析阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式列出方程． 将阴影部分拼接后可看作一个长方形，其长为停车场的长减去车道宽度，宽为停车场的宽减去车道宽度，再根据长方形面积公式列方程． 【详解】 解：由题意可知，把阴影部分拼接起来，可形成一个长方形，这个长方形的长为米，宽为米， 根据长方形的面积公式“面积长宽”，已知阴影部分停车位的占地面积和为， 所以可列方程为． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·吉林长春·期中）在长春新民大街历史文化街上，某商家售卖小龙玩偶，已知这款小龙玩偶的成本价是20元，当售价为40元时，每天可以售出100件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件，设该款小龙玩偶降价x元(，且为正整数)，每天售卖件数为件． （1）写出与之间的函数关系式； （2）当售价降2元时，求该商家每天卖小龙玩偶所获利润； （3）为让利于游客，并使该商家每天的利润是2240元，问这款小龙玩偶应该降价多少元？ 【答案】（1）(，且为正整数)     （2）2160元     （3）应该降价6元      【分析】 本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，列出与之间的函数关系式即可； （2）先求出y的值，再根据利润等于单件利润乘以销售数量，即可解答； （3）依题意列出一元二次方程，求解即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意，得 (，且为正整数)． (2) 小问详解： 当时，(件)， (元)． 答：该商家每天卖小龙玩偶所获利润2160元． (3) 小问详解： ， 解得： (为让利顾客，故不符合题意，舍去)，． 答：这款小龙玩偶应该降价6元． 48．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． （1）______米（用含的代数式表示）； （2）若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长． 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用以及长方形的面积公式，熟练掌握根据题意列代数式和列方程的方法是解题的关键． （1）根据栅栏总长度和的长度，找出与的数量关系，从而用含的代数式表示． （2）根据长方形面积公式列出方程，求解后结合墙的长度对解进行取舍． (1) 小问详解： 解：∵栅栏总长度为米，的长为米，且有段与平行的栅栏（包括中间的分隔栅栏）， ∴（米）， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由题意得，， ， ， 解得，． 当时，米米，不符合题意，舍去； 当时，米米，符合题意． 答：栅栏的长为米． 49．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期中）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022~2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按此年增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 【答案】（1）     （2）8640元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可， （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． (1) 小问详解： 解：设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：由题意，得（元）． 答：按此年增长率，2025年用于购买图书的费用为8640元． 50．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． （1）汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． （2）求汽车行驶了18米时的速度． （3）当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】（1）13     （2）10米/秒     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． (1) 小问详解： 解：（米/秒）， 故答案为：13； (2) 小问详解： 解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． (3) 小问详解： 解：由题意得， ∴． 51．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？ 【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，设切去的正方形的边长为，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】 解：设正方形的边长为，则盒子底的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵当时，，，不合题意，舍去， ∴． 答：铁皮各角应该切去的正方形的边长是． 52．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县部分学校·期中）青山村种的水稻2023年平均每公顷产7000千克，2025年平均每公顷产8470千克，如果水稻每公顷产量的年平均增长率相同，求青山村2024年水稻平均每公顷产量． 【答案】7700千克 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则根据题意易得，求出增长率，然后求解即可． 【详解】 解：设青山村2023年至2025年水稻产量年平均增长率为，则 （舍去）， 青山村2024年水稻每公顷产量为：（千克） 答：青山村2024年水稻平均每公顷产量为7700千克． 53．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． （1）求9月份营业额． （2）求10、11月份营业额的月平均增长率． 【答案】（1） 440万元     （2）       【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． （1）根据增长后的量增长前的量（增长率），结合9月份比8月份增加即可计算； （2）设月平均增长率为x，用x表示出11月份营业额列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%， ∴ 9月份营业额 为（万元）； 答：9月份营业额为440万元． (2) 小问详解： 解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x， 则10月份营业额为万元，11月份营业额为万元， 根据题意，， 解得（负值已舍去）， 答：10、11月份营业额的月平均增长率为． 54．（25-26学年九上·吉林松原乾安县部分学校·期中）如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，设它们的运动时间为t秒． （1）根据题意知：______，______（用含t的代数式表示） （2）经过几秒时，的面积等于4平方厘米？ （3）在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的二分之一？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】（1）厘米；厘米     （2）1或4秒     （3） 解：的面积不能等于矩形的面积的二分之一，理由如下： 假设经过x秒，的面积等于矩形的面积的二分之一，根据题意得：， 整理得：， 此时， 所以此方程无解， ∴的面积不能等于矩形的面积的二分之一．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据题意，列出代数式，即可求解； （2）根据“的面积等于4平方厘米”，列出方程，即可求解； （3）假设经过x秒，的面积等于矩形的面积的二分之一，根据题意，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意知：厘米，厘米； 故答案为：厘米；厘米； (2) 小问详解： 解：∵的面积等于4平方厘米，， ∴， 即， 解得：， 即经过1或4秒时，的面积等于4平方厘米； (3) 小问详解： 略 55．（25-26学年九上·吉林松原宁江区·期中）如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）为何值时，在的垂直平分线上？ （2）为何值时，的长度为？ 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 56．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】（1）2.4秒     （2） 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分；     （3）经过秒或5秒或秒后，的面积为      【分析】 （1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 57．（25-26学年九上·吉林四平铁东区·期中）某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合力定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． （1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； （2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？ 【答案】（1）1600元；（2）55元 【分析】 （1）根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】 解：（1）（60-40）×[100-（60-50）×2]=1600（元）． 答：每天的销售利润为1600元． （2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100-2（x-50）]件， 依题意，得：（x-40）[100-2（x-50）]=1350， 整理，得：x2-140x+4675=0， 解得：x1=55，x2=85（不合题意，舍去）． 答：每件工艺品售价应为55元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 58．（25-26学年九上·吉林白城通榆县·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． （1）点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． （2）当点在上时，用含的代数式表示的长． （3）当的面积为时，求的值． 【答案】（1）；     （2）     （3）的值为或      【分析】 本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点运动到点时，所走路程为，根据速度可得出的值；点从点出发向点运动，点回到中点，可直接求出． （2）结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）分三种情况讨论：点在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示，令，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：在矩形中，，， ， 点运动到点时，所走路程为， 点的速度为每秒个单位长度， （秒）， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，， 当点运动到点时，（秒）， 此时点的运动路程为， 点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度，，，， 此时点在边上，． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：当点在时， ，， ，如图所示： 此时． (3) 小问详解： 解：当点在上时，，如图所示： 则，，，， ， 令， 解得，（舍去）； 当点在时，，如图所示： 同理得， ， 令，解得； 当点在时，同时当点运动到点时，， 此时，如图所示： 同理得， ， 令，解得（舍去）； 综上所述，当的面积为时，则的值为或． 59．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． （1）求管理通道的宽； （2）实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】（1）2米     （2）①，；②      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． (1) 小问详解： 解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． (2) 小问详解： 解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $