专题08 勾股定理（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期

专题08 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，长方体的展开图，具备一定的空间想象能力，将几何体展开是解题的关键． 分三种情况讨论：① 通过前面和上面抵达；② 通过前面和左侧面抵达；③ 通过右侧面和上面抵达；分别展开长方体，运用勾股定理计算． 【详解】 解：如图，连接， ① 通过前面和上面抵达，则最短距离为； ② 通过前面和左侧面抵达；， ③ 通过右侧面和上面抵达； ∵ ∴最短距离是． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 先利用勾股定理求出的长，再由折叠的性质得到，然后根据进行求解即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积计算等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 10．【答案】运动3秒或4秒时，它们相距． 【分析】 设运动x秒时，它们相距，则，根据勾股定理及，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设运动秒时，它们相距，则， 根据题意得：， 解得：，． 答：运动3秒或4秒时，它们相距． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．【答案】（1）     （2） 证明：如图，作于点，于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 由① ② 可得：， 在中，， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得解； （2）作于点，于点，由平行四边形的性质可得，且，由平行四边形的性质可得，证明，得出，，再结合勾股定理证明即可； （3）延长至点，使得，连接、，由题意可得，结合，得出四边形为平行四边形，由（2）可得，再代入数据计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，延长至点，使得，连接、， ， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．【答案】（1）；     （2）或；     （3）；     （4）或；      【分析】 本题考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （）根据题意列代数式可求得答案； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况分析即可； （）过作于点，则，根据角平分线的性质得，证明，则有，所以，设，则，然后通过勾股定理得，再求出的值即可； （）分作为底和腰两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当在线段上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 当在线段延长线上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 综上可得：当的面积是时，的值为或； (3) 小问详解： 解：如图，过作于点，则， ∵点在的角平分线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为； (4) 小问详解： 解：如图， 当时， ∴，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 13．【答案】（1）证明：∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴；     （2）4或3     （3）2     （4）；1      【分析】 （1）根据证明即可； （2）分两种情况：当Q与点A重合时，，当O、R、D共线时，，分别画出图形，求出结果即可； （3）以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，证明，得出，，设，，则，，，，求出，得出，然后求出最小值即可； （4）以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，根据解析（3）设，则点R的坐标为，根据，求出最大值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当Q与点A重合时，，如图所示： 此时； 当O、R、D共线时，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知：的长为4或3； (3) 小问详解： 解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 则，，， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴ ， 解得： ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最小，且最小值为， 即的最小值为2； (4) 小问详解： 解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 根据解析（3）设，则点R的坐标为， ， ， ， ， ∵， ∴当时，最大，且最大值为，此时． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，二次函数的应用，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 14．【答案】（1）2     （2）或或时，为等腰三角形     （3）或1或6或      【分析】 （1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； (3) 小问详解： 解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义、全三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．【答案】（1）4     （2）2     （3）2     （4）或1或6或      【分析】 本考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的差可得结论； （2）根据等腰三角形的概念列式计算即可； （3）由角平分线性质定理得，由三角形面积得 ，得出，由勾股定理得出； （4）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴，即， 解得，； (3) 小问详解： 解：如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，且，，． ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中，； (4) 小问详解： 解：①， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴或； ②， ∴，， ∴或16， ∴或， ∴或， 综上所述：当与全等时，或1或6或． 16．【答案】（1）t，6-t；     （2）满足条件的t的值为2或4或8；     （3）满足条件的t的值为3或9．      【分析】 （1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图1中，当PQ⊥BC时，如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，分别求解即可； （3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H．分别用t表示出PC2，PQ2，分别构建方程求解；如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T，构建方程求解． (1) 小问详解： 解：由题意BQ=t cm，PB=（6-t）cm． 故答案为：t，6-t； (2) 小问详解： 解：如图1中，当PQ⊥BC时， ∵∠PQB=90°，∠B=60°， ∴∠BPQ=30°， ∴PB=2BQ， ∴6-t=2t， ∴t=2； 如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ， ∴t=2（6-t）， ∴t=4； 如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ， ∴t=2（12-t）， ∴t=8， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8； (3) 小问详解： （3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°． ∵CT⊥AB， ∴AT=TB=3， ∴CT=， ∴PC2=（3）2+（3-t）2， ∵QB=t，∠QHB=90°，∠B=60°， ∴∠HQB=30°， ∴BH=BQ=t，QH=t， ∴PQ2=（t）2+（6-t-t）2， 当PC=CQ时，（3）2+（3-t）2=（6-t）2， ∴t=0（不合题意舍去）． 当PC=PQ时，（3）2+（3-t）2=（t）2+（6-t-t）2， 解得t=0或6（都不合题意舍去）， 当CQ=PQ时，（t）2+（6-t-t）2=（6-t）2， ∴t=3或0（0不合题意舍去）， 如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T， ∵PC=PQ，PT⊥CQ， ∴CT=QT， ∴AT-AQ=CQ， ∴t-（12-t）=（t-6）， ∴t=9， 综上所述，满足条件的t的值为3或9． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 17．【答案】（1） 解：为等边三角形，理由如下： ∵平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图② 中，由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图中，过作于点， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， 点的运动时间为，点从点运动到点所用时间为， ① 当时，，故， ∴，解得； ② 当时，， ∴，解得； 综上：或． 18．【答案】（1）证明：过点D作，交于点F， ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴； （2） （3） 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得，即可得出，可求出，接下来结合“同角的余角相等”得，然后根据“角边角”得出答案； （2）先根据等腰直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案； （3）过点E作，交延长线于点H，先说明和是等腰直角三角形，可知，再根据，由（1），得，可得，然后根据“角边角”证明，根据全等三角形的性质得，再根据说明是的垂直平分线，接下来得出，即可求出，进而得出答案． 【详解】 解：（1）略 （2）． ∵， ∴． 在中，， ∴， 即． 在在中，， ∴， 解得， ∴； （3）过点E作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 由（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．【答案】（1） 如下图三角形即为所求：      （2） 如下图即为所求． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据勾股定理和作图即可； （2）根据勾股定理和作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】 【分析】 根据正方形的性质和中点的性质，利用可证明，即可判断；设，利用勾股定理可表示出的长， 由全等三角形的性质可得， 易证， 根据相似三角形的性质可表示出的长，从而可得，即可判断；由相似三角形的性质可得 ， 利用勾股定理可表示出的长，分别求出，，，进而表示出，从而得到，即可判断；根据， 得到， 结合已知， 根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可判断． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， 点和点分别是边和的中点， ，， ， 在和中， ， ，故正确； 设， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故正确； ， ， ， ，，， ， ，故错误； ， ， ， ，故正确， 正确的结论是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 21．【答案】（1） 证明：， ，， ， 四边形是平行四边形；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可； （3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， 如图2，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形； (3) 小问详解： 解：如图3，连结，延长交于点， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形为菱形， ， ． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．【答案】（1），4     （2）① 如图，点P即为所求；    ②；③5      【分析】 （1）将A，B坐标代入中，解方程组可得结果； （2）① 作线段的垂直平分线，交于点P即可；② 根据M，N坐标求出点P的横坐标，代入直线表达式，可得点P坐标；③ 找到点N关于y轴对称点为，根据对称的性质得到，再利用勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解：将、代入中， 得： ，解得； ， 故答案为：，4； (2) 小问详解： ① 略 ② 由作图可知：点P在的垂直平分线上， ∵、， ∴点P的横坐标为1，代入中， 得：， ∴； ③ ∵， ∴点N关于y轴对称点为， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了最短路径，尺规作图，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是掌握基本知识，结合图像解决问题． 23．【答案】（1）     （2）或     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了等腰三角形性质、对称的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． （1）先得到，再根据即可； （2）由题知，分和两种情况求解； （3）由线段将分成两部分和，两三角形有相同的高，得到，再分和两种情况求解； （4）作的平分线交于，过作，由角平分线得性质可得，，在中利用勾股定理求得，再可证，得到，接着求，代入求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， 则； 故答案为：； (2) 小问详解： 当是以为腰的等腰三角形时， ① 当时，即， 解得； ② 当时， 又， 为中点， ，即， 解得； 所以当是以为腰的等腰三角形时，或； (3) 小问详解： 由（1）知，则， 线段将分成两部分和，两三角形有相同的高， ， 又线段将的面积分为两部分， ①， 即，解得； ②， 即， 解得； 所以线段将的面积分为两部分时，或； (4) 小问详解： 作的平分线交于，过作， 则， ∵， ， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ， 又，即， ，， ， ， ∵，， ， 即或， 解得或， 所以当时，或． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．【答案】（1）如图所示，即为所求；      （2）如图所示，即为所求；      （3）如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 2．【答案】（1） 解：如图所示：； 等腰三角形的面积；      （2） 解：如图所示：，，且符合 等腰直角三角形的面积；      （3） 解：如图所示： 且与平行， 平行四边形的面积； 【分析】 本题考查了无刻度直尺的网格作图，解题关键是掌握勾股定理、平行四边形的判定以及三角形和平行四边形面积的求法． （1）先确定格点，使其为等腰三角形，再验证面积即可； （2）先确定格点，使其为等腰直角三角形，再验证面积即可； （3）先确定格点，使其为平行四边形，再验证面积即可；． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 3．【答案】（1） 如图① 、图② 即为所求．      （2） 如图③ 即为所求．      （3） 如图④ 即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）下列各组数中，勾股数是（     ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 【答案】A 【分析】 本题考查了勾股数的定义，数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； B．∵1，1，中不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； C．∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D．∵， ∴8，15，16，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（     ） A.  B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】 解：在中，，，， ， 过点D作于点E，由垂线段最短可知当P与E重合时最短， 平分交于D， ，即线段的最小值为 故选：B 3．（25-26学年八上·吉林长春·期中）下面是假命题的是（       ） A. 底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等 B. 勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定定理及勾股定理及其逆定理依次进行判断即可． 【详解】 解：A．底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等，运用SSS可证明全等，真命题； B．勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理，真命题； C．有两边和这两边的夹角对应相等的两个三角形全等，原命题为假命题； D．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，运用SAS可证明全等，真命题； 故选：C． 【点睛】 题目主要考查真假命题判断，包括全等三角形的判定定理及勾股定理和逆定理，理解这些定理是解题关键． 4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】 解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 5．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图1，在平行四边形中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，若的长为5，则的最大值为（     ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，根据函数图象获取有效信息是解题的关键．过点A作于点H，根据函数图象可得，，再根据勾股定理分别求出和，所以，即可得到答案． 【详解】 解：过点A作于点H， 由函数图象可知，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 点运动到点C处，取最大值，最大值为4． 故选：C． 6．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，等腰，点在上，点、在直线上，，过作交于，则下列说法中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，由等腰直角三角形和平行线的性质可得，即可判定选项；作交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，可证，进而可判定选项和；设与相交于点，可知若，则，此时，而由已知条件无法证明，即可判定选项，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：、∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项说法正确，不合题意； 、如图，作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项说法正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项说法正确，不合题意； 、设与相交于点， 在和中，，， 若，则，此时，由已知条件无法证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：． 7．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，长方体的展开图，具备一定的空间想象能力，将几何体展开是解题的关键． 分三种情况讨论：① 通过前面和上面抵达；② 通过前面和左侧面抵达；③ 通过右侧面和上面抵达；分别展开长方体，运用勾股定理计算． 【详解】 解：如图，连接， ① 通过前面和上面抵达，则最短距离为； ② 通过前面和左侧面抵达；， ③ 通过右侧面和上面抵达； ∵ ∴最短距离是． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，已知矩形的边，，把沿着折叠，使落在对角线上的点， 　　　　　　． 【答案】 【分析】 先利用勾股定理求出的长，再由折叠的性质得到，然后根据进行求解即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积计算等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 10．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在中，．动点在线段上从点出发，沿方向运动；动点在线段上同时从点B出发，沿方向运动．如果点，的运动速度均为，那么运动几秒时，它们相距． 【答案】运动3秒或4秒时，它们相距． 【分析】 设运动x秒时，它们相距，则，根据勾股定理及，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设运动秒时，它们相距，则， 根据题意得：， 解得：，． 答：运动3秒或4秒时，它们相距． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）在探究平行四边形的性质时，某学习小组发现并证明如下有趣的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： （1）问题发现：如图①，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形的研究发现：在矩形中，令，，则可求得______（用含a，b的代数式表示）； （2）问题探究：如图②，学习小组通过添加辅助线，继续对一般平行四边形进行研究，分别过点A、D作边的垂线段，请你证明：； （3）问题拓展：如图③，在中，是边上的中线，已知，，，则的值为______． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，作于点，于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 由① ② 可得：， 在中，， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得解； （2）作于点，于点，由平行四边形的性质可得，且，由平行四边形的性质可得，证明，得出，，再结合勾股定理证明即可； （3）延长至点，使得，连接、，由题意可得，结合，得出四边形为平行四边形，由（2）可得，再代入数据计算即可得解． (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，延长至点，使得，连接、， ， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 由（2）可得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为                 ；（用含的代数式表示） （2）当的面积是时，求的值； （3）当点在的角平分线上时，求的值； （4）当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】（1）；     （2）或；     （3）；     （4）或；      【分析】 本题考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （）根据题意列代数式可求得答案； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况分析即可； （）过作于点，则，根据角平分线的性质得，证明，则有，所以，设，则，然后通过勾股定理得，再求出的值即可； （）分作为底和腰两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当在线段上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 当在线段延长线上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 综上可得：当的面积是时，的值为或； (3) 小问详解： 解：如图，过作于点，则， ∵点在的角平分线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为； (4) 小问详解： 解：如图， 当时， ∴，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 13．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）已知正方形的边长为4，点P是线段上一点，取中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连结． （1）当点P不与点B重合时，求证：≌． （2）连结，当是直角三角形时，求的长． （3）线段的最小值为__________． （4）四边形的最大面积为__________，此时线段的长度为__________． 【答案】（1）证明：∵O为的中点， ∴， ∵，， ∴；     （2）4或3     （3）2     （4）；1      【分析】 （1）根据证明即可； （2）分两种情况：当Q与点A重合时，，当O、R、D共线时，，分别画出图形，求出结果即可； （3）以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，证明，得出，，设，，则，，，，求出，得出，然后求出最小值即可； （4）以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，根据解析（3）设，则点R的坐标为，根据，求出最大值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当Q与点A重合时，，如图所示： 此时； 当O、R、D共线时，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知：的长为4或3； (3) 小问详解： 解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 则，，， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴ ， 解得： ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最小，且最小值为， 即的最小值为2； (4) 小问详解： 解：以点A为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交于点F，如图所示： 根据解析（3）设，则点R的坐标为， ， ， ， ， ∵， ∴当时，最大，且最大值为，此时． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，二次函数的应用，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 14．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． （1）当时，若是等腰三角形，求的值； （2）求为何值时，是以为腰的等腰三角形； （3）在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2     （2）或或时，为等腰三角形     （3）或1或6或      【分析】 （1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； (3) 小问详解： 解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义、全三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，，，．点M在的延长线上，，作射线，点 D 从点B 出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点M出发，沿射线的方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知 D、Q两点同时出发，运动时间为t秒． （1）_______； （2）连接，当时，是等腰三角形，求a 的值； （3）当点D 在线段上运动时，过点D作于点E，当点D在的平分线上时，求的长； （4）连接，是否存在a，使得与全等，若存在，请直接写出a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4     （2）2     （3）2     （4）或1或6或      【分析】 本考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的差可得结论； （2）根据等腰三角形的概念列式计算即可； （3）由角平分线性质定理得，由三角形面积得 ，得出，由勾股定理得出； （4）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴，即， 解得，； (3) 小问详解： 解：如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，且，，． ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中，； (4) 小问详解： 解：①， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴或； ②， ∴，， ∴或16， ∴或， ∴或， 综上所述：当与全等时，或1或6或． 16．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）． （1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为　     　（cm），BP的长为　     　（cm）（用含t的式子表示）； （2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值； （3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）t，6-t；     （2）满足条件的t的值为2或4或8；     （3）满足条件的t的值为3或9．      【分析】 （1）根据路程，时间，速度关系求解即可； （2）分三种情形：如图1中，当PQ⊥BC时，如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，分别求解即可； （3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H．分别用t表示出PC2，PQ2，分别构建方程求解；如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T，构建方程求解． (1) 小问详解： 解：由题意BQ=t cm，PB=（6-t）cm． 故答案为：t，6-t； (2) 小问详解： 解：如图1中，当PQ⊥BC时， ∵∠PQB=90°，∠B=60°， ∴∠BPQ=30°， ∴PB=2BQ， ∴6-t=2t， ∴t=2； 如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ， ∴t=2（6-t）， ∴t=4； 如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ， ∴t=2（12-t）， ∴t=8， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8； (3) 小问详解： （3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°． ∵CT⊥AB， ∴AT=TB=3， ∴CT=， ∴PC2=（3）2+（3-t）2， ∵QB=t，∠QHB=90°，∠B=60°， ∴∠HQB=30°， ∴BH=BQ=t，QH=t， ∴PQ2=（t）2+（6-t-t）2， 当PC=CQ时，（3）2+（3-t）2=（6-t）2， ∴t=0（不合题意舍去）． 当PC=PQ时，（3）2+（3-t）2=（t）2+（6-t-t）2， 解得t=0或6（都不合题意舍去）， 当CQ=PQ时，（t）2+（6-t-t）2=（6-t）2， ∴t=3或0（0不合题意舍去）， 如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T， ∵PC=PQ，PT⊥CQ， ∴CT=QT， ∴AT-AQ=CQ， ∴t-（12-t）=（t-6）， ∴t=9， 综上所述，满足条件的t的值为3或9． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 17．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动． （1）如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由； （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______； （3）如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：为等边三角形，理由如下： ∵平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边推出，即可得出结论； （2）如图② 中，由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图中，过作于点， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， 点的运动时间为，点从点运动到点所用时间为， ① 当时，，故， ∴，解得； ② 当时，， ∴，解得； 综上：或． 18．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点（点不与点、重合），连接，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点作的垂线，与相交于点（图②），得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】 （1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】 （3）在图①中，连接，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为_____． 【答案】（1）证明：过点D作，交于点F， ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴； （2） （3） 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得，即可得出，可求出，接下来结合“同角的余角相等”得，然后根据“角边角”得出答案； （2）先根据等腰直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案； （3）过点E作，交延长线于点H，先说明和是等腰直角三角形，可知，再根据，由（1），得，可得，然后根据“角边角”证明，根据全等三角形的性质得，再根据说明是的垂直平分线，接下来得出，即可求出，进而得出答案． 【详解】 解：（1）略 （2）． ∵， ∴． 在中，， ∴， 即． 在在中，， ∴， 解得， ∴； （3）过点E作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 由（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个与全等，且顶点都在格点上的三角形．要求： （1）在图①中，所作三角形与只有一个公共顶点； （2）在图②中，所作三角形与只有一条公共边． 【答案】（1） 如下图三角形即为所求：      （2） 如下图即为所求． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据勾股定理和作图即可； （2）根据勾股定理和作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在正方形中，点和点分别是边和的中点，连接、交于点，点是延长线上一点，连接．给出下面四个结论：；；；当时，．上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据正方形的性质和中点的性质，利用可证明，即可判断；设，利用勾股定理可表示出的长， 由全等三角形的性质可得， 易证， 根据相似三角形的性质可表示出的长，从而可得，即可判断；由相似三角形的性质可得 ， 利用勾股定理可表示出的长，分别求出，，，进而表示出，从而得到，即可判断；根据， 得到， 结合已知， 根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可判断． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， 点和点分别是边和的中点， ，， ， 在和中， ， ，故正确； 设， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故正确； ， ， ， ，，， ， ，故错误； ， ， ， ，故正确， 正确的结论是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 21．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． （1）【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； （2）【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； （3）【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ，， ， 四边形是平行四边形；     （2）     （3）      【分析】 （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可； （3）延长交于点，证明，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，，， ， 如图2，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形； (3) 小问详解： 解：如图3，连结，延长交于点， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形为菱形， ， ． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．    （1）______，______． （2）已知、， ①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）； ②点P的坐标为______； ③点Q在y轴上，那么的最小值为______． 【答案】（1），4     （2）① 如图，点P即为所求；    ②；③5      【分析】 （1）将A，B坐标代入中，解方程组可得结果； （2）① 作线段的垂直平分线，交于点P即可；② 根据M，N坐标求出点P的横坐标，代入直线表达式，可得点P坐标；③ 找到点N关于y轴对称点为，根据对称的性质得到，再利用勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解：将、代入中， 得： ，解得； ， 故答案为：，4； (2) 小问详解： ① 略 ② 由作图可知：点P在的垂直平分线上， ∵、， ∴点P的横坐标为1，代入中， 得：， ∴； ③ ∵， ∴点N关于y轴对称点为， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了最短路径，尺规作图，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是掌握基本知识，结合图像解决问题． 23．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在长方形中，，，．点在的延长线上，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒（）． （1）用含的代数式表示的长为_____； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）作点关于点的对称点，连结、，当线段将的面积分为两部分时，求的值； （4）在点运动的同时，有一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．过作交于，则由平行线的性质可知．当时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查了等腰三角形性质、对称的性质、角平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． （1）先得到，再根据即可； （2）由题知，分和两种情况求解； （3）由线段将分成两部分和，两三角形有相同的高，得到，再分和两种情况求解； （4）作的平分线交于，过作，由角平分线得性质可得，，在中利用勾股定理求得，再可证，得到，接着求，代入求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， 则； 故答案为：； (2) 小问详解： 当是以为腰的等腰三角形时， ① 当时，即， 解得； ② 当时， 又， 为中点， ，即， 解得； 所以当是以为腰的等腰三角形时，或； (3) 小问详解： 由（1）知，则， 线段将分成两部分和，两三角形有相同的高， ， 又线段将的面积分为两部分， ①， 即，解得； ②， 即， 解得； 所以线段将的面积分为两部分时，或； (4) 小问详解： 作的平分线交于，过作， 则， ∵， ， ， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ， 又，即， ，， ， ， ∵，， ， 即或， 解得或， 所以当时，或． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求；      （2）如图所示，即为所求；      （3）如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 2．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （3）在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 【答案】（1） 解：如图所示：； 等腰三角形的面积；      （2） 解：如图所示：，，且符合 等腰直角三角形的面积；      （3） 解：如图所示： 且与平行， 平行四边形的面积； 【分析】 本题考查了无刻度直尺的网格作图，解题关键是掌握勾股定理、平行四边形的判定以及三角形和平行四边形面积的求法． （1）先确定格点，使其为等腰三角形，再验证面积即可； （2）先确定格点，使其为等腰直角三角形，再验证面积即可； （3）先确定格点，使其为平行四边形，再验证面积即可；． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 3．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】（1） 如图① 、图② 即为所求．      （2） 如图③ 即为所求．      （3） 如图④ 即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）下列各组数中，勾股数是（     ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 2．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，，平分，交于点D，，，若点P是边上的动点，则线段的最小值为（     ） A.  B. 3 C. 4 D. 5 3．（25-26学年八上·吉林长春·期中）下面是假命题的是（       ） A. 底边和一腰对应相等的两个等腰三角形全等 B. 勾股定理和勾股定理的逆定理是一对互逆定理 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图1，在平行四边形中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示，若的长为5，则的最大值为（     ） A.  B.  C. 4 D.  6．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，等腰，点在上，点、在直线上，，过作交于，则下列说法中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，已知矩形的边，，把沿着折叠，使落在对角线上的点， 　　　　　　． 10．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在中，．动点在线段上从点出发，沿方向运动；动点在线段上同时从点B出发，沿方向运动．如果点，的运动速度均为，那么运动几秒时，它们相距． 11．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）在探究平行四边形的性质时，某学习小组发现并证明如下有趣的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题： （1）问题发现：如图①，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形的研究发现：在矩形中，令，，则可求得______（用含a，b的代数式表示）； （2）问题探究：如图②，学习小组通过添加辅助线，继续对一般平行四边形进行研究，分别过点A、D作边的垂线段，请你证明：； （3）问题拓展：如图③，在中，是边上的中线，已知，，，则的值为______． 12．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为                 ；（用含的代数式表示） （2）当的面积是时，求的值； （3）当点在的角平分线上时，求的值； （4）当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 13．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）已知正方形的边长为4，点P是线段上一点，取中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结，以为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在的同侧，连结． （1）当点P不与点B重合时，求证：≌． （2）连结，当是直角三角形时，求的长． （3）线段的最小值为__________． （4）四边形的最大面积为__________，此时线段的长度为__________． 14．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． （1）当时，若是等腰三角形，求的值； （2）求为何值时，是以为腰的等腰三角形； （3）在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 15．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，，，．点M在的延长线上，，作射线，点 D 从点B 出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点M出发，沿射线的方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知 D、Q两点同时出发，运动时间为t秒． （1）_______； （2）连接，当时，是等腰三角形，求a 的值； （3）当点D 在线段上运动时，过点D作于点E，当点D在的平分线上时，求的长； （4）连接，是否存在a，使得与全等，若存在，请直接写出a 的值；若不存在，请说明理由． 16．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）． （1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为　     　（cm），BP的长为　     　（cm）（用含t的式子表示）； （2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值； （3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值． 17．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动． （1）如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由； （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______； （3）如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 18．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点（点不与点、重合），连接，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点作的垂线，与相交于点（图②），得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】 （1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】 （3）在图①中，连接，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为_____． 19．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个与全等，且顶点都在格点上的三角形．要求： （1）在图①中，所作三角形与只有一个公共顶点； （2）在图②中，所作三角形与只有一条公共边． 20．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在正方形中，点和点分别是边和的中点，连接、交于点，点是延长线上一点，连接．给出下面四个结论：；；；当时，．上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　． 21．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，． （1）【基础巩固】 求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形； （2）【操作思考】 如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长； （3）【拓展探究】 如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数． 22．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过、两点．    （1）______，______． （2）已知、， ①在直线上找一点P，使．用无刻度直尺和圆规作出点P（不写画法，保留作图痕迹）； ②点P的坐标为______； ③点Q在y轴上，那么的最小值为______． 23．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在长方形中，，，．点在的延长线上，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒（）． （1）用含的代数式表示的长为_____； （2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （3）作点关于点的对称点，连结、，当线段将的面积分为两部分时，求的值； （4）在点运动的同时，有一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．过作交于，则由平行线的性质可知．当时，直接写出的值． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 2．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （3）在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 3．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $