精品解析：吉林省长春八十九中2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年吉林省长春八十九中八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 16的算术平方根是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若a的值使成立，则a的值为（ ） A 9 B. 8 C. 6 D. 3 5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 6. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9 因式分解：____________． 10. 计算(x＋1)(2x－3)的结果为________． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为__________． 12. __________． 13. 如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)． 14. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使条件有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 已知，，求的值． 18. 图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： （1）三角形的三个顶点都在格点上． （2）与全等，且位置不同． 19. 先化简，再求值． （1），其中，． （2），其中，． 20. 如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF． 21. 如图，已知点B，D在上，，，．求证： （1）； （2）． 22. 探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE． 23. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3阴影部分面积，可以得到的等式是； A． B． C． （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，，则　　； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．． 24. 如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD、CE． （1）如图②，可以根据三角形全等判定定理_________证得． （A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边． （2）如图③，求证：． （3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为________度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省长春八十九中八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 16的算术平方根是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根“一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数叫做的算术平方根．规定：0的算术平方根是0”，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．根据算术平方根的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴16算术平方根是4， 故选：C． 2. 下列各数中，无理数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】、，是整数，属于有理数，不符合题意； 、有无理数，属于无理数，符合题意； 、，是有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式）． 3. 化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，根据同底数幂的乘法法则和积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 4. 若a的值使成立，则a的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】∵成立，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 6. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充，可得：， 在和中， ， ∴． 【点睛】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 7. 如图，在中，，是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质．理解和掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查利用提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法是解题关键． 10. 计算(x＋1)(2x－3)的结果为________． 【答案】2x2－x－3 【解析】 【分析】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算即可求解． 【详解】解：(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3. 故答案为：2x2－x－3 【点睛】考查多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 11. 已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系判断能否构成三角形． 分为6是腰长和6是底边长两种情况，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当6是腰长时， 三角形的三边长分别为6、6、5， ， 以6、6、5为三边能构成三角形， 此等腰三角形的周长为； 当6是底边长时，三角形的三边长分别为6、5、5， ， 以6、5、5为三边能构成三角形， 此等腰三角形的周长为． 故答案为：或． 12. __________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方计算法则是解题的关键．运用积的乘方的逆运算计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 13. 如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)． 【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2 【解析】 【分析】完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证．此类题型可从整体和部分两个方面分析问题．本题从整体来看，整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式. 【详解】解： , 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键. 14. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）将变形为，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法和公式法，并能根据多项式的特点选择合适的方法进行因式分解． （1）先提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解； （2）直接提取公因式； （3）先提取公因式，再对括号内的式子利用平方差公式进行因式分解； （4）提取公因式． 【小问1详解】 解： ． ； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据完全平方公式得，再代入计算，即可得解． 【详解】解：由，两边平方得，即， 把代入，得， ∴． 18. 图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： （1）三角形的三个顶点都在格点上． （2）与全等，且位置不同． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形判定方法，画出图形即可． 【小问1详解】 如图，即为所求 【小问2详解】 如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 先化简，再求值． （1），其中，． （2），其中，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据多项式除以单项式、平方差公式化简，再把a，b的值代入计算即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式化简，再代入a，b的值计算即可． 【小问1详解】 解： ， 当，时， 原式； 【小问2详解】 解： ， 当，， 原式． 20. 如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF． 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】欲证BE∥CF，需先证得∠EBC=∠FCD或∠E=∠CFD，那么关键是证△BED≌△CFD；这两个三角形中，已知的条件有：BD=DC，DE=DF，而对顶角∠BDE=∠CDF，根据SAS即可证得这两个三角形全等，由此可得出所证的结论 【详解】证明：∵AD是BC上的中线， ∴BD=DC． 又∵DF=DE（已知）， ∠BDE=∠CDF（对顶角相等）， ∴△BED≌△CFD（SAS）． ∴∠E=∠CFD（全等三角形的对应角相等）． ∴CF∥BE（内错角相等，两直线平行）． 点评：该题考查了三角形全等的判定与性质及平行线的判定，由三角形全等证明对应角相等，根据内错角相等两直线平行易证两条直线平行. 21. 如图，已知点B，D在上，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得，再由推出，然后根据证明； （2）由（1），根据全等三角形对应边相等可得结论． 【小问1详解】 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ∴． 22. 探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90,而∠BAC=90,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA.则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE; (2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案. 【详解】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）； （2）设∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”,“SAS”, “ASA”, “AAS”;本题得出∠CAE=∠ABD证三角形全等是解题关键. 23. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是； A． B． C． （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，，则　　； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．． 【答案】（1）， （2）B （3）①3，②，6 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字所呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积，图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）①根据平方差公式进行计算即可； ②将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为2的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【小问1详解】 解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 由图2、图3面积相等得，， 故选：B； 【小问3详解】 ①，即，而， ， 故答案为：3； ②原式 ， 而，，，，，，，， 所以的个位数字为6． 24. 如图①，、均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD、CE． （1）如图②，可以根据三角形全等判定定理_________证得． （A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边． （2）如图③，求证：． （3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为________度． 【答案】（1）B；（2）证明见解析；（3）60或120． 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （3）分点D、E、C在同一条直线上，且点E在C、D的中间和点D、E、C在同一条直线上，且点D在C、E的中间两种情况，再分别根据三角形全等的性质、等边三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）、均为等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， 故选：B； （2）、均为等边三角形， ， ，即， 在和中，， ； （3）由题意，分以下两种情况： ①如图3-1，点D、E、C在同一条直线上，且点E在C、D的中间， 是等边三角形， ， ， 同（1）可证：， ， ； ②如图3-2，点D、E、C在同一条直线上，且点D在C、E的中间， 是等边三角形， ， 同（2）可证：， ， ； 综上，的大小为或， 故答案为：60或120． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $