专题05 整式的乘法（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期

专题05 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（八上·吉林长春南关区·期中）若，则x的值为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了同底数幂的运算法则及一元一次方程的求解，先根据同底数幂的运算法则对进行变形，然后提取公因式化简方程，最后求解方程得到x的值． 【详解】 解：由题意知，， 将代入原方程，可得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：2． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 【详解】 解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和除法运算法则，是解题的关键．根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和除法运算法则，逐个进行判断即可． 【详解】 解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．， 故D正确． 故选：D． 3．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【详解】 解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查指数运算和合并同类项的规则。根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴ A错误； ∵ 选项B中，，∴ B错误； ∵ 选项C中，，∴ C错误； ∵ 选项D中，，∴ D正确． 故选：D． 5．（八上·吉林长春南关区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方．根据相关运算的法则逐一运算判断即可． 【详解】 解：A、，该选项运算错误，不符合题意； B、，该选项运算错误，不符合题意； C、，该选项运算正确，符合题意； D、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法． 分别根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法计算即可． 【详解】 A． ，原计算错误 B． ，不是同类项，无法合并，原计算错误 C． ，原计算错误 D． ，原计算正确 故选：D 7．（八上·吉林长春南关区·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）观察与思考： ；①             ；② （1）算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法             B．积的乘方             C．幂的乘方 （2）计算： 【答案】（1）A；C     （2）9      【分析】 本题主要考查了积乘方逆用，同底数幂乘法，幂的乘方运算及其逆用，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行判断即可； （2）逆用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：算式①的运算依据是A同底数幂乘法，算式②的运算依据是C幂的乘方． (2) 小问详解： 解： ． 9．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）若，则a、b、c的大小关系是　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题主要考查了幂的乘方运算，逆用幂的乘方运算法则，将各数转换为相同指数的幂形式，然后比较底数的大小即可． 【详解】 解：， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）已知，，． （1）_________； （2）求的值； （3）m，n，p之间的等量关系为_________． 【答案】（1）16     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方的运算等知识点，掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则和逆运算法则是解题的关键． （1）将代入运用有理数乘方法则计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用的以及积的乘方逆用计算即可； （3）根据积的乘方逆用以及同底数幂的乘法运算得到，进而完成解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 11．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查积的乘方逆运算，将原式变形为，利用积的乘方逆运算求解即可． 【详解】 解： ． 故答案为：3． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，进行判断即可． 【详解】 A选项，，故不符合题意； B选项，，故符合题意； C选项，，故不符合题意； D选项，，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 2．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【详解】 解：根据题意，小辰报的整式为 故选：D． 3．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）计算的结果为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】 解：， 故选：D． 4．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，积的乘方法则，单项式乘单项式，合并同类项的法则，逐项计算后判定即可． 【详解】 解：A．，原计算错误； B．不能合并，原计算错误； C．，计算正确； D．，原计算错误． 故选：C． 5．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】 解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·吉林长春·期中）若，则m为（       ） A. 2 B.  C. 8 D.  【答案】A 【分析】 此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】 解：∵ ， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A. 2，3，2 B. 2，4，2 C. 2，5，2 D. 2，5，4 【答案】C 【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 【详解】 由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 8．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）长方形的面积为，长为，则它的宽为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】 解：由题意得： （2a2－4ab+2a）÷（2a）=a－2b+1， ∴长方形的面积为2a2－4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a－2b+1， 故选：C． 【点睛】 本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 9．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）若，，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】 解：， 故选：C． 10．（25-26学年八上·吉林长春·期中）下列计算正确的是（　　） A. 3x﹣2x＝1 B. x（﹣x2）＝x3 C. （﹣x3）2＝x6 D. x2÷x＝2 【答案】C 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断求出答案． 【详解】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误； B、x（﹣x2）＝﹣x3，故此选项错误； C、（﹣x3）2＝x6，故此选项正确； D、x2÷x＝x，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 11．（八上·吉林长春南关区·期中）计算 【答案】 【分析】 根据题意利用多项式除以单项式的计算规则进行计算即可得出答案. 【详解】 解： . 【点睛】 本题考查整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的计算规则是解题的关键. 12．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】 本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算单项式乘多项式，再合并同类项，然后将代入计算求值即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 13．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）若的展开式中不含项，则　　　　　　． 【答案】0 【分析】 此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将原式展开并合并同类项，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解的值． 【详解】 解：． ∵展开式不含项， ∴ 解得： 故答案为：0． 14．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）计算： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式和单项式乘以单项式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算； （2）利用多项式乘以多项式法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 15．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查实数的混合运算及多项式的除法和乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先开算术平方根、去绝对值及零次幂，再加减即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算，即可求解； （3）多项式乘以多项式法则计算，即可求解； （4）根据根式的除法和乘法计算即可． (1) 小问详解： 原式 ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 原式 ； (4) 小问详解： 原式 ． 16．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先进行多项式乘多项式的运算，使结果中的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】 解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算，是解题的关键． 17．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了利用算术平方根及立方根进行运算，多项式除以单项式；能熟练利用法则进行运算是解题的关键． （1）先利用算术平方根及立方根进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）由多项式除以单项式的法则进行运算，即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式． 18．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）写出一个多项式，使它与单项式的和是单项式：　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】 解：∵ ∴这个 可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 19．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）=x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　   　）=a3+b3 （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立． （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2） 【答案】（1）a2﹣ab+b2； （2）说明（1）中的等式成立： （a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3=a3+b3； （3）﹣7y3． 【分析】 （1）由已知等式即可得出结论； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可； （3）根据已知等式的规律化简求值即可． 【详解】 解：（1）由已知等式可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3； 故答案为：a2﹣ab+b2； （2）略 （3）原式=（x3+y3）﹣（x3+8y3）=﹣7y3． 【点睛】 此题考查的是多项式乘多项式的探索规律题，掌握多项式乘多项式法则是解决此题的关键． 20．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了整式的除法运算．注意掌握指数的变化是解此题的关键．直接利用多项式除以单项式法则求解即可． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展开式中不含x2和x3项． (1)分别求m，n的值； (2)先化简再求值：2n2+(2m+n)(m﹣n)﹣(m﹣n)2 【答案】(1)m＝2，n＝3；(2)m2+mn， 10． 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后求出解 (2) 先算乘法，再合并同类项，最后代入求解 【详解】(1) (x2+mx+1)(x2﹣2x+n) ＝x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+x2﹣2x+n ＝x4+(﹣2+m)x3+(n﹣2m+1)x2+(mn﹣2)x+n， ∵(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展开式中不含x2和x3项， ∴﹣2+m＝0，n﹣2m+1＝0， 解得：m＝2，n＝3； (2) 2n2+(2m+n)(m﹣n)﹣(m﹣n)2 ＝2n2+2m2﹣2mn+mn﹣n2﹣m2+2mn﹣n2 ＝m2+mn， 当m＝2，n＝3时，原式＝4+6＝10． 【点睛】此题考查了合并同类项，多项式乘多项式，解题关键是合并同类项 22．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】 此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式的化简求值，平方和绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内单项式乘以多项式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后根据平方和绝对值的非负性求出，，然后代数求解即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 23．（八上·吉林长春南关区·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】 解： ， 故答案为：． 24．（八上·吉林长春南关区·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式的法则，将前一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加即可． 【详解】 解：原式 ． 25．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 【答案】 【分析】 本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵关于的代数式化简后不含有项和常数项， ∴， ∴． 26．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】 解：设， 则原式， ∵结果中的一次项系数为， ∴，解得， 故答案为：5． 27．（25-26学年八上·吉林长春·期中）计算　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了整式除法，先算幂的乘方，根据单项式除以单项式的法则，可得答案． 【详解】 解： 故答案为：． 28．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了整式的混合运算，先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解： ． 29．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】 本题考查了整式化简求解，先进行多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】 解：原式， ， ． 当时， 原式， ． 30．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米20元． （1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． （2）若，，计算草坪的造价． 【答案】（1）平方米     （2）21000元      【分析】 本题考查列代数式、代数式求值、整式的混合运算，（1）根据题意得，利用大正方形的面积减去小正方形的面积和小路的面积等于阴影部分的面积即可求解； （2）由题意得，草坪的造价为：，再代入计算即可． (1) 小问详解： 解：由图可得，草坪面积为： ； (2) 小问详解： 解：由题意得，草坪的造价为：， ∵，， ∴ （元） 答：草坪的造价为21000元． 31．（25-26学年八上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，. 【答案】4x2-6y2-11xy;25.5 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、多项式与多项式的乘法法则化简，然后把，代入计算即可. 【详解】原式=4x2-9y2-(4x2+8xy-xy-2y2)+4x2-4xy+y2 =4x2-9y2-4x2-8xy+xy+2y2+4x2-4xy+y2 =4x2-6y2-11xy， 当，时， 原式= =16-1.5+11 =25.5. 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，完全平方公式，合并同类项，多项式的乘法等知识.在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值. 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（       ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【分析】 本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，再由长方形面积计算公式可得长方形的面积，据此可得答案． 【详解】 解： ∵，， ∴， ∴长方形的面积， 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）以下四种方法中能够验证公式的有　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中阴影部分面积即可得出等式，然后再逐个进行判断即可． 【详解】 解：① 阴影部分是两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于平行四边形的面积，可以验证平方差公式； ② 阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于长方形的面积，可以验证平方差公式； ③ 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为2a，宽为2b的长方形，面积为， ∴，故图③ 不能验证平方差公式； ④ 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为． ∴，故图④ 可以验证平方差公式． 综上所述，能验证平方差公式的有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 3．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】 解： ． 故答案为：1． 4．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）计算 （1） （2）（利用整式乘法公式计算） 【答案】（1）；     （2）4．      【分析】 本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握相关法则是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）将改写为，然后结合平方差公式按运算顺序进行运算即可． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式 ． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为(     ) A. 4 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了完全平方式．根据完全平方式的定义，得，则，解得的值，即可作答． 【详解】 解：∵ 是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 即， 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）若，则a、b的值分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】 解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 3．（八上·吉林长春南关区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式、平方差公式及完全平方公式．根据每个选项用到对应的运算法则并逐一分析选择即可． 【详解】 解：A项：，不符合题意； B项：，符合题意； C项：，不符合题意； D项：，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】 解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 5．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）若 ，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】 本题考查了整式的化简求值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行化简． 先利用完全平方公式将展开，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】 解： ， 把代入得：． 7．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为　　　　　． 【答案】36 【详解】 本题考查完全平方公式，根据乘积二倍项确定常数项的值． 因为多项式是某一个多项式的平方，所以可设为， 比较系数得，解得， 所以． 故答案为：36． 8．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】 本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】 解： ， 当时，原式． 9．（八上·吉林长春南关区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式乘多项式法则对原式进行化简，再将给定的a值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 解：原式 ， 当时， 原式． 10．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，直接写出的值                 ； 类比应用：（2）①若，则                 ； ②已知，求的值． 知识迁移：（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在同一直线上，连接，，若，，则一块直角三角板的面积为                 ． 【答案】（1）11；（2）①5；②；（3）15 【分析】 本题主要考查了完全平方公式，准确掌握公式的变式及灵活运用公式是解题的关键． （1）根据，可得，把x、y代入即可得到答案； （2）①由，可得，代入可得答案； ②设，，则，，根据完全平方公式进行变形求出； （3）设，，则由题意可得，，根据，代入即可求得三角板的面积． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； （2）①∵， ∴ ； ②设，，则： ，， ∴ ， 即； （3）设， 则由题意可得，， 即，， ∴， ∴一块直角三角板的面积为． 11．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 【答案】（1）当时，代数式的最小值是1； （2）1；大；； （3） 【分析】 本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性（）判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即是代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】 （1）解： ∵， ∴当，即时，代数式取得最小值； 最小值为． 答：当时，代数式的最小值是1； （2）解： ∵， ∴，； ∴当，即时，有最大值，最大值 故答案为：1，大；； （3）解：由，得； 则 ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）先化简，再求值：，其中a，b满足： 【答案】， 【分析】 本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，代入计算即可． 【详解】 解：原式 ， ， ，， ，， 则原式． 13．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）．图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为．因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【知识应用】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：_____，方法2：_____ （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是_____ （3）应用（2）中所得结论回答问题：若，则_____． 【知识迁移】 （4）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积可以写出一个代数恒等式是_____． 【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）图④ 中阴影部分是一个边长为的正方形，图④ 中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，据此用两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则，据此可得答案； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，据此用两种方法表示出原几何体的体积即可得到答案． 【详解】 解：（1）图④ 中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图④ 中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为； （2）由（1）可得； （3）设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，即原几何体的体积为， 原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，即原几何体的体积为， ∴ 14．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）数学活动：面积与代数恒等式 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们可以利用几何图形的面积解释代数恒等式． 【方法呈现】如图①，将三个正方形分别按照甲、乙、丙三种方法进行分割． 已知以下三个代数恒等式： ①； ②； ③． 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为__________． 【方法探究】利用【方法呈现】中所得到的代数恒等式，解决下面的问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【方法应用】如图②，在数轴上，从左到右的三个点、、表示的数分别是、8、10．以为边向上作正方形，以为边向上作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为100，求长方形的面积． 【答案】【方法呈现】③ ② ① ；【方法探究】（1）6；（2）3；【方法应用】48 【分析】 本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式变形求值；能熟练利用完全平方公式进行求解是解题的关键． 方法呈现：观察图形即可求解； 方法探究： （1）由完全平方公式变形得，即可求解； （2）由完全平方公式变形得，即可求解； 方法应用：由图得，由完全平方公式变形得，即可求解． 【详解】 解：方法呈现： 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为③ ② ① ； 故答案为：③ ② ① ； 方法探究： （1）， ， ， ； （2）， ， ， ； 方法应用： 由图得：， ， ， ， 长方形的面积为． 15．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）已知，，求，的值． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，由完全平方公式得出①和②，通过两式相加减可求出答案． 【详解】 解：， ①， ， ②， ①②，得， ， ①②，得， 16．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴． ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值； （3）已知：的三边长是a，b，c，且满足：，试判断是什么形状的三角形并说明理由． 【答案】（1）     （2）周长的最大值为29     （3） 解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴是等边三角形．      【分析】 （1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知且c为正整数， ∴c的最大值是14． ∴周长的最大值为29． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定等知识，是三角形综合题，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 17．（八上·吉林长春南关区·期中）已知整式，，m为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？通过计算说明理由． （2）当m是整数时，的值一定是偶数吗？通过计算说明理由． 【答案】（1）的值不可能为负数， 理由：． ， ． 的值不可能为负数．     （2）的值一定是偶数， 理由: ． m是整数， 一定是偶数． 的值一定是偶数．      【分析】 本题考查了平方差公式，完全平方公式，平方的非负性，偶数的概念等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． （1）观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； （2）根据（1）中的结论，若，，求； （3）如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）     （2）2     （3）84      【分析】 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为，则，得，设，得，则，代入即可． (1) 小问详解： 解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， 将，代入得：， ， ， ∵， ， 故答案为：2； (3) 小问详解： 解：∵正方形的边长为， ， ， 设， ， ， ∴图中阴影部分的面积为84． 19．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】 本题考查了整式的混合运算，原式先将中括号内的利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： ； 当，时，原式． 20．（25-26学年八上·吉林长春·期中）学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数、， ， ， ，当且仅当时，等号成立． 解决问题： （1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ； （2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测； （3）当时，求的最小值． 【答案】学以致用： 设矩形的长为x，则宽为，设矩形的面积为y 由题意得： ∴当时，面积有最大值9，此时宽为 ∴围成正方形时面积最大； 解决问题：（1）4，2 （2）设矩形的长、宽分别为、，由题意得， 则，即， 当时，取最小值为6， 此时矩形的周长最小为：； 时，矩形变为正方形， ∴铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小； （3）2 【分析】 学以致用：设矩形的长为x，则宽为，设矩形的面积为y，利用二次函数的性质求解即可； 解决问题：（1）根据题意，由，当且仅当时，等号成立；即可解决问题； （2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得，再根据公式证明当时，有最小值，进而得结论； （3）把转化为的形式，再根据公式进行解答便可． 【详解】 学以致用：略 解决问题：（1）， ∴， ∴当时，即时， ∴，即； 故答案为：4；2． （2）略 （3）， ， ，， ，即， 当时，即时， 取最小值为：． 【点睛】 本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式． 21．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． （3）两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】（1）2，5，11；     （2）；     （3）8．      【分析】 （1）根据题意，得，结合A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为，解答即可． （2）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答． （3）根据题意，得，结合，，表示阴影的面积解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， ∵A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为， ∴需要A号卡片2张，B号卡片5张，C号卡片11张． 故答案为：2，5，11． (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的计算，多项式乘以多项式，完全平方公式变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 22．（八上·吉林长春南关区·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为                 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为                 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】（1）     （2）①；② 图② 中空白部分图形的面积为      【分析】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图① 中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图① 中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ② 根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． (1) 小问详解： 解：由题意知，将图① 中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图① 大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：① 由图② 可知，， 故答案为：． ② 由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图② 中空白部分图形的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（八上·吉林长春南关区·期中）若，则x的值为　　　　　　　　　　． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（八上·吉林长春南关区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（八上·吉林长春南关区·期中）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）观察与思考： ；①             ；② （1）算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法             B．积的乘方             C．幂的乘方 （2）计算： 9．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）若，则a、b、c的大小关系是　　　　　　．（用“”连接） 10．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）已知，，． （1）_________； （2）求的值； （3）m，n，p之间的等量关系为_________． 11．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）计算：　　　　　　　． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）计算的结果为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林长春·期中）若，则m为（       ） A. 2 B.  C. 8 D.  7．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A. 2，3，2 B. 2，4，2 C. 2，5，2 D. 2，5，4 8．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）长方形的面积为，长为，则它的宽为（       ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）若，，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·吉林长春·期中）下列计算正确的是（　　） A. 3x﹣2x＝1 B. x（﹣x2）＝x3 C. （﹣x3）2＝x6 D. x2÷x＝2 11．（八上·吉林长春南关区·期中）计算 12．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）若的展开式中不含项，则　　　　　　． 14．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）计算： （1） （2）． 15．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 16．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）计算： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）写出一个多项式，使它与单项式的和是单项式：　　　　　． 19．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）=x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（　   　）=a3+b3 （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立． （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2） 20．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）　　　　　　． 21．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展开式中不含x2和x3项． (1)分别求m，n的值； (2)先化简再求值：2n2+(2m+n)(m﹣n)﹣(m﹣n)2 22．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）先化简，再求值：，其中满足． 23．（八上·吉林长春南关区·期中）计算：　　　　　　　　　　． 24．（八上·吉林长春南关区·期中）计算：． 25．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）关于x的代数式化简后不含的项和常数项．分别求m、n的值； 26．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·吉林长春·期中）计算　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）计算：． 29．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）先化简，再求值：，其中． 30．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米20元． （1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． （2）若，，计算草坪的造价． 31．（25-26学年八上·吉林长春·期中）先化简，再求值：，其中，. 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（       ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）以下四种方法中能够验证公式的有　　　　　　　（填序号）． 3．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）计算 （1） （2）（利用整式乘法公式计算） 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）已知(为常数)是一个完全平方式，则的值为(     ) A. 4 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）若，则a、b的值分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（八上·吉林长春南关区·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）若 ，且，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为　　　　　． 8．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（八上·吉林长春南关区·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 直接应用：（1）若，，直接写出的值                 ； 类比应用：（2）①若，则                 ； ②已知，求的值． 知识迁移：（3）两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在同一直线上，连接，，若，，则一块直角三角板的面积为                 ． 11．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 12．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）先化简，再求值：，其中a，b满足： 13．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图②）．图①中阴影部分面积可表示为，图②中阴影部分面积可表示为．因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【知识应用】图③是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：_____，方法2：_____ （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是_____ （3）应用（2）中所得结论回答问题：若，则_____． 【知识迁移】 （4）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图⑤，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成右边的一个长方体．根据不同方法表示它的体积可以写出一个代数恒等式是_____． 14．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）数学活动：面积与代数恒等式 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们可以利用几何图形的面积解释代数恒等式． 【方法呈现】如图①，将三个正方形分别按照甲、乙、丙三种方法进行分割． 已知以下三个代数恒等式： ①； ②； ③． 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为__________． 【方法探究】利用【方法呈现】中所得到的代数恒等式，解决下面的问题： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【方法应用】如图②，在数轴上，从左到右的三个点、、表示的数分别是、8、10．以为边向上作正方形，以为边向上作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为100，求长方形的面积． 15．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）已知，，求，的值． 16．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴． ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知：，求的值； （2）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值； （3）已知：的三边长是a，b，c，且满足：，试判断是什么形状的三角形并说明理由． 17．（八上·吉林长春南关区·期中）已知整式，，m为任意有理数． （1）的值可能为负数吗？通过计算说明理由． （2）当m是整数时，的值一定是偶数吗？通过计算说明理由． 18．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图①是一个长为，宽为的长方形（），沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图②所示． （1）观察图②，请你写出，，之间的等量关系：______； （2）根据（1）中的结论，若，，求； （3）如图③，正方形的边长为，，，长方形的面积是20，四边形和四边形都是正方形，求图中阴影部分的面积． 19．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）先化简，再求值：，其中，． 20．（25-26学年八上·吉林长春·期中）学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数、， ， ， ，当且仅当时，等号成立． 解决问题： （1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ； （2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测； （3）当时，求的最小值． 21．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． （3）两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 22．（八上·吉林长春南关区·期中）图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为                 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为                 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．【答案】2 【分析】 本题考查了同底数幂的运算法则及一元一次方程的求解，先根据同底数幂的运算法则对进行变形，然后提取公因式化简方程，最后求解方程得到x的值． 【详解】 解：由题意知，， 将代入原方程，可得：， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：2． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．【答案】（1）A；C     （2）9      【分析】 本题主要考查了积乘方逆用，同底数幂乘法，幂的乘方运算及其逆用，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行判断即可； （2）逆用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：算式①的运算依据是A同底数幂乘法，算式②的运算依据是C幂的乘方． (2) 小问详解： 解： ． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了幂的乘方运算，逆用幂的乘方运算法则，将各数转换为相同指数的幂形式，然后比较底数的大小即可． 【详解】 解：， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 10．【答案】（1）16     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方的运算等知识点，掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则和逆运算法则是解题的关键． （1）将代入运用有理数乘方法则计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用的以及积的乘方逆用计算即可； （3）根据积的乘方逆用以及同底数幂的乘法运算得到，进而完成解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 11．【答案】3 【分析】 本题主要考查积的乘方逆运算，将原式变形为，利用积的乘方逆运算求解即可． 【详解】 解： ． 故答案为：3． 考点03 整式的乘法 1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．C 8．C 9．C 10．C 11．【答案】 【分析】 根据题意利用多项式除以单项式的计算规则进行计算即可得出答案. 【详解】 解： . 【点睛】 本题考查整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的计算规则是解题的关键. 12．【答案】，2 【分析】 本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算单项式乘多项式，再合并同类项，然后将代入计算求值即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 13．【答案】0 【分析】 此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将原式展开并合并同类项，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解的值． 【详解】 解：． ∵展开式不含项， ∴ 解得： 故答案为：0． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式和单项式乘以单项式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先进行积的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算； （2）利用多项式乘以多项式法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 15．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查实数的混合运算及多项式的除法和乘法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先开算术平方根、去绝对值及零次幂，再加减即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算，即可求解； （3）多项式乘以多项式法则计算，即可求解； （4）根据根式的除法和乘法计算即可． (1) 小问详解： 原式 ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 原式 ； (4) 小问详解： 原式 ． 16．【答案】 【分析】 先进行多项式乘多项式的运算，使结果中的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】 解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算，是解题的关键． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了利用算术平方根及立方根进行运算，多项式除以单项式；能熟练利用法则进行运算是解题的关键． （1）先利用算术平方根及立方根进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）由多项式除以单项式的法则进行运算，即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式． 18．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】 解：∵ ∴这个 可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 19．【答案】（1）a2﹣ab+b2； （2）说明（1）中的等式成立： （a+b）（a2﹣ab+b2）=a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3=a3+b3； （3）﹣7y3． 【分析】 （1）由已知等式即可得出结论； （2）根据多项式乘多项式法则计算即可； （3）根据已知等式的规律化简求值即可． 【详解】 解：（1）由已知等式可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3； 故答案为：a2﹣ab+b2； （2）略 （3）原式=（x3+y3）﹣（x3+8y3）=﹣7y3． 【点睛】 此题考查的是多项式乘多项式的探索规律题，掌握多项式乘多项式法则是解决此题的关键． 20．【答案】 【分析】 此题考查了整式的除法运算．注意掌握指数的变化是解此题的关键．直接利用多项式除以单项式法则求解即可． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 21．【答案】(1)m＝2，n＝3；(2)m2+mn， 10． 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后求出解 (2) 先算乘法，再合并同类项，最后代入求解 【详解】(1) (x2+mx+1)(x2﹣2x+n) ＝x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+x2﹣2x+n ＝x4+(﹣2+m)x3+(n﹣2m+1)x2+(mn﹣2)x+n， ∵(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展开式中不含x2和x3项， ∴﹣2+m＝0，n﹣2m+1＝0， 解得：m＝2，n＝3； (2) 2n2+(2m+n)(m﹣n)﹣(m﹣n)2 ＝2n2+2m2﹣2mn+mn﹣n2﹣m2+2mn﹣n2 ＝m2+mn， 当m＝2，n＝3时，原式＝4+6＝10． 【点睛】此题考查了合并同类项，多项式乘多项式，解题关键是合并同类项 22．【答案】， 【分析】 此题考查了单项式乘以多项式，多项式除以单项式的化简求值，平方和绝对值的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内单项式乘以多项式，然后合并，然后计算括号外多项式除以单项式，然后根据平方和绝对值的非负性求出，，然后代数求解即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】 解： ， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式的法则，将前一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加即可． 【详解】 解：原式 ． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据不含有项和常数项得到，解之即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵关于的代数式化简后不含有项和常数项， ∴， ∴． 26．【答案】5 【分析】 本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可． 【详解】 解：设， 则原式， ∵结果中的一次项系数为， ∴，解得， 故答案为：5． 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了整式除法，先算幂的乘方，根据单项式除以单项式的法则，可得答案． 【详解】 解： 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题考查了整式的混合运算，先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】 解： ． 29．【答案】 【分析】 本题考查了整式化简求解，先进行多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】 解：原式， ， ． 当时， 原式， ． 30．【答案】（1）平方米     （2）21000元      【分析】 本题考查列代数式、代数式求值、整式的混合运算，（1）根据题意得，利用大正方形的面积减去小正方形的面积和小路的面积等于阴影部分的面积即可求解； （2）由题意得，草坪的造价为：，再代入计算即可． (1) 小问详解： 解：由图可得，草坪面积为： ； (2) 小问详解： 解：由题意得，草坪的造价为：， ∵，， ∴ （元） 答：草坪的造价为21000元． 31．【答案】4x2-6y2-11xy;25.5 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、多项式与多项式的乘法法则化简，然后把，代入计算即可. 【详解】原式=4x2-9y2-(4x2+8xy-xy-2y2)+4x2-4xy+y2 =4x2-9y2-4x2-8xy+xy+2y2+4x2-4xy+y2 =4x2-6y2-11xy， 当，时， 原式= =16-1.5+11 =25.5. 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：平方差公式，完全平方公式，合并同类项，多项式的乘法等知识.在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值. 考点04 平方差公式 1．D 2．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中阴影部分面积即可得出等式，然后再逐个进行判断即可． 【详解】 解：① 阴影部分是两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于平行四边形的面积，可以验证平方差公式； ② 阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于长方形的面积，可以验证平方差公式； ③ 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为2a，宽为2b的长方形，面积为， ∴，故图③ 不能验证平方差公式； ④ 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为． ∴，故图④ 可以验证平方差公式． 综上所述，能验证平方差公式的有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 3．【答案】 【分析】 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】 解： ． 故答案为：1． 4．【答案】（1）；     （2）4．      【分析】 本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握相关法则是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）将改写为，然后结合平方差公式按运算顺序进行运算即可． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式 ． 考点05 完全平方公式 1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．【答案】，6 【分析】 本题考查了整式的化简求值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行化简． 先利用完全平方公式将展开，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】 解： ， 把代入得：． 7．【答案】36 【详解】 本题考查完全平方公式，根据乘积二倍项确定常数项的值． 因为多项式是某一个多项式的平方，所以可设为， 比较系数得，解得， 所以． 故答案为：36． 8．【答案】，10 【分析】 本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据完全平方公式，单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】 解： ， 当时，原式． 9．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和单项式乘多项式法则对原式进行化简，再将给定的a值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 解：原式 ， 当时， 原式． 10．【答案】（1）11；（2）①5；②；（3）15 【分析】 本题主要考查了完全平方公式，准确掌握公式的变式及灵活运用公式是解题的关键． （1）根据，可得，把x、y代入即可得到答案； （2）①由，可得，代入可得答案； ②设，，则，，根据完全平方公式进行变形求出； （3）设，，则由题意可得，，根据，代入即可求得三角板的面积． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； （2）①∵， ∴ ； ②设，，则： ，， ∴ ， 即； （3）设， 则由题意可得，， 即，， ∴， ∴一块直角三角板的面积为． 11．【答案】（1）当时，代数式的最小值是1； （2）1；大；； （3） 【分析】 本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性（）判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即是代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】 （1）解： ∵， ∴当，即时，代数式取得最小值； 最小值为． 答：当时，代数式的最小值是1； （2）解： ∵， ∴，； ∴当，即时，有最大值，最大值 故答案为：1，大；； （3）解：由，得； 则 ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 12．【答案】， 【分析】 本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，代入计算即可． 【详解】 解：原式 ， ， ，， ，， 则原式． 13．【答案】（1）；；（2）；（3）；（4） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）图④ 中阴影部分是一个边长为的正方形，图④ 中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，据此用两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设，则，，则，据此可得答案； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，据此用两种方法表示出原几何体的体积即可得到答案． 【详解】 解：（1）图④ 中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图④ 中阴影部分面积等于边长为的正方形面积，减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为； （2）由（1）可得； （3）设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）原几何体的体积是棱长为x的正方体体积减去一个长为x，宽和高都为1的长方体体积，即原几何体的体积为， 原几何体的体积等于一个长为，宽为x，高为的长方体体积，即原几何体的体积为， ∴ 14．【答案】【方法呈现】③ ② ① ；【方法探究】（1）6；（2）3；【方法应用】48 【分析】 本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式变形求值；能熟练利用完全平方公式进行求解是解题的关键． 方法呈现：观察图形即可求解； 方法探究： （1）由完全平方公式变形得，即可求解； （2）由完全平方公式变形得，即可求解； 方法应用：由图得，由完全平方公式变形得，即可求解． 【详解】 解：方法呈现： 甲、乙、丙三种分割方法表示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式对应的序号依次为③ ② ① ； 故答案为：③ ② ① ； 方法探究： （1）， ， ， ； （2）， ， ， ； 方法应用： 由图得：， ， ， ， 长方形的面积为． 15．【答案】， 【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，由完全平方公式得出①和②，通过两式相加减可求出答案． 【详解】 解：， ①， ， ②， ①②，得， ， ①②，得， 16．【答案】（1）     （2）周长的最大值为29     （3） 解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴是等边三角形．      【分析】 （1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． (1) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知且c为正整数， ∴c的最大值是14． ∴周长的最大值为29． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定等知识，是三角形综合题，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 17．【答案】（1）的值不可能为负数， 理由：． ， ． 的值不可能为负数．     （2）的值一定是偶数， 理由: ． m是整数， 一定是偶数． 的值一定是偶数．      【分析】 本题考查了平方差公式，完全平方公式，平方的非负性，偶数的概念等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）2     （3）84      【分析】 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为，则，得，设，得，则，代入即可． (1) 小问详解： 解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为的长方形面积， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， 将，代入得：， ， ， ∵， ， 故答案为：2； (3) 小问详解： 解：∵正方形的边长为， ， ， 设， ， ， ∴图中阴影部分的面积为84． 19．【答案】； 【分析】 本题考查了整式的混合运算，原式先将中括号内的利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算，得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】 解： ； 当，时，原式． 20．【答案】学以致用： 设矩形的长为x，则宽为，设矩形的面积为y 由题意得： ∴当时，面积有最大值9，此时宽为 ∴围成正方形时面积最大； 解决问题：（1）4，2 （2）设矩形的长、宽分别为、，由题意得， 则，即， 当时，取最小值为6， 此时矩形的周长最小为：； 时，矩形变为正方形， ∴铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小； （3）2 【分析】 学以致用：设矩形的长为x，则宽为，设矩形的面积为y，利用二次函数的性质求解即可； 解决问题：（1）根据题意，由，当且仅当时，等号成立；即可解决问题； （2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得，再根据公式证明当时，有最小值，进而得结论； （3）把转化为的形式，再根据公式进行解答便可． 【详解】 学以致用：略 解决问题：（1）， ∴， ∴当时，即时， ∴，即； 故答案为：4；2． （2）略 （3）， ， ，， ，即， 当时，即时， 取最小值为：． 【点睛】 本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式． 21．【答案】（1）2，5，11；     （2）；     （3）8．      【分析】 （1）根据题意，得，结合A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为，解答即可． （2）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答． （3）根据题意，得，结合，，表示阴影的面积解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得， ∵A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为， ∴需要A号卡片2张，B号卡片5张，C号卡片11张． 故答案为：2，5，11． (2) 小问详解： 解：根据题意，得， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， ∴ ． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的计算，多项式乘以多项式，完全平方公式变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 22．【答案】（1）     （2）①；② 图② 中空白部分图形的面积为      【分析】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图① 中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图① 中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ② 根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． (1) 小问详解： 解：由题意知，将图① 中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图① 大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：① 由图② 可知，， 故答案为：． ② 由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图② 中空白部分图形的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $