专题06 因式分解（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06因式分解 2大高频考点概览 考点01用提公因式法分解因式 考点02用公式法分解因式 》 考点01用提公因式法分解因式 1.(25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中)式子从左到右的变形中，属于因式分解的是 () A.x2-1=xX-1 B.x+2xy+1=xx+2y+1 C.db+ab=abla+b2) D.xx+y=x'+xy 2.(25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 Ax+2x-2=x2-4 B.4a2+12ab+9b2=2a+3b C.a2-b+ac+bc=a+blla-bl+cla+bl D.X-3x-10=xx-3-10 3.(25-26学年八上·吉林长春九台区·期中)下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( ) Ax+3x-1=x2+2x-3 Bd-2a-3=aa-2-8 C.m3-m2+m=m(m-m 115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.X-4=x+2x-2 4.(25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中)分解因式：a-ab= 5.(25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中)分解因式：2a-6ab= 6. (25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校期中)把多项式x2+ax-15(a为常数)因式分解得 到x-3(x+5),则a= 》 考点02用公式法分解因式 1,(25-26学年八上·吉林长春九台区·期中)已知a,b,c分别是△ABC的三边长，若 a+2ab+b2=c2+24,a+b-c=4,则△ABC的周长是( A.3 B.6 C.8 D.12 2.(25-26学年八上·吉林长春九台区·期中)下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是( ) A.d+-b2 B.5m2-20mn C.x2+y2 D.-x2+9 3.(八上·吉林长春南关区·期中)因式分解：3x2-3= 4.(25-26学年八上·吉林长春期中)x2-y2与x-y的公因式是 5.(25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中)因式分解： (1)ala+b-ba+bl; (2)x3-16x. 6.(25-26学年八上吉林长春朝阳区：期中)(1)计算：口 (2)解方程：x2-4x-5=0, 7.(25-26学年八上·吉林长春九台区·期中)把下列各式分解因式： (1)-8a3b2+6ab3c: (2)x(x-yP-y(y-x)° (3)(x+1)2-4x2: (4)-m2+6mn-9n2. 8。(25-26学年八上吉林长春九台区期中)已知实数a,b,满足a+b=6:ab=之则d2b+ab的值 为 9.(25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学期中)利用公式简便运算： (1)20252-2024×2026: 215 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)20.32+20.3×19.4+9.72. 10.(25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学期中)【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小.解决问题的策略一般都是进行一定 的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一.作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的 大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A-B的值，若A-B>则A>B:若A-B=0,则A=B;若 A-B<0,则A<B. 【知识运用】 (1)请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<填空）： ①若x<0,则2x-1x+1: ②若a<b<0,则ab2」 【类比运用】 (2)图①是边长为m的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2nn>0:到如图②所示 的大长方形，此长方形的面积为S1;将正方形的边长增加n,得到如图（所示的大正方形，此正方形的面 积为S2.试用作差法比较S1与S2的大小，并说明理由. 2n 2 m m 图① 图② 图③ 【延伸运用】 (3)已知x取任意实数，试比较代数式7x2-6x+2与6x2-2x-3的大小，并说明理由. 11.(25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学期中)因式分解： (1)15a2-25a: (2)25m2-16n2: (3)3a2-6ab+3b2: (4)2x3-8xy2. 12.(25-26学年八上·吉林长春朝阳区期中)把下列多项式分解因式： (1)25x-x: (2)2x2+12xy+18y2. 13.(25-26学年八上：吉林长春九台区期中)【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图 形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容， 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②， 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q D b 图① 图② (1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题. ()图①中两个三角形的面积分别为 和 图②中长方形ABCD的面积为 (用含a,b的字母表示) ()当a≠b时，比较大小：Q+B ab.(填“>”或“<”) 2 ()当a和b满足什么条件时， a2+b2 2 与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明.乙同学说：我 可以通过画图进行说明.请你选择其中一人的方法，进行说明. 【知识应用】 (2)已知m>0,n>2,且m(n-2)=12,利用(1)发现的结论，求m2+n2-4n+4的最小值. 14.（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中)如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块 是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m>n. (以上长度单位：cm) im n nn im m (1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n可以因式分解为 (2)若每块小矩形的面积为10cm2,四个正方形的面积和为58cm2,试求 m+n的值. 15.(25-26学年八上.吉林长春部分学校期中)因式分解：5x2-10x+5= 16.(25-26学年八上·吉林长春·期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务： (1)探究发现： 小明计算下面几个题目 ①x+2x-4:②x-4x+1;③y+4y-2;④y-5川y-3后发现，形如x+px+q的两个多项 式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： x+p川x+q=()+()x+(): 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算x+Px+q发现这个规律是正确的，小明记得学习 乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面 图形说明他发现的规律. 9纸 p px pq (3)逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项 式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：x2-7x+10. (4)拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩 形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为 2a+3ab+b2并利用你所拼的图形面积对2a2+3ab+b进行因式分解. 0 1号 2号 3号 2a2+3ab+b2=a+b2a+bl 5/5 专题06 因式分解 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．C 2．B 3．D 4．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解． 【详解】 解：原式， 故答案为： 6．【答案】2 【分析】 此题考查了因式分解与单项式的乘法，因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a的值即可． 【详解】 解：根据题意得：， ∴． 故答案为：． 考点02 用公式法分解因式 1．B 2．D 3．【答案】 【详解】 解： 4．【答案】 【分析】 本题考查公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 利用平方差公式将进行因式分解，即可解答． 【详解】 解：， 与的公因式是， 故答案为：． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 6．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟知二次根式混合运算的法则和解一元二次方程的方法是解题的关键 ． （1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则和绝对值的性质化简，再算加减法即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1） ．        （2）， ， 或， ，． 7．【答案】（1）；     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）提取公因式法分解即可； （2）提取公因式法分解即可； （3）利用平方差公式，完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： ． (4) 小问详解： 解： ． 8．【答案】 【分析】 通过因式分解求解即可． 本题考查代数式的值，因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键。 【详解】 解：，由，， 故 ， 故答案为：． 9．【答案】（1）1     （2）900      【分析】 本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． (1) 小问详解： 原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 10．【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】 本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用； （1）① 用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ② 用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （3）用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】 解：（1）① ∵ ∴ ∴． 故答案为：． ② ∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的边长为， ∴新正方形的面积， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： ∵ ∴ ∴． 11．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式． （1）直接提公因式法因式分解，即可求解； （2）直接运用平方差公式进行分解因式，即可求解； （3）先提公因式．再运用完全平方公式进行分解因式，即可求解． （4）先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因数和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式x，然后再运用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式2，然后再运用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ， ． (2) 小问详解： 解： ， ． 13．【答案】（1）（ⅰ），，； （ⅱ） （ⅲ）解：当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学： 当时，； （2） 【分析】 本题考查了利用图形面积证明不等式；理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图② 中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 【详解】 解：（1）（ⅰ）由题意得 ① 中两个三角形的面积分别为和，图② 中长方形的面积为， （ⅱ）由图② 得 当时，， （ⅲ）略 （2） ， ∵，，结合（1）得： ， ∵， ， ， 的最小值为． 14．【答案】（1）     （2）49      【分析】 本题考查因式分解，完全平方公式： （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，得：，， ∴， ∴． 15．【答案】5（x﹣1）2 【详解】原式=5（x2﹣2x+1）=5（x﹣1）2. 故答案为：5（x﹣1）2. 16．【答案】（1）； （2） （3）； （4）拼图如下： 【分析】 （1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可； （2）利用面积的两种计算方法可证明公式； （3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可； （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案． 【详解】 解：（1）， 故答案为：； （2）长方形的面积为： 长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：， 所以． （3）按照小明发现的规律： （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形， ∴． 【点睛】 本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．根据“把一个多项式写成几个整式乘积的过程叫因式分解”逐项分析判定即可． 【详解】 解：A．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； B．等号右边不是积的形式，则本选项不符合题意； C．它符合因式分解的定义，则本选项符合题意； D．它是整式乘法运算，则本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，检查各选项右边的形式是否为积的形式，且左边是多项式． 【详解】 ∵ 因式分解需满足从多项式到整式的积的变形， 选项A：右边为多项式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：右边为，是积的形式，且左边为多项式，等式成立，故是因式分解； 选项C：右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项D：右边为差的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 故选：B． 3．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判断即可． 【详解】 A.　右边不是积的形式，故本选项错误； B．右边不是整式的积的形式，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 4．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）分解因式：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 5．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）分解因式：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解． 【详解】 解：原式， 故答案为： 6．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）把多项式(a为常数)因式分解得到，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 此题考查了因式分解与单项式的乘法，因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a的值即可． 【详解】 解：根据题意得：， ∴． 故答案为：． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【分析】 先把因式分解可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC的周长是6． 故选：B 【点睛】 本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键． 2．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据平方差公式逐项验证即可得到答案． 【详解】 解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 3．（八上·吉林长春南关区·期中）因式分解：　　　　　　． 【答案】 【详解】 解： 4．（25-26学年八上·吉林长春·期中）与的公因式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 利用平方差公式将进行因式分解，即可解答． 【详解】 解：， 与的公因式是， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解： ． 6．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）（1）计算：．        （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟知二次根式混合运算的法则和解一元二次方程的方法是解题的关键 ． （1）先根据二次根式的性质，二次根式的乘法法则和绝对值的性质化简，再算加减法即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1） ．        （2）， ， 或， ，． 7．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）提取公因式法分解即可； （2）提取公因式法分解即可； （3）利用平方差公式，完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： ． (4) 小问详解： 解： ． 8．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）已知实数a，b，满足，，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过因式分解求解即可． 本题考查代数式的值，因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键。 【详解】 解：，由，， 故 ， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）利用公式简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）1     （2）900      【分析】 本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． (1) 小问详解： 原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 10．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）： ①若，则_____； ②若，则_____． 【类比运用】 （2）图①是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加；到如图②所示的大长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（所示的大正方形，此正方形的面积为．试用作差法比较与的大小，并说明理由． 【延伸运用】 （3）已知取任意实数，试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】 本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用； （1）① 用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断； ② 用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （3）用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】 解：（1）① ∵ ∴ ∴． 故答案为：． ② ∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的边长为， ∴新正方形的面积， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：．理由如下： ∵ ∴ ∴． 11．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）： （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式． （1）直接提公因式法因式分解，即可求解； （2）直接运用平方差公式进行分解因式，即可求解； （3）先提公因式．再运用完全平方公式进行分解因式，即可求解． （4）先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 12．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因数和公式法因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式x，然后再运用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式2，然后再运用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ， ． (2) 小问详解： 解： ， ． 13．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②． （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为________和________，图②中长方形的面积为________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：________．（填“”或“”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论，求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，； （ⅱ） （ⅲ）解：当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学： 当时，； （2） 【分析】 本题考查了利用图形面积证明不等式；理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图② 中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 【详解】 解：（1）（ⅰ）由题意得 ① 中两个三角形的面积分别为和，图② 中长方形的面积为， （ⅱ）由图② 得 当时，， （ⅲ）略 （2） ， ∵，，结合（1）得： ， ∵， ， ， 的最小值为． 14．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为                  ； （2）若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】（1）     （2）49      【分析】 本题考查因式分解，完全平方公式： （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 由题意，得：，， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）因式分解：5x2﹣10x+5=　　　　　． 【答案】5（x﹣1）2 【详解】原式=5（x2﹣2x+1）=5（x﹣1）2. 故答案为：5（x﹣1）2. 16．（25-26学年八上·吉林长春·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解． 【答案】（1）； （2） （3）； （4）拼图如下： 【分析】 （1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可； （2）利用面积的两种计算方法可证明公式； （3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可； （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案． 【详解】 解：（1）， 故答案为：； （2）长方形的面积为： 长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：， 所以． （3）按照小明发现的规律： （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形， ∴． 【点睛】 本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $