专题03 全等三角形（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期

专题03 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）已知≌，若，则（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键掌握全等三角形的对应边相等． 【详解】 解：， ， 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，点B和点C是对应顶点，，，则的长是 （   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：，， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键． 3．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，若，且，，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长，即可得到的长． 【详解】 解：，， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）下列命题中错误的是（　　） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 全等三角形的对应边相等 C. 三角形的一个外角等于任意两个内角之和 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】 本题考查的是命题的真假判断．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据三角形外角的性质、三角形的三边关系、全等三角形的性质判断即可． 【详解】 解：A、三角形任意两边之和大于第三边，是正确的； B、全等三角形的对应边相等，是正确的； C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，是错误的； D、全等三角形的对应角相等，是正确的； 故选：C． 5．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，已经△ABC≌△DEF，A、D、C、F在同一条直线上，则下列结论错误的是（　　） A. ABDE B. BCEF C. BM＝EM D. AD＝CF 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质及平行线的判定定理即可求解． 【详解】 ∵△ABC≌△DEF，A、D、C、F在同一条直线上， ∴∠A=∠EDF，∠ACB=∠F， ∴ABDE，BCEF，A、B正确； ∴AC=DF 故AC-CD=DF-CD 故AD＝CF，D正确； ∵BM=BC-CM，EM=DE-DM， 故BM与EM不一定相等 故选C． 【点睛】 此题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的对应角、对应边相等． 6．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，已知，若，，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及周角的定义应用，根据已知条件得出并利用三角形内角和定理求得其度数，再根据周角为求得的大小． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， 根据周角的定义，， 故选：C． 7．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，当时，则　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 8．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，已知，且，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 由全等三角形的性质可得，进一步即得，再根据题中数据可求得BF的长，进而可求得BC的长． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·吉林白山·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中画，使（点D不与点A重合）； （2）在图②中画，使，其中点E在边上 ； （3）在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【答案】（1） 如图① 所示，为所求；      （2） 如图② 所示，为所求；      （3） 如图③ 所示，射线为所求． 【分析】 本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 10．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的是　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得到，，，从而得到，最后证明不成立即可． 【详解】 解：∵， ∴，故① 、③ 符合题意， ∵， ∴， ∴，故④ 符合题意， ∵， ∴， ∴不一定成立，故② 不符合题意， 故答案为：① ③ ④ ． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，已知，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，根据，结合补充条件，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】 解：∵， 补充， ∴，故A不符合题意； ∵， 补充， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵， 补充， ∴不能判定，全等，故C符合题意； ∵， 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 4．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】 解：嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，则需带① ④ 两块玻璃，因为可根据“”判定三角形全等； 故选D． 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角，对应边是解决本题的关键．在中，根据三角形内角和定理求得，根据全等三角形的对应角相等即可解决． 【详解】 解：在中，， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 6．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，一块玻璃碎成如图所示的四块，聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店，就能配成与原来一样大小的三角形，那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，根据“配成与原来一样大小的三角形”，分析第4块玻璃碎与原来的三角形存在哪些角、哪些边相等，即可作答． 【详解】 解：依题意，∵聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店， ∴第4块玻璃碎与原来的三角形存在两个角、夹边相等， 那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是， 故选：B 7．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，已知，，要得到，还应给出的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：A、添加，此时不是对应边，无法得到，故本选项不符合题意； B、添加，满足角角角，无法得到，故本选项不符合题意； C、添加，满足角角边，可得到得到，故本选项符合题意； D、添加，可得到，则，满足角角角，无法得到，故本选项不符合题意； 故选：C 8．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（     ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】 解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 9．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】 解：在和中， ， ， 故选：D． 10．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据尺规作图的步骤结合全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】 解：如图，用直尺和圆规画的作图如下， 由作图过程可知，，据此利用可证明． 11．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为（　　） A. ∠A＝∠C B. AB∥CD C. AE＝CF D. OE＝OF 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】 解：∵直线EF经过AC的中点O， ∴OA=OC， A、∵OA=OC，∠A＝∠C，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意； B、∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，又∵OA=OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA），此选项不符合题意； C、由OA=OC，AE＝CF，∠AOE＝∠COF，不能证明△AOE≌△COF，符合题意； D、∵OA=OC，∠AOE＝∠COF，OE＝OF， ∴△AOE≌△COF（SAS），此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的判定条件是解答的关键． 12．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 13．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】 解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 14．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，，，图中全等的三角形共有（       ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出． 【详解】 解：图中全等三角形有 4 对，分别为， ， ， 即， 在和中， ， ； ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 由，得到，即， 在和中， ， ， 故选：C． 15．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A. 14 B. 12 C. 9 D. 7 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，得到，最后利用求解，即可解题． 【详解】 解：，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 16．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（            ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ①根据角平分线的性质即可对结论①进行判断；② 如图：过点D作于点H，根据角平分线性质得，，则，由此可对结论②进行判断； ③根据角平分线的性质得到，根据得到；④证明和全等得，同理证明和全等得，由此得，进而可对结论④进行判断． 【详解】 解：①平分，，， ，故结论①正确； ② 如图：过点D作于点H，   平分，，， ， 又， ， 点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③由②可知， 在与中， ， ，故③正确； ④在和中， ， ， ， 同理证明：， ， ，即，故结论④正确， 故选：D． 17．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握利用证明三角形全等． 利用证明三角形全等即可． 【详解】 解：根据中点的性质得，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 18．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　　　　　　．（答案不唯一）．（只需写出一个） 【答案】 【分析】 由已知，，可根据全等三角形的判定，只需补充或或其中一个都行，答案不唯一． 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、，根据已知和图形添加正确的条件是解答的关键． 【详解】 可添加，由，，，根据可判定， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，，AD与BC交于点O．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用即可证明． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在四边形中，，请补充一个条件：　　　　　　  （写一个即可），使四边形成为一个轴对称图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ， 和沿折叠能完全重合， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）（多选）如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为　　　　　． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【分析】 本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】 解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 22．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，已知D是上一点，；求证：． 【答案】证明：，， ， 又， ， 在与中， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 先根据角的和差得到，再根据证明即可． 【详解】 略． 23．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，已知，，，且B、C、D三点在同一直线上． 求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ________________， ________________． 在和中， （________）． ． 【答案】；；；；； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由得出，再证明，即可得解． 【详解】 证明：， ． ． 在和中， ， ． 24．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，，分别是的高，且，求证：． 【答案】证明：∵，分别是的高， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可； 【详解】 略 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 25．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图，在矩形中，，求证：点是边的中点． 【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是边的中点． 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，再证明得出，即可得证，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在和中，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，即可． 【详解】 ∵， ∴均为直角三角形， 在和中 ， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，点C、D是线段AB上的点，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接运用证明三角形全等即可． 【详解】 略 28．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵AF＝DE ∴AF－EF＝DE－EF 即AE＝DF 在△ABE与△DCF中 ∴△ABE≌△DCF． 【分析】 根据线段的和差解得AE＝DF，再由SSS证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 29．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是　　　　　　（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 30．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，然后根据即可得证． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，已知在和中，，若用“”判定，则需要添加的条件是　　　　　　（添一个即可）． 【答案】（或） 【分析】 此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．已知一条直角边相等，则还需要一条斜边相等，据此作答即可． 【详解】 解：， ， ， ∴若用“”判定，则需要添加的条件是（或）， 故答案为：（或）． 32．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，与相交于点，连接、，，，求证：△△． 【答案】证明：在△与△中， ， △△． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 33．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且米，米，点为的中点，连接，，石凳到石凳的距离米．求石凳到石凳的距离． 【答案】石凳M到石凳F的距离为12米 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据证明，得出． 【详解】 解：， 又点M为中点， ， 在和中， ， ， 米， 答：石凳M到石凳F的距离为12米． 34．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）综合与实践： 设计拍照打卡板 素材一 小智为学校设计拍照打卡板（如图①），图②为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且、、、四点在同一条直线上． 素材二 长方形与等腰两种图形无缝隙拼接，且． 问题解决 你认为：最高点到地面的距离就是线段的长度吗？为什么？ 答：_________．（选填“是”或“否”） 理由：素材二中，过点作于点，则， ∵四边形是长方形，∴，∴， ∴， 请你在方框内补全证明过程． ∴最高点到地面的距离就是线段的长度． 【答案】解：是， 补全过程如下： 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，利用“”证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 35．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，，，垂足分别为，，．求证． 【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题：如图，，，，求证：．小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”你认为他的办法可行吗？并说明理由． 【答案】解：可行．理由如下： 连接， ，， ． 在和中， ， ． ． 【分析】 本题考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 连接，由．证明，即可作答． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，这是折叠凳及其侧面示意图．已知，，则　　　　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】 本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】 解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 39．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）（多选）如图，仪器可以用来平分一个角，AB=AD，BC=DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是∠PRQ的平分线，你能说明其中的道理吗？ 【答案】证明：在△ABC和△ADC中， ∵AB=AD BC=DC AC=AC ∴△ABC≌△ADC , ∴∠BAC=∠DAC ∴AE就是∠PRQ平分线. 【分析】 根据题中条件证出△ABC和△ADC全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 41．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在中，，点D在上，点E在的延长线上，的延长线交于点F．    （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，E是延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）40      【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理判断即可； （2）根据全等三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明和全等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 43．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为　　　　　　　　米． 【答案】15 【分析】 本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 【详解】 解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 44．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据平行线的性质得到，然后根据“”证明即可． 【详解】 略 45．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，已知，则　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，根据已知条件证明，由三角形全等性质即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 46．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】 略 47．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，中，，，若，，则　　　　　． 【答案】20 【分析】 由题意可直接利用“”证明，即得出，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定和性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键． 48．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）（1）探索发现： 如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．    （2）阅读分析： 小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系． 小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的、、三条线段之间的数量关系为             ，并说明理由．    （3）类比探究： 如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且．    ①全等的两个三角形为             ，并说明理由． ②若，的面积为3，直接写出的面积：             ． 【答案】（1），理由如下： 如图1中，作于H．    ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2中，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）①，理由如下： 如图3，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ② 6 【分析】 本题考查了同高三角形的面积，全等三角形的判定和性质． （1）作于H．则，即可得出结论； （2）通过证明，得出，，即可得出结论； （3）①根据，得出，再推出，即可求证；②根据，得出，则，进而得出，，即可解答． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 49．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图1，与相交于点．    （1）求证：； （2）如图2，过点作交于，交于，求证：． （3）如图3，若，点从点A出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点A时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ， ， ∴．     （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ．     （3）当或时，线段经过点      【分析】 （1）根据题意可证，可得，根据平行线的判定方法即可求解； （2）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，当线段经过点时，，可得，由此可用含的式子列方程表示数量关系，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可知，当线段经过点时，，可得， 或， 或， 当或时，线段经过点． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，动点与几何图形的综合，掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 50．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1） ． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等．     （2） ． 理由：延长交于点，       ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点可以行棋的路线和，则的度数为　　　　　　　　　　　°． 【答案】180 【分析】 本题考查网格证明全等三角形，利用全等可证，则，即可求解. 【详解】 解：如图； 由题得，四个小正方形边长均相同 ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 故答案为：180. 52．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）（1）【综合与探究】如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．小明观察图形特征后，猜想线段，和之间存在的数量关系，请判断他的猜想是否正确，并说明理由； （2）【拓展与应用】如图2，将探究中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任何锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】解：（1）他的猜想正确．理由如下： 直线，直线， ． ， ， ， ． 在和中， ， ． （2）（1）中的结论依然成立证明如下： ， ． 在和中， ，． . 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． （2）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． 【详解】 （1）略 （2）略 53．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 54．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）（多选）如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D. （1）求证.AE=CD； （2）若BD=5㎝，求AC的长. 【答案】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°， ∴∠D=∠AEC. 在△DBC和△ECA中， ， ∴△DBC≌△ECA(AAS)， ∴AE=CD. （2）10cm 【分析】 （1）先证出∠D=∠AEC，再利用AAS证出△DBC≌△ECA，即可得出AE=CD； （2）先根据△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根据AE是BC边上的中线，得出BC，最后根据AC=BC即可得出答案． 【详解】 (1)略 (2)∵△DBC≌△ECA， ∴BD=CE， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2CE=2BD=10cm， ∴AC=BC=10cm. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质. 56．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正多边形内角和，全等三角形的判定和性质． 根据题意可知，求出，根据正多边形内角和求出，连接，可知，进而求出，，即可求出的度数． 【详解】 解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 57．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在，于点D，于点E，与相交于点F，且．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．根据高的定义得到，根据同角的余角相等即可得到，故① 正确；根据“”证明，故② 正确；根据得到，而不一定等于，故③ 不正确；根据，得到，进而求出，即可求出，故④ 正确． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 在和中， ， ∴，故② 正确； ∵， ∴，而不一定等于，故③ 不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④ 正确． 故答案为：① ② ④ ． 58．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，点在同一条直线上，，点分别在直线的两侧，且． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）连接，当，且的面积为1时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点在同一条直线上，， ∴，即， 在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴；     （3）8      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先由已知推出，再根据证明即可； （2）先由，根据全等的性质得，，再利用证明即可； （3）先分别求得，，则，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，且的面积为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 59．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在中，，，过点作射线，使得．点从点出发，以的速度沿方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以的速度沿射线方向匀速运动．当点到达点时，点、同时停止运动，连接、．设点的运动时间为． （1）线段的长度为______．（用含的代数式表示） （2）当时，直接写出的值． （3）当与全等时，求出的值． 【答案】（1）     （2）v的值为10     （3）的值为1或      【分析】 本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，再由计算即可得解； （2）由题意可得，由（1）可得，结合，计算即可得解； （3）由（1）（2）可得：，，，由平行线的性质可得，分两种情况：当时，此时，；当时，此时，，分别利用全等三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， 由（1）可得， ∵， ∴，， 解得：，； (3) 小问详解： 解：由（1）（2）可得：，，， ∵， ∴， ∵与全等， ∴当时，此时，， ∴， 解得； 当时，此时，， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或． 60．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，则______． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （2）112      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，此题的关键是证明． （1）利用证明得，再根据同位角相等，两直线平行可得结论； （2）利用全等三角形的性质和三角形的外角和内角的关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：112． 61．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 62．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． （1）求证：且； （2）试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【答案】（1）证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 63．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，在和中，，，，且点B、E、C、F在同一条直线上． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴．     （2） 证明：∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质． （1）根据已知条件及线段的等量关系得出，再利用“”证明，进而求得； （2）通过得出，利用平行线的性质同位角相等得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 64．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 65．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】 略 66．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．          B．        C．          D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 【答案】（1）C（2）（3）5 【分析】 （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质可知，由题意可证，所以即可得出答案 【详解】 解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：C； （2）， 即， ， ， ， 故答案为：； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 故线段的长为5； 【点睛】 本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 67．（25-26学年八上·吉林长春第八十七中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线经过点，点是直线上的任意一点，其横坐标为． （1）________； （2）当时，求的面积； （3）直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． ①当图象G的最大值与最小值之差为3时，求的值； ②当时，平面内有一点，在图象上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）2     （3）①或；②或或      【分析】 （1）根据待定系数法求解即可． （2）先求出，再根据面积公式求解即可． （3）① 根据图象G的最大值与最小值之差为3，列出方程求解即可． ② 根据题意可知点P是直线和的交点，设，分为当时，当时，当时，分别画图，根据全等三角形的对应边相等列方程组求解． (1) 小问详解： 解：∵直线经过点， ∴，解得：． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据（1）可得， 当时，则， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：① ∵点是直线上的任意一点， ∴， ∵图象G的最大值与最小值之差为3， ∴， 解得：或． ② ∵平面内有一点，点是直线上的任意一点，其横坐标为，点在图象上， ∴点P是直线和的交点， 设， 当时，如图， 过点P作轴，过点Q作轴， 则， ∴， ∴， ∴ ， 解得： ， ∴； 当时，如图， 过点P作轴，过点Q作， 同理可证， ∴， ∴ ， 解得： ， ∴； 当时，如图， 过点P作轴，过点Q作轴交轴于G，交于点H， 同理可证， ∴， ∴ ， 解得： ， ∴； 综上，或或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，二元一次方程组，求一次函数解析式等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 68．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，，延长交于D，，解决下列问题：        （1）________，与的位置关系是________________ （2）动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；     （2）     （3）存在， 或      【分析】 （1）由推导出，利用，得到；然后利用角的关系得到，，，推导出，； （2）分两种情形讨论求解即可① 当点在线段上时，，② 当点在射线上时，，由三角形的面积公式可得出答案； （3）分两种情形求解即可，① 如图2中，当时，．② 如图3中，当时，． (1) 小问详解： 解： ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， (2) 小问详解： 解：，， ，， 由题意，， ① 当点在线段上时，， ． ② 当点在射线上时，， ． 综合以上可得 ； (3) 小问详解： 解：存在．理由如下： ① 如图2中，当时， ，， ．    ， ， 解得； ② 如图3中，当时， ，， ．    ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 69．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）【教材呈现】 下面是人教版《数学八年级上册》教材，第60页，第11题的内容． 如图，，垂足分别为，求的长．    解：∵，∴，∵，∴，∴， （1）请根据提示，结合上面的教材第11题图，将上述证明过程在方框内补充完整． 【问题解决】 （2）如图①，在中，，过点作直线，，垂足分别为点．    ①求证：． ②若，则四边形的面积为_______． 【拓展延伸】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在平面直角坐标系内存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴      ∴ ∵      ∴ ∴ （2）① ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴      ∴； ②； （3）或 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题． （1）由题得，可得，根据线段和差即可求解； （2）① 由题得即可求解；② 根据四边形为梯形，即可求解；         （3）分点P在第一象限和第三象限讨论，过点作轴，过点作，过点作，证明，再根据线段和差，即可求解. 【详解】 解：（1）略 （2）① 略 ② ∵ ∴四边形为梯形， ∵由① 可知， ∴， ∴ ∴ 故答案为：. （3）∵在平面直角坐标系内存在一点，使得 ∴① 如图，过点作轴，过点作，过点作，                          ∵，， ∴， ， ∴    ∴ ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴                                                   ∴. ② 如图，过点作轴，过点作，过点作，                          ∵，， ∴， ， ∴    ∴ ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴ ∴. 综上所述：的坐标为或. 70．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 【答案】米 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 证明，得出，根据，求出米． 【详解】 解：，， ， ∵ ， 在与中 ， ， ， 又， 米． 71．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，已知在正方形中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，同时点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边向终点运动．设点的运动时间为（秒），连接． （1）当点停止运动时，_______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当的面积为40时，求的值； （4）直接写出当为何值时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 【答案】（1）8     （2）     （3）     （4）秒或秒或秒      【分析】 （1）根据点停止运动时走过的路程即可求解； （2）根据以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，，即可求解； （3）由，，再根据面积公式即可求解； （4）分三种情况即可：① 当时，；② 当时，；③ 当时，，求解即可. (1) 小问详解： 解：当点停止运动时，所走的路程为：， ∴（秒）， 故答案为：8. (2) 小问详解： ∵以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动， ， ∴； (3) 小问详解： 由题可知：，， ∴ ， 解得：； (4) 小问详解： 如图所示， ∵，，， ① 当时，，此时，解得， ② 当时，，此时，解得， ③ 当时，，此时，解得， ④ 当点在延长线上时，， 或中没有直角边会大于， 所以此情况不存在； 综上所述，的值为秒或秒或秒时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等. 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，解题关键是学会分类讨论，注意不能漏解，题目难度较大. 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】 解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的角平分线、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由题意可求，从而求出即可求出答案． 【详解】 解：由题意得：，， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：D． 3．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【分析】 根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】 解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【点睛】 此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到． 4．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，平分，则的面积为（     ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 32 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题关键，作于点F，求出，即可求出面积． 【详解】 解：作于点F， 平分， ， 的面积为， 故选：A． 5．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点、为圆心，以大于的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，点为上的一动点，则的最小值是（     ） A.  B. 　 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了尺规作图，作角平分线，垂线段最短，解题的关键是根据作图痕迹判断出平分．根据尺规作图可得平分， 根据垂线段最短，当时，的值最小， 再利用角平分线的性质定理可得出当时，， 即可得解． 【详解】 解：由作图可知平分， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 6．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】 解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 7．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解． 【详解】 解：如图，作于， ∵是的角平分线，点P在上，，垂足为D， ∴， ∴点P到的距离是， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，线段即为所求．      （2）      【分析】 本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 9．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 10．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】 解：过点作，垂足为，    是的角平分线，， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴；     （2）4．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 【答案】证明：过点G作于点H，于点M，于点N， ∵分别平分和， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定和性质．根据角平分线的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定，即可求证． 【详解】 略 13．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图,点O是△ABC内的一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为　　　　　　　　． 【答案】129° 【分析】已知∠A，则可得∠ABC与∠ACB的和，再根据点O到三边AB、BC、CA的距离相等，可得点O是∠ABC和∠ACB的交点，进而可求出∠ABC与∠ACB的和的一半，再在△BOC中运用三角形内角和定理即可求出结果. 【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=180°－78°=102°， ∵点O到三边AB、BC、CA的距离相等， ∴点O是∠ABC和∠ACB的交点， ∴，， ∴. 故答案为129°. 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理以及整体代入的数学方法，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答的关键. 14．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 15．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 ① 利用三角形的内角和，角平分线的性质可得，所以，② 当是等边三角形时才成立；③ 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；④ 作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论． 【详解】 解：， ， 平分，平分， ，， ， ，故① 正确； ∵只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，故② 错误； ，的平分线分别交、于点，，、相交于点， 为三角形的内心， 点到三边的距离相等正确，故③ 正确； 如图，在上截取， 平分， ， ， ． ， ， ， ， 又平分， ， ． ， ， ，故④ 正确． 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题考查三角形的角平分线，三角形的内心；全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形相等关系． 16．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，线段是的角平分线，于点，于点，连结． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，，的面积是，则的长是_____． 【答案】（1） 证明：连接、， 是的角平分线，于点，， ，， ， 点在的垂直平分线上；     （2）．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出是解答本题的关键． (1)根据角平分线的性质定理直接得出即可证明； (2) 先得出，结合，可得，问题即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ，， 在(1)中有， ， ， ， ，，的面积是， ， ， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，若点到的距离为2，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上点到角两边距离相等． 【详解】 解：点是的角平分线交点， 点到的距离等于点到的距离， 到的距离为2， ， 故答案为：2． 18．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，平分，，若，则的面积为　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据角平分线的性质作出辅助线，根据三角形的面积公式即可得到答案； 【详解】 解：如图，过点D作交于点E， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， 的面积为； 故答案为：12． 19．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ， 又， ， ， ．     （2）4      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：平分，，， ． 在和中， ， ∴． ． ， ． 20．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，小明利用尺规作图过程如下： 第一步：以B为圆心，以任意长为半径画弧，交于点M，交于点N； 第二步：以N为圆心，以             长为半径画弧，交已画弧于点E； 第三步：作射线． 可得：． （1）补全第二步横线部分的内容             ； （2）若，则             度； （3）若，与互补，求出的度数． 【答案】（1）     （2）37     （3）      【分析】 本题主要考查了尺规作图，角的和差． （1）根据运用尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解答； （2）根据角度制的转换即可解答； （3）由和可求得，再根据补角的定义即可解答． (1) 小问详解： 解：由尺规作图可得：以N为圆心，以长为半径画弧，交已画弧于点E． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，在中，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点F，连接并延长与的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为                 度．（用含α的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴．     （2） 解：如图所示为所求： ① 证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ②      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-角平分线，角平分线定义及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件，利用“”证明即可； （2）利用画角平分线的方法将题中所要求的角平分线及其他辅助线作出即可；① 通过角平分线定义得出，再利用“”证明，得出，通过线段间的等量关系证明出最终结论；② 根据题意得到，由于得到，进而得出，此时为等腰三角形，利用三角形内角和定理得到的表达式． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 考点04 定义、命题、定理 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】 解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）下列命题中，是假命题的是（       ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 多边形的内角和等于 C. 四边形的外角和等于 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线的判定定理、多边形的内角和公式、多边形的外角和性质以及平行线的传递性；根据平行线的判定定理、多边形的内角和公式、多边形的外角和以及平行线的传递性进行判断，即可求解． 【详解】 解： A选项：同位角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； B选项：多边形的内角和等于（n为边数），只有当时内角和为，其他情况下均不为，故命题错误，是假命题； C选项：所有多边形的外角和都等于，是真命题； D选项：平行于同一条直线的两条直线互相平行，是平行线的传递性，是真命题； 故选：B． 3．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）下列命题是假命题的是（     ） A. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法、垂线的性质等知识，难度不大． 利用平行线的性质与判定方法、垂线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，则的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：B ． 5．（25-26学年八上·吉林长春·期中）能说明“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是 (       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项． 【详解】 解：对于|a|＞-a，当-a＜0时，不等式成立， 则当-a≥0时，不等式不成立，则只要a为非正数，不等式不成立， 说明命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题的一个反例可以是a=＜0， 故选A． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）命题“如果，那么”是　　　　　　　　　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】 要判断命题的真假，只需验证在条件成立时，结论是否一定成立．若对任意满足条件的，结论都成立，则为真命题；若存在反例使条件成立但结论不成立，则为假命题． 【详解】 解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 7．（八上·吉林长春南关区·期中）将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：　　　　　　． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】 找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】 解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 8．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果　　　　　　，那么　　　　　　　　． 【答案】① 两个角是对顶角    ② 这两个角相等 【分析】 把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】 解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）已知≌，若，则（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 2．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，点B和点C是对应顶点，，，则的长是 （   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，若，且，，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）下列命题中错误的是（　　） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 全等三角形的对应边相等 C. 三角形的一个外角等于任意两个内角之和 D. 全等三角形的对应角相等 5．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，已经△ABC≌△DEF，A、D、C、F在同一条直线上，则下列结论错误的是（　　） A. ABDE B. BCEF C. BM＝EM D. AD＝CF 6．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，已知，若，，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，当时，则　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，已知，且，，则　　　　　． 9．（25-26学年八上·吉林白山·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中画，使（点D不与点A重合）； （2）在图②中画，使，其中点E在边上 ； （3）在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 10．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的是　　　　　　　（填序号）． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，已知，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（     ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，一块玻璃碎成如图所示的四块，聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店，就能配成与原来一样大小的三角形，那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，已知，，要得到，还应给出的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（     ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 9．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等判定的方法是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列不能使△AOE≌△COF的条件为（　　） A. ∠A＝∠C B. AB∥CD C. AE＝CF D. OE＝OF 12．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D.  14．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，，，图中全等的三角形共有（       ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 15．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A. 14 B. 12 C. 9 D. 7 16．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（            ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为　　　　　　． 18．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　　　　　　．（答案不唯一）．（只需写出一个） 19．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，，AD与BC交于点O．求证：． 20．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在四边形中，，请补充一个条件：　　　　　　  （写一个即可），使四边形成为一个轴对称图形． 21．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）（多选）如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为　　　　　． 22．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，已知D是上一点，；求证：． 23．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，已知，，，且B、C、D三点在同一直线上． 求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：， ________________， ________________． 在和中， （________）． ． 24．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，，分别是的高，且，求证：． 25．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图，在矩形中，，求证：点是边的中点． 26．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在和中，，，若，求的度数． 27．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，点C、D是线段AB上的点，，．求证：． 28．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 29．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，点，在上，，，若要根据“”判定，则需添加的一个条件可以是　　　　　　（写出一个即可） 30．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，延长至点D，使，过点D作，连接交于点F，若．求证：． 31．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，已知在和中，，若用“”判定，则需要添加的条件是　　　　　　（添一个即可）． 32．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，与相交于点，连接、，，，求证：△△． 33．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，公园有一条“”字形道路，其中，在点，，处各有一个小石凳，且米，米，点为的中点，连接，，石凳到石凳的距离米．求石凳到石凳的距离． 34．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）综合与实践： 设计拍照打卡板 素材一 小智为学校设计拍照打卡板（如图①），图②为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰组成，且、、、四点在同一条直线上． 素材二 长方形与等腰两种图形无缝隙拼接，且． 问题解决 你认为：最高点到地面的距离就是线段的长度吗？为什么？ 答：_________．（选填“是”或“否”） 理由：素材二中，过点作于点，则， ∵四边形是长方形，∴，∴， ∴， 请你在方框内补全证明过程． ∴最高点到地面的距离就是线段的长度． 35．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，，，垂足分别为，，．求证． 36．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题：如图，，，，求证：．小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．”你认为他的办法可行吗？并说明理由． 37．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，这是折叠凳及其侧面示意图．已知，，则　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）已知：如图，，，，与全等吗？请说明理由． 39．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，，垂足为，是上的一点，，连接、，且．若，，则的长为　　　　　． 40．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）（多选）如图，仪器可以用来平分一个角，AB=AD，BC=DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是∠PRQ的平分线，你能说明其中的道理吗？ 41．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 42．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在中，，点D在上，点E在的延长线上，的延长线交于点F．    （1）求证：； （2）若，求的面积． 43．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为　　　　　　　　米． 44．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，，，．求证：． 45．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，已知，则　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，，．求证：． 47．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，中，，，若，，则　　　　　． 48．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）（1）探索发现： 如图1，在中，点D在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．    （2）阅读分析： 小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点D，点E、F在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系． 小明利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的、、三条线段之间的数量关系为             ，并说明理由．    （3）类比探究： 如图3，在四边形中，，与交于点O，点E、F在射线上，且．    ①全等的两个三角形为             ，并说明理由． ②若，的面积为3，直接写出的面积：             ． 49．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图1，与相交于点．    （1）求证：； （2）如图2，过点作交于，交于，求证：． （3）如图3，若，点从点A出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点到达点A时，两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值． 50．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 51．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）晓晓在如图所示部分象棋棋盘（四个小正方形边长均相同）中画出了“马”从点可以行棋的路线和，则的度数为　　　　　　　　　　　°． 52．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）（1）【综合与探究】如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．小明观察图形特征后，猜想线段，和之间存在的数量关系，请判断他的猜想是否正确，并说明理由； （2）【拓展与应用】如图2，将探究中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任何锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 53．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 　　 ． 54．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 　　　　　　　　　　　 55．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）（多选）如图在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D. （1）求证.AE=CD； （2）若BD=5㎝，求AC的长. 56．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图1，四边形中，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”，无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在，于点D，于点E，与相交于点F，且．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，点在同一条直线上，，点分别在直线的两侧，且． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）连接，当，且的面积为1时，直接写出四边形的面积． 59．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在中，，，过点作射线，使得．点从点出发，以的速度沿方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以的速度沿射线方向匀速运动．当点到达点时，点、同时停止运动，连接、．设点的运动时间为． （1）线段的长度为______．（用含的代数式表示） （2）当时，直接写出的值． （3）当与全等时，求出的值． 60．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，则______． 61．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长； （2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明； （3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________． 62．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． （1）求证：且； （2）试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 63．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，在和中，，，，且点B、E、C、F在同一条直线上． （1）求证：． （2）求证：． 64．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 65．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 66．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______； A．          B．        C．          D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是______． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． ［初步运用］ （3）如图2，是的中线，交于，交于，．若，，求线段的长． 67．（25-26学年八上·吉林长春第八十七中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线经过点，点是直线上的任意一点，其横坐标为． （1）________； （2）当时，求的面积； （3）直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． ①当图象G的最大值与最小值之差为3时，求的值； ②当时，平面内有一点，在图象上是否存在一点，使得是等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，说明理由． 68．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，，延长交于D，，解决下列问题：        （1）________，与的位置关系是________________ （2）动点 P 从点 O 出发，沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为1秒，的面积为S，请用含的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点F是直线上的一点，且，是否存在t值，使以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 69．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）【教材呈现】 下面是人教版《数学八年级上册》教材，第60页，第11题的内容． 如图，，垂足分别为，求的长．    解：∵，∴，∵，∴，∴， （1）请根据提示，结合上面的教材第11题图，将上述证明过程在方框内补充完整． 【问题解决】 （2）如图①，在中，，过点作直线，，垂足分别为点．    ①求证：． ②若，则四边形的面积为_______． 【拓展延伸】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在平面直角坐标系内存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 70．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸A、B两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且；②测得；③在的延长线上取点E，使得；④测得的长度为30米． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． 71．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，已知在正方形中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，同时点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边向终点运动．设点的运动时间为（秒），连接． （1）当点停止运动时，_______； （2）用含的代数式表示线段的长； （3）当的面积为40时，求的值； （4）直接写出当为何值时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 4．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，平分，则的面积为（     ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 32 5．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点、为圆心，以大于的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，点为上的一动点，则的最小值是（     ） A.  B. 　 C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在中，完成下列问题． （1）用圆规和直尺在图中作出的角平分线交于点D．（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的度数． 9．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 10．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 12．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在中，和的平分线相交于点G，连接．求证：平分． 13．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图,点O是△ABC内的一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 15．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，线段是的角平分线，于点，于点，连结． （1）求证：点在的垂直平分线上； （2）若，，的面积是，则的长是_____． 17．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，若点到的距离为2，则　　　　　　． 18．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，平分，，若，则的面积为　　　　　． 19．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，小明利用尺规作图过程如下： 第一步：以B为圆心，以任意长为半径画弧，交于点M，交于点N； 第二步：以N为圆心，以             长为半径画弧，交已画弧于点E； 第三步：作射线． 可得：． （1）补全第二步横线部分的内容             ； （2）若，则             度； （3）若，与互补，求出的度数． 21．（八上·吉林长春南关区·期中）如图，在中，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． （1）求证：． （2）用圆规和无刻度的直尺作的平分线与的延长线相交于点F，连接并延长与的延长线相交于点P．（保留作图痕迹） ①求证：． ②若，则的大小为                 度．（用含α的代数式表示） 考点04 定义、命题、定理 1．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）下列命题中，是假命题的是（       ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 多边形的内角和等于 C. 四边形的外角和等于 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）下列命题是假命题的是（     ） A. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，则的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林长春·期中）能说明“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是 (       ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）命题“如果，那么”是　　　　　　　　　　　　　　命题．（填“真”或“假”） 7．（八上·吉林长春南关区·期中）将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：　　　　　　． 8．（25-26学年八上·吉林长春九台区·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果　　　　　　，那么　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．【答案】9 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 8．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 由全等三角形的性质可得，进一步即得，再根据题中数据可求得BF的长，进而可求得BC的长． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．【答案】（1） 如图① 所示，为所求；      （2） 如图② 所示，为所求；      （3） 如图③ 所示，射线为所求． 【分析】 本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 10．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得到，，，从而得到，最后证明不成立即可． 【详解】 解：∵， ∴，故① 、③ 符合题意， ∵， ∴， ∴，故④ 符合题意， ∵， ∴， ∴不一定成立，故② 不符合题意， 故答案为：① ③ ④ ． 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 9．D 10．A 11．C 12．A 13．C 14．C 15．D 16．D 17．【答案】12 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握利用证明三角形全等． 利用证明三角形全等即可． 【详解】 解：根据中点的性质得，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 18．【答案】 【分析】 由已知，，可根据全等三角形的判定，只需补充或或其中一个都行，答案不唯一． 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、，根据已知和图形添加正确的条件是解答的关键． 【详解】 可添加，由，，，根据可判定， 故答案为：． 19．【答案】证明：∵， ∴． 在和中， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用即可证明． 【详解】 略 20．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ， 和沿折叠能完全重合， 故答案为：（答案不唯一）． 21．【答案】AB=DC(答案不唯一) 【分析】 本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】 解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 22．【答案】证明：，， ， 又， ， 在与中， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定． 先根据角的和差得到，再根据证明即可． 【详解】 略． 23．【答案】；；；；； 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 由得出，再证明，即可得解． 【详解】 证明：， ． ． 在和中， ， ． 24．【答案】证明：∵，分别是的高， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可； 【详解】 略 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 25．【答案】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是边的中点． 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，再证明得出，即可得证，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】 略 26．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，即可． 【详解】 ∵， ∴均为直角三角形， 在和中 ， ∴， ∴． 27．【答案】证明：∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接运用证明三角形全等即可． 【详解】 略 28．【答案】证明：∵AF＝DE ∴AF－EF＝DE－EF 即AE＝DF 在△ABE与△DCF中 ∴△ABE≌△DCF． 【分析】 根据线段的和差解得AE＝DF，再由SSS证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 29．【答案】（答案不唯一） 【分析】 此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明解答；根据直角三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：添加， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 30．【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，然后根据即可得证． 【详解】 略 31．【答案】（或） 【分析】 此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．已知一条直角边相等，则还需要一条斜边相等，据此作答即可． 【详解】 解：， ， ， ∴若用“”判定，则需要添加的条件是（或）， 故答案为：（或）． 32．【答案】证明：在△与△中， ， △△． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】 略 33．【答案】石凳M到石凳F的距离为12米 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据证明，得出． 【详解】 解：， 又点M为中点， ， 在和中， ， ， 米， 答：石凳M到石凳F的距离为12米． 34．【答案】解：是， 补全过程如下： 在和中， ， ∴ ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，利用“”证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 35．【答案】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】 略 36．【答案】解：可行．理由如下： 连接， ，， ． 在和中， ， ． ． 【分析】 本题考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，是解题的关键． 连接，由．证明，即可作答． 【详解】 略 37．【答案】40 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 38．【答案】，理由见解析 【分析】 本题考查了三角形全等的判定．由得出，再用“”证明即可得证．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 【详解】 解：， 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ． 39．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，由已知得，再证明即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 40．【答案】证明：在△ABC和△ADC中， ∵AB=AD BC=DC AC=AC ∴△ABC≌△ADC , ∴∠BAC=∠DAC ∴AE就是∠PRQ平分线. 【分析】 根据题中条件证出△ABC和△ADC全等,利用全等三角形的性质即可说明. 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判断和性质的应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 41．【答案】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 略 42．【答案】（1） 证明：∵，E是延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）40      【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理判断即可； （2）根据全等三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是证明和全等． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 43．【答案】15 【分析】 本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 【详解】 解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 44．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据平行线的性质得到，然后根据“”证明即可． 【详解】 略 45．【答案】度 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，根据已知条件证明，由三角形全等性质即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 46．【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】 略 47．【答案】20 【分析】 由题意可直接利用“”证明，即得出，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定和性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键． 48．【答案】（1），理由如下： 如图1中，作于H．    ∵， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2中，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）①，理由如下： 如图3，    ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ② 6 【分析】 本题考查了同高三角形的面积，全等三角形的判定和性质． （1）作于H．则，即可得出结论； （2）通过证明，得出，，即可得出结论； （3）①根据，得出，再推出，即可求证；②根据，得出，则，进而得出，，即可解答． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 49．【答案】（1） 证明：在与中， ， ， ， ∴．     （2） 证明：∵， ， 在和中， ， ， ．     （3）当或时，线段经过点      【分析】 （1）根据题意可证，可得，根据平行线的判定方法即可求解； （2）根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，当线段经过点时，，可得，由此可用含的式子列方程表示数量关系，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可知，当线段经过点时，，可得， 或， 或， 当或时，线段经过点． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，动点与几何图形的综合，掌握三角形的判定和性质是解题的关键． 50．【答案】（1） ． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等．     （2） ． 理由：延长交于点，       ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．【答案】180 【分析】 本题考查网格证明全等三角形，利用全等可证，则，即可求解. 【详解】 解：如图； 由题得，四个小正方形边长均相同 ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 故答案为：180. 52．【答案】解：（1）他的猜想正确．理由如下： 直线，直线， ． ， ， ， ． 在和中， ， ． （2）（1）中的结论依然成立证明如下： ， ． 在和中， ，． . 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． （2）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． 【详解】 （1）略 （2）略 53．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 54．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．【答案】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°， ∴∠D=∠AEC. 在△DBC和△ECA中， ， ∴△DBC≌△ECA(AAS)， ∴AE=CD. （2）10cm 【分析】 （1）先证出∠D=∠AEC，再利用AAS证出△DBC≌△ECA，即可得出AE=CD； （2）先根据△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根据AE是BC边上的中线，得出BC，最后根据AC=BC即可得出答案． 【详解】 (1)略 (2)∵△DBC≌△ECA， ∴BD=CE， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2CE=2BD=10cm， ∴AC=BC=10cm. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质. 56．【答案】 【分析】 本题考查了正多边形内角和，全等三角形的判定和性质． 根据题意可知，求出，根据正多边形内角和求出，连接，可知，进而求出，，即可求出的度数． 【详解】 解：由题意可知， 解得， ∵外围轮廓恰好是一个正十边形， ∴， 如图，连接， ∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 57．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．根据高的定义得到，根据同角的余角相等即可得到，故① 正确；根据“”证明，故② 正确；根据得到，而不一定等于，故③ 不正确；根据，得到，进而求出，即可求出，故④ 正确． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 在和中， ， ∴，故② 正确； ∵， ∴，而不一定等于，故③ 不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④ 正确． 故答案为：① ② ④ ． 58．【答案】（1） 证明：∵点在同一条直线上，， ∴，即， 在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴；     （3）8      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先由已知推出，再根据证明即可； （2）先由，根据全等的性质得，，再利用证明即可； （3）先分别求得，，则，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，且的面积为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 59．【答案】（1）     （2）v的值为10     （3）的值为1或      【分析】 本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，再由计算即可得解； （2）由题意可得，由（1）可得，结合，计算即可得解； （3）由（1）（2）可得：，，，由平行线的性质可得，分两种情况：当时，此时，；当时，此时，，分别利用全等三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， 由（1）可得， ∵， ∴，， 解得：，； (3) 小问详解： 解：由（1）（2）可得：，，， ∵， ∴， ∵与全等， ∴当时，此时，， ∴， 解得； 当时，此时，， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或． 60．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （2）112      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，此题的关键是证明． （1）利用证明得，再根据同位角相等，两直线平行可得结论； （2）利用全等三角形的性质和三角形的外角和内角的关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：112． 61．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理． （1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证； （3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：（1）∵， ， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． （3）∵，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 62．【答案】（1）证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 63．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴．     （2） 证明：∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质． （1）根据已知条件及线段的等量关系得出，再利用“”证明，进而求得； （2）通过得出，利用平行线的性质同位角相等得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 64．【答案】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 65．【答案】证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】 略 66．【答案】（1）C（2）（3）5 【分析】 （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系可计算，而，从而可得的取值范围； （3）延长到，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质可知，由题意可证，所以即可得出答案 【详解】 解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：C； （2）， 即， ， ， ， 故答案为：； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 故线段的长为5； 【点睛】 本题考查了倍长中线的辅助线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解题的关键． 67．【答案】（1）     （2）2     （3）①或；②或或      【分析】 （1）根据待定系数法求解即可． （2）先求出，再根据面积公式求解即可． （3）① 根据图象G的最大值与最小值之差为3，列出方程求解即可． ② 根据题意可知点P是直线和的交点，设，分为当时，当时，当时，分别画图，根据全等三角形的对应边相等列方程组求解． (1) 小问详解： 解：∵直线经过点， ∴，解得：． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据（1）可得， 当时，则， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：① ∵点是直线上的任意一点， ∴， ∵图象G的最大值与最小值之差为3， ∴， 解得：或． ② ∵平面内有一点，点是直线上的任意一点，其横坐标为，点在图象上， ∴点P是直线和的交点， 设， 当时，如图， 过点P作轴，过点Q作轴， 则， ∴， ∴， ∴ ， 解得： ， ∴； 当时，如图， 过点P作轴，过点Q作， 同理可证， ∴， ∴ ， 解得： ， ∴； 当时，如图， 过点P作轴，过点Q作轴交轴于G，交于点H， 同理可证， ∴， ∴ ， 解得： ， ∴； 综上，或或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，二元一次方程组，求一次函数解析式等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 68．【答案】（1）2；     （2）     （3）存在， 或      【分析】 （1）由推导出，利用，得到；然后利用角的关系得到，，，推导出，； （2）分两种情形讨论求解即可① 当点在线段上时，，② 当点在射线上时，，由三角形的面积公式可得出答案； （3）分两种情形求解即可，① 如图2中，当时，．② 如图3中，当时，． (1) 小问详解： 解： ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， (2) 小问详解： 解：，， ，， 由题意，， ① 当点在线段上时，， ． ② 当点在射线上时，， ． 综合以上可得 ； (3) 小问详解： 解：存在．理由如下： ① 如图2中，当时， ，， ．    ， ， 解得； ② 如图3中，当时， ，， ．    ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积，列函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 69．【答案】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴      ∴ ∵      ∴ ∴ （2）① ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴      ∴； ②； （3）或 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题． （1）由题得，可得，根据线段和差即可求解； （2）① 由题得即可求解；② 根据四边形为梯形，即可求解；         （3）分点P在第一象限和第三象限讨论，过点作轴，过点作，过点作，证明，再根据线段和差，即可求解. 【详解】 解：（1）略 （2）① 略 ② ∵ ∴四边形为梯形， ∵由① 可知， ∴， ∴ ∴ 故答案为：. （3）∵在平面直角坐标系内存在一点，使得 ∴① 如图，过点作轴，过点作，过点作，                          ∵，， ∴， ， ∴    ∴ ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴                                                   ∴. ② 如图，过点作轴，过点作，过点作，                          ∵，， ∴， ， ∴    ∴ ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴ ∴. 综上所述：的坐标为或. 70．【答案】米 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 证明，得出，根据，求出米． 【详解】 解：，， ， ∵ ， 在与中 ， ， ， 又， 米． 71．【答案】（1）8     （2）     （3）     （4）秒或秒或秒      【分析】 （1）根据点停止运动时走过的路程即可求解； （2）根据以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，，即可求解； （3）由，，再根据面积公式即可求解； （4）分三种情况即可：① 当时，；② 当时，；③ 当时，，求解即可. (1) 小问详解： 解：当点停止运动时，所走的路程为：， ∴（秒）， 故答案为：8. (2) 小问详解： ∵以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动， ， ∴； (3) 小问详解： 由题可知：，， ∴ ， 解得：； (4) 小问详解： 如图所示， ∵，，， ① 当时，，此时，解得， ② 当时，，此时，解得， ③ 当时，，此时，解得， ④ 当点在延长线上时，， 或中没有直角边会大于， 所以此情况不存在； 综上所述，的值为秒或秒或秒时，以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等. 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，解题关键是学会分类讨论，注意不能漏解，题目难度较大. 考点03 角的平分线 1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解． 【详解】 解：如图，作于， ∵是的角平分线，点P在上，，垂足为D， ∴， ∴点P到的距离是， 故答案为：． 8．【答案】（1） 如图，线段即为所求．      （2）      【分析】 本题主要考查了作角平分线和三角形内角和定理，熟练掌握基本作图，是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线作图即可； （2）根据三角形内角和定理求得，结合角平分线求得，再利用三角形内角和即可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ， ∴． 9．【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】 解：过点作，垂足为，    是的角平分线，， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 11．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴；     （2）4．      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．【答案】证明：过点G作于点H，于点M，于点N， ∵分别平分和， ∴， ∴． ∵，， ∴平分． 【分析】 本题主要考查了角平分线的判定和性质．根据角平分线的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定，即可求证． 【详解】 略 13．【答案】129° 【分析】已知∠A，则可得∠ABC与∠ACB的和，再根据点O到三边AB、BC、CA的距离相等，可得点O是∠ABC和∠ACB的交点，进而可求出∠ABC与∠ACB的和的一半，再在△BOC中运用三角形内角和定理即可求出结果. 【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=180°－78°=102°， ∵点O到三边AB、BC、CA的距离相等， ∴点O是∠ABC和∠ACB的交点， ∴，， ∴. 故答案为129°. 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理以及整体代入的数学方法，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答的关键. 14．【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 15．【答案】① ③ ④ 【分析】 ① 利用三角形的内角和，角平分线的性质可得，所以，② 当是等边三角形时才成立；③ 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；④ 作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论． 【详解】 解：， ， 平分，平分， ，， ， ，故① 正确； ∵只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，故② 错误； ，的平分线分别交、于点，，、相交于点， 为三角形的内心， 点到三边的距离相等正确，故③ 正确； 如图，在上截取， 平分， ， ， ． ， ， ， ， 又平分， ， ． ， ， ，故④ 正确． 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题考查三角形的角平分线，三角形的内心；全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形相等关系． 16．【答案】（1） 证明：连接、， 是的角平分线，于点，， ，， ， 点在的垂直平分线上；     （2）．      【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理直接得出是解答本题的关键． (1)根据角平分线的性质定理直接得出即可证明； (2) 先得出，结合，可得，问题即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ，， 在(1)中有， ， ， ， ，，的面积是， ， ， 故答案为：． 17．【答案】2 【分析】 本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上点到角两边距离相等． 【详解】 解：点是的角平分线交点， 点到的距离等于点到的距离， 到的距离为2， ， 故答案为：2． 18．【答案】12 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据角平分线的性质作出辅助线，根据三角形的面积公式即可得到答案； 【详解】 解：如图，过点D作交于点E， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， 的面积为； 故答案为：12． 19．【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ， 又， ， ， ．     （2）4      【分析】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：平分，，， ． 在和中， ， ∴． ． ， ． 20．【答案】（1）     （2）37     （3）      【分析】 本题主要考查了尺规作图，角的和差． （1）根据运用尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解答； （2）根据角度制的转换即可解答； （3）由和可求得，再根据补角的定义即可解答． (1) 小问详解： 解：由尺规作图可得：以N为圆心，以长为半径画弧，交已画弧于点E． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴．     （2） 解：如图所示为所求： ① 证明：∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ②      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图-角平分线，角平分线定义及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件，利用“”证明即可； （2）利用画角平分线的方法将题中所要求的角平分线及其他辅助线作出即可；① 通过角平分线定义得出，再利用“”证明，得出，通过线段间的等量关系证明出最终结论；② 根据题意得到，由于得到，进而得出，此时为等腰三角形，利用三角形内角和定理得到的表达式． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 考点04 定义、命题、定理 1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．【答案】真 【分析】 要判断命题的真假，只需验证在条件成立时，结论是否一定成立．若对任意满足条件的，结论都成立，则为真命题；若存在反例使条件成立但结论不成立，则为假命题． 【详解】 解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 7．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】 找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】 解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 8．【答案】① 两个角是对顶角    ② 这两个角相等 【分析】 把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】 解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $