专题02 三角形（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期

专题02 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．C 2．【答案】（1），     （2），     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义进行解答即可； （4）根据等边三角形定义进行解答即可． (1) 小问详解： 解：以点为顶点的三角形为，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：以为边的三角形为，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴底边和腰不相等的等腰三角形为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：∵， ∴等边三角形为， 故答案为：． 3．【答案】（1）     （2）     （3） 函数图象如图： 【分析】 本题考查了求函数表达式、函数表达式中自变量的取值范围、函数的图象等知识点；熟练掌握函数图象与函数表达式的关系是解题的关键． （1）根据等腰三角形的周长是，列出关于x、y的等式，然后变形即可； （2）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （3）用描点法画图即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： 变形得： ∴y与x的函数关系式为：； (2) 小问详解： 解：由三角形的三边关系可知： 即： 解得： 故自变量x的取值范围为：； (3) 小问详解： 解：列表： x 2 4 y 4 0 考点02 三角形的边 1．A 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．【答案】三角形的稳定性 【详解】 解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 9．【答案】稳定性 【分析】 本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】 解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 10．【答案】14 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 对等腰三角形的腰长进行分类讨论：腰长为2或腰长为6，同时利用三角形的三边关系判断三边长度是否能构成三角形，再计算可以构成三角形的周长即可． 【详解】 解：当腰长为2时，三边分别为2、2、6， 由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、2， 由于，，能构成三角形； 所以等腰三角形周长为． 故答案为：14． 11．【答案】（1）     （2）14      【分析】 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． (1) 小问详解： 解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 12．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；根据等腰三角形的性质，第三根木棒的长度可能为3cm或7cm，但需满足三角形三边关系定理． 【详解】 解：若第三根木棒长度为，则三边分别为、、，此时，不满足两边之和大于第三边； 若第三根木棒长度为，则三边分别为、、，此时、，且， 满足三角形三边关系定理，故能组成等腰三角形． 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键. (1) 小问详解： 解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，    ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：若为等腰三角形，或， 当时，不符合三角形的三边关系，应舍去， ∴， ∴等腰的周长为． 14．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】 解：① 若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ② 若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 15．【答案】（1）3     （2）12      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可． （1）根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边a的取值范围，结合a为整数，即可得出结果； （2）当第三边分别为5或2进行分类，并利用三角形的三边关系进行检验即可得解． (1) 小问详解： 解：∵的三边长分别为a、b、c，且，， ，即， ∵各边长均为整数， ∴或5或6， ∴可以组成3个不同的三角形； (2) 小问详解： 解：当为腰时，，，不能构成三角形， 所以不成立； 当为腰时，，，能构成三角形， 此时三角形的周长为， 所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是12． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三边的关系化简绝对值，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键． （1）根据三角形三边关系得出，，然后去绝对值求解即可； （2）根据三角形三边关系及题意得出，然后求周长即可． (1) 小问详解： 解：三角形的三边长分别为a，b，c， ，， ． (2) 小问详解： ∵，， ，即． ∵为最长边且为整数， ∴， 三角形的周长为． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．A 2．B 3．A 4．D 5．D 6．【答案】12 【分析】 本题考查了三角形中线的定义以及三角形周长的计算．掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据题意算出的长度，再根据三角形中线的定义即可求出的长． 【详解】 解：，的周长是18， ， 是的中线， ． 故答案为：12． 7．【答案】（1） 边上的高，如图所示： 6     （2） 中线，如图所示： 5.5     （3） 以为腰的等腰三角形，如图所示： 【分析】 本题考查了网格作图，画三角形的高，中线，运用网格求三角形的面积，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征，作出的边上的高，运用底乘高乘算出的面积，即可作答． （2）运用网格特征找出边上的中点G，再连接，即可作答． （3）结合以为腰的等腰三角形，以及面积为6，且点在格点上，可以画出底为，高为的等腰三角形或者画出底为4，高为3的等腰三角形，即可作答． (1) 小问详解： 解：则的面积为， 故答案为：6 (2) 小问详解： 解：则， ∴． (3) 小问详解： 略 8．【答案】（1）     （2）与的周长差为      【分析】 本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． (1) 小问详解： 解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 9．【答案】3． 【分析】 由的面积与AE 的长度，可以得出BD的长度，进而得出BC的长度． 【详解】 ， ， BD=1.5， AD是边BC上的中线， BC=2BD=3． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查三角形中线、高以及三角形的面积公式，熟记三角形中线的性质是解题关键． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的定义及性质，直角三角形两锐角互余，三角形的周长等知识点，掌握三角形的中线、高、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，然后计算即可； （2）根据三角形的高得，根据直角三角形两部角互余得，根据三角形外角的性质得，根据三角形的角平分线得，可得答案． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴与的周长差为， 故答案为：； (2) 小问详解： ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 11．【答案】或或 【分析】 本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】 解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 考点04 三角形的内角 1．C 2．A 3．【答案】 【分析】 根据三角形高的定义得出，进而得出，，根据平分，得出，进而求得根据，即可求解． 【详解】 解：是边上的高， ， ， ， ，且，， ， 平分， ， ， ． 【点睛】 本题考查了三角形高的定义，三角形角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和． 设，则，，根据三角形内角和列方程求解即可． 【详解】 解：设，则， ∴， ， ， ∵ 解得， 所以，． 5．【答案】的值为60 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理的应用．根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，得． 化简，得．解得． 答：的值为60． 6．【答案】（1）44°     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形．      【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理等知识点． （1）先根据内角和定理求得，再由角平分线性质可得答案； （2）先根据知，，结合可得，即可得证． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． (2) 小问详解： 略 7．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出的度数，再根据角的和差解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．【答案】（1）60     （2）      【分析】 本题考查了方位角和三角形内角和，解题的关键是理解正北方向和东西方向垂直． （1）利用减去，即可求解； （2）求得，然后利用三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 解：正北方向和东西方向垂直， ； (2) 小问详解： 正北方向和东西方向垂直， ， ． 9．【答案】60° 【分析】 本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的有关计算，直角三角形两锐角互余． 【详解】 解：∵在中，，且，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 10．【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握这个知识并能灵活应用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由得，由平角定义得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等知识，解题的关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类讨论的思想解决问题． （1）根据等边对等角求出等腰的底角度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据高的定义得到，从而可得； （2）按照（1）中计算过程，即可得到与的关系，即可得到结果； （3）分① 若，② 若，③ 若，三种情况，利用，以及；解出即可得的度数． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 即与的关系式为； (3) 小问详解： 设，， ① 若， 则， 而，， 则有：， 由（2）知， ∴， 解得：， ∴； ② 若， 则， 由① 得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； ③ 若， 则，， 由① 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，不符合题意， 综上：当是等腰三角形时，的度数为或． 12．【答案】（1）； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴      ∵    ∴ ∴ ∴； （3）①；② 【分析】 本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                                                                                              （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）① 根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；② 根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）① 点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ② ∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 考点05 三角形的外角 1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．【答案】 【分析】 此题考查了三角形外角的性质，角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质得到，进而求解即可． 【详解】 解：平分，， ， ， ， ． 8．【答案】i度 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质及三角形外角的性质．由平行线的性质可得，再利用外角的性质即可求得的度数． 【详解】 解： ∵是的外角，， ∴． 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据对称的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数； （2）先根据对称的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵与关于对称， ∴， ∵是边上的高， ， ∴； (2) 小问详解： ∵与关于对称， ， 是的外角， ， ． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和，三角形外角的性质，对称的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 10．【答案】K度 【分析】 本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】 解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 11．【答案】 【分析】 本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】 解：， ， 又是的平分线， ． 12．【答案】的度数为 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识点，首先根据三角形外角的性质得到,然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可，熟练掌握三角形内角和是并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】 解：, , , , 是的角平分线， , , ． 13．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角定理，在图形中正确找出三角形的外角是解题关键．先根据是的外角，求出,再根据是的外角，即可求出． 【详解】 解：∵，是的外角， ∴, ∵是的外角， ∴． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又平分， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．【答案】（1） 证明：∵在“对顶三角形”与中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴；     （2）     （3）①，②      【分析】 （1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论； （2）设， ，则，，可得，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解； （3）① 先求解，设，，可得，结合，即可得到结论．② 设，，可得，结合，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵比大，， ∴设， ，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴设，， ∴，即：， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴． ② ∵，是的角平分线， ∴设，， ∴，即：， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ 即：． 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 【答案】C 【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2， 能组成三角形， 所以，第三边为4； ②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4， ， 不能组成三角形， 综上所述，第三边为4． 故选． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 2．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在中，点在边上，． （1）以点为顶点的三角形为_______； （2）以为边的三角形为_______； （3）底边和腰不相等的等腰三角形为_______； （4）等边三角形为______． 【答案】（1），     （2），     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义进行解答即可； （4）根据等边三角形定义进行解答即可． (1) 小问详解： 解：以点为顶点的三角形为，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：以为边的三角形为，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：∵， ∴底边和腰不相等的等腰三角形为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：∵， ∴等边三角形为， 故答案为：． 3．（25-26学年八上·吉林长春第八十七中学·期中）已知等腰三角形周长为，若底边长为，一腰长为． （1）写出y与x的函数关系式； （2）直接写出自变量x的取值范围__________； （3）在如图的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． 【答案】（1）     （2）     （3） 函数图象如图： 【分析】 本题考查了求函数表达式、函数表达式中自变量的取值范围、函数的图象等知识点；熟练掌握函数图象与函数表达式的关系是解题的关键． （1）根据等腰三角形的周长是，列出关于x、y的等式，然后变形即可； （2）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （3）用描点法画图即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： 变形得： ∴y与x的函数关系式为：； (2) 小问详解： 解：由三角形的三边关系可知： 即： 解得： 故自变量x的取值范围为：； (3) 小问详解： 解：列表： x 2 4 y 4 0 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4，4，10 【答案】A 【分析】 根据组成三角形的条件“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐项判断即可得出结论． 【详解】 解：A、5+6＞10，则这三条线段可以组成三角形，符合题意； B、5+6＜11，则这三条线段不可以组成三角形，不符合题意； C、3+4＜8，则这三条线段不可以组成三角形，不符合题意； D、4+4＜10，则这三条线段不可以组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查三角形三边关系的运用，掌握三角形的三边关系是解题关键． 2．（25-26学年八上·吉林白山·期中）埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（       ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】 解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故选：B． 3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查构成三角形的条件：三角形任意两边之和必须大于第三边． 根据构成三角形的条件判断各选项即可． 【详解】 解：A：，∵，等于第三边，∴不能组成三角形； B：，∵，∴不能组成三角形； C：，∵，∴能组成三角形； D：，∵，等于第三边，∴不能组成三角形； ∴能组成三角形的是选项C． 故选：C． 4．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（       ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】 解：如图：∵， ∴,即， ∴只有D选项符合题意． 故选D． 5．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是(     ) A.  B.  C. 6或9 D. 或 【答案】A 【分析】 本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．分两种情况：等腰三角形的腰长或底边是6，由三角形三边关系定理进行判断，即可得答案． 【详解】 解：如果等腰三角形的腰长是， 等腰三角形的底边长， ，不满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长不能是； 如果等腰三角形的底边长是， 等腰三角形的腰长， ，满足三角形三边关系， 等腰三角形的底边长是． 故选：A． 6．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（　　） A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 2，2，5 D. 2，3，5 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,去检验数据进行求解. 【详解】A选项中,因为1+1=2,不满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, B选项中,因为1+2>2,满足三角形三边关系,因此能构成三角形, C选项中,因为 2+2<5,不满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, D选项中,因为2+3=5,不能满足三角形三边关系,因此不能构成三角形, 故选B. 【点睛】本题主要考查三角形三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系. 7．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（     ） A. 3 B. 8 C. 3或8 D. 以上都不对 【答案】B 【分析】 设第三边长为x，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】 解：设第三边长为x，根据题意，得即， 故选：B． 8．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是　　　　　　　　　． 【答案】三角形的稳定性 【详解】 解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性. 9．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　　　　　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】 解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 10．（25-26学年八上·吉林松原·期中）若等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　． 【答案】14 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键． 对等腰三角形的腰长进行分类讨论：腰长为2或腰长为6，同时利用三角形的三边关系判断三边长度是否能构成三角形，再计算可以构成三角形的周长即可． 【详解】 解：当腰长为2时，三边分别为2、2、6， 由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、2， 由于，，能构成三角形； 所以等腰三角形周长为． 故答案为：14． 11．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求的周长． 【答案】（1）     （2）14      【分析】 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到； （2）由，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出的周长． (1) 小问详解： 解：∵的三边分别为a，b，c，且， ∴由三角形的三边关系得到：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∵c的长为小于6的偶数， ∴， ∴的周长． 12．（25-26学年八上·吉林白山·期中）已知两根长度分别为的木棒，若想钉一个等腰三角形木架，第三根木棒的长度应该是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系；根据等腰三角形的性质，第三根木棒的长度可能为3cm或7cm，但需满足三角形三边关系定理． 【详解】 解：若第三根木棒长度为，则三边分别为、、，此时，不满足两边之和大于第三边； 若第三根木棒长度为，则三边分别为、、，此时、，且， 满足三角形三边关系定理，故能组成等腰三角形． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）已知，的三边长分别为，，． （1）求的取值范围； （2）若它是一个等腰三角形，求它的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键. (1) 小问详解： 解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，    ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：若为等腰三角形，或， 当时，不符合三角形的三边关系，应舍去， ∴， ∴等腰的周长为． 14．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的构成条件． 先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】 解：① 若三角形的三边长为： 所以不能构成三角形； ② 若三角形的三边长为： 此时能构成三角形； 故：等腰三角形的周长为：， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）已知的三边长分别为a、b、c，且，． （1）当各边长均为整数时，可以组成________个不同的三角形； （2）若此三角形是等腰三角形，求其周长． 【答案】（1）3     （2）12      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可． （1）根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边a的取值范围，结合a为整数，即可得出结果； （2）当第三边分别为5或2进行分类，并利用三角形的三边关系进行检验即可得解． (1) 小问详解： 解：∵的三边长分别为a、b、c，且，， ，即， ∵各边长均为整数， ∴或5或6， ∴可以组成3个不同的三角形； (2) 小问详解： 解：当为腰时，，，不能构成三角形， 所以不成立； 当为腰时，，，能构成三角形， 此时三角形的周长为， 所以当此三角形是等腰三角形时，其周长是12． 16．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三边的关系化简绝对值，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键． （1）根据三角形三边关系得出，，然后去绝对值求解即可； （2）根据三角形三边关系及题意得出，然后求周长即可． (1) 小问详解： 解：三角形的三边长分别为a，b，c， ，， ． (2) 小问详解： ∵，， ，即． ∵为最长边且为整数， ∴， 三角形的周长为． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】 解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是 ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A. 中线、角平分线、高 B. 高、角平分线、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【分析】 本题考查轴对称的性质，三角形的角平分线，中线，高，解题的关键是读懂图象信息．根据三角形的高，角平分线，中线的定义判断即可． 【详解】 解：观察图形可知，依次是的高、角平分线、中线． 故选：B． 3．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形的中线， 根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解. 【详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴. 同理，. 故选：A. 4．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 5．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】 解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 6．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，是的中线，，的周长是18，则的长是　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了三角形中线的定义以及三角形周长的计算．掌握三角形中线的定义是解题的关键． 根据题意算出的长度，再根据三角形中线的定义即可求出的长． 【详解】 解：，的周长是18， ， 是的中线， ． 故答案为：12． 7．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求在正方形网格中作图，并解答相关问题． （1）在图1中作出的边上的高，的面积为   ； （2）在图2中作出的边上的中线，并计算的面积； （3）已知是以为腰的等腰三角形，面积为6，且点在格点上，请在图3中作出所有满足条件的． 【答案】（1） 边上的高，如图所示： 6     （2） 中线，如图所示： 5.5     （3） 以为腰的等腰三角形，如图所示： 【分析】 本题考查了网格作图，画三角形的高，中线，运用网格求三角形的面积，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据网格特征，作出的边上的高，运用底乘高乘算出的面积，即可作答． （2）运用网格特征找出边上的中点G，再连接，即可作答． （3）结合以为腰的等腰三角形，以及面积为6，且点在格点上，可以画出底为，高为的等腰三角形或者画出底为4，高为3的等腰三角形，即可作答． (1) 小问详解： 解：则的面积为， 故答案为：6 (2) 小问详解： 解：则， ∴． (3) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，，分别是的高和中线． （1）若的面积为，，则          ； （2）若，求与的周长差． 【答案】（1）     （2）与的周长差为      【分析】 本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． (1) 小问详解： 解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 9．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，S△ABD=1.5，则BC=　　　　　． 【答案】3． 【分析】 由的面积与AE 的长度，可以得出BD的长度，进而得出BC的长度． 【详解】 ， ， BD=1.5， AD是边BC上的中线， BC=2BD=3． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查三角形中线、高以及三角形的面积公式，熟记三角形中线的性质是解题关键． 10．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为_____； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形的中线、高、角平分线，三角形外角的定义及性质，直角三角形两锐角互余，三角形的周长等知识点，掌握三角形的中线、高、角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义得，然后计算即可； （2）根据三角形的高得，根据直角三角形两部角互余得，根据三角形外角的性质得，根据三角形的角平分线得，可得答案． (1) 小问详解： 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴与的周长差为， 故答案为：； (2) 小问详解： ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 11．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）中，，边上的高，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】 解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，是某品牌椅子的侧面图，与地面平行．若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图，在中，于点，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求． 【答案】 【分析】 根据三角形高的定义得出，进而得出，，根据平分，得出，进而求得根据，即可求解． 【详解】 解：是边上的高， ， ， ， ，且，， ， 平分， ， ， ． 【点睛】 本题考查了三角形高的定义，三角形角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，中，点在边上，若，且，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和． 设，则，，根据三角形内角和列方程求解即可． 【详解】 解：设，则， ∴， ， ， ∵ 解得， 所以，． 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）若三角形的三个内角的度数分别为，求的值． 【答案】的值为60 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理的应用．根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，得． 化简，得．解得． 答：的值为60． 6．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）若于点D，，证明：是直角三角形． 【答案】（1）44°     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形．      【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理等知识点． （1）先根据内角和定理求得，再由角平分线性质可得答案； （2）先根据知，，结合可得，即可得证． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，，BD是的高，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，然后根据等边对等角和三角形的内角和求出的度数，再根据角的和差解答即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．某日，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上． （1）从处看、两处的视角______． （2）求从处看两处的视角的度数． 【答案】（1）60     （2）      【分析】 本题考查了方位角和三角形内角和，解题的关键是理解正北方向和东西方向垂直． （1）利用减去，即可求解； （2）求得，然后利用三角形内角和定理即可求解． (1) 小问详解： 解：正北方向和东西方向垂直， ； (2) 小问详解： 正北方向和东西方向垂直， ， ． 9．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，是角平分线，，，，求的度数． 【答案】60° 【分析】 本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的有关计算，直角三角形两锐角互余． 【详解】 解：∵在中，，且，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 10．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，，，，若，则　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握这个知识并能灵活应用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由得，由平角定义得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变． （1）当时，的度数是______； （2）设，，用含的代数式表示； （3）当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等知识，解题的关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类讨论的思想解决问题． （1）根据等边对等角求出等腰的底角度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据高的定义得到，从而可得； （2）按照（1）中计算过程，即可得到与的关系，即可得到结果； （3）分① 若，② 若，③ 若，三种情况，利用，以及；解出即可得的度数． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 由（1）可得：，， ∴， 即与的关系式为； (3) 小问详解： 设，， ① 若， 则， 而，， 则有：， 由（2）知， ∴， 解得：， ∴； ② 若， 则， 由① 得：， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； ③ 若， 则，， 由① 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，不符合题意， 综上：当是等腰三角形时，的度数为或． 12．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴      ∵    ∴ ∴ ∴； （3）①；② 【分析】 本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                                                                                              （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）① 根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；② 根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）① 点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ② ∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】 解：由图可得， 故选：C． 2．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，中，延长到点D，则的度数是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】 解：∵是的一个外角， ∴， 故选B． 3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）一幅含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质，可得，即可． 【详解】 解：如图，根据题意得：， ， 故选：C． 4．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图是、两片木片放在地面上的情形，若，则等于（       ） A.  B. ° C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是利用外角性质建立、、之间的关系． 根据三角形外角性质，得出，进而推导出，再代入的值计算． 【详解】 解：设的邻补角为， 则． 根据三角形外角性质， ． 故选：D． 6．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点 D，若，，求的度数． 【答案】 【分析】 此题考查了三角形外角的性质，角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质得到，进而求解即可． 【详解】 解：平分，， ， ， ， ． 8．（25-26学年八上·吉林白山·期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放，，，，点D在边上，边，交于点G．若，则的度数为　　　　． 【答案】i度 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质及三角形外角的性质．由平行线的性质可得，再利用外角的性质即可求得的度数． 【详解】 解： ∵是的外角，， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在，是边上的高，与关于对称，点在上，．    （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据对称的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数； （2）先根据对称的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵与关于对称， ∴， ∵是边上的高， ， ∴； (2) 小问详解： ∵与关于对称， ， 是的外角， ， ． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和，三角形外角的性质，对称的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 10．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】K度 【分析】 本题考查三角形外角性质，对顶角相等，直角三角形性质，解题的关键是掌握直角三角形性质． 根据三角形内角和定理求出的度数，再利用外角性质求出的度数即可得到结果． 【详解】 解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 11．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在中，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据外角的性质得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】 解：， ， 又是的平分线， ． 12．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识点，首先根据三角形外角的性质得到,然后利用角平分线的概念和三角形内角和定理求解即可，熟练掌握三角形内角和是并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】 解：, , , , 是的角平分线， , , ． 13．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，已知∠，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角定理，在图形中正确找出三角形的外角是解题关键．先根据是的外角，求出,再根据是的外角，即可求出． 【详解】 解：∵，是的外角， ∴, ∵是的外角， ∴． 14．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又平分， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】 如图2，点E在线段上，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】 如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大，求的度数是__________； （3）【拓展提高】 如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点． ①若，则的度数是__________． ②设，则的度数是__________．（结果用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵在“对顶三角形”与中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴；     （2）     （3）①，②      【分析】 （1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论； （2）设， ，则，，可得，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解； （3）① 先求解，设，，可得，结合，即可得到结论．② 设，，可得，结合，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵比大，， ∴设， ，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴设，， ∴，即：， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴． ② ∵，是的角平分线， ∴设，， ∴，即：， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ 即：． 【点睛】 本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 2．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在中，点在边上，． （1）以点为顶点的三角形为_______； （2）以为边的三角形为_______； （3）底边和腰不相等的等腰三角形为_______； （4）等边三角形为______． 3．（25-26学年八上·吉林长春第八十七中学·期中）已知等腰三角形周长为，若底边长为，一腰长为． （1）写出y与x的函数关系式； （2）直接写出自变量x的取值范围__________； （3）在如图的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． x 2 4 y 4 0 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 3，4，8 D. 4，4，10 2．（25-26学年八上·吉林白山·期中）埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（       ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（       ）. A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是(     ) A.  B.  C. 6或9 D. 或 6．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：厘米），用它们能摆出三角形的是（　　） A. 1，2，1 B. 1，2，2 C. 2，2，5 D. 2，3，5 7．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（     ） A. 3 B. 8 C. 3或8 D. 以上都不对 8．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·吉林松原·期中）若等腰三角形的两边长分别为2和6，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）已知的三边分别为a，b，c，且． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求的周长． 12．（25-26学年八上·吉林白山·期中）已知两根长度分别为的木棒，若想钉一个等腰三角形木架，第三根木棒的长度应该是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）已知，的三边长分别为，，． （1）求的取值范围； （2）若它是一个等腰三角形，求它的周长． 14．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）若等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　． 15．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）已知的三边长分别为a、b、c，且，． （1）当各边长均为整数时，可以组成________个不同的三角形； （2）若此三角形是等腰三角形，求其周长． 16．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）已知三角形的三边为，，； （1）化简：. （2）若，，为最长边且为整数，求三角形的周长． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点是对应点，则依次是的（　　） A. 中线、角平分线、高 B. 高、角平分线、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 3．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，是的中线，，的周长是18，则的长是　　　　　　． 7．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求在正方形网格中作图，并解答相关问题． （1）在图1中作出的边上的高，的面积为   ； （2）在图2中作出的边上的中线，并计算的面积； （3）已知是以为腰的等腰三角形，面积为6，且点在格点上，请在图3中作出所有满足条件的． 6     （2） 中线，如图所示： 5.5     （3） 以为腰的等腰三角形，如图所示： 8．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，，分别是的高和中线． （1）若的面积为，，则          ； （2）若，求与的周长差． 9．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，S△ABD=1.5，则BC=　　　　　． 10．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，、分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若，，则与的周长差为_____； （2）若，，求的度数． 11．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）中，，边上的高，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，是某品牌椅子的侧面图，与地面平行．若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图，在中，于点，若，则为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求． 4．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，中，点在边上，若，且，求的度数． 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）若三角形的三个内角的度数分别为，求的值． 6．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，平分． （1）求的度数； （2）若于点D，，证明：是直角三角形． 7．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，，BD是的高，，求的度数． 8．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．某日，我国两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图，在处测得在东北方向上，在处测得在北偏西的方向上． （1）从处看、两处的视角______． （2）求从处看两处的视角的度数． 9．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，是角平分线，，，，求的度数． 10．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，，，，若，则　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变． （1）当时，的度数是______； （2）设，，用含的代数式表示； （3）当是等腰三角形时，直接写出的度数． 12．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，中，延长到点D，则的度数是（        ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）一幅含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图是、两片木片放在地面上的情形，若，则等于（       ） A.  B. ° C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 7．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点 D，若，，求的度数． 8．（25-26学年八上·吉林白山·期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放，，，，点D在边上，边，交于点G．若，则的度数为　　　　． 9．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在，是边上的高，与关于对称，点在上，．    （1）求的度数； （2）求的度数． 10．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在中，，是的平分线，，求的度数． 12．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，于点D，是的角平分线，交于点E，，，求的度数． 13．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，已知∠，求的度数． 14．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 15．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】 如图2，点E在线段上，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】 如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大，求的度数是__________； （3）【拓展提高】 如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点． ①若，则的度数是__________． ②设，则的度数是__________．（结果用含的式子表示）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $