专题04 轴对称（期中真题汇编，吉林专用）八年级数学上学期

专题04 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，关键是熟练应用定义进行判断；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此即可判断． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）下图为常用玻璃仪器组成的几种实验装置，均可根据不同的实验需求在其中加入不同的液体或固体试剂，在如图的平面图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】 解：A选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C选项不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D选项是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】 解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（     ） A.  文心一言 B.  ChatGPT C.  DeepSeek D.  纳米AI 【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】 解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，解决此题的关键是正确的理解轴对称图形的概念；根据概念一一判断即可； 【详解】 解：A．是轴对称图形，该选项不符合题意； B．是轴对称图形，该选项不符合题意； C．是轴对称图形，该选项不符合题意； D．不是轴对称图形，该选项符合题意； 故选：D ． 6．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解：选项B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项A的图形能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 7．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】 解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 8．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，由可得，推出即可求解． 【详解】 解：由翻折可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D不符合题意； 矩形， ， ， ， ， 故选项A不符合题意； 根据现有条件无法证明选项BC； 故选：D． 9．（25-26学年八上·吉林白山·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】 解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 10．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 11．（25-26学年八上·吉林松原·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 12．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，四边形是轴对称图形，且是其对称轴，E、F、G为上的三点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质推出阴影部分面积是四边形的面积的一半是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是轴对称图形，且是其对称轴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，，将沿折叠，点A恰好落在边上的点处．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】 易得，折叠性质，，如图，得，，，即可得解． 【详解】 解：如图，    ∵，， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了折叠性质以及解直角三角形，知是解题的关键． 14．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，与关于直线l对称，且，． （1）若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为________； （2）求的度数． 【答案】（1）10     （2）      【分析】 本题考查的是轴对称的性质，点到直线的距离，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出点E到直线l的距离为5，据此得出结论； （2）根据与关于直线l对称，且可知，再由三角形内角和定理即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵与关于直线l对称，点B到直线l的距离为5， ∴点E到直线l的距离为5， ∴B，E两点间的距离为， 故答案为：10； (2) 小问详解： 解：与关于直线对称，且，， ， ． 15．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，与关于直线对称，E、F、G是线段上的任意三点，若，，则图中阴影部分的面积是　　　　　　 ． 【答案】9 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，将阴影部分的面积转化为的面积，再结合及的长进行计算即可． 【详解】 解：与关于直线对称， ，，， 阴影部分的面积可转化为的面积． ，， ， ， 即图中阴影部分的面积是 故答案为： 16．（25-26学年八上·吉林松原·期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）略 （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 17．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 【答案】（1）     （2）     （3）2或4     （4）或5      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：① 当时，由为轴对称图形得，即可求解；② 当时，同理可求； （4）① 当时，由全等三角形的性质得，即可求解；② 当时，同理可求． (1) 小问详解： 解：由的运动得， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当点P与点C重合时， ， ， ； (3) 小问详解： 解：① 当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ② 当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； (4) 小问详解： 解：① 当时， ，， ， ， 解得； ② 当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 18．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】（1） 如图① ，四边形即为所求．      （2） 如图② ，四边形即为所求．      （3） 如图③ ，点G即为所求（答案不唯一）． 【分析】 本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（     ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到是线段的垂直平分线是解题关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，得到，再根据周长公式进行线段代换即可求解． 【详解】 解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长 故选： 2．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后求周长即可． 【详解】 解：∵AB的垂直平分线交BC于D， ∴AD=BD， ∵AC=3，BC=4 ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BC=7． 故选A． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可得． 【详解】 解：要使两小区到送奶站的距离相等，则送奶站的位置应该是街道与的线段垂直平分线的交点， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】 解：由作图可知，垂直平分线段， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了线段的垂直平分线的性质，轴对称图形的性质，解题的关键是掌握垂线两边的部分对称． 根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半，求出三角形的面积，可得图中阴影部分的面积． 【详解】 解：是的垂直平分线，根据对称性，阴影部分的面积等于的面积的一半， ， 故选：D． 6．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，该轴对称图形有　　　　　条对称轴． 【答案】2 【分析】 本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】 解：该轴对称图形有2条对称轴， 如图所示． 故答案为：2． 7．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）等边三角形有　　　　　　条对称轴． 【答案】3 【分析】 本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】 解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 8．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）11     （2）     （3） 解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴． (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，边的垂直平分线恰好过点，交于点，若，，则的周长是　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，结合即可求解． 【详解】 以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ， 又边的垂直平分线恰好过点， （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 则的周长． 故答案为：16． 11．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　　　　　命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在中，垂直平分线段，交于E，交于D，已知，的周长为25，则　　　　　． 【答案】9 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质，注意转化思想的应用．由垂直平分线段可得，又由的周长等于25，可得，继而求得答案． 【详解】 解：∵垂直平分线段， ， ，的周长等于25， ， ∴， ． 故答案为：9． 13．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 　　　　　　　． 【答案】19 【分析】 本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键． 由尺规作图可知，为的垂直平分线，得，则的周长为可转化为进而可得答案． 【详解】 解：∵在中，分别以点A和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接； ∴为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：， ∵，， ∴的周长为：； 故答案为：19． 14．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 【答案】（1）如图，DE为所作； （2）9 【分析】 （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB； （2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2AD，从而得到结论． 【详解】 （1）略 （2）连接AD，如图， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵BD=3， ∴AD=3， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠CAD=120°−30°=90°， ∴CD=2AD=6， ∴BC=BD+CD=3+6=9. 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 15．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握了以上知识，是解答本题的关键； 根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； 【详解】 解：∵是的垂直平分线； ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴的周长， 故答案为． 16．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、P、Q均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出的对称轴； （2）如图②，四边形的面积为________； （3）如图②，点M是线段上一点，在线段上找一点N，使． 【答案】（1） 如图①中，直线m即为所求；      （2）6     （3） 如图②中，点N即为所求． 【分析】 本题考查了作图-轴对称变化，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）连接交对称轴于点J，连接，延长交于点N，根据轴对称的性质，则，，进而可以证明，则有，则是点N即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （2）四边形的面积，   故答案为：6 ． (3) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）课堂上，老师提出问题： 如图1，，是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？ 小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整． 步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段的垂直平分线上；若要使得点P到，的距离相等，则只需点P在的平分线上． 步骤2 作图：如图2，作的平分线，线段的垂直平分线，交于点P，则点P为所求． 步骤3 证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G． ∵，，且 　     　（填写条件）， ∴（ 　     　）（填写理由）． ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴（ 　     　）（填写理由）． ∴点P为所求作的点． 【答案】点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 【分析】 利用角平分线的性质，可得出，利用线段垂直平分线的性质，可得出，进而可得出点P为所求作的点． 【详解】 证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G． ∵，，且点P在的平分线上， ∴（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， ∴点P为所求作的点． 故答案为：点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键． 18．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． （1）若，，则             ； （2）设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】（1）11     （2）点O在的垂直平分线上．      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． (1) 小问详解： 解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； (2) 小问详解： 解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】 解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，    已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 2．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 3．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：C． 4．（25-26学年八上·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的对称等知识，根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为： 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）已知，与P关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】 解：与P关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴对称， 的横坐标变为相反数，纵坐标不变， 关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）点关于x轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为轴，镜面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点的坐标为，虚像对称点的坐标为，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，根据点和关于轴对称，得出，，代入进行计算即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】 解：和关于轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，直接写出点、的坐标． 【答案】（1）见解析     （2），      【分析】 本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，先标出点， ，的位置，再依次连接，即可作答． （2）观察（1）中的图，读取各个点的坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， (2) 小问详解： 解：观察（1）中的图，得，． 10．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，镜子中号码的实际号码是　　　　　　　　　　　　． 【答案】3265. 【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是3265, 故答案为3265. 11．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标特征，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）已知点，则它关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，作出关于直线m对称（点A、B、C分别对应P、Q、C）； （2）在图2中，过点C画直线n，使得直线n平分的面积； （3）直接写出的面积． 【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示：      （3）      【分析】 本题考查作轴对称图形，三角形的中线，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据作轴对称图形的作法解答即可； （2）确定的中点D，再连接，则直线即为直线n； （3）利用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 15．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）请在坐标系中画出； （2）画，使它与关于轴对称； （3）画出的重心点． 【答案】（1） 如下图，即为所作，      （2） 如图，即为所作，      （3） 如图，点即为所作 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，三角形的重心，全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，三角形三条中线的交点为三角形的重心，采用数形结合的思想是解此题的关键 （1）在坐标系中，找出三点，再顺次连接即可； （2）在坐标系中，找出三点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据三角形三条中线的交点为三角形的重心，找出点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由格点可知点为的中点，连接，则为的中线， 在上取一点使，连接交于点， 则， ， ， ， ， 则点为的中点，连接，交于点，点即为所求． 16．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．建立平面直角坐标系后，点、、的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）若点关于y轴对称的点为，连接、、，求的面积． 【答案】（1） 作图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系格点作图，准确根据关于坐标轴对称点而对特征作图是解题的关键． （1）通过关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为相反数求出、、，连接即可． （2）根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 点、、的坐标分别为，，， 关于轴对称点的坐标为，，， (2) 小问详解： ， 关于y轴对称的点为， 作图如下： ． 17．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）已知点． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； （3）若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵点在x轴上， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； (3) 小问详解： 解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 18．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，． （1）画出关于轴成轴对称的图形，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 画图如下： ，     （2）3.5      【分析】 （1）根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变相反数，计算即可． （2）利用分割法，计算即可． (1) 小问详解： 因为点、的坐标分别是，， 所以它们关于轴对称点的坐标分别是，． (2) 小问详解： 因为点、的坐标分别是，， 所以 ． 【点睛】 本题考查了坐标系中的对称问题，分割法计算三角形的面积，熟练掌握关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变相反数是解题的关键． 19．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形． 【答案】如图所示： 【分析】 将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行作图即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了根据轴对称图形的定义网格作图，理解定义是解题的关键． 20．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） （1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应； （2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； （3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】（1） 如图，为所求作图形；      （2） 如图，为所求作图形；      （3） 如图，四边形为所求作图形． 【分析】 本题考查了平移作图，轴对称作图； （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解； 掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 21．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上. （1）在图1中画（点在小正方形的顶点上），使与全等，且点在直线的下方（点不与点重合）； （2）在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使与全等，且； （3）请直接写出的面积. 【答案】（1） 如图1所示：     （2） 如图2所示：      （3）3      【分析】 （1）利用轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可； （2）利用中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可； （3）取点，连接，，得到，，，推出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3，取点，连接，， 则，，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握运用轴对称性质中心对称性质确定对应点，用无刻度直尺作图，用三角形面积公式计算三角形面积． 22．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，的三个顶点A，B，C均在正方形网格的格点上（每格的单位长度为1）． （1）画出关于y轴对称； （2）由（1）得点的坐标为_______． 【答案】（1） 解：如图，即为所作：      （2）      【分析】 本题考查坐标与轴对称．掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】 根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 2．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】 解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·吉林松原·期中）已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，即可得出答案．． 【详解】 设一个底角度数为x，则另一个底角也为x， ， 解得． 故选B． 4．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，点是边上的一点，若，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边对等角可求出的度数，再利用外角性质，等边对等角即可求出结果． 【详解】 解：，， ， ， ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（     ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，和各增加， ∵， ∴当增加时，减小， 故选：D ． 6．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，若，，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，四边形的内角和定理．由等腰三角形的性质推出，，得到，求出． 【详解】 解：， ，， ， ． 故选：A． 7．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）在中，若，要使为等腰三角形，则的度数是（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形的定义和三角形内角和定理可得是顶角，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵三角形内角和为180度，且， ∴当为等腰三角形时，不能为底角，即是顶角， ∴， 故选：D． 8．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据三角形外角定理求出∠EAC，再利用等腰三角形的性质得到∠ADE的度数，即可求出∠CDE的度数． 【详解】 解：∵，， ∴∠EAC=+， ∵以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接， ∴AE=AD ∴∠ADE=（180°-∠EAC）=35°， ∴=180°-∠ADE= 故选A． 【点睛】 此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的外角定理与等腰三角形的性质． 9．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 10．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用角的和差关系可得，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在等腰三角形中，，D是的中点．若2，则（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，角所对直角边等于斜边一半，由等腰三角形的性质得，，可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 12．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（     ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的判定及含角的直角三角形的性质，解题的关键是由判定BD为角平分线，结合角的性质计算边长． 由及垂直条件得平分；结合、得，在中求；再由得，进而求． 【详解】 解：∵ ，，， ∴平分， ∵ 在中，，， ∴ ，则， 在中，， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 13．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（       ） A. 甲错乙对 B. 甲对乙错 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 【答案】C 【分析】 利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确． 【详解】 解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确． 根据作图可得，则 利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确； ∵ ∴， ∵是角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故选：C． 14．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【分析】 如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】 解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，确定的长度的最小值是解题的关键． 15．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，，若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的性质等边对等角，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，为的平分线，若，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】 解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是　　　　　　． 【答案】等腰三角形三线合一 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质即可得解. 【详解】 解：∵，， ∴， 故这样操作的数学依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． 18．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为　　　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的两个底角相等， 顶角是40°， 它的底角为 ． 故答案为： ． 19．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在中，点D在BC上，的垂直平分线分别与相交于点E，F，若的三个内角都不相等，求证：． 【答案】证明：的垂直平分线分别与相交于点E，F， ， ，， 在中，， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，，再结合三角形内角和定理，即可求证． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　　　　　　　　度． 【答案】12 【分析】 先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】 解：，点为的中点，， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 21．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足．    （1）求的度数； （2）若的周长为20，求的长． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （1）分别求出和，再利用即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵的周长为20， ∴， 由（1）可知，，， ∴． 【点睛】 本题考查垂直平分线的基本性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确记忆并熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 22．（25-26学年八上·吉林白山·期中）某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量如图所示的晋祠博物馆雕塑底座的长度． 问题驱动：能利用哪些数学原理测量雕塑底座的长度？ 组内探究：由于雕塑底座的长度无法直接测量，项目化学习小组的同学分别设计出了如下两种方案，从而计算雕塑底座的长度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可， 如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． （1）经组内成员讨论，方案①②中，有一个方案可行，一个方案不可行，请问哪个可行？并说明方案可行的理由． （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________． 【答案】（1） 方案① 可行，方案② 不行． 理由：在和中， ， ． ． 方案② 中缺少条件证明， 所以方案① 可行，方案② 不行．     （2） 由（1）及题意可知：当添加或时，结合，根据“等腰三角形的三线合一”可解答； 故答案为：或（答案不唯一）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“”可证，然后问题可求解； （2）根据等腰三角形的性质可进行求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接，    ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 24．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，于点．点在边上，交的延长线于点，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，则可得出结论． 【详解】 略 25．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】 解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以为腰画一个等腰三角形； （2）在图②中以为底边画一个等腰三角形； （3）在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求；      （3） 如图所示，四边形即为所求； 【分析】 本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （3）如图所示，取格点E、F，连接，则四边形是等腰梯形，即为轴对称图形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 27．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，D是的中点，E是边上的一点，连接、，且，若，则　　　　　　　　度． 【答案】40 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可求出的度数，，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴，即， ∴． 故答案为：40 28．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）（多选）如图，直线，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：FCE是等腰三角形． 【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠1＝60°， ∴∠CFE＝180°﹣∠DFE， ＝180°﹣60°， ＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE ＝180°﹣30°﹣120° ＝30°， ∴∠2＝∠CEF， ∴CF＝EF， ∴△FCE是等腰三角形． 【分析】 由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，进而得到∠CFE的度数，再根据三角形内角和定理求得∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质，等腰三角形等角对等边的判定，熟记平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键． 29．（25-26学年八上·吉林长春·期中）情景观察： 如图1，中，，，，，垂足分别为D，E，与交于点F． （1）写出图1中所有的全等三角形___________________________； （2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想； 问题探究： （3）如图2，在中，，，平分，，垂足为D，与交于点E，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【答案】（1），； （2）解：AF=2CE 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：AE=2CD 理由如下：延长AB、CD交于点G，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠GAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中， ， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝90°， ∴∠G＋∠BCG＝90°， ∵∠G＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD． 【分析】 （1）根据全等三角形的证明方法可得，用HL可证明，根据，，可得是等腰直角三角形，进而得到，然后根据ASA可证明； （2）首先根据题意可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后由（1）证得的得到，即可求出与线段的数量关系； （3）延长AB、CD交于点G，首先根据ASA证明△ADC≌△ADG，然后CG＝2CD，然后根据ASA证明△ABE≌△CBG，得到AE＝CG，即可证明出AE=2CD． 【详解】 解：（1）∵， ∴在和中， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在和中， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 30．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】 此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，点C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上截取，使得，连接． （1）与全等吗？为什么？ （2）若，，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ∵等腰和等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得、、，再结合可得可证可得，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、 （1）在图中画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标； （2）如果要使以点B、C、D为顶点的三角形与全等（点A、D不重合），写出所有符合条件的点D的坐标； （3）在图中以为底边画一个等腰三角形，使为锐角． 【答案】（1） 如图，      （2）点D的坐标为或或     （3） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点作图、轴对称的性质、全等三角形的性质、垂直平分线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意画图即可； （2）两个三角形有一个公共边，据此画图即可得到点D坐标； （3）作垂直平分线，则垂直平分线上的格点，且满足为锐角的即为所求． (1) 小问详解： 解：坐标为； (2) 小问详解： 解：①如图1， 此时， 则点D坐标为； ②如图2， 此时， 则点D坐标为； ③如图3， 此时 则点D坐标为； 综上，点D的坐标为或或； (3) 小问详解： 略 33．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）连结，当时，求t的值； （3）若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）     （2）     （3）当为等腰三角形时，或      【分析】 （1）本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案； （2）本题考查直角三角形所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线段上或延长线上两类结合所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段上或延长线上，根据腰长列式求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：设点的运动时间为t秒． ∴， ∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动， 当时，， 当时， ， 综上所述，； (2) 小问详解： 解：如图所示， ①       当P在线段上时， ∵是等边三角形，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ② 当P在的延长线上时， ∵，∴ ∴， ∴， ∴， 解得： ； (3) 小问详解： 解：如图所示，当时，P在上运动时， ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形， ∴， ∵，， P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，， ∴， 解得：， 当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C， 当点Q从D点返回时，，， ∴， 解得： ， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 34．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）（8分小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考： “等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： ①等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； ②等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； ③由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： 命题1：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形： 命题2：…… （1）请你根据前面的②写出小明猜想的命题2：； （2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据图1写出了如下数学语言： 已知：在中，，AD平分； 求证：是等腰三角形． 请你写出命题2的几何语言． 已知： 求证： （3）命题1、命题2是否都是真命题？如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】（1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形     （2）在中，AD平分，AD为BC边上的中线；是等腰三角形     （3） 都是真命题，证明命题1：平分， 在和中 是等腰三角形，即命题1是真命题． 证明命题2：过点D作垂足分别为E，F； 又平分， 为边上的中线 ， 在和中 ∴ 是等腰三角形，即命题2是真命题．      【分析】 本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线等知识．熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线是解题的关键． （1）根据原命题写出逆命题即可； （2）用几何语言写出命题即可； （3）命题1：根据证明得出即可证明命题1是真命题； 命题2：过点D作垂足分别为E，F；根据证明得，进而得出即可证明命题2是真命题． (1) 小问详解： 如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； (2) 小问详解： 在中，AD平分，AD为BC边上的中线； 是等腰三角形． (3) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： （1）如图①，平分，，则； （2）如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形．      【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，点是内一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积． （1）只需要证明，即可证明； （2）如图所示，延长交于D，根据三线合一定理得到，，再根据三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图所示，延长交于D， 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查中垂线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）易得垂直平分，得到，三线合一求出的度数，中垂线的性质推出，三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的周长公式，求出的长，根据中垂线的性质，推出，进而得到，即可得出结果． (1) 小问详解： ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵周长为，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在中，点分别在边上，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 （1）利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出． （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，由（1）得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义可性质得出 ，最后利用平行线的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， . 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质，角平分线的定义以及相关计算，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 39．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 略 40．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 【答案】探究：证明：∵，直线经过点，于点，于点， ∴点三点都在直线上， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴； 应用：∵，三点都在直线上，， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展： 【分析】 探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根据角角边即可求证；应用：，三点都在直线上，，可求出，可证，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，设，则，根据梯形面积公式即可求解． 【详解】 探究： 略 应用： 略 拓展：由探究可知，，， ∴，设，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键． 41．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）连结，当时，的长为________．当时，的长为________． （3）当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． （4）当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 【答案】（1）当时，；当时，     （2）；5     （3）2或3     （4）或      【分析】 本题主要考查动点问题，涉及勾股定理、等腰三角形的性质角平分线的性质， 根据正方形的性质求得，根据勾股定理求得，分别求得顶点处的时间，分点P在线段上运动和在线段上运动求解即可； 结合和已知时间对应求解即可； 根据等腰三角形的性质分和，分别列出关系式求解即可； 根据已知可知点P在角平分线上，分点P在线段上和点P在在线段上，利用等面积法列关系式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，以为边作正方形， ∴ ∵在中，，，， ∴， 当点P在线段上运动时，，此时； 当点P在线段上运动时，，此时； 故当时，；当时，； (2) 小问详解： 解：当时，此时点P在线段上，则； 当时，此时点P在线段上，则； (3) 小问详解： 解：∵是以为腰的等腰三角形， 当，则，解得； 当，则，解得； (4) 小问详解： 解：∵点到四边形的一组邻边距离相等， ∴点P在角平分线上， 当点P在线段上时，如图， 则点P到的距离为4， 那么，，即，解得； 当点P在在线段上时，如图， 则点P到的距离为， 那么，， 即， ，解得； 故答案为：或． 42．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． （1）______（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 【答案】（1）     （2）t的值为     （3）当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形      【分析】 （1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； (1) 小问详解： 解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； (3) 小问详解： 解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 43．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A．                                 B．                                 C．                                 D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 【答案】【问题情境】（1）C；（2）； 【初步运用】 证明：延长到，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【拓展提升】4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 问题情境：（1）根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解； 初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明； 拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】 问题情境： 解：（1）是的中线， ， 在和中， ∴， ∴由已知和作图得到，依据是， 故选：C； （2）由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：； 初步运用： 略 拓展提升： 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 44．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，是等腰三角形，，，点D是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 即的度数为． (2) 小问详解： 解：∵，点D是的中点， ∴是的中垂线， ∴平分∠， ∴． (3) 小问详解： 略 45．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，交延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的度数． 【答案】（1） 证明：∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴， ∴；     （2），      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，得，即可作答． （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，，求出的度数，最后利用角的和差求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴，， ∴， 则． 46．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围； （2）当，且为等腰三角形时，直接写出的度数； （3）当，且点在边上时，若与全等，求和的值． 【答案】（1） ；     （2）的度数为或或或；     （3），或，．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上， ； (2) 小问详解： 解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或； (3) 小问详解： 解：中，，，点为的中点，， ， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，． 47．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证； （1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】 （1）略 （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ． 48．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据得，由角平分线的定义得，所以，再根据等腰三角形的判定得，再结合得，即可得证． 【详解】 略． 49．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）求边上的高； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （4）在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）或      【分析】 本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分① 当点P在A、C之间，即时，② 当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分① 当点P在A、C之间，即时， ② 当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：① 当点P在A、C之间，即时，， ∴， ② 当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述： ； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ① 当时，得，解得：； ② 当时，得，解得：； 即的值是或； (4) 小问详解： 解：① 当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：     则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ② 当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：     则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 50．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，已知，在四边形中，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ；     （2）      【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角等知识． （1）证明，即可得到答案； （2）根据等边对等角求出，由全等三角形性质得到，即可得到的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∵ ∴， 51．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，，，与数轴交于D，E两点，且，若D，E对应的数分别为，3，则的长为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，有理数与数轴．在中，，，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵D，E对应的数分别为，3， ∴， ∴， 故答案为：2． 52．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图所示，在中，是边上一点，，过点作交于点，点是上一点，连接，，，且平分，求证：垂直平分． 【答案】证明： 平分 点在线段CD的垂直平分线上 点在线段的垂直平分线上 垂直平分 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，由等角对等边可得出，即可得出点在线段CD的垂直平分线上，再由即可得出垂直平分． 【详解】 略 53．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】 略 54．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． （1）若，求的度数； （2）若点F是的中点，求证：. 【答案】（1）     （2） 证明：连接， ∵，F是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， （1）由，，可得，再利用三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得证． (1) 小问详解： ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 55．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么　　　　　　　　； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1）     （2） ① ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）① 根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；② 点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ (2) 小问详解： ① 略 ② 略 56．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1），     （2） 解：， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （3） 解：， 理由如下：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴      【分析】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质． （1）设交于点G，由，得，而，，即可根据“”证明，所以，，则，于是得到问题的答案； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论． (1) 小问详解： 如图1，设交于点G，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：30． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 57．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴；     （2）      【分析】 （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的内角和可得，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 58．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N． 【观察发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明； 【探究迁移】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为             ． 【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3），理由：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴ （4）8或16 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过证明三角形全等实现线段与角的转化，进而推导各结论． （1）通过证明，结合得EN与BC的关系； （2）先证得，再证得； （3）同理证全等得，再证推导BD与MN的关系； （4）分的位置，结合面积与全等关系计算的面积． 【详解】 （1）解：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． ∵ ， ∴． ∴与的数量关系是，位置关系是． （2）略 （3）略 （4）解：设，分两种情况讨论： 情况一：当在边上时， ，即, , ∴. ∴． 情况二：当在延长线上时， , ∴. ∴． 故答案为：8或16． 59．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）_____________，_____________（用含的代数式表示）； （2）当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】（1）， ；     （2）①秒， ② 能，当点在上时， ∵，， ∴ 即      解得：秒    ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分     （3）为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形      【分析】 （1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；              （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；② 根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，① 若是以为底边的等腰三角形； ② 若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. (1) 小问详解： 解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴    故答案为：， ； (2) 小问详解： ① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②略 (3) 小问详解： 当点在边上运动时， ① 若是以为底边的等腰三角形    则 ∴ ∴ 解得： ② 若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 60．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，，，，垂足为，若，那么的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，过点作，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得，再利用含直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】 解：过点作，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故答案为：8． 61．（25-26学年八上·吉林白山·期中）【问题原型】 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（无需作答）． 【解决问题】 （1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）求的度数； （3）若是的中点，且，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）135，（3）27 【分析】 （1）证明，再等量代换解答即可； （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 62．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是　　　　　　（只填序号）． 【答案】① ③ ⑤ 【分析】 由矩形的性质可得，，，，求出，，，即可判断① ；由① 可得，再结合三角形内角和定理即可判断② ；证明、为等腰直角三角形，得出，，即可判断③ ；作于，于，由角平分线的性质定理可得，结合等腰直角三角形的性质得出，分别表示出和，即可判断④ ；证明，得出，，从而得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可判断⑤ ． 【详解】 解：① ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故① 正确； ② 由① 可得：， ∴， ∵， ∴，故② 错误； ③ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴，即，故③ 正确； ④ 如图，作于，于， ， ∵， ∴， ∵，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴，故④ 错误； ⑤ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理可得，故⑤ 正确； 综上所述，正确的有① ③ ⑤ ； 故答案为：① ③ ⑤ ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·吉林松原·期中）若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查等边三角形的性质以及周长的计算． 解题的关键在于明确等边三角形三条边长度相等，其周长等于三条边长度之和． 等边三角形三边相等，周长等于边长的3倍，因此边长可通过周长除以3求得． 【详解】 ∵等边三角形的周长 = 3 × 边长，周长为， ∴边长 ． 故选：B． 2．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等边三角形的三个内角都相等，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算出，再根据平行线的性质得到即可解答． 【详解】 解：如图：为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】 解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，三边相等，周长等于边长乘以3． 【详解】 解：等边三角形的边长是， ， 的周长是（）， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解． 【详解】 解：， ． 又， ， ． 答：的度数是120°． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟记相关性质是解题关键． 6．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）已知的三边长分别为． （1）若满足，试判断的形状； （2）若，且c为奇数，求的周长． 【答案】（1）等边三角形     （2）12      【分析】 （1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论． 本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． (1) 小问详解： 解：是等边三角形，过程如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2) 小问详解： 解：∵的三边长分别为 ∴， 即 ∵c为奇数， ∴， ∴的周长． 7．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）（多选）如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接 （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠ACB＝60°， 又∵DE＝DC， ∴△CDE为等边三角形； （2）6. 【分析】 （1）求出∠EDC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）由等边三角形的性质求出CD＝2，即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴AC＝AB＝4，AD＝CD＝AC＝AB＝2， 又∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝CE＝CD＝2， ∴△CDE的周长＝2＋2＋2＝6． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，是等边三角形，，若，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明是等边三角形即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若C是的中点，，求的长． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 10．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角，则 　　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用得到和之间的关系是解题的关键． 由等边三角形和直角三角形可得，，且，可求得． 【详解】 解：如图，由等边三角形和直角三角形可得，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，，，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）     （2） ，，． ， ， 是等边三角形．      【分析】 （1）因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为． （2），，，三个角是的三角形是等边三角形． (1) 小问详解： 解：，， ， 即． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则　　　　　　  【答案】 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 　　　　　　　　　 ．（填序号） 【答案】①②③ ④ 【分析】 本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出② ④ 正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】 解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③ ④． 14．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，中，，E是边上的一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 在和中， ．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的数量关系推导全等三角形的对应角相等，结合边长与角度条件判定等边三角形． （1）由推出，结合得，再利用，通过证明； （2）由及判定为等边三角形，结合全等结论得，进而判定为等边三角形，得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ． ， ． 为等边三角形． ． ， ． 15．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）（多选）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 【答案】∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°， 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形 【分析】 由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=30°，求得∠ADC=60°，即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练性质定理是解题关键． 16．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD． 【详解】 解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°， ∴△BDE是等边三角形，所以① 正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°， ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC，所以② 正确； ∴∠BDE=60°， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④ 错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE=CD， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③ 正确． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 17．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定，由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断④；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】 解：∵，点是线段的中点， ∴，故①正确； ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故② 正确； 若，则， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 若平分，根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：① ② ④． 18．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）已知为等边三角形，点D在边上． 【基本图形】如图①，以为一边作等边三角形，连接．可得（无需证明）； 【迁移运用】如图②，点F是边上一点，以为一边作等边三角形，连接，过点D作，交于点G．求证：； 【类比探究】如图③，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形，过点D作，交于点H，连接，写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】【迁移运用】：证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴； 【类比探究】：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 基本图形：只需要证明得到，即可证明； 迁移运用：证明得到，即可推出； 类比探究：证明，得到，再由，即可得到． 【详解】 基本图形：证明：∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移运用：略 类比探究：略 19．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则的长为_____． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形；     （2）3      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的边是斜边的一半和等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是熟练运用三线合一； （1）根据等腰三角形中有一个的角即为等边三角形即可； （2）先根据等边三角形的性质得到角度，进而判断出等腰三角形，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半进而即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ 又， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）【问题情境】 综合实践课上，刘老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 如图①，在等边三角形内部取一点，连接，以为一边，在的右侧作等边三角形，连接、，若B、D、E三点恰好在一条直线上． 【猜想结论】 （1）“兴趣小组”提出的问题如下： ①求证：； ②探究线段、、之间的数量关系，请你直接写出结论_____（不需证明）； 【深入探究】 （2）“创新小组”在“兴趣小组”的基础上继续探究：如图②，在等边三角形的边的右侧取一点，连接，使，连接交于点，的平分线与交于点，连接． ①求的度数； ②直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）① 证明：在等边三角形内部取一点，在的右侧作等边三角形， ，，， ∴，即． 在和中， ， ∴． ②； （2）①； ②． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）① 由等边三角形的性质可得，，，再利用 “”证明即可；② 由全等三角形的性质可得，由此即可得解； （2）① 由角平分线的定义可得，再证明得出，由等边三角形的性质可得，再由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解；② 在线段上截取，证明为等边三角形，得出，，再由等边三角形的性质可得，，从而得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】 （1）① 略 ② 解：由① 可得， ∴， ∵， ∴； （2）解：①的平分线与交于点， ． 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形，， ， ， ， 是和的外角， ， ． ②，理由如下： 如图，在线段上截取， ， 由① 可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； （1）求证：； （2）点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； （3）当为何值时是直角三角形？ 【答案】（1） 解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴．     （2）不变，     （3）当第秒或第秒时，为直角三角形      【分析】 （）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． (3) 小问详解： 由题意知， ① 当时， ∵， ∴，得，解得； ② 当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】 本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 22．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，已知点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ，， ， ，， ， ， 即；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相加后即可得到正确的结论； （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ． 23．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【答案】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】 此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，O是等边内一点，，求的度数． 【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质可得到，又由于，则，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的三个内角都为的性质，以及三角形的内角和为是解题的关键． 25．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，已知，，，求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】 本题考查平行线的性质以及等边三角形的判定． 解题的关键在于利用平行线的性质得到角之间的关系，再结合已知条件证明三角形的三个角都相等． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，已知和都是等边三角形． （1）观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为          ；          ． （2）如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． （3）深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （4）连接，求证：平分． 【答案】（1） ；     （2） 解：， 证明:同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴．  ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （3） 解：成立． 证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，  即．  在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴．     （4） 证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图．  由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． (1) 小问详解： 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴．  在和中， ， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）下图为常用玻璃仪器组成的几种实验装置，均可根据不同的实验需求在其中加入不同的液体或固体试剂，在如图的平面图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（     ） A.  文心一言 B.  ChatGPT C.  DeepSeek D.  纳米AI 5．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）秋天到了，学校组织同学们郊游，某同学收集了漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）数学在建筑美学中扮演着重要的角色，下列图形中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图把一张矩形纸片沿对角线翻折，点的对应点为，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·吉林白山·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·吉林松原·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，四边形是轴对称图形，且是其对称轴，E、F、G为上的三点，若四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，，将沿折叠，点A恰好落在边上的点处．若，，则的长为______． 14．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，与关于直线l对称，且，． （1）若点B到直线l的距离为5，则B、E两点间的距离为________； （2）求的度数． 15．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，与关于直线对称，E、F、G是线段上的任意三点，若，，则图中阴影部分的面积是　　　　　　 ． 16．（25-26学年八上·吉林松原·期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 17．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 18．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： （1）在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． （2）在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． （3）在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（     ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 2．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）某公司准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离相等，则送奶站C的位置应该在（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，则图中阴影部分图形的面积是（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，该轴对称图形有　　　　　条对称轴． 7．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）等边三角形有　　　　　　条对称轴． 8．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 9．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为　　　　　　　cm． 10．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，边的垂直平分线恰好过点，交于点，若，，则的周长是　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是　　　　　命题．(填“真”或“假”) 12．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在中，垂直平分线段，交于E，交于D，已知，的周长为25，则　　　　　． 13．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 15．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、P、Q均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出的对称轴； （2）如图②，四边形的面积为________； （3）如图②，点M是线段上一点，在线段上找一点N，使． 17．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）课堂上，老师提出问题： 如图1，，是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？ 小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整． 步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段的垂直平分线上；若要使得点P到，的距离相等，则只需点P在的平分线上． 步骤2 作图：如图2，作的平分线，线段的垂直平分线，交于点P，则点P为所求． 步骤3 证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G． ∵，，且 　     　（填写条件）， ∴（ 　     　）（填写理由）． ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴（ 　     　）（填写理由）． ∴点P为所求作的点． 18．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． （1）若，，则             ； （2）设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林松原·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 5．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）已知，与P关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）点关于x轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为轴，镜面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点的坐标为，虚像对称点的坐标为，则的值为　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，直接写出点、的坐标． 10．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图，镜子中号码的实际号码是　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）点关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）已知点，则它关于轴的对称点的坐标是　　　　　　． 13．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 14．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图1中，作出关于直线m对称（点A、B、C分别对应P、Q、C）； （2）在图2中，过点C画直线n，使得直线n平分的面积； （3）直接写出的面积． 15．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）请在坐标系中画出； （2）画，使它与关于轴对称； （3）画出的重心点． 16．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．建立平面直角坐标系后，点、、的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的（点、、的对应点分别为点、、）； （2）若点关于y轴对称的点为，连接、、，求的面积． 17．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）已知点． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； （3）若点与点关于直线对称，则点Q的坐标是______． 18．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点、的坐标分别是，． （1）画出关于轴成轴对称的图形，并写出的坐标； （2）求的面积． 19．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族自治州安图县第三中学·期中）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形． 20．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） （1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应； （2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； （3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 21．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上. （1）在图1中画（点在小正方形的顶点上），使与全等，且点在直线的下方（点不与点重合）； （2）在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使与全等，且； （3）请直接写出的面积. 22．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，的三个顶点A，B，C均在正方形网格的格点上（每格的单位长度为1）． （1）画出关于y轴对称； （2）由（1）得点的坐标为_______． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 2．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林松原·期中）已知一个等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，点是边上的一点，若，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）某平板电脑支架如图所示，其中，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（     ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 6．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，若，，则（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）在中，若，要使为等腰三角形，则的度数是（     ） A.  B. 或 C.  D.  8．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 11．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在等腰三角形中，，D是的中点．若2，则（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 12．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（     ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 13．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（       ） A. 甲错乙对 B. 甲对乙错 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 14．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 15．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，，，若，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，为的平分线，若，则的长为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是　　　　　　． 18．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，在中，点D在BC上，的垂直平分线分别与相交于点E，F，若的三个内角都不相等，求证：． 20．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝　　　　　　　　度． 21．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足．    （1）求的度数； （2）若的周长为20，求的长． 22．（25-26学年八上·吉林白山·期中）某校项目化学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量如图所示的晋祠博物馆雕塑底座的长度． 问题驱动：能利用哪些数学原理测量雕塑底座的长度？ 组内探究：由于雕塑底座的长度无法直接测量，项目化学习小组的同学分别设计出了如下两种方案，从而计算雕塑底座的长度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可， 如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． （1）经组内成员讨论，方案①②中，有一个方案可行，一个方案不可行，请问哪个可行？并说明方案可行的理由． （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________． 23．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    （1）求证：； （2）若，求的度数． 24．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，于点．点在边上，交的延长线于点，求证：是等腰三角形． 25．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以为腰画一个等腰三角形； （2）在图②中以为底边画一个等腰三角形； （3）在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形． 27．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，D是的中点，E是边上的一点，连接、，且，若，则　　　　　　　　度． 28．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）（多选）如图，直线，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：FCE是等腰三角形． 29．（25-26学年八上·吉林长春·期中）情景观察： 如图1，中，，，，，垂足分别为D，E，与交于点F． （1）写出图1中所有的全等三角形___________________________； （2）猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想； 问题探究： （3）如图2，在中，，，平分，，垂足为D，与交于点E，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 30．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 31．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，点C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上截取，使得，连接． （1）与全等吗？为什么？ （2）若，，求的度数． 32．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、 （1）在图中画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标； （2）如果要使以点B、C、D为顶点的三角形与全等（点A、D不重合），写出所有符合条件的点D的坐标； （3）在图中以为底边画一个等腰三角形，使为锐角． 33．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）连结，当时，求t的值； （3）若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值． 34．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）（8分小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考： “等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： ①等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； ②等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线； ③由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： 命题1：如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形： 命题2：…… （1）请你根据前面的②写出小明猜想的命题2：； （2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据图1写出了如下数学语言： 已知：在中，，AD平分； 求证：是等腰三角形． 请你写出命题2的几何语言． 已知： 求证： （3）命题1、命题2是否都是真命题？如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 35．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： （1）如图①，平分，，则； （2）如图②，，平分，则是等腰三角形． 36．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，点是内一点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 37．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求长． 38．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，在中，点分别在边上，，平分． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 39．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 40．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）探究：如图①，在中，，，直线经过点，于点，于点，求证：． 应用：如图②，在中，，三点都在直线上，并且有．求出和的关系． 拓展：如图①中，若，梯形的面积______． 41．（25-26学年八上·吉林长春汽车经济技术开发区·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）连结，当时，的长为________．当时，的长为________． （3）当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． （4）当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 42．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． （1）______（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 43．（25-26学年八上·吉林四平双辽·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围． （1）由已知和作图得到，依据是______． A．                                 B．                                 C．                                 D． （2）边上的中线的取值范围是______ 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【拓展提升】 如图③，在中，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则______． 44．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，是等腰三角形，，，点D是的中点． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）若，试说明：． 45．（25-26学年八上·吉林白山·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，交延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的度数． 46．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围； （2）当，且为等腰三角形时，直接写出的度数； （3）当，且点在边上时，若与全等，求和的值． 47．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 48．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 49．（25-26学年八上·吉林松原乾安县·期中）如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）求边上的高； （3）当是以为腰的等腰三角形时，求的值； （4）在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 50．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，已知，在四边形中，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 51．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，，，，与数轴交于D，E两点，且，若D，E对应的数分别为，3，则的长为　　　　　　． 52．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图所示，在中，是边上一点，，过点作交于点，点是上一点，连接，，，且平分，求证：垂直平分． 53．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 54．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． （1）若，求的度数； （2）若点F是的中点，求证：. 55．（25-26学年八上·吉林长春部分学校·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么　　　　　　　　； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 56．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由． 57．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 58．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，中，，D为直线上一动点，连接在直线的右侧作，且，过点E作，垂足为N． 【观察发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，直接写出与之间的关系，不用证明； 【探究迁移】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；求证：； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，连接交直线于点M；判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （4）当点D在直线上时，连接交直线于点M；当的面积为8，的面积为时，则的面积为             ． 59．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，设运动的时间为秒． （1）_____________，_____________（用含的代数式表示）； （2）当点在边上运动时， ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 60．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）如图，，，，垂足为，若，那么的长为　　　　　　　　　　　． 61．（25-26学年八上·吉林白山·期中）【问题原型】 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（无需作答）． 【解决问题】 （1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）求的度数； （3）若是的中点，且，直接写出四边形的面积． 62．（25-26学年八上·吉林第二实验学校·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是　　　　　　（只填序号）． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·吉林松原·期中）若等边三角形的周长为，则这个等边三角形的边长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（       ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是　　　　　　． 5．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 6．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）已知的三边长分别为． （1）若满足，试判断的形状； （2）若，且c为奇数，求的周长． 7．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）（多选）如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接 （1）求证：为等边三角形； （2）若，求的周长． 8．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，是等边三角形，，若，则的周长为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若C是的中点，，求的长． 10．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，已知等腰三角形的底角，则 　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，，，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 12．（25-26学年八上·吉林松花江中学·期中）如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则　　　　　　  13．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，是等边三角形，，于点，于点，，有下列四个结论：①点P在的平分线上； ②；③ ；④．其中，正确的是 　　　　　　　　　 ．（填序号） 14．（25-26学年八上·吉林吉林蛟河·期中）如图，中，，E是边上的一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的长． 15．（25-26学年八上·吉林吉林昌邑区·期中）（多选）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形． 16．（25-26学年八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　． 18．（25-26学年八上·吉林延边朝鲜族·期中）已知为等边三角形，点D在边上． 【基本图形】如图①，以为一边作等边三角形，连接．可得（无需证明）； 【迁移运用】如图②，点F是边上一点，以为一边作等边三角形，连接，过点D作，交于点G．求证：； 【类比探究】如图③，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形，过点D作，交于点H，连接，写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 19．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，则的长为_____． 20．（25-26学年八上·吉林松原宁江区·期中）【问题情境】 综合实践课上，刘老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 如图①，在等边三角形内部取一点，连接，以为一边，在的右侧作等边三角形，连接、，若B、D、E三点恰好在一条直线上． 【猜想结论】 （1）“兴趣小组”提出的问题如下： ①求证：； ②探究线段、、之间的数量关系，请你直接写出结论_____（不需证明）； 【深入探究】 （2）“创新小组”在“兴趣小组”的基础上继续探究：如图②，在等边三角形的边的右侧取一点，连接，使，连接交于点，的平分线与交于点，连接． ①求的度数； ②直接写出线段、、之间的数量关系． 21．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； （1）求证：； （2）点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； （3）当为何值时是直角三角形？ 22．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，已知点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 24．（25-26学年八上·吉林四平伊通满族自治县·期中）如图，O是等边内一点，，求的度数． 25．（25-26学年八上·吉林松原·期中）如图，已知，，，求证：是等边三角形． 26．（25-26学年八上·吉林松原长岭县·期中）如图，已知和都是等边三角形． （1）观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为          ；          ． （2）如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． （3）深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （4）连接，求证：平分． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．D 3．D 4．A 5．D 6．A 7．A 8．D 9．C 10．A 11．C 12．【答案】6 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质推出阴影部分面积是四边形的面积的一半是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是轴对称图形，且是其对称轴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 易得，折叠性质，，如图，得，，，即可得解． 【详解】 解：如图，    ∵，， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了折叠性质以及解直角三角形，知是解题的关键． 14．【答案】（1）10     （2）      【分析】 本题考查的是轴对称的性质，点到直线的距离，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出点E到直线l的距离为5，据此得出结论； （2）根据与关于直线l对称，且可知，再由三角形内角和定理即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵与关于直线l对称，点B到直线l的距离为5， ∴点E到直线l的距离为5， ∴B，E两点间的距离为， 故答案为：10； (2) 小问详解： 解：与关于直线对称，且，， ， ． 15．【答案】9 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质，将阴影部分的面积转化为的面积，再结合及的长进行计算即可． 【详解】 解：与关于直线对称， ，，， 阴影部分的面积可转化为的面积． ，， ， ， 即图中阴影部分的面积是 故答案为： 16．【答案】（1）； （2），理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【分析】 （1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）略 （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 17．【答案】（1）     （2）     （3）2或4     （4）或5      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：① 当时，由为轴对称图形得，即可求解；② 当时，同理可求； （4）① 当时，由全等三角形的性质得，即可求解；② 当时，同理可求． (1) 小问详解： 解：由的运动得， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当点P与点C重合时， ， ， ； (3) 小问详解： 解：① 当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ② 当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； (4) 小问详解： 解：① 当时， ，， ， ， 解得； ② 当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 18．【答案】（1） 如图① ，四边形即为所求．      （2） 如图② ，四边形即为所求．      （3） 如图③ ，点G即为所求（答案不唯一）． 【分析】 本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点02 线段的垂直平分线 1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．【答案】2 【分析】 本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】 解：该轴对称图形有2条对称轴， 如图所示． 故答案为：2． 7．【答案】3 【分析】 本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的对称性即可求得答案． 【详解】 解：等边三角形有3条对称轴， 故答案为：3． 8．【答案】（1）11     （2）     （3） 解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴． (3) 小问详解： 略 9．【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 10．【答案】16 【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，结合即可求解． 【详解】 以的顶点为圆心，的长为半径作圆弧交于点， ， 又边的垂直平分线恰好过点， （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 则的周长． 故答案为：16． 11．【答案】假 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．【答案】9 【分析】 此题考查了线段垂直平分线的性质，注意转化思想的应用．由垂直平分线段可得，又由的周长等于25，可得，继而求得答案． 【详解】 解：∵垂直平分线段， ， ，的周长等于25， ， ∴， ． 故答案为：9． 13．【答案】19 【分析】 本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键． 由尺规作图可知，为的垂直平分线，得，则的周长为可转化为进而可得答案． 【详解】 解：∵在中，分别以点A和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接； ∴为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：， ∵，， ∴的周长为：； 故答案为：19． 14．【答案】（1）如图，DE为所作； （2）9 【分析】 （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作出DE垂直平分AB； （2）连接AD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DAB=∠B=30°，接着计算出∠CAD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=2AD，从而得到结论． 【详解】 （1）略 （2）连接AD，如图， ∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵BD=3， ∴AD=3， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠CAD=120°−30°=90°， ∴CD=2AD=6， ∴BC=BD+CD=3+6=9. 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 15．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握了以上知识，是解答本题的关键； 根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； 【详解】 解：∵是的垂直平分线； ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴的周长， 故答案为． 16．【答案】（1） 如图①中，直线m即为所求；      （2）6     （3） 如图②中，点N即为所求． 【分析】 本题考查了作图-轴对称变化，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）连接交对称轴于点J，连接，延长交于点N，根据轴对称的性质，则，，进而可以证明，则有，则是点N即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （2）四边形的面积，   故答案为：6 ． (3) 小问详解： 略 17．【答案】点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 【分析】 利用角平分线的性质，可得出，利用线段垂直平分线的性质，可得出，进而可得出点P为所求作的点． 【详解】 证明：如图2，连接，，过点P作于点F，于点G． ∵，，且点P在的平分线上， ∴（ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴（ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， ∴点P为所求作的点． 故答案为：点P在的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键． 18．【答案】（1）11     （2）点O在的垂直平分线上．      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． (1) 小问详解： 解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； (2) 小问详解： 解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的对称等知识，根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为： 5．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】 解：与P关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】 解：点关于轴对称， 的横坐标变为相反数，纵坐标不变， 关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标．根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，根据点和关于轴对称，得出，，代入进行计算即可，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】 解：和关于轴对称， ，， ，， ， 故答案为：． 9．【答案】（1）见解析     （2），      【分析】 本题考查了作轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，先标出点， ，的位置，再依次连接，即可作答． （2）观察（1）中的图，读取各个点的坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， (2) 小问详解： 解：观察（1）中的图，得，． 10．【答案】3265. 【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是3265, 故答案为3265. 11．【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标特征，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 14．【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示：      （3）      【分析】 本题考查作轴对称图形，三角形的中线，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据作轴对称图形的作法解答即可； （2）确定的中点D，再连接，则直线即为直线n； （3）利用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 15．【答案】（1） 如下图，即为所作，      （2） 如图，即为所作，      （3） 如图，点即为所作 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，三角形的重心，全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，三角形三条中线的交点为三角形的重心，采用数形结合的思想是解此题的关键 （1）在坐标系中，找出三点，再顺次连接即可； （2）在坐标系中，找出三点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据三角形三条中线的交点为三角形的重心，找出点即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由格点可知点为的中点，连接，则为的中线， 在上取一点使，连接交于点， 则， ， ， ， ， 则点为的中点，连接，交于点，点即为所求． 16．【答案】（1） 作图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系格点作图，准确根据关于坐标轴对称点而对特征作图是解题的关键． （1）通过关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为相反数求出、、，连接即可． （2）根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 点、、的坐标分别为，，， 关于轴对称点的坐标为，，， (2) 小问详解： ， 关于y轴对称的点为， 作图如下： ． 17．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了点的坐标特征、对称的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据在轴上的点的纵坐标为得出，求解即可； （2）由题意可得，求出的值即可得解； （3）根据对称的性质可得，，求出的值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵点在x轴上， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， ∴， ∴，，即； (3) 小问详解： 解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴． 18．【答案】（1） 画图如下： ，     （2）3.5      【分析】 （1）根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变相反数，计算即可． （2）利用分割法，计算即可． (1) 小问详解： 因为点、的坐标分别是，， 所以它们关于轴对称点的坐标分别是，． (2) 小问详解： 因为点、的坐标分别是，， 所以 ． 【点睛】 本题考查了坐标系中的对称问题，分割法计算三角形的面积，熟练掌握关于轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变相反数是解题的关键． 19．【答案】如图所示： 【分析】 将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形，据此进行作图即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了根据轴对称图形的定义网格作图，理解定义是解题的关键． 20．【答案】（1） 如图，为所求作图形；      （2） 如图，为所求作图形；      （3） 如图，四边形为所求作图形． 【分析】 本题考查了平移作图，轴对称作图； （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解； 掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 21．【答案】（1） 如图1所示：     （2） 如图2所示：      （3）3      【分析】 （1）利用轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可； （2）利用中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，即可； （3）取点，连接，，得到，，，推出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3，取点，连接，， 则，，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握运用轴对称性质中心对称性质确定对应点，用无刻度直尺作图，用三角形面积公式计算三角形面积． 22．【答案】（1） 解：如图，即为所作：      （2）      【分析】 本题考查坐标与轴对称．掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点的位置，直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 等腰三角形 1．D 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．A 9．C 10．B 11．B 12．C 13．C 14．B 15．C 16．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据“三线合一”即可求解． 【详解】 解：∵在中，，为的平分线， ∴是的中线， ∵， ∴， 故答案为：． 17．【答案】等腰三角形三线合一 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质即可得解. 【详解】 解：∵，， ∴， 故这样操作的数学依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． 18．【答案】F度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的两个底角相等， 顶角是40°， 它的底角为 ． 故答案为： ． 19．【答案】证明：的垂直平分线分别与相交于点E，F， ， ，， 在中，， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，，再结合三角形内角和定理，即可求证． 【详解】 略 20．【答案】12 【分析】 先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】 解：，点为的中点，， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 21．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （1）分别求出和，再利用即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵的周长为20， ∴， 由（1）可知，，， ∴． 【点睛】 本题考查垂直平分线的基本性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确记忆并熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 22．【答案】（1） 方案① 可行，方案② 不行． 理由：在和中， ， ． ． 方案② 中缺少条件证明， 所以方案① 可行，方案② 不行．     （2） 由（1）及题意可知：当添加或时，结合，根据“等腰三角形的三线合一”可解答； 故答案为：或（答案不唯一）．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据“”可证，然后问题可求解； （2）根据等腰三角形的性质可进行求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1） 证明：如图，连接，    ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 24．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，则可得出结论． 【详解】 略 25．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】 解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 26．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求；      （3） 如图所示，四边形即为所求； 【分析】 本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （3）如图所示，取格点E、F，连接，则四边形是等腰梯形，即为轴对称图形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 27．【答案】40 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可求出的度数，，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴，即， ∴． 故答案为：40 28．【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠1＝60°， ∴∠CFE＝180°﹣∠DFE， ＝180°﹣60°， ＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE ＝180°﹣30°﹣120° ＝30°， ∴∠2＝∠CEF， ∴CF＝EF， ∴△FCE是等腰三角形． 【分析】 由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，进而得到∠CFE的度数，再根据三角形内角和定理求得∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质，等腰三角形等角对等边的判定，熟记平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键． 29．【答案】（1），； （2）解：AF=2CE 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：AE=2CD 理由如下：延长AB、CD交于点G，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠GAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中， ， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝90°， ∴∠G＋∠BCG＝90°， ∵∠G＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD． 【分析】 （1）根据全等三角形的证明方法可得，用HL可证明，根据，，可得是等腰直角三角形，进而得到，然后根据ASA可证明； （2）首先根据题意可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后由（1）证得的得到，即可求出与线段的数量关系； （3）延长AB、CD交于点G，首先根据ASA证明△ADC≌△ADG，然后CG＝2CD，然后根据ASA证明△ABE≌△CBG，得到AE＝CG，即可证明出AE=2CD． 【详解】 解：（1）∵， ∴在和中， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在和中， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 30．【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】 此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】 略 31．【答案】（1） ，理由如下： ∵等腰和等腰， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得、、，再结合可得可证可得，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，最后根据角的和差即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．【答案】（1） 如图，      （2）点D的坐标为或或     （3） 如图，即为所求． 【分析】 本题主要考查了格点作图、轴对称的性质、全等三角形的性质、垂直平分线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意画图即可； （2）两个三角形有一个公共边，据此画图即可得到点D坐标； （3）作垂直平分线，则垂直平分线上的格点，且满足为锐角的即为所求． (1) 小问详解： 解：坐标为； (2) 小问详解： 解：①如图1， 此时， 则点D坐标为； ②如图2， 此时， 则点D坐标为； ③如图3， 此时 则点D坐标为； 综上，点D的坐标为或或； (3) 小问详解： 略 33．【答案】（1）     （2）     （3）当为等腰三角形时，或      【分析】 （1）本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案； （2）本题考查直角三角形所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线段上或延长线上两类结合所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段上或延长线上，根据腰长列式求解即可得到答案； (1) 小问详解： 解：设点的运动时间为t秒． ∴， ∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动， 当时，， 当时， ， 综上所述，； (2) 小问详解： 解：如图所示， ①       当P在线段上时， ∵是等边三角形，， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得：， ② 当P在的延长线上时， ∵，∴ ∴， ∴， ∴， 解得： ； (3) 小问详解： 解：如图所示，当时，P在上运动时， ∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形， ∴， ∵，， P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，， ∴， 解得：， 当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C， 当点Q从D点返回时，，， ∴， 解得： ， 综上所述，当为等腰三角形时，或． 34．【答案】（1）如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形     （2）在中，AD平分，AD为BC边上的中线；是等腰三角形     （3） 都是真命题，证明命题1：平分， 在和中 是等腰三角形，即命题1是真命题． 证明命题2：过点D作垂足分别为E，F； 又平分， 为边上的中线 ， 在和中 ∴ 是等腰三角形，即命题2是真命题．      【分析】 本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线等知识．熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线是解题的关键． （1）根据原命题写出逆命题即可； （2）用几何语言写出命题即可； （3）命题1：根据证明得出即可证明命题1是真命题； 命题2：过点D作垂足分别为E，F；根据证明得，进而得出即可证明命题2是真命题． (1) 小问详解： 如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； (2) 小问详解： 在中，AD平分，AD为BC边上的中线； 是等腰三角形． (3) 小问详解： 略 35．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形．      【分析】 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一定理，三角形面积． （1）只需要证明，即可证明； （2）如图所示，延长交于D，根据三线合一定理得到，，再根据三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图所示，延长交于D， 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查中垂线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）易得垂直平分，得到，三线合一求出的度数，中垂线的性质推出，三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的周长公式，求出的长，根据中垂线的性质，推出，进而得到，即可得出结果． (1) 小问详解： ∵，， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵周长为，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴． 38．【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 （1）利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出． （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，由（1）得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义可性质得出 ，最后利用平行线的性质即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， . 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，平行线的性质，角平分线的定义以及相关计算，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 39．【答案】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 略 40．【答案】探究：证明：∵，直线经过点，于点，于点， ∴点三点都在直线上， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴； 应用：∵，三点都在直线上，， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展： 【分析】 探究：，，可知是等腰直角三角形，，，可知，可求出，根据角角边即可求证；应用：，三点都在直线上，，可求出，可证，可得，由此即可求解；拓展：由，可知，设，则，根据梯形面积公式即可求解． 【详解】 探究： 略 应用： 略 拓展：由探究可知，，， ∴，设，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形，全等三角形，梯形的综合，掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积计算方法是解题的关键． 41．【答案】（1）当时，；当时，     （2）；5     （3）2或3     （4）或      【分析】 本题主要考查动点问题，涉及勾股定理、等腰三角形的性质角平分线的性质， 根据正方形的性质求得，根据勾股定理求得，分别求得顶点处的时间，分点P在线段上运动和在线段上运动求解即可； 结合和已知时间对应求解即可； 根据等腰三角形的性质分和，分别列出关系式求解即可； 根据已知可知点P在角平分线上，分点P在线段上和点P在在线段上，利用等面积法列关系式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，以为边作正方形， ∴ ∵在中，，，， ∴， 当点P在线段上运动时，，此时； 当点P在线段上运动时，，此时； 故当时，；当时，； (2) 小问详解： 解：当时，此时点P在线段上，则； 当时，此时点P在线段上，则； (3) 小问详解： 解：∵是以为腰的等腰三角形， 当，则，解得； 当，则，解得； (4) 小问详解： 解：∵点到四边形的一组邻边距离相等， ∴点P在角平分线上， 当点P在线段上时，如图， 则点P到的距离为4， 那么，，即，解得； 当点P在在线段上时，如图， 则点P到的距离为， 那么，， 即， ，解得； 故答案为：或． 42．【答案】（1）     （2）t的值为     （3）当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形      【分析】 （1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； (1) 小问详解： 解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； (3) 小问详解： 解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 43．【答案】【问题情境】（1）C；（2）； 【初步运用】 证明：延长到，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【拓展提升】4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系、等角对等边、平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 问题情境：（1）根据全等三角形的判定方法即可求解； （2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可求解； 初步运用：延长到，使，连接，通过证明得到，，进而得到，再根据等角对等边得到，等量代换即可证明； 拓展提升：延长到，使，连接，通过证明得到，，根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，设，根据线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】 问题情境： 解：（1）是的中线， ， 在和中， ∴， ∴由已知和作图得到，依据是， 故选：C； （2）由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故答案为：； 初步运用： 略 拓展提升： 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：4． 44．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 即的度数为． (2) 小问详解： 解：∵，点D是的中点， ∴是的中垂线， ∴平分∠， ∴． (3) 小问详解： 略 45．【答案】（1） 证明：∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴， ∴；     （2），      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，得，即可作答． （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，，求出的度数，最后利用角的和差求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴，， ∴， 则． 46．【答案】（1） ；     （2）的度数为或或或；     （3），或，．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上， ； (2) 小问详解： 解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或； (3) 小问详解： 解：中，，，点为的中点，， ， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，． 47．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证； （1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】 （1）略 （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ． 48．【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据得，由角平分线的定义得，所以，再根据等腰三角形的判定得，再结合得，即可得证． 【详解】 略． 49．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）或      【分析】 本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分① 当点P在A、C之间，即时，② 当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分① 当点P在A、C之间，即时， ② 当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：① 当点P在A、C之间，即时，， ∴， ② 当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述： ； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ① 当时，得，解得：； ② 当时，得，解得：； 即的值是或； (4) 小问详解： 解：① 当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：     则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ② 当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：     则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 50．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ；     （2）      【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角等知识． （1）证明，即可得到答案； （2）根据等边对等角求出，由全等三角形性质得到，即可得到的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∵ ∴， 51．【答案】2 【分析】 本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，有理数与数轴．在中，，，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵D，E对应的数分别为，3， ∴， ∴， 故答案为：2． 52．【答案】证明： 平分 点在线段CD的垂直平分线上 点在线段的垂直平分线上 垂直平分 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得出，由等角对等边可得出，即可得出点在线段CD的垂直平分线上，再由即可得出垂直平分． 【详解】 略 53．【答案】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】 略 54．【答案】（1）     （2） 证明：连接， ∵，F是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， （1）由，，可得，再利用三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得证． (1) 小问详解： ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 55．【答案】（1）     （2） ① ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）① 根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；② 点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ (2) 小问详解： ① 略 ② 略 56．【答案】（1），     （2） 解：， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （3） 解：， 理由如下：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴      【分析】 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质． （1）设交于点G，由，得，而，，即可根据“”证明，所以，，则，于是得到问题的答案； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论． (1) 小问详解： 如图1，设交于点G，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：30． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 57．【答案】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴；     （2）      【分析】 （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的内角和可得，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 58．【答案】（1）； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ （3），理由：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴ （4）8或16 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过证明三角形全等实现线段与角的转化，进而推导各结论． （1）通过证明，结合得EN与BC的关系； （2）先证得，再证得； （3）同理证全等得，再证推导BD与MN的关系； （4）分的位置，结合面积与全等关系计算的面积． 【详解】 （1）解：∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． ∵ ， ∴． ∴与的数量关系是，位置关系是． （2）略 （3）略 （4）解：设，分两种情况讨论： 情况一：当在边上时， ，即, , ∴. ∴． 情况二：当在延长线上时， , ∴. ∴． 故答案为：8或16． 59．【答案】（1）， ；     （2）①秒， ② 能，当点在上时， ∵，， ∴ 即      解得：秒    ∴当运动的时间为8秒时，能否把的周长平分     （3）为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形      【分析】 （1）设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，即可求解；              （2）① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ，联立方程即可求解；② 根据题意得，联立方程即可； （3）当点在边上运动时，分类讨论，① 若是以为底边的等腰三角形； ② 若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解. (1) 小问详解： 解：∵设运动的时间为秒，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为1cm/s，点从点开始沿的方向运动，且速度为2cm/s，，两点同时出发， ∴    故答案为：， ； (2) 小问详解： ① 当点在边上运动时，是等腰三角形时，则 ∴ 解得：； ∴出发秒后； ②略 (3) 小问详解： 当点在边上运动时， ① 若是以为底边的等腰三角形    则 ∴ ∴ 解得： ② 若是以为底边的等腰三角形 则 解得： 综上所述：为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和判定，动点问题的存在问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键. 60．【答案】8 【分析】 本题考查平行线的性质，角平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键，过点作，根据角平分线的性质得到，由平行线的性质得，再利用含直角三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】 解：过点作，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故答案为：8． 61．【答案】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）135，（3）27 【分析】 （1）证明，再等量代换解答即可； （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】 （1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 62．【答案】① ③ ⑤ 【分析】 由矩形的性质可得，，，，求出，，，即可判断① ；由① 可得，再结合三角形内角和定理即可判断② ；证明、为等腰直角三角形，得出，，即可判断③ ；作于，于，由角平分线的性质定理可得，结合等腰直角三角形的性质得出，分别表示出和，即可判断④ ；证明，得出，，从而得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可判断⑤ ． 【详解】 解：① ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故① 正确； ② 由① 可得：， ∴， ∵， ∴，故② 错误； ③ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴，即，故③ 正确； ④ 如图，作于，于， ， ∵， ∴， ∵，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴，故④ 错误； ⑤ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理可得，故⑤ 正确； 综上所述，正确的有① ③ ⑤ ； 故答案为：① ③ ⑤ ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 考点05 等边三角形 1．B 2．D 3．C 4．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，三边相等，周长等于边长乘以3． 【详解】 解：等边三角形的边长是， ， 的周长是（）， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解． 【详解】 解：， ． 又， ， ． 答：的度数是120°． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟记相关性质是解题关键． 6．【答案】（1）等边三角形     （2）12      【分析】 （1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论． 本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． (1) 小问详解： 解：是等边三角形，过程如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2) 小问详解： 解：∵的三边长分别为 ∴， 即 ∵c为奇数， ∴， ∴的周长． 7．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠ACB＝60°， 又∵DE＝DC， ∴△CDE为等边三角形； （2）6. 【分析】 （1）求出∠EDC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）由等边三角形的性质求出CD＝2，即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴AC＝AB＝4，AD＝CD＝AC＝AB＝2， 又∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝CE＝CD＝2， ∴△CDE的周长＝2＋2＋2＝6． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明是等边三角形即可求解，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）先根据直角三角形的性质求出，根据C为的中点，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵C为的中点， ∴． 10．【答案】�度 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及外角的性质，由条件利用得到和之间的关系是解题的关键． 由等边三角形和直角三角形可得，，且，可求得． 【详解】 解：如图，由等边三角形和直角三角形可得，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2） ，，． ， ， 是等边三角形．      【分析】 （1）因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为． （2），，，三个角是的三角形是等边三角形． (1) 小问详解： 解：，， ， 即． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．【答案】 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．【答案】①②③ ④ 【分析】 本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，根据题意先判定是的角平分线；进而证明，得出② ④ 正确，根据三角形的外角的性质得出可得是等边三角形进而判断③． 【详解】 解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； 由①可知，， ， ，故④正确， ， ，故②正确； ， ，， ，故③正确； 故答案为：①②③ ④． 14．【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 在和中， ．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的数量关系推导全等三角形的对应角相等，结合边长与角度条件判定等边三角形． （1）由推出，结合得，再利用，通过证明； （2）由及判定为等边三角形，结合全等结论得，进而判定为等边三角形，得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ． ， ． 为等边三角形． ． ， ． 15．【答案】∵DC＝DB， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°， 又∵AD＝DC， ∴△ADC是等边三角形 【分析】 由等腰三角形的性质得到∠DCB=∠B=30°，求得∠ADC=60°，即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练性质定理是解题关键． 16．【答案】① ② ③ 【分析】 先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD． 【详解】 解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴BD=BE，∠DBE=60°， ∴△BDE是等边三角形，所以① 正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°， ∴∠BAE=∠ABC， ∴AE∥BC，所以② 正确； ∴∠BDE=60°， ∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°， ∴∠ADE≠∠BDC，所以④ 错误； ∵△BDE是等边三角形， ∴DE=BD=4， 而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE， ∴AE=CD， ∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以③ 正确． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 17．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定，由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断④；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】 解：∵，点是线段的中点， ∴，故①正确； ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故② 正确； 若，则， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 若平分，根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：① ② ④． 18．【答案】【迁移运用】：证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴； 【类比探究】：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 基本图形：只需要证明得到，即可证明； 迁移运用：证明得到，即可推出； 类比探究：证明，得到，再由，即可得到． 【详解】 基本图形：证明：∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 迁移运用：略 类比探究：略 19．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形；     （2）3      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的边是斜边的一半和等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是熟练运用三线合一； （1）根据等腰三角形中有一个的角即为等边三角形即可； （2）先根据等边三角形的性质得到角度，进而判断出等腰三角形，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半进而即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ 又， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．【答案】（1）① 证明：在等边三角形内部取一点，在的右侧作等边三角形， ，，， ∴，即． 在和中， ， ∴． ②； （2）①； ②． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）① 由等边三角形的性质可得，，，再利用 “”证明即可；② 由全等三角形的性质可得，由此即可得解； （2）① 由角平分线的定义可得，再证明得出，由等边三角形的性质可得，再由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解；② 在线段上截取，证明为等边三角形，得出，，再由等边三角形的性质可得，，从而得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】 （1）① 略 ② 解：由① 可得， ∴， ∵， ∴； （2）解：①的平分线与交于点， ． 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形，， ， ， ， 是和的外角， ， ． ②，理由如下： 如图，在线段上截取， ， 由① 可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．【答案】（1） 解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴．     （2）不变，     （3）当第秒或第秒时，为直角三角形      【分析】 （）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． (3) 小问详解： 由题意知， ① 当时， ∵， ∴，得，解得； ② 当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】 本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 22．【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ，， ， ，， ， ， 即；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相加后即可得到正确的结论； （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ． 23．【答案】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】 此题考查了等边三角形的判定，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质推出，则，结合，即可判定是等边三角形． 【详解】 略 24．【答案】 【分析】 根据等边三角形的性质可得到，又由于，则，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的三个内角都为的性质，以及三角形的内角和为是解题的关键． 25．【答案】证明：， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】 本题考查平行线的性质以及等边三角形的判定． 解题的关键在于利用平行线的性质得到角之间的关系，再结合已知条件证明三角形的三个角都相等． 【详解】 略 26．【答案】（1） ；     （2） 解：， 证明:同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴．  ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （3） 解：成立． 证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，  即．  在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴．     （4） 证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图．  由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． (1) 小问详解： 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴．  在和中， ， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $