精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题　

前郭三中2025-2026学年度第一学期 八年级期中学识大练兵数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 3. 如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个． A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可． 详解】解：如图， AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解． 4. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到点、点的距离相等可得点在线段的垂直平分线上，由此即可得到答案． 【详解】解：点到点、点的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，线段垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及尺规作图． 5. 如图，内有一点， 点关于的轴对称点是，点关于的轴对称点为,分别交，于点、,若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH，然后求出∠GOH=2∠MON，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接OP， ∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H， ∴∠GOM=∠MOP，∠PON=∠NOH， ∴∠GOH=∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH=2∠MON， ∵∠MON=35°， ∴∠GOH=2×35°=70°． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等，关于某直线对称的两个图形是全等图形． 6. 如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( ) A. 50 B. 44 C. 38 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM， ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可直接根据题意进行求解． 【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性； 故答案为：稳定性． 8. 若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，则第三边的取值范围是________ 【答案】## 【解析】 【分析】由可得，，再利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的理解，利用非负数的性质求解是解本题的关键． 9. 如图是西宁市某公园一段索道的示意图，已知、两点间的距离为30米，，则缆车从点到点过程中，上升的高度（的长）为_________米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题含的直角三角形，根据含的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，米， 米， 故答案为：15． 10. 如图，是的边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，连接，若的周长为10，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，再根据已知可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 11. 如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 如图，，，交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行的性质及等腰三角形的判定，利用平行线的性质可证，进而可证得，再根据等腰三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 13. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 14. 如图，在中，，，是边上高，平分． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）．理由见解析 【解析】 【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由点为的中点，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，即可根据“同位角相等，两直线平行”证明． 【小问1详解】 证明：点为的中点， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， 理由：， ， ． 16. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标（点、、对应点分别是点、、）； （2）在轴上找一点，使得的距离最短，在图中作出点的位置（保留作图痕迹）． （3）的面积为___________． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，最短路径问题，三角形面积公式，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得，再根据点的位置写出坐标即可； （2）作出点A关于x轴的对称点，再连接交x轴于点，则点即为所求； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 由图可得，； 【小问2详解】 解：如图所示，点P即为所求： 【小问3详解】 解：的面积， 故答案为：． 17. 如图，点在同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、线段的和与差，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形判定定理证明即可； （2）设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 设， ∵， ∴， 解得 ∴的长为． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，在中，平分，平分 ，于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出． 【小问1详解】 解：平分， ， 平分，， ， 在中，； 【小问2详解】 过点作于点， 平分，， ， ， ， ， 的面积． 19. 如图，为等边内一点，连接、，延长到点，使；延长到点，使，连接、． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，则 度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）60 【解析】 【分析】（1）利用“”证明得出，即可得证； （2）由等边三角形的性质得出，，求出，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． （3）延长交于点，得到，再利用三角形内角和定理即可得到． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长交于点，如图： ∵且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 如图，在中，，点在边BC上（点D不与点B，点C重合），作，DE交边AC于点E． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）当，且是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）115°或100° 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（SAS）； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D与点B重合，不合题意． 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当的度数为115°或100°时，是等腰三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 21. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 如图，是等边三角形，，动点P沿折线﹣以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时，动点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，设点P的运动时间为t（s）（）． （1）用含t的式子表示的长； （2）当是等边三角形时，求t值； （3）当线段在的某条边上时，求t的取值范围； （4）在（3）的条件下，当以点P、Q、A、C中的任意三个点为顶点构成的三角形是以为底的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2）s； （3）当，且时，线段在的某条边上； （4）当或时，满足以点P、Q、A、C中的任意三个点为顶点构成的三角形是以为底的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）分别求出点P在上运动和点P在上运动的表达式即可； （2）时，是等边三角形，列出关于t的方程求解即可； （3）当点Q运动到点A时，当点P到点B时，结合图形求解即可； （4）分两种情况分析：当P、Q都在上时，当P、Q都在上时，分别利用等腰三角形的定义得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）根据题意可得， ①当时，点P在上运动，； ②当时，点P在上运动，； 【小问2详解】 当是等边三角形时， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴当s时，是等边三角形； 【小问3详解】 当点Q运动到点A时， ，解得； 当点P到点B时， ，此时点Q与点B重合， ∴当，且时，线段在的某条边上； 【小问4详解】 根据题意有， 如图①，当P、Q都在上时， 满足时，是等腰三角形， ， ，解得：； 如图②，当P、Q都在上时， 满足时，是等腰三角形， ， ，解得：； ∴当或时，满足以点P、Q、A、C中的任意三个点为顶点构成的三角形是以为底的等腰三角形． 【点睛】题目主要考查列代数式及一元一次方程的应用，等腰三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭三中2025-2026学年度第一学期 八年级期中学识大练兵数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个手机 图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个． A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 4. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，内有一点， 点关于轴对称点是，点关于的轴对称点为,分别交，于点、,若， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( ) A 50 B. 44 C. 38 D. 32 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 8. 若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，则第三边的取值范围是________ 9. 如图是西宁市某公园一段索道的示意图，已知、两点间的距离为30米，，则缆车从点到点过程中，上升的高度（的长）为_________米． 10. 如图，是的边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，连接，若的周长为10，则的长为 _____． 11. 如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为______． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 如图，，，交于点．求证：是等腰三角形． 13. 如图，，，，求证：． 14. 如图，在中，，，是边上的高，平分． （1）求的度数； （2）求的度数． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 如图，的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 16. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）在图中作出关于轴对称的，并写出点的坐标（点、、对应点分别是点、、）； （2）在轴上找一点，使得的距离最短，在图中作出点的位置（保留作图痕迹）． （3）的面积为___________． 17. 如图，点同一条直线上，，，， （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. 如图，在中，平分，平分 ，于点． （1）若，，求的度数； （2）若，，求的面积． 19. 如图，等边内一点，连接、，延长到点，使；延长到点，使，连接、． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，则 度． 六、解答题（每小题10分，共20分） 20. 如图，中，，点在边BC上（点D不与点B，点C重合），作，DE交边AC于点E． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）当，且是等腰三角形时，直接写出的度数． 21. 综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 七、解答题（每小题12分，共12分） 22. 如图，是等边三角形，，动点P沿折线﹣以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时，动点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，设点P的运动时间为t（s）（）． （1）用含t的式子表示的长； （2）当是等边三角形时，求t的值； （3）当线段在的某条边上时，求t的取值范围； （4）在（3）的条件下，当以点P、Q、A、C中的任意三个点为顶点构成的三角形是以为底的等腰三角形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $