专题04 圆（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

**基本信息** 浙江多校九上期中圆专题汇编，覆盖4大高频考点，基础题与综合题结合，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|20+/约60分|点与圆位置关系（如半径6距离5判位置）、圆周角定理（如圆内接四边形对角关系）|立足基础，多校真题汇编| |填空|10+/约30分|垂径定理（如折叠求弦长）、圆心角与弧关系（如弦垂直半径求圆心角）|情境真实（石拱桥、桨轮船）| |解答|20+/约60分|综合证明与计算（如结合几何作图、动态问题求最值）|梯度分明，契合浙江中考命题趋势|

专题04 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点01 圆的有关概念 1．A 2．C 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 11．D 12．C 13．A 14．C 15．B 16．【答案】40 【分析】 本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 17．【答案】2或4 【分析】 本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】 解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得： 两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得： ，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 18．【答案】28 【分析】 本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 考点02 垂直于弦的直径 1．A 2．B 3．D 4．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理及其推论逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：过弦的中点的直径不一定平分弦所对的两条弧；当弦为直径时，过其中点的直径若不垂直于该弦，则不能平分弧，故原说法错误； 弦的垂直平分线必过圆心，且作为直径垂直于弦，根据垂径定理，它平分弦所对的两条弧，故说法正确； 平分弦所对的两条弧的直径必垂直于弦且平分弦，根据垂径定理的推论，故说法正确； 故答案为：． 5．【答案】x度 【分析】 本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质， 根据题意和线段垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，进而得，则此题可解. 【详解】 解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴OB=OA=OC=BC,\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{BC}， ∴是等边三角形， ∴. ∴. 故答案为：. 6．【答案】13 【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 7．【答案】（1） 如图，点即为所求．      （2） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，从而． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．【答案】�度 【分析】 本题考查的是垂径定理，三角形的内心及三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些内容． 先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，进一步求出的度数． 【详解】 解：如图， ∵在中，，截的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，则O是的三条角平分线的交点，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，       ∵， ∴ 设的半径是， ， ， ， 的半径是． 【点睛】 本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．【答案】该桨轮船的轮子半径为 【分析】 本题考查勾股定理，垂径定理等。根据题意过点作于点，交于点，然后设，再利用勾股定理列式计算即可求出本题答案。 【详解】 解：过点作于点，交于点， ， ∴， 设， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴该桨轮船的轮子半径为． 11．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，不妨设，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 解：连接，不妨设，如图所示： 弦于点，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】（1）10米     （2）米      【分析】 此题考查了垂径定理、勾股定理和矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）作出圆心O，连接，设的半径为r，则米，，米，在中运用勾股定理即可求解； （2）连接，过点F作于点H，证明四边形为矩形，进而可得，在中运用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，的半径为r，连接， ∵为16米，为4米，， ∴米，，米， ∴在中， 解得米． (2) 小问详解： 解：连接，过点F作于点H． ∵，， ∴四边形为矩形， ∵E是的中点， ∴米， ∴在中，， ∴米． 13．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用； 如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 14．【答案】（1）     （2） ① 证明：∵与关于直线对称 ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ∴ ∵， ∴． ②的半径为．      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的内接四边形，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，由折叠，得，证明，则是等边三角形，即可解答； （2）① 先证明，推导出，即可解答．② 连接，，，推导出，弧=弧，得到，推导出，得到为等边三角形，继而得到，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线所在直线，得到，由，得到，解得，或（舍去），求出，，则，即可解答． (1) 小问详解： 解：连接，如图， 由折叠，得， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． (2) 小问详解： ① 略 ② 连接，，，如图， 由(1)，可得，弧=弧， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图 ∴，即，． ∵圆心O在的垂直平分线上， ， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线所在直线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 答：的半径为． 考点03 圆心角 1．D 2．D 3．B 4．B 5．【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证明即可． 【详解】 略． 6．【答案】（1） 解：如图，点O即为所求作的圆心．      （2） 解：如图，点D即为所求作的点． 【分析】 本题考查了三角形外接圆的圆心（外心）作法、角平分线的直尺作图及圆的基本性质，解题的关键是掌握“外心是三角形三边垂直平分线的交点”和角平分线的定义，利用格点特征完成直尺作图． （1）根据外心性质，作任意两边的垂直平分线，两线交点即为圆心O； （2）依据“等弧所对的圆周角相等”、“等弦对等弧”、“线段垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等”，作的垂直平分线，与（优弧）交于点D，点D即为所求． (1) 小问详解： 作法：找适当的格点，并连接成两条直线，使这两条直线分别是的垂直平分线，两直线相交于点O． (2) 小问详解： 作法：找适当的格点M与N，使直线垂直平分，作直线与优弧相交于点D，则平分． 考点04 圆周角 1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B 10．C 11．B 12．A 13．A 14．B 15．A 16．D 17．B 18．C 19．B 20．B 21．【答案】 【分析】 此题考查了圆内接四边形．利用圆内接四边形的对角和为求解即可． 【详解】 解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了圆内接四边形，根据圆内接四边形，对角互补，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， 则 故答案为： 23．【答案】2 【分析】 本题考查了同弧所对的圆周角相等和含30度角的直角三角形的性质．能够根据同弧所对的圆周角相等转化为含30度角的直角三角形问题是解题的关键．作直径，连接，得，，则．即圆的半径是2． 【详解】 作直径，连接，得：，， ∴， 即圆的半径是． 故答案为：2． 24．【答案】}度 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得到，再利用圆内接四边形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 25．【答案】45或135 �或45 【分析】 首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦AB把圆周分成两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案． 【详解】 解：弦把分成两部分， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 弦AB所对的圆周角的度数为或， 故答案为：45或135． 【点睛】 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 26．【答案】（1） 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴．     （2）．      【分析】 （1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 27．【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点；     （2）2      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，据此可证明结论； （2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．【答案】（1） 证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 的度数为， ， 且， ． 29．【答案】 【分析】 连接，由垂径定理得出，利用圆周角定理即可得出点在以为直径的圆上，则，可得，当、、三点共线时，有最小值，由勾股定理，可得，即可得线段的最小值． 【详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查坐标与图形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短． 30．【答案】（1） 证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，① 圆心角相等，② 所对的弧相等，③ 所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）；（2）13 【分析】 （1）连接，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案； （2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径． 【详解】 （1）连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）∵ ∴ 设，则 在中， ∴ ∴的半径长为13． 【点睛】 本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解． 32．【答案】（1） 证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查圆内接四边形的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等， （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义求出，再根据同弧所对的圆周角相等进行解答即可； 理解和掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由（1）知：， ∵平分， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧都是， ∴， 即的度数为． 33．【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是半圆的直径， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，，由是半圆的直径，可得，从而可得，再由，可得，进一步可得，再由是的中点，得出，从而得出，最后由等腰三角形的判定可得结论； （2）连接．首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接． ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 设， 在中，则有， 解得， 圆的半径长为． 34．【答案】2 【分析】 本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】 解：连接，交于点F，如图所示： ∵点D是弧的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：2． 35．【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查圆周角的性质、等腰三角形的判定、垂径定理的推论及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质、等腰三角形的判定、垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，与交于点G，由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，与交于点G，如图所示： ∵是的直径，的半径为10， ∴，， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．【答案】 【分析】 此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键；过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，根据垂径定理得：，的度数的度数，然后可得点在同一条直线上，同理：的度数的度数，点在同一条直线上，进而根据圆周角定理可进行求解． 【详解】 解：过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： 根据垂径定理得：，的度数的度数， 是线段的垂直平分线， ， 根据等腰三角形性质得：， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上， 同理：的度数的度数，点在同一条直线上， 的度数为的度数的度数）， 根据圆周角定理得：的度数． 故答案为：． 37．【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证； （2）先证明是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴， ∴ 38．【答案】（1）     （2）的半径为2      【分析】 本题主要考查圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角的定理是解题的关键； （1）在上取点D关于的对称点E，连接，由折叠的性质可知：，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）连接，由（1）及折叠的性质可知：，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：在上取点D关于的对称点E，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，如图所示： 由（1）及折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的半径为2． 39．【答案】(1) 证明：如图，延长交于E， ，，， ，， ，； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）如图，延长交于E，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为r，根据勾股定理列方程得到，从而得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设的半径为r， ，， ， 在中，，解得： ． 40．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 （）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可； （2）连接，过作于，根据弧、圆心角的关系可求出，根据勾股定理求出，结合垂径定理求解即可． 【详解】 解：（1）连接， 由条件可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，过作于， 由条件可知\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{BC}， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 42．【答案】（1）如图，      （2）如图， 【分析】 本题考查了无刻度尺作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）根据平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧作图即可； （2）根据平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧作图即可； (1) 小问详解： 解：连接，延长交于E，连接， C是中点， ， ， 是等腰三角形， 即为所求． (2) 小问详解： 解：连接，延长交于F，连接， C是中点， ， ， 是的平分线， 即为所求． 43．【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．     （2）4.8      【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，由相等的圆周角多对的弧相等得出，进而即可得出； （2）由（1）可知，则，设，则，根据直径所对的圆周角得出，，再利用勾股定理列出关于x的等量方程，求解出x的值，进一步即可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，则， ∴， ∵， 故设，则， ∵是直径， ∴， ∴， 在中，，即 在中，，即， ∴ 解得， 则． 44．【答案】（1） 证明：连接， 则 由菱形可知，又， ∴，则 ∴， ∵， ∴， 由菱形对边平行知，， ∴， ∴     （2）     （3）      【分析】 本题考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理）、菱形的性质（对边平行、四边相等）、全等三角形的判定与性质、、勾股定理、锐角三角函数的应用及一元二次方程的求解，解题的关键是合理添加辅助线，利用图形性质建立边或角的等量关系，结合几何定理与代数运算求解． （1）连接，借助菱形对边平行的性质及直径所对圆周角为直角，转化角的等量关系，通过“”“”“”逐步推导，证明； （2）连接，利用垂径定理及勾股定理，在和中用r表示，建立关于半径r的方程，求解并舍去负根； （3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设未知数表示相关线段，利用余弦函数的等量关系建立方程，求解得出比例值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，则， 在与中，， ∴， 解得：（另一解为负值，舍去）， (3) 小问详解： 解： 分别连接、， ∵， ∴ ∴是的直径，， ∵， ∴， 又， ∴，则， 又 ∴， ∴， 设， 则， 在与中，，则， 即，，解得（另一根为负值，舍去）， ． 45．【答案】（1） 证明：在中，是直径，是弦，， ∴， ∴；     （2）5      【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，得， 解得， 的半径为5． 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，根据矩形内接于，，得到是的直径，根据勾股定理求出，即可求解； （2）连接，过点作于点，得到，推出，得到，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 矩形内接于，， 是的直径， ，， ， 的半径为； (2) 小问详解： 解：连接，过点作于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 的长为． 47．【答案】（1） 解：如图所示即为所求，      （2） 解：如图所示，点P即为所求， 【分析】 本题考查了垂径定理，圆心角，网格问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据圆周角所对的弦是直径可得为直径，利用格点，画出的垂直平分线，其与的交点即为圆心O， （2）由（1）可知，得为直径，利用网格取点，根据正方形性质可得，根据勾股定理得出，可得点在上，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 48．【答案】（1） 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ① 如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②      【分析】 （1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答； （2）① 连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立； ② 作于点M，作于点N，根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 49．【答案】（1） 证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点；     （2）      【分析】 此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 50．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）连接并延长，交于点H，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接并延长，交于点H，交于点F，连接，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用勾股定理求得a值；利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）连接并延长交于点G，设，则，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理和勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，再利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（1）连接并延长，交于点H，如图， ， ， ， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 连接并延长，交于点H，交于点F，连接，如图， 由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ； (3) 小问详解： 连接并延长交于点G，如图， ， 设，则，， ， ， ， 弦经过圆心O， 为的直径， ， ， ， ， ， 的直径为10， ，，， ，， ， ， 或 经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去， ， ， ， ， ， 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 51．【答案】（1） 证明：，过圆心， ，且， ， ；     （2） 证明：连接， 设，则， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）由垂径定理可得，由垂直平分线的性质可得； （2）连接，设，则，由圆周角定理得出，可证出； （3）过点作于点，在上截取，连接，证出，由勾股定理求出和的长，根据三角形的面积可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作于点，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． 52．【答案】（1）； （2）解：； 理由如下： 以点为圆心，为半径作辅助圆， ∵， ∴点必在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）或 【分析】 本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理等知识，构造辅助圆是解题的关键； （1）由圆周角定理即可求解； （2）由圆周角定理得，再由等腰三角形的性质及三角形内角和得，由此即可得与的数量关系； （3）作的外接圆，连接，过点作于H，轴交于点M，则，当点A与点M重合时，即与y轴相切时，的半径最小，此时最大，易得是矩形，，，由勾股定理得，从而求得点A的坐标． 【详解】 解：（1）以点为圆心，为半径作辅助圆， ∵， ∴点必在上， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：作的外接圆，过点作于H，轴交于点M，则， 当点A与点M重合时，即与y轴相切时，的半径最小，此时最大， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 当点A在y轴正半轴上时，；当点A在y轴负半轴上时，； 综上，点A的坐标为或． 53．【答案】（1） 证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ；     （2）     （3）      【分析】 （1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于，于，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； (3) 小问详解： 解：过点作于，于，如图所示： 则， ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点， ∴， ， 是的平分线， 又， ， ∴矩形是正方形， 设， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】 此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，圆内接四边形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 54．【答案】（1） 是等腰直角三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于D， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形；     （2）；     （3）．      【分析】 此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据圆周角定理可得，再由角平分线定义和圆周角定理得，即可得出结论； （2）过B作于F，先由等腰直角三角形的性质求出、的长，再由勾股定理求出的长，即可得出答案； （3）通过构造全等三角形（）将转化为线段，进而将原式简化为，通过圆的性质可知，当为直径时取得最大值，代入计算即得结果． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：过A作于F，如图所示： 则， ∵， ∴（）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（）， 由（1）得：是等腰直角三角形， ∴（）， ∴（）， ∴（）． (3) 小问详解： 解：过D作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，， ∵四边形为内接四边形， ∴ ∴ ∴E、A、C三点共线， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 要使最大，即最大即可， 当过O时有最大值，此时为直径， ∵的半径为5， ∴， 最大值为． 故答案为：． 55．【答案】（1） 证明：如图所示， 直径弦， ，， ∵， ∴， ， ， ；     （2） ① 证明：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ． ； ②      【分析】 （1）首先得到，，，等量代换得到，推出，即可证明； （2）①如图所示，连接，首先求出，得到，然后证明出，得到，即可得到； ②由① 得，，得到，然后等量代换得到，求出，，，勾股定理求出证明出，得到，进而得到，然后得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ②如图所示， 由① 得，， ， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴在中， ， ∴， ， ∴ ∴． 【点睛】 此题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 56．【答案】 【分析】 本题考查平行四边形性质，中位线判定定理，平行线性质，全等三角形性质及判定，勾股定理，圆周角定理等．根据题意可知四边形为平行四边形，将与交点命名为，即，继而求出，，圆周角定理可知， 继而利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】 解：将与交点命名为， ∵， 过点作， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是中点，， ∴为中点， ∴，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 57．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，因式分解法解一元二次方程． 根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可． 【详解】 解：∵，是高线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴是圆的直径， ∵圆的面积为， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 58．【答案】（1） 证明：沿直线折叠，点D的对应点落在点E处． ∴，． ∵内接于， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．     （2）①；②      【分析】 （1）根据折叠，可证，．然后结合同弧所对的圆周角相等，可证，从而得到，得证； （2）① 连结，，，过点作于点．先证明，然后证明是等边三角形，是等腰直角三角形，设，然后利用勾股定理分别表示出，即可得出答案；② 过点D作于点F．先表示出，接着利用四边形的面积算得答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①如图1，连结，，，过点作于点． ，D是的中点， ，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ∴，                             由（1）得， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴． ②如图2，过点D作于点F． ， ， ， 四边形的面积 ． 【点睛】 本题考查了圆周角定理及其推论，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 59．【答案】（1）     （2）的长为，的长为．     （3） 解：，理由如下； 如图2，连接，作于E， 同理（2），， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， 同理（2），， 由勾股定理得，， ∵， ∴．      【分析】 （1）由是直径可得，进而求得，由可得即可解答； （2）如图1，连接，作于E，则，由，可得、，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，由可得，由勾股定理得，可求，由勾股定理得，，根据求解即可； （3）如图2，连接，作于E，同理（2），，则，，设，则，由勾股定理得，，，同理（2），，由勾股定理得，，由，可得． (1) 小问详解： 解： ∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． (2) 小问详解： 解：如图1，连接，作于E， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，解得：， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，解得：， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为，的长为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要了直径所对的圆周角为直角、弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、勾股定理，等腰三角形的判定与性质、平分线等知识点熟练掌握直径所对的圆周角为直角、弧所对的圆周角相等是解题的关键． 60．【答案】 【分析】 构造的外接圆，记为，连接， 是等腰直角三角形，则，，则，由平行线的性质以及圆周角定理得到，则，然后可得四边形为正方形，由于，则，故当共线时，取得最小值，即为． 【详解】 解：构造的外接圆，记为，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴当共线时，取得最小值，即为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，正方形的判定与性质等知识点，解题的关键是确定动点的轨迹． 61．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，，根据圆周角定理得出，由三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据证明，得出，则点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上，故当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为，即可求解． 【详解】 解：以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上， ∴当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 4大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（       ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知的直径为，点与在同一平面内，且点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（       ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知的半径为，点与圆心的距离为，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 点在外或在上 4．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（       ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 5．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．（25-26学年九上·浙江金华·期中）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（     ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 7．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）若的半径为，点不在内，则的长（     ） A. 大于 B. 不小于 C. 大于 D. 不小于 8．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）若的半径为3，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（     ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 9．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 11．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）下列说法中，错误的是（    ） A. 经过点P的圆有无数个 B. 以点P为圆心的圆有无数个 C. 半径为且经过点P的圆有无数个 D. 以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 12．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）下列命题中正确的是（       ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 13．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（       ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 14．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（       ） A. 点在外 B. 点在外 C. 点在上 D. 点在内 15．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）在平面直角坐标系中，若的半径是，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与的位置关系是（        ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 16．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为　　　　　　度． 17．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　. 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①长度相等的两条弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④弦的垂直平分线必经过圆心． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，四边形内接于中，直径交于点，，若半径为5，，则的长度是（     ） A. 8 B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）下列说法中正确的是　　　　　　．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心；平分弦所对的两条弧的直径平分弦． 5．（25-26学年九上·浙江台州·期中）在中，弦垂直平分其中一条半径，弦所对的圆心角为　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点．经过两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图中，画出劣弧的中点 （2）在图2的上找一点，使（点与点不重合）． 8．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．    （1）求证：． （2）若，，求的半径． 10．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图是唐代李皋发明的“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度（到水面距离）为，求该桨轮船的轮子半径． 11．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，是的直径，弦于点，若，，则的半径为　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架． （1）圆弧桥拱所在圆的半径． （2）若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长． 13．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为． （1）如图1，连结，求的度数． （2）如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结． ①求证：； ②若，，求的半径． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，在中，，若，，则的半径是（       ） A. 3 B.  C.  D. 4 4．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：． 6．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用直尺完成以下作图． （1）画出圆的圆心． （2）在圆上找一点，使平分． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，在中，，为半径，为上一点．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，点在上，若，则（       ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 3．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（       ） A. “7时”处 B. “8时”处 C. “9时”处 D. “10时”处 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，点在⊙O上，，弧的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，点，，是上的三个点，已知，那么的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则   （          ） A. 160° B. 100° C. 80° D. 20° 12．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，是的弦，，是上的一个动点，且．若点，分别是的中点，则的最大值是（       ） A. 5 B. 10 C.  D. 20 13．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的个数是（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）下列说法正确的是（） A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 平分弦的直径平分弦所对的弧 D. 的圆周角所对的弦是直径 17．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，为的直径，为的中点，弦，与相交于点．若，则的度数是（       ） A. 55° B. 50° C. 45° D. 40° 18．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·浙江台州·期中）如图，，是的弦，，是的半径，D为上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接．若，则的度数可能为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，四边形内接于，若，则　　　　　　　　　　　°． 23．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，是的外接圆，，，则的半径为　　　． 24．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则　　　　　　　　 25．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）弦AB把圆分成1：3两部分，则弦AB所对圆周角等于　　　　　　度． 26．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 27．（25-26学年九上·浙江台州·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求． 28．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，则的度数为________． 29．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为　　　　　　  ． 30．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，中，弦，相交于点，．求证： （1）； （2）． 31．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 32．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，四边形内接于一圆，延长到点． （1）求证：； （2）连接、，若，平分，求的度数． 33．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，为的直径，为弦，点D为的中点，过点D作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径长． 34．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为　　　　　　． 35．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． （1）求证：． （2）若，的半径为10，求的长． 36．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为　　　　　　． 37．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 38．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的半径. 39．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的长． 40．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 41．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知是的直径，，点E是上一点，且，弦过点E． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点C是半圆中点时，求的长． 42．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，是的弦，C是中点，点D在圆上，请按要求作图：①仅用无刻度直尺（不能用直尺的直角）；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图1中画出等腰三角形，使点E在圆上． （2）在图2中连结，，并画出的平分线． 43．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 44．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． （1）连结，求证：． （2）若，求半径的长． （3）若，求的值． 45．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，是直径，是弦，于点，连接，． （1）证明：； （2）当，时，求的半径． 46．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，矩形内接于，是上一动点，连接，若，． （1）求的半径． （2）若，求的长． 47．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，在方格中，，，均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角功能；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母． （1）找出过，，三点的圆的圆心，连接，． （2）在上找到点，使得． 48．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． （1）求证：； （2）如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 49．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若＝，＝，求的长． 50．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧上的一点，连接，过点A作于点 （1）如图1，若点D在上，，求的度数（用含的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，若，求． （3）若弦经过圆心O，连接，且，求的长． 51．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E在上，连接AE，CE，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点A作交CE的延长线于点F，若，，求AF的长． 52．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）小明同学在学习完《圆的基本性质》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习心得】（1）如图1，在中，，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，可得___________． 【问题解决】（2）如图2，在四边形中，，若平分，请写出与的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】（3）在平面直角坐标系中，为轴上一点，若点，当最大时，求点的坐标． 53．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． （1）证明：； （2）若，求的度数； （3）设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 54．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，为直径，点为上方上一点（不与、重合），平分交于点. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，求的最大值. 55．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在中，直径弦于点． （1）如图1，过点作弦，求证：． （2）如图2，过点作的平行线，交圆于点，分别与，相交于点，．连接，． ①若，求证：． ②若，．求的面积． 56．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在半圆中，直径，点，在圆弧上，，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．若点在上，则的长为　　　　　． 57．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是　　　　　　． 58．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，内接于，是的上一点，连结，，，将沿直线折叠，点的对应点在的延长线上． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，是的的中点，的半径是． ①求的长（用含的代数式表示）； ②计算四边形的面积（用含的代数式表示）． 59．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）以为直径作三角形的外接圆，的角平分线交圆O于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若，求与的长． （3）猜想与的数量关系，并说明理由． 60．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，是等腰直角三角形，，过点作射线，为射线上一点，作的外接圆交于点，连接，则的最小值为　　　　　　. 61．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆 4大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（       ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系，理解题意是解决本题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可判断点P与圆的位置关系． 【详解】 解：∵点P到圆心O的距离为5，的半径为6，且， ∴点P在圆内． 故选：A． 2．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）已知的直径为，点与在同一平面内，且点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（       ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，则在圆外；等于半径，在圆上；小于半径，在圆内；通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】 解：∵ 的直径为， ∴ 半径． ∵ 点P到圆心O的距离， 且， ∴ 点P在的外部． 故选：C． 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）已知的半径为，点与圆心的距离为，则点与的位置关系是（　　） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 点在外或在上 【答案】C 【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆心的距离和半径的大小比较是解题的关键．根据点与圆位置关系的判定方法来解题． 【详解】 解：∵点与圆心的距离为，的半径为， ∴， ∴点在外． 故选：C． 4．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（       ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 根据点与圆的位置关系即可得． 【详解】 ∵， ∴这点在圆外， 故选：A． 【点睛】 本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 5．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 本题主要考查了点与圆的位置关系， 点A在圆外，因此点A到圆心的距离大于圆的半径，据此确定半径的取值范围即可得到答案． 【详解】 ∵点A在圆O外， ∴的长大于圆O的半径， ∵， ∴圆O的半径小于4， ∴圆O的半径可能是3， 故选：A． 6．（25-26学年九上·浙江金华·期中）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（     ） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住，若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 比较与的大小即可得出结论． 【详解】 解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5， 点在圆内． 故答案为：C． 7．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）若的半径为，点不在内，则的长（     ） A. 大于 B. 不小于 C. 大于 D. 不小于 【答案】B 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要牢记若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】 解：∵的半径为，点不在内， ∴的长不小于， 故选：B． 8．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）若的半径为3，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（     ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，当时，点在圆外，当时，点在圆上；当时，点在圆内，根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】 解：∵的半径，点到圆心的距离， ， 点在外， 故选：C． 9．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D.        “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 10．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】 解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 11．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）下列说法中，错误的是（    ） A. 经过点P的圆有无数个 B. 以点P为圆心的圆有无数个 C. 半径为且经过点P的圆有无数个 D. 以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】 本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】 解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 12．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）下列命题中正确的是（       ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】 本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】 解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 13．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（       ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：① 点在圆外；② 点在圆上；③ 点在圆内． 根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】 解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为， ， ， 点P在圆内， 故选：A． 14．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（       ） A. 点在外 B. 点在外 C. 点在上 D. 点在内 【答案】C 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，等边三角形性质，勾股定理等．根据题意可知，继而利用题意即可对选项进行判断． 【详解】 解：∵边长为4的等边三角形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴以点为圆心，3为半径作，点在外，点在外，点在内， ∵， ∴点在外， j则，选项点在上判断错误， 故选：C． 15．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）在平面直角坐标系中，若的半径是，圆心的坐标是，点的坐标是，则点与的位置关系是（        ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系及勾股定理，设圆的半径为，点与圆心的距离为，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内；熟练掌握点与的位置关系是解题关键．根据点与点的坐标，利用勾股定理求出，根据的半径为即可判断点在上． 【详解】 解：∵圆心的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵的半径为， ∴点在上． 故选：B． 16．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为　　　　　　度． 【答案】40 【分析】 本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 17．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是　　　　　　． 【答案】2或4 【分析】 本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】 解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得： 两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得： ，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 18．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】28 【分析】 本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①长度相等的两条弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④弦的垂直平分线必经过圆心． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据圆的性质判断命题真假：等弧需同圆或等圆；圆心角所对弧相等需同圆或等圆；平分弦的直径需弦非直径；弦的垂直平分线必过圆心． 【详解】 解：① ∵长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，∴不一定是等弧，原命题为假命题； ② ∵相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，∴不一定成立，原命题为假命题； ③ ∵平分弦（非直径）的直径才垂直于弦并平分弧，∴当弦为直径时不一定成立，原命题为假命题； ④ ∵弦的垂直平分线必经过圆心，∴是真命题． 综上，真命题只有1个， 故选：A． 2．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 观察图形延长CO交AB于E点，由OC与AB垂直，根据垂径定理得到E为AB的中点，连接OB，构造直角三角形OBE，然后由PB，OE的长，根据勾股定理求出AE的长，进而得出AB的长． 【详解】 延长CO交AB于E点，连接OB， ∵CE⊥AB， ∴E为AB的中点， 由题意可得CD＝4，OD＝4，OB＝8， DE＝（8×2﹣4）＝×12＝6， OE＝6﹣4＝2， 在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：OE2+BE2＝OB2， 代入可求得BE＝2， ∴AB＝4． 故选：B． 【点睛】 此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长CO并连接OB作出辅助线是本题的突破点． 3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，四边形内接于中，直径交于点，，若半径为5，，则的长度是（     ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点作于点，连接，则，设，则由勾股定理得，解得，再由勾股定理求解，然后证明，最后由垂径定理得到． 【详解】 解：过点作于点，连接，则， 设， 则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，运用垂径定理和勾股定理求解． 4．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）下列说法中正确的是　　　　　　．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心；平分弦所对的两条弧的直径平分弦． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理及其推论逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：过弦的中点的直径不一定平分弦所对的两条弧；当弦为直径时，过其中点的直径若不垂直于该弦，则不能平分弧，故原说法错误； 弦的垂直平分线必过圆心，且作为直径垂直于弦，根据垂径定理，它平分弦所对的两条弧，故说法正确； 平分弦所对的两条弧的直径必垂直于弦且平分弦，根据垂径定理的推论，故说法正确； 故答案为：． 5．（25-26学年九上·浙江台州·期中）在中，弦垂直平分其中一条半径，弦所对的圆心角为　　　　　　　　　　　． 【答案】x度 【分析】 本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质， 根据题意和线段垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，进而得，则此题可解. 【详解】 解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴OB=OA=OC=BC,\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{BC}， ∴是等边三角形， ∴. ∴. 故答案为：. 6．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 7．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图是由小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫作格点．经过两个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图中，画出劣弧的中点 （2）在图2的上找一点，使（点与点不重合）． 【答案】（1） 如图，点即为所求．      （2） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键． （1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求； （2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，从而． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 8．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】�度 【分析】 本题考查的是垂径定理，三角形的内心及三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些内容． 先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，进一步求出的度数． 【详解】 解：如图， ∵在中，，截的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，则O是的三条角平分线的交点，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．    （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ；     （2）      【分析】 （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接，       ∵， ∴ 设的半径是， ， ， ， 的半径是． 【点睛】 本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图是唐代李皋发明的“桨轮船”，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度（到水面距离）为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】该桨轮船的轮子半径为 【分析】 本题考查勾股定理，垂径定理等。根据题意过点作于点，交于点，然后设，再利用勾股定理列式计算即可求出本题答案。 【详解】 解：过点作于点，交于点， ， ∴， 设， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴该桨轮船的轮子半径为． 11．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，是的直径，弦于点，若，，则的半径为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，不妨设，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 解：连接，不妨设，如图所示： 弦于点，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架． （1）圆弧桥拱所在圆的半径． （2）若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长． 【答案】（1）10米     （2）米      【分析】 此题考查了垂径定理、勾股定理和矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）作出圆心O，连接，设的半径为r，则米，，米，在中运用勾股定理即可求解； （2）连接，过点F作于点H，证明四边形为矩形，进而可得，在中运用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，的半径为r，连接， ∵为16米，为4米，， ∴米，，米， ∴在中， 解得米． (2) 小问详解： 解：连接，过点F作于点H． ∵，， ∴四边形为矩形， ∵E是的中点， ∴米， ∴在中，， ∴米． 13．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用； 如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为． （1）如图1，连结，求的度数． （2）如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结． ①求证：； ②若，，求的半径． 【答案】（1）     （2） ① 证明：∵与关于直线对称 ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ∴ ∵， ∴． ②的半径为．      【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的内接四边形，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，由折叠，得，证明，则是等边三角形，即可解答； （2）① 先证明，推导出，即可解答．② 连接，，，推导出，弧=弧，得到，推导出，得到为等边三角形，继而得到，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线所在直线，得到，由，得到，解得，或（舍去），求出，，则，即可解答． (1) 小问详解： 解：连接，如图， 由折叠，得， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． (2) 小问详解： ① 略 ② 连接，，，如图， 由(1)，可得，弧=弧， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图 ∴，即，． ∵圆心O在的垂直平分线上， ， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线所在直线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 答：的半径为． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，是的直径，，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，是的直径．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，在中，，若，，则的半径是（       ） A. 3 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：过圆心作交于点，交于点，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 故的半径是， 故选：B． 4．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】 解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证明即可． 【详解】 略． 6．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用直尺完成以下作图． （1）画出圆的圆心． （2）在圆上找一点，使平分． 【答案】（1） 解：如图，点O即为所求作的圆心．      （2） 解：如图，点D即为所求作的点． 【分析】 本题考查了三角形外接圆的圆心（外心）作法、角平分线的直尺作图及圆的基本性质，解题的关键是掌握“外心是三角形三边垂直平分线的交点”和角平分线的定义，利用格点特征完成直尺作图． （1）根据外心性质，作任意两边的垂直平分线，两线交点即为圆心O； （2）依据“等弧所对的圆周角相等”、“等弦对等弧”、“线段垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等”，作的垂直平分线，与（优弧）交于点D，点D即为所求． (1) 小问详解： 作法：找适当的格点，并连接成两条直线，使这两条直线分别是的垂直平分线，两直线相交于点O． (2) 小问详解： 作法：找适当的格点M与N，使直线垂直平分，作直线与优弧相交于点D，则平分． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，在中，，为半径，为上一点．若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握此定理是解题关键．由圆周角定理即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴； 故选：B． 2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）如图，点在上，若，则（       ） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° 【答案】D 【分析】 利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】 解：，， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 3．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】 解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 4．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】 解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（       ） A. “7时”处 B. “8时”处 C. “9时”处 D. “10时”处 【答案】C 【分析】 本题考查了圆周角定理，掌握直径对直角是解题的关键；根据直径对直角可知，当是直径时，，据此即可得解． 【详解】 解：连接，延长交于C，连接， 是直径， ， 点C应位于表盘的“9时”处， 故选：． 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】 解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 7．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 先根据圆内接四边形对角的和为180度，解得的度数，再根据同圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解题即可． 【详解】 解：四边形是的内接四边形，， ， 故选：C． 8．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，点在⊙O上，，弧的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解弧AB的度数． 【详解】 解：∵∠ACB=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴弧AB的度数为80°， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查圆周角定理，圆心角，弦，弧的关系，求解∠AOB的度数是解题的关键． 9．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，点，，是上的三个点，已知，那么的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可． 【详解】 解：与都对，且， ， 故选：B． 10．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】 解：由圆周角定理得到， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则   （          ） A. 160° B. 100° C. 80° D. 20° 【答案】B 【分析】 根据圆内接四边形的性质和圆周角与圆心角的关系即可求． 【详解】 解：∵ ∴， 又∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴； ∴； 故选B． 【点睛】 本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理．解题关键是掌握圆周角定理及推论． 12．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，是的弦，，是上的一个动点，且．若点，分别是的中点，则的最大值是（       ） A. 5 B. 10 C.  D. 20 【答案】A 【分析】 本题考查直径所对的圆周角是直角，等边对等角，勾股定理及三角形中位线定理，掌握这些知识是关键；由题意得，当最大时，最大，而当为直径时最大，此时得为直角，从而是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，从而求解． 【详解】 解：∵点，分别是的中点， ∴， ∴当最大时，最大， 而圆中为直径时最大，如图， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得， ∴； 故选：A． 13．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．根据矩形的性质，得出，根据，得出点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，得出此时最小，求出线段的最小值为即可． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，点在上，， ∴，， ∵， ∴点P在以为直径的圆上，设此圆的圆心为点Q，连接，交于点P，如图所示： 此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故选：A． 14．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的个数是（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】 根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、三角形的外心进行判断即可得到正确结论． 【详解】 解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故表述不正确； 平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确； 圆内接四边形对角互补，故表述正确； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质、三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 15．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出．由垂径定理推出，得到，由圆内接四边形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，求出，得到，由三角形的外角性质推出． 【详解】 解：∵直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 16．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）下列说法正确的是（） A. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 平分弦的直径平分弦所对的弧 D. 的圆周角所对的弦是直径 【答案】D 【分析】 本题考查圆的基本性质，包括圆周角定理、垂径定理及其推论，以及等弧的概念．需要根据初中数学知识逐一判断选项的正确性． 【详解】 解：A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，因为一条弦对应两个互补的圆周角（除非弦为直径），故该选项错误，不符合题意． B．长度相等的两条弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆中才能称为等弧，故该选项错误，不符合题意． C．平分弦的直径平分弦所对的弧．当弦不是直径时，根据垂径定理，直径平分弦则垂直于弦，并平分弧；当弦是直径时，任意一条直径都平分该弦（直径），但只有与它垂直的直径才能平分它所对的弧（半圆）．但垂径定理通常要求弦非直径，故该选项错误，不符合题意． D．的圆周角所对的弦是直径，这是圆周角定理的推论，正确，符合题意． 故选：D． 17．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，为的直径，为的中点，弦，与相交于点．若，则的度数是（       ） A. 55° B. 50° C. 45° D. 40° 【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，平行线的性质等．根据题意连接，利用圆周角定理可得，利用平行线性质可求出，再利用圆周角定理即可求出本题答案． 【详解】 解：连接， ， ∵为的中点， ∴， ∵对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴所对的圆周角和所对的圆周角之和为， 即， ∴， 故选：B． 18．（25-26学年九上·浙江金华·期中）如图，在以为直径的半圆O中，，D是的中点，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理、弧与圆心角以及圆周角的关系等知识点，正确作出辅助线、灵活利用圆周角定理成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等弧所对的圆心角相等可得，进而求得，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选C． 19．（25-26学年九上·浙江台州·期中）如图，，是的弦，，是的半径，D为上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接．若，则的度数可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接，由圆周角定理可得，证明为等边三角形，得出，由题意可得，结合三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图：连接， ， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵D为上的任意一点（点D不与点O，B重合）， ∴， ∵， ∴， ∴的度数可能为， 故选：B． 20．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】 如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点睛】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 21．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了圆内接四边形．利用圆内接四边形的对角和为求解即可． 【详解】 解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，四边形内接于，若，则　　　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了圆内接四边形，根据圆内接四边形，对角互补，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， 则 故答案为： 23．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，是的外接圆，，，则的半径为　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了同弧所对的圆周角相等和含30度角的直角三角形的性质．能够根据同弧所对的圆周角相等转化为含30度角的直角三角形问题是解题的关键．作直径，连接，得，，则．即圆的半径是2． 【详解】 作直径，连接，得：，， ∴， 即圆的半径是． 故答案为：2． 24．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，四边形是的内接四边形，，则　　　　　　　　 【答案】}度 【分析】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得到，再利用圆内接四边形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）弦AB把圆分成1：3两部分，则弦AB所对圆周角等于　　　　　　度． 【答案】45或135 �或45 【分析】 首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦AB把圆周分成两部分，求得的度数，又由圆周角定理，求得的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得的度数，继而可求得答案． 【详解】 解：弦把分成两部分， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 弦AB所对的圆周角的度数为或， 故答案为：45或135． 【点睛】 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 26．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴．     （2）．      【分析】 （1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 27．（25-26学年九上·浙江台州·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点；     （2）2      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，据此可证明结论； （2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，则的度数为________． 【答案】（1） 证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， 的度数为， ， 且， ． 29．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为　　　　　　  ． 【答案】 【分析】 连接，由垂径定理得出，利用圆周角定理即可得出点在以为直径的圆上，则，可得，当、、三点共线时，有最小值，由勾股定理，可得，即可得线段的最小值． 【详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查坐标与图形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短． 30．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）如图，中，弦，相交于点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴；     （2） 证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，① 圆心角相等，② 所对的弧相等，③ 所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 【答案】（1）；（2）13 【分析】 （1）连接，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案； （2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径． 【详解】 （1）连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）∵ ∴ 设，则 在中， ∴ ∴的半径长为13． 【点睛】 本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解． 32．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，四边形内接于一圆，延长到点． （1）求证：； （2）连接、，若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查圆内接四边形的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等， （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义求出，再根据同弧所对的圆周角相等进行解答即可； 理解和掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由（1）知：， ∵平分， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧都是， ∴， 即的度数为． 33．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）如图，为的直径，为弦，点D为的中点，过点D作于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若，，求圆的半径长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是半圆的直径， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，，由是半圆的直径，可得，从而可得，再由，可得，进一步可得，再由是的中点，得出，从而得出，最后由等腰三角形的判定可得结论； （2）连接．首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接． ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 设， 在中，则有， 解得， 圆的半径长为． 34．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】 解：连接，交于点F，如图所示： ∵点D是弧的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：2． 35．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F． （1）求证：． （2）若，的半径为10，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查圆周角的性质、等腰三角形的判定、垂径定理的推论及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质、等腰三角形的判定、垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，与交于点G，由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，与交于点G，如图所示： ∵是的直径，的半径为10， ∴，， ∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键；过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，根据垂径定理得：，的度数的度数，然后可得点在同一条直线上，同理：的度数的度数，点在同一条直线上，进而根据圆周角定理可进行求解． 【详解】 解：过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： 根据垂径定理得：，的度数的度数， 是线段的垂直平分线， ， 根据等腰三角形性质得：， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上， 同理：的度数的度数，点在同一条直线上， 的度数为的度数的度数）， 根据圆周角定理得：的度数． 故答案为：． 37．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证； （2）先证明是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴， ∴ 38．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的半径. 【答案】（1）     （2）的半径为2      【分析】 本题主要考查圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角的定理是解题的关键； （1）在上取点D关于的对称点E，连接，由折叠的性质可知：，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）连接，由（1）及折叠的性质可知：，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：在上取点D关于的对称点E，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：连接，如图所示： 由（1）及折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的半径为2． 39．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，延长交于E， ，，， ，， ，； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）如图，延长交于E，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论； （2）如图，连接，设的半径为r，根据勾股定理列方程得到，从而得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设的半径为r， ，， ， 在中，， 解得： ． 40．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 （）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可求证； （）连接，由垂径定理的推论可得，即得，又由（）得，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理的推论等，正确作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 41．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）已知是的直径，，点E是上一点，且，弦过点E． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当点C是半圆中点时，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可； （2）连接，过作于，根据弧、圆心角的关系可求出，根据勾股定理求出，结合垂径定理求解即可． 【详解】 解：（1）连接， 由条件可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，过作于， 由条件可知\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{BC}， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 42．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，是的弦，C是中点，点D在圆上，请按要求作图：①仅用无刻度直尺（不能用直尺的直角）；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图1中画出等腰三角形，使点E在圆上． （2）在图2中连结，，并画出的平分线． 【答案】（1）如图，      （2）如图， 【分析】 本题考查了无刻度尺作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）根据平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧作图即可； （2）根据平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧作图即可； (1) 小问详解： 解：连接，延长交于E，连接， C是中点， ， ， 是等腰三角形， 即为所求． (2) 小问详解： 解：连接，延长交于F，连接， C是中点， ， ， 是的平分线， 即为所求． 43．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，连接，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴．     （2）4.8      【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，由相等的圆周角多对的弧相等得出，进而即可得出； （2）由（1）可知，则，设，则，根据直径所对的圆周角得出，，再利用勾股定理列出关于x的等量方程，求解出x的值，进一步即可得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，则， ∴， ∵， 故设，则， ∵是直径， ∴， ∴， 在中，，即 在中，，即， ∴ 解得， 则． 44．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． （1）连结，求证：． （2）若，求半径的长． （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 则 由菱形可知，又， ∴，则 ∴， ∵， ∴， 由菱形对边平行知，， ∴， ∴     （2）     （3）      【分析】 本题考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理）、菱形的性质（对边平行、四边相等）、全等三角形的判定与性质、、勾股定理、锐角三角函数的应用及一元二次方程的求解，解题的关键是合理添加辅助线，利用图形性质建立边或角的等量关系，结合几何定理与代数运算求解． （1）连接，借助菱形对边平行的性质及直径所对圆周角为直角，转化角的等量关系，通过“”“”“”逐步推导，证明； （2）连接，利用垂径定理及勾股定理，在和中用r表示，建立关于半径r的方程，求解并舍去负根； （3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设未知数表示相关线段，利用余弦函数的等量关系建立方程，求解得出比例值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，则， 在与中，， ∴， 解得：（另一解为负值，舍去）， (3) 小问详解： 解： 分别连接、， ∵， ∴ ∴是的直径，， ∵， ∴， 又， ∴，则， 又 ∴， ∴， 设， 则， 在与中，，则， 即，，解得（另一根为负值，舍去）， ． 45．（25-26学年九上·浙江名校共同体·期中）如图，在中，是直径，是弦，于点，连接，． （1）证明：； （2）当，时，求的半径． 【答案】（1） 证明：在中，是直径，是弦，， ∴， ∴；     （2）5      【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，得， 解得， 的半径为5． 46．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）如图，矩形内接于，是上一动点，连接，若，． （1）求的半径． （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，根据矩形内接于，，得到是的直径，根据勾股定理求出，即可求解； （2）连接，过点作于点，得到，推出，得到，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 矩形内接于，， 是的直径， ，， ， 的半径为； (2) 小问详解： 解：连接，过点作于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 的长为． 47．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，在方格中，，，均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角功能；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母． （1）找出过，，三点的圆的圆心，连接，． （2）在上找到点，使得． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求，      （2） 解：如图所示，点P即为所求， 【分析】 本题考查了垂径定理，圆心角，网格问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据圆周角所对的弦是直径可得为直径，利用格点，画出的垂直平分线，其与的交点即为圆心O， （2）由（1）可知，得为直径，利用网格取点，根据正方形性质可得，根据勾股定理得出，可得点在上，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使． （1）求证：； （2）如图2，若过圆心，平分，，． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ① 如图，连接并延长交圆与点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵过圆心，过圆心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ②      【分析】 （1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答； （2）① 连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立； ② 作于点M，作于点N，根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 作于点M，作于点N ∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】 本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 49．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若＝，＝，求的长． 【答案】（1） 证明：是半圆的直径， ＝， ， ， ， 是半圆的半径， 为的中点；     （2）      【分析】 此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键． （1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知，＝， 是半圆的直径， ＝＝＝＝， 由（）可知，为的中点， 是的中位线， ＝＝， ＝﹣＝﹣＝， 即的长为． 50．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧上的一点，连接，过点A作于点 （1）如图1，若点D在上，，求的度数（用含的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，若，求． （3）若弦经过圆心O，连接，且，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）连接并延长，交于点H，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接并延长，交于点H，交于点F，连接，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用勾股定理求得a值；利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）连接并延长交于点G，设，则，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理和勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，再利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可得出结论． (1) 小问详解： 解：（1）连接并延长，交于点H，如图， ， ， ， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 连接并延长，交于点H，交于点F，连接，如图， 由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ； (3) 小问详解： 连接并延长交于点G，如图， ， 设，则，， ， ， ， 弦经过圆心O， 为的直径， ， ， ， ， ， 的直径为10， ，，， ，， ， ， 或 经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去， ， ， ， ， ， 【点睛】 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 51．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E在上，连接AE，CE，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点A作交CE的延长线于点F，若，，求AF的长． 【答案】（1） 证明：，过圆心， ，且， ， ；     （2） 证明：连接， 设，则， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）由垂径定理可得，由垂直平分线的性质可得； （2）连接，设，则，由圆周角定理得出，可证出； （3）过点作于点，在上截取，连接，证出，由勾股定理求出和的长，根据三角形的面积可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作于点，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ． 【点睛】 本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． 52．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）小明同学在学习完《圆的基本性质》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 【学习心得】（1）如图1，在中，，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，可得___________． 【问题解决】（2）如图2，在四边形中，，若平分，请写出与的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】（3）在平面直角坐标系中，为轴上一点，若点，当最大时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）解：； 理由如下： 以点为圆心，为半径作辅助圆， ∵， ∴点必在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）或 【分析】 本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理等知识，构造辅助圆是解题的关键； （1）由圆周角定理即可求解； （2）由圆周角定理得，再由等腰三角形的性质及三角形内角和得，由此即可得与的数量关系； （3）作的外接圆，连接，过点作于H，轴交于点M，则，当点A与点M重合时，即与y轴相切时，的半径最小，此时最大，易得是矩形，，，由勾股定理得，从而求得点A的坐标． 【详解】 解：（1）以点为圆心，为半径作辅助圆， ∵， ∴点必在上， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：作的外接圆，过点作于H，轴交于点M，则， 当点A与点M重合时，即与y轴相切时，的半径最小，此时最大， ∵， ∴是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 当点A在y轴正半轴上时，；当点A在y轴负半轴上时，； 综上，点A的坐标为或． 53．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． （1）证明：； （2）若，求的度数； （3）设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ；     （2）     （3）      【分析】 （1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于，于，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； (3) 小问详解： 解：过点作于，于，如图所示： 则， ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点， ∴， ， 是的平分线， 又， ， ∴矩形是正方形， 设， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】 此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，圆内接四边形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 54．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，为直径，点为上方上一点（不与、重合），平分交于点. （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，求的最大值. 【答案】（1） 是等腰直角三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于D， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形；     （2）；     （3）．      【分析】 此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据圆周角定理可得，再由角平分线定义和圆周角定理得，即可得出结论； （2）过B作于F，先由等腰直角三角形的性质求出、的长，再由勾股定理求出的长，即可得出答案； （3）通过构造全等三角形（）将转化为线段，进而将原式简化为，通过圆的性质可知，当为直径时取得最大值，代入计算即得结果． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：过A作于F，如图所示： 则， ∵， ∴（）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（）， 由（1）得：是等腰直角三角形， ∴（）， ∴（）， ∴（）． (3) 小问详解： 解：过D作，且，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，， ∵四边形为内接四边形， ∴ ∴ ∴E、A、C三点共线， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 要使最大，即最大即可， 当过O时有最大值，此时为直径， ∵的半径为5， ∴， 最大值为． 故答案为：． 55．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在中，直径弦于点． （1）如图1，过点作弦，求证：． （2）如图2，过点作的平行线，交圆于点，分别与，相交于点，．连接，． ①若，求证：． ②若，．求的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示， 直径弦， ，， ∵， ∴， ， ， ；     （2） ① 证明：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ． ； ②      【分析】 （1）首先得到，，，等量代换得到，推出，即可证明； （2）①如图所示，连接，首先求出，得到，然后证明出，得到，即可得到； ②由① 得，，得到，然后等量代换得到，求出，，，勾股定理求出证明出，得到，进而得到，然后得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ②如图所示， 由① 得，， ， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴在中， ， ∴， ， ∴ ∴． 【点睛】 此题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 56．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）如图，在半圆中，直径，点，在圆弧上，，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．若点在上，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行四边形性质，中位线判定定理，平行线性质，全等三角形性质及判定，勾股定理，圆周角定理等．根据题意可知四边形为平行四边形，将与交点命名为，即，继而求出，，圆周角定理可知， 继而利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】 解：将与交点命名为， ∵， 过点作， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是中点，， ∴为中点， ∴，， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 57．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）如图，在中，，是高线，延长交的外接圆于点E，连接．若，圆的面积为，则的长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，因式分解法解一元二次方程． 根据等腰三角形三线合一得到，，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边得到，可知，即，根据可知是圆的直径，根据圆的面积为求出，根据勾股定理得到，可知，即，代入得到，求解一元二次方程即可． 【详解】 解：∵，是高线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴是圆的直径， ∵圆的面积为， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 58．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）如图，内接于，是的上一点，连结，，，将沿直线折叠，点的对应点在的延长线上． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，是的的中点，的半径是． ①求的长（用含的代数式表示）； ②计算四边形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：沿直线折叠，点D的对应点落在点E处． ∴，． ∵内接于， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．     （2）①；②      【分析】 （1）根据折叠，可证，．然后结合同弧所对的圆周角相等，可证，从而得到，得证； （2）① 连结，，，过点作于点．先证明，然后证明是等边三角形，是等腰直角三角形，设，然后利用勾股定理分别表示出，即可得出答案；② 过点D作于点F．先表示出，接着利用四边形的面积算得答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①如图1，连结，，，过点作于点． ，D是的中点， ，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ∴，                             由（1）得， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴． ②如图2，过点D作于点F． ， ， ， 四边形的面积 ． 【点睛】 本题考查了圆周角定理及其推论，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 59．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）以为直径作三角形的外接圆，的角平分线交圆O于点，连接． （1）若，求的度数． （2）若，求与的长． （3）猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2）的长为，的长为．     （3） 解：，理由如下； 如图2，连接，作于E， 同理（2），， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， 同理（2），， 由勾股定理得，， ∵， ∴．      【分析】 （1）由是直径可得，进而求得，由可得即可解答； （2）如图1，连接，作于E，则，由，可得、，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，由可得，由勾股定理得，可求，由勾股定理得，，根据求解即可； （3）如图2，连接，作于E，同理（2），，则，，设，则，由勾股定理得，，，同理（2），，由勾股定理得，，由，可得． (1) 小问详解： 解： ∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． (2) 小问详解： 解：如图1，连接，作于E， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得，，解得：， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，解得：， 由勾股定理得，， ∴， ∴的长为，的长为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要了直径所对的圆周角为直角、弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、勾股定理，等腰三角形的判定与性质、平分线等知识点熟练掌握直径所对的圆周角为直角、弧所对的圆周角相等是解题的关键． 60．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图，是等腰直角三角形，，过点作射线，为射线上一点，作的外接圆交于点，连接，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 构造的外接圆，记为，连接， 是等腰直角三角形，则，，则，由平行线的性质以及圆周角定理得到，则，然后可得四边形为正方形，由于，则，故当共线时，取得最小值，即为． 【详解】 解：构造的外接圆，记为，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴当共线时，取得最小值，即为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，正方形的判定与性质等知识点，解题的关键是确定动点的轨迹． 61．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，，根据圆周角定理得出，由三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据证明，得出，则点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上，故当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为，即可求解． 【详解】 解：以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上， ∴当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $