专题03 随机事件的概率（期中真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

**基本信息** 精选浙江多校期中试题，聚焦随机事件的概率四大核心考点，情境融合传统文化与社会热点，梯度设计适配九年级期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|25题|随机事件判断、概率基本计算|以“水中捞月”等成语考查不可能事件，结合交通信号灯等生活场景| |填空题|15题|用频率估计概率、简单概率计算|通过身高统计、转盘游戏等情境，考查频率稳定性应用| |解答题|11题|列举法求概率（树状图/列表）|结合垃圾分类、抗战胜利80周年等热点，设计双步骤概率计算问题|

专题03 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（       ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 某运动员跳高成绩为12米 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【分析】 本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义（一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项：A、D为随机事件，C为必然事件，B超出物理极限，故为不可能事件． 【详解】 解：∵不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； A．投掷硬币正面向上可能发生，是随机事件； B．跳高12米超出人类能力和物理极限，一定不会发生，是不可能事件； C．圆一定是轴对称图形，是必然事件； D．射击命中靶心可能发生，是随机事件； 故选B 2．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）下列事件为必然事件的是（       ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】 解：A、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下，是随机事件； C、打开电视机，正在播放“快乐大本营”，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选D． 【点睛】 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）下列说法正确的是（          ） A. 天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨 B. “通常加热到100C，水沸腾”是随机事件 C. 抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上 D. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件 【答案】A 【分析】 利用必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一判断即可． 【详解】 A. 天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨，故说法正确； B. “通常加热到100C，水沸腾”是必然事件，故说法错误； C. 抛掷一枚硬币100次，不一定有50次正面向上，故说法错误； D. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故说法错误； 故选A． 【点睛】 本题考查事件的分类，掌握相关定义是解题的关键． 4．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（       ） A. 抛一枚硬币，正面朝下 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 明天会出彩虹 D. 蜡烛在真空中燃烧 【答案】D 【分析】 本题主要考查不可能事件的概念，掌握不可能事件的概念是解题的关键．选项A、B、C均为可能事件，只有选项D因真空中缺乏氧气，蜡烛无法燃烧，属于不可能事件． 【详解】 解：选项A：抛硬币正面朝下可能发生； 选项B：遇到绿灯可能发生； 选项C：出彩虹可能发生； 选项D：真空中无氧气，蜡烛不能燃烧，一定不会发生， ∴ 选项D是不可能事件． 故选：D． 5．（25-26学年九上·浙江金华·期中）下列事件是必然事件的是（     ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 水涨船高 【答案】D 【分析】 本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．根据事件的分类逐一判断即可. 【详解】 A、守株待兔是不确定事件； B、 水中捞月是不可能事件； C、 刻舟求剑是不可能事件； D、水涨船高是必然事件； 故选：D 6．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（     ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 夕阳西下 【答案】A 【分析】 本题考查了随机事件、必然事件与不可能事件的概念辨析，解题的关键是明确“不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件”． 先界定必然事件、随机事件、不可能事件的定义，再结合每个成语的实际含义，判断对应事件的类型，筛选出不可能事件． 【详解】 解：A、“水中捞月”指在水中打捞月亮，一定不会发生，此事件是不可能事件，该选项符合题意； B、“一箭双雕”指一箭射中两只雕，有可能发生也有可能不发生，此事件是随机事件，该选项不符合题意； C、“旭日东升”指早晨太阳从东方升起，一定发生，此事件是必然事件，该选项不符合题意； D、“夕阳西下”指傍晚太阳从西方落下，一定发生，此事件是必然事件，该选项不符合题意； 故选：A． 7．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 抛一枚骰子朝上的数字是3 B. 打开电视正在播放广告 C. 400名学生中至少有两人生日同一天 D. 早晨太阳从西边升起 【答案】C 【分析】 本题考查的是随机事件，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，根据事件的分类逐项判断即可． 【详解】 解：A．抛一枚骰子朝上的数字是3，这是随机事件，故A不符合题意； B．打开电视正在播放广告，这是随机事件，故B不符合题意； C．400名学生中至少有两人生日同一天，这是必然事件，故C符合题意； D．早晨太阳从西边升起，这是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）下列事件是不可能事件的是(     ) A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 明天会下雨 【答案】B 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】 解：A、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故A错误，不符合题意； B、从一个只装有红球的袋子里摸出白球是不可能事件，故B正确，符合题意； C、三角形两边之和大于第三边是必然事件，故C错误，不符合题意； D、明天会下雨是随机事件，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）下列事件中，是必然事件的是（       ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 四点共圆 C. 二次函数的图象开口向上 D. 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 【答案】D 【分析】 本题考查随机事件、必然事件的可能性，必然事件发生的可能性为，随机事件发生的可能性介于0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为的选项即可． 【详解】 解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，A选项不是必然事件，不合题意； 四点可能共圆，也可能不共圆，B选项不是必然事件，不合题意； 二次函数的图象开口向下，C选项是不可能事件，不合题意； 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中一定有红衣服，D选项是必然事件，符合题意； 故选D． 10．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）下列事件中，为必然事件的是（     ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下 C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球 D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边 【答案】D 【分析】 本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】 、小明买彩票中奖是随机事件，此选项不符合题意； 、任意抛一只纸杯，杯口朝下是随机事件，此选项不符合题意； 、在一个没有红球的袋子里摸到红球是不可能事件，此选项不符合题意； 、任选一个三角形的两边，其和大于第三边是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 11．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（       ） A. 水中捞月 B. 浑水摸鱼 C. 水滴石穿 D. 守株待兔 【答案】A 【分析】 本题考查事件类型的判断，关键是理解不可能事件、必然事件和随机事件的区别． 根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），逐一判断各成语描述的事件是否不可能发生． 【详解】 解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件； A． 水中捞月：月亮在水中是虚影，无法捞取，一定不会发生，是不可能事件； B． 浑水摸鱼：鱼可能存在于浑水中，摸到鱼是可能的，是随机事件； C． 水滴石穿：水滴长期滴落能穿透石头，是必然事件； D． 守株待兔：兔子撞树是偶然的，可能发生，是随机事件； ∴ 只有A选项描述的事件是不可能事件． 故选A． 12．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）下列说法正确的是（     ） A. 旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B. “离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C. 要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全面调查与抽样调查、事件的分类、折线统计图、方差的性质等知识点，根据全面调查与抽样调查的选取原则、事件的分类、折线统计图、方差的性质进行解题即可，熟练掌握它们的概念和性质是解决此题的关键． 【详解】 A．旅客上高铁列车前的检查应选择全面调查，原说法错误； B．“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，原说法错误； C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，原说法正确； D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩较稳定，原说法错误． 故选C． 考点02 概率 1．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）在一个不透明的袋中装有3个黄色的乒乓球和5个白色的乒乓球（除颜色外都相同）．从袋中任意摸出一个乒乓球，是白色乒乓球的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了概率计算公式，掌握该知识点是解题的关键．根据概率计算公式，直接计算白色乒乓球数量与总球数的比值即可． 【详解】 解：∵袋中总球数为个，白色乒乓球有5个， ∴摸出白色乒乓球的概率为． 故选：D． 2．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了概率公式，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可求得答案． 【详解】 解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 3．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查概率公式，根据题意假设球数是解题的关键． 根据概率公式，红球概率等于红球数量与总球数之比，给定比例，总份数为9，红球占2份即可求解． 【详解】 设红球、黄球、黑球的数量分别为（k为正整数），则总球数为，． 故选：C． 4．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）不透明袋子中装有个白球，个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个球，则摸到黑球的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 用黑球的个数除以球的总个数即可得． 【详解】 解：∵不透明袋子中装有个白球，个黑球，这些球除了颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机摸出个球，则摸到黑球的概率为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 5．（25-26学年九上·浙江金华·期中）四张完全相同的卡片上， 分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形， 现从中随机抽取一张， 卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，求概率，根据中心对称图形的定义，得到圆和矩形为中心对称图形，等边三角形和等腰梯形不是中心对称图形，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】 解：从中随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上画的恰好是中心对称图形的结果有2种， ∴； 故答案为：． 6．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式的计算方法，根据概率公式求解即可． 【详解】 解：在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球， 任意摸出一球是红球的概率是， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下： 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】 解：样本中身高不低于的频率， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）在歌唱比赛中，一位歌手分别转动两个转盘各一次（每个转盘都被分成3等分），根据指针指向的歌曲编号演唱两首曲目．则他演唱编号为“1”“5”歌曲的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查独立事件的概率，掌握概率乘法公式是解题的关键． 第一次对应歌曲为“1”, “2”,“3”,第二次对应歌曲为“4”, “5”,“6”,列出树状图求解即可． 【详解】 解：每个转盘有3个等份，第一次对应歌曲为“1”, “2”,“3”,第二次对应歌曲为“4”, “5”,“6”, 则树状图如下： 因此演唱编号为“1”和“5”歌曲的概率为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为　　　　　　个． 【答案】12 【分析】 此题考查了分式方程的应用，概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】 解：设绿球的个数为x个，则这个不透明的盒子中共装有个球， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴绿球的个数为12个． 故答案为：12． 10．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面．其中事件发生的可能性最大的是　　　　　　． 【答案】② 【分析】 本题主要考查了求概率， 抛掷两枚均匀硬币，一共有4种可能得结果，再确定全是正面，一正一反，全是反面的概率，比较得出答案． 【详解】 解：抛掷两枚均匀硬币，可能出现的结果有4种，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种：正正、正反、反正、反反， 其中全是正面包含1种结果，其概率为；一正一反包含2种结果，其概率为；全是反面包含1种结果，其概率为， 因为， 所以一正一反发生的可能性最大． 故答案为：② ． 11．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）． （1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率． （2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数． 【答案】（1） ；（2）9个 【分析】 （1）根据题意画出树状图后，数出可能的结果总数及两次摸到不同颜色球的结果数，再根据概率的意义可得解； （2）设放入x个蓝球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解． 【详解】 解：(1)如图所示， 共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等； 其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果， 所以两次摸到不同颜色球的概率为； (2)设放入x个蓝球， 由题意，得： ， 解得： x=9， 经检验， x=9 是原方程的解， 所以，放入袋中的蓝球为9个． 【点睛】 本题考查概率的应用，熟练掌握概率的意义、树状图求概率的方法及方程思想方法的应用是解题关键． 12．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图,从A地到B地有两条路线可走,从B地到F地可经C大桥、D大桥或E大桥到达,现让你随机选择一条从A地出发经过B地到达F地的行走路线,那么恰好选到经过D大桥的路线的概率是　　.  【答案】 【分析】 列举出所有情况，看恰好选到经过路线D的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】 根据题意列出树状图，从A地到B地有两条路线可走为B1,B2 所以恰好选到经过D大桥的路线的概率是 【点睛】 本题考查的是概率，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键. 13．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． （1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． （2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 【答案】（1）     （2）红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一）      【分析】 本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）设加入个红球，个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，列出不等式和方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4， ∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． (2) 小问详解： 解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个， ∴黑球有个， 往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共个球， 设加入个红球，个黑球， ∵红球的概率不超过，摸出黑球的概率是， ∴， 解得：，， ∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种答案即可）． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】 解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）学校组织研学活动，安排给九年（1）班3辆车，车辆按①，②，③编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． （1）小明乘坐①号车的概率为________． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小惠同车的概率． 【答案】（1）     （2）小明与小惠同车的概率为      【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率、画树状图求概率，熟练掌握概率公式、正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式得出概率即可； （2）根据“车辆按① ，② ，③ 编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘”，画出树状图，根据概率公式得出概率即可． (1) 小问详解： 解：∵车辆按① ，② ，③ 编号，从这三辆车中任选一辆搭乘， ∴小明乘坐① 号车的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，画树状图， ∴共有种等可能的结果，小明与小惠同车的有种情况， ∴小明与小惠同车的概率． 3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）某中学开展以“中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱． （1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是______； （2）若从5名的学生中随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键； （1）根据总共有五名学生，其中女生有两名，然后问题可求解； （2）根据列表法可求解概率． (1) 小问详解： 解：由题意得：若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是； 故答案为； (2) 小问详解： 解：设三名男生和两名女生表示为，由题意可列表如下： 由表可知：一共有20种情况，其中一男一女的有12种情况，所以选中一男一女的概率为． ／ ／ ／ ／ ／ 4．（25-26学年九上·浙江金华·期中）垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害． （1）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________． （2）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设两件不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示， 设两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， ∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为． 5．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列表法与画树状图求概率，画树状图得出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1）160人；     （2） 补全条形统计图如图1所示．      （3）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值． （2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：此次被调查的学生总人数为（人），， ． 故答案为：160人；． (2) 小问详解： 选择B的人数为． (3) 小问详解： 列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． A B C D A B C D 7．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动．活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》（A）、《周髀算经》 （B）、《孙子算经》 （C）、《海岛算经》 （D）在屏幕上循环闪现．参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节． （1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能？（用列表法或树状图分析） （2）求小亮和小华选到同一本书的概率． 【答案】（1）16     （2）      【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，掌握知识点是解题的关键． （1）先运用列表法，再确定共有16种等可能结果， （2）由（1）得共有16种等可能结果，其中小亮和小华选到同一本书有4种结果，继而用概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，所有可能的结果如下： ∴小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， A B C D A B C D (2) 小问详解： 解：由（1）得，小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， 则小亮和小华选到同一本书的结果有4种， ∴， 即小亮和小华选到同一本书的概率为． 8．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． （3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 【答案】（1） 如图所示：      （2）32，72     （3）抽取的两人恰好是两名男生的概率为      【分析】 本题考查了统计图的综合应用及概率的计算． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数÷总人数×100%=B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数=A组占总体的百分比×”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名男生的结果数，最后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， (2) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． (3) 小问详解： 解：由题意知，列表如下： ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 9．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是立定跳远（）、引体向上（）、50米跑（），每个男生要在三个项目中随机抽取一项进行测试． （1）若张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是________； （2）若张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试，用列表或画树状图的方法求他们抽中同一个项目的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率． （1）直接利用概率公式可得； （2）利用表格展示所有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，根据概率的公式计算即可． (1) 小问详解： 解：张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：用列表法分析如下： 张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试的情况共有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果， 所以他们抽中同一个项目的概率为． A B  C  A     B   C     10．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】 解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． （1）用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． 【答案】（1）     （2）不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平      【分析】 本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． (1) 小问详解： 解：列表如下： 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． A          B 2 3 4 1 3 (2) 小问详解： 解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 12．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，0，2，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点在直线上的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵数字，0，2， ∴非正数有，0， ∴随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率； (2) 小问详解： 解：画树状图， 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，点在直线上的结果数有，两种， ∴点在直线上的概率是． 13．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率． （2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是用概率公式和画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解： 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． 从中任取一个球，摸到红球的概率是； (2) 小问详解： 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有8种， 则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 14．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． （1）若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． （2）若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：列表如下： 任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8， 故甲参加的概率为，而乙参加的概率为． ∵， ∴游戏不公平．             第二张第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 【分析】 本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等． （1）由题意列式约分即可得到本题答案； （2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案． (1) 小问详解： 解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人， ∴选到女生的概率为； (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A布袋中随机取出一个小球，再从Ｂ布袋中随机取出一个小球． （1）请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果． （2）求两次取出的球数字和大于6的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用画树状图法求概率，掌握知识点是解题的关键．． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果； （2）先求出两次取出的球数字和大于6的结果有3种，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：画树状图得：     共6种等可能性结果，即． (2) 小问详解： 两次取出的球数字和大于6的结果有3种，即， ∴两次取出的球数字和大于6的概率为． 16．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（       ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个 【答案】A 【分析】 由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】 解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在25%左右， ∴口袋中得到红色球的概率为25%， ∴， 解得：x=12， 经检验x=12是原方程的根， 故白球的个数为12个． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 2．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率                                                                         随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（       ）（精确到）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率． 根据图表中数据解答本题即可． 【详解】 解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近， 故选：C． 3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 50 100 150 200 250 … “有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 … “有2个人同月过生日”的频率 … 通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 该题考查了用频率估计概率，当试验次数大量增加时，频率稳定在概率附近，从表格数据看，频率在附近波动，因此估计概率为． 【详解】 解：根据题意得：试验次数增加时，“有2个人同月过生日”的频率稳定在附近， ∴估计该概率为， 故选：B． 4．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 5．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为　　　　　　　　　．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.41 【分析】 本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】 解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41； 故答案为0.41． 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为　　　　　　　　　　． 【答案】22.4 【分析】 本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于　　　　　　　（精确到0.01）． 【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得． 【详解】 解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是　　　　　　．（结果精确到0.01） 【答案】0.80 【分析】 本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80． 【详解】 解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80． 故答案为：0.80． 9．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 （1）表格中的值为______； （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率； （3）某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】（1）     （2）     （3）件      【分析】 本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计衬衣合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； (3) 小问详解： 解：， 答：估计其中不合格品有件． 10．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 （1）填空：__________，__________． （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） （3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】（1）0.705，0.701     （2）0.7     （3）      【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． (1) 小问详解： 解：；； 故答案为：0.705，0.701； (2) 小问详解： 解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； (3) 小问详解： 解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 随机事件的概率 4大高频考点概览 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（       ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 某运动员跳高成绩为12米 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 2．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）下列事件为必然事件的是（       ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 3．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）下列说法正确的是（          ） A. 天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨 B. “通常加热到100C，水沸腾”是随机事件 C. 抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上 D. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件 4．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）下列事件中，属于不可能事件的是（       ） A. 抛一枚硬币，正面朝下 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 明天会出彩虹 D. 蜡烛在真空中燃烧 5．（25-26学年九上·浙江金华·期中）下列事件是必然事件的是（     ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 刻舟求剑 D. 水涨船高 6．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（     ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 夕阳西下 7．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）下列事件是必然事件的是（       ） A. 抛一枚骰子朝上的数字是3 B. 打开电视正在播放广告 C. 400名学生中至少有两人生日同一天 D. 早晨太阳从西边升起 8．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）下列事件是不可能事件的是(     ) A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 明天会下雨 9．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）下列事件中，是必然事件的是（       ） A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 四点共圆 C. 二次函数的图象开口向上 D. 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件，其中有红衣服 10．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）下列事件中，为必然事件的是（     ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下 C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球 D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边 11．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（       ） A. 水中捞月 B. 浑水摸鱼 C. 水滴石穿 D. 守株待兔 12．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）下列说法正确的是（     ） A. 旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B. “离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C. 要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D. 若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 考点02 概率 1．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）在一个不透明的袋中装有3个黄色的乒乓球和5个白色的乒乓球（除颜色外都相同）．从袋中任意摸出一个乒乓球，是白色乒乓球的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同．红球、黄球、黑球的个数之比为．从布袋里任意摸出1个球为红球的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）不透明袋子中装有个白球，个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个球，则摸到黑球的概率为　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·浙江金华·期中）四张完全相同的卡片上， 分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形， 现从中随机抽取一张， 卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下： 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）在歌唱比赛中，一位歌手分别转动两个转盘各一次（每个转盘都被分成3等分），根据指针指向的歌曲编号演唱两首曲目．则他演唱编号为“1”“5”歌曲的概率是　　　　　． 9．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为　　　　　　个． 10．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面只有以下三种情况：①全是正面；②一正一反；③全是反面．其中事件发生的可能性最大的是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·浙江杭州星澜中学·期中）在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）． （1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率． （2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数． 12．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）如图,从A地到B地有两条路线可走,从B地到F地可经C大桥、D大桥或E大桥到达,现让你随机选择一条从A地出发经过B地到达F地的行走路线,那么恰好选到经过D大桥的路线的概率是　　.  13．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的球共12个，它们除颜色外完全相同，其中红球有5个，白球有4个． （1）从盒子中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率． （2）若往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，使得从盒子里随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，请设计一个符合条件的放球方案． 考点03 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·浙江杭州观成中学·期中）学校组织研学活动，安排给九年（1）班3辆车，车辆按①，②，③编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘． （1）小明乘坐①号车的概率为________． （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小惠同车的概率． 3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）某中学开展以“中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱． （1）若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是______； （2）若从5名的学生中随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率． ／ ／ ／ ／ ／ 4．（25-26学年九上·浙江金华·期中）垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害． （1）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，投放正确的概率为________． （2）随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，请用画树状图法或列表法求出投放正确的概率． 5．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）物理某一实验的电路图如图所示，其中为电路开关，为能正常发光的灯泡，任意闭合开关中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）为了让学生体验民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：五谷画，彩陶，剪纸，排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查每位学生必选且只能选一个课程，根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为______；扇形统计图中______； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． A B C D A B C D 7．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动．活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》（A）、《周髀算经》 （B）、《孙子算经》 （C）、《海岛算经》 （D）在屏幕上循环闪现．参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节． （1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能？（用列表法或树状图分析） （2）求小亮和小华选到同一本书的概率． A B C D A B C D 8．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）南宁市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，a的值为__________；A组对应的扇形圆心角的度数为__________°． （3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名男生的概率． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 9．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）某地进行中考体育测试，规定测试项目分为必选项目与自选项目，男生自选项目是立定跳远（）、引体向上（）、50米跑（），每个男生要在三个项目中随机抽取一项进行测试． （1）若张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是________； （2）若张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试，用列表或画树状图的方法求他们抽中同一个项目的概率． A B  C  A     B   C     10．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘． （1）用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）． A          B 2 3 4 1 3 12．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）现有三张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，0，2，把这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率； （2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，用列表法或画树状图法求出点在直线上的概率． 13．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． （1）从中任取一个球，求摸到红球的概率． （2）若第一次从口袋中任意摸出1个球，不放回搅匀，第二次再摸出1个球．用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率． 14．（25-26学年九上·浙江浙派联盟·期中）学校组织综合实践活动，有10名同学参加，其中男生6人，女生4人． （1）若从这10人中随机选取一人作为领队，求选到女生的概率． （2）若某项实践活动只在甲、乙两人中选一人，准备以游戏的方式决定由谁参加，规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请说明理由．        第二张第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 15．（25-26学年九上·浙江温州教育联盟·期中）有A，B两个黑布袋，A布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字1，2，3；B布袋中有两个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字4，5，小明先从A布袋中随机取出一个小球，再从Ｂ布袋中随机取出一个小球． （1）请用列表或树状图表示小明取球的所有可能结果． （2）求两次取出的球数字和大于6的概率． 16．（25-26学年九上·浙江绍兴元培·期中）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是　　　　　　　． 考点04 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·浙江山海联盟协作学校·期中）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（       ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个 2．（25-26学年九上·浙江湖州第四中学·期中）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率                                                                         随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（       ）（精确到）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·浙江杭州高桥·期中）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 50 100 150 200 250 … “有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 … “有2个人同月过生日”的频率 … 通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·浙江舟山五校联盟·期中）如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·浙江舟山·期中）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为　　　　　　　　　．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 6．（25-26学年九上·浙江舟山名校协作体·期中）如图1，在面积为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·浙江发展协作共同体·期中）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于　　　　　　　（精确到0.01）． 8．（25-26学年九上·浙江宁波鄞州区·期中）小萌在篮球训练中，对多次投篮的数据进行记录，得到如下频数表： 投篮次数 20 40 60 80 120 150 200 投中次数 15 33 47 65 95 120 160 投中的频率 0.75 0.83 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 估计小萌投一次篮，投中的概率是　　　　　　．（结果精确到0.01） 9．（25-26学年九上·浙江杭州大关中学·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 合格频率 （1）表格中的值为______； （2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率； （3）某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 10．（25-26学年九上·浙江绍兴一中·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 （1）填空：__________，__________． （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） （3）在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 随机事件的概率 考点01 随机事件 考点02 概率 考点03 用列举法求概率 考点04 用频率估计概率 考点01 随机事件 1．B 2．D 3．A 4．D 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．D 11．A 12．C 考点02 概率 1．D 2．D 3．C 4．【答案】 【分析】 用黑球的个数除以球的总个数即可得． 【详解】 解：∵不透明袋子中装有个白球，个黑球，这些球除了颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机摸出个球，则摸到黑球的概率为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 5．【答案】 【分析】 本题考查中心对称图形的识别，求概率，根据中心对称图形的定义，得到圆和矩形为中心对称图形，等边三角形和等腰梯形不是中心对称图形，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】 解：从中随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，其中卡片上画的恰好是中心对称图形的结果有2种， ∴； 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式的计算方法，根据概率公式求解即可． 【详解】 解：在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球， 任意摸出一球是红球的概率是， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】 解：样本中身高不低于的频率， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查独立事件的概率，掌握概率乘法公式是解题的关键． 第一次对应歌曲为“1”, “2”,“3”,第二次对应歌曲为“4”, “5”,“6”,列出树状图求解即可． 【详解】 解：每个转盘有3个等份，第一次对应歌曲为“1”, “2”,“3”,第二次对应歌曲为“4”, “5”,“6”, 则树状图如下： 因此演唱编号为“1”和“5”歌曲的概率为． 故答案为：． 9．【答案】12 【分析】 此题考查了分式方程的应用，概率公式的应用．设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程，解此分式方程即可求得答案． 【详解】 解：设绿球的个数为x个，则这个不透明的盒子中共装有个球， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴绿球的个数为12个． 故答案为：12． 10．【答案】② 【分析】 本题主要考查了求概率， 抛掷两枚均匀硬币，一共有4种可能得结果，再确定全是正面，一正一反，全是反面的概率，比较得出答案． 【详解】 解：抛掷两枚均匀硬币，可能出现的结果有4种，且每种结果发生的可能性相同，所有等可能结果有4种：正正、正反、反正、反反， 其中全是正面包含1种结果，其概率为；一正一反包含2种结果，其概率为；全是反面包含1种结果，其概率为， 因为， 所以一正一反发生的可能性最大． 故答案为：② ． 11．【答案】（1） ；（2）9个 【分析】 （1）根据题意画出树状图后，数出可能的结果总数及两次摸到不同颜色球的结果数，再根据概率的意义可得解； （2）设放入x个蓝球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解． 【详解】 解：(1)如图所示， 共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等； 其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果， 所以两次摸到不同颜色球的概率为； (2)设放入x个蓝球， 由题意，得： ， 解得： x=9， 经检验， x=9 是原方程的解， 所以，放入袋中的蓝球为9个． 【点睛】 本题考查概率的应用，熟练掌握概率的意义、树状图求概率的方法及方程思想方法的应用是解题关键． 12．【答案】 【分析】 列举出所有情况，看恰好选到经过路线D的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】 根据题意列出树状图，从A地到B地有两条路线可走为B1,B2 所以恰好选到经过D大桥的路线的概率是 【点睛】 本题考查的是概率，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键. 13．【答案】（1）     （2）红，白，黑个数分别是2，1，1（答案不唯一）      【分析】 本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）设加入个红球，个黑球，根据随机摸出一个球，红球的概率不超过，摸出黑球的概率是，列出不等式和方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，白球有4， ∴从盒子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是． (2) 小问详解： 解：∵红，白，黑三种颜色的球共12个，红球有5个，白球有4个， ∴黑球有个， 往盒子里放入除颜色外完全相同的4个球，则总共个球， 设加入个红球，个黑球， ∵红球的概率不超过，摸出黑球的概率是， ∴， 解得：，， ∴放入红，白，黑个数分别是2，1，1或者1，2，1或者0，3，1 或者3，0，1 （答案不唯一，选择一种答案即可）． 考点03 用列举法求概率 1．D 2．【答案】（1）     （2）小明与小惠同车的概率为      【分析】 本题考查了根据概率公式计算概率、画树状图求概率，熟练掌握概率公式、正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式得出概率即可； （2）根据“车辆按① ，② ，③ 编号，小明与小惠都可以从这三辆车中任选一辆搭乘”，画出树状图，根据概率公式得出概率即可． (1) 小问详解： 解：∵车辆按① ，② ，③ 编号，从这三辆车中任选一辆搭乘， ∴小明乘坐① 号车的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，画树状图， ∴共有种等可能的结果，小明与小惠同车的有种情况， ∴小明与小惠同车的概率． 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键； （1）根据总共有五名学生，其中女生有两名，然后问题可求解； （2）根据列表法可求解概率． (1) 小问详解： 解：由题意得：若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是； 故答案为； (2) 小问详解： 解：设三名男生和两名女生表示为，由题意可列表如下： 由表可知：一共有20种情况，其中一男一女的有12种情况，所以选中一男一女的概率为． ／ ／ ／ ／ ／ 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接计算即可； （2）可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设两件不同垃圾为a、b，画出树状图，由概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解：随机将一节废旧的电池（有害垃圾）投入垃圾桶，共有四种等可能结果，投放正确的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示， 设两袋不同垃圾为a、b， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个， ∴两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为． 5．【答案】 【分析】 本题考查了列表法与画树状图求概率，画树状图得出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】 解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况， ∴能让两盏灯泡同时发光的概率为． 故答案为：． 6．【答案】（1）160人；     （2） 补全条形统计图如图1所示．      （3）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数；用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得a的值． （2）求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到同一个课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． (1) 小问详解： 解：此次被调查的学生总人数为（人），， ． 故答案为：160人；． (2) 小问详解： 选择B的人数为． (3) 小问详解： 列表如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选到同一个课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． A B C D A B C D 7．【答案】（1）16     （2）      【分析】 本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，掌握知识点是解题的关键． （1）先运用列表法，再确定共有16种等可能结果， （2）由（1）得共有16种等可能结果，其中小亮和小华选到同一本书有4种结果，继而用概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，所有可能的结果如下： ∴小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， A B C D A B C D (2) 小问详解： 解：由（1）得，小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， 则小亮和小华选到同一本书的结果有4种， ∴， 即小亮和小华选到同一本书的概率为． 8．【答案】（1） 如图所示：      （2）32，72     （3）抽取的两人恰好是两名男生的概率为      【分析】 本题考查了统计图的综合应用及概率的计算． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数÷总人数×100%=B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数=A组占总体的百分比×”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名男生的结果数，最后计算概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人）， (2) 小问详解： 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：32，72． (3) 小问详解： 解：由题意知，列表如下： ∴共有12种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名男生的情况有2种， ∴所抽取的两人恰好是两名男生的概率为． 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率． （1）直接利用概率公式可得； （2）利用表格展示所有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果，根据概率的公式计算即可． (1) 小问详解： 解：张强在三个项目中随机选择一项参加测试，则他选中50米跑的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：用列表法分析如下： 张强和李华各自在三个项目中随机选择一项参加测试的情况共有9种等可能的结果，其中他们抽中同一个项目的有3种结果， 所以他们抽中同一个项目的概率为． A B  C  A     B   C     10．【答案】 【分析】 本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】 解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平      【分析】 本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键； （1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解； （2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可． (1) 小问详解： 解：列表如下： 事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种， 则甲获胜的概率为． 答：甲获胜的概率为． A          B 2 3 4 1 3 (2) 小问详解： 解：不公平； 理由如下： 由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种， 则乙获胜的概率为． 而甲获胜的概率小于乙获胜的概率， 所以游戏不公平． 把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了树状图或列表法求解概率，一次函数图象上点的坐标特征，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵数字，0，2， ∴非正数有，0， ∴随机的取一张卡片，抽取的卡片上的数字为非正数的概率； (2) 小问详解： 解：画树状图， 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，点在直线上的结果数有，两种， ∴点在直线上的概率是． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查的是用概率公式和画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． (1) 小问详解： 解： 一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个． 从中任取一个球，摸到红球的概率是； (2) 小问详解： 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中刚好摸到一个红球和一个白球的情况数有8种， 则刚好摸到一个红球和一个白球的概率是． 14．【答案】（1）     （2） 解：列表如下： 任取2张，牌面数字之和的所有可能结果为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中和为偶数的有：6，8，6，8， 故甲参加的概率为，而乙参加的概率为． ∵， ∴游戏不公平．             第二张第一张 2 3 4 5 2 5 6 7 3 5 7 8 4 6 7 9 5 7 8 9 【分析】 本题考查简单公式求概率，列表法计算概率等． （1）由题意列式约分即可得到本题答案； （2）由题意列出表格，分别计算出偶数和奇数概率，再进行比较即可得到本题答案． (1) 小问详解： 解：∵有10名同学参加，其中男生6人，女生4人， ∴选到女生的概率为； (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是用画树状图法求概率，掌握知识点是解题的关键．． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果； （2）先求出两次取出的球数字和大于6的结果有3种，再根据概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：画树状图得：     共6种等可能性结果，即． (2) 小问详解： 两次取出的球数字和大于6的结果有3种，即， ∴两次取出的球数字和大于6的概率为． 16．【答案】 【详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 考点04 用频率估计概率 1．A 2．C 3．B 4．C 5．【答案】0.41 【分析】 本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】 解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41； 故答案为0.41． 6．【答案】22.4 【分析】 本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与正方形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】 解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得． 【详解】 解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于， 故答案为：． 8．【答案】0.80 【分析】 本题考查利用频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数大量重复时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察投中的频率数据，发现随着投篮次数增加，频率在0.80附近波动并稳定，因此估计投中的概率为0.80． 【详解】 解：由频数表可知，投篮次数从20次增加到200次时，投中的频率分别为0.75、0.83、0.78、0.81、0.79、0.80、0.80，当投篮次数较大时（如150次和200次），频率稳定在0.80附近，且其他频率值也接近0.80，可估计小萌投一次篮投中的概率为0.80． 故答案为：0.80． 9．【答案】（1）     （2）     （3）件      【分析】 本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计衬衣合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得，， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； (3) 小问详解： 解：， 答：估计其中不合格品有件． 10．【答案】（1）0.705，0.701     （2）0.7     （3）      【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． (1) 小问详解： 解：；； 故答案为：0.705，0.701； (2) 小问详解： 解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； (3) 小问详解： 解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $