专题03 轴对称（期中真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，是轴对称图形； 对四个选项逐一分析即可． 【详解】 选项A：“爱”找不到这样的对称轴，折叠后无法完全重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项B：“我”左右结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意； 选项C：“中”沿竖直中线折叠，直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项D：“华”结构不对称，折叠后无法重合，不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】 解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 5．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；熟知定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】 解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 7．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】 解：A，B，C选项中的生肖汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意； D选项中的生肖汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，解决本题的关键是根据轴对称图形的概念进行判断． 【详解】 解：A选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故A选项不符合题意； B选项：图标沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合， 这个图标不是轴对称图形， 故B选项符合题意； C选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故C选项不符合题意； D选项：如下图所示， 把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图标是轴对称图形， 故D选项不符合题意． 9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）下列图案中是轴对称图形的是（       ） A. 中国移动 B. 中国联通 C. 中国网通 D. 中国电信 【答案】B 【分析】直接利用轴对称图形的定义解答即可． 【详解】A．不是轴对称图形，故不合题意； B．是轴对称图形，故符合题意； C．不是轴对称图形，故不合题意； D．不是轴对称图形，故不合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解答本题的关键． 10．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列交通标志中不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】 解：A、符合轴对称图形的定义，此项不符合题意； B、符合轴对称图形的定义，此项不符合题意； C、符合轴对称图形的定义，此项不符合题意； D、不符合轴对称图形的定义，此项符合题意； 故选：D． 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 轴对称图形是指存在一条直线，使图形沿该直线对折后两部分完全重合，根据轴对称图形的定义，判断各选项是否有对称轴即可；本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】 解：选项A：无任何对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意； 选项B：无对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意； 选项C：无对称轴，不是轴对称图形，故不符合题意； 选项D：Ω有竖直方向的对称轴，是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）下列图形中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】 解：根据轴对称定义可得：B选项是轴对称图形，A、C、D不是轴对称图形； 故选：B． 13．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 14．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是轴对称图形的识别．解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，解决此题的关键是熟练掌握轴对称图形是一个图形关于某条直线对折后两边部分能完全重合的图形；根据定义一一判断即可； 【详解】 解：A．不是轴对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，故符合题意； C． 不是轴对称图形，故不符合题意； D． 不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）下列车标中，是轴对称图形的个数（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形， 故选C． 【点睛】考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 18．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 19．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 20．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】 解：A、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、此图案是轴对称图形，故该选项符合题意； D、此图案不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 21．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】 解：A.该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图标是轴对称图形，符合题意； D. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 22．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合． 【详解】 解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意． 故选：A． 23．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是(          ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项错误； B、不是轴对称图形，本选项错误； C、不是轴对称图形，本选项错误； D、是轴对称图形，本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 24．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A. 等腰三角形 B. 线段 C. 平行四边形 D. 圆 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义，判断各图形是否有对称轴． 【详解】 解：∵等腰三角形有一条对称轴，∴是轴对称图形； ∵线段有两条对称轴，∴是轴对称图形； ∵圆有无数条对称轴，∴是轴对称图形； ∵平行四边形没有对称轴，∴不是轴对称图形． 故选：C． 25．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可；理解定义，找到对称轴是解题的关键． 【详解】 解：A、B、C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 26．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】 解：A、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 27．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：由题意知，B、C、D均不是轴对称图形，故不符合要求； A中是轴对称图形，故符合要求； 故选：A． 28．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的性质，① 如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；② 如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③ 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可． 【详解】 解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：B． 29．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）剪纸艺术是中国最传统的民间艺术之一，先后入选中国非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，中心对称图形． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 30．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）以下各图为庆祝我国抗战胜利周年而创作的剪纸作品，其中的轴对称图是形（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】 解：A选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，故A选项不符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，虚线两旁的部分可以完全重合，则该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，故D选项不符合题意． 故选：C． 31．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（     ） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 32．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）下列说法中，正确的有（       ）个． ①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ④三角形一边的中线是这条边的一半，这个三角形是直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 ① 根据轴对称的性质即可判断； ② 根据等腰三角形三线合一的性质判断即可； ③ 根据等腰三角形的性质求解判断即可； ④ 根据等腰三角形的判定方法判断求解即可． 【详解】 解：① 关于某直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，选项正确，符合题意； ② 等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，选项错误，不符合题意； ③ 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，选项正确，符合题意； ④ 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，选项正确，符合题意． 故正确的有① ③ ④ ，有3个， 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质． 33．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示． 下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可知剪出的图形一定是轴对称图形，再进行判断即可． 【详解】 解：由题意知，剪出的图形一定是轴对称图形， 选项中，只有C不是轴对称图形， ∴C不能用上述方法剪出． 故选C． 34．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题关键在于掌握知识点的合理应用； 由折叠得到，由平行线的性质，可得，进而求得，再由角的和差关系即可解答． 【详解】 解：由折叠得到， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：D． 35．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，注意轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解决本题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 36．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  新能源汽车 B.  清洁能源 C.  太阳能发电 D.  可再生资源 【答案】B 【分析】 此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解，掌握知轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】 解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 37．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）在日常出行中，我们会遇到各种各样的交通标志，这些标志不仅传递着交通规则信息，有些还蕴含着图形的对称之美．请你判断下列萧红中学周边常见的交通标志中，是轴对称图形的是（     ） A. （1）（3） B. （2）（4） C. （2）（3） D. （1）（4） 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的概念，根据轴对称图形的概念，判断所给交通标志是否为轴对称图形． 【详解】 解：（1）：无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形； （2）：可以沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分完全重合，所以是轴对称图形； （3）：无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以不是轴对称图形； （4）可以沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分完全重合，所以是轴对称图形． 综上所述，（2）（4）正确． 故选：B． 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（     ） A. 直线和直线的交点不一定在上 B.  C. 与面积相等 D. 垂直平分， 【答案】A 【分析】 本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵与关于直线对称，P为上任一点， ∴，与面积相等，垂直平分，， 故选项B，C，D均正确，不符合题意； 直线和直线关于直线对称，故两条直线的交点一定在上；故A错误，符合题意； 故选A． 39．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，与关于直线l对称，若，，则∠C的度数为（       ） A. 90° B. 110° C. 120° D. 125° 【答案】C 【分析】 根据轴对称的性质，可得，，再利用三角形内角和定理，求解即可． 【详解】 解：∵与关于直线对称，，， ∴，， ∴， 故选为：C． 【点睛】 本题主要考查轴对称的性质，再利用三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是关键． 40．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）以下几个英文字母，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A 、B、C选项中的英文字母能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的英文字母都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 41．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴AE=BE，AD=BD=AB=5， 设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x， 在Rt△BCE中 ∵BE2=BC2+CE2， ∴x2=62+（8-x）2，解得x=， ∴CE==， 故选：D． 【点睛】 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理． 42．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，结合与关于直线对称，结合三角形内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵与关于直线对称， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 43．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（       ） A.  笛卡尔心形线 B.  三叶玫瑰形曲线 C.  太极曲线 D.  蝴蝶形曲线 【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】 解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）下列说法中，正确的是（       ） A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称； B. 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，且只有一条对称轴； C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； D. 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分． 【答案】D 【分析】 此题考查了轴对称、等腰三角形的相关知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质是关键． 根据轴对称的性质和等腰三角形的性质，逐一判断各选项说法的正确性． 【详解】 解：A. 两个全等的三角形不一定关于某条直线对称，故选项错误，不符合题意； B. 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，有两条对称轴，故选项错误，不符合题意； C. 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故选项错误，不符合题意； D. 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故选项正确，符合题意． 故选：D． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可． 【详解】 解：作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝BC＝3， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝30°， ∴AB＝， 由翻折变换的性质可知，DB＝DA＝， ∴DE＝BD•tan30°＝1， 故选A． 【点睛】 本题考查的是翻折变换的性质、解直角三角形，翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为　　　　　　　　　　　　　　 【答案】度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】 解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，结合可得，求出，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】 解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 48．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）已知点与点关于y轴对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，代数式求值．熟练掌握关于y轴对称的点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 由题意知，，计算求出的值，然后代值求解即可． 【详解】 解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：． 49．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则　　　　　　　　　． 【答案】40° (度 【分析】 根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】 解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 50．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，和关于直线l对称，若，则的度数为　　　　． 【答案】 【分析】 根据轴对称的性质可得∠C=，然后利用三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】 解：∵和关于直线l对称， ∴∠C= ∴∠B=180°－∠A－∠C=100° 故答案为：100°． 【点睛】 此题考查的是轴对称的性质和三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质和三角形的内角和定理是解题关键． 51．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，分别在边上，点与点关于直线对称，若，，求的周长． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】 解：点与点关于直线对称， ． ． ． 的周长为10． 52．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题． 【详解】 设CE=x． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°． ∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处， ∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x． 在Rt△ABF中，由勾股定理得： AF2=52-32=16， ∴AF=4，DF=5-4=1． 在Rt△DEF中，由勾股定理得： EF2=DE2+DF2， 即x2=（3-x）2+12， 解得：x=， 故答案为． 53．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，内有一点P，点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条直线对称，那么这两个图形的对应点的连线被这条直线垂直平分是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可求出的长． 【详解】 解：点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N， ，， 的周长是， ， ， 故答案为：． 54．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，点分别是上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在线段上，若为直角三角形，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】K度 【分析】 根据折叠的性质和三角形内角和定理可得，，分两种情况：当时，当，分别利用三角形内角和定理进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， ， 由折叠的性质可得：， 当时，， ， ， ， 当，如图所示，    ， 此时在的延长线上，不符合题意， 综上所述，的度数为：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 55．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A=　　　　　　　　　　　　　　　°． 【答案】30 【分析】根据平角的性质得到因为∠1+∠2=240°，得到再由图形翻折变换的性质得到根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】∵ ∠1+∠2=240° ∴ 根据折叠的性质可得： ∴∠A 故答案为30. 【点睛】考查三角形的内角和定理， 翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键. 56．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在如图的位置，交于，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，解决此题的关键是熟练运用相关知识点；先根据折叠得到相关角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到答案即可； 【详解】 解：由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：7． 58．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，直线过点． （1）当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． （2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 【答案】（1）证明见解答过程     （2）①；；② 当与全等时，秒或 5 秒或秒      【分析】 本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）① 由轴对称的性质可得出答案； ② 动点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． (1) 小问详解： 证明：∵直线， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 小问详解： 解：① 由题意得，， 则， 根据题意得， 由轴对称的性质可知，， ， 故答案为：． ② 由轴对称的性质可知，， ， ， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，． 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或 5 秒或秒． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折，得到．若，，则　　　　　　　度． 【答案】85 【分析】 由平行线的性质得出，再由翻折变换的性质得出，，进而求出的度数，即可得出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【点睛】 此题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及多边形内角和定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键． 60．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】 解：点A第1次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 61．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查折叠的性质和外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据折叠的性质可知，根据三角形的内角和得到的度数，再根据外角的性质即可得到答案； 【详解】 解：如图，连接AD， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， 故答案为：． 62．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 连接交于，连接交于，根据正方形的性质推出关于对称，求出，在中勾股定理求出即可． 【详解】 解：连接交于， ∵四边形是正方形， ， 即关于对称， ， 连接交于，则此时最小， ， ， ∵四边形是正方形， ， 由勾股定理得：， 的最小值为． 63．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，若，，且，求线段的长； （2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）     （2）证明：在的延长线上截取，连接， 设，则，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）先利用勾股定理求出的长，然后在等腰中求的长； （2）在的延长线上截取，连接，设，求出，则四点在以为直径的圆上，进而得到解题即可； （3）先证明得到，由轴对称可以得到作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，解题即可求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 即， ， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴， 作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，过点C作于点H， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 点N为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）到三角形的三边距离相等的点是（       ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】 本题考查了角的平分线的性质．根据角平分线的性质“在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上”判断即可． 【详解】 解：根据角平分线的性质知，到三角形的三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，中，，边的垂直平分线交于点 D，则的周长是（        ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【分析】 求三角形的周长，就把三边加在一起，又知道为边的垂直平分线，通过垂直平分线的性质，得到，把三角形的周长转换为求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的周长， 故选C． 【点睛】 本题通过垂直平分线的性质，进行边的转换求得周长，解决本题的关键是掌握这类型求周长问题，要先确定那些为已知边那些是未知边，通过边数量之间的关系求解． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（       ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【分析】 由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】 解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（     ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可． 【详解】 解：由作图过程可知：， ∴， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（       ） A. 10 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，则，，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，即可解答． 【详解】 解：连接， 则， 为边的垂直平分线， ∴， 即的周长的最小值为14． 故选：C． 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A. 两直线平行，内错角相等． B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C. 如果，那么 D. 对顶角相等 【答案】D 【分析】 本题考查逆命题的真假判断，准确分析判断是解题的关键． 需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立． 【详解】 、原命题两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行， 内错角相等是平行线的判定定理， 逆命题成立； 、原命题若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等的逆命题为若两个数相等，则这两个数的绝对值相等； 两数相等则绝对值必相等， 逆命题成立； 、原命题如果，那么的逆命题为如果，那么， 时，平方必然相等， 逆命题成立； 、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角， 相等的角不一定是对顶角， 逆命题不成立； 故选． 8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】首先将各个选项的逆命题，再判定是否成立，A选项成立，B选项正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，C选项明显不成立，D选项对应角相等的三角形不一定全等.故选A. 【详解】解：A选项逆命题为：同位角相等，两条直线平行，逆命题成立； B选项逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立； C选项逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立； D选项逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立. 故选A. 【点睛】此题主要考查逆命题的判定，熟练掌握概念，即可得解. 9．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得，即可求解. 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， 故选：B. 10．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在锐角三角形内有一点P，满足，则点是（        ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】 解：∵在锐角三角形内有一点P，满足， ∴点是三边垂直平分线的交点， 故选D 11．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了作线段垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意可得，则点在线段的垂直平分线上，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 故可判断D选项正确． 故选：D． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（        ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【分析】 根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】 解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 13．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（       ） A. 26 B. 32 C. 38 D. 44 【答案】C 【分析】 本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【详解】 解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴的周长． 故答案为：38． 14．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据作图步骤得出垂直平分，利用线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出和的度数，进而求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点． 由此可知：选项A符合条件， 故选A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 16．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D． 【详解】 解：由作图可知垂直平分线段，平分， ∴，， 故选项A、C正确， ∴， ∵，， ∴， 故选项B正确， 由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确． 故选：D． 17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】 本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】 解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 18．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）以下命题正确的是（       ） A. 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂线上 B. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 D. 等腰三角形的三条高都相等 【答案】C 【分析】 本题考查几何命题的真假判断；要判断每个选项的正确性，需结合线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定、角平分线的判定以及等腰三角形的性质来分析． 【详解】 解： A、与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，但选项中“垂线上”表述不准确，故不符合题意； B、两边分别相等且其中一组等边的对角相等（即条件），不能保证三角形全等，故不符合题意； C、角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，这是角平分线的判定定理，故符合题意； D、等腰三角形的三条高不一定相等（如一般等腰三角形），故不符合题意； 故选：C． 19．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】 解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）中，垂直平分，，如果的周长是，那么的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键． 根据是的垂直平分线，，可得，，再根据的周长为，可得，问题得解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， 又∵的周长为， ∴， ∴， 即的周长为． 故选：B． 22．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，为线段的垂直平分线与延长线的交点，连接，若，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 根据垂直平分线的性质可以得到，即可计算出． 【详解】 解：∵为线段的垂直平分线与延长线的交点， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 23．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】 解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 24．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】 解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知是的平分线， 即， ∵，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 不能判定是等腰三角形，故选项C不符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 25．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， 故选：． 【点睛】 此题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 26．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（       ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【分析】 先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出，即可求出答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴点A与点C关于对称． 连接与的交点为M，则此时点M为使周长最小时的位置． ∵点D是底边上的中点，且是等腰三角形， ∴．， ∵，， ∴． ∵， ∴的周长． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键． 27．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 28．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知条件得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得，根据角平分线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到． 【详解】 是的中点，过点作的垂线交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 故选：． 【点睛】 本题考查三角形的性质定理，关键要掌握中垂线的性质． 29．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）命题“如果，那么”的逆命题是　　　　　　命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】 本题考查了逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论，原命题条件与结论互换就是逆命题． 【详解】 解：逆命题：如果，那么， 是真命题， 故答案为：真 ． 30．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是　　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 31．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是　　　　　　. 【答案】13 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】 解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 32．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为　　　　　　　　　　　　． 【答案】如果两个角相等，那么它们是直角． 【分析】 本题考查逆命题，命题的题设与结论，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．先要明确命题中的已知条件和结论，原命题“直角相等”意为“如果两个角是直角，那么它们相等”，其逆命题是交换条件和结论，据此作答即可． 【详解】 解：原命题“直角相等”可表述为“如果两个角是直角，那么它们相等”， 那么其逆命题为：“如果两个角相等，那么它们是直角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是直角． 33．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　．（用“如果…那么…”的形式写出） 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【分析】 交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】 解：命题“对顶角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【点睛】 本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 34．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角性质周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是， 故答案为：． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，点在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，然后由的周长，的周长，即可解答． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为19，的周长为12， ∴，， ∴． 故答案为：7． 36．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图， 中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D．若，则的周长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分，推出即可求解； 【详解】 解：由题意得：垂直平分， ∴； ∵的周长, ∴的周长, 故答案为： 37．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图．A，B是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹） 【答案】作图如下： 的垂直平分线与公路的交点P即是公共汽车站的位置． 【分析】 本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质的应用，连接，的垂直平分线与公路的交点即是公共汽车站的位置，据此即可作答． 【详解】 略 38．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在中，，D为边的中点，，交直线于点E，连接，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意，画出示意图，分点E在上，点E在延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】 解：如图，当点E在上时， D为边的中点，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 如图，当点E在延长线上， 同理可得：， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 39．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．    （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【答案】（1） 证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC；     （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC      【分析】 （1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC； （2）根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知AB＝AC， ∠BAC＝108°， ， AD＝AE，∠DAE＝36°， ， 是的一个外角， ， 同理，， ∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键． 40．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】 本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】 解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 41．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】 解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 42．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，若，，则的周长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查基本尺规作图-作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键．先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得，即可求解． 【详解】 解：根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线， ． ，， 的周长为： ． 故答案为：． 43．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，     ∵的平分线与的垂直平分线交于点D，，， ∴，， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，，利用可证，从而证出结论； （2）根据角平分线的定义和直角三角形的性质可证，然后根据角平分线的性质可证，从而得出，代入即可解出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是　　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出，再根据的周长公式进行求解即可． 【详解】 解：∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长， ∴； 故答案为：6． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． （1）请作出对称轴直线及关于直线对称的； （2）在直线上画出点，使得的周长最小； （3）画出中边上的中线（仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹）； 【答案】（1）如图，直线和即为所求；     （2）如图，点即为所求；     （3） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查画轴对称图形，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）连接，画出的中垂线即为直线，进而画出即可； （2）连接，与直线的交点即为点； （3）取格点，连接交于点，易知垂直平分线段，即点为线段的中点，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，交直线于点，连接， 由对称性可知：， ∴的周长， 当点在线段上时，的周长最小； (3) 小问详解： 略 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长为32，则的周长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长为32， ， ， 的周长， 故答案为：． 47．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，． （1）用尺规作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的周长为7，，求的长． 【答案】（1） 所求图形，如图所示；      （2）3      【分析】 本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，由可推出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 48．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到　　　　　　条折痕． 【答案】15 【分析】 根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【详解】 解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【点睛】 本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 49．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）中，点为中点，，平分于点，若，则的长度为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接、，过点作于点，利用垂直平分线性质得，角平分线性质得，进而证明和，分别得出、，最后结合求出的长度． 【详解】 解：连接、，过点作于点， ∵点为中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，则的长为　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含角直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 连接交于点，利用垂直平分线的判定方法证出垂直平分，得到，，证出为等边三角形，即可利用平行的性质判定出为等边三角形，设，分别用表示出和的长，再利用含角直角三角形的定义列式运算即可． 【详解】 解：连接交于点，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 51．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，，平分． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接，若，求． 【答案】（1） 解：图形如图所示：      （2）      【分析】 本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）设，利用三角形内角和定理构建方程求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵ 垂直平分线段， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 52．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． （1）作线段AB的垂直平分线DE，垂足为点E，交AC于点D，要求用尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不要求写作法和证明； （2）连接BD，直接写出∠CBD的度数； （3）如果△BCD的面积为4，请求出△BAD的面积． 【答案】（1）如图，DE为所作； （2）30°； （3）8 【分析】 （1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DBA=∠A=30°，然后计算∠ABC-∠DBA即可； （3）在Rt△BCD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到DB=2CD，则DA=2CD，然后根据三角形面积公式得到S△ABD=2S△BCD=8． 【详解】 （1） 略 （2）∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=30°， ∵∠ABC=90°﹣∠A=60°， ∴∠CBD=∠ABC﹣∠DBA=60°﹣30°=30°； （3）在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°， ∴DB=2CD， 而DA=DB， ∴DA=2CD， ∴S△ABD=2S△BCD=8． 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了垂直平分线的性质． 53．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若的周长为，，则的周长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 54．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是　　　　． 【答案】3 【分析】 连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K．先证明△MBK≌△MBN，Rt△AMN≌Rt△CMK，得到，BK=BN，AN=CK，通过线段的代换求出BN，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K， ∵ME为AC的垂直平分线， ∴AM=MC， ∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG， ∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°， 又∵MB=MB， ∴△MBK≌△MBN， ∴MN=MK，BK=BN， ∴Rt△AMN≌Rt△CMK， ∴AN=CK， ∴AN=CK=BC+BK=BC+BN， ∴BN=AN-BC=AB-BN-BC， ∴2BN=AB-BC=13-9=4， ∴BN=2， ∴△BMN的面积为． 故答案为：． ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质、角平分线等知识，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标；根据关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 2．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）点关于y轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了坐标系中的对称，掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 根据坐标系中点的对称规律即可求解． 【详解】 解：点关于y轴对称， 对称点的横坐标为，纵坐标为， 对称点的坐标为． 故选：B． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）点关于轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点M（-5，3）关于x轴的对称点的坐标是（-5，-3）， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，属于基础题，比较简单． 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）点关于轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的性质．关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）点关于轴对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标是； 故选A． 6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）点关于轴对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了关于x轴和y轴的对称点的特点，熟练掌握关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：∵点关于x轴对称， ∴横坐标不变为1，纵坐标变为相反数为， ∴点关于轴对称点的坐标为． 故选：A． 7．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征作答即可． 【详解】 解：∵点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 故选：D． 【详解】 8．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）若点与点关于y轴对称，则的值是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】 ∵点与点关于y轴对称， ∴a=-2，b=-1， ∴a-b=-1， 故选A． 【点睛】 本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知点M与点关于y轴对称，那么点M的坐标为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 【详解】 解：∵点M与点关于y轴对称， ∴点M的坐标为， 故选C． 10．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若点关于轴的对称点为，则的坐标是(  ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点关于轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标互为相反数”这一规律； 先明确点关于轴对称的坐标变化规则，再将已知点的横坐标直接保留，纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标． 【详解】 解：根据平面直角坐标系中点关于轴对称的特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 已知点，其关于轴的对称点P'的横坐标为，纵坐标为的相反数，即 故选：B． 11．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】 设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）若点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 （　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】 解：点与点Q关于x轴对称， 则点Q的坐标为． 故选：A． 13．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，求出a、b的值，即可确定点M的坐标，进而得到结论． 【详解】 解：点与点关于y轴对称， ∴，， ∴在第一象限， 故选：A． 【点睛】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，判断点所在的象限，关于y轴对称的点的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数． 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）点关于轴对称点的坐标是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为 故选：C． 15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】 解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 16．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】 解：∵点和关于x轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴， 故选：B． 17．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）若点与点关于y轴对称，则（     ） A. 1 B.  C. 2025 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了坐标与图形变化——轴对称、求代数式的值，熟练掌握关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．根据关于y轴对称的点的特征列出方程，求出的值，再代入即可求解． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 18．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（       ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值． 【详解】 解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC， ∴ME=MN， ∴CM+MN=CM+ME=CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB， ∴， ∴10CE=6×8， ∴CE=4.8． 即CM+MN的最小值是4.8， 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，找到使CM+MN最小时的动点M和N是解答本题的关键． 19．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（       ） A. 0 B.  C. 2 D. 8 【答案】A 【分析】 此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数．据此列式计算即可求解． 【详解】 解：∵点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为， ∴与关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：A． 20．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的圆周率所在的象限，然后解答即可． 【详解】 解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为， 故选：C． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】 解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵∠ABC=90°，∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠OAB=∠DBC． 在△OAB和△DBC中， ， ∴△OAB≌△DBC（AAS）， ∴BD=AO，DC=OB． ∵A（3，0），B（0，-1）， ∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4， ∴点C的坐标为（1，-4）． 故答案为：（1，-4）． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键． 22．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．据此作答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点为， 那么点Q的坐标为， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 24．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影 关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 25．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）（多选）如图：在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）S△ABC＝　     　． （2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）． （3）写出点A1、B1、C1的坐标．A1　     　，B1　     　，C1　     　． 【答案】(1) 7.5 （2）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1如图所示；    (3) A1（1，5）B1（1，0）C1 （4，3）． 【分析】 （1）利用△ABC等于底边AB乘以点C到AB的距离列式计算即可得解； （2）根据网格结构找出点A、B、C 关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】 解：（1）S△ABC＝×5×3＝7.5； （2） 略 （3）根据平面直角坐标系可得：A1（1，5）,B1（1，0）,C1（4，3）． 故答案为(1) 7.5；(2)见解析；(3) A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）． 【点睛】 本题考查利用轴对称变换作图，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置． 26．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于y轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变。 【详解】 解：点关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，故对称点为． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点坐标关于坐标轴的特点．点坐标关于坐标轴的对称规律：（1）关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数；（2）关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变．据此求解即可． 【详解】 解：点关于轴的对称点为， 则点P的纵坐标为1， 点关于轴的对称点为， 则点P的横坐标为2， 则点P的坐标为， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，已知各顶点的坐标分别为，，． （1）请你画出关于轴对称的， （2）并写出的各点坐标； （3）求的面积； 【答案】（1）如图， （2），，；（2）． 【分析】 （1）先写出各顶点关于轴对称的点，再依次连接即可； （2）根据图象及各象限坐标的特征解题； （3）将图形用矩形面积减去三个三角形面积即可. 【详解】 （1） 略 （2）由图象可知，，，； （3） 【点睛】 本题考查网格作图—关于y轴对称、象限与点坐标、三角形面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 29．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）已知点与点关于y轴对称，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，掌握关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，再代入即可解答． 【详解】 解：点与点关于y轴对称， ， ， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（-8，0）、（-3，0），，将沿着射线AC翻折，点B落到y轴上点D处． （1）求点D的坐标； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿着线段BO向终点O运动，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿着线段AO向终点O运动，动点N以每秒a个单位长度的速度从点O出发沿着x轴正方向运动，点P、M、N同时出发，点M停止时，点P、N也停止运动，当时，求a的值． 【答案】（1）     （2），（）或，（）．     （3）7      【分析】 （1）根据翻折的性质和坐标特点解答即可； （2）分0≤t＜5和5＜t≤8两种情况，利用三角形面积公式解答即可； （3）根据全等三角形的性质得出方程，利用四种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：∵AD是由AB折叠得到， ∴， ∴； (2) 小问详解： ，当时， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，， 综上所述，的面积是，（）， 或，（）． (3) 小问详解： ∵， ∴，， 由题意可知：，，， ∴，， ∴，解得，，解得， ∴a的值是7． 【点睛】 本题考查了几何变换的综合题，全等三角形的判定和性质，关键是根据翻折的性质和全等三角形的性质解答． 31．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的图形； （2）画出 关于y轴的对称图形； （3）的面积为             ． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作；      （2） 解：如图，即为所求作；      （3）      【分析】 本题考查了复杂作图——平移作图，作轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特征，割补法求面积，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的特点作图即可； （3）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积为． 32．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形——轴对称变换，熟知关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，可求出和的值，再代入计算． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴ 故答案为： 33．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，已知的三个顶点分别为、、． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形（A、B、C的对应点分别是D、E、F）． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 即为所求：      （2）4      【分析】 本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式等知识． （1）分别画出A、B、C三点关于x轴的对称点D、E、F即可解决问题； （2）根据四边形是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形的面积为：． 34．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知点与点关于y轴对称，则　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】 解：根据题意得， ， 解得 ， ∴， 故答案为：8． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）将向下平移6个单位，得，画出； （2）画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标． （注：点的对应点为，点的对应点为） 【答案】（1）（2）题如图所示 点的坐标为 【分析】 （1）根据题目要求进行平移即可； （2）直接画出关于轴的对称图形即可求出点的坐标． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系和轴对称的相关知识，熟练运用轴对称的知识和在平面直角坐标系中对图形进行平移是解答此题的关键． 36．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）若点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标的特征．根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可求解． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，在给定的网格中按要求画图． （1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； （2）画出关于直线l对称的． 【答案】（1） 如图， 即为所求；     （2） 如图， 即为所求．      【分析】 本题考查了平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移变换、轴对称变换的性质是解题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 38．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）若，求P(-a，b)关于y轴的对称点的坐标　　　　　　　　　． 【答案】（，-4） 【分析】根据非负数的性质求出a、b，从而得到点P的坐标，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵， ∴3a-1=0，b+4=0， ∴a=，b=-4， ∴P（，-4）关于y轴的对称点的坐标为（，-4）， 故答案为：（，-4） 【点睛】本题考查了非负数的性质，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律. 39．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）若点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解和的值，再计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    （1）作出与关于轴对称的； （2）写出点、、关于轴的对称点的坐标 ． （3）求出 的面积， 【答案】（1） 如图所示，即为所求，         （2），，     （3）      【分析】 本题考查轴对称作图，关于坐标轴对称的点的坐标特征及三角形的面积； （1）根据题意先找到、、三点关于轴的对称点，进而顺次连接可得； （2）由题意根据关于轴对称的点的坐标特点即可得出点、、关于轴的对称点的坐标； （3）根据题意利用补全正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点，，关于轴的对称点的坐标分别为：，， (3) 小问详解： ． 41．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）若点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，由题意得，，可求，然后代值求解即可． 【详解】 解：由条件可知， 解得， ∴， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称的点的特点，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 43．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）写出点的坐标：A1（                      ）、B1（                      ）、C1（                      ）； （3）△A1B1C1的面积＝　               　； 【答案】（1）如图所示： （2）A1（-3，-4），B1（-4，-1），C1（-1，-2）； （3）4 【分析】 （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据图形分别写出各点坐标； （3）利用割补法求解可得． 【详解】 解：（1） 略 （2）A1（-3，-4），B1（-4，-1），C1（-1，-2）； （3）△A1B1C1的面积==4． 【点睛】 本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点． 44．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知各顶点的坐标分别为，直线l经过点，并且与y轴平行，与关于直线l对称． （1）画出，点的坐标为                              ，点的坐标为                              ； （2）若点是内一点，点是内与点P对应的点，则点坐标为                              ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）      【分析】 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合轴对称图形的性质，找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合轴对称的性质，进行列式，得出，即可作答． (1) 小问详解： 解：点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点是内一点，点是内与点P对应的点， ∴， ∴， 即点坐标为， 故答案为： 45．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在下方单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）关于y轴对称的如下图所示 ： （2） 【分析】 （1）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′即可； （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】 （1） 略 （2） ． 【点睛】 本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 46．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，． （1）画出关于轴对称的三角形，并写出点的坐标； （2）以为顶点组成三角形，求的面积． 【答案】（1） 如图所示．        点；     （2）5      【分析】 本题考查方格纸作图，利用方格纸求三角形面积，轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用轴对称的性质进行作图并写出顶点坐标即可； （2）利用方格纸将三角形面积组合为长方形与三角形的面积差即可求解（如图中的红色长方形）． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接． ． 47．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】（1，2） 【分析】 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）． 故答案为:（1，2）． 【点睛】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 48．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点A，B，C的对应点）； （2）将沿着y轴翻折，得到，画出（其中点，，分别是点A，B，C的对应点）； （3）在x轴上找一点D，使得，则点D的坐标为_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求作；      （2） 如图所示，即为所求作；      （3）      【分析】 本题主要考查了平移作图，翻折作图，全等三角形的判定， 对于（1），将三角形的三个顶点向左平移3个单位长度，再依次连接即可； 对于（2），将三角形的三个顶点沿着y轴翻折得到对应点，再依次连接即可； 对于（3）根据全等三角形的判定定理作出图形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，当点时， ∴， ∴． 故答案为：． 49．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式计算即可． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：． 故答案为：． 50．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的， （2）连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所作图形；      （2）35      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接、， 四边形的面积为：． 51．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 在平面直角坐标系中，， ，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出，，三点的坐标：                       ，                    ，                          （3）在（1）（2）的条件下， 连接， 直接写出的面积为                  【答案】（1） 如图，为所作；      （2）、、     （3）      【分析】 本题考查了作图轴对称变换，三角形的面积，写出坐标系中点的坐标； （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、三点的坐标，然后描点即可得到； （2）由（1）得、、三点的坐标； （3）用所围长方形的面积减去三个三角形的面积可计算出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：、、， 故答案为：、、；． (3) 小问详解： 解：的面积． 52．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，……．已知，则点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 根据规律可知点的坐标是， ， 点的坐标是． 故答案为：． 53．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出关于轴对称的； （3）连接，，，请直接写出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；         （2） 如图所示，为所求，         （3）      【分析】 本题考查了轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征、正确找出各点的对应点是解题的关键． （1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （3）根据三角形的面积公式即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，    的面积． 54．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、） （2）在（1）的条件下，写出点，，的坐标； （3）请直接写出直线，的交点的位置．（写出具体的坐标轴或象限即可） 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2），，     （3）轴      【分析】 本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）结合网格可得出答案． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 由图可得，，， (3) 小问详解： 由图可知，直线，交于轴． 55．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，将△向右平移4个单位，画出平移后的△； （2）在图②中，画出△关于直线的轴对称图形△； （3）在图②的直线上找一点，使的值最小． 【答案】（1） 如图① ，△即为所求．      （2） 如图② ，△即为所求．      （3） 则点即为所求． 【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、作图平移变换. （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图② ，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值． 56．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，已知平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是(-6，a) （1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标； （2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）； （3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（0，），B（，0），C（6，0）；（2）a＞0时，△PAB的面积为2a－4，a＜0时，△PAB的面积为4－2a；（3）P（，12）或（，） 【分析】 （1）根据三角形面积公式得到•OA2=8，解得OA=4，则OB=OA=4，OC=BC-OB=6，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标； （2）分类讨论：当点P在直线AB上方即a＞2；当点P在直线AB下方，即a＜2；利用面积的和与差求解； （3）先计算出S△ABC=20，利用（2）中的结果得到方程，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标． 【详解】 解：（1）∵S△ABO=OA•OB， ∵OA=OB， ∴OA2=8，解得OA=4， ∴OB=OA=4， ∴OC=BC-OB=10-4=6， ∴A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）； （2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图， S△PAB=S△AOB+S梯形BOHP-S△PBH=8+（4+6）•a-×6×（a+4）=2a-4； 当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图， S△PAB=S梯形OHPA-S△PBH-S△OAB=（-a+4）×6-×（6-4）×（-a）-8=4-2a； （3）S△ABC=×10×4=20， 当2a-4=20， 解得a=12． 此时P点坐标为（-6，12）； 当4-2a=20， 解得a=-8． 此时P点坐标为（-6，-8）． 综上所述，点P的坐标为（-6，12）或（-6，-8）． 【点睛】 本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；掌握三角形面积公式． 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：_______ （3）在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求． ．     （2）     （3） 如图所示： 【分析】 本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变换、轴对称的性质等知识，熟练掌握画轴对称图形的方法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）根据关于轴对称的点坐标变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，由此即可得； （3）连接，交轴于点，连接、，由此即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴点关于轴的对称点的坐标， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：在轴上找一点，连接、，使得周长最小， 理由：由轴对称的性质得：， ∴周长为， ∵是定值， ∴由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的长最小，即周长最小， ∴与轴的交点即为所求． 58．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形． （2）连接，在第二象限找一点，连接，使得是以为底边的等腰直角三角形； （3）连接，直接写出线段的长度_____． 【答案】（1） 如图，是所求作的三角形，      （2） 如图，是所求作的等腰直角三角形，      （3）3      【分析】 本题考查的是轴对称的作图，等腰直角三角形的定义，熟练地应用轴对称的性质是解本题的关键． （1）分别确定关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格图的特点作出以为底边的等腰直角三角形即可； （3）由图即可得线段的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知，线段的长度为3，故答案为：3． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请在图中作出关于y轴的轴对称图形，并直接写出点坐标； （2）请在图中作出向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度的图形，并直接写出点坐标 （3）y轴上一动点P，当有最小值时，画图确定点P的位置，直接写出P点坐标． 【答案】（1） 解：如图：即为所作，点坐标为， ；     （2） 如图：即为所作， ；     （3） 如图：点P即为所作，       【分析】 本题考查轴对称图形的绘制、图形的平移以及最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质、平移的规律和利用轴对称找最短路径的方法． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、的坐标，再描点作图； （2）根据平移的规律，求出、、的坐标，再描点作图； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：已知，则点坐标为，即， (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为，将和代入得： 解得，， 所以直线的解析式为， 令，则， 所以点坐标为． 60．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的三角形，并写出的坐标． （2）线段的中点坐标是_____． （3）求出的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求，．      （2）     （3）7      【分析】 此题考查了利用轴对称的性质作图，割补法求三角形面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中点坐标公式解答即可． （3）利用割补法可得的面积等于长方形的面积减去周围3个直角三角形的面积， 再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴线段的中点坐标是． (3) 小问详解： 解：． 61．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知点关于x轴的对称点在第三象限，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，各个象限内点的坐标特点，解不等式组． 先求点P关于x轴的对称点坐标，再根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】 解：∵点关于x轴的对称点为，且该对称点在第三象限， ∴ ， 解得． 故答案为：． 62．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：（       ），（       ），（       ）； （3）的面积=_____． 【答案】（1） 如图，为所求；      （2）；；     （3）      【分析】 本题考查作轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标变化，坐标系中三角形的面积． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，顺次连接即可得到； （2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解； （3）运用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由轴对称可得，，，． 故答案为：；；． (3) 小问详解： 解：． 故答案为：． 63．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，在平面直角坐标系中．A、B、C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标________． （2）连接，，直接写出的面积________． 【答案】（1） 如图，为所作，点的坐标为，      （2）3.5      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可，再写出点的坐标； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 故答案为：3.5 64．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；     （2）．      【分析】 本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． (1) 小问详解： 解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到， 即为所求， ，，与点，，关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：如下图所示，连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 由网格可知点的坐标是． 65．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； （3）在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 连接如下图所示：      （2）     （3），点P即为所求： 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）由（1）即可解答； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再设的解析式为，将点和点C代入求出解析式，进而即可得到点P坐标． (1) 小问详解： 解：，，关于y轴对称对应点分别为，， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，∵点A和点关于y轴对称， ∴连接交y轴于点P， 由对称可知，， ∴的周长为， ∵两点之间线段最短， ∴当点P为与y轴的交点时，的周长最小， 设的解析式为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 故答案为：． 66．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知点在第一象限的角平分线上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：    （1）点P的坐标为多少？ （2）的值为多少？ 【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）作轴于E，轴于F，由角平分线的性质得出，得出方程，解方程求出，即可得出P点坐标； （2）由证明，得出，则． (1) 小问详解： 解：作轴于E，轴于F，如图所示： 根据题意得：，    ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的值为2． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 67．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图．三个定点坐标分别为． ， （1）画出向下平移5个单位的；（A、B、C的对应点分别为、、）； （2）画出关于轴对称的三角形是；（A、B、C的对应点分别为）： （3）直接写出的面积___________． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了平移作图，对称作图和平面直角坐标系中求面积，解决此题的关键是画出正确的图形； （1）根据平移的规律先画出平移后三角形三个顶点，连线即可得到答案； （2）根据轴对称的规律先画出关于y轴对称轴三个顶点，连线即可得到答案； （3）根据割补法求出面积即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示； ， 故答案为：． 68．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），顶点B在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，线段OC的垂直平分线分别交OC，BC于点D，E． （1）点C的坐标； （2）点P为线段ED的延长线上的一点，连接PC，PA，设点P的横坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F为线段BC的延长线上一点，连接OF，若OF＝CP，求∠OFP的度数． 【答案】（1）C（0，3）；（2）S＝2t；（3）60°. 【分析】 （1）根据直角三角形30度角的性质分别计算AB和AC的长，可得OC的长，写出点C的坐标； （2）根据三角形面积公式得：S△ACP=×AC×DP=×4×t=2t； （3）如图3，过点O作OH⊥BC于H，证明Rt△OHF≌Rt△ODP，得∠HFO=∠DPO，再证明△FOP是等边三角形，则∠OFP=60°． 【详解】 （1）∵∠ABC＝90°， ∴∠CBO+∠ABO＝90°， ∵∠CBO+∠ACB＝90°， ∴∠ABO＝∠ACB， ∴∠ACB＝30°， ∴∠ABO＝30°， 在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB， ∵A（0，﹣1）， ∴OA＝1， ∴AB＝2，AC＝4， ∴OC＝AC﹣OA＝4﹣1＝3， ∴C（0，3）； （2）∵DE所在直线为线段OC的垂直平分线， ∴PD⊥OC， ∵点P的横坐标为t， ∴PD＝t， ∵AC＝4， ∴S△ACP＝＝2t， 即S＝2t； （3）如图3，过点O作OH⊥BC于H，连接OP， 在Rt△CHO中，∵∠HCO＝30°， ∴OH＝OC， ∵OD＝OC， ∴OH＝OD， ∵PE所在直线为线段CD的垂直平分线， ∴PC＝PO， ∴OF＝CP， ∴PO＝FO， 在Rt△OHF和Rt△ODP中， ∵ ， ∴Rt △OHF≌Rt△ODP（HL）， ∴∠HFO＝∠DPO， ∴∠FEP+∠HFO＝∠FOP+∠DPO， ∴∠FEP＝∠FOP， ∵∠FEP＝60°， ∴∠FOP＝60°， ∴△FOP是等边三角形， ∴∠OFP＝60°． 【点睛】 此题属于三角形的综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 69．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． （1）若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； （2）若以点，，为顶点的三角形与全等（点与点不重合），请在图中标出点所有可能的位置并写出它们的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图， 或或      【分析】 本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点，，，即为所求， 即所有符合条件的点P的坐标为或或． 70．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判断与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题． 【详解】 解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 71．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】 解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 72．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）（1）作与关于x轴对称的图形，写出点的坐标          ； （2）在x轴上找点P，连接PA、PB，使的值最小，写出点P的坐标          ．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图，为所作； （2）如图2，点P为所作， 【分析】 本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）如图1，利用关于x轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可得到，再写出点的坐标； （2）如图2，连接交x轴于P，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后写出P点坐标． 【详解】 （1）略 （2）略 73．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点的对应点）； （2）将沿着轴翻折，得到，画出（其中点分别是点的对应点）； （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为______． 【答案】（1） 即为所求：      （2） 即为所求：      （3）      【分析】 本题考查作图平移变换，翻折变换，全等三角形的判定，解题的关键是掌握平移变换，翻折变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用翻折变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据全等三角形的判定作出图形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，当点为时， ， ， 故答案为：． 74．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）作出关于轴对称的； （2）作出向下平移3个单位，再向右平移1个单位后的 （3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；      （3）、、．      【分析】 本题考查了轴对称作图、平移作图、全等三角形的判定及点的坐标知识，解题的关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． （1）利用轴对称变换，即可得到； （2）根据要求作图即可； （3）依据以B、C、D为顶点的三角形与全等，可知两个三角形有公共边，运用对称即可得出所有符合条件的点D坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，有三种情况： 点D的坐标分别为、、． 75．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点与点关于y轴对称，直接写出__________． （3）格点是以为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为__________． 【答案】（1） 如图，即为所作， ；；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查轴对称变换，轴对称的性质，等腰三角形的性质． （1）根据轴对称的性质找到点关于x轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的特点，求得和的值，再代入求解即可； （3）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点P即可． (1) 小问详解： 解：其中，；；； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 76．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． （2）当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． （3）在（2）条件下，若，则t的值为__________． （4）若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3）4     （4）存在，或      【分析】 本题是三角形综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）判断出，即可得出结论； （3）列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ∵点在线段上， ， ； 故答案为：4； (4) 小问详解： 存在 理由如下： ，，点， ，； 当Q在正半轴时， ∴ ∴ 当Q在负半轴时， ∴ ∴ 综上所述：或． 77．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】 解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时，  ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 78．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出将向左平移4个单位长度后得到的； （3）上的一点经过上述两次变换后的对应点的坐标是________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画出图形是解题的关键，属于常考题． （1）利用轴对称的性质即可画图； （2）利用平移的性质即可画图； （3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标为， 故答案为：． 79．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键．观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】 解：点第一次关于轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于轴对称后在第二象限，即点回到原始位置，坐标为； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后，所得的点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 80．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标（直接写答案）：____________；____________；____________； （3）的面积为____________（直接写答案）； （4）为轴上的一动点，的最小值为____________（直接写答案）． 【答案】（1） 画图如下，即为所求图形．：      （2）     （3）     （4）5      【分析】 （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据(1)的解答直接写出坐标即可 （3）利用分割法计算面积即可； （4）根据轴对称原理，结合勾股定理解答即可． 本题考查了关于y轴对称的作图，分割法计算图形的面积，轴对称原理计算线段和的最小值，勾股定理，熟练掌握对称性质，勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标， (2) 小问详解： 解：根据作图可得，， 故答案为：． (3) 小问详解： 解： 故答案为：． (4) 小问详解： 解；如图所示， 点关于轴的对称点为， 连接交轴于点， ， ， 点三点共线， 此时的值最小， ， 故答案为：5． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（   ） A. 400 B. 500 C. 550 D. 600 【答案】C 【分析】由已知顶角为70°,根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理,即可求出它的一个底角的值 【详解】等腰三角形的顶角为70°, 它的一个底角为(180°-70°)÷2=55° 故选:C 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形内角和定理 2．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 如图，作于H，根据含度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：如图，作于H，    ∵三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，即，， ∴等腰直角三角形的直角边， 故选B． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（     ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由角平分线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，据此可得，和都是等腰三角形，即等腰三角形有3个． 【详解】 解：∵中，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中一共有3个等腰三角形， 故选：D． 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）下列定理没有逆定理的是（       ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的三边相等 D. 等腰三角形两底角相等 【答案】B 【分析】 本题考查命题与定理的知识，解题的关键是写出每个定理的逆命题并且判断真假；通过判断每个定理的逆命题的真假来确定是否有逆定理，逆命题为假则没有逆定理 【详解】 解：A、“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”为真命题，故A项不符合题意； B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”为假命题，故B项符合题意； C、“等边三角形的三边相等”的逆命题为“三边相等的三角形是等边三角形”为真命题，故C项不符合题意； D、“等腰三角形两底角相等”的逆命题为“两角相等的三角形是等腰三角形”为真命题，故D项不符合题意. 故选：B 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等腰中，，点在上，连接并延长至点，使，若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形外角性质；等腰三角形两底角相等，三角形外角等于不相邻两内角和；设，则，由，可得，由，可得，再由，建立方程求解即可． 【详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， 解得：， 即． 故选：B． 6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，过D作交于点E，若，则（     ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是通过角平分线与平行线的性质推出等角，进而判定等腰三角形． 由平分得，结合得，从而，判定为等腰三角形，得． 【详解】 解：∵ 平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：C． 7．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（       ） A.  B. 9 C. 18 D. 36 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可． 【详解】 解：过点作于点，过点作于点 、 在和中 ， 故选：B． 8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，，则长为（       ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题主要考查直角三角形的性质，求出，运用所对直角边等于斜边的一半 求出，从而可求出． 【详解】 解：∵， ∴； ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）在中，，如果，那么为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据等边对等角得到，再利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】 解：在中，， ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及三角形内角和定理，熟练掌握各性质及定理是解题的关键． 10．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS，其中正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 连接，，证明，即可判断① ，根据等边对等角可得，根据角平分线的性质可得，等量代换可得，进而即可判定QP∥AR，即可判断② ，假设③ 成立，可得到，与已知矛盾，进而可判断③ ，根据垂直平分线的判定定理即可判断④ ． 【详解】 连接，，如图， PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS， 是的角平分线， 在与 故① 正确； 故② 正确； 假设△BRP≌△QSP； 则， 而题中没有说明，故③ 不正确； 是是垂直平分线，故④ 正确 故正确的有① ② ④ 故选C 【点睛】 本题考查了角平分线的性质与判定，等边对等角，判定三角形全等，垂直平分线的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 【答案】A 【分析】 根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝2∠BAD，再根据三角形外角性质得出∠ADC＝3∠BAD，根据三角形内角和列出方程即可得到结论． 【详解】 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝2∠BAD， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝2∠BAD， ∴∠ADC＝3∠BAD， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC+∠C＝90°， ∴3∠BAD+2∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝18°， 故选：A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 B. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 C. 平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合． 【答案】A 【分析】 本题考查轴对称性质、直角三角形全等条件、三角形内心、等腰三角形性质等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键． 根据轴对称性质、直角三角形全等条件、三角形内心、等腰三角形性质等概念，逐项判断即可． 【详解】 解：A、关于某直线对称的两个三角形能够完全重合，则它们全等，故A正确； B、直角三角形中，一个锐角和一条边相等，但边可能不是对应边（如一边为邻边，另一边为对边），则不一定全等，故B错误； C、平面内到三角形三边所在直线距离相等的点有四个（一个内心和三个旁心），而三角形三条（内）角平分线的交点只有一个（内心），故C错误； D、等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线和高线互相重合，并非所有角平分线、中线、高线都重合，故D错误； 故选：A． 13．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得，推出，由，推出，据此求解即可． 【详解】 解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列说法正确的有（     ）个 ①等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；②有一个角是的三角形是等边三角形；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 该题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，同底数幂乘法，直角三角形的性质，逐一判断每个说法的正确性：①等腰三角形的三线合一仅针对顶角，说法不准确；②有一个角的三角形不一定是等边三角形；③同底数幂相乘的性质正确；④直角边性质正确． 【详解】 解：∵①等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，并非所有角平分线、中线、高线都三线合一，∴①错误； ∵②有一个角是的三角形，其他角不一定都是（如），∴②错误； ∵③同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴③正确； ∵④在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，∴④正确． ∴正确的说法有③和④，共2个． 故选：B． 15．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，，垂足为C，，则为（     ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【分析】 本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明得到，再由等边对等角和三角形内角和定理推出，据此可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：A． 16．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，为的角平分线，，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理．在上找到点使得，易证，可得，，根据，即可求得，即可证明，根据三角形内角和为性质即可解题． 【详解】 解：在上找到点使得， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为（　　） A. 8 B. 4 C. 12 D. 6 【答案】C 【分析】 由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°，易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=4．又Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=8；由此可求得BC的长． 【详解】 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∵AB⊥AD， ∴BD=2AD=2×4=8， ∠B+∠ADB=90°， ∴∠ADB=60°， ∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°， ∴∠DAC=30°， ∴∠DAC=∠C， ∴DC=AD=4 ∴BC=BD+DC=8+4=12， 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键． 18．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）中，，的外角为，则的度数（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用．已知顶角的外角的度数，即两底角的度数和，利用三角形外角的性质，可求得底角的度数． 【详解】 解：∵中，，的外角为， ∴底角． 故选：B． 19．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A. 30 B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【分析】 根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝70°，根据旋转变换的性质求出AD＝AC，根据等边对等角可得∠ADC＝∠ACD＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝40°，然后计算即可． 【详解】 解：∵DC∥AB， ∴∠ACD＝∠CAB＝70°， 由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝70°， ∴∠ADC＝∠ACD＝70°， ∴∠CAD＝40°， ∴∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝40°， 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理，等边对等角求角度，旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键． 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，点M，，，且，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，角平分线的判定，等腰三角形的性质，先证明，可得，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， 故选：B． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（   ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 【答案】A 【详解】 ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°， 故选A． 22．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【分析】 由AB＝AC，∠A＝50°得出∠ACB＝65°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD＝CD，推出∠ACD＝∠A＝50°，即可得出∠BCD＝15°． 【详解】 解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠ACB＝∠B， ∵直线MN垂直平分边AC， ∴AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝50°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°， 故选：B． 【点睛】 此题考查了等腰三角形以及垂直平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 23．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（       ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，分为底和为腰找对应的三角形即可． 【详解】 解：当为底时，有和，当为腰时，有、和，共有5个，如图， 故答案为：C． 24．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 由等腰三角形的两个底角相等及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】 解： ∵等腰三角形的一个底角为， ∴这个等腰三角形的顶角， 故选：C． 25．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（  ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形定义，三角形内角和定理，根据等腰三角形有两个相等的角，已知一个内角为，它可能是顶角或底角，需分情况讨论顶角的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵ 等腰三角形两底角相等， 若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角为，顶角为， ∴ 顶角为或， 故选：． 26．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，中，，，是边上的中线，则的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 题目主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由等腰三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴平分， ∴， 故选：A． 27．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（ ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，关键是要考虑给定角是顶角或底角的两种情况，避免漏解． 由于可能是等腰三角形的顶角或底角，需分两种情况讨论，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和180°求解． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个内角为， ∴有两种可能：若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一个底角也为，顶角为， 故选：C． 28．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 29．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【分析】 本题考查轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出三角形周长的最小值为是解题的关键． 连接，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】 解：连接， ∵ 直线垂直平分线段， ， ∵点为边的中点，， ， 周长 ， 周长的最小值为， ∵，点为边的中点， ， ∵，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选B． 30．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时点不与，重合，给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤四边形的面积的面积．其中正确的结论有几个(       ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰三角形和全等三角形的性质与判定，观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等(，)，根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】 解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ，， 、都是的余角， ， 在与中， ， )， 同理可证， ① 由得到，故① ② 正确； ② 由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故③ 正确； 由得到， 则， 故⑤ 正确； 无法证明，故④ 不正确， 故选：B． 31．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图四边形中，，点E是的中点，平分．下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．以上四个结论中成立的是（     ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明并作出辅助线是解题的关键． 如图，延长交延长线于，根据，得出，证明，得出，，根据平分，得出，即可得，则，即可证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出，即可判断① ② ；根据，得出，即可判断③ ；根据，得出，根据，即可判断④ ； 【详解】 解：如图，延长交延长线于， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，故② 正确； ∴，故① 正确； ∵， ∴，故③ 正确； ∵， ∴， ∴ ，故④ 正确； 综上，正确的有① ② ③ ④ ； 故选：D． 32．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（       ） A. 7根 B. 8根 C. 9根 D. 无数根 【答案】B 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解． 【详解】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°， ∴∠GEF=∠FGE=20°， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°就不存在了． 所以一共有8个． 故选择：B． 【点睛】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键． 33．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的判定分类讨论即可． 【详解】 解：如图： ∵， ∴， 当为三角形的腰时，或均符合题意； 时，， ∴为等边三角形； 当为三角形的底时，作线段的垂直平分线与轴交于，此时， ∵， ∴为等边三角形，此时与重合； 故有两个点符合题意．   故选：B ． 34．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则的最小值为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； 故选：C． 35．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．依据点为直线上一点，且为等腰三角形，需要分三种情况进行讨论，即①，②，③，据此通过画图即可得出点的位置． 【详解】 解：∵， ∴， 如图所示，分别以为圆心，为半径作圆，交于点，作的垂直平分线，交于点，     ∴为等腰三角形，则符合条件的点P有4个． 故选：D． 36．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（       ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【分析】 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，，从而可得，，利用等量代换可得的周长为，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，即可解答． 【详解】 解： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】 本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 37．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】 解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：C． 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（　　） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 【答案】B 【分析】 根据中位线定理以及含30度角的直角三角形的性质即可求得． 【详解】 解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC， ∴点E是AC的中点， ∴DE是直角三角形ABC的中位线， 根据三角形的中位线定理得：DE＝BC， 又∵在Rt△ABC中，∠A＝30°， ∴BC＝AB＝×8＝4． 故DE＝BC＝×4＝2m， 故选：B． 【点睛】 本题考查了中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 39．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（       ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形； 根据角平分线的性质和平行线的性质证明和为等腰三角形即可求解． 【详解】 ∵的平分线，与的外角的平分线相交于点F， ， ∵， ， ， ， 和为等腰三角形， ， ， 故选：C． 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，点在上，点在上，，，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，令， ，由，得到，由，得到，则，再根据，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：令， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 41．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 42．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）将直尺、含角的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为三角板的角与直尺的交点，B为光盘与直尺的唯一交点，三角板的斜边与光盘相切．若，则光盘的直径是（       ） A.  B.  C. 6 D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查了圆的切线性质，熟练掌握切线长定理是解题关键． 设光盘的圆心为点O，直角三角板与光盘的切点为C，连接，根据题意知与分别相切于点，则平分，所以，再利用正切函数，求长即半径，即可解答． 【详解】 解：如图，设光盘的圆心为点O，直角三角板与光盘的切点为，连接． 为三角板的角与直尺的交点， ． ，分别为的切点， ，． ，， 光盘的直径是．   故选：A ． 43．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由同角的余角相等，结合已知可证，可得，从而可得，进而可得的度数． 【详解】 解：∵和是的高， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 【点睛】 本题考查同角的余角相等，三角形全等的判定和性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余． 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列说法中正确的是（       ） ①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等 ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的中线也是它的高 ④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形 A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】① 角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，正确 ② 等腰三角形两腰上的高相等，正确 ③ 应为：等腰三角形的底边上的中线也是它的高，故③ 错误； ④ 线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点距离相等，可以构成等腰三角形，正确. 故答案为C 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质等知识．设，，利用线段垂直平分线的性质结合等边对等角求得，，，再利用三角形内角和定理列式，据此计算可得结论． 【详解】 解：设，， 由作图痕迹知垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 (        ) A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意，有两种可能，第一种顶角是钝角时，第二种，顶角是锐角时，根据题意画出图形，分别讨论即可求解． 【详解】 解：如图，有两种可能，第一种顶角是钝角时，因为等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 所以，，， 第二种，顶角是锐角时，因为等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半， 所以，． 故选：A． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键． 47．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）下列说法正确的有：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的邻补角是底角的二倍；④等腰三角形两腰上的高线长相等．其中正确的共有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握它们的基本性质． 根据轴对称图形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质一一判断即可． 【详解】 ① 对于两个三角形全等的情况，它们只是形状和大小完全相同，但并不意味着它们一定是关于某条直线成轴对称的图形．例如，可以将两个全等的等边三角形一个放在另一个的上方，它们就不是轴对称的．故原说法错误； ② 等腰三角形底边的高、中线、角平分线互相重合，故原说法错误； ③ 对于等腰三角形，设底角为，则顶角为，顶角的邻补角，即，这正好是底角的二倍，因此该说法正确； ④ 如图等腰三角形的顶点为A，底边为，两腰分别为和，且．过点B作上的高，过点C作上的高． ， 在和中 ， ， ，即等腰三角形两腰上的高线长相等，故该说法正确． 综上所述正确的有③ ④ ，共2个； 故选：C． 48．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在中，，点在BC上，点在AC上，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，令， ，由，得到，由，得到，则，再根据，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：令，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 49．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）等腰三角形的一个底角为30°，底边上的高为9，则腰长为（　　） A. 3 B. 18 C. 9 D. 12 【答案】B 【分析】 利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得解. 【详解】 解：如图，在Rt△ABD中， ∵∠B＝30°，AD＝9， ∴AB＝2AD＝18， 故选：B． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 50．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，，进而得到，得到答案． 【详解】 解：如图，连接，    平分，平分， ，， ，即， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 51．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：如图： ， 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点、； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点于点； 当时，作的垂直平分线，交网格的格点于点、、、、； 综上所述，是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是， 故选：C． 52．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，已知是等腰三角形，，，点D是边上的一个动点（不与点B、C重合），与的平分线交于点O，则的大小不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再设，根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， 设， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∵点是边上的一个动点（不与点、重合）， ∴， ∴，即， 故选：A． 53．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，是高，若，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，能熟记直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解此题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余求出，，然后根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出即可． 【详解】 解：是高， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：B 54．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出． 【详解】 解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．    ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短． 55．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，为内一定点，、分别是射线、上一点，当周长最小时，，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=40°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称，    ∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=40° 同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2， ∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N=∠OP1M=40°， ∴∠P1OP2=180°-2×40°=100°， ∴∠AOB=50°， 故选：C． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，正确作出辅助线，证出△P1OP2是等腰三角形是解题的关键． 56．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【分析】 先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】 解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，已知，点为边的中点，点为上一动点，连接，当最小时，连接交于点，则下列说法正确的有（       ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，此时最小，且垂直平分，由垂直平分线的性质即可判定①；连接，先证明，得到，再证明，即可判定② ；由得，再证明，得到，所以，最后由两锐角互余即可判断③ ；证明，由相似三角形的性质即可判断④ ． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，此时最小，且垂直平分， ， ， ． ， ， 故①的说法是正确的，符合题意； 连接， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 点为边的中点， ． ， ． 在和中， ， ， ， 故②是正确的，符合题意； 由②得，， ． 由① 得， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 故③是正确的，符合题意； ， ， ， ． 点为边的中点，且， ， ， ， 故④是正确的，符合题意； 综上所述，说法正确的是① ② ③ ④ ，所以正确的个数是4个，故选：D． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，正确的作出辅助线是解题的关键． 58．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，过点F作于点H，且，的周长是n．那么下列结论：①；②；③；④；⑤的面积．其中正确的有（     ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．根据平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定证明，可判断①；根据平行线的性质，结合大角对大边可判断②③ ；根据三角形的内角和定理可判断④；根据角平分线的性质和三角形的面积公式可判断⑤，进而可得答案． 【详解】 解：如图： ∵， ∴，， ∵与的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故①是正确的； ∵，， ∴，， ∴，故②是错误的； ∵， ∴． ∴，故③是错误的； ∵，， ∴， ∴，故④正确， ∵与的平分线交于点F，，， ∴点F到边的距离都等于m，又的周长是n， ∴的面积 ，故⑤正确． 故选：C 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，为等腰直角三角形，，点在线段的延长线上，点在上，且，连接、，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的和差，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰直角三角形的性质得出相等边和角的度数，然后证明，得出相等的角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】 解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 60．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）下列说法正确的有（　　） ①到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ②关于某条直线对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分， ③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， ④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查三角形的外心，等腰三角形的性质和轴对称的性质，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点；根据相关知识点一一判断：①是外心的定义；②是轴对称的基本性质；③可通过等腰三角形的角度计算验证；④只有底边上的高、中线、角平分线才重合，因此错误． 【详解】 解：①到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点（外心），正确； ②轴对称图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分，正确； ③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半（设顶角α，底角β，，夹角为），正确； ④等腰三角形只有底边上的高、中线、角平分线互相重合，腰上的不一定重合，错误． ∴ 正确的有① ② ③，共3个． 故选：C． 61．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论A；过点作于点，证明，得，，可判定结论C；根据题意可证，得到，，从而判断结论B；结合上述证明可得，，则有，进而得到，可判定结论D，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； 如图，过点作于点， 由A的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， 由A可知，，，， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 62．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明，即可证得，由此判断①；证明是等腰直角三角形，求得，由此判断②；延长交于点N，证明，由此判断③；无法判断④． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； 延长交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 无法证明G为的中点，故④ 不正确； 故选：B． 63．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　　　　　°． 【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，设该等腰三角形的顶角的度数为，则该等腰三角形的底角度数为，根据即可求解． 【详解】 解：设该等腰三角形的顶角的度数为， 由题意得：该等腰三角形的底角度数为， ∴ 解得： 故答案为： 64．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在中，，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查含的直角三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”直接解题即可． 【详解】 在中，，，， ∵ ， ∴ （直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）， 即， 故答案为：． 65．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】@度 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】 解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 66．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】 解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 67．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，根据性质解题即可. 【详解】 解：情况① ，如下图： ∵，， ∴， ∴ 情况② ，如下图： ∵，， ∴， ∴ 故答案为：或． 68．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）在△ABC中，，，则　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】 解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 69．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】 解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 70．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】 解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 71．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 72．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 73．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线；     （2）．证明： 是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． （1）先根据是的平分线上一点，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线； （2）先根据是的平分线上一点，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 74．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，是边上的高，若，则　　　　　　　度． 【答案】20 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】 解：，， ， 是边上的高， ， ， 故答案为：20． 75．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，在中，．若，则的长是　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了含30度角的直角三角形性质以及三角形内角和定理，解题的关键在于灵活应用含30度角的直角三角形性质． 利用三角形的内角和求出，余角的定义求出，然后利用含30度角的直角三角形性质求出，即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 故答案为：3． 76．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知等腰三角形一腰上的高线长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　 【答案】30°或150° 【分析】 根据题意可作图进行分类求解即可． 【详解】 解：由题意得： ① 如图，当AB=AC，CD⊥AB时，    ∴AC=2CD， ∴∠A=30°； ② 如图，    ∵AB=BC，AD⊥BC，AB=2AD， ∴∠ABD=30°， ∴∠ABC=150°； 故答案为30°或150°． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 77．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键． 先证明，得到，由等角对等边判定，则易求，即可解答． 【详解】 解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案是：2． 78．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，在纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，以及图形翻折的性质，解决本题的关键是由图形翻折得到．由等边对等角可得，再由图形翻折可得，由此可解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴． 故答案为： ． 79．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，直线a、b相交于点O，，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有　　　　　个. 【答案】4 【分析】 以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为,从这三方面考虑点B的位置即可. 【详解】 解：① 当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；② 当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个；③ 当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，所以B点总共有4个. 故答案为4 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键. 80．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是直角三角形时，　　　　　s． 【答案】或 【分析】 此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】 解：①当时，过点A作，     ∵，， ∴， ∴， ②当时，过点A作时， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：或． 81．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，，为线段的垂直平分线，交于点D，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．连接，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，推出，得到，进而得出，即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接， ，， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：5． 82．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，在中，，，点为上一点，且，连接，，则的度数为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据等腰三角形的三线合一性质可得：，，再结合等边对等角以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， ，， ， ， ， 故答案为： 83．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）等腰的一个外角的大小为，则这个三角形的底角的大小为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查三角形内外角的关系，等腰三角形的性质．先根据三角形相邻的内角与外角互补即可求出相邻的内角为，然后分两种情况讨论：①的内角为顶角，②的内角为底角，求解即可． 【详解】 解：等腰的一个外角为，则相邻的内角为， ① 若的内角为顶角，则底角为， ② 若的内角为底角，则底角为． 综上所述，这个三角形的底角为或． 故答案为：或 84．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，中，，平分，且于点D，，，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 由，平分，且，即可得到，，，再由，即可得到． 【详解】 解：∵中，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 85．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】 解：是的平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形 ， ， ． 故答案为： 86．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，平分，，垂直平分，交于点，交于点．    （1）若，求的度数； （2）若周长，，求的长度． 【答案】（1）     （2）7      【分析】 （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出， ，再利用线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，最后由等腰三角形的性质及三角形外角性质可得出答案； （2）根据（1）和已知能推出的周长，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：， ∴． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由1知：，， ∴， ∴的周长． ∵，，， ∴， ∴． 【详解】【点晴】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 87．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，点D、E在ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC． （1）求证：AB=AC； （2）如图2，若点D在AB的垂直平分线上，∠B=36°，直接写出图中所有的等腰三角形．（ABC和ADE除外） 【答案】（1） 证明：过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD=AE，AF⊥BC， ∴DF=EF，∠DAF=∠EAF， ∵BD=CE， ∴BF=CF， ∵AF⊥BC， ∴AB=AC；     （2）ABD、AEC、ABE、ADC．      【分析】 （1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，∠DAF=∠EAF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC； （2）根据等腰三角形的判定解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点D在AB的垂直平分线上， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠B=36°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=36°， ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE=∠DAB+∠B =72°， ∴∠CAE=∠AED∠C=36°， ∴∠BAD=∠CAE=∠C=∠B=36°， ∴BD=AD=AE=EC，∠BEA=∠ADE=∠BAE=∠DAC=72°， ∴AB=AC=BE=CD， ∴图中（ABC和ADE除外）所有的等腰三角形为：ABD、AEC、ABE、ADC． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 88．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于　　　　　　　　　　　　　 【答案】或 【分析】 此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 89．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，三线合一，解题的关键是根据已知求出，再利用垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而得出，再利用求出结果． 【详解】 解：周长，， ， ， ∵，垂直平分， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：5． 90．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】3或 【分析】 此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 91．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与l的位置关系是________． 【答案】（1） 证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 92．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在中，边的垂直平分线交于点、的垂直平分线交于点．若的周长为则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用垂直平分线的性质得到，，从而，即等于的周长． 【详解】 是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 又； 故答案为． 93．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 或 【分析】 首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】 解：① 如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ② 如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 94．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长． 【详解】 解：过作于， ，平分， ， ∥， ， ， ， ，∥， ， 在中，， 为角平分线，，， ， ． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查：（1）含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握相关性质是解题的关键． 95．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）顶角为的等腰三角形的底角　　　　　　． 【答案】H度 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为36°， ∴两个底角的度数为； 故答案为：． 96．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D、E分别是线段上的一点，且． （1）如图1，若，D为中点，则的度数为                      ； （2）如图2，用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，进而得出．进而得出． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，进而得出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，D是中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 97．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，厘米，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是　　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义．由、分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可． 【详解】 解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， 厘米， 的周长为厘米， 故答案为：厘米． 98．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）若等腰三角形的一个角为，则顶角为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：① 顶角为； ② 当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 99．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，然后根据三角形内角和定理得，进而得出，即可得出答案． 【详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 100．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，中，，则底边上的高　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 先根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求出． 【详解】 解：∵，为底边上的高， ∴，， ∴． 故答案为：8 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键． 101．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别为，添加一个条件，使，并说明理由． 解：需添加条件是______． 【答案】解：需添加的条件是：或或， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）添加， 理由：如图，∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，根据等边对等角，全等三角形的判定与性质进行求解即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 略 102．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，中，，，，点是的中点，交于，则　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了含的直角三角形性质及应用．根据，，，可得，再由点是的中点，求得，在直角三角形中，由即可求得． 【详解】 解：，，，点是的中点， ， ∵， ． 故答案为：2． 103．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则　　　　　　　 度． 【答案】30 【分析】 本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质， 先根据“等边对等角”求出，再根据线段垂直平分线的性质得，然后结合“等边对等角”求出，则此题可解． 【详解】 解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 104．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键． 105．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，由三线合一可得，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 106．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长． （2）若∠BAC=128°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）10；（2）76° 【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA，GA=GC，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再由等腰三角形的性质得到∠BAE=∠B，∠GAC=∠C，然后根据角的和差关系即可得出结论． 【详解】 （1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线， ∴EB=EA，GA=GC． ∵BC= BE+EG+GC， ∴BC= AE+EG+AG=△AEG的周长=10． （2）∵∠BAC=128°， ∴∠B+∠C=180°－∠BAC=180°－128°=52°． ∵EB=EA，GA=GC， ∴∠BAE=∠B，∠GAC=∠C， ∴∠EAG=∠BAC－∠BAE－∠GAC=∠BAC－（∠B+∠C）=128°－52°=76°． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 107．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，，，，，…，当，时，　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角度的规律问题，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得到角度的规律是关键． 根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律得出的度数． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得， ，， ∴． 故答案为：． 108．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】 解：当是锐角三角形时，，如图，， ， ∴， 当是钝角三角形时，，交的延长线于点D， ∴， ∴， 故答案为：或． 109．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为 　　　　　　　　　°． 【答案】92 【分析】根据92°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答． 【详解】解：∵92°＞90°， ∴92°的角是顶角， 故答案为92°． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出92°的角是顶角是解题的关键． 110．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，已知． （1）画出关于轴对称的图形，并写出各点的坐标：_____；_____；_____． （2）是以为底边的等腰三角形，并且每个顶点都在格点上，若点在第四象限，则点的坐标为______． 【答案】（1）如图，即为所作， ；；； （2）或 【分析】 本题主要考查轴对称变换，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到点关于轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点即可． 【详解】 （1）解：其中，；；； 故答案为：；；． （2）解：如图， 格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 111．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）已知，如图中，，于D，平分，且于E，与相交于点F．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴， 即， ∵由（1）知， ∴．      【分析】 （1）根据三角形的内角和定理求出，推出，根据证出即可； （2）先证明，，再根据证出，推出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出和． 112．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中） 如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．证明：是等腰三角形． 【答案】证明： ， ， ， ，， ， 又 ， ， ，即 是等腰三角形． 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余．由，可知，再由和余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论． 【详解】 略 113．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 114．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键； 分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可； 【详解】 解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半， 设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且． 是底边上的高， D为中点，即， ， ， ， ， 顶角； ， 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半 设等腰三角形中，，是腰上的高，， 在中， ， ， 即此时顶角为； 当等腰三角形是钝角三角形时， 设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，， 在中， ， 顶角， 综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或． 故答案为：或或． 115．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作，交的延长线于点，    （1）求证； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴．     （2）3      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质， （1）根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论； （2）根据题意得出，再由等量代换确定，理由等角对等边得出，利用全等三角形的性质求解即可； 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴． 116．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点为上一点，连接，，求的度数． 【答案】． 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是利用三角形内角和定理列方程求出各角的度数，结合等腰三角形的角的关系计算． 设的度数为，结合、，利用三角形内角和为列方程求出、、的度数；由得为等腰三角形，求出的度数，进而用减去得到的度数． 【详解】 解：设，则，， ∵ 在中，， ∴ ， 解得， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ，在中，， ∴ ． 117．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是　　　　　　． 【答案】i度 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 118．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在中，，，P为直线上一点，且，则的度数为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分P在线段上与B点左侧两类，结合三角形内外角关系即可得到答案． 【详解】 解：如图所示， ① 当点P在线段上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ② 当点P在B点左侧时如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：或； 【点睛】 本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是注意分类讨论． 119．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”． （1）如图，中，，，若，判断是否为的“直角等腰线”，并说明理由； （2）在中，，，，若为的“直角等腰线”，求点D到的距离． 【答案】（1） 解：是的“直角等腰线”，理由如下： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形， ∴是为的“直角等腰线”；     （2）点D到的距离为2．      【分析】 本题考查了新定义、含角的直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据新定义，证明是等腰三角形即可； （2）先证明出是的平分线，利用角平分线性质得到，再根据含角的直角三角形的性质得到即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，，． ∴， ∵为的“直角等腰线”， ∴，， 过点D作，垂足为E， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴． ∴点D到的距离为2． 120．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）小强同学想测量一棵树的高度，如图，树干上的处开始有分枝长出，小强在地面上的点处测得处的仰角，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 【答案】13米． 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：，， ． ． ． ，，， ． ． ． 这棵树的高度是13米． 121．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，过点作，垂足是E，，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点作，交边于点，若是的中点，则．其中正确的是　　　　　．（填写序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质及垂直的判定，解题的关键是结合等腰三角形的等角关系，利用已知角的条件逐一推导各结论的正确性． 由得，结合推导与的关系验证①；通过、证，推导与的关系验证②；根据等边三角形判定条件判断③；利用、是中点的条件推导角的关系验证④． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ，故① 正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴． 由得，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故② 正确； 仅满足，是等腰三角形，无法推证任何一个内角为，不是等边三角形，故③ 错误； ∵ ， ∴ ①， 由得， ∴，②， 又，联立① ② 知③， ∴． 又∵是的中点，即， ∴④ , 又⑤, 联立③ ④ ⑤ 得，, ∴，故④ 正确． 综上，正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 122．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边，于E，F两点，M为线段上一动点，D为的中点，连接，．在点M的运动过程中， 的周长存在最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 连接、，等腰三角形中D为的中点，则，根据三角形面积公式求出的长度，根据垂直平分线的性质证得，进而证得，故的长为的最小值，据此得出结论即可． 【详解】 解：连接、 是等腰三角形，D为的中点 是的垂直平分线 点关于的对称点为点 有最小值， 的周长存在最小值为 故答案为：． 123．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． （1）【观察发现】如图①与的数量关系是_________； （2）【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数． 【答案】（1）     （2）的大小不变，      【分析】 此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 的大小不改变， 如图① ，作交于点F，则，     ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． 124．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）一张折叠型方桌如图示，从正面看所得的示意图如图②所示，已知，．现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度刚好为，则桌面到地面的距离是　　　　　　　　． 【答案】35 【分析】 本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：35． 125．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，，，则的度数是　　　　　　　度． 【答案】13 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质． 设，构建方程即可解决问题． 【详解】 解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 126．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，点D、E在边上，，．    （1）求证：； （2）若，，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1） 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴；     （2），，，      【分析】 本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理. （1）证明，即可得证； （2）根据角的和差及等腰三角形的定义作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，是等腰三角形． 127．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 【分析】 此题主要考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知含的直角三角形的性质定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再由的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 略 128．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质．分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案． 【详解】 解：如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， ； 如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， 综上：或． 故答案为：或． 129．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）（多选）如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？ 【答案】∠BCA=108°，∠B=∠A=36°． 【分析】 利用CA=CB，可得∠B和∠A的关系，利用BC=BD，可求得及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ACB，得到结果． 【详解】 设 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 130．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． （1）若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； （2）P是第一象限内一点，画出以点A、B、P为顶点的等腰直角三角形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图所示，点P即为所求；       【分析】 本题主要考查作图轴对称变换，等腰直角三角形的定义，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据等腰直角三角形的定义结合网格求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴． 131．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）已知：如图，在中，于点D，O为上一点，连接、，且． （1）求证：； （2）当O为线段中点时，请直接写出等于面积四分之一的所有三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴；     （2）、、、      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定即可证明； （2）当O为线段中点时，，根据面积法进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当O为线段中点时，， ∴， 由对称性知，，， ∴， ∴等于面积四分之一的三角形有：、、、． 132．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）已知等边，点D为射线上一点，连接，作，交直线于点E．若，则的长为　　　　　　　． 【答案】4或8或4 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质． 过点作于点，然后分两种情况讨论，点在线段上时或点在线段延长线上时，根据角直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：当点在线段上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或8． 133．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）已知等腰，， 的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则 　　　　　　　　　． 【答案】65°或25° 【分析】 作出图形，分①与线段相交时，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②与的延长线相交时，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】 】解：①与线段相交时，如图， 是的垂直平分线，， ， ， ； ②与的延长线相交时，如图， 是的垂直平分线，， ， ， ， ，    综上所述，等腰的底角的大小为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线上的性质，等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于作出图形,分情况讨论． 134．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）中，为边BC上的高，且，请画出符合条件的图形，并直接写出度数. 【答案】图如下，或 （Ⅰ） （Ⅱ）    【分析】 由题进行分类讨论，可能是钝角三角形或锐角三角形，再画图分析即可 【详解】 （Ⅰ） ， ，    （Ⅱ）    ， ， 【点睛】 本题考查直角三角形的性质与三角形内角和定理，熟记直角三角形的性质与三角形内角和定理，并具有分类讨论思想是解题关键． 135．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝　　　　　　°． 【答案】80或100． 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可． 【详解】 解：如图1， ∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C-∠DAE=180°， 则2（∠B+∠C）=200°， 解得，∠B+∠C=100°， ∴∠BAC=80°， 如图2中， ∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°， 则2（∠B+∠C）=160°， 解得，∠B+∠C=80°， ∴∠BAC=100°， 故答案为：80或100． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 136．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接，，如图所示：     ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 137．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过　　　　　　　　　秒时，与全等． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（            ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）十二生肖是我国悠久的民俗文化，下列生肖汉字是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）下列图案中是轴对称图形的是（       ） A. 中国移动 B. 中国联通 C. 中国网通 D. 中国电信 10．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列交通标志中不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）下列图形中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）下列车标中，是轴对称图形的个数（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是(          ) A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A. 等腰三角形 B. 线段 C. 平行四边形 D. 圆 25．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）下面四个数学符号中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）下面四幅图是天气图标，其中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）剪纸艺术是中国最传统的民间艺术之一，先后入选中国非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）以下各图为庆祝我国抗战胜利周年而创作的剪纸作品，其中的轴对称图是形（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（     ） A.  B. 3 C.  D. 4 32．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）下列说法中，正确的有（       ）个． ①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ④三角形一边的中线是这条边的一半，这个三角形是直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 33．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示． 下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在，交于点，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A.  新能源汽车 B.  清洁能源 C.  太阳能发电 D.  可再生资源 37．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）在日常出行中，我们会遇到各种各样的交通标志，这些标志不仅传递着交通规则信息，有些还蕴含着图形的对称之美．请你判断下列萧红中学周边常见的交通标志中，是轴对称图形的是（     ） A. （1）（3） B. （2）（4） C. （2）（3） D. （1）（4） 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（     ） A. 直线和直线的交点不一定在上 B.  C. 与面积相等 D. 垂直平分， 39．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，与关于直线l对称，若，，则∠C的度数为（       ） A. 90° B. 110° C. 120° D. 125° 40．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）以下几个英文字母，不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（       ） A.  B. 2 C.  D.  42．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形，展现一系列完备且完美的世界，下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中不是轴对称图形的是（       ） A.  笛卡尔心形线 B.  三叶玫瑰形曲线 C.  太极曲线 D.  蝴蝶形曲线 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）下列说法中，正确的是（       ） A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称； B. 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，且只有一条对称轴； C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； D. 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 将 折叠使点 落在处， 折痕为．若，则的度数为　　　　　　　　　　　　　　 47．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则为　　　　　． 48．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）已知点与点关于y轴对称，则　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则　　　　　　　　　． 50．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，和关于直线l对称，若，则的度数为　　　　． 51．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，分别在边上，点与点关于直线对称，若，，求的周长． 52．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为　　　　　． 53．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，内有一点P，点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，点分别是上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在线段上，若为直角三角形，则的度数为　　　　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=240°，则∠A=　　　　　　　　　　　　　　　°． 56．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在如图的位置，交于，，则的长为　　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，直线过点． （1）当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． （2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折，得到．若，，则　　　　　　　度． 60．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为　　　　　　　． 61．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于　　　　　　　　　　　　　． 62．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，正方形的边长为8，，N 为上一点，则的最小值为　　　　　　　． 63．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）在中，，点D是边上一动点，点E是直线上的点，且． （1）如图1，若，，且，求线段的长； （2）如图2，若，的延长线交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，若，且，过点C作交的延长线于点M，连接，点N为线段的中点，连接，，当最小时，直接写出的面积． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）到三角形的三边距离相等的点是（       ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条内角平分线的交点 C. 三角形三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点 2．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，中，，边的垂直平分线交于点 D，则的周长是（        ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（       ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（     ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（       ） A. 10 B. 13 C. 14 D. 15 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A. 两直线平行，内错角相等． B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C. 如果，那么 D. 对顶角相等 8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 9．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，垂直平分，交边于点D，交边于点E，连接．若，的周长为10，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在锐角三角形内有一点P，满足，则点是（        ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 11．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（        ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 13．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（       ） A. 26 B. 32 C. 38 D. 44 14．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（   ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 18．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）以下命题正确的是（       ） A. 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂线上 B. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 C. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 D. 等腰三角形的三条高都相等 19．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）中，垂直平分，，如果的周长是，那么的周长是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，为线段的垂直平分线与延长线的交点，连接，若，，则的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 23．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为（       ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 27．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）命题“如果，那么”的逆命题是　　　　　　命题（填“真”或“假”） 30．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是　　　　　　. 32．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）把“直角相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为　　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）“对顶角相等”的逆命题是　　　　　　．（用“如果…那么…”的形式写出） 34．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，点在边上，是的垂直平分线，的周长为19，的周长为12，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图， 中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D．若，则的周长为　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图．A，B是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹） 38．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在中，，D为边的中点，，交直线于点E，连接，若，则的度数为　　　　　　． 39．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．    （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 40．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）把“邻补角的和是”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则的周长的最小值为　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，若，，则的周长为　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是　　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线对称的图形为，其中是的对称点． （1）请作出对称轴直线及关于直线对称的； （2）在直线上画出点，使得的周长最小； （3）画出中边上的中线（仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹）； 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接，若的周长为32，则的周长为　　　　　　． 47．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，． （1）用尺规作边上的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的周长为7，，求的长． 48．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到　　　　　　条折痕． 49．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）中，点为中点，，平分于点，若，则的长度为　　　　　　． 50．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，则的长为　　　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，，平分． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接，若，求． 52．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°． （1）作线段AB的垂直平分线DE，垂足为点E，交AC于点D，要求用尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不要求写作法和证明； （2）连接BD，直接写出∠CBD的度数； （3）如果△BCD的面积为4，请求出△BAD的面积． 53．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点，若的周长为，，则的周长是　　　　　　． 54．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，△ABC中（AB＞BC），G在CB的延长线上，边AC的垂直平分线DE与∠ABG的角平分线交于点M，与AB交于点D，与AC相交于E，MN⊥AB于N．已知AB=13，BC=9，MN=3，则△BMN的面积是　　　　． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）点关于y轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）点关于轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）点关于轴的对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）点关于轴对称点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）点关于轴对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）若点与点关于y轴对称，则的值是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知点M与点关于y轴对称，那么点M的坐标为（       ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若点关于轴的对称点为，则的坐标是(  ) A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）若点与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为 （　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）点关于轴对称点的坐标是(　　) A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 17．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）若点与点关于y轴对称，则（     ） A. 1 B.  C. 2025 D.  18．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（       ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 19．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（       ） A. 0 B.  C. 2 D. 8 20．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是　　　　　　． 22．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 24．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌照号码为　　　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）（多选）如图：在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）． （1）S△ABC＝　     　． （2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（其中点A、B、C的对称点分别为点A1、B1、C1）． （3）写出点A1、B1、C1的坐标．A1　     　，B1　     　，C1　     　． 26．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　． 27．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标是　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，已知各顶点的坐标分别为，，． （1）请你画出关于轴对称的， （2）并写出的各点坐标； （3）求的面积； 29．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）已知点与点关于y轴对称，则的值为　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（-8，0）、（-3，0），，将沿着射线AC翻折，点B落到y轴上点D处． （1）求点D的坐标； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿着线段BO向终点O运动，运动时间为t秒，请用含有t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，动点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿着线段AO向终点O运动，动点N以每秒a个单位长度的速度从点O出发沿着x轴正方向运动，点P、M、N同时出发，点M停止时，点P、N也停止运动，当时，求a的值． 31．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出先向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的图形； （2）画出 关于y轴的对称图形； （3）的面积为             ． 32．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）若点与点关于轴对称，则　　　　　． 33．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，已知的三个顶点分别为、、． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形（A、B、C的对应点分别是D、E、F）． （2）求四边形的面积． 34．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知点与点关于y轴对称，则　　　　　　． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知． （1）将向下平移6个单位，得，画出； （2）画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标． （注：点的对应点为，点的对应点为） 36．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）若点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　． 37．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，在给定的网格中按要求画图． （1）画出先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； （2）画出关于直线l对称的． 38．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）若，求P(-a，b)关于y轴的对称点的坐标　　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）若点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　． 40．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    （1）作出与关于轴对称的； （2）写出点、、关于轴的对称点的坐标 ． （3）求出 的面积， 41．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）若点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）． （1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）写出点的坐标：A1（                      ）、B1（                      ）、C1（                      ）； （3）△A1B1C1的面积＝　               　； 44．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知各顶点的坐标分别为，直线l经过点，并且与y轴平行，与关于直线l对称． （1）画出，点的坐标为                              ，点的坐标为                              ； （2）若点是内一点，点是内与点P对应的点，则点坐标为                              ． 45．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在下方单位长度为1的方格纸中画有一个△ABC． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积． 46．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，． （1）画出关于轴对称的三角形，并写出点的坐标； （2）以为顶点组成三角形，求的面积． 47．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标为　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点A，B，C的对应点）； （2）将沿着y轴翻折，得到，画出（其中点，，分别是点A，B，C的对应点）； （3）在x轴上找一点D，使得，则点D的坐标为_____． 49．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则　　　　． 50．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的， （2）连接、，直接写出四边形的面积． 51．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 在平面直角坐标系中，， ，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出，，三点的坐标：                       ，                    ，                          （3）在（1）（2）的条件下， 连接， 直接写出的面积为                  52．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，……．已知，则点的坐标是　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．    （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出关于轴对称的； （3）连接，，，请直接写出的面积． 54．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、） （2）在（1）的条件下，写出点，，的坐标； （3）请直接写出直线，的交点的位置．（写出具体的坐标轴或象限即可） 55．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，将△向右平移4个单位，画出平移后的△； （2）在图②中，画出△关于直线的轴对称图形△； （3）在图②的直线上找一点，使的值最小． 56．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，已知平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是(-6，a) （1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标； （2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）； （3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：_______ （3）在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹） 58．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形． （2）连接，在第二象限找一点，连接，使得是以为底边的等腰直角三角形； （3）连接，直接写出线段的长度_____． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为． （1）请在图中作出关于y轴的轴对称图形，并直接写出点坐标； （2）请在图中作出向下平移2个单位长度，向右平移1个单位长度的图形，并直接写出点坐标 （3）y轴上一动点P，当有最小值时，画图确定点P的位置，直接写出P点坐标． 60．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的三角形，并写出的坐标． （2）线段的中点坐标是_____． （3）求出的面积． 61．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知点关于x轴的对称点在第三象限，则的取值范围是　　　　　． 62．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：（       ），（       ），（       ）； （3）的面积=_____． 63．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，在平面直角坐标系中．A、B、C三点在格点上． （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标________． （2）连接，，直接写出的面积________． 64．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 65．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标：_____； （3）在轴上找一点，连接、，使得周长最小，则点的坐标为_____．（保留作图痕迹） 66．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知点在第一象限的角平分线上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则：    （1）点P的坐标为多少？ （2）的值为多少？ 67．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图．三个定点坐标分别为． ， （1）画出向下平移5个单位的；（A、B、C的对应点分别为、、）； （2）画出关于轴对称的三角形是；（A、B、C的对应点分别为）： （3）直接写出的面积___________． 68．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），顶点B在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，线段OC的垂直平分线分别交OC，BC于点D，E． （1）点C的坐标； （2）点P为线段ED的延长线上的一点，连接PC，PA，设点P的横坐标为t，△ACP的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F为线段BC的延长线上一点，连接OF，若OF＝CP，求∠OFP的度数． 69．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． （1）若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； （2）若以点，，为顶点的三角形与全等（点与点不重合），请在图中标出点所有可能的位置并写出它们的坐标． 70．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 71．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为　　　　　　　． 72．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）（1）作与关于x轴对称的图形，写出点的坐标          ； （2）在x轴上找点P，连接PA、PB，使的值最小，写出点P的坐标          ．（保留作图痕迹） 73．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移3个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点的对应点）； （2）将沿着轴翻折，得到，画出（其中点分别是点的对应点）； （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为______． 74．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）作出关于轴对称的； （2）作出向下平移3个单位，再向右平移1个单位后的 （3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 75．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点与点关于y轴对称，直接写出__________． （3）格点是以为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为__________． 76．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． （2）当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． （3）在（2）条件下，若，则t的值为__________． （4）若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 77．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，已知，在平面内取一点（点是不同于点的点），若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 78．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出将向左平移4个单位长度后得到的； （3）上的一点经过上述两次变换后的对应点的坐标是________． 79．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为　　　　　　． 80．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在平面直角坐标系中， （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点的坐标（直接写答案）：____________；____________；____________； （3）的面积为____________（直接写答案）； （4）为轴上的一动点，的最小值为____________（直接写答案）． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为（   ） A. 400 B. 500 C. 550 D. 600 2．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板的直角边的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（     ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）下列定理没有逆定理的是（       ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的三边相等 D. 等腰三角形两底角相等 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在等腰中，，点在上，连接并延长至点，使，若，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，过D作交于点E，若，则（     ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 6 7．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（       ） A.  B. 9 C. 18 D. 36 8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，，则长为（       ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）在中，，如果，那么为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS，其中正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）下列说法正确的是（       ） A. 关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 B. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 C. 平面内，到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 D. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合． 13．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列说法正确的有（     ）个 ①等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；②有一个角是的三角形是等边三角形；③同底数幂相乘，底数不变，指数相加；④在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，，垂足为C，，则为（     ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 16．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，为的角平分线，，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为（　　） A. 8 B. 4 C. 12 D. 6 18．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）中，，的外角为，则的度数（          ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　） A. 30 B. 40° C. 50° D. 60° 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，点M，，，且，若，则（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（   ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 22．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 23．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（       ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 24．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）等腰三角形的一个底角为，这个等腰三角形的顶角为（   ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（  ） A.  B.  C. 或 D.  26．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，中，，，是边上的中线，则的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（ ） A.  B.  C. 或 D.  28．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在中，，，直线垂直平分线段，若点D为边的中点，点G为线段上一动点，则周长的最小值为（       ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 30．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时点不与，重合，给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤四边形的面积的面积．其中正确的结论有几个(       ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 31．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图四边形中，，点E是的中点，平分．下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．以上四个结论中成立的是（     ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 32．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（       ） A. 7根 B. 8根 C. 9根 D. 无数根 33．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 34．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为，，则的最小值为（       ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 35．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 36．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（       ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 37．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则DE等于（　　） A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m 39．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（       ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，点在上，点在上，，，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）将直尺、含角的直角三角板和光盘按如图所示的方式摆放，A为三角板的角与直尺的交点，B为光盘与直尺的唯一交点，三角板的斜边与光盘相切．若，则光盘的直径是（       ） A.  B.  C. 6 D. 3 43．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，高和交于点H，且，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）下列说法中正确的是（       ） ①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等 ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的中线也是它的高 ④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形 A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 (        ) A. 或 B. 或 C.  D.  47．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）下列说法正确的有：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的邻补角是底角的二倍；④等腰三角形两腰上的高线长相等．其中正确的共有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 48．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在中，，点在BC上，点在AC上，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）等腰三角形的一个底角为30°，底边上的高为9，则腰长为（　　） A. 3 B. 18 C. 9 D. 12 50．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是(       ) A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在的网格中，点A，B在格点上，点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（     ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 52．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，已知是等腰三角形，，，点D是边上的一个动点（不与点B、C重合），与的平分线交于点O，则的大小不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  53．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，是高，若，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 54．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 55．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，为内一定点，、分别是射线、上一点，当周长最小时，，则（   ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，已知，点为边的中点，点为上一动点，连接，当最小时，连接交于点，则下列说法正确的有（       ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 58．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，过点F作于点H，且，的周长是n．那么下列结论：①；②；③；④；⑤的面积．其中正确的有（     ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，为等腰直角三角形，，点在线段的延长线上，点在上，且，连接、，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  60．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）下列说法正确的有（　　） ①到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ②关于某条直线对称的两个图形，对应点所连线段被对称轴垂直平分， ③等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， ④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 61．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  62．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 63．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）定义：我们将等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”，记作．若，则该等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　　　　　°． 64．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在中，，，，则　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若，则的度数为　　　　　　　　． 66．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 67．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为　　　　　　　　． 68．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）在△ABC中，，，则　　　　　　　． 69．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是　　　　　　　　　． 70．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是　　　　　　　　． 71．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则　　　　　　　　　　　． 72．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，于点E，点D在的延长线上，，则的长为　　　　　　　　　　． 73．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． （1）求证：是的垂直平分线． （2）若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 74．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，是边上的高，若，则　　　　　　　度． 75．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，在中，．若，则的长是　　　　　　　　． 76．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知等腰三角形一腰上的高线长等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　 77．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为　　　　　　　． 78．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，在纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则的度数是　　　　　　　　　　　． 79．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，直线a、b相交于点O，，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有　　　　　个. 80．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是直角三角形时，　　　　　s． 81．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，，为线段的垂直平分线，交于点D，则　　　　　　　　． 82．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，在中，，，点为上一点，且，连接，，则的度数为　　　　　　　　　　　　　． 83．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）等腰的一个外角的大小为，则这个三角形的底角的大小为　　　　　　　　． 84．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，中，，平分，且于点D，，，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 85．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，中，是角平分线，交于，交于，若，则　　　　　． 86．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，平分，，垂直平分，交于点，交于点．    （1）若，求的度数； （2）若周长，，求的长度． 87．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，点D、E在ABC的边BC上，AD=AE，BD=EC． （1）求证：AB=AC； （2）如图2，若点D在AB的垂直平分线上，∠B=36°，直接写出图中所有的等腰三角形．（ABC和ADE除外） 88．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于　　　　　　　　　　　　　 89．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为　　　　　　　． 90．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为　　　　　　　　　　　． 91．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接，则与l的位置关系是________． 92．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在中，边的垂直平分线交于点、的垂直平分线交于点．若的周长为则的长为　　　　　　　　　　　． 93．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为　　　　　　　　　． 94．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为　　　　　　cm． 95．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）顶角为的等腰三角形的底角　　　　　　． 96．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D、E分别是线段上的一点，且． （1）如图1，若，D为中点，则的度数为                      ； （2）如图2，用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 97．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，厘米，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是　　　　　　　　． 98．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）若等腰三角形的一个角为，则顶角为　　　　　　． 99．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为　　　　　　　　． 100．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，中，，则底边上的高　　　　　　　　　． 101．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，在中，，是边上的一点，，，垂足分别为，添加一个条件，使，并说明理由． 解：需添加条件是______． 102．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，中，，，，点是的中点，交于，则　　　　　　　　． 103．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图， 已知，的垂直平分线交于点D，则　　　　　　　 度． 104．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则　　　　　　　　． 105．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，，是上的高，，，则的度数为　　　　　　． 106．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于F，G． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长． （2）若∠BAC=128°，求∠EAG的度数． 107．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，，，，，…，当，时，　　　　　　　　　　． 108．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则其顶角的度数为　　　　　　　　　　　． 109．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为 　　　　　　　　　°． 110．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，已知． （1）画出关于轴对称的图形，并写出各点的坐标：_____；_____；_____． （2）是以为底边的等腰三角形，并且每个顶点都在格点上，若点在第四象限，则点的坐标为______． 111．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）已知，如图中，，于D，平分，且于E，与相交于点F．求证： （1）； （2）． 112．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中） 如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．证明：是等腰三角形． 113．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 114．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是　　　　　　　　． 115．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作，交的延长线于点，    （1）求证； （2）当，，时，求的长． 116．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点为上一点，连接，，求的度数． 117．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是　　　　　　． 118．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在中，，，P为直线上一点，且，则的度数为　　　　　　． 119．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”． （1）如图，中，，，若，判断是否为的“直角等腰线”，并说明理由； （2）在中，，，，若为的“直角等腰线”，求点D到的距离． 120．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）小强同学想测量一棵树的高度，如图，树干上的处开始有分枝长出，小强在地面上的点处测得处的仰角，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点处时，恰好测得，，且、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，点在的延长线上，若米，米，于点，请你求出这棵树的高度． 121．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，过点作，垂足是E，，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点作，交边于点，若是的中点，则．其中正确的是　　　　　．（填写序号） 122．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，等腰三角形的面积为24，底边，腰的垂直平分线分别交边，于E，F两点，M为线段上一动点，D为的中点，连接，．在点M的运动过程中， 的周长存在最小值为　　　　　　　　． 123．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． （1）【观察发现】如图①与的数量关系是_________； （2）【尝试探究】点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数． 124．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）一张折叠型方桌如图示，从正面看所得的示意图如图②所示，已知，．现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度刚好为，则桌面到地面的距离是　　　　　　　　． 125．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，，，则的度数是　　　　　　　度． 126．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，点D、E在边上，，．    （1）求证：； （2）若，，请直接写出图中所有的等腰三角形． 127．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，求证：． 128．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角　　　　　　． 129．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）（多选）如图，△ABC中，CB=AC=BD，CD=AD， 求△ABC中各角的度数？ 130．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是网格中的三角形，且三个顶点都在格点上． （1）若与关于轴对称，请在平面直角坐标系中画出； （2）P是第一象限内一点，画出以点A、B、P为顶点的等腰直角三角形，并写出点的坐标． 131．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）已知：如图，在中，于点D，O为上一点，连接、，且． （1）求证：； （2）当O为线段中点时，请直接写出等于面积四分之一的所有三角形． 132．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）已知等边，点D为射线上一点，连接，作，交直线于点E．若，则的长为　　　　　　　． 133．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）已知等腰，， 的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则 　　　　　　　　　． 134．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）中，为边BC上的高，且，请画出符合条件的图形，并直接写出度数. 135．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝　　　　　　°． 136．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，的垂直平分线交于N，交于M，P是直线上一动点，点H为中点．若，的面积是30，则的最小值为　　　　　　　　． 137．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过　　　　　　　　　秒时，与全等． 138．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在中，是的平分线，且，若，则的大小为　　　　　　． 139．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为　　　　　　　　． 140．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）已知点到的两边、所在直线的距离相等，且. （1）如图1，若点在上，求证：. （2）如图2，若点在的内部，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确结论. 141．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． （1）求证：； （2）若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； （3）在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 142．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则　　　　　　． 143．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）（多选）在中，，点是的中点，连接，点在上.连接，. （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，直接写出图中所有等腰三角形. 144．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 145．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）在中，，为边上的高．，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 146．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，点D，E在的边上，，，求证：． 147．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图1中的边上找一点，连结，使． （2）在图2中的边上找一点，连结，使． （3）在图3中的边上找一点，连结，使点到和所在直线的距离相等． 148．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）已知一个三角形的三边长分别为： （1）判断三角形的形状，并求它的周长（要求结果化简） （2）求三角形的面积 149．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，平分，交于点，交延长线于点，若，，则的长为　　　　　　． 150．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，上午9时，一条船从A处出发，以18海里/时的速度向正南航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，，则从A处到灯塔C的距离为　　　　　　海里． 151．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，中，，点D在边上，，，，则　　　　　　． 152．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则　　　　　　． 153．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，与相交于点F，，，点E在的垂直平分线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，分别交于点H、G．当，时，求的度数． 154．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）在中，，D、E分别在上，且，与交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，当时，直接写出所有等于的角． 155．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为　　　　　　． 156．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好和点重合，则的度数为　　　　　　． 157．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，，点P为内的一点，分别作出P点关于、的对称点、，连接交于M，交于N，则　　　． 158．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为　　　　　　　． 159．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，已知（且为整数），若，则的度数为　　　　　　　　　　　． 160．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 161．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）（多选）已知△ABC中，AB=AC，BC=6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同， PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，过点P作PF//AQ交BC于点F，求证：△PDF≅△QDC． （2）如图②，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 162．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在中，于点． （1）求证：； （2）求证：． 163．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 164．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． （1）如图（1），当A、B两点在直线的同侧时，请直接写出线段、和的数量关系为_______； （2）如图（2），当A、B两点在直线的两侧时，请写出线段、和的数量关系，并说明理由； （3）如图（3），在（2）的条件下，点K在的延长线上，连接AK，使，连接，．若的面积为16，的面积为6，求的长． 165．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知，中，，过线段的中点作的垂线交直线于点，若，则　　　　　． 166．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，点是平分线上一点，于C，于D，连接． （1）求证：垂直平分； （2）若，，求的长． 167．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）（多选）如图，已知：△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，求∠BAC的度数． 168．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长为　　　　　． 169．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）预备知识：如图1，中，与的平分线交于点D，过D作平行于的直线m，交边于G，交边于F，易证：． 当与外角的平分线交于点D时，过点D作平行于的直线m，请解决以下问题： 问题探究： （1）如图2，直线m交边于G，交边于F，请你给出、、之间的数量关系并说明理由． 思维扩展： （2）如图3，直线m交边延长线于G，交边延长线于F时，请直接写出、、之间的数量关系为________． 能力提升： （3）当直线m恰好经过点A时，有什么特征，请直接给出结论，不必证明． 170．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，在中，是边上的高，过点B作于点M，交于点E，连接，过点D作，交于点N，且．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为　　　　　　． 171．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别在轴、轴上，，点在线段上，，过点作，交的延长线于点，直线交轴于点． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿折线轴负方向以每秒个单位长度的速度运动．、两点同时出发，且点到达点处时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示． （3）在（2）的条件下，是否存在值，使得是以坐标轴为对称轴的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 172．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中， ， ，垂足为．已知， ， 则 　　　　　　　　　 173．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，在上取一点，使得，若，则的长度为　　　　　　　． 174．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为，以线段 为边，在第四象限内作等边三角形，C为x轴正半轴上一动点()，连接，以线段 为边在第四象限内作等边三角形，直线交y轴于点 E． （1）求证； （2）在点 C的运动过程中，的度数是否会变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； （3）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 175．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，点D在的内部，连接，，，，则的度数为　　　　　． 176．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，于点D，，于点H，AD和CH交于点E，于点G，交AC于点F，下列结论：①；②；③若，则点E是AD的中点，④若，则．其中正确结论序号是　　　　　　　． 177．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B在x的负半轴上，点C在x的正半轴上，连接，的面积为16． （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，若平分，点E在上（不与点O、点B重合），点E的横坐标为t，连接，的面积为S，用含t的式子表S（不用写出t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在上，连接并且延长交于M，做于N，连接，当，时，求的度数． 178．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）已知等边的边长为，点在射线上运动，点在线段的延长线上．若，且，则的长为　　　　　　　． 179．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）在中，点D在上，点E在上，，． （1）求证：； （2）射线绕点C顺时针旋转，交线段于点F，点F在点E上方，若，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，取的中点G，连接，过点F作交于点K，延长和交于点H，和交于点M，过点F作交于点N，当，时，求的长． 180．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，中，平分，点为上一点，连接，若，则线段　　　　　． 181．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，，交轴于点，，，． （1）求点的坐标； （2）点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段，向终点运动，过点作于点，设点的运动时间为秒，线段长为，用含的式子表示； （3）点在线段上运动的过程中，直接写出当为何值时，是以为底边的等腰三角形． 182．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为　　　　　． 183．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，和中，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和到的距离相等．其中结论正确的是　　　　　　． 184．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，求划出的的面积是多少？ 185．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，中，，于点，若，，则　　　　　　　　． 186．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． （2）如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为与相交于点．若，则的面积为___________．（直接写出） 187．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，中，，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，点坐标为，点坐标为，则点的坐标为___________． （2）如图2，过作轴于，猜想、、的关系，并说明理由． 188．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，，交于点． （1）当点在上，点在上方时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上，点在上方时，如图②；当点在上，点在下方时，如图③，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 189．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 190．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）过等腰三角形一个顶点的直线把这个等腰三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数为　　　　　　． 191．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）在中，， （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，点D为中点，连接，过A作于E，交于点F，求证：； （3）如图3，若，点K为线段中点，H为线段上一点，使，连接、交于点I，若，求的长． 192．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，若． （1）请直接写出点A，B的坐标； （2）如图1，点D在线段上，连接，交于点，轴交于点，设点的纵坐标为，线段的长为，用含的式子表示；（不要求写出的取值范围） （3）如图2，在（2）的条件下，点在第四象限内，连接交线段于点，若，，连接，，求点的纵坐标． 193．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，以等腰直角的腰边为边作等边，其中，连接． （1）求的度数； （2）如图2，交于点，延长，交于点，求证：； （3）在（2）的条件下，作交于点，点在的延长线上，连接，，点在线段上，若点在线段的垂直平分线上，连接，，，，求的面积． 194．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，在轴上，点在轴上，连接，， （1）如图1，求证：； （2）如图1，若，动点从点出发，沿向终点运动，速度为1个单位每秒，运动时间为秒，连接，的面积为，求与之间的关系式； （3）如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接，过点作的平行线交于点，作于，连接，当，时，求点到的距离． 195．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别是、轴上两点，连接，若，且的面积为． （1）请求出点坐标． （2）点是点关于轴的对称点，一动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿轴正方向运动，连接，设点的运动时间为，的面积为，当点在线段上时，试用含的代数式表示，则＝                            ．（不用写出的取值范围）． （3）在（2）的条件下，当点在延长线上，且时，求出的值；此时，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作于点．点是点关于的对称点，连接并延长交轴于点，线段上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 196．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）在中，，，点、在直线、上，． （1）如图1，若点在延长线上，点在延长线上，连接，求证：； （2）如图2，若点在的延长线上，点E在的延长线上，连接，的延长线交于．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，G为平面内一点，连接，，，过作，，连接，，若，，，求的面积． 197．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图1，中，，，在外，连、、，． （1）求证：； （2）如图2，点在上，连，平分，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过作的垂线交于，点在上，，，求的长． 198．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在轴上，连接，． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，点为线段上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为S，求用含的代数式表示S； （3）如图3，在（2）的条件下，点关于轴的对称点为点，点在线段上，连接、，点为内一点，连接、、，，，，交的延长线于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接、，若，，，求点的坐标． 199．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图1，点坐标，点坐标，以为边在左侧作，并且，， （1）_______．（用含的式子表示） （2）如果点从点以每秒2个单位速度向终点运动，运动时间为，用含、的式子表示的面积． （3）如图2，在上取一点，连接，将沿翻折，点的对称点恰好落在轴的负半轴上，过作直线于点，分别交、、于点、、，若，求的长． 200．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在中，，，，的面积为，则　　　　　　　　　　　 201．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，且，连． （1）如图1，求的长；（用勾股定理不给分） （2）如图2，点D从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，连接，设的面积为S，点D运动时间为t秒，请用含t的代数式表示S； （3）如图3，在（2）的条件下，当点D在边上且时，在上取点E，在上取点F，连接，使，，点Q在第四象限，连接，若，求的面积． 202．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，四边形中，，点E在边上，为等边三角形． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，，，求的面积． 203．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点E在的延长线上，连接，且，于点F，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交于点R，当时，求点R的坐标． 204．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图：平面直角坐标系中，，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点是x轴正半轴上一点，点在的延长线上，且，用含的式子表示的长； （3）如图3，在（2）的条件下，延长到点，连接交轴于点，点在轴正半轴上，且，连接，当，时，求的长． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（     ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，是等边三角形，边长为6，和的角平分线交于点，过点作的平行线交于，交于，则的周长是（       ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）某市要在河流上修建一个水站，向居民区提供自来水，要使点到的距离之和最短，则下列确定点位置的作法正确的是（       ） A.      B.      C.      D.      6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（　　） A. 8 B.  C. 6 D. 9 7．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是　　 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 8．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图所示，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，．点D在边上从B至C的运动过程中，周长变化规律为（　　） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 9．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（       ） A. ③ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 10．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（     ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）已知，求作，作法： （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，； （2）分别以，为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点； （3）作射线，则为的平分线，可得．    根据以上作法，某同学有以下3种证明思路： ①可证明，得，可得； ②可证明四边形为菱形，，互相垂直平分，得，可得； ③可证明为等边三角形，，互相垂直平分，从而得，可得． 你认为该3种证明思路中，正确的有（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，已知等边三角形，顶点，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，顶点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）下列命题正确的有（       ） ①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等； ②任何数的0次幂都得1； ③有一个角是60度的三角形是等边三角形； ④有一条腰上的高线也是中线的等腰三角形是等边三角形； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接，下面结论：① ②   ③为等边三角形   ④   ⑤平分，其中正确的有（          ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 17．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 18．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在正方形中，M、N分别是的中点，交于点O，连接的延长线交的延长线于点P，下列四个结论，其中正确的有（       ） ①；②；③为等边三角形；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 19．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）下列关于的说法错误的是（     ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若为直角三角形且，，则等于的一半 C. 若中，则为直角三角形 D. 若中，，则为等边三角形 20．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，，P是内的一点，且，C、D分别是P关于的对称点，连接，则的周长为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　　） A.  B.  C.  D. 不能确定 22．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④平分，⑤，其中结论正确的有（       ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤ 24．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）等边三角形两个内角的平分线相交所成锐角的度数为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图所示，已知为等边三角形，点为延长线的一点，平分，，求证：是等边三角形． 26．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．证明：． 27．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，是等边三角形，作，截取，连接、．求证： （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 28．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，是的中线，，把沿直线折叠后，点C落在的位置上，那么            ． 29．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 30．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）在等边中，点D在的延长线上，，，点E在直线上，连接．当时，的长为　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）在中，，，E为直线上一点，D为直线上一点，且． （1）当点D在线段上时，如图①，易证：（不需证明）； （2）当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并证明图②． 32．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，等边三角形中，D、E分别为，边上的点，，与交于点F，于点G， （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 33．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）在中，，，点E为直线上一点，D为直线上的一点，且．当点D在线段上时，如图①，易证：；当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段和之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 34．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，P为等边的边上一点，为延长线上一点，且，连接交边于点．求证：． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边的角平分线，，点是上一动点，为的中点，连接，，的最小值是　　　　　． 36．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）在中，于点D，， （1）如图1，求证∶； （2）如图2，E是上一点，F是延长线上一点，连接，求证∶； （3）如图3，在（2）的条件下，作交AC于点G，若，求的长． 37．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）旋转构造 问题背景：如图1，点是等边外一点，，则．小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请根据此思路完成这个证明； 迁移应用：（1）如图2，是等边内一点，且，此时的度数为                 ． 拓展提升：（2）如图3，在等腰直角中，，，点在外部，且，若，请求出的面积． （3）如图4，在四边形中，，点在四边形内部，且，，，，，直接写出的长                            ． 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）如图，已知和是等边三角形．    （1）求证：； （2）求的大小． 39．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）已知直线，等边的顶点A刚好落在直线m上，边交直线n于点D．已知，则　　　　　　　　　　°． 41．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，为等边三角形（即，），，分别是，上的一动点，且，连结，交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分；③；④若，则点到的距离等于线段的长． 其中正确的结论有　　　　　　　　　　　　　（填写所有正确结论的序号）． 42．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，和都是等边三角形，、、三点在同一直线上，连接、，交于点、交于点，交于点，连接、、，则有下列结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤若，则四边形的面积等于6．其中正确结论的序号为　　　　　　． 43．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为　　　　　　． 44．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以OA为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为　　　　　． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，CE＝BD，连接CD，BE，BE与CD相交于点F． （1）如图1，若△ACD为等边三角形，且CE＝DF，求∠CEF的度数； （2）如图2，若AC＝AD，求证：EF＝FB； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠CFE＝45°，△BCD的面积为4，求线段CD的长． 46．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在等腰中，，，以为边向上作等边，点，分别是边，上的动点，且，当是直角三角形时，的长为　　　　　　． 47．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，为等腰直角三角形，，以为边向外作等边，则　　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是　　　　　　． 50．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为　　　　　　． 51．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，点E在的外部，点D在上，交于点F，，，． （1）求证：． （2）若，猜想的形状并证明． 52．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 53．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是　　　　　． 54．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，与均为等边三角形，点D在上，连接．求证：． 55．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）（多选）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF. （1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，过点D作，DG交BC于点G，求证：CF=EG； （2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求证：CD=CE+CF； （3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由. 56．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝AC. (1)求∠CDE的度数； (2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD. 57．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 58．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： （3）如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）已知为等边三角形，为射线上一点，为直线上一点， （1）如图1，当点在线段上，点在的延长线上时，求证：． （2）如图2，当点在线段的延长线上，点在线段上时，试判断线段、、的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，点D是BC中点，AC和ED交于点F，若AE=，求CF的长． 60．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形 …按此规律继续作下去，得到等边三角形 则点的纵坐标为　　　　　　　　． 61．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）等边三角形中，点是中线的动点，若，则的最小值是　　　　　　　　　． 62．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）如图，边长为8的等边三角形中，D是上一点且为的外角的角平分线，将沿翻折得到交于点F，则的长　　　　　　　　　　。                  63．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，点P是内一定点，点M、N分别在边、上运动，若，则的周长最小时，的度数为　　　　　　　　． 64．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，在中，，，，为的中点，为上一动点，连接、，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，已知线段上一点，分别以和为边作等边和等边，连接和，在和上截取，连接、、．以下说法正确的是　　　　　　　　　　　．（填写正确语句序号） ①平分；②；③；④是等边三角形． 66．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为　　　　　　　　　． 67．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）等边中，，AE交BD于G，作，交DB延长线于点F，若，，则　　　　　　． 68．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点M，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点D，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 69．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在中，，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，　　　　　　　　　　　 70．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知：垂直平分． （1）求证：为等边三角形； （2）点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为___________． 71．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为　　　　　　． 72．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，为等边三角形，是线段上一动点（点不与，C重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为D，以为边向右侧作等边三角形．直线与交于点M，延长交于点F．则①；②；③；④．以上结论正确的序号是：　　　　　． 73．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）等边，点分别在上，，连接交于点， （1）如图，求的度数； （2）如图，过点作交延长线于点，求证:； （3）如图，在（2）的条件下，过点作于，于，延长至点，使，连接，若，求的长． 74．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在中，，高、交于点，是的中线，过点作于，连接、．点在边上，且，．下列结论：；平分；是等边三角形；若，则与的面积比为．其中正确结论的序号是　　　　　　　． 75．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，点在射线上，点在射线上，，均为等边三角形，若，则的边长为　　　　　． 76．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）已知是等边三角形，点在上，点在上，，连接、相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为边作等边，连接，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，点是内一点，连接，点在的垂直平分线上，点在上，，垂足为点，交的延长线于点，交于点，若，，，，求的长． 77．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分．一定成立的结论有　　　　　　　　　　　. 78．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）知识背景： 如图1，是等边三角形，如果，我们可以证出______，从而计算出与相交所成的锐角度数是______．这个图形我们称之为“等边十字架”． 知识应用： ①如图2，过作于点，在上取点，连接，使．证明． ②如图3，延长至点，连接．在上截取．延长至点，点恰好在的垂直平分线上．作射线分别交、于点、，若为中点，，过点作于点，求的长． 79．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，点B在第一象限，为等边三角形，点P在线段上，且点P不与点B重合，，作于点H，点C在线段上，． （1）求点B的横坐标； （2）过点C作的垂线交线段于点Q，求的长，并直接写出相应的t的取值范围： （3）在（2）的条件下，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，当时，求t的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．C 2．D 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．D 11．D 12．B 13．A 14．B 15．C 16．B 17．C 18．B 19．A 20．C 21．C 22．A 23．D 24．C 25．D 26．A 27．A 28．B 29．A 30．C 31．A 32．C 33．C 34．D 35．D 36．B 37．B 38．A 39．C 40．D 41．D 42．B 43．C 44．D 45．A 46．【答案】度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】 解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 47．【答案】度 【分析】 本题考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，，结合可得，求出，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】 解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 48．【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，代数式求值．熟练掌握关于y轴对称的点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 由题意知，，计算求出的值，然后代值求解即可． 【详解】 解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：． 49．【答案】40° (度 【分析】 根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】 解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 50．【答案】 【分析】 根据轴对称的性质可得∠C=，然后利用三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】 解：∵和关于直线l对称， ∴∠C= ∴∠B=180°－∠A－∠C=100° 故答案为：100°． 【点睛】 此题考查的是轴对称的性质和三角形的内角和定理，掌握轴对称的性质和三角形的内角和定理是解题关键． 51．【答案】10 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】 解：点与点关于直线对称， ． ． ． 的周长为10． 52．【答案】 【分析】 设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题． 【详解】 设CE=x． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°． ∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处， ∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x． 在Rt△ABF中，由勾股定理得： AF2=52-32=16， ∴AF=4，DF=5-4=1． 在Rt△DEF中，由勾股定理得： EF2=DE2+DF2， 即x2=（3-x）2+12， 解得：x=， 故答案为． 53．【答案】 【分析】 本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条直线对称，那么这两个图形的对应点的连线被这条直线垂直平分是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可求出的长． 【详解】 解：点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N， ，， 的周长是， ， ， 故答案为：． 54．【答案】K度 【分析】 根据折叠的性质和三角形内角和定理可得，，分两种情况：当时，当，分别利用三角形内角和定理进行求解即可得到答案． 【详解】 解：， ， 由折叠的性质可得：， 当时，， ， ， ， 当，如图所示，    ， 此时在的延长线上，不符合题意， 综上所述，的度数为：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 55．【答案】30 【分析】根据平角的性质得到因为∠1+∠2=240°，得到再由图形翻折变换的性质得到根据三角形的内角和即可得出结论． 【详解】∵ ∠1+∠2=240° ∴ 根据折叠的性质可得： ∴∠A 故答案为30. 【点睛】考查三角形的内角和定理， 翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键. 56．【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 57．【答案】7 【分析】 本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，解决此题的关键是熟练运用相关知识点；先根据折叠得到相关角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到答案即可； 【详解】 解：由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：7． 58．【答案】（1）证明见解答过程     （2）①；；② 当与全等时，秒或 5 秒或秒      【分析】 本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）① 由轴对称的性质可得出答案； ② 动点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． (1) 小问详解： 证明：∵直线， ， ， ， ， 在和中， ， ． (2) 小问详解： 解：① 由题意得，， 则， 根据题意得， 由轴对称的性质可知，， ， 故答案为：． ② 由轴对称的性质可知，， ， ， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，． 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或 5 秒或秒． 59．【答案】85 【分析】 由平行线的性质得出，再由翻折变换的性质得出，，进而求出的度数，即可得出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【点睛】 此题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理以及多边形内角和定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题关键． 60．【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】 解：点A第1次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 61．【答案】 【分析】 本题主要考查折叠的性质和外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据折叠的性质可知，根据三角形的内角和得到的度数，再根据外角的性质即可得到答案； 【详解】 解：如图，连接AD， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， 故答案为：． 62．【答案】10 【分析】 连接交于，连接交于，根据正方形的性质推出关于对称，求出，在中勾股定理求出即可． 【详解】 解：连接交于， ∵四边形是正方形， ， 即关于对称， ， 连接交于，则此时最小， ， ， ∵四边形是正方形， ， 由勾股定理得：， 的最小值为． 63．【答案】（1）     （2）证明：在的延长线上截取，连接， 设，则，， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）先利用勾股定理求出的长，然后在等腰中求的长； （2）在的延长线上截取，连接，设，求出，则四点在以为直径的圆上，进而得到解题即可； （3）先证明得到，由轴对称可以得到作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，解题即可求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 即， ， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴， 作点B关于的对称点，连，交于点N，这时最小，过点C作于点H， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 点N为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 12．D 13．C 14．D 15．A 16．D 17．D 18．C 19．C 20．B 21．B 22．B 23．B 24．C 25．A 26．D 27．C 28．B 29．【答案】真 【分析】 本题考查了逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论，原命题条件与结论互换就是逆命题． 【详解】 解：逆命题：如果，那么， 是真命题， 故答案为：真 ． 30．【答案】18 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 31．【答案】13 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】 解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 32．【答案】如果两个角相等，那么它们是直角． 【分析】 本题考查逆命题，命题的题设与结论，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．先要明确命题中的已知条件和结论，原命题“直角相等”意为“如果两个角是直角，那么它们相等”，其逆命题是交换条件和结论，据此作答即可． 【详解】 解：原命题“直角相等”可表述为“如果两个角是直角，那么它们相等”， 那么其逆命题为：“如果两个角相等，那么它们是直角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是直角． 33．【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【分析】 交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】 解：命题“对顶角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 【点睛】 本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 34．【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角性质周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是， 故答案为：． 35．【答案】7 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，然后由的周长，的周长，即可解答． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为19，的周长为12， ∴，， ∴． 故答案为：7． 36．【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分，推出即可求解； 【详解】 解：由题意得：垂直平分， ∴； ∵的周长, ∴的周长, 故答案为： 37．【答案】作图如下： 的垂直平分线与公路的交点P即是公共汽车站的位置． 【分析】 本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质的应用，连接，的垂直平分线与公路的交点即是公共汽车站的位置，据此即可作答． 【详解】 略 38．【答案】或 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据题意，画出示意图，分点E在上，点E在延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】 解：如图，当点E在上时， D为边的中点，， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 如图，当点E在延长线上， 同理可得：， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 39．【答案】（1） 证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC；     （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC      【分析】 （1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC； （2）根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知AB＝AC， ∠BAC＝108°， ， AD＝AE，∠DAE＝36°， ， 是的一个外角， ， 同理，， ∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键． 40．【答案】如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角 【分析】 本题考查了逆命题，根据逆命题的定义：逆命题是将原命题的题设和结论互换所得命题，即可解答． 【详解】 解：原命题“邻补角的和是”可表述为“如果两个角是邻补角，那么它们的和是”， 故其逆命题是“如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角”． 故答案为：如果两个角的和是，那么这两个角是邻补角． 41．【答案】11 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质及两点之间线段最短．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的最小值为的长，进而可得周长的最小值． 【详解】 解：如图，连接， ∵直线m垂直平分， ∴， 又∵， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， ∴周长的最小值是． 故答案为：11． 42．【答案】 【分析】 本题考查基本尺规作图-作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键．先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得，即可求解． 【详解】 解：根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线， ． ，， 的周长为： ． 故答案为：． 43．【答案】（1） 证明：连接，     ∵的平分线与的垂直平分线交于点D，，， ∴，， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 此题考查的是角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质、垂直平分线的性质和全等三角形的判定及性质是解题关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，，利用可证，从而证出结论； （2）根据角平分线的定义和直角三角形的性质可证，然后根据角平分线的性质可证，从而得出，代入即可解出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 44．【答案】6 【分析】 本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出，再根据的周长公式进行求解即可． 【详解】 解：∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长， ∴； 故答案为：6． 45．【答案】（1）如图，直线和即为所求；     （2）如图，点即为所求；     （3） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查画轴对称图形，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）连接，画出的中垂线即为直线，进而画出即可； （2）连接，与直线的交点即为点； （3）取格点，连接交于点，易知垂直平分线段，即点为线段的中点，连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，交直线于点，连接， 由对称性可知：， ∴的周长， 当点在线段上时，的周长最小； (3) 小问详解： 略 46．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长为32， ， ， 的周长， 故答案为：． 47．【答案】（1） 所求图形，如图所示；      （2）3      【分析】 本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，由可推出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 48．【答案】15 【分析】 根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【详解】 解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【点睛】 本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 49．【答案】10 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接、，过点作于点，利用垂直平分线性质得，角平分线性质得，进而证明和，分别得出、，最后结合求出的长度． 【详解】 解：连接、，过点作于点， ∵点为中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．【答案】2 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含角直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键． 连接交于点，利用垂直平分线的判定方法证出垂直平分，得到，，证出为等边三角形，即可利用平行的性质判定出为等边三角形，设，分别用表示出和的长，再利用含角直角三角形的定义列式运算即可． 【详解】 解：连接交于点，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 51．【答案】（1） 解：图形如图所示：      （2）      【分析】 本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）设，利用三角形内角和定理构建方程求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵ 垂直平分线段， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 52．【答案】（1）如图，DE为所作； （2）30°； （3）8 【分析】 （1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可； （2）利用垂直平分线的性质得DA=DB，则∠DBA=∠A=30°，然后计算∠ABC-∠DBA即可； （3）在Rt△BCD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到DB=2CD，则DA=2CD，然后根据三角形面积公式得到S△ABD=2S△BCD=8． 【详解】 （1） 略 （2）∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=30°， ∵∠ABC=90°﹣∠A=60°， ∴∠CBD=∠ABC﹣∠DBA=60°﹣30°=30°； （3）在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°， ∴DB=2CD， 而DA=DB， ∴DA=2CD， ∴S△ABD=2S△BCD=8． 【点睛】 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了垂直平分线的性质． 53．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 54．【答案】3 【分析】 连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K．先证明△MBK≌△MBN，Rt△AMN≌Rt△CMK，得到，BK=BN，AN=CK，通过线段的代换求出BN，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】 解：如图，连接AM，CM，做MK⊥CG，垂足为K， ∵ME为AC的垂直平分线， ∴AM=MC， ∵BM平分∠ABG，MN⊥AB，MK⊥CG， ∴∠MBK=∠MBN，∠MKB=∠MNB=90°， 又∵MB=MB， ∴△MBK≌△MBN， ∴MN=MK，BK=BN， ∴Rt△AMN≌Rt△CMK， ∴AN=CK， ∴AN=CK=BC+BK=BC+BN， ∴BN=AN-BC=AB-BN-BC， ∴2BN=AB-BC=13-9=4， ∴BN=2， ∴△BMN的面积为． 故答案为：． ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质、角平分线等知识，根据题意添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．B 3．A 4．A 5．A 6．A 7．D 8．A 9．C 10．B 11．B 12．A 13．A 14．C 15．B 16．B 17．B 18．B 19．A 20．C 21．【答案】 【分析】 过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证出△OAB≌△DBC（AAS），根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】 解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵∠ABC=90°，∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠DBC=90°， ∴∠OAB=∠DBC． 在△OAB和△DBC中， ， ∴△OAB≌△DBC（AAS）， ∴BD=AO，DC=OB． ∵A（3，0），B（0，-1）， ∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4， ∴点C的坐标为（1，-4）． 故答案为：（1，-4）． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．据此作答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点为， 那么点Q的坐标为， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 24．【答案】 【分析】 解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影 关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 25．【答案】(1) 7.5 （2）△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1如图所示；    (3) A1（1，5）B1（1，0）C1 （4，3）． 【分析】 （1）利用△ABC等于底边AB乘以点C到AB的距离列式计算即可得解； （2）根据网格结构找出点A、B、C 关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可． 【详解】 解：（1）S△ABC＝×5×3＝7.5； （2） 略 （3）根据平面直角坐标系可得：A1（1，5）,B1（1，0）,C1（4，3）． 故答案为(1) 7.5；(2)见解析；(3) A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）． 【点睛】 本题考查利用轴对称变换作图，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置． 26．【答案】 【分析】 本题考查关于y轴对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变。 【详解】 解：点关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，故对称点为． 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查点坐标关于坐标轴的特点．点坐标关于坐标轴的对称规律：（1）关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变为相反数；（2）关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变．据此求解即可． 【详解】 解：点关于轴的对称点为， 则点P的纵坐标为1， 点关于轴的对称点为， 则点P的横坐标为2， 则点P的坐标为， 故答案为：． 28．【答案】（1）如图， （2），，；（2）． 【分析】 （1）先写出各顶点关于轴对称的点，再依次连接即可； （2）根据图象及各象限坐标的特征解题； （3）将图形用矩形面积减去三个三角形面积即可. 【详解】 （1） 略 （2）由图象可知，，，； （3） 【点睛】 本题考查网格作图—关于y轴对称、象限与点坐标、三角形面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 29．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，掌握关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，再代入即可解答． 【详解】 解：点与点关于y轴对称， ， ， 故答案为：． 30．【答案】（1）     （2），（）或，（）．     （3）7      【分析】 （1）根据翻折的性质和坐标特点解答即可； （2）分0≤t＜5和5＜t≤8两种情况，利用三角形面积公式解答即可； （3）根据全等三角形的性质得出方程，利用四种情况解答即可． (1) 小问详解： 解：∵AD是由AB折叠得到， ∴， ∴； (2) 小问详解： ，当时， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，， 综上所述，的面积是，（）， 或，（）． (3) 小问详解： ∵， ∴，， 由题意可知：，，， ∴，， ∴，解得，，解得， ∴a的值是7． 【点睛】 本题考查了几何变换的综合题，全等三角形的判定和性质，关键是根据翻折的性质和全等三角形的性质解答． 31．【答案】（1） 解：如图，即为所求作；      （2） 解：如图，即为所求作；      （3）      【分析】 本题考查了复杂作图——平移作图，作轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特征，割补法求面积，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的特点作图即可； （3）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积为． 32．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形——轴对称变换，熟知关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，可求出和的值，再代入计算． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴ 故答案为： 33．【答案】（1） 即为所求：      （2）4      【分析】 本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式等知识． （1）分别画出A、B、C三点关于x轴的对称点D、E、F即可解决问题； （2）根据四边形是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形的面积为：． 34．【答案】8 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可． 【详解】 解：根据题意得， ， 解得 ， ∴， 故答案为：8． 35．【答案】（1）（2）题如图所示 点的坐标为 【分析】 （1）根据题目要求进行平移即可； （2）直接画出关于轴的对称图形即可求出点的坐标． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系和轴对称的相关知识，熟练运用轴对称的知识和在平面直角坐标系中对图形进行平移是解答此题的关键． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标的特征．根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可求解． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 37．【答案】（1） 如图， 即为所求；     （2） 如图， 即为所求．      【分析】 本题考查了平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移变换、轴对称变换的性质是解题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 38．【答案】（，-4） 【分析】根据非负数的性质求出a、b，从而得到点P的坐标，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵， ∴3a-1=0，b+4=0， ∴a=，b=-4， ∴P（，-4）关于y轴的对称点的坐标为（，-4）， 故答案为：（，-4） 【点睛】本题考查了非负数的性质，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律. 39．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程求解和的值，再计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 40．【答案】（1） 如图所示，即为所求，         （2），，     （3）      【分析】 本题考查轴对称作图，关于坐标轴对称的点的坐标特征及三角形的面积； （1）根据题意先找到、、三点关于轴的对称点，进而顺次连接可得； （2）由题意根据关于轴对称的点的坐标特点即可得出点、、关于轴的对称点的坐标； （3）根据题意利用补全正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点，，关于轴的对称点的坐标分别为：，， (3) 小问详解： ． 41．【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征，由题意得，，可求，然后代值求解即可． 【详解】 解：由条件可知， 解得， ∴， 故答案为：． 42．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴对称的点的特点，根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 43．【答案】（1）如图所示： （2）A1（-3，-4），B1（-4，-1），C1（-1，-2）； （3）4 【分析】 （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据图形分别写出各点坐标； （3）利用割补法求解可得． 【详解】 解：（1） 略 （2）A1（-3，-4），B1（-4，-1），C1（-1，-2）； （3）△A1B1C1的面积==4． 【点睛】 本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点． 44．【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）      【分析】 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合轴对称图形的性质，找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合轴对称的性质，进行列式，得出，即可作答． (1) 小问详解： 解：点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点是内一点，点是内与点P对应的点， ∴， ∴， 即点坐标为， 故答案为： 45．【答案】（1）关于y轴对称的如下图所示 ： （2） 【分析】 （1）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，并画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′即可； （2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】 （1） 略 （2） ． 【点睛】 本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 46．【答案】（1） 如图所示．        点；     （2）5      【分析】 本题考查方格纸作图，利用方格纸求三角形面积，轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用轴对称的性质进行作图并写出顶点坐标即可； （2）利用方格纸将三角形面积组合为长方形与三角形的面积差即可求解（如图中的红色长方形）． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接． ． 47．【答案】（1，2） 【分析】 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）． 故答案为:（1，2）． 【点睛】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 48．【答案】（1） 如图所示，即为所求作；      （2） 如图所示，即为所求作；      （3）      【分析】 本题主要考查了平移作图，翻折作图，全等三角形的判定， 对于（1），将三角形的三个顶点向左平移3个单位长度，再依次连接即可； 对于（2），将三角形的三个顶点沿着y轴翻折得到对应点，再依次连接即可； 对于（3）根据全等三角形的判定定理作出图形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，当点时， ∴， ∴． 故答案为：． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式计算即可． 【详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：． 故答案为：． 50．【答案】（1） 如图，即为所作图形；      （2）35      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接、， 四边形的面积为：． 51．【答案】（1） 如图，为所作；      （2）、、     （3）      【分析】 本题考查了作图轴对称变换，三角形的面积，写出坐标系中点的坐标； （1）利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、三点的坐标，然后描点即可得到； （2）由（1）得、、三点的坐标； （3）用所围长方形的面积减去三个三角形的面积可计算出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：、、， 故答案为：、、；． (3) 小问详解： 解：的面积． 52．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】 解：点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 点与点关于轴对称， 点的坐标是， 根据规律可知点的坐标是， ， 点的坐标是． 故答案为：． 53．【答案】（1） 如图所示，即为所求；         （2） 如图所示，为所求，         （3）      【分析】 本题考查了轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征、正确找出各点的对应点是解题的关键． （1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （3）根据三角形的面积公式即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，    的面积． 54．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2），，     （3）轴      【分析】 本题考查作图——轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）结合网格可得出答案． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 由图可得，，， (3) 小问详解： 由图可知，直线，交于轴． 55．【答案】（1） 如图① ，△即为所求．      （2） 如图② ，△即为所求．      （3） 则点即为所求． 【分析】 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、作图平移变换. （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图② ，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值． 56．【答案】（1）A（0，），B（，0），C（6，0）；（2）a＞0时，△PAB的面积为2a－4，a＜0时，△PAB的面积为4－2a；（3）P（，12）或（，） 【分析】 （1）根据三角形面积公式得到•OA2=8，解得OA=4，则OB=OA=4，OC=BC-OB=6，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标； （2）分类讨论：当点P在直线AB上方即a＞2；当点P在直线AB下方，即a＜2；利用面积的和与差求解； （3）先计算出S△ABC=20，利用（2）中的结果得到方程，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标． 【详解】 解：（1）∵S△ABO=OA•OB， ∵OA=OB， ∴OA2=8，解得OA=4， ∴OB=OA=4， ∴OC=BC-OB=10-4=6， ∴A（0，-4），B（-4，0），C（6，0）； （2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图， S△PAB=S△AOB+S梯形BOHP-S△PBH=8+（4+6）•a-×6×（a+4）=2a-4； 当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图， S△PAB=S梯形OHPA-S△PBH-S△OAB=（-a+4）×6-×（6-4）×（-a）-8=4-2a； （3）S△ABC=×10×4=20， 当2a-4=20， 解得a=12． 此时P点坐标为（-6，12）； 当4-2a=20， 解得a=-8． 此时P点坐标为（-6，-8）． 综上所述，点P的坐标为（-6，12）或（-6，-8）． 【点睛】 本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；掌握三角形面积公式． 57．【答案】（1） 如图，即为所求． ．     （2）     （3） 如图所示： 【分析】 本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变换、轴对称的性质等知识，熟练掌握画轴对称图形的方法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）根据关于轴对称的点坐标变换规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数，由此即可得； （3）连接，交轴于点，连接、，由此即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴点关于轴的对称点的坐标， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：在轴上找一点，连接、，使得周长最小， 理由：由轴对称的性质得：， ∴周长为， ∵是定值， ∴由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的长最小，即周长最小， ∴与轴的交点即为所求． 58．【答案】（1） 如图，是所求作的三角形，      （2） 如图，是所求作的等腰直角三角形，      （3）3      【分析】 本题考查的是轴对称的作图，等腰直角三角形的定义，熟练地应用轴对称的性质是解本题的关键． （1）分别确定关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格图的特点作出以为底边的等腰直角三角形即可； （3）由图即可得线段的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知，线段的长度为3，故答案为：3． 59．【答案】（1） 解：如图：即为所作，点坐标为， ；     （2） 如图：即为所作， ；     （3） 如图：点P即为所作，       【分析】 本题考查轴对称图形的绘制、图形的平移以及最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质、平移的规律和利用轴对称找最短路径的方法． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、的坐标，再描点作图； （2）根据平移的规律，求出、、的坐标，再描点作图； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：已知，则点坐标为，即， (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， 设直线的解析式为，将和代入得： 解得，， 所以直线的解析式为， 令，则， 所以点坐标为． 60．【答案】（1）解：如图，即为所求，．      （2）     （3）7      【分析】 此题考查了利用轴对称的性质作图，割补法求三角形面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中点坐标公式解答即可． （3）利用割补法可得的面积等于长方形的面积减去周围3个直角三角形的面积， 再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴线段的中点坐标是． (3) 小问详解： 解：． 61．【答案】 【分析】 本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，各个象限内点的坐标特点，解不等式组． 先求点P关于x轴的对称点坐标，再根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】 解：∵点关于x轴的对称点为，且该对称点在第三象限， ∴ ， 解得． 故答案为：． 62．【答案】（1） 如图，为所求；      （2）；；     （3）      【分析】 本题考查作轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标变化，坐标系中三角形的面积． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，顺次连接即可得到； （2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解； （3）运用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由轴对称可得，，，． 故答案为：；；． (3) 小问详解： 解：． 故答案为：． 63．【答案】（1） 如图，为所作，点的坐标为，      （2）3.5      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可，再写出点的坐标； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ． 故答案为：3.5 64．【答案】（1）图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；     （2）．      【分析】 本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． (1) 小问详解： 解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到， 即为所求， ，，与点，，关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：如下图所示，连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 由网格可知点的坐标是． 65．【答案】（1） 连接如下图所示：      （2）     （3），点P即为所求： 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）由（1）即可解答； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再设的解析式为，将点和点C代入求出解析式，进而即可得到点P坐标． (1) 小问详解： 解：，，关于y轴对称对应点分别为，， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，∵点A和点关于y轴对称， ∴连接交y轴于点P， 由对称可知，， ∴的周长为， ∵两点之间线段最短， ∴当点P为与y轴的交点时，的周长最小， 设的解析式为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 故答案为：． 66．【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）作轴于E，轴于F，由角平分线的性质得出，得出方程，解方程求出，即可得出P点坐标； （2）由证明，得出，则． (1) 小问详解： 解：作轴于E，轴于F，如图所示： 根据题意得：，    ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的值为2． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 67．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了平移作图，对称作图和平面直角坐标系中求面积，解决此题的关键是画出正确的图形； （1）根据平移的规律先画出平移后三角形三个顶点，连线即可得到答案； （2）根据轴对称的规律先画出关于y轴对称轴三个顶点，连线即可得到答案； （3）根据割补法求出面积即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示； ， 故答案为：． 68．【答案】（1）C（0，3）；（2）S＝2t；（3）60°. 【分析】 （1）根据直角三角形30度角的性质分别计算AB和AC的长，可得OC的长，写出点C的坐标； （2）根据三角形面积公式得：S△ACP=×AC×DP=×4×t=2t； （3）如图3，过点O作OH⊥BC于H，证明Rt△OHF≌Rt△ODP，得∠HFO=∠DPO，再证明△FOP是等边三角形，则∠OFP=60°． 【详解】 （1）∵∠ABC＝90°， ∴∠CBO+∠ABO＝90°， ∵∠CBO+∠ACB＝90°， ∴∠ABO＝∠ACB， ∴∠ACB＝30°， ∴∠ABO＝30°， 在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA， 在Rt△ABC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB， ∵A（0，﹣1）， ∴OA＝1， ∴AB＝2，AC＝4， ∴OC＝AC﹣OA＝4﹣1＝3， ∴C（0，3）； （2）∵DE所在直线为线段OC的垂直平分线， ∴PD⊥OC， ∵点P的横坐标为t， ∴PD＝t， ∵AC＝4， ∴S△ACP＝＝2t， 即S＝2t； （3）如图3，过点O作OH⊥BC于H，连接OP， 在Rt△CHO中，∵∠HCO＝30°， ∴OH＝OC， ∵OD＝OC， ∴OH＝OD， ∵PE所在直线为线段CD的垂直平分线， ∴PC＝PO， ∴OF＝CP， ∴PO＝FO， 在Rt△OHF和Rt△ODP中， ∵ ， ∴Rt △OHF≌Rt△ODP（HL）， ∴∠HFO＝∠DPO， ∴∠FEP+∠HFO＝∠FOP+∠DPO， ∴∠FEP＝∠FOP， ∵∠FEP＝60°， ∴∠FOP＝60°， ∴△FOP是等边三角形， ∴∠OFP＝60°． 【点睛】 此题属于三角形的综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 69．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图， 或或      【分析】 本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据全等三角形的判定，结合网格求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点，，，即为所求， 即所有符合条件的点P的坐标为或或． 70．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判断与性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，构造出全等三角形即可解决问题． 【详解】 解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 71．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】 解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 72．【答案】（1）如图，为所作； （2）如图2，点P为所作， 【分析】 本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）如图1，利用关于x轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可得到，再写出点的坐标； （2）如图2，连接交x轴于P，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，然后写出P点坐标． 【详解】 （1）略 （2）略 73．【答案】（1） 即为所求：      （2） 即为所求：      （3）      【分析】 本题考查作图平移变换，翻折变换，全等三角形的判定，解题的关键是掌握平移变换，翻折变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用翻折变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据全等三角形的判定作出图形即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，当点为时， ， ， 故答案为：． 74．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；      （3）、、．      【分析】 本题考查了轴对称作图、平移作图、全等三角形的判定及点的坐标知识，解题的关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． （1）利用轴对称变换，即可得到； （2）根据要求作图即可； （3）依据以B、C、D为顶点的三角形与全等，可知两个三角形有公共边，运用对称即可得出所有符合条件的点D坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，有三种情况： 点D的坐标分别为、、． 75．【答案】（1） 如图，即为所作， ；；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查轴对称变换，轴对称的性质，等腰三角形的性质． （1）根据轴对称的性质找到点关于x轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的特点，求得和的值，再代入求解即可； （3）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点P即可． (1) 小问详解： 解：其中，；；； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 76．【答案】（1），     （2）     （3）4     （4）存在，或      【分析】 本题是三角形综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）判断出，即可得出结论； （3）列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； (2) 小问详解： 由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ∵点在线段上， ， ； 故答案为：4； (4) 小问详解： 存在 理由如下： ，，点， ，； 当Q在正半轴时， ∴ ∴ 当Q在负半轴时， ∴ ∴ 综上所述：或． 77．【答案】，， 【分析】 本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定，对称图形点坐标变化，取线段的垂直平分线，根据成轴对称的两个图形全等求解即可． 【详解】 解：如图，取线段的垂直平分线，作关于直线的对称点，分别作和关于轴的对称点，， ∵， ∴线段的垂直平分线为， ∴和关于直线对称， ∵作关于直线的对称点， ∴，与关于直线对称， ∴，此时，  ∵关于轴的对称点是，关于轴的对称点是， ∴，， 综上所述，以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为，，， 故答案为：，，． 78．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画出图形是解题的关键，属于常考题． （1）利用轴对称的性质即可画图； （2）利用平移的性质即可画图； （3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标为， 故答案为：． 79．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键．观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】 解：点第一次关于轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于轴对称后在第二象限，即点回到原始位置，坐标为； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后，所得的点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 80．【答案】（1） 画图如下，即为所求图形．：      （2）     （3）     （4）5      【分析】 （1）根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标，，画图即可． （2）根据(1)的解答直接写出坐标即可 （3）利用分割法计算面积即可； （4）根据轴对称原理，结合勾股定理解答即可． 本题考查了关于y轴对称的作图，分割法计算图形的面积，轴对称原理计算线段和的最小值，勾股定理，熟练掌握对称性质，勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据纵坐标不变，横坐标变为相反数，确定变换后的坐标， (2) 小问详解： 解：根据作图可得，， 故答案为：． (3) 小问详解： 解： 故答案为：． (4) 小问详解： 解；如图所示， 点关于轴的对称点为， 连接交轴于点， ， ， 点三点共线， 此时的值最小， ， 故答案为：5． 考点04 等腰三角形 1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．A 10．C 11．A 12．A 13．D 14．B 15．A 16．D 17．C 18．B 19．B 20．B 21．A 22．B 23．C 24．C 25．C 26．A 27．C 28．A 29．B 30．B 31．D 32．B 33．B 34．C 35．D 36．D 37．C 38．B 39．C 40．C 41．A 42．A 43．D 44．C 45．D 46．A 47．C 48．C 49．B 50．D 51．C 52．A 53．B 54．C 55．C 56．D 57．D 58．C 59．B 60．C 61．D 62．B 63．【答案】 【分析】 本题考查了等边对等角，设该等腰三角形的顶角的度数为，则该等腰三角形的底角度数为，根据即可求解． 【详解】 解：设该等腰三角形的顶角的度数为， 由题意得：该等腰三角形的底角度数为， ∴ 解得： 故答案为： 64．【答案】 【分析】 本题考查含的直角三角形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”直接解题即可． 【详解】 在中，，，， ∵ ， ∴ （直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）， 即， 故答案为：． 65．【答案】@度 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角， 根据旋转可得，，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出答案． 【详解】 解：根据旋转可得，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 66．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】 解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 67．【答案】或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的两腰相等，等腰三角形的两个底角相等，根据性质解题即可. 【详解】 解：情况① ，如下图： ∵，， ∴， ∴ 情况② ，如下图： ∵，， ∴， ∴ 故答案为：或． 68．【答案】4 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出、的度数和得出． 先根据已知和三角形内角和定理求出、，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】 解：，， ，， ∵， ， 故答案为：4． 69．【答案】11 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】 解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 70．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，注意：一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角，一个钝角只能是等腰三角形的顶角．由于本题中没有明确角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】 解：当是底角时，顶角的度数为； 当是顶角时，顶角度数即为． 故答案为：或． 71．【答案】6 【分析】 本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 72．【答案】2 【分析】 本题考查了三角形内角和性质，含30度的直角三角形，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，，运用三角形内角和性质算出，最后根据30度所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 73．【答案】（1） 证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线；     （2）．证明： 是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． （1）先根据是的平分线上一点，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线； （2）先根据是的平分线上一点，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 74．【答案】20 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】 解：，， ， 是边上的高， ， ， 故答案为：20． 75．【答案】3 【分析】 本题主要考查了含30度角的直角三角形性质以及三角形内角和定理，解题的关键在于灵活应用含30度角的直角三角形性质． 利用三角形的内角和求出，余角的定义求出，然后利用含30度角的直角三角形性质求出，即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 故答案为：3． 76．【答案】30°或150° 【分析】 根据题意可作图进行分类求解即可． 【详解】 解：由题意得： ① 如图，当AB=AC，CD⊥AB时，    ∴AC=2CD， ∴∠A=30°； ② 如图，    ∵AB=BC，AD⊥BC，AB=2AD， ∴∠ABD=30°， ∴∠ABC=150°； 故答案为30°或150°． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 77．【答案】2 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键． 先证明，得到，由等角对等边判定，则易求，即可解答． 【详解】 解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案是：2． 78．【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，以及图形翻折的性质，解决本题的关键是由图形翻折得到．由等边对等角可得，再由图形翻折可得，由此可解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴． 故答案为： ． 79．【答案】4 【分析】 以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为,从这三方面考虑点B的位置即可. 【详解】 解：① 当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；② 当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个；③ 当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，所以B点总共有4个. 故答案为4 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键. 80．【答案】或 【分析】 此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】 解：①当时，过点A作，     ∵，， ∴， ∴， ②当时，过点A作时， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：或． 81．【答案】5 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．连接，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，推出，得到，进而得出，即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接， ，， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：5． 82．【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据等腰三角形的三线合一性质可得：，，再结合等边对等角以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵，， ∴， ，， ， ， ， 故答案为： 83．【答案】或 【分析】 本题考查三角形内外角的关系，等腰三角形的性质．先根据三角形相邻的内角与外角互补即可求出相邻的内角为，然后分两种情况讨论：①的内角为顶角，②的内角为底角，求解即可． 【详解】 解：等腰的一个外角为，则相邻的内角为， ① 若的内角为顶角，则底角为， ② 若的内角为底角，则底角为． 综上所述，这个三角形的底角为或． 故答案为：或 84．【答案】1 【分析】 由，平分，且，即可得到，，，再由，即可得到． 【详解】 解：∵中，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 85．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】 解：是的平分线， ， ， ， ， 是等腰三角形 ， ， ． 故答案为： 86．【答案】（1）     （2）7      【分析】 （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出， ，再利用线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，最后由等腰三角形的性质及三角形外角性质可得出答案； （2）根据（1）和已知能推出的周长，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：， ∴． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：由1知：，， ∴， ∴的周长． ∵，，， ∴， ∴． 【详解】【点晴】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 87．【答案】（1） 证明：过点A作AF⊥BC于点F， ∵AD=AE，AF⊥BC， ∴DF=EF，∠DAF=∠EAF， ∵BD=CE， ∴BF=CF， ∵AF⊥BC， ∴AB=AC；     （2）ABD、AEC、ABE、ADC．      【分析】 （1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据三线合一的性质，可得DF=EF，∠DAF=∠EAF，又由BD=CE，可得BF=CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC； （2）根据等腰三角形的判定解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点D在AB的垂直平分线上， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠B=36°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=36°， ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE=∠DAB+∠B =72°， ∴∠CAE=∠AED∠C=36°， ∴∠BAD=∠CAE=∠C=∠B=36°， ∴BD=AD=AE=EC，∠BEA=∠ADE=∠BAE=∠DAC=72°， ∴AB=AC=BE=CD， ∴图中（ABC和ADE除外）所有的等腰三角形为：ABD、AEC、ABE、ADC． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 88．【答案】或 【分析】 此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】 解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 89．【答案】5 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质，三线合一，解题的关键是根据已知求出，再利用垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而得出，再利用求出结果． 【详解】 解：周长，， ， ， ∵，垂直平分， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：5． 90．【答案】3或 【分析】 此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 91．【答案】（1） 证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 92．【答案】 【分析】 本题主要考查了垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键． 利用垂直平分线的性质得到，，从而，即等于的周长． 【详解】 是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 又； 故答案为． 93．【答案】 或 【分析】 首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】 解：① 如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ② 如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 94．【答案】 【分析】 过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长． 【详解】 解：过作于， ，平分， ， ∥， ， ， ， ，∥， ， 在中，， 为角平分线，，， ， ． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查：（1）含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握相关性质是解题的关键． 95．【答案】H度 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵等腰三角形的顶角为36°， ∴两个底角的度数为； 故答案为：． 96．【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，进而得出．进而得出． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，进而得出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，D是中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 97．【答案】厘米 【分析】 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义．由、分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可． 【详解】 解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， 厘米， 的周长为厘米， 故答案为：厘米． 98．【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：① 顶角为； ② 当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 99．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，然后根据三角形内角和定理得，进而得出，即可得出答案． 【详解】 解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 100．【答案】8 【分析】 先根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理即可求出． 【详解】 解：∵，为底边上的高， ∴，， ∴． 故答案为：8 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”和勾股定理的应用，熟知两个知识点并结合图形灵活应用是解题关键． 101．【答案】解：需添加的条件是：或或， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， （）添加， 理由：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）添加， 理由：如图，∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，根据等边对等角，全等三角形的判定与性质进行求解即可，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 略 102．【答案】2 【分析】 本题考查了含的直角三角形性质及应用．根据，，，可得，再由点是的中点，求得，在直角三角形中，由即可求得． 【详解】 解：，，，点是的中点， ， ∵， ． 故答案为：2． 103．【答案】30 【分析】 本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质， 先根据“等边对等角”求出，再根据线段垂直平分线的性质得，然后结合“等边对等角”求出，则此题可解． 【详解】 解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30． 104．【答案】 【分析】 作于，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意添加适当辅助线是解本题的关键． 105．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，由三线合一可得，进而由等边对等角得到，再根据角的和差即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，是上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 106．【答案】（1）10；（2）76° 【分析】 （1）根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA，GA=GC，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再由等腰三角形的性质得到∠BAE=∠B，∠GAC=∠C，然后根据角的和差关系即可得出结论． 【详解】 （1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线， ∴EB=EA，GA=GC． ∵BC= BE+EG+GC， ∴BC= AE+EG+AG=△AEG的周长=10． （2）∵∠BAC=128°， ∴∠B+∠C=180°－∠BAC=180°－128°=52°． ∵EB=EA，GA=GC， ∴∠BAE=∠B，∠GAC=∠C， ∴∠EAG=∠BAC－∠BAE－∠GAC=∠BAC－（∠B+∠C）=128°－52°=76°． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 107．【答案】 【分析】 本题考查角度的规律问题，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得到角度的规律是关键． 根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律得出的度数． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得， ，， ∴． 故答案为：． 108．【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】 解：当是锐角三角形时，，如图，， ， ∴， 当是钝角三角形时，，交的延长线于点D， ∴， ∴， 故答案为：或． 109．【答案】92 【分析】根据92°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答． 【详解】解：∵92°＞90°， ∴92°的角是顶角， 故答案为92°． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出92°的角是顶角是解题的关键． 110．【答案】（1）如图，即为所作， ；；； （2）或 【分析】 本题主要考查轴对称变换，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到点关于轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点即可． 【详解】 （1）解：其中，；；； 故答案为：；；． （2）解：如图， 格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 111．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ∵ ， ∴， ∴， 即， ∵由（1）知， ∴．      【分析】 （1）根据三角形的内角和定理求出，推出，根据证出即可； （2）先证明，，再根据证出，推出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出和． 112．【答案】证明： ， ， ， ，， ， 又 ， ， ，即 是等腰三角形． 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余．由，可知，再由和余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论． 【详解】 略 113．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 114．【答案】或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键； 分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可； 【详解】 解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半， 设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且． 是底边上的高， D为中点，即， ， ， ， ， 顶角； ， 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半 设等腰三角形中，，是腰上的高，， 在中， ， ， 即此时顶角为； 当等腰三角形是钝角三角形时， 设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，， 在中， ， 顶角， 综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或． 故答案为：或或． 115．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴．     （2）3      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质， （1）根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论； （2）根据题意得出，再由等量代换确定，理由等角对等边得出，利用全等三角形的性质求解即可； 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴． 116．【答案】． 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是利用三角形内角和定理列方程求出各角的度数，结合等腰三角形的角的关系计算． 设的度数为，结合、，利用三角形内角和为列方程求出、、的度数；由得为等腰三角形，求出的度数，进而用减去得到的度数． 【详解】 解：设，则，， ∵ 在中，， ∴ ， 解得， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ，在中，， ∴ ． 117．【答案】i度 【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 118．【答案】或 【分析】 分P在线段上与B点左侧两类，结合三角形内外角关系即可得到答案． 【详解】 解：如图所示， ① 当点P在线段上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ② 当点P在B点左侧时如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：或； 【点睛】 本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是注意分类讨论． 119．【答案】（1） 解：是的“直角等腰线”，理由如下： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，是直角三角形， ∴是为的“直角等腰线”；     （2）点D到的距离为2．      【分析】 本题考查了新定义、含角的直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据新定义，证明是等腰三角形即可； （2）先证明出是的平分线，利用角平分线性质得到，再根据含角的直角三角形的性质得到即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，，． ∴， ∵为的“直角等腰线”， ∴，， 过点D作，垂足为E， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴． ∴点D到的距离为2． 120．【答案】13米． 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】 解：，， ． ． ． ，，， ． ． ． 这棵树的高度是13米． 121．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质及垂直的判定，解题的关键是结合等腰三角形的等角关系，利用已知角的条件逐一推导各结论的正确性． 由得，结合推导与的关系验证①；通过、证，推导与的关系验证②；根据等边三角形判定条件判断③；利用、是中点的条件推导角的关系验证④． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ，故① 正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴． 由得，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故② 正确； 仅满足，是等腰三角形，无法推证任何一个内角为，不是等边三角形，故③ 错误； ∵ ， ∴ ①， 由得， ∴，②， 又，联立① ② 知③， ∴． 又∵是的中点，即， ∴④ , 又⑤, 联立③ ④ ⑤ 得，, ∴，故④ 正确． 综上，正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 122．【答案】 【分析】 本题考查轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 连接、，等腰三角形中D为的中点，则，根据三角形面积公式求出的长度，根据垂直平分线的性质证得，进而证得，故的长为的最小值，据此得出结论即可． 【详解】 解：连接、 是等腰三角形，D为的中点 是的垂直平分线 点关于的对称点为点 有最小值， 的周长存在最小值为 故答案为：． 123．【答案】（1）     （2）的大小不变，      【分析】 此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． (2) 小问详解： 的大小不改变， 如图① ，作交于点F，则，     ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． 124．【答案】35 【分析】 本题考查含30度角直角三角形的性质，30度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接，过点D作于点E．先求出，根据三角形内角和定理和等边对等角求出，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点D作于点E． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴在中，． 故答案为：35． 125．【答案】13 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质． 设，构建方程即可解决问题． 【详解】 解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 126．【答案】（1） 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴；     （2），，，      【分析】 本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理. （1）证明，即可得证； （2）根据角的和差及等腰三角形的定义作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，是等腰三角形． 127．【答案】证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 【分析】 此题主要考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知含的直角三角形的性质定理．连接，根据垂直平分线的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再由的直角三角形的性质即可求解． 【详解】 略 128．【答案】或 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质．分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案． 【详解】 解：如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， ； 如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， 综上：或． 故答案为：或． 129．【答案】∠BCA=108°，∠B=∠A=36°． 【分析】 利用CA=CB，可得∠B和∠A的关系，利用BC=BD，可求得及其与∠B的关系，在△ABC中利用内角和定理可求得∠B，进一步求得∠ACB，得到结果． 【详解】 设 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用． 130．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图所示，点P即为所求；       【分析】 本题主要考查作图轴对称变换，等腰直角三角形的定义，勾股定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及全等三角形的判定． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据等腰直角三角形的定义结合网格求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴． 131．【答案】（1） 证明：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴；     （2）、、、      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的判定即可证明； （2）当O为线段中点时，，根据面积法进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当O为线段中点时，， ∴， 由对称性知，，， ∴， ∴等于面积四分之一的三角形有：、、、． 132．【答案】4或8或4 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质． 过点作于点，然后分两种情况讨论，点在线段上时或点在线段延长线上时，根据角直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：当点在线段上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或8． 133．【答案】65°或25° 【分析】 作出图形，分①与线段相交时，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②与的延长线相交时，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】 】解：①与线段相交时，如图， 是的垂直平分线，， ， ， ； ②与的延长线相交时，如图， 是的垂直平分线，， ， ， ， ，    综上所述，等腰的底角的大小为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线上的性质，等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于作出图形,分情况讨论． 134．【答案】图如下，或 （Ⅰ） （Ⅱ）    【分析】 由题进行分类讨论，可能是钝角三角形或锐角三角形，再画图分析即可 【详解】 （Ⅰ） ， ，    （Ⅱ）    ， ， 【点睛】 本题考查直角三角形的性质与三角形内角和定理，熟记直角三角形的性质与三角形内角和定理，并具有分类讨论思想是解题关键． 135．【答案】80或100． 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理分两种情形分别计算即可． 【详解】 解：如图1， ∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C-∠DAE=180°， 则2（∠B+∠C）=200°， 解得，∠B+∠C=100°， ∴∠BAC=80°， 如图2中， ∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C， ∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°， 则2（∠B+∠C）=160°， 解得，∠B+∠C=80°， ∴∠BAC=100°， 故答案为：80或100． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 136．【答案】12 【分析】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．连接，，先求出，的长．由于是等腰三角形，点H是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，由是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】 解：连接，，如图所示：     ∵，点为中点， ∴， ∴的面积是30， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为12． 故答案为：12． 137．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 138．【答案】33° 【分析】 可在AB上截取AE＝AC，先根据SAS证明△AED≌△ACD，可得DE=DC，然后根据全等三角形的性质、题中条件可得BE＝ED，进而可得∠C＝∠AED＝2∠B，而由三角形的内角和易求得∠B+∠C的度数，进一步即可求出答案． 【详解】 解：如图，在AB上截取AE＝AC， 在△AED和△ACD中， ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴DE=DC，∠C＝∠AED， ∵AB＝AC+CD，AB＝AE+EB， ∴CD＝BE， ∴BE＝ED， ∴∠EDB＝∠B， ∴∠C＝∠AED＝2∠B， 又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝99°， ∴∠B＝33°． 故答案为：33°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 139．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】 解：过A作于F，交于E，连接， ∵是边的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值即为线段的长， ∵的面积为：， 解得：， 则的最小值为， 故答案为：． 140．【答案】（1）证明：∵在和中， ，， ∵， ∴， ∴. （2）成立， 理由：在和中， ，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴. 【分析】 （1）利用HL证明，得到，即可得到结论； （2）与（1）同理，证明，得到，由，即可得到，即可得到结论. 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了等角对等边，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法. 141．【答案】（1） 证明∶ 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （3）能成为等腰三角形，此时的度数为或或或      【分析】 （1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可； （3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：能成为等腰三角形， ①当，点E在的延长线上时，则， 又∵， ∴； ②当，点E在上时，则； ③当时，则， ∴； ④当，点E和C重合， ∴； 综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 142．【答案】6 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后根据求解即可． 【详解】 解：∵平分交于点，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 143．【答案】（1）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠CAE， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE；    （2）、、、 【分析】 （1）由条件证明△ABE≌△ACE即可； 【详解】 （1） 略 （2）∵∠BEC=2∠BAC，BE=CE， ∴∠BED=2∠BAE， ∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE，∴AE=BE=EC 等腰三角形有：△ABE，△AEC，△ABC，△BEC． 【点睛】 此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应角、对应边相等）是解题的关键． 144．【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【分析】 设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】 解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 145．【答案】2或6 【分析】 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含角的直角三角形的性质． 根据为边上的高，，在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出，再分点D在线段上和在延长线上两种情况计算的长即可． 【详解】 解：在中，， ∴． 当点D在线段上时，； 当点D在的延长线上时，． 故答案为：2或6． 146．【答案】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【分析】 本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】 略 147．【答案】（1） 解：如图1，点D即为所求；     （2） 解：如图2，点E即为所求；     （3） 解：如图3，点F即为所求． 【分析】 本题考查作图-应用与设计作图、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，能够学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键． （1）利用网格找到线段的中点，即为所求的点D； （2）取格点M，连接，与 交于点E，，则点E即为所求； （3）取格点N，连接，，则为等腰三角形，再利用网格取的中点P，连接，与边交于点F，则点F即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 148．【答案】（1）等腰三角形，周长为     （2）      【分析】 （1）先化简二次根式，再判断三角形的形状即可； （2）先求解等腰三角形底边上的高，再利用三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴三角形是等腰三角形 三角形的周长； (2) 小问详解： 解：如图，过作于，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】 本题考查的是二次根式的化简，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，二次根式的乘法运算，掌握二次根式的运算是解本题的关键． 149．【答案】 【分析】 先根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据即可得． 【详解】 解：在中，，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 150．【答案】36 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出，再根据等角对等边即可求出，利用路程=速度×时间计算即可求出的长度，也就是点A与灯塔C相距的距离． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴（海里）． 所以，从A处与灯塔C相距36海里． 故答案为：36． 151．【答案】17 【分析】 本题考查的是等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，正确作出辅助线、掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 延长到E，使，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质结合已知得到，然后根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定得到，进而计算即可． 【详解】 解：延长到E，使， ∵，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：17． 152．【答案】或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点E，交直线于点D，则可求得的外角，再利用外角的性质可求得，可求得答案． 【详解】 解：当为锐角三角形时，如图1，设的垂直平分线交线段于点D，交于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当为钝角三角形时，如图2，设的垂直平分线交于点E，交于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 153．【答案】（1） 证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， 又∵E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形，本题线段相等、角相等的条件较多，根据题意设出未知数求得或者表示线段或角度是求解的一个方向．另外，分析问题时要注意数形结合． （1）由已知易证得到，再由点E在垂直平分线上，得到，推得，从而得到求证； （2）由（1）为等腰三角形，结合条件，可证，可推得，再通过三角形内角和，求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则由已知，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 154．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，高线，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角，以及，，证明，故，即可作答． （2）先分析得出，故点F是锐角三角形的高线的交点，即， 结合等腰三角形的性质得，运用三角形内角和性质得，，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：与（1）同理得， ∴ ∵， ∴， 即， 延长交于点H，如图所示 ∵，， ∴点F是锐角三角形的高线的交点，故， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 同理得， 故等于的角分别是． 155．【答案】 【分析】 本题考查了垂线段最短以及轴对称作图，等腰三角形的性质．作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出即可得出答案． 【详解】 解：作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，如图，    ∵，，， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是． 故答案为：． 156．【答案】 【分析】 根据折叠的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出，进而得出，利用三角形内角和解答即可． 【详解】 解：将沿着折叠，点恰好和点重合， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，综合应用上述知识点是解题的关键． 157．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，进而得到，可得到，再由三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】 ∵P点关于的对称是点，P点关于的对称点， ∴， ， ， ， 故答案为：． 158．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】 解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， 故答案为：． 159．【答案】 【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出的度数． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴=； 同理可得， =， =， …… ∴=． 故答案为：． 160．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 161．【答案】（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB． ∵PF∥AC， ∴∠PFB=∠ACB， ∴∠B=∠PFB， ∴BP=FP， 由题意，BP=CQ， ∴FP=CQ， ∵PF∥AC， ∴∠DPF=∠DQC． 又∠PDF=∠QDC， ∴△PDF≌△QDC(AAS)； （2）线段DE的长度保持不变．DE=3． 【分析】 （1）根据全等三角形的判定定理AAS进行证明； （2）过点P作PF∥AC交BC于F，首先证明BE=EF，根据DF=FC，即可解决问题． 【详解】 解：（1） 略 （2）线段DE的长度保持不变． 如图，过点P作PF∥AC交BC于F， 由（1）知PB=PF， ∵PE⊥BC， ∴BE=EF， 由（1）知△PFD≌△QCD， ∴CD=DF， ∴DE=EF+DF=BC=3． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解决问题的关键． 162．【答案】（1） 证明：， ，                  ， 且， ；     （2） 证明：如图，延长AC，BE交于点． ， ∴， 即， ∴， ， ，                     ，                     在与中， ， ，              ，                   ， 即 ．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，，，根据三角形内角和定理即可证明； （2）延长AC，BE交于点，可证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可证明，进而通过证明可得，则题目可证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 163．【答案】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 【分析】 本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】 略 164．【答案】（1）     （2） 中，，，， ，， ， ， ， ，， ；     （3）1      【分析】 （1）由同角的余角相等可证得，然后利用即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）按照（1）的思路可证得，然后结合图形进行线段和差即可得解； （3）如图，过点K作交于点，先证得，，然后利用（2）的结论分别用含的线段表示出的面积，的面积，组成方程组，解方程组即可得解． (1) 小问详解： 解： 理由：在中，， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点K作交于点， ， ∴四边形为长方形， ， ， ， ， ， 的面积为，的面积为6， ，， ，， 由（2）知，，， ，， ，， 由组成方程组得， （负值已舍）， 的长为． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解方程组等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线解决此题的关键． 165．【答案】1或3或1 【分析】 题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，理解题意，分情况分析，作出相应图形是解题关键． 根据题意分两种情况：① 当点Q在线段上时，② 当点Q在线段的延长线上时，结合图形，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：分两种情况：① 当点Q在线段上时，如图1， ∵，， ， ； ② 当点Q在线段的延长线上时，如图2， ∵，， ， ； 综上所述，或3． 故答案为：1或3． 166．【答案】（1） 证明：是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 是的垂直平分线；     （2）6      【分析】 本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质定理是关键． （1）根据角平分线的性质定理得到点在的垂直平分线上，再证，得到，点在的垂直平分线上由此即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ， ， ∴． 167．【答案】∠BAC=108°． 【分析】 由AB=AC，DC=CA，得到AB=AC=CD，且AD=BD，利用等边对等角得到∠B=∠C=∠BAD，∠DAC=∠ADC，设∠B=∠C=∠BAD=x°，由外角性质得到∠ADC=∠DAC=∠B +∠BAD=2x°，在三角形ABC中，利用三角形的内角和定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出∠DAC与∠ADC的度数，由∠BAD+∠DAC即可求出∠BAC的度数． 【详解】 解：∵AB=AC=DC，AD=BD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠DAC=∠ADC， 设∠B=∠C=∠BAD=x°，则∠ADC=∠DAC=∠B+∠BAD=2x°， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，即x+x+2x+x=180， 解得x=36， ∴∠B=∠C=∠BAC=36°， ∴∠DAC=∠ADC=72°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=72°+36°=108°． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，利用了方程的思想，等边对等角是解题关键． 168．【答案】22019 【分析】 根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案． 【详解】 解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°， ∴∠OA1B1＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠OB1A2＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， 同理可得： ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝23﹣1B1A2＝4＝22， A4B4＝24﹣1B1A2＝8＝23， A5B5＝25﹣1B1A2＝16＝24， …， 则△A2020B2020A2021的边长为＝22019． 故答案为：22019． 【点睛】 本题考查了等腰三角形性质，含30度角的直角三角形等知识，熟知两个定理并灵活应用，并分别计算前三个三角形边长寻找规律是解题关键． 169．【答案】（1），理由如下： ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）；（3）是等腰三角形． 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键． （1）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可求解； （2）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可求解； （3）利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可． 【详解】 解：（1）略 （2）， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）是等腰三角形， 如图，∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 170．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断① 正确；由，，可得，从而得出，判断① 正确；先证明，再证明，得出，判断④ 正确与否． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故① 正确； ∵是等腰直角三角形，∴，不能证明，故③ 不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由② 知，， ∴， ∴，故④ 正确； ∴正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 171．【答案】（1）     （2）当时：；当时：     （3）存在，或      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，列函数关系式，写出点的坐标； （1）证明得出，即可求解； （2）分两种情况讨论，当时，点在上，当时，点在轴的负半轴，根据三角形的面积公式列出关系式，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； (2) 小问详解： 解：当时： 如图，点在上， 依题意，， ∴ 当时，如图，点在轴的负半轴， ∴， ∵， ∴ 综上，当时：；当时： (3) 小问详解： 解：当时， 当时，即， 解得： ； 当时， 当时，即， 解得：； 综上所述，存在，或． 172．【答案】8 【分析】 此题考查勾股定理，解题关键是作出辅助线，根据勾股定理列方程求解，根据，在上取一点使得，连接，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质以及已知得出则，根据已知数据，即可求解． 【详解】 解：如图，在上取一点使得，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴； 故答案为：． 173．【答案】5 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质是解决问题的关键． 过点作于点，延长交于点，连接，根据等腰三角形性质得，由此依据“”判定和全等得，，，进而得，设，则，在中，由三角形内角和定理得，再根据得，再由三角形外角性质得得，由此得，据此依据“”判定和全等得，继而得可得出的长． 【详解】 解：过点作于点，延长交于点，连接，如图所示： 在△中，， ，， 在和中， ， ， 设，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ，， ， ， 是的外角，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即的长度为5． 故答案为：5． 174．【答案】（1） 证明：，都是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ；     （2）的度数不会发生变化，     （3）或      【分析】 （1）先根据等边三角形的性质得，，则，然后可根据“”可判定，从而得出结论； （2）由是等边三角形知，再由知，根据可得结论； （3）求出的值，分三种情况作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点C的运动过程中，的度数不会发生变化， 理由如下： 是等边三角形， ， ， ， ， 点C的运动过程中，的度数不会发生变化，； (3) 小问详解： 解：存在点或，使为等腰三角形，理由如下， ∵点A的坐标为， ， 在中， ∵， ∴， ， 当时，可知或； 当时，可知； 当时，根据三线合一可知，即； 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用，角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 175．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，过点作交的延长线于点，证明即可解答． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 176．【答案】① ② ③ 【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，构造全等三角形是解题关键 根据等腰三角形的判定和性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明① ；根据同角的余角相等即可判断② ；在上取一点M使，构造全等三角形，，即可证明③ ；根据全等三角形的判定得出，过点D作，得出，确定为等腰直角三角形，设，结合图形求解即可． 【详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，① 正确； ②于点G， ， ， ， ，② 正确； 在上取一点M使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴E为中点，故③ 正确； ④ 由③ 可得E为中点， ， ∵， ∴， ， 过点D作，如图所示： ∴四边形为矩形， 由① 得， ∴， ∴， ∴， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， 设， ， ， ， 由① 中全等可得， ∴， ∴ ，④ 错误； 故答案为：① ② ③ ． 177．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先理解题意，得出，，再代入数值计算，即可作答． （2）运用平分，证明，故，则，因为点E在上（不与点O、点B重合），点E的横坐标为t，的面积为S，故，，再化简，即可作答． （3）先由（2）得，，再结合，整理得，然后过点O作，交于一点，证明，，故是等腰直角三角形，因为，，证明，结合角的运算得，再证明，即，最后由等边对等角，三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵点A的坐标， ∴， ∵点B在x的负半轴上，点C在x的正半轴上，连接，的面积为16． ∴， 即， 解得； (2) 小问详解： 解：∵点A的坐标，点B在x的负半轴上，点C在x的正半轴上， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴， 即； ∴ ∵点E在上（不与点O、点B重合），点E的横坐标为t，的面积为S， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 过点O作，交于一点，如图所示： ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 记与轴的交点为点，连接，如图所示： ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，点的坐标，构建全等三角形是解题的关键． 178．【答案】6或10 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，点在射线上，，需分两种情形讨论：当点在线段上时，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质可知，根据等角对等边可得，从而可以求出的长度；当点在延长线上时，过点作，含角的直角三角形的性质，可知，根据等腰三角形的三线合一定理可以求出． 【详解】 解：如下图所示，当点在线段上时， 等边的边长为，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在的延长线上时，过点作， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 179．【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵在 中， ∵ ∴；     （2） 证明：∵ ∴ 是等边三角形 ∴ ∵射线 绕点 C 顺时针旋转 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点，画出辅助线是解题关键． （1）根据等边对等角得出，，再由三角形内角和定理即可得出结果； （2）根据等边三角形的判定得出 是等边三角形，再由其性质及旋转的性质得出，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，，，，，连接，过点F作，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵的中点G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（2）得， ∴， ∵射线绕点C顺时针旋转，交线段于点F， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，过点F作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 180．【答案】3 【分析】 作，垂足为点，延长交于点，过点作，交于点，由的直角三角形的性质和勾股定理得到的值，用证明，得到，再由角平分线的定义得到，从而证明．设，则，用勾股定理建立方程，求出的值，从而求出的值，最后再求出的值即可． 【详解】 解：如图，作，垂足为点，延长交于点，过点作，交于点， ，且， ，， ， 由勾股定理得． 平分， ． 在和中， ， ， ， ． ，即， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 设，则， 在中， ， ，解得， ，． ， ． ， ， ， ． ，， 是的中位线， ， ． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考查了的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，中位线的性质．根据题意适当的添加辅助线是解决本题的关键． 181．【答案】（1）     （2）当点P在上时，；当点P在上时，     （3）或      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、图形与坐标． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据，可知，根据线段之间的关系可得，根据直角三角形的性质可知，可得点的坐标； （2）因为点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段，向终点运动，所以要分点在线段上，点在点处，点在线段上运动三种情况求的表达式； （3）因为是以为底边的等腰三角形，所以，当点在轴左侧时，有，解方程求出的值；当点到达点的位置时，，此时． (1) 小问详解： 解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 点的坐标是； (2) 小问详解： 解：点从点出发，速度是每秒个单位长度， 如下图所示， ， 当秒时，点在上运动， 此时， 由可知， ； 如下图所示， 当时，点到达点， 此时， ； 如下图所示， 当时，点在上运动， 此时， 由可知，， ； 综上所述，当点在上时，；当点在上时，； (3) 小问详解： 解：如下图所示， ，， 在中，， ， ，， 是以为底边的等腰三角形， ， 设运动秒时，， ，，， ， 解得：； 如下图所示， 当点运动的时间是秒时，到达点时， ，， ， 此时是以为底边的等腰三角形； 综上所述，当秒或秒时，是以为底边的等腰三角形． 182．【答案】厘米 【分析】 本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解． 【详解】 解：分别平分，， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长为厘米． 故答案为：厘米． 183．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，反证法等，解题的关键是掌握以上性质． ① 根据给出条件证明即可； ② 利用得出，然后利用角的和差以及三角形内角和定理求解即可； ③ 利用反证法进行证明即可； ④ 过点作于点，作于点，利用得出对应边上的高相等即可． 【详解】 解：① ∵，，， ∴ ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故① 正确，符合题意； ② 由① 得，， ∴， ∴， ∴， 故② 正确，符合题意； ④ 如图，过点作于点，作于点， ∵， ∴， 故④ 正确，符合题意； ③ 由④ 得，，且， ∴， ∴， ∴， 即， 若平分，则，且， ∴， ∴， 根据题意，， 故③ 错误，不符合题意； 综上，正确的选项是① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 184．【答案】[类比解答]； [拓展延伸]，证明如下： 如图3，延长、交于点，   则，                                      ， ， ， ， 又， ，                   ， 由[问题情境]可知，，， ； [实际应用]的面积是10 【分析】 [类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证，得，再由[问题情境]可知，，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】 解：[类比解答] 如图2，延长交于点，   ∵平分，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：； [拓展延伸]略 [实际应用] 如图4，延长交于， 由[问题情境]可知，， ∴，， ， ∵， ， ， 答：的面积是10． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 185．【答案】7 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，在上截取，连接，则垂直平分，得到，进而得到，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 186．【答案】[问题情境]； [类比解答]； [拓展延伸]（1），证明如下： 延长、交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （2）9 【分析】 [问题情境]：根据角平分线的性质得，垂直的性质得，结合，可利用证明； [类比解答]：延长交于点F，由问题情境可知，由等腰三角形的性质得，结合三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]：（1）延长、交于点F，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，有，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 [问题情境]： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； [类比解答]： 解：延长交于点F，如图， 由问题情境可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [拓展延伸]： （1）略 （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键． 187．【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合等腰三角形的性质、等角的余角相等求解是解题的关键． （1）作轴于，如图1，易得，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得到，证明，得到，，所以； （2）与（1）一样的方法可证明，得到，，易得． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴于， ，， ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． (2) 小问详解： 略 188．【答案】（1） 证明：如图① ，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ；     （2）图② 结论：；图③ 结论：      【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）过点作交于，先判断出，再判断出，进而判断出，得出，，再判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）如图2，同（1）的方法得出，，即可得出结论；如图3，同（1）的方法得出，，即可得出结论； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图② ，过点作交于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图③ ，过点作交的延长线于， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 189．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴；     （2） 四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形；     （3）      【分析】 （1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 190．【答案】或或或 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形内角和定理及外角性质，直角三角形的性质，分三种情况，根据题意分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：如图，、、是等腰三角形，、， ∴， ∴，， ∴． 如图，，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，，，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图4，，，， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上，这个等腰三角形顶角的度数为或或或． 故答案为或或或 191．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）知：，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴， 过点作 ，交的延长线于，如图： ， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴（直角三角形两锐角互余）， ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）， 在和中： ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，，， ∴；     （3）      【分析】 本题考查了等腰三角形，含角的直角三角形，三角形内角和，平行线的性质，外角的性质和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识并正确作出辅助线是解答本题的关键； （1）根据等腰三角形和三角形内角和的知识进行作答，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的知识可求得，再通过同角的余角相等，可得，然后证明，得到， ，再证得，然后证明，得到，然后等量变换即可求解； （3）根据等腰三角形知识和题干条件可得，，作，，作，交延长线于点，连接，截，连接，得到，，，然后依次证明，，，，然后根据等腰三角形，直角三角形和外角的知识证明得到，，，然后即可求解； (1) 小问详解： 解：已知在中，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，且， 设，则，可得： ， 解得：， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 设，由，得， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 作，，作，交延长线于点，连接，在上截，连接，如图： ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴设， 即，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点K为线段中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 192．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查非负数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的面积计算； （1）由，可得，可求出、的值，即可得点A，B的坐标； （2）易证，从而得到，然后即可求出； （3）在轴负半轴上截取，连接，作于点，轴于点，易证，得到，再由（2）得，设，得到，从而得到，再由三角形面积计算得出，，最后根据点在第四象限内得出点的纵坐标. (1) 小问详解： 解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴. (3) 小问详解： 解：在轴负半轴上截取，连接，作于点，轴于点，如图所示： 在与中 ∴， ∴， 由（2）得 设， ∴，， ∴在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限内， ∴点的纵坐标为. 193．【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴.     （3）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质； （1）易得，，，由，即可求解； （2）利用证即可得证； （3）连接，作于点M，于点N，易得，可得，然后证明，再证明，即可得解. (1) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴. (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：连接，作于点M，于点N， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴即平分， 又∵，， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在与中 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积是. 194．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）由，可得，即可得； （2）过点作，垂足为，可得，由，得，由三角形面积公式即可求出； （3）延长至点，使，连接，延长交于点，设，，则，得，可得，即可得，由得，由得，可得，过点分别向、引垂线，垂足分别为、，易证，可得，再由，可证，可得，得到，即可得，过点作，垂足为，则，易证，可得，得DG=n=BG，得，即可得，，由，易证，过点作，垂足为，则，由得，可得，即点到的距离为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，过点作，垂足为， 又∵， ∴， 由题意得：，则， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，延长至点，使，连接，延长交于点， 设，，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点分别向、引垂线，垂足分别为、， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴DG=n=BG， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，线段的垂直平分线性质，列一次函数解析式等，根据题意作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 195．【答案】（1）     （2）     （3）；存在，      【分析】 （1）由等腰直角三角形面积可求边长，即可求得点的坐标； （2）由已知动点的速度时间及方向可表示出，则三角形的面积可求； （3）由旋转、轴对称可得全等三角形，利用全等三角形的性质及相似三角形的性质可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在轴上， ∴； (2) 小问详解： 解：∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∵动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿轴正方向运动， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴， 若以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形，则，过点作于点； ∵， ∴， ∵，由旋转可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴，平分， 分别过点作于点，令与的交点为， ∵是等腰直角三角形，∴即：， ∴≌≌， ∵由题意得：四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴解得：（舍）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， 即：，， ∵， ∵， ∴≌， ∴， 即：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、相似三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，轴对称、勾股定理等知识点，关键是全等三角形的判定相似三角形的判定及性质． 196．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵点、在直线、上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：过点作，交于点P， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．     （3）的面积为21      【分析】 （1）由等腰三角形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由对顶角相等，可得，由线段之间的数量关系，结合已知可得，由等腰三角形的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，可得，即可证得结论； （2）过点作，由平行线的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，等角对等边，结合已知可得，证明，即可证得结论； （3）由三角形的内角和定理，结合已知可得，等角对等边，等量代换可得，作交延长线于，证明，可得，，可得，作交于点，连接，证明，，可得，作，由等腰三角形的性质可得，代入三角形的面积公式，可得的面积，从而可得的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交延长线于，则， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 作交于点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 197．【答案】（1） 证明：作，交的延长线于点，则：， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即；     （2） 证明：由（1）知：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （3）6      【分析】 （1）作，交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，得到，证明，得到，推出，即可得证； （2）根据角平分线的定义，角的和差关系，三角形的外角的性质，推出，得到，等量代换，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，再证明，得到，推出垂直平分，进而得到，推出为含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 证明：略； (3) 小问详解： 解：在上截取， 由（2）可知：， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，中垂线的判定，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 198．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质及坐标与图形， （1）先得出，从而得出，即可得出结论； （2）根据直接求出结论即可； （3）作交y轴于点N，连接，作轴于点M，证明得出，，设，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质得出，证明得出，作轴于点P，作轴于点Q，证明，设，根据三角形内角和求出，，再根据直角三角形性质求出t的值，进而求出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由题意得：， ， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：作交y轴于点N，连接，作轴于点M， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 作轴于点P，作轴于点Q， ， ， ， ， ∵点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， ， ， 设， 又， ， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 199．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过A作轴于K，则，，根据平行线的性质及等腰直角三角形的性质可求解； （2）证明得到，结合和三角形的面积公式求解即可； （3）连接、，延长交y轴于T，先导角证明，证明得到，，再证明得到，导角证明，，设，可推导，解方程求得x值即可解答． (1) 小问详解： 解：过A作轴于K，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵点坐标，, ∴,， ∴； (3) 小问详解： 解：连接、，延长交y轴于T， 由折叠性质得，，，，， ∵，点坐标， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由得， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、折叠性质、坐标与图形、三角形的内角和定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 200．【答案】7 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，直角三角形中角所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线；先根据题意作出三角形的旋转，进而得到等腰直角三角形，运用角度的换算得到含角的直角三角形，进而得到答案即可； 【详解】 解：如图所示，由题意可知，将绕点A顺时针旋转得，连接，过点作于点， 由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：7． 201．【答案】（1）     （2） ；     （3）      【分析】 （1）利用三角形面积公式求解即可； （2）分点在边上和点在射线上时，两种情况讨论，作于点，利用三角形面积公式求解即可； （3）求得，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，作于点，作交的延长线于点，证明，推出，求得，作于点，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴（负值已舍）； (2) 小问详解： 解：当点在边上时，作于点， 由题意得， ∵， ∴， ∴； 当点在射线上时，作轴于点， 由题意得， ∵， ∴， ∴； 综上， ； (3) 小问详解： 解：∵当点D在边上且时， ∴，解得， ∴，， 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 作于点，作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 作于点， ∴， ∴的面积． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理、坐标与图形、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 202．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，∴；     （2） 证明：在线段上取点，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即；     （3）2      【分析】 （1）利用等边三角形的性质结合平行线的性质求解即可； （2）在线段上取点，使，连接，证明，即可得到； （3）在线段上取点，使，连接，连接，证明是等边三角形，证明，得到，，再证明，推出，设，作于点，利用三角形外角性质和等腰三角形的性质得到，解得，作于点，在中，解三角形求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在线段上取点，使，连接，连接， 由（2）得是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，作于点， ∴， ∵， 又， ∴， 解得， 作于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴的面积． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 203．【答案】（1）；     （2） 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴；     （3）点R的坐标为．      【分析】 （1）证明，求得，据此可求得； （2）作于点，证明，推出，，再证明四边形是矩形，得到，，据此计算即可； （3）过点作轴的垂线，交于点，过点分别作和轴的垂线，垂足分别为点和点，连接，证明四边形是正方形，推出，得到，由，得到，推出，结合已知求得，作于点，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作轴的垂线，交于点，过点分别作和轴的垂线，垂足分别为点和点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点R的坐标为． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的坐标，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 204．【答案】（1）25     （2）     （3）6      【分析】 （1）直接运用勾股定理求解即可； （2）如图2：在上取一点D，使得，则，，然后证明可得，最后根据线段的和差即可解答． （3）设，，，则，，根据、等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，再根据三角形外角的性质可得；如图：在上取点，使得，作于K，于D，，；先根据三角形外角的性质以及已知条件可得，再根据等边对等角可得易得，再根据等腰三角形的性质可得，即；易证可得，进而得到、，则是等腰直角三角形，易得，即，然后代入（2）得到的结论即可解答． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． (2) 小问详解： 解：如图2：在上取一点D，使得，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：设，，，则，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 如图：在上取点，使得，作于K，于D，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 由（2）可得，则． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．C 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．D 9．C 10．B 11．A 12．B 13．A 14．D 15．B 16．D 17．C 18．B 19．C 20．A 21．B 22．B 23．A 24．【答案】度 【分析】 本题主要考查了等边三角形的想在，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，则由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】 解：如图，为等边三角形，、分别为的角平分线，二者交于点， ∵为等边三角形，、分别为的角平分线， ∴， ∴ ， ∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为， 故答案为：． 25．【答案】证明：为等边三角形， ， 平分， ， 在和中， ， ， 即， ， 为等边三角形． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．解题关键是利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出角相等或边相等的结论，以证明相关角的关系和三角形的形状．利用等边三角形的性质和角平分线的定义得到，再结合边相等，利用SAS判定即可得到，再利用等角减等角得到，即可判定为等边三角形． 【详解】 略 26．【答案】证明：如图， 过点作交于点； 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)即可得证． 【详解】 略 27．【答案】（1） ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴；     （2）等边三角形， 理由如下， ∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 （1）采用“”直接证明即可； （2）结合（1）的结论，利用等边三角形的判定知识即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握是等边三角形的性质与判定解答本题的关键． 28．【答案】5 【分析】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质可知，，，证明是等边三角形，根据，求解即可． 【详解】 解：∵是的中线，， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：5． 29．【答案】证明：， 又， 是等边三角形． 【分析】 本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由． 【详解】 略 30．【答案】2或8 或2 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先作的高，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理得，即可求出，接下来证明，可得，最后分类讨论，当点E在线段的延长线上，当点E在线段的延长线上，再结合图形分别求出即可． 【详解】 解：在等边中，， 的高，则，． 根据勾股定理得， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 当点E在线段的延长线上，如图， ∴； 当点E在线段的延长线上，如图， ∴． 综上所述，的长为2或8． 故答案为：2或8 31．【答案】如图②中，结论：． 如图③中，结论：． 证明如图②中，结论：． 作交于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变． 图②中，结论：，作交BC于M，先证明是等边三角形得，再证明，得由此可以对称结论．图③中，结论：，证明方法类似． 【详解】 略 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是关键． （1）由等边三角形的性质得到，证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，则，再利用含角的直角三角形的性质即可求出答案． (1) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 33．【答案】解：如图② 中，结论：．    理由：作交于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 如图③ 中，结论：．    理由：作交BC于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】 图② 中，结论：，作交BC于M，先证明是等边三角形得，再证明，得由此可以对称结论．图③ 中，结论：，证明方法类似． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型． 34．【答案】证明：过点P作交AC于点F，如图所示： 是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 也是等边三角形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，过点P作交AC于点F，得出是等边三角形，推出进而证明即可得证． 【详解】 略 35．【答案】 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质(三线合一)与轴对称--最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键．利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】 解：连接，． 是等边的角平分线， 垂直平分． ． ． 根据两点之间线段最短，当B、E、F共线时， 最小，即最小，最小值为的长． 为的中点，是等边三角形， ，，． 在和中 ． 最小为． 故答案为：． 36．【答案】（1） 证明：设，则， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ；     （2） 证明：如图，作于H，    ∴， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ∴在和中， ∵， ∴， ∴；     （3）8      【分析】 （1）先设，则，根据，求，进而得到，即可得出结论； （2）先作于H，判定，进而得出，最后可得； （3）先延长至点M，使，连接，设设，根据，得出，再判定，得出，进而判定是等边三角形，进而得出，最后得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，延长至点M，使，连接，    设， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∵， 又∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 37．【答案】问题背景：证明：将绕点逆时针旋转， 可得， ，． 则为等边三角形， ． 在中，由勾股定理可得：， ， ． （1） （2） （3） 【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，构造三角形全等是解题关键． 问题背景：将绕点逆时针旋转，可得，为等边三角形，，在中，由勾股定理可得：，又，故； （1）如图2所示，将绕点逆时针旋转至，连接，则，，为等边三角形，，故．从而，故； （2）如图3，作交的延长线于点，连接，证明，故，，从而，故； （3）如图4，把绕点顺时针旋转至，连接，连接，即．证明，可得，，根据，可得，由勾股定理可得，再证明，即可得的长． 【详解】 问题背景：略； （1）如图2所示，将绕点逆时针旋转至，连接， 则，，为等边三角形， ， 故． 则， 故． 故答案为：． （2）如图3，作交的延长线于点，连接， ， ． 故． ， ． 在和中， ． ，． ． ． （3）如图4，把绕点顺时针旋转至，连接，连接， 即． 由旋转可知， 在和中， ． ，． ， ． ， ，即，即． 由勾股定理可得， ， ． ． 在和中， ． ． 38．【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴；     （2）      【分析】 （1）根据证明即可证明； （2）根据得到，然后根据三角形外角的性质可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， 又∵， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 39．【答案】 【分析】 本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键． 依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故的边长为2． 同理可得，， 故的边长为． ， 故的边长为． …， ∴的边长为． 当时，的边长为． 故答案为：． 40．【答案】100 【分析】 本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质和平行线的性质对角进行转化，进而解题． 【详解】 解：如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：100 ． 41．【答案】① ② ④ 【分析】 证明，得出，再结合三角形外角的定义及性质即可判断① ；得出是的垂直平分线，即可判断② ；由全等三角形的性质得出，结合即可判断③ ；作于，证明即可判断④ ． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵为等边三角形， ∴平分，故② 正确； ∵， ∴， ∴，即，故③ 错误； 如图，作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点到的距离等于线段的长，故④ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 42．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质，证明，可判断① 结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断② 结论；过点作、的垂线，垂足分别为、，根据全等三角形的性质推出，再结合角平分线的判定定理，可判断③ 结论；证明，可判断④ 结论；根据已知条件无法推出⑤ 结论． 【详解】 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， ， ，① 结论正确； ， ， ， ，② 结论正确； 如图，过点作、的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， ，， 平分，③ 结论正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，④ 结论正确； 若，则， ， ， ， ， 已知条件无法推出，则无法推出，⑤ 结论错误， 故答案为：① ② ③ ④． 43．【答案】5 【分析】 找到点E关于AD的对称点E’,根据对称得BF+EF=BE’，利用等边三角形三线合一性质证明AD= B E’即可求出结果. 【详解】 如下图,作点E关于AD的对称点E’, ∵△ABC是等边三角形,E为AB的中点, ∴E’是线段AC的中点, ∴AD垂直平分EE’,EF=E’F 即 BF+EF=BE’, 又∵D是BC中点, ∴AD=B E’=5（等边三角形三线相等）, 【点睛】 本题考查了等边三角形三线合一性质,图形对称的实际应用,中等难度,证明BF+EF=AD是解题关键. 44．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】 解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为， 故答案为： ． 45．【答案】（1）90°； （2）证明：作BG∥AC交CD的延长线于G， ∴∠C＝∠G， ∵AC＝AD， ∴∠C＝∠ADC， ∴∠BDG＝∠G， ∴BD＝BG， ∵CE＝BD， ∴BD＝CE， ∵BG∥AC， 在△CFE和△GFB中， ， ∴△CFE≌△GFB， ∴EF＝FB； （3）4. 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到ADC=∠C=60°，根据三角形的外角的性质计算； （2）作BG∥AC交CD的延长线于G，证明△CFE≌△GFB，根据全等三角形的性质证明； （3）作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延长线于H，设EP=x，GH=a，根据全等三角形的性质得到BH=EP=x，根据三角形的面积公式计算． 【详解】 （1）∵CE＝BD，CE＝DF， ∴BD＝DF， ∴∠DFB＝∠B， ∵△ACD为等边三角形， ∴∠ADC＝∠C＝60°， ∴∠DFB＝∠B＝30°， ∴∠CEF＝90°； （2）略 （3）解：作EP⊥CD于P，BH⊥CD交CD的延长线于H， 设EP＝x，GH＝a， ∵∠CFE＝45°， ∴FP＝EP＝x， ∵△CFE≌△GFB， ∴BH＝EP＝x， 则FH＝BH＝x， ∵BD＝BG，BH⊥CD， ∴DH ＝GH＝a， ∴CF＝FG＝x+a，DF＝x﹣a， ∴CD＝CF+DF＝2x ， 由题意得， ×CD×BH＝4，即×2x×x＝4， 解得，x＝2， 则CD＝2x＝4． 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 46．【答案】或 【分析】 连接EF，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程解决问题即可，当时，方法类似． 【详解】 连接，当时，延长交于，延长交于N． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同法可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，设，则，， ∴， ∴， ∴． 当时，同法可得， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 47．【答案】15度 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，得到，，进而求出的度数，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵以为边向外作等边， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 48．【答案】60°60度 【分析】 先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°． ∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BDE＝∠AFD＝90°． ∵∠AED是△BDE的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°， ∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】 本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】 解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 故答案为：64． 51．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （）证明即可求证； （）利用全等三角形的性质及外角性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 53．【答案】等边三角形 【分析】 由偶次方的非负性质和绝对值的非负性质得出a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，得出a=b=c，即可得出结论． 【详解】 解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0， ∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0， ∴a=b，a=c，b=c， ∴a=b=c， ∴这个三角形是等边三角形； 故答案为:等边三角形． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定；非负数的性质：绝对值与偶次方．利用非负数的性质得到a、b、c的相等关系是关键． 54．【答案】证明： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是根据等边三角形的性质得出边相等，利用边角边证明全等即可，解题关键在于熟练掌握证明全等三角形的条件并会运用．根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】 略 55．【答案】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． ∵， ∴∠DGC＝∠B． ∴∠DGC＝∠DCG＝60°． ∴△DGC是等边三角形． ∴DC＝DG，∠CDG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60° ∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF， ∴∠EDG＝∠FDC， ∴△EDG≌△FDC． ∴FC＝EG． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． 如图2，过点D作，DG交BC于点G． ∴∠DGC＝∠B＝60°． ∴∠DGC＝∠DCG＝60° ∴△DGC是等边三角形． ∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE， ∴∠EDG＝∠FDC． ∴△EDG≌△FDC．    ∴EG＝FC．    ∵CG＝CE＋EG， ∴CG＝CE＋FC． ∴CD＝CE＋FC． （3）解：如图3，猜想DC、EC、FC之间的等量关系是FC＝DC＋EC． 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． 过点D作，DG交BC于点G． ∴∠DGC＝∠B． ∴∠DGC＝∠DCG＝60° ∴△DGC是等边三角形． ∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°． ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE， ∴∠EDG＝∠FDC． ∴△EDG≌△FDC． ∴EG＝FC． ∵EG＝EC＋CG， ∴FC＝EC＋DC． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证出△DCG是等边三角形，得出DC＝DG，由△DEF是等边三角形得出DF＝DE，然后根据角的关系得出∠EDG＝∠FDC，进而得出△EDG≌△FDC，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点D作，DG交BC于点G．同（1）的证明思路可得△EDG≌△FDC．根据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论； （3）过点D作，DG交BC于点G．类似于（1）（2）的证明思路可得△EDG≌△FDC．根据全等三角形的对应边相等等量代换即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 56．【答案】（1）60° （2）证明：连接CM， ∵DC=DM，∠CDE=60°， ∴△DMC为等边三角形， ∴∠MCE=45°， ∴CM=CD， 在△BCD和△ECM中， ， ∴△BCD≌△ECM（SAS）， ∴ME=BD． 【分析】 (1)证明△ACD≌△BCD即可解题；（2）连接CM，先证明CM=CD，即可证明△BCD≌△ECM，即可解题． 【详解】 (1)∵AC=BC，∠CAD=∠CBD， ∴∠DAB=∠DBA， ∴AD=BD， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SAS）， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=60°； （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等的性质． 57．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 又， ． ；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质， （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ． 58．【答案】（1） 证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 59．【答案】（1） 证明：在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ；     （2） ，理由如下：延长 至点，使，连接， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； （2）延长至点，使，连接，证明，得出，证出，则，则可得出结论； （3）延长至点，使，连接，求出，在上截取，连接，证明，得出，则可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长至点，使，连接， 由（2）得， ， ， 点是中点， ， ， ，， 在上截取，连接， 是等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定由性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 60．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】 解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故答案为：． 61．【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】 解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 62．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证明，通过设未知数利用勾股定理建立方程求解． 连接CE，利用等边和折叠性质证，进而得，推出；作，由得，设，得，；结合，，得，；在中用勾股定理列方程求解，进而得CF的长． 【详解】 解：连接CE，作于． 是等边三角形， ，， 平分， ． 由折叠得，，，， ， 又， ， ， ，， ， 设，则，， ，， ， ，． 在中，由勾股定理得：， 展开得， 化简得，解得． ． 故答案为：． 63．【答案】120x度 【分析】 本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，最短路线问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质作出点关于的对称点，连接，根据两点之间线段最短可知的周长最短值是线段的长度，根据可知是等边三角形，由即可解答． 【详解】 解：如下图所示，作点关于的对称点，连接， 当是与的交点时，的周长最短，最短的值是的长． ∵点关于的对称点为， ， ∵点关于的对称点为， ， ， ∴是等边三角形． 在中， ， ∴， ∴； 同理可证， ∴． ∴． 故答案为：120°． 64．【答案】12 【详解】 如图：作A关于的对称点，连接、、，由、，可得，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得， 根据即可解答． 【分析】 解：作A关于的对称点，连接、、， ，， ∴，， 是A关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ∴， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， ，即：， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了轴对称（最短路线问题）、直角三角形的两个锐角互余、含度角的直角三角形、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 65．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等． 通过等边三角形的性质得出角的关系、边的关系，进而证明三角形全等，再据此对每个说法进行判断． 【详解】 解：① ：和都是等边三角形， ， ， 平分，① 正确； ② ：， （同位角相等，两直线平行），② 正确； ③ ：和都是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，则，． ， ， 是等边三角形，④ 正确； 而与不一定相等，③ 错误． 综上，正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 66．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理等知识点，解题的关键是分情况讨论点与线段的位置关系。 因为以为边作等边，所以需要分两种情况讨论点的位置，分别计算的度数。 【详解】 解：当点与点在同侧时， 在中，， 。 又是等边三角形， ，。 ； 当点与点在两侧时： 在中，， ． 又是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 67．【答案】1 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角所对的直角边等于斜边的一半，证明得，，根据三角形外角性质得，得；由得，所以，，再求出，从而得出，利用角所对的直角边等于斜边的一半得，代入数据可求出． 【详解】 解：∵是等边三角形， ，， 又， ∴ ∴，， ∴， ∵，即， ∴； ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：1． 68．【答案】（1）； （2） ，理由如下： 如图（2），在上截取， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 又， ； （3） 【分析】 （1）根据题意，证明，得，即可解决问题； （2）在上截取，根据等边三角形的判定与性质，证明，即可解答； （3）延长至点F，使，在上取点G，使，连接，，，证明，，即可解答． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）如图③ ，延长至点F，使，在上取点G，使，连接，，， ， 为等边三角形，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】 本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 69．【答案】或 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 故答案为：或． 70．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴为等边三角形．     （2）或或      【分析】 （1）根据平角的性质得，根据线段垂直平分线性质得，即得是等边三角形；（2）分当时，当时，当时，三种情况讨论，解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，为等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时， ； 当时， ， ∴； 当时， ． ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论，解题的关键是熟练掌握． 71．【答案】80° 【分析】 作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案． 【详解】 如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于， 此时周长最小， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键． 72．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线定义，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．① 由等边三角形的性质可得，，，即可证，可得，即可判断② ；由，得，结合，进而求出，再求出，利用三角形外角的性质可得，即可判断①；过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，可得，即可判断③；当点在中点时，两点重合，得到，即可判断． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 正确； 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③ 正确； 如图，当点在中点时， ∵是等边三角形， ∴两点重合， 此时，， ∴， ∴不一定相等，故④错误． 故答案为：① ② ③ ． 73．【答案】（1）     （2） 证明：在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴；      （3）      【分析】 （1）由≌进行角的转换，即可求得的度数； （2）由辅助线构造三角形全等，利用相等的线段进行转换即可得到结论； （3）由等边三角形的性质可得线段，进而求得，又因是等腰三角形和，可得，最后在求得，则可求． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 证明：略； (3) 小问详解： 连接，过点作于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定及性质、勾股定理、平行线的性质等，关键是利用几何图形的性质进行线段的转换和求解. 74．【答案】① ③ ④ 【分析】 根据可知，利用可证，根据全等三角形对应边相等，可证；过点作，，根据全等三角形的性质可证，根据角平分线的判定定理可证平分；过点作，连接，可证，可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可证是等边三角形；当时，利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式可得：与的面积比为． 【详解】 解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，故正确； 如下图所示，过点作，， ， ，， ， ， 平分， 平分错误，故错误； 如下图所示，过点作，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 是的中线，， ， 是等边三角形，故正确； 是等边三角形， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 设，则， 在，， ， 解得：， ， ，故正确； 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、角平分线的判定、勾股定理、三角形外角的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质找边、角之间的关系． 75．【答案】 【分析】 本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．也考查了等边三角形的性质．利用等边三角形的性质得到，，则可计算出，所以，利用同样的方法得到，，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， … ∴． ∵， ∴当时，． 故答案为：． 76．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：如图，过点作于点，作交延长线于点， 则， ∵是等边三角形， ∴，， 由（1）得，， 设， 则，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分；     （3）34      【分析】 （1）利用等边三角形的性质证明，得到，再利用三角形外角的性质即可证明； （2）过点作于点，作交延长线于点，通过证明得到，再利用角平分线的判定定理即可证明； （3）由（1）和（2）中的结论得，进而推出，则有；作且，连接交于点，连接，通过证明得到，，，推出是等腰直角三角形，根据垂直平分线的性质得到，设，利用三角形内角和定理以及角的和差表示出，，得到，同理得到，再利用线段的和差即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）和（2）中的结论得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，作且，连接交于点，连接， 则，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的判定定理、含30度的直角三角形、等腰三角形的性质与判定、垂直平分线的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 77．【答案】① ② ③ ⑤ 【分析】 ① 由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，可知① 正确； ② 由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知② 正确； ③ 根据②，可知③ 正确； ④ 根据，，可知，可知④ 错误； ⑤ 由，得到，由，得到，同理可得出，，求出，可知⑤ 正确． 【详解】 解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ， ① 正确， ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又 ∴为等边三角形， ， ∴，② 正确， ， ，③ 正确， ，， ， 即， ，， ，故④ 错误； ， ∴， ， ， ， 同理得出，， ， 平分，故⑤ 正确． 故答案为：① ② ③ ⑤ ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键． 78．【答案】知识背景：；； 知识应用： ① 由上述证明得到，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 由知识背景可知， ， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴； ②1 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键在于利用等边三角形的性质得到全等三角形的条件，进而证明三角形全等． 知识背景：根据等边三角形的性质判定，由三角形外角和的性质即可求解； 知识应用： ① 根据可证，得到，根据三角形外角的性质，结合含30度角的直角三角形的性质即可求解； ② 构造辅助线，从而得到三组全等三角形，再根据全等三角形的性质可得边长的关系，再利用的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：知识背景： ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设交于点， ∴是的外角，即， ∴与相交所成的锐角度数是； 故答案为：，； 知识应用： ① 略 ② 过点P作交于点H，过点M作的延长线于点W，连接，如图， ∵点恰好在的垂直平分线上， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， 即， ∵点为中点， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ， 在与中， ， ∴． ∴， ∴， 在中，， ∴． 79．【答案】（1）3     （2），     （3）或2      【分析】 （1）是等边三角形，过点B作轴于点D，根据等边三角形三线合一可知点D为中点，由可知的长度，即为点B的横坐标； （2）根据题意画出对应的图象，由是等边三角形得出，，再由，，根据直角三角形中对边是斜边一半得到，根据，，得到的长度，同理根据直角三角形中对边是斜边一半得到的长度，由于P不与B重合，，得出t的取值范围； （3）根据题意分情况讨论：当点Q在点P上方时和点Q在点P下方时，根据题意作出对应的图象，利用全等三角形的判定与性质及平行线的性质得出t的值． (1) 小问详解： 解：如图，过点B作轴于点D， ∵点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点B的横坐标为3． (2) 小问详解： 解：由题意知，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：① 如图，当Q在P上方时，作交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴； ② 如图，当点Q在点P的下方时，作交于点F， 同理可证得：， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或2． 【点睛】 本题以等边三角形为核心，综合直角三角形性质、全等三角形、旋转及分类讨论，考查几何图形中线段关系的推导与计算． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $