精品解析：黑龙江省佳木斯市第五中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

黑龙江省佳木斯五中2024-2025学年上学期八年级 期中数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A. 2 B. 6 C. 9 D. 15 5. 如图，在中，，D是边上的中点，连接，则（ ） A B. C. D. 6. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点 8. 如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．，的长是8，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. B. C. 4 D. 8 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A 36 B. 24 C. 20 D. 18 10. 如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是_______． 12. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，则这个五边形的内角的度数为______． 13. 如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则度数为_________． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 15. 定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”若，，，则边上的“中高距”为______． 16. 如图，中，，，，为线段的垂直平分线，交于点D，则________． 17. 如图，中，，，，分别为边，，上点，，．若，则______． 18. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 19. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为_____． 三．解答题（8道小题，共60分） 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于y轴对称的； （3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ． 22. 如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长为26，求的周长． 23. 如图，已知，，E、F是AC上两点，且． （1）△ABE与△CDF是否全等，并说明理由； （2）连接BC，若，，求∠CBE的度数． 24. 如图，已知交的延长线于点E，交的延长线于点F，．求证：． 25. 已知，分别是，的中线，且，求证． 26. 小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗?请说明理由； （2）求的长． 27. 【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 28. 已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式． （1）求、的长； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省佳木斯五中2024-2025学年上学期八年级 期中数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 3. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点D，E分别是的中点， ， 在和中， ． ， 故选：C． 4. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　） A. 2 B. 6 C. 9 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=2，可求得其周长． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∵AB＝5，BD＝3， ∴AD＝AB﹣BD＝2， ∴△ADE的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明△ADE是等边三角形是解题的关键． 5. 如图，在中，，D是边上的中点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．得到为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 是边上的中点， ， ． 故选A． 6. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和；由正多边形的定义得，由多边形的内角和公式，即可求解；理解正多边形的性质，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数：， 正多边形的内角和为： ， 故选：D． 7. 一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 8. 如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．，的长是8，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是含角直角三角形的性质，作交的延长线于E，根据含角直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：作交的延长线于E，则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 36 B. 24 C. 20 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角分线的尺规作图和性质；过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】先由，得，结合角平分线的定义，得，则由等角对等边，得①；因为，所以②；因为③的周长，所以得③；因为，,则④，结合三角形的内角和，列式化简，得⑤．即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ ∵与的平分线交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴，故①是正确的； ∵， ∴ ∴，故②是错误的； ∵的周长 ∴的周长，故③是正确的； ∵ ∴ ∴，故④是错误的； ∵， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，综合性适中，难度适中，常考题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二．填空题（每题3分，共30分） 11. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是_______． 【答案】(4，1) 【解析】 【分析】关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】∵点A与点B(4，﹣1)关于x轴对称 ∴点A的坐标为(4，1) 故答案为：(4，1) 【点睛】本题考查坐标系中点的对称，熟记“关于谁对称，谁不变，另一个变号”是解题的关键． 12. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中，则这个五边形的内角的度数为______． 【答案】116 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出五边形的内角和，即可求解． 【详解】解：五边形内角和为：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：116． 13. 如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为_________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 详解】∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 15. 定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”若，，，则边上的“中高距”为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得，可得，由即可求解． 【详解】解：为边上的高线， ， ， ，，， ，， ， ， 为边上的中线， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，为线段的垂直平分线，交于点D，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度的直角三角形，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．连接，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，推出，得到，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：5． 17. 如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 18. 如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 19. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【解析】 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 故答案为： ． 三．解答题（8道小题，共60分） 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于x轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于y轴对称的； （3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ． 【答案】（1），，； （2）见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于x轴对称的点，纵坐标互为相反数，横坐标不变，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接，与x轴交于点P，连接，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求， ，，； 【小问2详解】 解：如图， 即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求，． 22. 如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若的周长为26，求的周长． 【答案】（1）证明详见解析； （2）的周长为42． 【解析】 【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质． （1）根据线段垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）将的周长转化为的长即可求得． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线交于点E，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 23. 如图，已知，，E、F是AC上两点，且． （1）△ABE与△CDF是否全等，并说明理由； （2）连接BC，若，，求∠CBE的度数． 【答案】（1）见解析 （2）55° 【解析】 【分析】（1）根据边角边证明三角形全等即可； （2）根据全等的性质，，进而根据三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 解：△ABE≌△CDF，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCF， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； 【小问2详解】 由（1）知，△ABE≌△CDF， ∴∠AEB＝∠CFD， ∵∠CFD＝80°， ∴∠AEB＝80°， ， ∴∠CBE＝∠BCE＝80°﹣25°＝55°． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 24. 如图，已知交的延长线于点E，交的延长线于点F，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由得，根据“”可证明得，根据，可得，可证明得． 【详解】证明：如图所示，连接 ∵， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 25. 已知，分别是，的中线，且，求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角三角形判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线，构造全等三角形是解题的关键．延长至，使，连接，证明，得，，再证，得，即可得出结论． 【详解】证明：延长至，使，连接，如图， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 是的中线， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ． 26. 小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗?请说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）同意，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再根据同角的余角相等即可得解； （2）证明，得出，，即可得解． 【小问1详解】 解：同意，理由如下： 由题意可知，，， ∴ ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 27. 【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，．则，再根据全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）在上截取，使得，连接，则是等边三角形，同（1）可证，根据全等三角形的性质得出，进而得出结论； （3）连接，在的延长线上截取，使得，连接．根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，得出，再由含角的直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，在的延长线上截取，使得，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 故， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式． （1）求、的长； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点P的坐标为或， 【解析】 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，分类讨论思想． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求解； （2）过点B作轴于点D，则，又，因此，通过“”证明，得到，，从而，即可得到点B的坐标； （3）分三种情况讨论，①当点P在x轴的负半轴时，，②当点P在x轴的负半轴时，，③当点P在x轴的正半轴时，．分别求解即可． 【小问1详解】 ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 存在． ①当点P在x轴的负半轴时，若，则为等腰三角形， 由对称性可得点P的坐标为； ②当点P在x轴的负半轴时，若，则为等腰三角形， 此时， ∴点P的坐标为； ③当点P在x轴的正半轴时，若，则为等腰三角形， 此时， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $