专题02 全等三角形（期中真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．B 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．B 9．C 10．【答案】1 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，根据全等三角形对应边相等得到，再根据进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 11．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】 解：，的坐标分别为，， ，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 12．【答案】度 【分析】 本题考查全等三角形的性质．解题的关键在于明确全等三角形对应角相等这一重要性质，然后根据已知条件找出与所求角对应的角． 【详解】 解：在和中，若，， 因为． 可得， 因为， 所以． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质推出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 15．【答案】55° 7度 【分析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据全等的性质求出∠BAC的度数，最后由角的和差即可求解． 【详解】 解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝80°， 又∠DAC＝25°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝80°﹣25°＝55°． 故答案为：55°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 16．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C 11．C 12．C 13．D 14．D 15．C 16．B 17．A 18．C 19．A 20．C 21．C 22．D 23．D 24．C 25．B 26．D 27．D 28．D 29．A 30．B 31．C 32．B 33．C 34．C 35．C 36．B 37．A 38．C 39．D 40．B 41．B 42．B 43．【答案】解：∵，，， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据两组对边分别相等以及夹角相等，得证，即可作答． 【详解】 略 44．【答案】 【分析】 根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】 解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 45．【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，根据直角三角形的两个锐角互余得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】 解：，， ， ，，且， ， ， 故答案为：． 46．【答案】证明：连接BC， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠A＝∠D． 【分析】 连接BC，证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的对应角相等即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中正确作出辅助线构造全等三角形是关键． 47．【答案】∠C=∠D （答案不唯一） 【详解】 ∵∠BAC=∠ABD， ∴OA=OB， 又∵∠AOD=∠BOC， ∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC， ∴OC=OD． 故答案为：∠C=∠D（答案不唯一）． 48．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由B是的中点，可得、，故可再添加一组角相等． 【详解】 解：是的中点， 再添加， 在和中 故答案为：． 49．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据三角形全等的判定方法，添加合适的条件即可． 【详解】 解：∵，， ∴添加条件，利用证明即可； 添加条件，得出，利用证明即可； 添加条件，利用证明即可； 故答案为：．（答案不唯一） 50．【答案】证明：连接CD． ∵在Rt△ABC中，AD=BD． ∴CD=AB=AD． ∵AC=BC． ∴∠A=45°． ∵PE⊥AC，PF⊥BC． ∴四边形PECF为矩形． ∴CF=PE=AE． 又∵CD=AD． ∴∠ACD=∠BCD=45°． 在△AED和△CFD中 ， ∴△AED≌△CFD（SAS）． ∴DE=DF． 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的判定及性质，直角三角形斜边上中线的性质，解答时证明三角形全等是关键． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 51．【答案】解：， 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】 略 52．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据等式的性质可得，添加可利用定理判定． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， 添加， 则， 添加， 则， 添加， 则， 故答案为：（答案不唯一）． 53．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）8      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 54．【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 55．【答案】（1） 证明： ， 在和中， ．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定，三角形的外角的定义及性质； （1）根据边边边判定三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到，再结合三角形的外角的定义及性质计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ． 56．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 57．【答案】3 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 首先利用判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴共3对全等三角形， 故答案为3． 58．【答案】① AB=CD    ② ∠DAC=∠BCA 【详解】∵在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（SSS）； 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（SAS）， 故答案为AB=CD，∠DAC=∠BCA． 点睛：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA， 59．【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】 略 60．【答案】F度 【分析】 利用证明，可得，进一步计算，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 61．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定的应用，求出，根据推出即可． 【详解】 解：需添加的条件是：， 理由是：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 62．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】 略 63．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定方法．要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】 解：添加条件是， 在和中， ∵ ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 64．【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ， ， ， ．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）先利用证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可以得到，据此即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得． (1) 小问详解： 略． (2) 小问详解： 略． 65．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】 解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 66．【答案】（答案不唯一） 【分析】 要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】 解：若添加条件：， 因为，， 所以 ， 所以； 若添加条件：， 因为，， 所以 ， 所以； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 67．【答案】AB=DC(答案不唯一) 【分析】 本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】 解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 68．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】 解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 69．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，先结合条件与图形得出，，因为根据“”证明，则添加条件是，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴要根据“”证明，需要添加一个条件是 故答案为： 70．【答案】或或 【分析】 根据垂直定义及直角三角形的性质可知两组对应角相等，再根据找一组对应边对应相等即可解答 ．本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】 解：① 添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ② 添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ③ 添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故填空答案：或或． 71．【答案】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴，． 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．先利用平行线的性质得出，，然后利用等式的性质可得，再根据证明，最后利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 72．【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 根据，得出，再利用证明直角三角形全等，即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的判定方法． 73．【答案】证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质得到，据此可证明结论． 【详解】 略 74．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵与相交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）先由得，再根据对顶角相等得，然后由证明，最后根据全等三角形的性质可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 75．【答案】6 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】 解：连接，如图所示： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 76．【答案】2 【分析】 求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 77．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴．     （2） 解：线段的位置关系是．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据，得到，根据，E是的中点，得到，故 ，得证，即可证明结论； （2）根据得到，结合得到，继而得到，结合得到，问题得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明线段的垂直，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键． 78．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握有关三角形的中线问题，通常要倍长中线构造全等三角形是解题的关键．倍长中线构造全等三角形，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】 解：如图所示，，，为边上的中线，且，延长至，使， 则， 在与中， ， ， ， ， ∴在中，， 即， ， 故答案为：． 79．【答案】或或（写出一个即可） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：添加：， 在和中， ， ∴； 添加：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加：， 在和中， ， ∴； 故答案为：或或（写出一个即可）． 80．【答案】 【分析】 本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标． 【详解】 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， ∵A点坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为： 81．【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）当0≤t＜2时，S=；当t＞2时，S=；（3）存在，M（3，0）或M（0，3）或M（1，4） 【分析】 （1）解二元一次方程组求出m和n的值，即可求出点A、B的坐标； （2）根据题意当0≤t＜2和t＞2时，分别表示出OP的长度，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 （1）解： ，解得 ， ∴A（0，4），B（-3，0）． （2）作DH⊥AO于H， ∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠ADH． 在△DAH和△ABO中， ， ∴△DAH≌△ABO（AAS）， ∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1． ∴①当0≤t＜2时， ∵AP=2t，OP=4-2t， ∴S=． ②当t＞2时， ∵AP=2t，OP=2t-4， ∴S=． （3）∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵∠DCO=90°， ∴∠DCA=45°． ∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°， ∴∠DCM=90°， ∴点M在x轴上． ∵DC=CM=1， ∴OM=3， ∴M（3，0）． 当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°， ∵AM=CD=1， ∴OM=3， ∴M（0，3）． 当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°， ∴∠OAM=90°， ∴AM⊥y轴． ∵AM=CD=1， ∴M（1，4）． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组的方法． 82．【答案】5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质．根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 83．【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， 在与中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法和性质． （1）根据证明可得结论； （2）根据全等三角形的判定方法以及等腰直角三角形的性质判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：和都是等腰直角三角形，， ， ， ， 在与中， ； 由（1）可知， ， ， ， ， 在与中， ， ； ， ，即， ， 设， ，， ， ， 在与中， ； ， ，即， 在与中， ． 84．【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 根据可得，根据AAS可证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 85．【答案】（1）DE=BD+CE． 理由如下：∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【分析】 （1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 86．【答案】（1） 解：∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证明，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 87．【答案】 【分析】 本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则可证明，从而易得点的坐标． 【详解】 解：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 88．【答案】（1） 证明： ，， ． 又，， ． ，． 又， ， 即．     （2） ，理由如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即．     （3），      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据证明，得；．根据代换即可； （2）同理证明，得；．此时； （3）同理证明，得；．此时． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． 89．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形判定和性质，三角形的中线平分面积，延长交于点，证明，得到，根据三角形的中线平分面积推出，即可得出结果，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【详解】 解：延长交于点， ∵垂直的平分线于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 90．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 【详解】 解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 91．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵，， ， ， ∴．     （2）当点在线段延长线上时，；当点在线段延长线上时，     （3）2或6      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明得到，由线段的和差即可证明； （2）同（1）思路即可求解； （3）分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上时，根据线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当点在线段延长线上时，； 当点在线段延长线上时，． 证明如下：当点在线段延长线上时，如图② ， ∵， ∴， 即， ∵，， ， ， ∴． 当点在线段延长线上时，如图③ ， ∵， ∴， 即， ∵，， ， ， ∴． (3) 小问详解： 解：当点在线段上时， ∵， ∴点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 当点在线段延长线上时，，故不成立． 当点在线段延长线上时，如图③ ， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或6． 故答案为：2或6． 92．【答案】 【分析】 如图，延长AE，BC交于点M，通过条件证明，再证明，可知，即可求解出结果． 【详解】 解：如图，延长AE，BC交于点M， AE平分， ， ， ， 又 BE平分， ，BE=BE， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键． 93．【答案】（1） 由作图可知：， ∴在和中， ， ， ， ∴即为的平分线；     （2） 由题意，得，， ∴在和中， ， ， ， ∴ 平分．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据作图，利用“”证明三角形全等即可； （2）根据作图和“矩”是直角工具，利用“”证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 94．【答案】①③ ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，由垂线的定义得到，由角平分线的定义得到，则可证明得到，据此可判断①；由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，则，据此可判断②；作的角平分线交于H，可证明，得到，，同理可证明，得到，，据此可判断③；过点H作于M，于N，可证明，得到，则，据此可判断④． ∴，故④ 正确； 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故② 错误； ∴， 如图所示，作的角平分线交于H， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明， ∴，， ∴，故③正确； 如图所示，过点H作于M，于N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：① ③ ④． 95．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 当添加时，即可利用“”证明即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 根据题意得，当时，在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 96．【答案】（1）由题意得：当t=1时，AP=BQ=2cm，PB=CA=6cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠CAP=∠PBQ=90°； 在△ACP和△BPQ中： ∵ ∴△ACP≌△BPQ（SAS） ∴∠C=∠BPQ，PC=PQ； ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠C=90° ∴PC=PQ且PC⊥PQ； （2）存在x的值，使△ACP与△BPQ全等， ① 若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ， 即：6=8-2t，2=xt 解得：x=2，t=1； ② 若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP， 即：2t=8-2t，6=xt 解得：x=3，t=2 综上所述：若△ACP≌△BPQ，则x=2，t=1；若△ACP≌△BQP，则x=3，t=2． 【分析】 （1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可； （2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用． 97．【答案】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′， ∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角， ∴A，D，F′共线， ∵ ∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF-ED； （2）20° 【详解】 （1）略 （2）∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 98．【答案】8.5 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点E作于点G，则，证明，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】 解：在中，，，D是线段上一点， 过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 99．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 延长到E，使，连接，证明，推出，再根据三角形的三边关系定理求解． 【详解】 如图，延长到E，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 又， 由三角形三边关系可得， 又， ． 故答案为：． 100．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴；     （3）．      【分析】 （）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 101．【答案】（1）全等，理由见解析，线段和线段垂直     （2）存在 或 使得与全等      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，证明，得出，求出，即可得解； （2）分两种情况：① 若，则，，② 若，则，，分别求解即可得出结果． (1) 小问详解： 解：当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段和线段垂直； (2) 小问详解： 解：① 若，则，， 由题意可得：，，则， ∴ ， 解得： ， ② 若，则，， 由题意可得：，，则， ∴ ， 解得： ； 综上所述，存在 或 使得与全等． 102．【答案】（1） 解：，理由如下： 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）证明即可得到结论； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵的面积为70， ∴， ∴． 103．【答案】 【分析】 连接，根据证明可得． 【详解】 解：连接，    ∵，，， ∴， ∴． ∵ ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 104．【答案】3 【分析】由平行线得内错角相等，可证出△ADE≌△CFE,利用其性质得出对应线段相等即可求解. 【详解】解：∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF, ∠ADE=∠F, ∴△ADE≌△CFE, ∴AE=CE=5，AD=CF=7， ∴AC=10， ∴AB=AC=10， ∴BD=AB-AD=10-7=3 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 105．【答案】（1） 证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 106．【答案】（1）证明：连接，， 平分，，， ，， ，且平分， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合角平分线的性质进行计算是解题的关键． （1）连接，，根据已知条件证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据已知数值计算即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ， 解得：， ， ． 107．【答案】 【分析】 本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，由题意又知，最后根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：延长、交于点，如图： 为中的外角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 108．【答案】24厘米 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 109．【答案】（1）证明：， ， 即， ∵， ∴ 在与中， ， ∴ ∴； （2）见解析 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质解答即可； （2）先根据平行得到，再证明即可． 【详解】 （1）略 （2）略 110．【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中 ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，， ， 由（1）可知：， ， 平分交于点G， ， 又是的一个外角， ， ， ． 111．【答案】（1） 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．     （2）6      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 112．【答案】（1）     （2）成立， 理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）5      【分析】 （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． (1) 小问详解： 结论：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与的面积之和为5． 故答案为：5 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 113．【答案】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴BC＝DE． 【分析】 由条件可得到∠BAC＝∠DAE，从而可证明△ABC≌△ADE，可得出BD＝DE． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件得到∠BAC＝∠DAE是解题的关键． 114．【答案】3＜m＜13 【分析】 延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题． 【详解】 解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△CDE中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， 在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE， ∵CE=AB=5，AE=8， ∴8-5＜AC＜8+5， ∴3＜AC＜13， ∴3＜m＜13． 故答案为：3＜m＜13． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题． 115．【答案】（1） 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ∵，， ． 116．【答案】（1） 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）；     （2） 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形；     （3）10．      【分析】 （1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接DF，    ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】 本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 117．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）1； （3）． 【分析】 （1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明△ADC≌△CEB，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明△AOC≌△CEB，进而得出CO=BE，再根据点C的坐标即可得到结果； （3）过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明△CDB≌△AEC，进而得出BD=CE，AE=CD，最后根据点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)即可求出点B坐标． 【详解】 解：（1） 略 （2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵点C的坐标(1，0)， ∴， ∴，即点B到x轴的距离是1； （3）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，    在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)， ∴，， 设B点坐标为(a，b)， 则a=4－1=3，b=2+2=4， ∴点B的坐标为(3，4)． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 118．【答案】（1）；     （2） 证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 119．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 略 120．【答案】(1)证明：平分， ， 在和中， ， ； （2） 【分析】 （1）由角平分线定义得出，由证明即可； （2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2），， ， 平分， ， 在中，． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键． 121．【答案】（1） 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴．     （2） 解：如图2：作，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点C在的角平分线上，即平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）直接证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论； （2）如图2：作，即，再证明可得，然后再根据角平分线的判定定理即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 122．【答案】31 【分析】 本题考查了全等三角形判定及性质，三角形的外角定理，能从作图步骤中找出相等的线段来证明三角形全等是解题的关键． 由作图中半径相等得，可证明，由全等得，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出的度数． 【详解】 由题意得，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：31． 123．【答案】1或3 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：① 若，，则；② 若，，则即可得出结果． 【详解】 解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ① 若，此时，， ， ， ② 若，，， ， ． 故答案为：1或 124．【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ；     （2），，，，      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 与是直角三角形， 、分别是、的中点， ，， ， ， 在与中， ， ， 同理：， ，， ，， ， 在与中， ， ， 同理：， 故所有的全等三角形有，，，，． 125．【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ， ；     （2） ，，，      【分析】 本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可证，然后根据定理可证，进而可得； （2）由图可知，对全等三角形分别为，，，，然后根据定理、定理、定理、定理依次证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 图②中的对全等三角形分别为，，，，证明如下： ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． 综上所述，图②中的对全等三角形为，，，． 126．【答案】① 或    ② 【分析】 （1）设点M是直线上存在的线段的等垂点，根据垂点的定义得到于点Q或于点P，则，分在线段上方和下方，两种情况讨论求解即可； （2）根据新定义结合（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直，当时，则，此时有最小值，此时，，求出直线的解析式为；再求出平行于直线的直线的解析式为，当点过直线时，此时有最大值，即可得出答案． 【详解】 解：（1）当时，点， 设点M是直线上存在的线段的等垂点， 由垂点的定义得， 当时，即， 则，即于点Q， 当时，即， 则，即于点P， 如图，当于点P，且直线在线段上方时，    则， 过点M作轴于点G， 由等垂点的定义得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，解得： ； 当直线在线段下方时， 则，过点作轴于点H， 同理可得：， ∴ ，解得： ； 当于点Q，且直线在线段上方时，    同理可得：， ∴ ，解得： ； 当于点Q，且直线在线段下方时， 同理可得：， ∴ ，解得： ； 综上，b的值为或； 故答案为：或； （2）∵边上（包含顶点）存在线段的垂点， 同理（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直， 如图，    当时，则，此时有最小值， ∴，即， ∴， 解得：； 此时，， 设直线的解析式为， 则： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设平行于直线的直线的解析式为， 当此直线过点B时，则，解得， ∴平行于直线的直线的解析式为， ∵， ∴直线， 当点过直线时，此时有最大值， 则， 解得：，此时，两点重合（不符合题意）， ∴t的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形综合，掌握新定义、学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题是解题的关键． 127．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质和平面直角坐标系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题作，垂足为，证明，再根据平面直角坐标系的知识，即可求解； 【详解】 解：作，垂足为，如图： ， ∵点，点， ∴轴，，，线段与轴距离为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，点与轴距离为， ∵点在第二象限， ∴点的坐标是； 故答案为：； 128．【答案】（1）证明：延长至点，使，连接，    四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， 又，， ， ， ， ．     （2）图2：；图3：；     （3）或      【分析】 本题主要考查了正方形的综合应用，结合旋转的性质，全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，证明，得到，再证明，即可得证； （2）先确定梯形是等腰梯形，根据性质可得，再把绕点顺时针旋转，点与点重合，点到达点，根据旋转变换的性质，和全等，根据全等三角形的性质可得，，，，证明、、三点共线，证明和全等，即可得证；对于图3，在内部作，证明，证明与全等，可得，，再证明，证明与，根据全等三角形的性质即可得证； （3）把已知条件代入（2）的结论中计算即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图2可知：，理由如下， ，，， 梯形是等腰梯形， ， 把绕点顺时针旋转，点与点重合，点到达点，    ， ，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； 由图3可知，，理由如下， 如图，在内部作交于点，    ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ， 当时，； 当时，； 故答案是：或． 129．【答案】6或 【分析】 由三角函数得出∠A=30°，由直角三角形的性质得出AB=2BC=8，由折叠的性质得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，① 当∠BEA′=90°时，由三角函数得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解： ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=8， ∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E， 设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，下面分两种情况讨论: ① 当∠BEA′=90°时，在Rt△ADE中， ∴EF=3-（8-x）=x-5， 在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°， ∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5）， 解得x=6，即BF=6； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：    在Rt△BDA'和△BDC中 ∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL）， ∴BA′=BC=4， ∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°， ∴∠FA'H=60°， 在Rt△FHA'中， 在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2， 解得：x= ，即BF= . 综上所述，BF的长为6或. 故答案为6或. 【点睛】 本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 130．【答案】8 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 131．【答案】（1） 证明：平分，平分， ， ， ， ， ， ，     （2） 证明：， ， 在和中， ， ， ； ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 即：点D为的中点．      【分析】 （1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进热即可得到结论； （2）先，再证，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行的性质，角平分线的定义，证明，是解题的关键． 132．【答案】（1）证明：在上取一点，使，连接．如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴ ∴, ∴, ∴； （2）如图②； 如图③ （3）或 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）在上取一点，使，连接．分别证明和可得，从而可得结论； （2）如图② ，在上取一点，使，连接，分别证明和可得，从而可得；如图③ ，在上取一点，使，连接，同理可得； （3）求得，分别代入（1）（2）的结论，求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）如图② ，在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，即； 如图③ ，在上取一点，使，连接， ∵是外角平分线， ∴， 又，， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （3）∵， ∴，， 当时，； 当时，，此种情况不成立； 当时，， 综上，的值为或． 故答案为：或． 133．【答案】6或2 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】 解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 134．【答案】（1）； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）15 【分析】 本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】 （1）解：是的中线， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 135．【答案】（1）点B的坐标为     （2）     （3）存在，或      【分析】 本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性得出，再由三角形的面积得到，即可求解； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴点B的坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为 ； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 136．【答案】（1） 解：，证明如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：仍然成立，理由如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，角的和差，解题的关键是掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （2）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （3）在线段上截取，连接，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 137．【答案】（1）     （2）或     （3）存在，点的坐标是或或或      【分析】 本题考查了平方和算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，全等三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论计算． （1）由平方和算术平方根的非负性先求出，即可求出点，坐标； （2）根据点，，的坐标求出的面积，再分点在线段和射线上两种情况讨论计算； （3）由，所以分两种情况和讨论计算即可． (1) 小问详解： 解： ，， ，， 的坐标是，的坐标是． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：，，； ，， ①在线段上，如图1， ， ， ② 当在射线上如图2， ，， 当或时，的面积等于的面积的一半； (3) 小问详解： 解：当在线段上运动时，在轴上存在点，使与全等， ∵， ∴① 当，时， ， 则， ∴点的坐标是或 ② 当，时， ， 则， ∴点的坐标是或； 综上所述，点的坐标是或或或． 138．【答案】（1）     （2） ∵， ∴, ∴， ∵， ∴，即；     （3）．      【分析】 本题考查三角形综合应用，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积及线段和差等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定定理． （1）由角平分线得，利用三角形的外角及内角和得到，即可求出； （2）由垂直定义得到，利用，得到，即； （3）过B作交于M，由，可证，得，从而又，点E为的中点，可证，得，即得；连接，由，得，而，即得，有，故  ，结合已知得即得  (1) 小问详解： 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： 过B作交于M，如图： 由已知得：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ． 139．【答案】.5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】 证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 140．【答案】（1），     （2）当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时，     （3）      【分析】 （1）根据非负数的性质即可求得的值，进而求得的坐标； （2）分点在线段上时和点在线段延长线上时，两种情形讨论，根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可； （3）过点作延长线于点，证明，得，过点作延长线于点，根据，求得，根据进而求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上， ∵． ∴，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． (2) 小问详解： 解：当点P在线段上时，， ∴， 当点P在线段延长线上时，， ； ∴当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时，． (3) 小问详解： 解：由（2）得：，解得， ， ， ， 如图，过点作延长线于点，作延长线于点， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形， 四边形， ， ， ， ， ， ， 梯形 ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，列函数关系式，三角形全等的性质与判定，平面直角坐标系中图形与坐标，正确的作出辅助线是解题的关键． 141．【答案】（1） 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴；     （3）长度为      【分析】 （1）设，则，由可得，得由三角形内角和定理可得，即可得，等边对等角得； （2）过点作，交的延长线于点，得，由得，，对顶角，代换得，可得，再由可得，对顶角，可证，即可得； （3）连接，过点作，交于点，过点作于点 ，连接，设，则，得，得出，，进而得，可得，三线合一得，，由，得，即可得，再由得出是等腰直角三角形，可得，，进而得，可得是等腰直角三角形，得，证明可得，证明，得，证明得，再由，可得，，由的面积为可得，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接，过点作，交于，过点作于 点，连接， 设， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质等，等腰三角形判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 142．【答案】（1）；     （2）；     （3）6      【分析】 （1）得到是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点作于点，可得，由三线合一可得点的坐标是，则，然后证明出为等腰直角三角形，则，再由求解即可； （3）过点作交于点，连接，先证明，再证明，，可得，求出，过点作于点，则均为等腰直角三角形，那么，而，，最后由计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ， 点坐标为， ， 点的坐标是； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点， ，， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 整理得：； (3) 小问详解： 解：过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形，，， ∴，即， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 过点作于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 143．【答案】（1） 证明：作交于点， ∵等边， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）作交于点，证明是等边三角形，再证明，推出，据此即可得到； （2）延长至点，使，连接，证明，推出，，推出，再证明，求得，求得，据此求解即可； （3）在上取点，使，连接，得到是等边三角形，证明，得到，，结合已知，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：延长至点，使，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上取点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形的综合，主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．C 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 11．C 12．B 13．C 14．C 15．B 16．B 17．D 18．B 19．B 20．A 21．A 22．B 23．B 24．B 25．C 26．C 27．B 28．B 29．B 30．B 31．C 32．C 33．D 34．【答案】3 【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【详解】 解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．【答案】3 【分析】 本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质证得即可． 【详解】 解：过点作，如图：    、平分， ， ， ， 故答案为：3． 37．【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ． 38．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】 解：如图，过点作，故点到的距离即的长， ，平分，， ， 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据已知条件可得，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，    ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 40．【答案】18 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， 过点作于点，如图所示： 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ∴的面积为， 故答案为：18． 41．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质差．首先根据，，求出线段的长度，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出点到的距离． 【详解】 解：，， ， 如下图所示，过点作， 则的长度就是点到的距离    平分， ， 点到的距离是． 故答案为： ． 42．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】 解：如图，过点D作于E， ，平分， ， 即点D到的距离为． 故答案为：． 43．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，过D作于E，由角平分线的性质定理可得，证明得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：过D作于E，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴ 在中， 设，则， ∵，， ∴ 解得：． ∴． 44．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】 解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 由作图可知，平分， ∵，，即，且， ∴， ∴线段长度的最小值是1， 故答案为：1． 45．【答案】4 【分析】 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】 解：∵BD平分∠ABC，， ∴， ∵， ∴，即，解得． 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键． 46．【答案】（1）直角     （2）5     （3） 证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上；     （4） ①，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②      【分析】 （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）① 由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ② 连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； (2) 小问详解： 解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：略 ② 如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】 本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 47．【答案】（1），     （2）或     （3）或或或      【分析】 本题考查平面直角坐标系中三角形的面积，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）设，（），根据可求出k的值，即可解答； （2）分两种情况讨论：① 作的角平分线，交x轴于点P，根据角平分线的性质可得点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求．设，过点P作于点Q，则，根据列出方程，求解即可；② 作的邻补角的角平分线，交x轴于点P，则点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求，设，过点P作于点，同① 思路，根据列出方程，求解即可； （3）根据点P的坐标，分绕点逆时针旋转得到和绕点顺时针旋转得到，根据全等三角形的判定及性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴设，（）， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． (2) 小问详解： 解：分两种情况讨论： ① 作的角平分线，交x轴于点P，则点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求， 设，过点P作于点Q， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ② 作的邻补角的角平分线，交x轴于点P，则点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求， 设，则， 过点P作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． (3) 小问详解： 解：当点P的坐标为时，， ① 如图，绕点逆时针旋转得到， ∴，， 过点D作轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ② 如图，绕点顺时针旋转得到， 过点D作轴于点N， 由①同理可得， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 当点P的坐标为时，， ① 如图，绕点逆时针旋转得到， ∴，， 过点D作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ② 如图，绕点顺时针旋转得到， 过点D作轴于点， 由①同理可得， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或或或． 48．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得出的面积是，进而求得的面积是，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． ∵的面积是， ∴的面积， ∴，即 ∴ 故答案为：． 49．【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 50．【答案】（1）已知：，，且． 求证：平分． 证明：在和中， ， ∴． ∴， ∴是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （3） 【分析】 本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是银题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得即可由（1）的结论可得出结论 （3）过点E作交延长线于F，作于G作，于H，设，则， 根据，即，求得：，即可由求解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：过点E作交延长线于F，作于G作，于H，如图， 设， 由（1）得：， ∵，，， ∴， 即：，解得：， ∴， ∴． 51．【答案】（1） 如图所示，线段即为所求；      （2） ，理由如下： ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （）根据角平分线的作法作图即可； （）证明即可得结论； 本题考查了角平分线的作法，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查的知识点是角平分线的性质和角平分线定理． ()作，利用角平分线的性质(角平分线上的点到角两边的距离相等)，结合三角形面积公式，得出两个三角形面积比与对应边的比例关系； ()根据等高三角形的面积比等于底边的比，由此可以得到，结合()便可以解答本题． (1) 小问详解： 证明：作，垂足分别为，如图所示 ∵在中，平分， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 设中边上的高为，则，， ∴ 由（1）同理可得， ∴， ∵， ∴. 53．【答案】 度 【分析】 本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 54．【答案】证明：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF． 【分析】 根据角平分线性质求出DE＝DF，根据HL推出△BED≌△CFD即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出△BED≌△CFD，注意：全等三角形的对应边相等． 55．【答案】① ④ ④ ① 【分析】 题目主要考查角平分线的判定和性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质，作于点H，根据角平分线的判定和性质及三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质依次判断即可，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】 解：如图，作于点H， ∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴平分；故① 正确； ∵，， ∴， 故② 错误； ∵，， ∴ ∴， 故③ 错误； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， 故④ 正确； 故答案为：① ④ ． 56．【答案】（1） 证明：∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．     （2）      【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． （1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可； （2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 57．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】 解：作图可知平分， 是边上的高，，， 根据角平分线的性质可得，， ， ， ， 即的长为， 故答案为：． 58．【答案】（1）     （2） 证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分．     （3）      【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 59．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等，关键是式子的转化； 连接，过点作于点，延长交于点，由角平分线的性质可得，再由≌可得，进而得到，，然后由面积可分别求得及的值，最后作差即可. 【详解】 解：连接，过点作于点，延长交于点， ∵是角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵≌， ∴， ∴且， ∵， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】 解：∵图中的两个三角形全等， ∴的对边为b， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知，且，则的度数是（       ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 3．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等即可解答． 【详解】 解：∵，和，和是对应顶点， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图：若，且，则的长为（       ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由EC=AC﹣AE求解即可． 【详解】 解：∵，AB=5， ∴AC=AB=5， ∵AE=2， ∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3， 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键． 5．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】 解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，将推倒后变为，其中，，在同一条直线上，若，，则的长不可能为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，根据题意可得，由全等三角形的对应边相等可得，再根据三角形三边关系进而可得答案． 【详解】 解：依题意，， ， 的取值范围为即， 则的长不可能为． 故选：D． 7．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，，，，则等于（       ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，进而得到，则． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 8．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得． 【详解】 解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 故选：B． 9．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，已知，且，，则的度数为（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，由，得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 10．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，，点在同一条直线上，，则的长为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差计算，根据全等三角形对应边相等得到，再根据进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 11．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点 A，B 的坐标分别为，，点在x轴上，且，则点 的坐标为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】 解：，的坐标分别为，， ，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查全等三角形的性质．解题的关键在于明确全等三角形对应角相等这一重要性质，然后根据已知条件找出与所求角对应的角． 【详解】 解：在和中，若，， 因为． 可得， 因为， 所以． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在中，，四边形为正方形，，，则的度数为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质推出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 15．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为　　　． 【答案】55° 7度 【分析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据全等的性质求出∠BAC的度数，最后由角的和差即可求解． 【详解】 解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝80°， 又∠DAC＝25°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝80°﹣25°＝55°． 故答案为：55°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明，其中判断≌的依据是（       ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 【答案】A 【分析】 本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角、全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理解题即可． 【详解】 解：由题意知，，， 在和中， ， ∴≌．   故选：A ． 2．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】 解：，点D，E分别是的中点， ， 在和中， ． ， 故选：C． 3．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 4．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，于点于点D，，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，则． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，下列条件中，不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】 解：A、依据可知，故A不符合要求； B、依据可知，故B不符合要求； C、依据可知，故C不符合要求； D、依据无法判定，故D符合要求． 故选：D． 6．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（     ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形． 延长相交于点F，证明，可得，再证明，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图，延长相交于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 7．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定，利用证明直角三角形全等是解题的关键． 【详解】 解：∵过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与， ∴， 又∵（公共边），（已知）， ∴， ∴为了证明，运用到的全等三角形判定定理是， 故选：D． 8．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（      ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 【答案】A 【分析】 此题考查了全等三角形判定方法的应用．由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】 解：如图， ∵是 、的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 9．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，点D在线段BC上．若，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键．证明．由三角形外角的性质得出，则可得出答案． 【详解】 解：在和中， ， ． ， ． 故选：B 10．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】 解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在与中，点B，C，D在同一条直线上，，，，，，则（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据平行线的性质得到，运用角角边判定，得到，由此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故选：C ． 12．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. 6或12或18或24 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析动点在运动过程中三角形的变化进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行计算，一是，二是点与点重合，分别求解即可； 【详解】 当时， 在与中， ， ； 当点运动到与点点重合时，， 在和中， ； 综上所述：长为或． 故选． 13．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定， 根据对顶角相等得，再根据可判定两个三角形全等． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：D． 14．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行得到，再由，则由可判断． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 15．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：如图所示，连接， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，作一个角等于已知角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．充分理解作图过程，得，即可证明，故． 【详解】 解：结合作图过程，得出， ∴， ∴， 即证明两个角相等时用到了判定方法， 故选：B． 17．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）下列方法中，不能判定三角形全等的是(　　) A. SSA B. SSS C. ASA D. SAS 【答案】A 【详解】试题解析：SSA不能判定三角形全等， 故选A． 18．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】 解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：C． 19．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（     ） A. 12 B. 7 C. 13 D. 10 【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，根据线段的和差关系可得的长，再求出的长，进而可求出中线的长． 【详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 20．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． 先根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质得出，即可判断① ，结合三角形内角和定理即可判断② ，过点作，垂足分别为，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用角平分线的性质解答即可判断④ ． 【详解】 解：∵， ， 即， 在与中 ， ， ，故① 正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故② 正确； 过点作，垂足分别为， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 平分，故④正确； 不能证明平分，故③ 错误； 故选：C． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 已知，，则图中全等三角形共有（     ） 对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，证明得出，，进而证明，，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， 在中， ∴ 在中， ∴ 综上所述，图中全等三角形共有对 故选：C． 22．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(       ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【详解】 解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 23．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（     ） A. 4 B. 3 C. 2或1 D. 4或3 【答案】D 【分析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，分类讨论全等三角形的对应边关系是解题的关键．设点P，Q运动的时间为，依题意得：，，得到，，①当，时，则当时，则，根据题意列方程即可得到结论 【详解】 解：设点P，Q运动的时间为， 依题意得：， 四边形是长方形，且，， ， 当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ① 当时，则， 由，得：， 解得：； ② 当时，则， 由，得：， 解得：， 由， 得：， 将代入， 得：， 综上所述：的值为4或3． 故选：D． 24．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，，，，与相交于点，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据边边边证明三角形全等． 根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】 解：在与中， ， ， ，， ，， ， ，，， ． 故选：C． 25．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】 解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 26．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法、、、和是解题的关键，注意和不能判定两个三角形全等． 由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可． 【详解】 解：A、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； B、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 27．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设交于G，交于H，可证明，得到；再证明三点共线，则可证明，得到，根据，得到，则，由勾股定理可得，则正方形的面积是45． 【详解】 解：如图所示，设交于G，交于H， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点恰好是的中点， ∴； 由正方形的性质可得， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是45， 故选：D． 28．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 29．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 30．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断① ② ；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③ ，无法得出，进而判断④ ． 【详解】 解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故① 正确，符合题意； ∴，故② 正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③ 正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④ 不一定正确， 故选：B． 31．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，、相交于点，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、等）是解题的关键． 本题需根据全等三角形的判定定理（、、等），对每个选项逐一分析，判断能否判定． 【详解】 解：在和中， ， ，故选项A能判定，不符合题意； 在和中， ， ，故选项B能判定，不符合题意； 虽然，，，但这属于“”，不符合全等三角形的判定定理，不能判定，故选项C不能判定； ，， ，即 在和中， ， ， 故选项D能判定，不符合题意； 故选： 32．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（       ） A. 3cm2 B. 5cm2 C. 6cm2 D. 8cm2 【答案】B 【分析】 延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得到的面积． 【详解】 解：延长交于， 垂直的平分线于，， 又知，， ， ，， 和等底同高 ， ． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查三角形全等判定，三角形面积的知识点．证明出三角形的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 33．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图， ， 则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 34．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定方法（）及三角形构成条件逐一分析选项即可． 【详解】 选项A：已知．此为“边边角”（），但不能唯一确定三角形（除非是直角），可能存在两种不同形状的三角形，故排除． 选项B：已知．计算三边和：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故排除． 选项C：已知．此为“角边角”（），因两角及夹边唯一确定三角形，且第三个角可通过内角和确定，符合全等条件，故可唯一确定． 选项D：已知三个角（）．此为“角角角”（），无法确定边长，无法画出唯一的三角形，故排除． 故选：C． 35．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，可证明得到，则可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可推出，则由三角形外角的性质可得，进而可求出，由周角的定义可得，据此可判断②；证明，得到，据此可判断④；根据现有条件无法证明，故③错误． 【详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 36．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，，，垂足分别是，，、交于点，已知，，，则（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，通过证明与 全等，从而得到之间的数量关系是本题的解题关键．根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答． 【详解】 解：，， ， ， ， 在与中， ， ，， 又，， ， 故选：B． 37．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【分析】 利用等边三角形的性质，证明 从而可判断① ，由可得 再利用三角形的内角和定理可判断② ，得出，进而证明，判断③ ，得出，即可判断④ 【详解】 解：为等边三角形， 即 故① 正确； 故② 正确； 则 在中 ，故③ 正确； 又 是等边三角形，故④ 正确 故选：A． 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键． 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，中边上的高为，中边上的高为，已知．下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，设垂足分别为H，G，根据三角形高定义得，根据补角定义得，结合，得，即得． 【详解】 解：如图，设垂足分别为H，G，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 39．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，以下五个结论：；；；平分；．正确的有（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ，根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；作，，证明可判断；⑤ ，⑤ 正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∴， ∴，结论正确； 作，， ∵， ∴， ∴平分，故正确； ∵， ∴， ∴，结论正确； 综上正确， 故选：． 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识点，灵活运用全等三角形解决坐标问题是解题的关键．过点A、点B分别作、垂直于x轴，先证明得到、，进而得求点A的坐标即可解答． 【详解】 解：如图：过点A、点B分别作、垂直于x轴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，即：， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 41．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（     ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】 解：、分别平分、， ，， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，，，故②正确； 平分， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， ，故③正确； ，， ，， ， ，故④不正确； 正确的有① ② ③，共3个， 故选：B． 42．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①； ②；③；④．其中， 正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【分析】 由得到，由、平分、，得到，，根据三角形内角和得到，从而求得，可判断① 正确；先利用证明，得到，由平分，得到，即，推出，再利用即可证明，可判断② 正确；由全等得到，又因为，且，所以，可判断④ 正确；延长交于点，利用可证，可得，，所以，可判断③ 错误． 【详解】 解：∵， ∴， ∵、平分、， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故① 正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴． ∴． ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．故② 正确； ∴， ∵，且， ∴，故④ 正确； 延长交于点， ， 在和中， ，故③ 错误； 所以正确的结论是① ② ④ ， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明是解题的关键． 43．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）已知：，，与相交于点．求证：． 【答案】解：∵，，， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据两组对边分别相等以及夹角相等，得证，即可作答． 【详解】 略 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】 解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为　　　　　　　　　　 【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，根据直角三角形的两个锐角互余得出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】 解：，， ， ，，且， ， ， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）（多选）如图，AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O． 求证：∠A＝∠D． 【答案】证明：连接BC， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠A＝∠D． 【分析】 连接BC，证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的对应角相等即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中正确作出辅助线构造全等三角形是关键． 47．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，，请你添加一个条件：　　　　　，使（只添一个即可）． 【答案】∠C=∠D （答案不唯一） 【详解】 ∵∠BAC=∠ABD， ∴OA=OB， 又∵∠AOD=∠BOC， ∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC， ∴OC=OD． 故答案为：∠C=∠D（答案不唯一）． 48．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，B是的中点，，请添加一个条件　　　　　　　　 ，使(填一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由B是的中点，可得、，故可再添加一组角相等． 【详解】 解：是的中点， 再添加， 在和中 故答案为：． 49．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在与中，，，请添加一个条件：　　　　　　　　，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据三角形全等的判定方法，添加合适的条件即可． 【详解】 解：∵，， ∴添加条件，利用证明即可； 添加条件，得出，利用证明即可； 添加条件，利用证明即可； 故答案为：．（答案不唯一） 50．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）（多选）在中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E， PF⊥BC于点F，求证：DE=DF 【答案】证明：连接CD． ∵在Rt△ABC中，AD=BD． ∴CD=AB=AD． ∵AC=BC． ∴∠A=45°． ∵PE⊥AC，PF⊥BC． ∴四边形PECF为矩形． ∴CF=PE=AE． 又∵CD=AD． ∴∠ACD=∠BCD=45°． 在△AED和△CFD中 ， ∴△AED≌△CFD（SAS）． ∴DE=DF． 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的判定及性质，直角三角形斜边上中线的性质，解答时证明三角形全等是关键． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 51．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且，连接．请判断与之间的关系，并说明理由． 【答案】解：， 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】 略 52．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点B，F，E，D，在同一直线上，，，要证明，需要添加一个条件为　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据等式的性质可得，添加可利用定理判定． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， 添加， 则， 添加， 则， 添加， 则， 故答案为：（答案不唯一）． 53．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， （1）求证：． （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）8      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． 54．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 55．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，有一平面图形、其中点在同一条直线上，； （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明： ， 在和中， ．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定，三角形的外角的定义及性质； （1）根据边边边判定三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到，再结合三角形的外角的定义及性质计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ． 56．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 57．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有　　　　　　　　对全等三角形． 【答案】3 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 首先利用判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴共3对全等三角形， 故答案为3． 58．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）（多选）如图，AD=CB，若利用“边边边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是　　；若利用“边角边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是　　． 【答案】① AB=CD    ② ∠DAC=∠BCA 【详解】∵在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（SSS）； 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA（SAS）， 故答案为AB=CD，∠DAC=∠BCA． 点睛：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA， 59．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴与都为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，线段的和差关系得到，证明，即可得出结论． 【详解】 略 60．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图如果点P在射线OC上，，，垂足分别为D，E，，若，　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 利用证明，可得，进一步计算，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 61．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定的应用，求出，根据推出即可． 【详解】 解：需添加的条件是：， 理由是：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 62．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，先证明，再利用证明即可． 【详解】 略 63．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定方法．要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一． 【详解】 解：添加条件是， 在和中， ∵ ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 64．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，分别过A，B两点作l的垂线，，E，F为垂足，． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵， ， ， ， ．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）先利用证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可以得到，据此即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可以得到，因为，所以，根据平角定义可得． (1) 小问详解： 略． (2) 小问详解： 略． 65．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】 解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 66．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】 解：若添加条件：， 因为，， 所以 ， 所以； 若添加条件：， 因为，， 所以 ， 所以； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 67．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为　　　　　． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【分析】 本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】 解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 68．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，已知，要使，只需添加一个条件：　　　　　　（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】 解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 69．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，先结合条件与图形得出，，因为根据“”证明，则添加条件是，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴要根据“”证明，需要添加一个条件是 故答案为： 70．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，中，，，垂足分别为交于点，请你添加一个适当的条件：　　　　　　　，使． 【答案】或或 【分析】 根据垂直定义及直角三角形的性质可知两组对应角相等，再根据找一组对应边对应相等即可解答 ．本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】 解：① 添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ② 添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ③ 添加，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故填空答案：或或． 71．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：，． 【答案】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴，． 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．先利用平行线的性质得出，，然后利用等式的性质可得，再根据证明，最后利用全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 72．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，，点、在线段上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 根据，得出，再利用证明直角三角形全等，即可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的判定方法． 73．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质得到，据此可证明结论． 【详解】 略 74．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在和中，于，于，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵与相交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）由证即可； （2）先由得，再根据对顶角相等得，然后由证明，最后根据全等三角形的性质可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 75．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，，于点，交于点．若，，，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】 解：连接，如图所示： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 76．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则　　　　　　cm． 【答案】2 【分析】 求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 77．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，四边形中，，，E为的中点，与相交于点F．    （1）求证：； （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴．     （2） 解：线段的位置关系是．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）根据，得到，根据，E是的中点，得到，故 ，得证，即可证明结论； （2）根据得到，结合得到，继而得到，结合得到，问题得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明线段的垂直，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键． 78．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）三角形的两边长分别是3和7，第三边上的中线长是x，则x的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握有关三角形的中线问题，通常要倍长中线构造全等三角形是解题的关键．倍长中线构造全等三角形，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】 解：如图所示，，，为边上的中线，且，延长至，使， 则， 在与中， ， ， ， ， ∴在中，， 即， ， 故答案为：． 79．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，已知，，若添加一个条件后，能使，则这个条件是　　　　　　　（写出一个即可）． 【答案】或或（写出一个即可） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：添加：， 在和中， ， ∴； 添加：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加：， 在和中， ， ∴； 故答案为：或或（写出一个即可）． 80．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，且点B在第二象限，则点B的坐标为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明，从而易得点B的坐标． 【详解】 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， ∵A点坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为： 81．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足 ． （1）求点A、B的坐标； （2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）当0≤t＜2时，S=；当t＞2时，S=；（3）存在，M（3，0）或M（0，3）或M（1，4） 【分析】 （1）解二元一次方程组求出m和n的值，即可求出点A、B的坐标； （2）根据题意当0≤t＜2和t＞2时，分别表示出OP的长度，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 （1）解： ，解得 ， ∴A（0，4），B（-3，0）． （2）作DH⊥AO于H， ∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠ADH． 在△DAH和△ABO中， ， ∴△DAH≌△ABO（AAS）， ∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1． ∴①当0≤t＜2时， ∵AP=2t，OP=4-2t， ∴S=． ②当t＞2时， ∵AP=2t，OP=2t-4， ∴S=． （3）∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵∠DCO=90°， ∴∠DCA=45°． ∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°， ∴∠DCM=90°， ∴点M在x轴上． ∵DC=CM=1， ∴OM=3， ∴M（3，0）． 当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°， ∵AM=CD=1， ∴OM=3， ∴M（0，3）． 当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°， ∴∠OAM=90°， ∴AM⊥y轴． ∵AM=CD=1， ∴M（1，4）． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组的方法． 82．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质．根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 83．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，交于点，交于点，，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形． 【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， 在与中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法和性质． （1）根据证明可得结论； （2）根据全等三角形的判定方法以及等腰直角三角形的性质判断即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：和都是等腰直角三角形，， ， ， ， 在与中， ； 由（1）可知， ， ， ， ， 在与中， ， ； ， ，即， ， 设， ，， ， ， 在与中， ； ， ，即， 在与中， ． 84．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图所示，在四边形中，，点E在上，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 根据可得，根据AAS可证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 85．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）DE=BD+CE． 理由如下：∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【分析】 （1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 86．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点M，F．    （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 解：∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴；     （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证明，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 87．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为等腰直角三角形，则点的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则可证明，从而易得点的坐标． 【详解】 解：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图， 点坐标为， ，， 轴，轴， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且， ， 在与中， ， ， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 88．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图（1），已知中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． （1）试说明：． （2）若直线绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请说明理由； （3）若直线绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变，问与，关系如何？请直接写出结果，不需说明． 【答案】（1） 证明： ，， ． 又，， ． ，． 又， ， 即．     （2） ，理由如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即．     （3），      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据证明，得；．根据代换即可； （2）同理证明，得；．此时； （3）同理证明，得；．此时． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． 89．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形判定和性质，三角形的中线平分面积，延长交于点，证明，得到，根据三角形的中线平分面积推出，即可得出结果，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【详解】 解：延长交于点， ∵垂直的平分线于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 90．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 【详解】 解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 91．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知线段直线于点B，，，，直线交直线于点． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）（2）的条件下，若，，则的长为_____． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵，， ， ， ∴．     （2）当点在线段延长线上时，；当点在线段延长线上时，     （3）2或6      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，线段的和差，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明得到，由线段的和差即可证明； （2）同（1）思路即可求解； （3）分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上时，根据线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当点在线段延长线上时，； 当点在线段延长线上时，． 证明如下：当点在线段延长线上时，如图② ， ∵， ∴， 即， ∵，， ， ， ∴． 当点在线段延长线上时，如图③ ， ∵， ∴， 即， ∵，， ， ， ∴． (3) 小问详解： 解：当点在线段上时， ∵， ∴点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 当点在线段延长线上时，，故不成立． 当点在线段延长线上时，如图③ ， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或6． 故答案为：2或6． 92．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，点E为CD上一点，AE，BE分别平分，．若，，则四边形ABCD的面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，延长AE，BC交于点M，通过条件证明，再证明，可知，即可求解出结果． 【详解】 解：如图，延长AE，BC交于点M， AE平分， ， ， ， 又 BE平分， ，BE=BE， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键． 93．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下面是小城同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务 执“规”“矩”等分已知角《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里，“规”是圆规，“矩”是直角工具“ ”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 《伏羲女娲图》局部图 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，射线即为的平分线 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线；②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点．射线即为的平分线 经过测量，上述两种办法得到的与均相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： （1）请用小城的“办法1”推理说明：平分． （2）请说明小城的“办法2”的合理性． 【答案】（1） 由作图可知：， ∴在和中， ， ， ， ∴即为的平分线；     （2） 由题意，得，， ∴在和中， ， ， ， ∴ 平分．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据作图，利用“”证明三角形全等即可； （2）根据作图和“矩”是直角工具，利用“”证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 94．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图分别平分，则下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　． ①若，则；②；③；④． 【答案】①③ ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，由垂线的定义得到，由角平分线的定义得到，则可证明得到，据此可判断①；由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，则，据此可判断②；作的角平分线交于H，可证明，得到，，同理可证明，得到，，据此可判断③；过点H作于M，于N，可证明，得到，则，据此可判断④． ∴，故④ 正确； 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴，故② 错误； ∴， 如图所示，作的角平分线交于H， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 同理可证明， ∴，， ∴，故③正确； 如图所示，过点H作于M，于N， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：① ③ ④． 95．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，点，，，在同一条直线上，点，点在直线两侧，若，，请添加一个适当条件　　　　　，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 当添加时，即可利用“”证明即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 根据题意得，当时，在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 96．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，说明线段PC与PQ相等且垂直的理由； （2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝α”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意得：当t=1时，AP=BQ=2cm，PB=CA=6cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠CAP=∠PBQ=90°； 在△ACP和△BPQ中： ∵ ∴△ACP≌△BPQ（SAS） ∴∠C=∠BPQ，PC=PQ； ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠C=90° ∴PC=PQ且PC⊥PQ； （2）存在x的值，使△ACP与△BPQ全等， ① 若△ACP≌△BPQ， 则AC=BP，AP=BQ， 即：6=8-2t，2=xt 解得：x=2，t=1； ② 若△ACP≌△BQP， 则AC=BQ，AP=BP， 即：2t=8-2t，6=xt 解得：x=3，t=2 综上所述：若△ACP≌△BPQ，则x=2，t=1；若△ACP≌△BQP，则x=3，t=2． 【分析】 （1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可； （2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用． 97．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′， ∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角， ∴A，D，F′共线， ∵ ∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF-ED； （2）20° 【详解】 （1）略 （2）∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 98．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长为　　　　　　　　　． 【答案】8.5 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点E作于点G，则，证明，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】 解：在中，，，D是线段上一点， 过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8.5． 99．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，边，则中线的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系．熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 延长到E，使，连接，证明，推出，再根据三角形的三边关系定理求解． 【详解】 如图，延长到E，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 又， 由三角形三边关系可得， 又， ． 故答案为：． 100．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． （1）初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； （2）大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； （3）拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴；     （3）．      【分析】 （）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 101．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）全等，理由见解析，线段和线段垂直     （2）存在 或 使得与全等      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，证明，得出，求出，即可得解； （2）分两种情况：① 若，则，，② 若，则，，分别求解即可得出结果． (1) 小问详解： 解：当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段和线段垂直； (2) 小问详解： 解：① 若，则，， 由题意可得：，，则， ∴ ， 解得： ， ② 若，则，， 由题意可得：，，则， ∴ ， 解得： ； 综上所述，存在 或 使得与全等． 102．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． （1）与相等吗？请说明理由； （2）若的面积为70，，，求的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）证明即可得到结论； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵的面积为70， ∴， ∴． 103．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知，，，求 【答案】 【分析】 连接，根据证明可得． 【详解】 解：连接，    ∵，，， ∴， ∴． ∵ ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 104．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在△ABC中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点.若AB=AC,且CF=7，CE=5，求的长. 【答案】3 【分析】由平行线得内错角相等，可证出△ADE≌△CFE,利用其性质得出对应线段相等即可求解. 【详解】解：∵CF∥AB, ∴∠A=∠ACF, ∠ADE=∠F, ∴△ADE≌△CFE, ∴AE=CE=5，AD=CF=7， ∴AC=10， ∴AB=AC=10， ∴BD=AB-AD=10-7=3 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，掌握全等的判定定理和性质定理是解答此题的关键. 105．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． 106．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分，于点G，且平分，于点交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）证明：连接，， 平分，，， ，， ，且平分， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合角平分线的性质进行计算是解题的关键． （1）连接，，根据已知条件证明，即可得证； （2）根据已知条件证明，得到，设，则，根据已知数值计算即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ， 解得：， ， ． 107．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，由题意又知，最后根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】 解：延长、交于点，如图： 为中的外角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又为中点， ， ， ， ， 故答案为：． 108．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为　　　　　　　　　　． 【答案】24厘米 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】 解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 109．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）（1）如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，，求证：． （2）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】（1）证明：， ， 即， ∵， ∴ 在与中， ， ∴ ∴； （2）见解析 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质解答即可； （2）先根据平行得到，再证明即可． 【详解】 （1）略 （2）略 110．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．    （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中 ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，， ， 由（1）可知：， ， 平分交于点G， ， 又是的一个外角， ， ， ． 111．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，，延长至点使， （1）求证：． （2）若，求． 【答案】（1） 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．     （2）6      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形中线的性质等知识点，证得是解题的关键． （1）先根据同角的补角相等可得，进而得到，再说明，然后运用即可证明结论； （2）先根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分可得，再根据全等三角形的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵延长至点使， ∴， ∵， ∴． 112．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E，在直线m上方有，且满足．    （1）如图①，当时，猜想线段与、之间的数量关系是             ． （2）如图②，当时，问题（1）中结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用：如图③，在中，，，直线m与的延长线交于点F．若，的面积是20，则与的面积之和为             ． 【答案】（1）     （2）成立， 理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）5      【分析】 （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． (1) 小问详解： 结论：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与的面积之和为5． 故答案为：5 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 113．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）（多选）如图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：BC=DE 【答案】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴BC＝DE． 【分析】 由条件可得到∠BAC＝∠DAE，从而可证明△ABC≌△ADE，可得出BD＝DE． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件得到∠BAC＝∠DAE是解题的关键． 114．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是　　　　　　　． 【答案】3＜m＜13 【分析】 延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题． 【详解】 解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△CDE中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， 在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE， ∵CE=AB=5，AE=8， ∴8-5＜AC＜8+5， ∴3＜AC＜13， ∴3＜m＜13． 故答案为：3＜m＜13． 【点睛】 此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题． 115．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． （1）判断线段与关系，并说明理由； （2）若，求面积． 【答案】（1） 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ∵，， ． 116．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．    （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1） 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）；     （2） 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形；     （3）10．      【分析】 （1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接DF，    ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】 本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 117．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验： （1）请写出证明过程； 类比应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）1； （3）． 【分析】 （1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明△ADC≌△CEB，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明△AOC≌△CEB，进而得出CO=BE，再根据点C的坐标即可得到结果； （3）过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明△CDB≌△AEC，进而得出BD=CE，AE=CD，最后根据点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)即可求出点B坐标． 【详解】 解：（1） 略 （2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵点C的坐标(1，0)， ∴， ∴，即点B到x轴的距离是1； （3）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，    在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)， ∴，， 设B点坐标为(a，b)， 则a=4－1=3，b=2+2=4， ∴点B的坐标为(3，4)． 【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 118．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是             ； （2）如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】（1）；     （2） 证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 119．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 略 120．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】(1)证明：平分， ， 在和中， ， ； （2） 【分析】 （1）由角平分线定义得出，由证明即可； （2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2），， ， 平分， ， 在中，． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键． 121．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴．     （2） 解：如图2：作，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点C在的角平分线上，即平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）直接证明，再根据全等三角形的对应边相等即可证明结论； （2）如图2：作，即，再证明可得，然后再根据角平分线的判定定理即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 122．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于的长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交②中的弧于点，作射线交于点．若，则的度数为　　　　　　　　　　　　度． 【答案】31 【分析】 本题考查了全等三角形判定及性质，三角形的外角定理，能从作图步骤中找出相等的线段来证明三角形全等是解题的关键． 由作图中半径相等得，可证明，由全等得，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出的度数． 【详解】 由题意得，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：31． 123．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走　　　　　　时与全等． 【答案】1或3 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情况：① 若，，则；② 若，，则即可得出结果． 【详解】 解：∵于A，于B， ∴， 设P点每分钟走， ① 若，此时，， ， ， ② 若，，， ， ． 故答案为：1或 124．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）已知点在线段上，点在线段（点不与点、重合）上，，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若M、N分别是、的中点，过点E作，垂足为点F，过点C作，垂足为点G，在不添加任何辅助线的情况下，写出图2中所有的全等三角形． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ；     （2），，，，      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 与是直角三角形， 、分别是、的中点， ，， ， ， 在与中， ， ， 同理：， ，， ，， ， 在与中， ， ， 同理：， 故所有的全等三角形有，，，，． 125．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图①，，，点在上，且． （1）求证：． （2）如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ， ；     （2） ，，，      【分析】 本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可证，然后根据定理可证，进而可得； （2）由图可知，对全等三角形分别为，，，，然后根据定理、定理、定理、定理依次证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 图②中的对全等三角形分别为，，，，证明如下： ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． 综上所述，图②中的对全等三角形为，，，． 126．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．    （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 　　　　； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 　　　　　． 【答案】① 或    ② 【分析】 （1）设点M是直线上存在的线段的等垂点，根据垂点的定义得到于点Q或于点P，则，分在线段上方和下方，两种情况讨论求解即可； （2）根据新定义结合（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直，当时，则，此时有最小值，此时，，求出直线的解析式为；再求出平行于直线的直线的解析式为，当点过直线时，此时有最大值，即可得出答案． 【详解】 解：（1）当时，点， 设点M是直线上存在的线段的等垂点， 由垂点的定义得， 当时，即， 则，即于点Q， 当时，即， 则，即于点P， 如图，当于点P，且直线在线段上方时，    则， 过点M作轴于点G， 由等垂点的定义得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，解得： ； 当直线在线段下方时， 则，过点作轴于点H， 同理可得：， ∴ ，解得： ； 当于点Q，且直线在线段上方时，    同理可得：， ∴ ，解得： ； 当于点Q，且直线在线段下方时， 同理可得：， ∴ ，解得： ； 综上，b的值为或； 故答案为：或； （2）∵边上（包含顶点）存在线段的垂点， 同理（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直， 如图，    当时，则，此时有最小值， ∴，即， ∴， 解得：； 此时，， 设直线的解析式为， 则： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设平行于直线的直线的解析式为， 当此直线过点B时，则，解得， ∴平行于直线的直线的解析式为， ∵， ∴直线， 当点过直线时，此时有最大值， 则， 解得：，此时，两点重合（不符合题意）， ∴t的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形综合，掌握新定义、学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题是解题的关键． 127．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，点，点，连接．若，则点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质和平面直角坐标系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题作，垂足为，证明，再根据平面直角坐标系的知识，即可求解； 【详解】 解：作，垂足为，如图： ， ∵点，点， ∴轴，，，线段与轴距离为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，点与轴距离为， ∵点在第二象限， ∴点的坐标是； 故答案为：； 128．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在四边形中，点分别在边上，．    （1）若四边形是正方形，如图①，求证：；（提示：延长至点，使，连接．） （2）若在四边形中，，，时，如图②；若在四边形中，，，点分别在的延长线上时，如图③，试探究线段、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明； （3）在（1）（2）的条件下，若，则_______________． 【答案】（1）证明：延长至点，使，连接，    四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， 又，， ， ， ， ．     （2）图2：；图3：；     （3）或      【分析】 本题主要考查了正方形的综合应用，结合旋转的性质，全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，证明，得到，再证明，即可得证； （2）先确定梯形是等腰梯形，根据性质可得，再把绕点顺时针旋转，点与点重合，点到达点，根据旋转变换的性质，和全等，根据全等三角形的性质可得，，，，证明、、三点共线，证明和全等，即可得证；对于图3，在内部作，证明，证明与全等，可得，，再证明，证明与，根据全等三角形的性质即可得证； （3）把已知条件代入（2）的结论中计算即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图2可知：，理由如下， ，，， 梯形是等腰梯形， ， 把绕点顺时针旋转，点与点重合，点到达点，    ， ，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； 由图3可知，，理由如下， 如图，在内部作交于点，    ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ， 当时，； 当时，； 故答案是：或． 129．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，若线段交于点，且为直角三角形，则的长为　　　　　　． 【答案】6或 【分析】 由三角函数得出∠A=30°，由直角三角形的性质得出AB=2BC=8，由折叠的性质得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，① 当∠BEA′=90°时，由三角函数得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解： ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=8， ∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E， 设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，下面分两种情况讨论: ① 当∠BEA′=90°时，在Rt△ADE中， ∴EF=3-（8-x）=x-5， 在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°， ∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5）， 解得x=6，即BF=6； ② 当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：    在Rt△BDA'和△BDC中 ∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL）， ∴BA′=BC=4， ∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°， ∴∠FA'H=60°， 在Rt△FHA'中， 在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2， 解得：x= ，即BF= . 综上所述，BF的长为6或. 故答案为6或. 【点睛】 本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型． 130．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，过点作，交的延长线于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】 解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：8． 131．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，平分，点在上，交的延长线于点，若恰好平分．求证： （1）； （2）点D为的中点． 【答案】（1） 证明：平分，平分， ， ， ， ， ， ，     （2） 证明：， ， 在和中， ， ， ； ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 即：点D为的中点．      【分析】 （1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进热即可得到结论； （2）先，再证，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行的性质，角平分线的定义，证明，是解题的关键． 132．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（1）已知中，的平分线交于点，如图①，求证：；（提示：在上取一点，使，连接．） （2）当的平分线与的外角平分线交于点与的延长线交于点，如图②；当的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点与的延长线交于点与的延长线交于点，如图③，请猜想并直接写出线段有怎样的数量关系； （3）在（1）（2）的条件下，若，则_______． 【答案】（1）证明：在上取一点，使，连接．如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴ ∴, ∴, ∴； （2）如图②； 如图③ （3）或 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． （1）在上取一点，使，连接．分别证明和可得，从而可得结论； （2）如图② ，在上取一点，使，连接，分别证明和可得，从而可得；如图③ ，在上取一点，使，连接，同理可得； （3）求得，分别代入（1）（2）的结论，求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）如图② ，在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，即； 如图③ ，在上取一点，使，连接， ∵是外角平分线， ∴， 又，， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （3）∵， ∴，， 当时，； 当时，，此种情况不成立； 当时，， 综上，的值为或． 故答案为：或． 133．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动　　　　　　　　s时，． 【答案】6或2 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】 解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 134．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）15 【分析】 本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】 （1）解：是的中线， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 135．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． （1）求点B的坐标； （2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； （3）在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为     （2）     （3）存在，或      【分析】 本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性得出，再由三角形的面积得到，即可求解； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴点B的坐标为； (2) 小问详解： 解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为 ； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 136．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）已知在四边形中， ，． （1）如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． （2）如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是             ．  【答案】（1） 解：，证明如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 解：仍然成立，理由如下： 如图，延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，角的和差，解题的关键是掌握以上性质，并灵活构造辅助线． （1）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （2）延长至点，使，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论； （3）在线段上截取，连接，证明，得出，，再证明，根据对应边相等即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 137．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边BC在轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）点的坐标是_________，点的坐标是________； （2）连接PA，当的面积等于的面积的一半时，求的值； （3）当点在线段BO上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或     （3）存在，点的坐标是或或或      【分析】 本题考查了平方和算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，全等三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论计算． （1）由平方和算术平方根的非负性先求出，即可求出点，坐标； （2）根据点，，的坐标求出的面积，再分点在线段和射线上两种情况讨论计算； （3）由，所以分两种情况和讨论计算即可． (1) 小问详解： 解： ，， ，， 的坐标是，的坐标是． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：，，； ，， ①在线段上，如图1， ， ， ② 当在射线上如图2， ，， 当或时，的面积等于的面积的一半； (3) 小问详解： 解：当在线段上运动时，在轴上存在点，使与全等， ∵， ∴① 当，时， ， 则， ∴点的坐标是或 ② 当，时， ， 则， ∴点的坐标是或； 综上所述，点的坐标是或或或． 138．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，在中，，点D在BC上，连接，且平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点为上一点，过点作，垂足为点，直线交的延长线于，交于，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当点为中点时，过点作于点，于点，若，，求的面积（用含、的式子表示）． 【答案】（1）     （2） ∵， ∴, ∴， ∵， ∴，即；     （3）．      【分析】 本题考查三角形综合应用，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形面积及线段和差等知识，解题的关键是掌握并能熟练应用全等三角形判定定理． （1）由角平分线得，利用三角形的外角及内角和得到，即可求出； （2）由垂直定义得到，利用，得到，即； （3）过B作交于M，由，可证，得，从而又，点E为的中点，可证，得，即得；连接，由，得，而，即得，有，故  ，结合已知得即得  (1) 小问详解： 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解： 过B作交于M，如图： 由已知得：， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ． 139．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点F作延长线交于点G，利用证明，得到和，进一步利用证明，得到和，结合设，，已知得到和，即可求得． 【详解】 证明：过点F作延长线交于点G，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 设，， ，， ∴． 故答案为：． 140．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且． （1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示（不要求写出的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，且，在轴负半轴上有一点，过点作轴垂线，与射线交于点，若，连接，交于点，求点的坐标． 【答案】（1），     （2）当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时，     （3）      【分析】 （1）根据非负数的性质即可求得的值，进而求得的坐标； （2）分点在线段上时和点在线段延长线上时，两种情形讨论，根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可； （3）过点作延长线于点，证明，得，过点作延长线于点，根据，求得，根据进而求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上， ∵． ∴，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为． (2) 小问详解： 解：当点P在线段上时，， ∴， 当点P在线段延长线上时，， ； ∴当点P在线段上时，，当点P在线段延长线上时，． (3) 小问详解： 解：由（2）得：，解得， ， ， ， 如图，过点作延长线于点，作延长线于点， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形， 四边形， ， ， ， ， ， ， 梯形 ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，列函数关系式，三角形全等的性质与判定，平面直角坐标系中图形与坐标，正确的作出辅助线是解题的关键． 141．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）已知，于，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，过点作的平行线交于点，在上取点，连接并延长交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，作于，交于点，若，的面积为，求长度． 【答案】（1） 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴；     （3）长度为      【分析】 （1）设，则，由可得，得由三角形内角和定理可得，即可得，等边对等角得； （2）过点作，交的延长线于点，得，由得，，对顶角，代换得，可得，再由可得，对顶角，可证，即可得； （3）连接，过点作，交于点，过点作于点 ，连接，设，则，得，得出，，进而得，可得，三线合一得，，由，得，即可得，再由得出是等腰直角三角形，可得，，进而得，可得是等腰直角三角形，得，证明可得，证明，得，证明得，再由，可得，，由的面积为可得，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接，过点作，交于，过点作于 点，连接， 设， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质等，等腰三角形判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 142．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为，． （1）如图1，求点的坐标； （2）点D为上一点，点C为x轴上点B右侧一点，连接，若，长为m，的面积为，用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，延长交于点F，过点D作与过点O作的平行线交于点M，于点E，若，求的面积． 【答案】（1）；     （2）；     （3）6      【分析】 （1）得到是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点作于点，可得，由三线合一可得点的坐标是，则，然后证明出为等腰直角三角形，则，再由求解即可； （3）过点作交于点，连接，先证明，再证明，，可得，求出，过点作于点，则均为等腰直角三角形，那么，而，，最后由计算即可． (1) 小问详解： 解：，， ， 点坐标为， ， 点的坐标是； (2) 小问详解： 解：如图所示，过点作于点， ，， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 整理得：； (3) 小问详解： 解：过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形，，， ∴，即， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 过点作于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 143．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）已知：等边中，点D在上，点E在的延长线上，连、，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，取中点F，连接、，过点F作，垂足为H，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点K，连接并延长至点N，使，延长至点M，连接MN，当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：作交于点， ∵等边， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）作交于点，证明是等边三角形，再证明，推出，据此即可得到； （2）延长至点，使，连接，证明，推出，，推出，再证明，求得，求得，据此求解即可； （3）在上取点，使，连接，得到是等边三角形，证明，得到，，结合已知，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：延长至点，使，连接，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上取点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形的综合，主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，，又，可以证明，即可得结论． 【详解】 解：根据作图过程可知： ， 又， ， ， 故选：A． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，以点为圆心，为半径画弧分别交、于点、，再以为半径（），以点、为圆心作弧相交于点B．以下说法错误的是（       ） A.  B.  C. 点B到与距离相等 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，理解作图步骤 ． 根据作图可知，，，由边边边全等可证明与全等，由此可判断AB选项；再根据角平分线的性质可判断C选项，根据与的大小可判断D选项 ． 【详解】 解：∵以点为圆心，为半径画弧分别交、于点、， ∴， ∵再以为半径（），以点、为圆心作弧相交于点B． ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故AB选项正确； ∵是的角平分线， ∴点B到与距离相等，故C选项正确； ，，但不一定相等，故D选项错误． 故选：D ． 4．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则点到的距离是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查作图—角平分线，角平分线的性质定理．正确作出辅助线，利用角平分线的性质计算是解题关键． 过作交于点H，由作图可知平分，再由角平分线的性质定理即可求解． 【详解】 解：过作交于点H，     由作图可知平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【详解】 解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，PE=3，PE⊥AC， ∴点P到AB的距离是3， 故选：A 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，．若是射线上一点，则的最小值为（　　） A. 7 B.  C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， 当，最小， 则的最小值为8， 故选：C． 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据这两个条件即可逐项判断即可． 【详解】 解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 无法证明， 故选：B． 8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积计算，画出图形，设出水井到土地边沿的距离，根据三角形的面积列出方程，解方程即可． 【详解】 解：三角形闲置土地如图所示，    由题意，设点P到，，的距离为h， ∵， ∴， 又∵的周长为，即， ∴， ∴， 即这口水井到土地边沿的距离是， 故选：C． 9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，P为上一动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了作图基本作图，角平分线的性质．过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】 解：如图，过点作于点．     ，， 由作图过程可知：平分，，， ， 设，则有， ， ， 为上一动点， 则的最小值为， 故选：C． 10．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出，，平分得到，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】 解：在长方形中， ∵，，， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的作图等知识，熟练掌握三角形外角的性质和平行线的性质是解题的关键． 11．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）要在区域内修建一个集贸市场，使它到三条公路的距离相等，则应建在（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 题目主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：∵在区域内修建一个集贸市场，使它到三条公路的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点 故选：C． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】 解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 13．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）到三角形各边距离相等的点是（        ） A. 三条中线的交点 B. 三角形三条高所在的直线的交点 C. 三条内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】 解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 14．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在和中，，连接交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断① 正确；设交于点，因为，所以，可判断② 正确；作于点于点，由得，则，即可证明平分，可判断④ 正确；假设，则，所以，由，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③ 错误，于是得到问题的答案． 【详解】 解：∵， ， 在和中， ， ， ，故① 正确； 设交于点， ，故② 正确； 作于点于点， ， ，又， ， ∴点在的平分线上， 平分，故④ 正确； 假设，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，与已知条件相矛盾， ，故③ 错误， ∴① ② ④ 这3个结论正确， 故选：C． 15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（     ） A. 13 B. 15 C. 26 D. 30 【答案】B 【分析】 本题主要考查作图-基本作图、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图：过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：如图：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，平分，若，，则的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 在上截取，连接，证明，可得，，，由三角形外角的性质，结合已知可得，可得，可得，作于点，作于点，作于点，由三角形的面积，结合角平分线的性质，可得，即可得的长度． 【详解】 解：在上截取，连接，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 作于点，作于点，作于点， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查角平分线的定义，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在中，，角平分线交边于点D，若，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于点，根据角平分线的性质和面积法进行解题． 【详解】 解：如图，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴．   故选：D ． 18．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】 解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 19．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 【答案】B 【详解】 作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC， ∵DM=DE，AD=AD，AD是△ABC的角平分线， ∴△ADE≌△ADM， ∵DE=DG， ∴DM=DG， ∴MN=GN， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， ∴△DFE≌△DNM， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMD=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5 故选：B． 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积为54，则的长度为（     ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，图形面积的计算，掌握角平分线的性质定理得到是解题的关键． 如图所示，过点作于点，由角平分线的性质得到，则，结合面积的计算得到，代入计算即可求解． 【详解】 解：根据题意作图得到，是的角平分线， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∵的面积为54， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 21．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，，平分，，， A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=DE，再根据S△ABC=S△ABD+S△BCD列式计算即可得解． 【详解】 解：如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90°，BD平分∠ABC， ∴AD=DE=2， ∵AB+BC=8， ∴S△ABC=S△ABD+S△BCD =×8×2 =8． 故选A． 【点睛】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键． 22．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④③ D. ①③④ 【答案】B 【分析】 ① 求出，证明，再利用全等三角形的性质即可判断；② 由可得，再由，证得即可判断；③ 分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，无法得到平分；④ 由平分结合即可判断． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，故① 正确； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故② 正确； 分别过A作，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分，无法证明平分，故③ 错误； ∵平分，， ∴，故④ 正确． 综上，正确的是① ② ④ ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质以及角的计算等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解答本题的关键． 23．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在平面直角坐标系中，小恒进行如下操作①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交x轴，y轴于点A，B；②分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧交于点C．若点C的坐标为，则m的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查作角平分线，角平分线的性质． 根据题意可知，点在的角平分线上，由角平分线的性质可得，从而可得的值． 【详解】 解：由作图过程可知，点在的角平分线上， 由图可知，点在第一象限， 又∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴的值为． 故选：B． 24．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是(     ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理可得. 【详解】若BC=12，BD=8；则DC=4；在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D；则点D到AC和AB的距离相等，所以点D到AB的距离=DC=4 【点睛】理解角平分线的性质定理. 25．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是中的平分线，于点，交于点，，则长是（     ） A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3.5 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要体现在垂线段长度相等，一般可作为某三角形的高来处理三角形的面积问题． 根据角平分线的性质可知，再依据，可求值． 【详解】 解：是中的平分线，于点，交于点， ． ，， ， ， 故选：C． 26．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）到三角形三边的距离相等的点是（       ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 不存在这个点 【答案】C 【分析】 根据所学相关的性质判断即可． 【详解】 因为三角形三条高的交点到三边的距离不相等， 故A不符合题意； 因为三角形三条中线的交点到三边的距离不相等， 故B不符合题意； 因为三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等， 故C符合题意； 因为存在这个点到三边的距离相等， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题考查了角的平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 27．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】 解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 28．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，AB＝5，AC＝11，则CM的长度为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，Rt△PAN≌Rt△PAM，即可得出答案． 【详解】 证明：连接PB，PC， ∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC， ∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°， ∵P在BC的垂直平分线上， ∴PC=PB， 在Rt△PMC和Rt△PNB中 ， ∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL）， ∴BN=CM． 在Rt△PAN后Rt△PAM中， ， ∴Rt△PAN≌Rt△PAM， ∴AM=AN， ∴AB+AC=AM+CM+AN-BN=2AM=16， ∴AM=8，CM=AC-AM=11-8=3， 故选B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 29．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 30．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点，延长，相交于点，则下列说法不正确的是（       ） A.  B. 点到的三个顶点的距离相等 C.  D. 点到的三边所在直线的距离相等 【答案】B 【分析】 根据角平分线的性质定理可判断选项B、D；根据角平分线的定义和平角的定义，可求得，结合四边形的内角和为，可判断选项A；根据三角形外角的性质和三角形内角和定理，可求得，结合和，，可推出，然后由，可知，即可判断选项C． 【详解】 解：A、∵点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、∵点是，角平分线的交点， ∴点到直线和的距离相等，到直线和的距离相等， 即点到的三边所在直线的距离相等，故B选项说法不正确，符合题意； C、∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； D、∵点是两外角，的角平分线的交点， ∴点到直线和的距离相等，到直线和的距离相等， 即点到的三边所在直线的距离相等，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义及其性质定理，三角形内角和定理，四边形的内角和，三角形外角的定义和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 31．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 ① 证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定． 【详解】 解：∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD=CE 故①正确； ∵△BAD≌△CAE ∴∠ABF=∠ACF ∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠BFC=90° 故②正确；    分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE ∴S△BAD=S△CAE, ∴ ∵BD=CE ∴AM=AN ∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD． 故③错误；    ∵平分∠BFE， ∴ 故④正确． 故答案为C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键． 32．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． ① 证明可得，即可判断① ；② 由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理以及等量代换可得，即可判断② ；如图：延长到H，使得，连接．证明可得，，即， 再证明可得，进而判断③ ；由可得，再证明可得，然后根据面积关系可判定④ ；⑤ 由可得，再根据平角的性质可得，进而得到，即，从而判定⑤ ； 通过假设法可判断⑥ ；如图：过 A 作 于 P， 于 Q，由可得、，再利用三角形的面积可得，最后根据角平分线的判定定理可判断⑦ ． 【详解】 解：① ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，故① 正确； 如图：相交于点G，    ∵， ∴， ∵，， ∴，即，故② 正确； 如图：延长到H，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③ 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即④ 正确； ⑤ 设与交于 N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即．故结论⑤ 正确． ⑦ 如图：过 A 作 于 P， 于 Q． ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ，结论⑦正确． ⑥ 假设平分，则． ∵ 平分 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 但这一相等关系不一定成立，结论⑥ 错误． 综上，正确的结论有① ② ③ ④ ⑤ ⑦，共6个． 故选C． 33．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，的外角，的平分线、交于点，于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（       ） ①平分； ②：； ③若，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式、三角形的外角性质等，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和三角形的相关定理进行推理计算. 本题需要逐一分析四个结论，通过角平分线的性质、三角形面积公式、三角形外角与内角的关系以及线段的和差关系来判断每个结论的正确性. 【详解】 结论① ： 过点作于， 平分，根据角平分线的性质，可得， 又平分，根据角平分线的性质，可得， ， 又，根据角平分线的判定定理，可知平分， 故① 正确； 结论② ： 三角形的面积公式为（为底，为高）， 对于和，以为底时，高分别为，由① 知， ，故② 正确； 结论③ ： 平分，平分，平分 ， ，故③ 正确； 结论④ ： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 故④ 正确． 故选：D． 34．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，平分，，D到的距离是 　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，能够正确理解距离的概念是解题的关键． 【详解】 解：作于E，如图， 又，平分， ， 故答案为：3． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，中，，平分，，则的面积是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 36．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，，O为，平分线的交点，于点E，且，则点O到的距离等于　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，根据角平分线的性质证得即可． 【详解】 解：过点作，如图：    、平分， ， ， ， 故答案为：3． 37．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ． 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，中，，平分，，，则点到的距离是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】 解：如图，过点作，故点到的距离即的长， ，平分，， ， 故答案为：． 39．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，是的角平分线，，若的面积为，则的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而根据已知条件可得，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，    ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　　　　　　 ． 【答案】18 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， 过点作于点，如图所示： 由作图过程可知，是的平分线， ∴， ∴的面积为， 故答案为：18． 41．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，，是角平分线，，，则点到的距离是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质差．首先根据，，求出线段的长度，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出点到的距离． 【详解】 解：，， ， 如下图所示，过点作， 则的长度就是点到的距离    平分， ， 点到的距离是． 故答案为： ． 42．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 在 中， ， 平分， ，．则点到的距离为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】 解：如图，过点D作于E， ，平分， ， 即点D到的距离为． 故答案为：． 43．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知在三角形中，，平分交于D，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，过D作于E，由角平分线的性质定理可得，证明得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：过D作于E，如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴ 在中， 设，则， ∵，， ∴ 解得：． ∴． 44．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】 解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 由作图可知，平分， ∵，，即，且， ∴， ∴线段长度的最小值是1， 故答案为：1． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，平分，于E，于F，．若，则　　　　． 【答案】4 【分析】 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】 解：∵BD平分∠ABC，， ∴， ∵， ∴，即，解得． 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键． 46．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． （1）【基础设问】若点为的中点，，，，则是          三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图，连接，若平分，，，，则           ． （3）如图，若，，求证：点在的平分线上． （4）【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】（1）直角     （2）5     （3） 证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上；     （4） ①，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②      【分析】 （1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）① 由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ② 连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； (2) 小问详解： 解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：略 ② 如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】 本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 47．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，． （1）求点和点的坐标？ （2）若，动点在轴上运动，若点到直线的距离与到轴的距离相等，求点的坐标？ （3）在（2）的条件下，将绕点旋转得到，求点的坐标？ 【答案】（1），     （2）或     （3）或或或      【分析】 本题考查平面直角坐标系中三角形的面积，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）设，（），根据可求出k的值，即可解答； （2）分两种情况讨论：① 作的角平分线，交x轴于点P，根据角平分线的性质可得点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求．设，过点P作于点Q，则，根据列出方程，求解即可；② 作的邻补角的角平分线，交x轴于点P，则点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求，设，过点P作于点，同① 思路，根据列出方程，求解即可； （3）根据点P的坐标，分绕点逆时针旋转得到和绕点顺时针旋转得到，根据全等三角形的判定及性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴设，（）， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． (2) 小问详解： 解：分两种情况讨论： ① 作的角平分线，交x轴于点P，则点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求， 设，过点P作于点Q， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ② 作的邻补角的角平分线，交x轴于点P，则点P到直线的距离与到轴的距离相等，即为所求， 设，则， 过点P作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． (3) 小问详解： 解：当点P的坐标为时，， ① 如图，绕点逆时针旋转得到， ∴，， 过点D作轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ② 如图，绕点顺时针旋转得到， 过点D作轴于点N， 由①同理可得， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 当点P的坐标为时，， ① 如图，绕点逆时针旋转得到， ∴，， 过点D作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ② 如图，绕点顺时针旋转得到， 过点D作轴于点， 由①同理可得， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或或或． 48．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积是，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得出的面积是，进而求得的面积是，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． ∵的面积是， ∴的面积， ∴，即 ∴ 故答案为：． 49．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 50．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：____________________________________ 求证：____________________________________ 证明：____________________________________ 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）已知：，，且． 求证：平分． 证明：在和中， ， ∴． ∴， ∴是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （3） 【分析】 本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是银题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得即可由（1）的结论可得出结论 （3）过点E作交延长线于F，作于G作，于H，设，则， 根据，即，求得：，即可由求解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：过点E作交延长线于F，作于G作，于H，如图， 设， 由（1）得：， ∵，，， ∴， 即：，解得：， ∴， ∴． 51．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求；      （2） ，理由如下： ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （）根据角平分线的作法作图即可； （）证明即可得结论； 本题考查了角平分线的作法，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 52．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分． （1）若，则___________． （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查的知识点是角平分线的性质和角平分线定理． ()作，利用角平分线的性质(角平分线上的点到角两边的距离相等)，结合三角形面积公式，得出两个三角形面积比与对应边的比例关系； ()根据等高三角形的面积比等于底边的比，由此可以得到，结合()便可以解答本题． (1) 小问详解： 证明：作，垂足分别为，如图所示 ∵在中，平分， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 设中边上的高为，则，， ∴ 由（1）同理可得， ∴， ∵， ∴. 53．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则　　　　　　　　． 【答案】 度 【分析】 本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 54．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：． 【答案】证明：∵在△AEC中，∠E＝90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF． 【分析】 根据角平分线性质求出DE＝DF，根据HL推出△BED≌△CFD即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出△BED≌△CFD，注意：全等三角形的对应边相等． 55．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是　　　　　　．（填序号） 【答案】① ④ ④ ① 【分析】 题目主要考查角平分线的判定和性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质，作于点H，根据角平分线的判定和性质及三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质依次判断即可，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】 解：如图，作于点H， ∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴平分；故① 正确； ∵，， ∴， 故② 错误； ∵，， ∴ ∴， 故③ 错误； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， 故④ 正确； 故答案为：① ④ ． 56．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，于点E，于点F，若．    （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．     （2）      【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． （1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可； （2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 57．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线BP，交AD于点，过点作于点．若，则AM的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，角平分线尺规作图，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】 解：作图可知平分， 是边上的高，，， 根据角平分线的性质可得，， ， ， ， 即的长为， 故答案为：． 58．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，且 求 的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分．     （3）      【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）中，是角平分线，，，是延长线上一点，，连接，于，若的面积是，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等，关键是式子的转化； 连接，过点作于点，延长交于点，由角平分线的性质可得，再由≌可得，进而得到，，然后由面积可分别求得及的值，最后作差即可. 【详解】 解：连接，过点作于点，延长交于点， ∵是角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵≌， ∴， ∴且， ∵， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知，且，则的度数是（       ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 3．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，，和，和是对应顶点，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图：若，且，则的长为（       ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 5．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，将推倒后变为，其中，，在同一条直线上，若，，则的长不可能为（     ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 13 7．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，，，，则等于（       ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 8．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，已知，且，，则的度数为（  ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，，点在同一条直线上，，则的长为　　　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点 A，B 的坐标分别为，，点在x轴上，且，则点 的坐标为　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）如图，，若，，则的度数为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在中，，四边形为正方形，，，则的度数为　　　　　． 14．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为　　　　　． 15．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，∠C＝30°，∠DAC＝25°，则∠EAC的度数为　　　． 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，可说明，其中判断≌的依据是（       ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 2．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，于点于点D，，，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，下列条件中，不能证明的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（     ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（      ） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 9．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，点D在线段BC上．若，，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在与中，点B，C，D在同一条直线上，，，，，，则（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 12．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. 6或12或18或24 13．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）课本第39页给出了用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则． 证明两个角相等时用到了以下哪种判定方法（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）下列方法中，不能判定三角形全等的是(　　) A. SSA B. SSS C. ASA D. SAS 18．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（ ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，是的中线，过点B作，交的延长线于点F，过点C作，交于点E，若，，则中线的长是（     ） A. 12 B. 7 C. 13 D. 10 20．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，，，，与的交点为，连接，下列结论：①；②：③平分；④平分．其中一定正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 已知，，则图中全等三角形共有（     ） 对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(       ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 23．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（     ） A. 4 B. 3 C. 2或1 D. 4或3 24．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，，，，与相交于点，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点恰好是的中点．若图中阴影部分面积为9，则正方形的面积是（　　） A. 27 B. 36 C. 40 D. 45 28．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 29．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 31．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，、相交于点，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（       ） A. 3cm2 B. 5cm2 C. 6cm2 D. 8cm2 33．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图， ， 则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 35．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 36．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，，，垂足分别是，，、交于点，已知，，，则（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 37．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，点是线段上任意一点（点与点，不重合），分别以、为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，则是等边三角形，以上结论正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，中边上的高为，中边上的高为，已知．下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 39．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，以下五个结论：；；；平分；．正确的有（　　） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点与轴上表示的点重合，点坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（     ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 42．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①； ②；③；④．其中， 正确的结论是（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 43．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）已知：，，与相交于点．求证：． 44．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 在四边形 中， ， ， ， 则 的度数为　　　　　　　　　　 46．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）（多选）如图，AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O． 求证：∠A＝∠D． 47．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，，请你添加一个条件：　　　　　，使（只添一个即可）． 48．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，B是的中点，，请添加一个条件　　　　　　　　 ，使(填一个即可)． 49．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在与中，，，请添加一个条件：　　　　　　　　，使． 50．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）（多选）在中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E， PF⊥BC于点F，求证：DE=DF 51．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且，连接．请判断与之间的关系，并说明理由． 52．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点B，F，E，D，在同一直线上，，，要证明，需要添加一个条件为　　　　　． 53．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， （1）求证：． （2）若，，求． 54．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  55．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，有一平面图形、其中点在同一条直线上，； （1）求证：； （2）若，，求的度数． 56．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． （1）求证：； （2）若，，求的长． 57．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有　　　　　　　　对全等三角形． 58．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）（多选）如图，AD=CB，若利用“边边边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是　　；若利用“边角边”来判定△ABC≌△CDA，则需添加一个直接条件是　　． 59．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，求证：． 60．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图如果点P在射线OC上，，，垂足分别为D，E，，若，　　　　　　． 61．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是　　　　　　． 62．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，．求证：． 63．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，请添加一个条件使与全等的是　　　　　　　　　　． 64．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，分别过A，B两点作l的垂线，，E，F为垂足，． （1）求证： （2）求证：． 65．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是　　　　　　． 66．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　． 67．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为　　　　　． 68．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，已知，要使，只需添加一个条件：　　　　　　（写一个即可）． 69．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是　　　　　　　　　　 70．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，中，，，垂足分别为交于点，请你添加一个适当的条件：　　　　　　　，使． 71．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：，． 72．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，，点、在线段上，，．求证：． 73．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，．求证：． 74．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在和中，于，于，，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 75．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，，于点，交于点．若，，，则　　　　　　． 76．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则　　　　　　cm． 77．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨部分学校·期中）如图，四边形中，，，E为的中点，与相交于点F．    （1）求证：； （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 78．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）三角形的两边长分别是3和7，第三边上的中线长是x，则x的取值范围是　　　　　　　　　． 79．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，已知，，若添加一个条件后，能使，则这个条件是　　　　　　　（写出一个即可）． 80．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，且点B在第二象限，则点B的坐标为　　　　　　　　　． 81．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足 ． （1）求点A、B的坐标； （2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 82．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则　　　　　　　　． 83．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：和都是等腰直角三角形，，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，交于点，交于点，，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形． 84．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图所示，在四边形中，，点E在上，且，．求证：． 85．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 86．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点M，F．    （1）求证：； （2）求证：． 87．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为等腰直角三角形，则点的坐标为　　　　　　　． 88．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图（1），已知中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． （1）试说明：． （2）若直线绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请说明理由； （3）若直线绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变，问与，关系如何？请直接写出结果，不需说明． 89．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为　　　　　　　　　　　　． 90．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是　　　　　． 91．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知线段直线于点B，，，，直线交直线于点． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）（2）的条件下，若，，则的长为_____． 92．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，点E为CD上一点，AE，BE分别平分，．若，，则四边形ABCD的面积是　　　　　　　　． 93．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下面是小城同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务 执“规”“矩”等分已知角《伏羲女娲图》中女娲执规，伏羲执矩，规与矩中间的图案是太阳，象征天地秩序．我是数学爱好者，在我的眼里，“规”是圆规，“矩”是直角工具“ ”，“太阳”是被等分的角．要研究等分角，可以先从研究平分一个已知角开始．怎样借助圆规和直角工具作一个角的平分线呢？ 《伏羲女娲图》局部图 办法1 ①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，射线即为的平分线 办法2 ①两个“矩”如图放置，顶点重合于，一边重合于直线；②以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；③使点在射线上，点在射线上，调整“矩”直至直线经过点．射线即为的平分线 经过测量，上述两种办法得到的与均相等，验证平分成立．要想作为一般性方法，仅验证成立是不行的，还需要推理论证． 任务： （1）请用小城的“办法1”推理说明：平分． （2）请说明小城的“办法2”的合理性． 94．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图分别平分，则下列说法中正确的是　　　　　　　　　　　． ①若，则；②；③；④． 95．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，点，，，在同一条直线上，点，点在直线两侧，若，，请添加一个适当条件　　　　　，使得． 96．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，说明线段PC与PQ相等且垂直的理由； （2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝α”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 97．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 98．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长为　　　　　　　　　． 99．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，边，则中线的取值范围是　　　　　　　　　　． 100．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． （1）初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； （2）大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； （3）拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 101．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相同，当时，与是否全等？请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系． （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 102．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． （1）与相等吗？请说明理由； （2）若的面积为70，，，求的长． 103．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知，，，求 104．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在△ABC中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点.若AB=AC,且CF=7，CE=5，求的长. 105．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，AD是的中线，，垂足为E，，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：； （2）若，求证：． 106．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分，于点G，且平分，于点交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求的长． 107．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，为中的外角平分线，于点，为中点，，，则长为　　　　　． 108．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为　　　　　　　　　　． 109．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）（1）如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，，求证：． （2）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 110．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．    （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 111．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，，，延长至点使， （1）求证：． （2）若，求． 112．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E，在直线m上方有，且满足．    （1）如图①，当时，猜想线段与、之间的数量关系是             ． （2）如图②，当时，问题（1）中结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用：如图③，在中，，，直线m与的延长线交于点F．若，的面积是20，则与的面积之和为             ． 113．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）（多选）如图，AB＝AD ，∠BAD＝∠CAE，AC=AE ，求证：BC=DE 114．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是　　　　　　　． 115．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． （1）判断线段与关系，并说明理由； （2）若，求面积． 116．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．    （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 117．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验： （1）请写出证明过程； 类比应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 118．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是             ； （2）如图2，已知中，平分，且，求证：． 119．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在和中，，，．求证：． 120．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 121．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，和中，，，，连接交于点O，交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 122．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，在中，．按下列要求作图：①以点为圆心，小于的长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交②中的弧于点，作射线交于点．若，则的度数为　　　　　　　　　　　　度． 123．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，，于A，于B，且，Q点从B向D运动，每分钟走，P点从B向A运动，P，Q两点同时出发，P点每分钟走　　　　　　时与全等． 124．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）已知点在线段上，点在线段（点不与点、重合）上，，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若M、N分别是、的中点，过点E作，垂足为点F，过点C作，垂足为点G，在不添加任何辅助线的情况下，写出图2中所有的全等三角形． 125．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图①，，，点在上，且． （1）求证：． （2）如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 126．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．    （1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则 　　　　； （2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是 　　　　　． 127．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，点，点，连接．若，则点的坐标是　　　　　　　　　　　． 128．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在四边形中，点分别在边上，．    （1）若四边形是正方形，如图①，求证：；（提示：延长至点，使，连接．） （2）若在四边形中，，，时，如图②；若在四边形中，，，点分别在的延长线上时，如图③，试探究线段、、有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明； （3）在（1）（2）的条件下，若，则_______________． 129．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，若线段交于点，且为直角三角形，则的长为　　　　　　． 130．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，D为中点，，，于点F，，则的长为　　　　　． 131．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，平分，点在上，交的延长线于点，若恰好平分．求证： （1）； （2）点D为的中点． 132．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（1）已知中，的平分线交于点，如图①，求证：；（提示：在上取一点，使，连接．） （2）当的平分线与的外角平分线交于点与的延长线交于点，如图②；当的外角平分线与的外角平分线所在直线交于点与的延长线交于点与的延长线交于点，如图③，请猜想并直接写出线段有怎样的数量关系； （3）在（1）（2）的条件下，若，则_______． 133．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动　　　　　　　　s时，． 134．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 135．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，，的面积等于24． （1）求点B的坐标； （2）动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，运动时间为秒，过点P作x轴的垂线交直线于点E，连接AE．若的面积为S，请用含t的代数式表示S； （3）在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 136．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）已知在四边形中， ，． （1）如图（1）所示，，E，F分别是边上的点，请写出线段之间的数量关系，并证明． （2）如图（2）所示，，E，F分别是边上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图（3）所示，，E，F分别是边延长线上的点，线段之间的关系是             ．  137．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边BC在轴上，A，C两点的坐标分别为，且，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点的运动时间为秒． （1）点的坐标是_________，点的坐标是________； （2）连接PA，当的面积等于的面积的一半时，求的值； （3）当点在线段BO上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 138．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，在中，，点D在BC上，连接，且平分． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点为上一点，过点作，垂足为点，直线交的延长线于，交于，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，当点为中点时，过点作于点，于点，若，，求的面积（用含、的式子表示）． 139．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知，如图，中，，，E是延长线上一点，连接，，，连接与的延长线交于点，，则　　　　　． 140．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且． （1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______； （2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，用含的式子表示（不要求写出的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，且，在轴负半轴上有一点，过点作轴垂线，与射线交于点，若，连接，交于点，求点的坐标． 141．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨虹桥初级中学校·期中）已知，于，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为上一点，过点作的平行线交于点，在上取点，连接并延长交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，作于，交于点，若，的面积为，求长度． 142．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为，． （1）如图1，求点的坐标； （2）点D为上一点，点C为x轴上点B右侧一点，连接，若，长为m，的面积为，用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，延长交于点F，过点D作与过点O作的平行线交于点M，于点E，若，求的面积． 143．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）已知：等边中，点D在上，点E在的延长线上，连、，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，取中点F，连接、，过点F作，垂足为H，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点K，连接并延长至点N，使，延长至点M，连接MN，当，，时，求的长． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）如图，以点为圆心，为半径画弧分别交、于点、，再以为半径（），以点、为圆心作弧相交于点B．以下说法错误的是（       ） A.  B.  C. 点B到与距离相等 D.  4．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则点到的距离是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，射线是的平分线，是射线上一点，于点，．若是射线上一点，则的最小值为（　　） A. 7 B.  C. 8 D. 9 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，P为上一动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）要在区域内修建一个集贸市场，使它到三条公路的距离相等，则应建在（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边垂直平分线的交点 12．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（        ） A.  三条中线的交点处 B.  三条角平分线的交点处 C.  三条高所在直线的交点处 D.  三边的垂直平分线的交点处 13．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）到三角形各边距离相等的点是（        ） A. 三条中线的交点 B. 三角形三条高所在的直线的交点 C. 三条内角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 14．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在和中，，连接交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交，于点D，E，再分别以点为圆心．大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为（     ） A. 13 B. 15 C. 26 D. 30 16．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，在中，，平分，若，，则的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中）如图，在中，，角平分线交边于点D，若，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 19．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 20．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积为54，则的长度为（     ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 21．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图，在中，，平分，，， A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 22．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②④③ D. ①③④ 23．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在平面直角坐标系中，小恒进行如下操作①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交x轴，y轴于点A，B；②分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧交于点C．若点C的坐标为，则m的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是(     ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 25．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是中的平分线，于点，交于点，，则长是（     ） A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3.5 26．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）到三角形三边的距离相等的点是（       ） A. 三角形三条高的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 不存在这个点 27．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM⊥AC，PN⊥AB，垂足分别为M、N，AB＝5，AC＝11，则CM的长度为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 29．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，点是，角平分线的交点，点是两外角，的角平分线的交点，延长，相交于点，则下列说法不正确的是（       ） A.  B. 点到的三个顶点的距离相等 C.  D. 点到的三边所在直线的距离相等 31．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 32．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 33．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，的外角，的平分线、交于点，于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（       ） ①平分； ②：； ③若，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 34．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，平分，，D到的距离是 　　　　　． 35．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，中，，平分，，则的面积是　　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，，O为，平分线的交点，于点E，且，则点O到的距离等于　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； 38．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨光华中学·期中）如图，中，，平分，，，则点到的距离是　　　　　　． 39．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，是的角平分线，，若的面积为，则的面积是　　　　　　． 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　　　　　　 ． 41．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，在中，，是角平分线，，，则点到的距离是　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如图， 在 中， ， 平分， ，．则点到的距离为　　　　　　　　　　 43．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知在三角形中，，平分交于D，，，求的长． 44．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是　　　　　　． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，平分，于E，于F，．若，则　　　　． 46．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． （1）【基础设问】若点为的中点，，，，则是          三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图，连接，若平分，，，，则           ． （3）如图，若，，求证：点在的平分线上． （4）【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 47．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知，． （1）求点和点的坐标？ （2）若，动点在轴上运动，若点到直线的距离与到轴的距离相等，求点的坐标？ （3）在（2）的条件下，将绕点旋转得到，求点的坐标？ 48．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积是，则　　　　　． 49．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 50．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：____________________________________ 求证：____________________________________ 证明：____________________________________ 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积． 51．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 52．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分． （1）若，则___________． （2）若，求的长． 53．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，AD平分，于点F，，求证：． 55．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是　　　　　　．（填序号） 56．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）如图，于点E，于点F，若．    （1）求证：平分； （2）已知，，求的长． 57．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线BP，交AD于点，过点作于点．若，则AM的长为　　　　　． 58．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，且 求 的面积． 59．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）中，是角平分线，，，是延长线上一点，，连接，于，若的面积是，则　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $