精品解析：黑龙江省牡丹江市初中课改联盟第四子联盟2025-2026学年第一学期八年级期中数学试卷

牡丹江市初中课改联盟第四子联盟 2025-2026学年度第一学期八年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定．根据全等三角形的判定及直角三角形全等的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； D、两锐角相等和直角对应相等，没有边相等，不能证明两直角三角形全等，该选项符合题意． 故选：D． 3. 古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键，根据三角形高的定义判断，即可得到答案． 【详解】解：∵中边上的高，是过点并垂直的线段， ∴为边上的高， 故选：C． 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D， ∴AE＝BE， ∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19， ∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6. 在中，，，作图痕迹如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 8. 如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（ ） A. 2∠E＋∠D＝320° B. 2∠E＋∠D＝340° C. 2∠E＋∠D＝300° D. 2∠E＋∠D＝360° 【答案】C 【解析】 【分析】设，，根据三角形内角和定理分别表示出∠D、∠E，计算即可． 【详解】解：设，，则，， ，， ，， ，， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 9. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案：． 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在第三象限，则m的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了关于x轴对称点的性质，以及一元一次不等式组的解法．先利用关于x轴对称点的性质求出点关于x轴对称的点的坐标，再列一元一次不等式组求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， ∵在第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为______cm． 【答案】2.5#### 【解析】 【分析】过C作的延长线于点F，由条件可证，由全等三角形的性质得，，，再由条件，可证明，由全等三角形的性质可得，等量替换即可算出答案． 【详解】 如图所示，过C作的延长线于点F， 平分， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． 12. 如图，在中，，是边上的动点，连接，若为直角三角形，则的度数为_______． 【答案】55°或20° 【解析】 【分析】先求解 再分两种情况讨论：当 或当 从而可得答案． 【详解】解： ， 为直角三角形， 当 当 故答案为：或 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，在中，是的平分线，，垂足为E，若的面积为6，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，证明，由全等三角形的性质得出则，可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图： ∵平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，的角平分线交于点，若，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，角平分线的定义，根据题意，如图所示，延长交于点，设交于点，根据角平分线的定义可得，根据三角形的内角和，外角和的性质可得，，然后①②得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，设交于点， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴①②得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 16. 如图，在等腰与等腰，，，，连接和相交于点P，交于点M，交与点N．下列结论：①；②；③平分；④若，则；其中正确的是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE；由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α；由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解． 【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=α， ∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴BD=CE，故①符合题意； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=α， ∴∠ABC+∠ACB=180°-α， ∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP， ∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意； 如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE， ∵△BAD≌△CAE， ∴S△BAD=S△CAE， ∴BD×AH=CE×AF，且BD=CE， ∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE， ∴AP平分∠BPE，故③符合题意； 如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD， ∴△AOE≌△APD（SAS） ∴AP=AO， ∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE， ∴∠APO=60°，且AP=AO， ∴△APO是等边三角形， ∴AP=PO， ∵PE=PO+OE， ∴PE=AP+PD，故④符合题意． 故答案为：①②④． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键． 三、解答题（满分72分） 17. 如图，的顶点都在格点上，其中，，． （1）画出关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； （2）请直接写出点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）图见解析，，， （2）点关于直线的对称点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，点的坐标，熟练掌握轴对称的性质和作图是解题的关键． （1）根据关于轴对称的性质，确定对应的坐标，后连点构造图形，再写出点，，的坐标即可； （2）根据关于轴对称的性质，确定对应的坐标，根据图形写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示， 点，，的坐标分别为：，，； 【小问2详解】 解：点关于直线的对称点如图所示， ∴． ∴点关于直线的对称点的坐标为． 18. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【答案】（1）∠BAC=85°； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论． 【小问1详解】 解：∵∠B=35°，∠E=25°， ∴∠ECD=∠B+∠E=60°． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD=60°， ∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°； 【小问2详解】 证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACE． ∵∠BAC=∠E+∠ACE， ∴∠BAC=∠E+∠ECD， ∵∠ECD=∠B+∠E， ∴∠BAC=∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC=∠B+2∠E． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 19. 已知三边长分别为a，b，c． （1）化简式子 ； （2）若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】（1） （2），，的值分别为13，13，7 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值分别为13，13，7． 20. 如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明是解题的关键． （1）根据高的定义得到， 进而得到， 由此证明即可证明； （2）由全等三角形的性质得到， 再由三角形内角和定理得到，即可得到， 即． 【小问1详解】 证明： ∵、分别是、两条边上的高， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的高， 即， ∴， ∴， ∴， 即． 21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于点，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （）证明，得到，根据题意列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：过点作于点，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 22. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． （1）若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； （2）若如图2所示，点D在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等、对应角相等的关系，再结合三角形内角和、外角性质或平角定义推导角的数量关系． （1）由折叠的性质可得，则，再由三角形外角的性质可得； （2）先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，进而得到； （3）由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由平角的定义求出，即可推出． 小问1详解】 解： 由折叠的性质可得， ， ， ，即； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：， ， 由折叠的性质可得， ， ， ； 【小问3详解】 解： 由折叠的性质可得 ， ， ， ， ， ． 23. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．请直接写出，与的数量关系： ； （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； （3）如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，由（1）结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，由（1）结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，过作于，过作于， 由（1）得：， ， 同理得：， ∴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； 【小问3详解】 解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由（1）得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为． 24. 直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线，相交于点D，E． （1）如图（1），当直线与垂直时，请直接写出，与的关系 （2）如图（2），当直线与不垂直且点D，E在同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 （3）当直线与不垂直且点D，E在异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请画出图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析； （3）不成立，或 【解析】 【分析】（1）证明，得，同理可得，即可得到； （2）在上截取，连接，利用三角形全等的判定定理可判断出，即可求得； （3）画出直线与直线不垂直且交点D，E在的异侧时的图形，分两种情况讨论：①当点D在射线上，点E在射线的反向延长线上时；②点D在射线的反向延长线上，点E在射线上时；得出，，之间的关系． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点F． 平分，平分， ，． ，， ，， ， ． ， ． 在与中，， ， ． 同理可得． ， ； 【小问2详解】 解：成立． 证明：如图，在上截取，连接． 平分， ． 在与中，， ， ． ∵， ． 平分， ， 又， ， ，即． ， ， ． 在与中，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：不成立． 当点D在射线上，点E在射线的反向延长线上时，如图（3），； 延长交于F， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在射线反向延长线上，点E在射线上时，如图，， ∵和分别为和的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： （1） ， ； （2）如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； （3）若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【答案】（1）9，12 （2）点Q的运动速度为或； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程． （1）利用非负数的性质求解即可； （2）由题意得，，分两种情况讨论，①，；②，，分别列式计算即可求解； （3）由题意得，，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：9，12； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 设运动时间为，动点Q速度为， 由题意得，， 要使与全等，且， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 【小问3详解】 解：设运动时间为，动点Q速度为， 以，P，Q为顶点的三角形与全等，此时点P在上， 由题意得，， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市初中课改联盟第四子联盟 2025-2026学年度第一学期八年级期中考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列判定直角三角形全等方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 3. 古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，中边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 6. 在中，，，作图痕迹如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（ ） A. 2∠E＋∠D＝320° B. 2∠E＋∠D＝340° C. 2∠E＋∠D＝300° D. 2∠E＋∠D＝360° 二、填空题（每小题3分，满分24分） 9. 如图所示，，，，，，则________． 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在第三象限，则m的取值范围是__________． 11. 如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为______cm． 12. 如图，在中，，是边上的动点，连接，若为直角三角形，则的度数为_______． 13. 如图，在中，是的平分线，，垂足为E，若的面积为6，则的面积为________． 14. 如图，的角平分线交于点，若，则的度数为_________． 15. 如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______． 16. 如图，在等腰与等腰，，，，连接和相交于点P，交于点M，交与点N．下列结论：①；②；③平分；④若，则；其中正确的是_________． 三、解答题（满分72分） 17. 如图，的顶点都在格点上，其中，，． （1）画出关于轴对称图形并写出点，，的坐标； （2）请直接写出点关于直线的对称点的坐标． 18. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 19. 已知的三边长分别为a，b，c． （1）化简式子 ； （2）若，，．当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 20. 如图，在中，，分别是，边上的高，在上截取，延长至点使，连接，． （1）求证：． （2）求的度数． 21. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 22. 数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线MN折叠，点C的对应点为点D． （1）若如图1所示，点D恰好在边上，则与的数量关系是_______； （2）若如图2所示，点D在内部，，求的度数； （3）若如图3所示，点D在外部，求出，和之间的数量关系． 23. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．请直接写出，与的数量关系： ； （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； （3）如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，，直接写出的值． 24. 直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线，相交于点D，E． （1）如图（1），当直线与垂直时，请直接写出，与的关系 （2）如图（2），当直线与不垂直且点D，E在同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由 （3）当直线与不垂直且点D，E在异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请画出图形并直接写出，，之间的数量关系． 25. 在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： （1） ， ； （2）如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； （3）若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $