专题01 三角形（期中真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期

专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，以D为顶点的三角形的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（       ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 4．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）一个三角形的三个内角度数之比为7:7:14，这个三角形不是（   ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 5．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）已知的三边长，，满足，判断的形状？ 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（        ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 2．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）被称为“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，据了解，大桥横跨被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷，全长2890米，主桥跨径1420米，桥面到水面高度625米，大桥仍为双塔双索面斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（     ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形任意两边之和大于第三边 3．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能摆成一个三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 4，5，10 C. 3，4，5 D. 2，4，8 4．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）下列图形中，具有稳定性的是（       ） A. 三角形 B. 梯形 C. 正方形 D. 平行四边形 5．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 3，4，7 C. 4，4，8 D. 4，6，10 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　） A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 1，3，4 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 3，6，9 8．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）下列三条线段，能组成三角形的是 （       ） A. 1，2，3 B. 1，4，2 C. 2，3，4 D. 6，2，3 10．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A.  太阳能热水器 B.  活动衣架 C.  三脚架 D.  篮球架 11．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（     ） A. 5，，6 B. 6，9， C. ，5，4 D. 3，4，8 12．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 13．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）下列长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（       ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 16．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（       ） A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，13，6 D. 5，12，13 17．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm 18．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 19．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（       ） A. 17 B. 13 C. 17或22 D. 22 20．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（       ） A. 15 B. 12 C. 12或15 D. 9 21．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 22．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，工人师傅做了一个长方形窗框，E，F，G，H分别是四条边的中点，为了保证在施工过程中窗框不变形，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（     ） A. B，F之间 B. A，C之间 C. G，H之间 D. F，H之间 23．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）以下列线段 的长为边，能构成直角三角形的是 （       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A. 或 B.  C. 或 D.  25．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）以下列各组线段为边不能组成三角形的是（       ） A. 3，4，4 B. 2，6，8 C. 2，2，2 D. 6，8，10 26．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（       ） A. 4，4，9 B. 2，3，5 C. 5，7，9 D. 1，3，7 27．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（       ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 28．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车三脚架 C. 升降平台 D. 旧木门钉木条 29．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 3，5，9 B. 4，6，12 C. 2，2，4 D. 5，6，8 30．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20 31．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是 A. 19cm B. 23cm C. 19cm或23cm D. 18cm 32．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（     ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 33．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（     ） A. 2a B.  C.  D. -2b 34．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（       ） A.  B. 或 C.  D.  35．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有　　　　　　　　. 36．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有　　　　　　　　的原理． 38．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）自行车中间的支架设计为三角形是因为三角形具有　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是 　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在平面直角坐标系中已知，，． （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 41．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）若三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的取值范围是　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）已知等腰三角形的两边长分别为6和9，则它的周长为　　　　　． 43．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）等腰三角形的周长为20 cm，一边长为8 cm，则底边长为　　　　　　　　　cm． 44．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）两边长分别为和的等腰三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）若一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长为　　　　　　． 47．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知三边长分别为，则　　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知是的三边长． （1）若满足，，试判断的形状； （2）化简： 49．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边，则化简的值是　　　　　　． 50．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为　　　　　． 51．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　　cm． 53．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，有一圆柱，其高为，底面半径为，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为　　　　　　．（π取3） 54．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 55．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为　　． 56．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）若中，，且三角形的周长为，那么底边的取值范围是　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为　　　． 58．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）若实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是　　　　　　． 59．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　　　　　　． 60．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米． （1）求花坛各边的长度； （2）若在花坛三边等距离安装路灯（顶点处也安装），每两盏灯间距不超过2米，至少需要多少盏灯？ 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）三角形的重心是指（   ） A. 三个内角平分线的交点 B. 三边上的高的交点 C. 三条中线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 5．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（       ） A. 11 B.  C.  D. 8 6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A. 是的平分线 B. 是边上的高 C. 是边上的中线 D. 是边上的中垂线 7．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）画中边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列各图中，作边上的高，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（     ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 11．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　） A. 直角三角形只有一条高 B. 锐角三角形有三条高 C. 任意三角形都有三条高 D. 钝角三角形有两条高在三角形的外部 13．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（        ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为(　　) A. 1.2 B. 2.4 C. 3.6 D. 4.8 15．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）下面说法正确的个数有（       ） ①三角形的外角大于任何一个内角；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部那么这个三角形一定是钝角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，点，，，分别为，，的中点，且的面积为20，则的面积为　　　　　． 17．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则　　　　　　　 18．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为　　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的值最小时，点的坐标为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16．设的面积为m，的面积为n，则　　　　　　． 22．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，已知分别是的高和中线，，求： （1）的面积； （2）的长 23．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在中，，，边上的高为12，则的周长为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为　　　　　． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）若等腰三角形的底角为，则它的顶角为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）在中，，则是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（        ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（       ） A. 锐角三角 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 这样的三角形不存在 9．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是射线上一定点，是射线上一动点，和的平分线，交于点，则的度数为（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 11．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列四个条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）在中，下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有       （       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（       ） A.  B. 110° C. 80° D.  16．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，D，E分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则的度数是（       ）． A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（        ）． A. 80° B. 90° C. 120° D. 140° 20．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在中，，则　　　　　　　　　　 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，是边上的高，则　　　　　 ． 22．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在中，，平分．若，，求的度数； 23．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，分别是的高和角平分线，，，　　　　　． 24．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，　　　　　°． 25．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，的和的角平分线和相交于点O，，则　　　　度． 28．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）点是所在平面内一点，满足，点是，的角平分线的交点，若，则的度数为　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为　　　　　　　　　　 30．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中∠A=60，∠F=45），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为        . 31．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）将一副三角尺按如图的方式拼摆，的度数为　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）已知：分别是的高，角平分线，，则的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　度. 33．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． （2）如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 34．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，点B在点A南偏西的方向，点C在点A南偏东的方向，点C在点B北偏东的方向，则的度数是　　　　　． 35．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，　　　　　　． 36．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，，平分，，，求的度数． 37．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为　　　　　． 38．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图， 在 中， ，是边上的高，是的平分线， 于，求 的度数． 39．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数． 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，为内的一点，且，其中平分平分、平分，平分，平分平分、、…、以此类推，　　　　　　　　 41．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即，，．若已知，，那么∠3的度数为　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图,在△ABC中,∠A=,∠B=，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数. 43．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 　　　　　　　　 ． 44．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）探究与发现： （1）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图①，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； （2）探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图②，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系； （3）探究三：若将改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图③，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）中平分，平分，，，则　　　　　°． 46．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图， 中，，， 是 的平分线，于，则 　　　　　　． 47．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）五边形的内角和为　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为　　　　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）在四边形中，O在其内部，满足，． （1）如图1，当时，如果，直接写出的度数______； （2）当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）在下列四个图形中，一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的度数是（     ） A.  B.  C.  D. 不确定 5．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）在三边分别为下列长度的三角形中，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，， B. ，， C. 6，7，8 D. 2，3，4 6．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，点E在AC上，则的度数是（       ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 7．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列长度的三条线段中，不能构成直角三角形的是（       ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 3，4，5 D.  8．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（       ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 9．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，，，那么的度数为（　　） A. 100° B. 132° C. 142° D. 154° 10．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的度数为（       ） A. 180° B. 240° C. 270° D. 360° 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，外角，，则的度数是 　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，直线分别交的边、于点D、E，交的延长线于点F，若，，，求的度数． 13．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长均为1． （1）在图1中，以为边画一个，使得，并直接写出的面积． （2）在图2中，画一个，使得． （3）在图3中，画一个，使得，并计算的面积． 14．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米，则吊车起重臂的顶端到地面的距离　　　　　　　　　　　米． 15．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应　　　　　　　（填“增加”或“减少”） 16．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，将一副三角板如图放置，使点A落在上，与交于点，若，则的度数是　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转所得到的； （3）直接写出点B到线段的距离________． 18．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，四边形中，，已知，，求四边形的面积． 19．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 21．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图1，平分，平分，且、交于点． （1）求证：； （2）如图2，若、是两外角的平分线且交于点，则与的关系是_____． （3）如图3，若、是和的平分线且交于点，则与的关系是_____． 22．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝40°，∠EDG＝50°，则∠AED＝　 　°； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED，∠EAF，∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数． 23．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，中，平分，若，， 　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是　　　　　　　度． 25．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，以D为顶点的三角形的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形，熟练掌握三角形的概念是解答本题的关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】 解：以为顶点的三角形有，，，共4个三角形， 故选：B． 2．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】 解：由全等三角形的性质得：是边和的夹角， ． 故选：D． 3．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（       ）秒 A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】D 【分析】 设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 设运动的时间为x秒， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x， 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4 故选：D． 【点睛】 此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 4．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）一个三角形的三个内角度数之比为7:7:14，这个三角形不是（   ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【分析】 一个三角形的内角和180°，把180°按照7：7：14进行分配，先求出三个内角度数的总份数，再分别求得这三个角占总度数的几分之几，根据分数乘法的意义求出各个角的度数，再根据度数进行判断这个三角形的形状． 【详解】 总份数：7+7+14=28（份）， 180 =45（度）， 180 =45（度）， 180 =90（度）， 最大的角是90度，是直角，所以这个三角形是直角三角形；又因为两个锐角相等，所以这个三角形又是等腰三角形，因此这个三角形就是等腰直角三角形，不是锐角三角形． 故选：A． 【点睛】 本题属于比的应用按比例分配，关键是先弄清要分配的总量是多少，再看此总量是按照什么比例进行分配的，再进一步按照比例分配的方法求出每一个量；由此求出每个角的度数，进而判断三角形的形状． 5．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）已知的三边长，，满足，判断的形状？ 【答案】为等腰三角形或直角三角形 【分析】 本题考查等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理． 由已知可得或，根据等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】 解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长是10，底边长是1 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，已知给出的15和6两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论． 【详解】 解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成15和6两部分， 有两种情况： ① 当，且时， 解得， 三边长分别为 ② 当且时， 解得，此时腰长为4， 三角形任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在． 腰长是10，底边长是1． 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（        ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【详解】 解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性． 2．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）被称为“横竖”都是世界第一的贵州花江峡谷大桥于2025年9月28日正式建成通车，据了解，大桥横跨被誉为“地球裂缝”的花江大峡谷，全长2890米，主桥跨径1420米，桥面到水面高度625米，大桥仍为双塔双索面斜拉桥，如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（     ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】 本题考查三角形稳定性，解题的关键是掌握要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】 解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故选A． 3．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能摆成一个三角形的是（       ） A. 1，2，3 B. 4，5，10 C. 3，4，5 D. 2，4，8 【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只需验证每个选项中较短两边之和是否大于最长边即可． 【详解】 解：A、，不能摆成一个三角形，选项错误； B、，不能摆成一个三角形，选项错误； C、，能摆成一个三角形，选项正确； D、，不能摆成一个三角形，选项错误； 故选：C． 4．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）下列图形中，具有稳定性的是（       ） A. 三角形 B. 梯形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的性质，三角形具有稳定性，而四边形（如梯形、正方形、平行四边形）具有不稳定性，即可求解． 【详解】 解：∵ 三角形三边长度固定后，形状和大小唯一确定， ∴ 三角形具有稳定性． 故选：A． 5．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 3，4，7 C. 4，4，8 D. 4，6，10 【答案】A 【分析】 本题考查了构成三角形的条件，利用“三角形任意两边之和大于第三边”逐项判断，即可求解． 【详解】 解：A.因为，，，所以此三条线段能组成三角形，故符合题意； B.因为，所以此三条线段不能组成三角形，故不符合题意； C.因为，所以此三条线段不能组成三角形，故不符合题意； D.因为，所以此三条线段不能组成三角形，故不符合题意； 故选：A． 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　） A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形的稳定性． 由三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】 解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性， 故选：A． 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 1，3，4 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 3，6，9 【答案】C 【分析】 本题考查构成三角形的条件，解题的关键是计算两条较短线段之和是否大于第三条线段． 根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各组线段是否能组成三角形． 【详解】 A．∵，∴不能组成三角形； B．∵，∴不能组成三角形； C．∵，∴能组成三角形； D．∵，∴不能组成三角形． 故选：C． 8．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.若两条较短边的和小于或等于最长边，则不能构成三角形，据此分析即可. 【详解】A、，不满足三角形的三边关系，不符题意 B、，不满足三角形的三边关系，不符题意 C、，满足三角形的三边关系，符合题意 D、，不满足三角形的三边关系，不符题意 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三角形的三边关系是解题关键. 9．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）下列三条线段，能组成三角形的是 （       ） A. 1，2，3 B. 1，4，2 C. 2，3，4 D. 6，2，3 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．对各选项逐一验证即可． 【详解】 判断三条线段能否组成三角形，需满足任意两边之和大于第三边． 选项A：1，2，3．最长为3，，不满足两边之和大于第三边，排除． 选项B：1，4，2．最长为4，，不满足条件，排除． 选项C：2，3，4．最长为4，，满足条件，可组成三角形． 选项D：6，2，3．最长为6，，不满足条件，排除． 综上，只有选项C符合三角形三边关系． 故选：C． 10．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列生活实物中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A.  太阳能热水器 B.  活动衣架 C.  三脚架 D.  篮球架 【答案】B 【分析】 根据三角形的稳定性，逐一进行判断即可． 【详解】 A、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； B、活动衣架是四边形，不具有三角形的稳定性，符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、篮球架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 11．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（     ） A. 5，，6 B. 6，9， C. ，5，4 D. 3，4，8 【答案】B 【分析】 本题考查三角形的三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，通过计算各组线段中最小两边之和是否大于最大边，即可判断能否组成三角形． 【详解】 解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：Ｂ． 12．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】 解：A、∵， ∴长为，，的三根小木棒不能摆成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为，，的三根小木棒不能摆成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为，，的三根小木棒能摆成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为，，的三根小木棒不能摆成三角形，不符合题意； 故选：C． 13．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）下列长度的线段中，不能组成三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 此题主要考查了三角形的三边关系，正确把握定义是解题关键．根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】 解：A、，故不能组成三角形，该选项符合题意； B、，能组成三角形，该选项不符合题意； C、，能组成三角形，该选项不符合题意； D、，能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 14．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（       ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 【答案】C 【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边进行分析即可． 【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形，故此选项错误； B、8+7=15，不能组成三角形，故此选项错误； C、13+12＞20，能组成三角形，故此选项正确； D、5+5=10＜11，不能组成三角形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 15．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】 解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 16．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（       ） A. 2，3，4 B. 5，7，7 C. 5，13，6 D. 5，12，13 【答案】C 【分析】 本题考查三角形三边关系的应用，判断时只需验证两条较短边的和是否大于最长边即可． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边．对于每组数，只需检查两条较短边的和是否大于最长边． 【详解】 解：对于选项A：∵，∴能组成三角形； 对于选项B：∵，∴能组成三角形； 对于选项C：∵，∴不能组成三角形； 对于选项D：∵，∴能组成三角形． 故选：C． 17．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3cm，5cm，7cm B. 3cm，3cm，7cm C. 4cm，4cm，8cm D. 4cm，5cm，9cm 【答案】A 【分析】 直接利用三角形三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】 解：A．3+5＝8＞7，能组成三角形，符合题意； B．3+3＜7，不能组成三角形，不符合题意； C．4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意； D．4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 18．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 【答案】C 【分析】 根据三角形的三边关系解答． 【详解】 解：A、由1+2<4，故该三条线段不能组成三角形； B、由4+5=9，故该三条线段不能组成三角形； C、由4+6>8，故该三条线段能组成三角形； D、由5+5<11，故该三条线段不能组成三角形； 故选：C． 【点睛】 此题考查了三角形的三边关系：三角形中任意一条边都小于另两边的和，大于另两边的差，熟记三边关系是解题的关键． 19．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（       ） A. 17 B. 13 C. 17或22 D. 22 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需分类讨论，并验证是否满足三边关系． 等腰三角形的两边长分别为4和9，需分两种情况讨论：当腰为4底为9时，当腰为9底为4时． 根据三角形三边关系，只有腰为9时能构成三角形，周长为22． 【详解】 解：当腰为4底为9时，三边为4，4，9． ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形． 当腰为9底为4时． ∵，， 满足三角形三边关系， ∴ 能构成三角形，周长． ∴ 这个等腰三角形的周长为22． 故选D． 20．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（       ） A. 15 B. 12 C. 12或15 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：若3为腰长，6为底边长， 由于，则三角形不存在； 若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：A 21．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键． 根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】 解：A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，能组成三角形，故B选项符合题意； C、，不能组成三角形，故C选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 22．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，工人师傅做了一个长方形窗框，E，F，G，H分别是四条边的中点，为了保证在施工过程中窗框不变形，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（     ） A. B，F之间 B. A，C之间 C. G，H之间 D. F，H之间 【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形稳定性的实际应用，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可利用三角形的稳定性逐项判断是否组成三角形即可解答． 【详解】 解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在F、H两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在F、H两点之间． 故选：D． 23．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）以下列线段 的长为边，能构成直角三角形的是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可进行逐一判断即可．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】 解：A、因为，所以这样的三条边不能构成三角形，更不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、因为，故能构成直角三角形，故B符合题意； C、因为，故不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、因为，故不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 24．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】已知给出了其中一边长为3cm，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm， 底边为13-2×3=7cm， ∵3+3＜7， ∴边长分别为3，3，7不能构成三角形； （2）当底边长为3cm时，腰的长=（13-3）÷2=5cm， ∵0＜3＜5+5=10， ∴边长为3，5，5，能构成三角形， 则该等腰三角形的一腰长是5cm． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 25．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）以下列各组线段为边不能组成三角形的是（       ） A. 3，4，4 B. 2，6，8 C. 2，2，2 D. 6，8，10 【答案】B 【分析】 根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可得到答案．本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】 解：A、，能摆成三角形，不符合题意； B、，不能摆成三角形，符合题意； C、，能摆成三角形，不符合题意； D、，能摆成三角形，不符合题意． 故选：B． 26．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（       ） A. 4，4，9 B. 2，3，5 C. 5，7，9 D. 1，3，7 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，即可求解． 【详解】 解：A．，故这三条线段不能构成三角形； B．，故这三条线段不能构成三角形； C．，故这三条线段能构成三角形； D．，故这三条线段不能构成三角形； 故选：C． 27．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（       ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【分析】 根据勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】 设水池里的水深为x尺，由题意得： 解得：x=12 故选：C. 【点睛】 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键. 28．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车三脚架 C. 升降平台 D. 旧木门钉木条 【答案】C 【分析】 本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】 解：由图可知，A，B，D都应用了三角形的稳定性，C应用了四边形的不稳定性， 故选C． 29．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 3，5，9 B. 4，6，12 C. 2，2，4 D. 5，6，8 【答案】D 【分析】 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】 解：A、∵， ∴不能组成三角形，故选项不符合题意； B、∵， ∴不能组成三角形，故选项不符合题意； C、∵， ∴不能组成三角形，故选项不符合题意； D、∵， ∴能组成三角形，故选项符合题意； 故选：D． 30．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16或20 【答案】C 【分析】 本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】 解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故 ，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 31．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm,则该三角形的周长是 A. 19cm B. 23cm C. 19cm或23cm D. 18cm 【答案】C 【分析】根据周长的计算公式计算即可.（三角形的周长等于三边之和.） 【详解】根据三角形的周长公式可得：C=5+5+9=19或C=9+9+5=23. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于本题没有说明那个长是等腰三角形的腰，因此要分类讨论. 32．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）若三角形的两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长可能是（     ） A. 7 B. 4 C. 13 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】 解：设这个三角形第三边的长为， ∵这个三角形的两边长分别为4和9， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 33．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（     ） A. 2a B.  C.  D. -2b 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】 解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 34．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）等腰三角形周长是，其中一边长是，则等腰三角形的底边长是（       ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】 解：当为底边时：两腰之和为， ∴每条腰长为， 此时三边为，满足三角形三边关系，成立； 当为腰时：底边长， 此时三边为，不满足三角形三边关系，不成立； 综上可知：底边长为， 故选：． 35．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）木工师傅在做好门框后，为了防止变形，常常按如图所示的方法钉上两根斜拉的木板条，其数学依据是三角形具有　　　　　　　　. 【答案】稳定性 【分析】 三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】 结合图形，为了防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做是根据了三角形具有稳定性的数学道理． 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性在生活中的实际应用的问题，同时我们还要记得四边形具有不稳定性． 36．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知一个等腰三角形两边分别为10和5，则第三边长是　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 根据等腰三角形的定义，分情况讨论，再利用两边之和大于第三边即可求解． 【详解】 解：① 当腰长为5时，则等腰三角形的三边分别为5，5，10， ， 不能构成三角形，故舍去． ② 当腰长为10时，则等腰三角形的三边分别为5，10，10， ， 能构成三角形． 第三边长为：10． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，即两边相等的三角形是等腰三角形，解题的关键在于熟练掌握两边之和大于第三边． 37．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有　　　　　　　　的原理． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查三角形稳定性的实际应用．在窗框上斜钉上一根木条，构成三角形故可用三角形的稳定性解释． 【详解】 解：盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 38．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）自行车中间的支架设计为三角形是因为三角形具有　　　　　　　　． 【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据题意及三角形具有稳定性可得答案． 【详解】 解：自行车中间的支架设计采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 39．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是 　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案． 【解答】 解：根据三角形的三边关系可得：，即， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在平面直角坐标系中已知，，． （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】（1）3     （2）18     （3）或      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：点的坐标为， 点到轴的距离； (2) 小问详解： 解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； (3) 小问详解： 解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 41．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）若三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理是解题关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】 解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 42．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）已知等腰三角形的两边长分别为6和9，则它的周长为　　　　　． 【答案】21或24 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握分情况讨论并结合三边关系判断能否构成三角形是解题的关键． 分腰长为和腰长为两种情况，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】 解：当腰长为时，三边为、、， ∵ ，满足三边关系， ∴ 周长为， 当腰长为时，三边为、、， ∵ ，满足三边关系， ∴ 周长为， 故答案为：或． 43．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）等腰三角形的周长为20 cm，一边长为8 cm，则底边长为　　　　　　　　　cm． 【答案】4或8 【分析】 由于长为8cm的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】 解：由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为8cm时，则另一腰也为8cm， 底边为202×8=4cm， ∵0＜4＜8+8， ∴边长分别为8cm，8cm，4cm，能构成三角形； （2）当底边长为8cm时，腰的长=（208）÷2=6cm， ∵0＜8＜6+6， ∴边长为6cm，6cm，8cm，能构成三角形． 故答案为：4或8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 44．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|＝　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先利用三角形的三边关系得出，然后根据求绝对值的法则进行化简即可． 【详解】 解：∵是的三条边， ∴， ∴=． 故答案为：． 【点睛】 熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则，是解题的关键，注意，去绝对值后，要先添加括号，再去括号，这样不容易出错． 45．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）两边长分别为和的等腰三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件；分腰长为和腰长为，两种情况根据构成三角形的条件和三角形周长公式求解即可． 【详解】 解：当腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当腰长为时， 则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）若一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则第三边长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．题目给出等腰三角形的两边长，需分情况讨论腰和底边，并验证三角形三边关系． 【详解】 解：当腰为3时，三边为3、3、6，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件； 当腰为6时，三边为3、6、6，满足三角形三边关系，故第三边长为6， 故答案为：6． 47．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知三边长分别为，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解析 三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】 考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正 负． 48．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知是的三边长． （1）若满足，，试判断的形状； （2）化简： 【答案】（1）是等边三角形；（2） 【分析】 （1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形． （2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可． 【详解】 （1）∵ ∴且 ∴ ∴是等边三角形． （2）∵是的三边长 ∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0 原式= = = 【点睛】 本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键． 49．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）已知的三边，则化简的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值意义，掌握三角形的三边关系和绝对值意义是解题的关键．先根据三角形的三边关系判断出，的值的情况，再去绝对值计算即可． 【详解】 解：∵在中，，, ，， ． 故答案为：． 50．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据等腰三角形的性质，分1是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 ① 1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2， ∴不能组成三角形； ② 1是底边时，三角形的三边分别为1、2、2， 能组成三角形， 周长=1+2+2=5， 综上所述，三角形的周长为5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 51．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】22 【分析】 本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】 解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是， 故答案为：22． 52．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为　　cm． 【答案】22 【分析】 底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】 解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 53．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，有一圆柱，其高为，底面半径为，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为　　　　　　．（π取3） 【答案】 【分析】 本题考查了圆柱的平面展开图，圆的周长公式及勾股定理．先将圆柱展开为平面长方形，确定长方形的长和宽，再利用勾股定理求出蚂蚁经过的最短路程． 【详解】 解：由题意知，圆柱展开图形如图所示： ∴圆柱展开图为长方形， 则A，B所在的长方形的宽为圆柱的高，长为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长， 由勾股定理得，， ∴蚂蚁经过的最短路程为． 故答案为：． 54．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 55．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为　　． 【答案】7或9 【详解】 解：根据三角形的三边关系， 得： 5＜第三边＜11． 又第三边是奇数， 则第三边应是7或9． 故答案为7或9 56．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）若中，，且三角形的周长为，那么底边的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，根据等腰三角形以及三角形的周长可知，根据等腰三角形各边长为正数且三角形的三边关系，即可求出的取值范围． 【详解】 解：设， ，且三角形的周长为， ， ，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 57．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则该等腰三角形的底边长为　　　． 【答案】6或4 【详解】 解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系； 当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系； 故答案为：6或4． 58．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）若实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是　　　　　　． 【答案】15 【分析】 根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论． 【详解】 因为实数x，y满足， 所以，解得∶，， 因为x，y的值是等腰三角形的两边长， 所以等腰三角形的三边可能是：3，3，6或3，6，6， 又因为3+3=6， 所以等腰三角形三边是：3，6，6， 所以等腰三角形的周长是15， 故答案为：15． 【点睛】 本题主要考查绝对值和二次根式的非负性和三角形三边关系，等腰三角形的性质． 59．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　　　　　　． 【答案】10 【详解】 解：因为2+2=4， 所以腰长为2时不能构成三角形； 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10． 60．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米． （1）求花坛各边的长度； （2）若在花坛三边等距离安装路灯（顶点处也安装），每两盏灯间距不超过2米，至少需要多少盏灯？ 【答案】（1）腰为11米，底边为8米．     （2）至少需要30盏灯．      【分析】 题目主要考查一元一次方程的应用，等腰三角形，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设腰为x米，则底边为．根据题意列出方程求解即可； （2）要使路灯数量最少，需让相邻两盏灯的间距最大（但不超过 2 米），核心是先找到三边长度的最大公因数，确定最大间距即可． (1) 小问详解： 解：设腰为x米，则底边为米， ∴， 解得：， ∴腰为11米， ∴底边米； ，符合三边关系， 答：花坛各边的长度为11米，11米，8米． (2) 小问详解： 分析间距条件：路灯需在三边等距离安装，且间距≤2 米．要使路灯最少，应取最大允许间距，即三边长度的最大公因数． 求三边的最大公因数：三边长度分别为 11 米、11 米、8 米． 11 是质数，因数为 1、11； 8 的因数为 1、2、4、8； 两者共同的因数只有 1，因此最大间距为 1 米． 计算路灯总数： 封闭图形（三角形）的路灯数量 = 总周长 ÷ 间距； 总周长为 30 米，间距为 1 米， 因此路灯数量 = 30÷1=30盏． 答：至少需要30盏灯． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角板作三角形高的基本操作方法，解决本题的关键在于理解如何利用三角板的直角边确保所作的高与底边垂直． 作的边上的高，需由点A向边上做垂线，由此判断选项即可． 【详解】 解：A选项，需由点A向边上做垂线，故A错误； B选项，是点A向边上做垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 故选：B ． 2．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）三角形的重心是指（   ） A. 三个内角平分线的交点 B. 三边上的高的交点 C. 三条中线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 由三角形的重心的定义可得：三角形的重心是三条中线的交点． 【详解】 解：三角形的重心是三条中线的交点． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三条中线的交点是解题的关键． 3．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 根据题意，是的边上的中线，可得，进而得出的周长，的周长，相减即可得到周长差． 【详解】 是的中线， ， ∴与的周长之差为：； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了三角形的中线和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键． 4．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的边BC上的高AD与边AB上的高CE的比值是（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 根据面积相等列出比例求解即可． 【详解】 解：∵的边上的高为，边上的高为， ，， ∴， 即：， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键． 5．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（       ） A. 11 B.  C.  D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形． 过点D作于F，根据是的中线得到，根据面积公式求出，即可解答． 【详解】 解：过点D作于F， ∵是的中线， ∴ ∴ 即， ∴， ∴点D到的距离为． 故选：B． 6．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·期中）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A. 是的平分线 B. 是边上的高 C. 是边上的中线 D. 是边上的中垂线 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】 解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 7．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）画中边上的高，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】 解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 8．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列各图中，作边上的高，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】 解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角，  垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 9．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 10．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（     ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】 根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 11．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】 解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 12．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（　　） A. 直角三角形只有一条高 B. 锐角三角形有三条高 C. 任意三角形都有三条高 D. 钝角三角形有两条高在三角形的外部 【答案】A 【分析】根据三角形的高的性质即可解题. 【详解】解：直角三角形有三条高,两条直角边上的高与直角边重合, ∴A项错误, 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的高,属于简单题,熟悉三角形的高的作法是解题关键. 13．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角形中线角平分线高的定义逐一判断选项，结合三角形面积公式区分对错． 【详解】 解：A、是中线，则为中点，故，不符合题意； B、是角平分线，则，不符合题意； C、是高， 为直角三角形，故，不符合题意； D、与的高相同，但底边 ，故面积不相等，符合题意． 14．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为(　　) A. 1.2 B. 2.4 C. 3.6 D. 4.8 【答案】B 【分析】 过点A作AM⊥BC于点M，根据AD是BC边上的中线以及S△ABD=12，根据三角形面积公式可得AM=4.8，再根据EF⊥BC，E为AD中点，根据三角形中位线定理即可求得EF的长. 【详解】 过点A作AM⊥BC于点M， ∵D是BC中点， ∴BD=BC==5， ∵S△ABD==12， ∴AM=4.8， 又∵EF⊥BC，E为AD中点， ∴EF是△ADM的中位线， ∴EF=AM=2.4， 故选B. 【点睛】 本题考查了三角形的中位线，读懂题意，正确添加辅助线是解题的关键. 15．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）下面说法正确的个数有（       ） ①三角形的外角大于任何一个内角；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部那么这个三角形一定是钝角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线性质和高线的位置．根据各说法逐一判断． 【详解】 解： ①三角形的外角大于不相邻的内角，但可能小于或等于相邻内角，故①错误； ②设，则，由，得，解得，则，，故为锐角三角形，故②错误； ③三角形的三条角平分线交于一点（内心），且交点必在三角形内部，故③正确； ④只有一条高在三角形内部时，该三角形可能是钝角三角形或直角三角形，故④错误； 故正确说法只有③，共1个． 故选：A． 16．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，点，，，分别为，，的中点，且的面积为20，则的面积为　　　　　． 【答案】5 【分析】 此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等和的面积为20，可求得． 【详解】 解：∵点是的中点， ， ∵点是的中点， ， ， ∵点是的中点， ， 故答案为：5． 17．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则的值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了三角形的面积，解题的关键是，所以求出的面积和的面积即可，因为，，且，就可以求出的面积和的面积． 【详解】 解：， ， ， ． ，， ， ， 即． 故答案为：2． 19．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在平面直角坐标系中，点，若轴，则线段的值最小时，点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是坐标与图形，垂线段的性质．先根据轴得出y的值，再由垂线段最短即可得出x的值，进而得出结论． 【详解】 解：轴，， 点C在直线， 垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∵， ， 线段的值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】 解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16．设的面积为m，的面积为n，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 设边上的高为，根据题意，得，，结合得．根据是边边上的中线，的面积等于 16 ，得到，结合的面积为的面积为，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】 解：设边上的高为， 根据题意，得，， ， ， ∵是边上的中线，的面积等于 16 ， ∴， ∵的面积为m，的面积为， ∴，即， 如图，连接， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，已知分别是的高和中线，，求： （1）的面积； （2）的长 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形中线平分三角形的面积及求三角形面积，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求出的面积，再由中线平分三角形面积即可求解； （2）根据是的高以及三角形的面积公式可得到，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的中线， ∴． (2) 小问详解： ∵是的高， ∴， ∴． 23．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）在中，，，边上的高为12，则的周长为　　　　　　． 【答案】32或42 【分析】 本题考查勾股定理的应用，由于边上的高位置不确定，需分类讨论垂足是否在线段上． 【详解】 解：设边上的高为，垂足为D，则， 在中，，，由勾股定理， 在中，，，由勾股定理得， 当点D在线段上时，，的周长为， 当点D不在线段上时，，的周长为． 故答案为：32或42． 24．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在中，于点D，，于点F，，则线段与的比值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作桥求解是解的关键．设，则，令，根据求出，即可求解比值． 【详解】 解：， 设，则， ， ， 令， 于点D，于点F， ， ， ，即， ． 故答案为：． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨德强学校·期中）若等腰三角形的底角为，则它的顶角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和性质．利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和为的性质，直接计算顶角，即可作答． 【详解】 解：∵等腰三角形的两个底角相等，且每个底角为， ∴， 即它的顶角为， 故选：B 2．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【分析】 根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可． 【详解】 解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴三个内角分别为：、、， ∴三角形是直角三角形， 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是和三角形的分类是解题的关键． 3．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状． 【详解】 解：A．，即，，为直角三角形，不符合题意； B．，即，，为直角三角形，不符合题意； C．，即，同A选项，不符合题意； D．，即，三个角没有角，故不是直角三角形，符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）如图，已知每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，先结合网格以及勾股定理得，则，故，又因为，所以运用三角形内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】 解：观察网格，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）在中，，则是（       ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，根据各内角度数之间的关系，求出最大角的度数是解题的关键．在中，由三个内角度数之比及三角形内角和为，可求出的度数，进而可得出是锐角三角形． 【详解】 解：在中，， ， 是锐角三角形， 故选A． 6．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（        ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE． 【详解】 ∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°， ∴∠C=∠BDF=∠BAD， ∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°， ∴∠C=∠ADE， ∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3， 故选C． 【点睛】 本题的关键是利用已知条件得出等角的余角相等，利用平行线的性质得出角相等． 7．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和为，掌握其性质及两特殊三角形角的度数是解题的关键． 由题可知，，再结合角平分线及三角形内角和为即可求解． 【详解】 根据题意， ， 又平分，平分， 所以， 在中，， 解得． 故选：C． 8．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（       ） A. 锐角三角 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 这样的三角形不存在 【答案】C 【分析】 若三角形三个内角的度数之比为，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为，可求出三个内角分别是，则这个三角形一定是钝角三角形． 【详解】 解：由三角形三个内角的度数之比为，设三角分别为， 依题意得， 解得． ∴三个角的度数分别为， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和定理：利用三角形的内角和为建立方程是解本题的关键． 9．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可， B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状， C、根据三角形的内角和为度，即可计算出的值， D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状． 【详解】 A、当，，， ，故是直角三角形， B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时，∵，则，故是直角三角形， D、当时，∵，则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 10．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是射线上一定点，是射线上一动点，和的平分线，交于点，则的度数为（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，正确识别图形，并能理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件和三角形内角和定理求出度数，再利用角平分线的性质证明，，从而求出的度数，根据三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】 ， ， ，平分和， ，， ， ， ； 故选． 11．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）下列四个条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形的内角和定理和直角三角形的判定，准确分析每一个条件是解题的关键． 根据每个条件，利用三角形内角和为，计算角度，判断是否有角即可得解； 【详解】 三角形内角和为， 对于：设，，，则，解得， ，能确定直角三角形； 对于：由和，可得， ，能确定直角三角形； 对于：由得， ，能确定直角三角形； 对于：设，则，，，解得， ，，，无角，不能确定直角三角形； 故选． 12．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于．根据三角形的内角和定理求出，，即可求出答案． 【详解】 解：，， ，， ， 故选：A． 13．（25-26学年八上·黑龙江虎林·期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解． 【详解】 解：如图所示： ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 14．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）在中，下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的有       （       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定； 根据每个条件，结合内角和为180°，推导是否有一个角为90°． 【详解】 由三角形内角和为得， ① ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故① 正确； ② ∵， ∴设, ,， 则， 解得， ∴， ∴是直角三角形，故② 正确； ③ ∵， ∴， ∴代入内角和得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故③ 正确； ④ ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴，无法确定有一个角为， ∴不一定是直角三角形。 ∴ 能确定是直角三角形的有① ② ③ ，共3个， 故选：C． 15．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（       ） A.  B. 110° C. 80° D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】 解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 16．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】∵∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， 解得：∠B=90°，故① 能确定△ABC是直角三角形， ∵∠A-∠B=90°， ∴∠A＞90°， ∴△ABC是钝角三角形，故② 不能确定△ABC是直角三角形， ∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴5∠C=180°， 解得：∠C=36°，∠A=∠B=72°，故③ 不能确定△ABC是直角三角形， ∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴6∠A=180°， 解得：∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，故④ 能确定△ABC是直角三角形， 综上所述：能确定△ABC是直角三角形的有① ④ ，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟记三角形的内角和等于180°是解题关键． 17．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，D，E分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则的度数是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查折叠的性质以及三角形的内角和定理，能够熟练运用内角和定理进行导角是解题关键．根据折叠可以得到对应的角是相等的，，，进而可以利用内角和以及和、相关的平角得出，由此即可解题． 【详解】 解：由折叠可得：，， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故选：B． 18．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，四边形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：C． 19．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A=100°，则∠BOC的度数为（        ）． A. 80° B. 90° C. 120° D. 140° 【答案】D 【详解】 △ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°， ∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线． ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=40°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°． 故选D． 20．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）在中，，则　　　　　　　　　　 【答案】度 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，是边上的高，则　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理解得的值，再结合是边上的高，由求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是边上的高，即， ∴． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，在中，，平分．若，，求的度数； 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，，求出，结合平分，则，又因为，所以，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴ 则 ∴． 23．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，分别是的高和角平分线，，，　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义，高的含义，掌握以上知识是解题的关键． 利用三角形的内角和定理先求，再利用角平分线的定义求解，再利用高的含义求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵，， ， ∵是的角平分线， ， 又 ∵， ， ， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，　　　　　°． 【答案】�度 【分析】 本题考查三角形的内角和定理．连接，设与的交点为F，根据三角形的内角和定理可得，因此，即可解答． 【详解】 解：连接，设与的交点为F， ∵在中，， 在中，， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：． 25．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则　　　　　　　． 【答案】z度 【分析】 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】 解：当顶角为时， 则底角为：； 当底角为时， 则底角为； 故答案为：或． 27．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图，的和的角平分线和相交于点O，，则　　　　度． 【答案】120 【分析】 本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理．根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵和的角平分线和相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120 28．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）点是所在平面内一点，满足，点是，的角平分线的交点，若，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查圆相关知识，涉及外心、角平分线性质和圆周角定理以及分类讨论思想，设，根据角平分线性质得设，① 点与点在直线的同侧时，，② 点与点在直线的异侧时，，即可解得答案． 【详解】 解：设， ∵点是，的角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ① 点与点在直线的同侧时，如图， ，则，得； ② 点与点在直线的异侧时，在点O同侧的圆弧上取一点E，连接和，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 则，得； 综合① ② ，或． 故答案为：或． 29．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得的度数了．本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】 解：，， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， 同理可得，， ，， ， 故答案为． 30．（25-26学年八上·黑龙江绥化望奎县·期中）将一副直角三角板ABC和DEF如图放置（其中∠A=60，∠F=45），使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为        . 【答案】15 【详解】由图形可知：∠ACB=30，∠DEF=45 ∵ED∥BC，∴∠DEC=∠ACB=30 ∴∠CEF=∠DEF－∠DEC =45－30=15. 31．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）将一副三角尺按如图的方式拼摆，的度数为　　　　　　　　． 【答案】K度 【分析】 本题主要考查了三角板的知识，三角形的内角和定理， 根据题意可知，即可求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】 解：根据题意，得， ∴． 在中，． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）已知：分别是的高，角平分线，，则的度数为　　　　　　　　　　　　　　　　度. 【答案】20或50 【分析】 分钝角三角形或锐角三角形两种情形分别求解即可． 【详解】 解：如图，当△ABC是钝角三角形时， ∵AD⊥BD， ∴∠ADC=90°， ∵∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=20°， ∴∠BAC=∠ACD -∠B =40°，∠CAD=90°-∠ACD=90°- 60°=30° ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=20°， ∴∠EAD=∠CAD+∠CAE=30°+20°=50°． 如图，当△ABC是锐角三角形时， ∵∠C=60°，∠B=20°， ∴∠BAC=100°，∠BAD=   =90°-20°=70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=50°， ∴∠EAD=∠DAB-∠BAE=70°-50°=20°.， 综上所述：∠EAD=50°或20°． 故答案为50或20． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 33．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． （1）若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． （2）如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】（1）     （2） 证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”．      【分析】 本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，点B在点A南偏西的方向，点C在点A南偏东的方向，点C在点B北偏东的方向，则的度数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了与方位角有关的计算，三角形内角和定理，先根据题意得到，，，由平行线得到，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图所示， 根据题意得，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 35．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，　　　　　　． 【答案】180度 【分析】 如图，连接 记的交点为 先证明再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】 解：如图，连接 记的交点为 故答案为： 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键. 36．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形的性质等，由三角形内角和定理得，即得，由可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 37．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及平角定义求解． 【详解】 解：设等腰三角形中，，为腰上的高，，垂足为，． ①当为锐角三角形时，点在上． 在中，，， ． ②当为钝角三角形时，点在的延长线上． 在中，，， ， ． 故顶角的度数为或． 故答案为：或． 38．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图， 在 中， ，是边上的高，是的平分线， 于，求 的度数． 【答案】 【分析】 根据三角形内角和为可计算出的度数，根据角平分线的定义可得，再根据垂线的定义，直角三角形两锐角互余可得，由此求出，在中，再运用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】 解：在 中， ， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，， ∴， ∵ 于， ∴在中，， ∴ 的度数为． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，直角三角形两锐角互余，掌握三角形中与角平分线有关的内角和定理的计算，直角三角形中两锐角互余等知识是解题的关键． 39．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数． 【答案】∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125° 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°，在Rt△ADC中可求得∠CAD的度数，再根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD即可得解，根据三角形的内角和可得∠ABC的度数，即可得∠ABO的度数，再在△AOB中利用三角形的内角和为180°即可求得∠BOA的度数. 【详解】解∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°， ∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO＝25°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°． 故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 40．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，为内的一点，且，其中平分平分、平分，平分，平分平分、、…、以此类推，　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， 平分平分， ， ， 同理可得： ， 归纳类推得：，其中为正整数， ， 故答案为：． 41．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）一束光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即，，．若已知，，那么∠3的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】57.5° 【分析】 利用三角形内角和定理求出∠，再求出∠3与∠4的和即可解决问题． 【详解】 解：如图： ∵∠1=∠2=50°，∠5=∠6=65°， ∴∠7=180°-∠2-∠5=65°， ∴∠3+∠4=180°-65°=115°， ∵∠3=∠4， ∴∠3=×115°=57.5°， 故答案为：57.5°． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 42．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图,在△ABC中,∠A=,∠B=，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数. 【答案】∠BCE=34°，∠CDF=74°． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCE即可，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，进而求出∠FCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF即可． 【详解】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°． ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE∠ACB68°=34°． ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°． ∵∠B=72°，∴∠BCD=90°﹣72°=18°，∴∠FCD=∠BCE﹣∠BCD=16°． ∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣∠FCD=74°，即∠BCE=34°，∠CDF=74°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直定义，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． 43．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和与外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据垂直的定义和三角形内角和求得，然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求得． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 44．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）探究与发现： （1）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图①，与分别为的两个外角，试探究与的数量关系； （2）探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图②，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系； （3）探究三：若将改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图③，在四边形中，、分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理； 探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解； 探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； 探究三：延长、交于点，根据前面两问的结论可得，，即可得到． ． (1) 小问详解： 解：，， ． (2) 小问详解： 解：、分别平分和， ，， ． (3) 小问详解： 解：延长、交于点， 由探究一结论可得， 由探究二结论可得， ∴． 45．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）中平分，平分，，，则　　　　　°． 【答案】33 【分析】 本题主要考查三角形角平分线的性质，根据三角形内角和定理可求出．根据题意可知O是的内心（即角平分线的交点），平分，因此等于的一半． 【详解】 解：∵， ∴． ∵平分，平分， ∴平分， ∴． 故答案为33． 46．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图， 中，，， 是 的平分线，于，则 　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，由，，得，通过角平分线定义可得，最后由直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26学年八上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）五边形的内角和为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】 解：五边形的内角和为． 48．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期中）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【详解】 解：如图，当为锐角三角形时，     ， ， ， ， ， ， ， 当为钝角角三角形时，的延长线于，     ， ， ， ， ， ， ； 当为直角三角形，时，不存在， 故的度数为或． 故答案为：或． 49．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）在四边形中，O在其内部，满足，． （1）如图1，当时，如果，直接写出的度数______； （2）当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【答案】（1）     （2） ① 解：． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②或      【分析】 本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）① 首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；② 在中，由① 得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）在下列四个图形中，一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对顶角的概念、同位角的概念、三角形的外角性质判断即可． 【详解】 解：A、∠1与∠2是对顶角，，本选项不符合题意； B、根据两直线平行可知，，本选项不符合题意； C、∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，本选项不符合题意； D、在直角三角形中，∠1是直角，∠2是锐角，∴∠1＞∠2，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是对顶角、三角形外角的性质等知识，掌握相关概念是解题的关键． 2．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 首先根据两直线平行，同位角相等求出，再利用外角的性质求出即可． 【详解】 解：，， ， ，， ． 故选：A． 3．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在数轴上，点对应的数是1，点对应的数是3，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了实数与数轴，勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得，求出，由即可求解． 【详解】 解：由题意得，， 在中，， ， 表示的实数为． 故选：A． 4．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的度数是（     ） A.  B.  C.  D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，把所求的五个角转化在一个三角形中是解题的关键．根据三角形外角的性质可得：，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：如图所示，根据三角形外角的性质可知： ，，， ． 故选：A ． 5．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）在三边分别为下列长度的三角形中，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，， B. ，， C. 6，7，8 D. 2，3，4 【答案】A 【分析】 该题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理，若三角形三边满足（其中c为最长边），则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】 解：A：∵ ，∴ 能构成直角三角形． B：∵ ，∴ 不能构成直角三角形． C：∵，∴ 不能构成直角三角形． D：∵ ，∴ 不能构成直角三角形． 故选：A． 6．（25-26学年八上·黑龙江龙东地·期中）如图，点E在AC上，则的度数是（       ） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 【答案】B 【分析】 由三角形外角的性质可得，∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，再根据平角的定义可得答案． 【详解】 解：由三角形外角的性质可得， ∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°． 故选：B． 【点睛】 本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质． 7．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列长度的三条线段中，不能构成直角三角形的是（       ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 3，4，5 D.  【答案】A 【分析】 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴这样的三角形不存在， 故A符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 8．（25-26学年八上·黑龙江伊春嘉荫县·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（       ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 10 【答案】B 【分析】 本题主要考查三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键；连接，由可设，由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：连接，如图所示： 由可设， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 9．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，，，那么的度数为（　　） A. 100° B. 132° C. 142° D. 154° 【答案】B 【分析】 先根据平行线性质求出∠A，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质得出∠3=∠4+∠A． 【详解】 解：如图： ∵AB∥CD，∠1=26°， ∴∠A=∠1=26°， ∵∠2=74°，∠2+∠4=180°， ∴∠4=180°-∠2=180°-74°=106°， ∴∠3=∠4+∠A=106°+26°=132°． 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，解题的关键是求出∠A的度数和得出∠3=∠4+∠A． 10．（25-26学年八上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的度数为（       ） A. 180° B. 240° C. 270° D. 360° 【答案】A 【分析】 见详解的图，根据三角形的外角定理可以把转化为，连接，，所以，则,即可得出答案． 【详解】 解：如图所示：连接, ∵，， , 则． 故选：A． 【点睛】 本题考查三角形的外角和内角和定理，借助于辅助线去把角度转移到同一个三角形中求解，最后得出正确答案． 11．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨松北区·期中）如图，在中，外角，，则的度数是 　　　　　　　　　． 【答案】<度 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”解答即可． 【详解】 解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 12．（25-26学年八上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，直线分别交的边、于点D、E，交的延长线于点F，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】 此题考查的知识点是三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由已知根据三角形内角和定理可求出中的，再根据三角形外角的性质求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 13．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长均为1． （1）在图1中，以为边画一个，使得，并直接写出的面积． （2）在图2中，画一个，使得． （3）在图3中，画一个，使得，并计算的面积． 【答案】（1） 如答图1，      （2） 如答图2，      （3） 如答图3，       【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理逆定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，解决本题的关键是根据网格准确画图． （1）在图1中，画一个以为直角边的等腰直角三角形即可； （2）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：； （3）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：，根据割补法求面积即可． (1) 小问详解： 解：， ， 即为所求（答案不唯一）． 的面积为． (2) 小问详解： 解：， 则即为所求（答案不唯一）． (3) 小问详解： 解：， 则即为所求（答案不唯一）． ． 14．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩），如果起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米，则吊车起重臂的顶端到地面的距离　　　　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， 在中， ， （米）， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应　　　　　　　（填“增加”或“减少”） 【答案】减少 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】 解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 16．（25-26学年八上·黑龙江大兴安岭地·期中）如图，将一副三角板如图放置，使点A落在上，与交于点，若，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】K度 【分析】 由题意可知，，，由得到，根据外角的性质即可得到的度数． 【详解】 解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 此题考查平行线的性质、三角形外角的性质等知识，数形结合是解题的关键． 17．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点O成中心对称的； （2）画出绕点O逆时针旋转所得到的； （3）直接写出点B到线段的距离________． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）如图所示：即为所求．     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点即可； （3）作出高，利用勾股定理求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作出高，如图， 由勾股定理得：，， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，四边形中，，已知，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】 连接，利用勾股定理求出的长，在中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】 解：连接，    ∵， ∴， ∴． 在中，∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴． ∴． 答：四边形的面积为． 【点睛】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接，说明是直角三角形是解决本题的关键． 19．（25-26学年八上·黑龙江岭地区漠河·期中）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为　　　　　　　． 【答案】 度 【分析】 本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】 解：， ， ， . 故答案为：. 20．（25-26学年八上·黑龙江大庆三十六中学·期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； （3）若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求，      （3）      【分析】 （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，    则的最小值为 故答案为：． 【点睛】 本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 21．（25-26学年八上·黑龙江佳木斯·期中）如图1，平分，平分，且、交于点． （1）求证：； （2）如图2，若、是两外角的平分线且交于点，则与的关系是_____． （3）如图3，若、是和的平分线且交于点，则与的关系是_____． 【答案】（1） 证明：、是两内角的平分线且交于点， ， ， 即     （2）     （3）      【分析】 本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件． （1）根据解答即可； （2）由于、是两外角的平分线，故，，由三角形外角的性质可知，，，由角平分线的定义可知，，，根据三角形定理可知，故可得出，再由即可得出结论． （3）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，；由角平分线的性质，得，，利用等量代换，即可求得与的关系； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图， 、是两外角的平分线， ，， 而，， ，． ， ，即． ， ． (3) 小问详解： 如图     ， ． 又， ． 平分， ， ， ． 22．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区等三地区·期中）已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝40°，∠EDG＝50°，则∠AED＝　 　°； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED，∠EAF，∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论； （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数． 【答案】（1）90； （2）∠EAF=∠AED+∠EDG， 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHC=∠AED+∠EDG， ∴∠EAF=∠AED+∠EDG． （3）142° 【分析】 （1）延长DE交AB于点H，根据∠AED是△AEH的外角求解； （2）根据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角可得∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG； （3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，通过三角形内角和得到∠EDK=x-2°，由角平分线定义及AB∥CD得到3x=22°+2x-4°，求出x的值再通过三角形内角和求∠EKD． 【详解】 解：（1）延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠EDG=∠AHE=50°， ∵∠AED是△AEH的外角， ∴∠AED=∠EAF+∠AHE=40°+50°=90°． 故答案为：90． （2）略 （3）∵∠EAI：∠BAI=1：2， 设∠EAI=x，则∠BAE=3x， ∵∠AED-∠I=22°-20°=2°，∠DKE=∠AKI， 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°， ∴∠EDK=∠EAI-2°=x-2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG， 即3x=22°+2x-4°，解得x=18°， ∴∠EDK=18°-2°=16°， ∴∠EKD=180°-16°-22°=142°． 【点睛】 本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，外角性质的综合应用，解题关键是熟练掌握熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点． 23．（25-26学年八上·黑龙江哈尔滨哈尔滨五区·期中）如图，中，平分，若，， 　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解答的关键为求出的度数． 根据三角形内角和定理，可求出的度数，再由角平分线的定义得的度数，利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是　　　　　　　度． 【答案】75 【分析】 本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】 解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 25．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长． 【详解】 已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 【点睛】 本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 26．（25-26学年八上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　　　　　． 【答案】（）n﹣1 【详解】 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC=； 同理可求：AE=，HE=，…， ∴第n个正方形的边长an=． 故答案为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．B 2．D 3．D 4．A 5．【答案】为等腰三角形或直角三角形 【分析】 本题考查等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理． 由已知可得或，根据等腰三角形的定义，勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】 解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形． 6．【答案】腰长是10，底边长是1 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，已知给出的15和6两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论． 【详解】 解：设，则， 上的中线将这个三角形的周长分成15和6两部分， 有两种情况： ① 当，且时， 解得， 三边长分别为 ② 当且时， 解得，此时腰长为4， 三角形任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在． 腰长是10，底边长是1． 考点02 三角形的边 1．A 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．C 13．A 14．C 15．C 16．C 17．A 18．C 19．D 20．A 21．B 22．D 23．B 24．B 25．B 26．C 27．C 28．C 29．D 30．C 31．C 32．A 33．B 34．C 35．【答案】稳定性 【分析】 三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】 结合图形，为了防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做是根据了三角形具有稳定性的数学道理． 【点睛】 本题考查了三角形的稳定性在生活中的实际应用的问题，同时我们还要记得四边形具有不稳定性． 36．【答案】10 【分析】 根据等腰三角形的定义，分情况讨论，再利用两边之和大于第三边即可求解． 【详解】 解：① 当腰长为5时，则等腰三角形的三边分别为5，5，10， ， 不能构成三角形，故舍去． ② 当腰长为10时，则等腰三角形的三边分别为5，10，10， ， 能构成三角形． 第三边长为：10． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义，即两边相等的三角形是等腰三角形，解题的关键在于熟练掌握两边之和大于第三边． 37．【答案】稳定性 【分析】 本题考查三角形稳定性的实际应用．在窗框上斜钉上一根木条，构成三角形故可用三角形的稳定性解释． 【详解】 解：盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 38．【答案】稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据题意及三角形具有稳定性可得答案． 【详解】 解：自行车中间的支架设计采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性， 故答案为：稳定性． 39．【答案】 【详解】 此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案． 【解答】 解：根据三角形的三边关系可得：，即， 故答案为：． 40．【答案】（1）3     （2）18     （3）或      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：点的坐标为， 点到轴的距离； (2) 小问详解： 解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； (3) 小问详解： 解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 41．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理是解题关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】 解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 42．【答案】21或24 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握分情况讨论并结合三边关系判断能否构成三角形是解题的关键． 分腰长为和腰长为两种情况，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】 解：当腰长为时，三边为、、， ∵ ，满足三边关系， ∴ 周长为， 当腰长为时，三边为、、， ∵ ，满足三边关系， ∴ 周长为， 故答案为：或． 43．【答案】4或8 【分析】 由于长为8cm的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】 解：由题意知，应分两种情况： （1）当腰长为8cm时，则另一腰也为8cm， 底边为202×8=4cm， ∵0＜4＜8+8， ∴边长分别为8cm，8cm，4cm，能构成三角形； （2）当底边长为8cm时，腰的长=（208）÷2=6cm， ∵0＜8＜6+6， ∴边长为6cm，6cm，8cm，能构成三角形． 故答案为：4或8． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 44．【答案】 【分析】 首先利用三角形的三边关系得出，然后根据求绝对值的法则进行化简即可． 【详解】 解：∵是的三条边， ∴， ∴=． 故答案为：． 【点睛】 熟悉三角形的三边关系和求绝对值的法则，是解题的关键，注意，去绝对值后，要先添加括号，再去括号，这样不容易出错． 45．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件；分腰长为和腰长为，两种情况根据构成三角形的条件和三角形周长公式求解即可． 【详解】 解：当腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当腰长为时， 则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为， 故答案为：． 46．【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．题目给出等腰三角形的两边长，需分情况讨论腰和底边，并验证三角形三边关系． 【详解】 解：当腰为3时，三边为3、3、6，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件； 当腰为6时，三边为3、6、6，满足三角形三边关系，故第三边长为6， 故答案为：6． 47．【答案】 【分析】 解析 三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】 解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】 考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正 负． 48．【答案】（1）是等边三角形；（2） 【分析】 （1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形． （2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可． 【详解】 （1）∵ ∴且 ∴ ∴是等边三角形． （2）∵是的三边长 ∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0 原式= = = 【点睛】 本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值意义，掌握三角形的三边关系和绝对值意义是解题的关键．先根据三角形的三边关系判断出，的值的情况，再去绝对值计算即可． 【详解】 解：∵在中，，, ，， ． 故答案为：． 50．【答案】5 【分析】 根据等腰三角形的性质，分1是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 ① 1是腰长时，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2， ∴不能组成三角形； ② 1是底边时，三角形的三边分别为1、2、2， 能组成三角形， 周长=1+2+2=5， 综上所述，三角形的周长为5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 51．【答案】22 【分析】 本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】 解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是， 故答案为：22． 52．【答案】22 【分析】 底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】 解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 53．【答案】 【分析】 本题考查了圆柱的平面展开图，圆的周长公式及勾股定理．先将圆柱展开为平面长方形，确定长方形的长和宽，再利用勾股定理求出蚂蚁经过的最短路程． 【详解】 解：由题意知，圆柱展开图形如图所示： ∴圆柱展开图为长方形， 则A，B所在的长方形的宽为圆柱的高，长为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长， 由勾股定理得，， ∴蚂蚁经过的最短路程为． 故答案为：． 54．【答案】（1）12     （2）      【分析】 （1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． (1) 小问详解： 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 55．【答案】7或9 【详解】 解：根据三角形的三边关系， 得： 5＜第三边＜11． 又第三边是奇数， 则第三边应是7或9． 故答案为7或9 56．【答案】 【分析】 设，根据等腰三角形以及三角形的周长可知，根据等腰三角形各边长为正数且三角形的三边关系，即可求出的取值范围． 【详解】 解：设， ，且三角形的周长为， ， ，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 57．【答案】6或4 【详解】 解：当腰为6时，则底边4，此时三边满足三角形三边关系； 当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系； 故答案为：6或4． 58．【答案】15 【分析】 根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论． 【详解】 因为实数x，y满足， 所以，解得∶，， 因为x，y的值是等腰三角形的两边长， 所以等腰三角形的三边可能是：3，3，6或3，6，6， 又因为3+3=6， 所以等腰三角形三边是：3，6，6， 所以等腰三角形的周长是15， 故答案为：15． 【点睛】 本题主要考查绝对值和二次根式的非负性和三角形三边关系，等腰三角形的性质． 59．【答案】10 【详解】 解：因为2+2=4， 所以腰长为2时不能构成三角形； 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10． 60．【答案】（1）腰为11米，底边为8米．     （2）至少需要30盏灯．      【分析】 题目主要考查一元一次方程的应用，等腰三角形，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设腰为x米，则底边为．根据题意列出方程求解即可； （2）要使路灯数量最少，需让相邻两盏灯的间距最大（但不超过 2 米），核心是先找到三边长度的最大公因数，确定最大间距即可． (1) 小问详解： 解：设腰为x米，则底边为米， ∴， 解得：， ∴腰为11米， ∴底边米； ，符合三边关系， 答：花坛各边的长度为11米，11米，8米． (2) 小问详解： 分析间距条件：路灯需在三边等距离安装，且间距≤2 米．要使路灯最少，应取最大允许间距，即三边长度的最大公因数． 求三边的最大公因数：三边长度分别为 11 米、11 米、8 米． 11 是质数，因数为 1、11； 8 的因数为 1、2、4、8； 两者共同的因数只有 1，因此最大间距为 1 米． 计算路灯总数： 封闭图形（三角形）的路灯数量 = 总周长 ÷ 间距； 总周长为 30 米，间距为 1 米， 因此路灯数量 = 30÷1=30盏． 答：至少需要30盏灯． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 13．D 14．B 15．A 16．【答案】5 【分析】 此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等和的面积为20，可求得． 【详解】 解：∵点是的中点， ， ∵点是的中点， ， ， ∵点是的中点， ， 故答案为：5． 17．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．【答案】2 【分析】 本题考查了三角形的面积，解题的关键是，所以求出的面积和的面积即可，因为，，且，就可以求出的面积和的面积． 【详解】 解：， ， ， ． ，， ， ， 即． 故答案为：2． 19．【答案】 【分析】 本题考查的是坐标与图形，垂线段的性质．先根据轴得出y的值，再由垂线段最短即可得出x的值，进而得出结论． 【详解】 解：轴，， 点C在直线， 垂线段最短， ∴当时，线段最短， ∵， ， 线段的值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】 解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 设边上的高为，根据题意，得，，结合得．根据是边边上的中线，的面积等于 16 ，得到，结合的面积为的面积为，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】 解：设边上的高为， 根据题意，得，， ， ， ∵是边上的中线，的面积等于 16 ， ∴， ∵的面积为m，的面积为， ∴，即， 如图，连接， ∵， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形中线平分三角形的面积及求三角形面积，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求出的面积，再由中线平分三角形面积即可求解； （2）根据是的高以及三角形的面积公式可得到，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的中线， ∴． (2) 小问详解： ∵是的高， ∴， ∴． 23．【答案】32或42 【分析】 本题考查勾股定理的应用，由于边上的高位置不确定，需分类讨论垂足是否在线段上． 【详解】 解：设边上的高为，垂足为D，则， 在中，，，由勾股定理， 在中，，，由勾股定理得， 当点D在线段上时，，的周长为， 当点D不在线段上时，，的周长为． 故答案为：32或42． 24．【答案】 【分析】 本题考查了三角形高的定义，求线段的比，利用三角形的面积作桥求解是解的关键．设，则，令，根据求出，即可求解比值． 【详解】 解：， 设，则， ， ， 令， 于点D，于点F， ， ， ，即， ． 故答案为：． 考点04 三角形的内角 1．B 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C 7．C 8．C 9．D 10．B 11．D 12．A 13．A 14．C 15．B 16．B 17．B 18．C 19．D 20．【答案】度 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，， ∴， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理解得的值，再结合是边上的高，由求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是边上的高，即， ∴． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，，求出，结合平分，则，又因为，所以，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴ 则 ∴． 23．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义，高的含义，掌握以上知识是解题的关键． 利用三角形的内角和定理先求，再利用角平分线的定义求解，再利用高的含义求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵，， ， ∵是的角平分线， ， 又 ∵， ， ， 故答案为：． 24．【答案】�度 【分析】 本题考查三角形的内角和定理．连接，设与的交点为F，根据三角形的内角和定理可得，因此，即可解答． 【详解】 解：连接，设与的交点为F， ∵在中，， 在中，， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：． 25．【答案】z度 【分析】 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．【答案】或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】 解：当顶角为时， 则底角为：； 当底角为时， 则底角为； 故答案为：或． 27．【答案】120 【分析】 本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理．根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】 解：∵， ∴， ∵和的角平分线和相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120 28．【答案】或 【分析】 本题主要考查圆相关知识，涉及外心、角平分线性质和圆周角定理以及分类讨论思想，设，根据角平分线性质得设，① 点与点在直线的同侧时，，② 点与点在直线的异侧时，，即可解得答案． 【详解】 解：设， ∵点是，的角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ① 点与点在直线的同侧时，如图， ，则，得； ② 点与点在直线的异侧时，在点O同侧的圆弧上取一点E，连接和，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 则，得； 综合① ② ，或． 故答案为：或． 29．【答案】 【分析】 根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得的度数了．本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】 解：，， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， 同理可得，， ，， ， 故答案为． 30．【答案】15 【详解】由图形可知：∠ACB=30，∠DEF=45 ∵ED∥BC，∴∠DEC=∠ACB=30 ∴∠CEF=∠DEF－∠DEC =45－30=15. 31．【答案】K度 【分析】 本题主要考查了三角板的知识，三角形的内角和定理， 根据题意可知，即可求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】 解：根据题意，得， ∴． 在中，． 故答案为：． 32．【答案】20或50 【分析】 分钝角三角形或锐角三角形两种情形分别求解即可． 【详解】 解：如图，当△ABC是钝角三角形时， ∵AD⊥BD， ∴∠ADC=90°， ∵∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=20°， ∴∠BAC=∠ACD -∠B =40°，∠CAD=90°-∠ACD=90°- 60°=30° ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=20°， ∴∠EAD=∠CAD+∠CAE=30°+20°=50°． 如图，当△ABC是锐角三角形时， ∵∠C=60°，∠B=20°， ∴∠BAC=100°，∠BAD=   =90°-20°=70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=50°， ∴∠EAD=∠DAB-∠BAE=70°-50°=20°.， 综上所述：∠EAD=50°或20°． 故答案为50或20． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 33．【答案】（1）     （2） 证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”．      【分析】 本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 34．【答案】 【分析】 本题主要考查了与方位角有关的计算，三角形内角和定理，先根据题意得到，，，由平行线得到，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：如图所示， 根据题意得，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 35．【答案】180度 【分析】 如图，连接 记的交点为 先证明再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】 解：如图，连接 记的交点为 故答案为： 【点睛】 本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键. 36．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形的性质等，由三角形内角和定理得，即得，由可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 37．【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余及平角定义求解． 【详解】 解：设等腰三角形中，，为腰上的高，，垂足为，． ①当为锐角三角形时，点在上． 在中，，， ． ②当为钝角三角形时，点在的延长线上． 在中，，， ， ． 故顶角的度数为或． 故答案为：或． 38．【答案】 【分析】 根据三角形内角和为可计算出的度数，根据角平分线的定义可得，再根据垂线的定义，直角三角形两锐角互余可得，由此求出，在中，再运用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】 解：在 中， ， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，， ∴， ∵ 于， ∴在中，， ∴ 的度数为． 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，直角三角形两锐角互余，掌握三角形中与角平分线有关的内角和定理的计算，直角三角形中两锐角互余等知识是解题的关键． 39．【答案】∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125° 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°，在Rt△ADC中可求得∠CAD的度数，再根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD即可得解，根据三角形的内角和可得∠ABC的度数，即可得∠ABO的度数，再在△AOB中利用三角形的内角和为180°即可求得∠BOA的度数. 【详解】解∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC＝∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°， ∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO＝25°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°． 故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125° 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 40．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， 平分平分， ， ， 同理可得： ， 归纳类推得：，其中为正整数， ， 故答案为：． 41．【答案】57.5° 【分析】 利用三角形内角和定理求出∠，再求出∠3与∠4的和即可解决问题． 【详解】 解：如图： ∵∠1=∠2=50°，∠5=∠6=65°， ∴∠7=180°-∠2-∠5=65°， ∴∠3+∠4=180°-65°=115°， ∵∠3=∠4， ∴∠3=×115°=57.5°， 故答案为：57.5°． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 42．【答案】∠BCE=34°，∠CDF=74°． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCE即可，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD，进而求出∠FCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CDF即可． 【详解】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°． ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE∠ACB68°=34°． ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°． ∵∠B=72°，∴∠BCD=90°﹣72°=18°，∴∠FCD=∠BCE﹣∠BCD=16°． ∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣∠FCD=74°，即∠BCE=34°，∠CDF=74°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，垂直定义，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． 43．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和与外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据垂直的定义和三角形内角和求得，然后根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求得． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 44．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理； 探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解； 探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； 探究三：延长、交于点，根据前面两问的结论可得，，即可得到． ． (1) 小问详解： 解：，， ． (2) 小问详解： 解：、分别平分和， ，， ． (3) 小问详解： 解：延长、交于点， 由探究一结论可得， 由探究二结论可得， ∴． 45．【答案】33 【分析】 本题主要考查三角形角平分线的性质，根据三角形内角和定理可求出．根据题意可知O是的内心（即角平分线的交点），平分，因此等于的一半． 【详解】 解：∵， ∴． ∵平分，平分， ∴平分， ∴． 故答案为33． 46．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，由，，得，通过角平分线定义可得，最后由直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】 解：五边形的内角和为． 48．【答案】或 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．可分三种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，当为直角三角形，根据三角形内角和定理及三角形外角的性质计算可求解． 【详解】 解：如图，当为锐角三角形时，     ， ， ， ， ， ， ， 当为钝角角三角形时，的延长线于，     ， ， ， ， ， ， ； 当为直角三角形，时，不存在， 故的度数为或． 故答案为：或． 49．【答案】（1）     （2） ① 解：． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②或      【分析】 本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）① 首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；② 在中，由① 得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 考点05 三角形的外角 1．D 2．A 3．A 4．A 5．A 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 11．【答案】<度 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”解答即可． 【详解】 解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 12．【答案】 【分析】 此题考查的知识点是三角形内角和定理，三角形外角的性质，先由已知根据三角形内角和定理可求出中的，再根据三角形外角的性质求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 13．【答案】（1） 如答图1，      （2） 如答图2，      （3） 如答图3，       【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理逆定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，解决本题的关键是根据网格准确画图． （1）在图1中，画一个以为直角边的等腰直角三角形即可； （2）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：； （3）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：，根据割补法求面积即可． (1) 小问详解： 解：， ， 即为所求（答案不唯一）． 的面积为． (2) 小问详解： 解：， 则即为所求（答案不唯一）． (3) 小问详解： 解：， 则即为所求（答案不唯一）． ． 14．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：由题意得 ， 在中， ， （米）， 故答案为：． 15．【答案】减少 【分析】 本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断． 【详解】 解：连接，并延长至M，如图所示： 依题意，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 要使，则减少了， 若只调整的大小， 则 ， 因此应将减少度； 故答案为：减少 16．【答案】K度 【分析】 由题意可知，，，由得到，根据外角的性质即可得到的度数． 【详解】 解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 此题考查平行线的性质、三角形外角的性质等知识，数形结合是解题的关键． 17．【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）如图所示：即为所求．     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点即可； （3）作出高，利用勾股定理求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作出高，如图， 由勾股定理得：，， ∴． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 连接，利用勾股定理求出的长，在中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】 解：连接，    ∵， ∴， ∴． 在中，∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴． ∴． 答：四边形的面积为． 【点睛】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接，说明是直角三角形是解决本题的关键． 19．【答案】 度 【分析】 本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】 解：， ， ， . 故答案为：. 20．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求，      （3）      【分析】 （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，    则的最小值为 故答案为：． 【点睛】 本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 21．【答案】（1） 证明：、是两内角的平分线且交于点， ， ， 即     （2）     （3）      【分析】 本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是这一隐藏条件． （1）根据解答即可； （2）由于、是两外角的平分线，故，，由三角形外角的性质可知，，，由角平分线的定义可知，，，根据三角形定理可知，故可得出，再由即可得出结论． （3）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，；由角平分线的性质，得，，利用等量代换，即可求得与的关系； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图， 、是两外角的平分线， ，， 而，， ，． ， ，即． ， ． (3) 小问详解： 如图     ， ． 又， ． 平分， ， ， ． 22．【答案】（1）90； （2）∠EAF=∠AED+∠EDG， 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHC=∠AED+∠EDG， ∴∠EAF=∠AED+∠EDG． （3）142° 【分析】 （1）延长DE交AB于点H，根据∠AED是△AEH的外角求解； （2）根据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角可得∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG； （3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，通过三角形内角和得到∠EDK=x-2°，由角平分线定义及AB∥CD得到3x=22°+2x-4°，求出x的值再通过三角形内角和求∠EKD． 【详解】 解：（1）延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠EDG=∠AHE=50°， ∵∠AED是△AEH的外角， ∴∠AED=∠EAF+∠AHE=40°+50°=90°． 故答案为：90． （2）略 （3）∵∠EAI：∠BAI=1：2， 设∠EAI=x，则∠BAE=3x， ∵∠AED-∠I=22°-20°=2°，∠DKE=∠AKI， 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°， ∴∠EDK=∠EAI-2°=x-2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG， 即3x=22°+2x-4°，解得x=18°， ∴∠EDK=18°-2°=16°， ∴∠EKD=180°-16°-22°=142°． 【点睛】 本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，外角性质的综合应用，解题关键是熟练掌握熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点． 23．【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解答的关键为求出的度数． 根据三角形内角和定理，可求出的度数，再由角平分线的定义得的度数，利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 24．【答案】75 【分析】 本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】 解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 25．【答案】 【分析】 先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长． 【详解】 已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分， ∴AC⊥BD，在Rt△AOE中， ∵OE=3，OA=4， ∴根据勾股定理得， ∵AE=BE， ∴， 在Rt△AOB中， 即菱形的边长为， ∵点F为的中点，点O为DB中点， ∴ ． 故答案为 【点睛】 本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键． 26．【答案】（）n﹣1 【详解】 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC=； 同理可求：AE=，HE=，…， ∴第n个正方形的边长an=． 故答案为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $