专题08 锐角三角函数（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断． 【详解】 解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，CD=1， ∴AB==2，AC==， ∴sinα=cosα=，故选项A正确； tanC==2，故选项B正确； tanα=1，故选项D正确； ∵sinβ==，cosβ=，∴sinβ≠cosβ，故选项C错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【分析】 本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】 解：由题意得： ∴千米 故选：A 4．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，已知是的直径，CD是的弦，，垂足为．若，，则的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 先根据垂径定理求出，勾股定理求得，再根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】 解：是的直径，⟂． ，， ∴， ． 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）在中，，，，则的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，正弦．解题的关键在于正确的计算． 由勾股定理得，根据计算可得结果． 【详解】 解：如图 ∵，， ∴ ∴ 故选：B． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股定理和正切三角函数的应用，熟练掌握正切三角函数的概念是解题的关键．先用勾股定理求出的长，再根据求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴． ∵，， ∴, ∴． 故选：D． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】 解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（       ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【分析】 根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处， ,， ，， 设，则，， 在中， 即， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选C． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 10．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点．若，，则的长是（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，平行线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．连接，求出，得出，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【详解】 解：连接， ∵是直径， ∵平分， ∵是的切线， 故选：B． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）（多选）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD； （2）在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE； （3）连接DE，则cos∠ADE＝　                           　． 【答案】（1） 如图，线段AD即为所求．      （2）如图，线段AE即为所求     （3）      【分析】 （1）在方格中找出点B关于点C的对称点点D，连接AD即可； （2）利用旋转变换的性质作图即可； （3）过点A作AT⊥DE于T，求出AD、DT，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点A作AT⊥DE于T． ∵AE＝AD， ∴DT＝ET＝， ∵AD＝， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了作图——翻折变换、旋转变换，勾股定理和解直角三角形等知识点，解题关键是利用数形结合思想构造含∠ADE的直角三角形． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】 本题考查了分式的化简与求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的减法法则算减法，再根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，求出a的值后代入，即可求出答案． 【详解】 解：原式         原式 13．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）计算：； 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】 解： 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】 根据分式的运算法则化简原式，再求出a的值，代入化简结果即可求出答案． 【详解】 解： ． ． 当时，原式． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则和牢记特殊角的三角函数值，本题属于基础题型． 15．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）计算：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查特殊角三角函数值的混合运算，先求特殊角的三角函数值，，再进行实数的运算即可． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】 解： ． 17．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）在中，，，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】 在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是　　　　　　　　　　 【答案】.5 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求正切，连接，再根据勾股定理求出，进而说明是直角三角形，然后根据正切定义解答． 【详解】 解：连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形． 在中，， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）计算： 【答案】3 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，先计算负整数指数幂，零指数幂，求算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法． 【详解】 解： 20．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）已知长方形，，，点为边上一点，若，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查长方形的性质、锐角三角函数、解一元二次方程，利用正切定义求解线段长是解答的关键．先证明得到，则，设，则，求得长，再由求解即可． 【详解】 解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， 解得，， 即或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：或． 21．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】；． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把原代数式中第一个分式的分子分母同时分解因式后约分化简，再计算分式减法，接着根据特殊角三角函数值求出x的值，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴原式． 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）在半径为的中，弦，，则的度数为　　　　　　度． 【答案】或或 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．连接，过作于，于，根据垂径定理求出值，根据解直角三角形的知识求出和，然后分两种情况求出即可． 【详解】 解：如图所示： 连接，过作于，于， ∴， ∵，， 由垂径定理得：，， ， ∴， ∴； 如图所示 连接，过作于，于，. ∴， ∵，， 由垂径定理得：，， ， ∴， ∴． 故答案为：或． 23．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键； （1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，然后进行计算即可求解． （2）先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，根据分式的性质进行化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： ． ． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和零指数幂的运算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】 解： ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45° 【答案】, 【分析】 先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】 原式 把代入， 考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键. 26．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）将线段绕点A顺时针旋转得到线段，画出线段，直接写出的值． （2）在上找一点F，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求，      （2） 如图所示，点F即为所求． 【分析】 本题主要考查了求角的正弦值，画旋转图形，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点找到点E的位置，画出对应的图形，过点A作于H，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义可得答案； （2）如图所示，取格点H，连接交于F，则点F即为所求；可证明是等腰直角三角形，则． (1) 小问详解： 解：过点A作于H， 由网格的特点可得， 则，且点E在上， ∴； (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】 解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，点在优弧上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，特殊角的三角函数值，求弧长． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．进而可得，然后根据得出，进而求得，最后根据弧长公式计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ． ． ∴． ． ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的长为：． 29．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　　． 【答案】3 【详解】 连接OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠BOM= =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3， 故答案为3． 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）计算： 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算．原式利用绝对值的代数意义，二次根式运算法则，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】 解： ． 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）先化简，再求值：1+÷（1﹣），其中x=2cos30°+tan45°． 【答案】 【分析】先化简分式，再计算x的值，最后把x的值代入化简后的分式，计算出结果． 【详解】原式= =1+ =1+ = 当x=2cos30°+tan45° =2×+1 =+1时． = 【点睛】本题主要考查了分式的加减及锐角三角函数值．解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序． 32．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． （1）求点、点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3）存在，点的坐标为      【分析】 本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． (1) 小问详解： 解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：将点，代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． (3) 小问详解： 解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 33．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为　　　　　　　　　　 【答案】2 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识， 连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可． 【详解】 解：连接， ， ， ，为的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 34．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 此题考查了分式的化简求值，特殊角三角函数，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算括号的分式加法，再计算分式的除法，得到化简结果，再求出字母的值，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】 解： ， 当时， 原式 ． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）在半径为1的中，，为的两条弦，且，，则的度数为　　　　　　　　　　 【答案】 或 【分析】 此题主要考查了垂径定理以及利用三角函数求特殊角度，利用分类讨论得出是解题关键． 根据弦长与半径的关系，求出弦与半径的夹角和弦与半径的夹角，再根据点和点的位置关系得到的两个可能值． 【详解】 解：分别作，，垂足分别是、． ∵，， ，， ，， ， ，， 当与在圆心的两侧时，， 当与在圆心的同侧时，， ∴∠°或． 故答案为或． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】 此题考查了分式的化简求值，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将括号内的式子通分运算，再将除法化为乘法进行约分计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】 解： ． 当时， 原式． 37．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为4，且一个角的正切值为； （2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段与的比值为______． 【答案】（1） 如图，的面积为，的正切值为．      （2） 如图，是以为底边的等腰三角形，为边上的高． ；       【分析】 （1）在方格纸中作，使其正切值为，由三角形的面积，确定点和点的位置即可； （2）由矩形的性质，可得点，结合等腰三角形的判定和性质，可得，根据勾股定理，结合三角形的面积公式，可得线段与的比值． (1) 小问详解： 解：， ． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴是以为底边的等腰三角形， 由矩形的性质可得为的中点， ∴， ∴是边上的高， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段与的比值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，三角形的高相关的计算． 38．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）先化简．再求代数式的值． ，其中． 【答案】 【详解】 根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可. 解：原式＝ . 当a＝tan60°﹣2sin30°＝时， 原式＝ ． 39．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【分析】 本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】 解：原式 ， ， 原式． 40．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出以为底边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上； （2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8，并直接写出此时的值． 【答案】（1） 如图1，即为所求；      （2） 如图2，即为所求； ．      【分析】 本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，角的正切值，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键． （1）由题可知，点B满足、这两个条件，说明点B在的垂直平分线上，说明点B在以为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求； （2）由题可知，点D满足，故可以C为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求，取格点E，连接，进而即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由作图可得，， ∴． 41．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为　　　　　　． 【答案】3或21 【分析】 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】 解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 42．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）先化简，再求代数式的值，其中 【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值；根据分式的运算法则把所给的分式化简，再求得的值，代入计算即可. 【详解】 解：原式 当时 原式 43．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查实数的混合运算，正确记忆特殊锐角三角函数值是解答本题的关键． （1）原式代入特殊锐角三角函数值，再进行二次根式乘法运算和零指数幂运算即可得到结论； （2）原式代入特殊锐角三角函数值和化简绝对值，即可得到结论； （3）原式代入特殊锐角三角函数值和乘方运算，即可得到结论． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 44．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在平行四边形中，于点E，F是上一点，且，点O为对角线中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ 即，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定与性质． （1）先由平行四边形结合已知可得，，则可得四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）分别解，求出，，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小 【答案】（1），，. （2）m=0，∠A=30°，∠B=120°． 【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可； （2）分三种情况进行分析：① 当∠A=30°，∠B=120°时；② 当∠A=120°，∠B=30°时；③ 当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得， sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=， cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=， sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°． ① 当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验是方程4x2﹣1=0的根． ∴m=0符合题意． ② 当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意． ③ 当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验不是方程4x2﹣1=0的根． 综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 46．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，已知正方形和正方形，点G在上，与交于点H，，正方形的边长为8，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 根据正切的概念和正方形的性质，求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，证明，求得，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】 解：正方形和正方形， ，， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再进行角度转换是解题的关键． 47．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 48．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如果中，，那么是　　　　　　三角形． 【答案】等腰直角 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 49．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则　　　　　　． 【答案】 【详解】依题意直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1且正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，∴过B,D分别作，，，的垂线则形成的直角三角形全等，较长直角边为2，较短直角边为1，∴正方形的边长为，∴ 故填 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）先化简，再求代数式，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，三角函数的计算，正确计算是解题的关键．先算括号里的，再进行除法运算，然后将分式的分子分母因式分解，最后化简求值． 【详解】 解： 当 时 原式． 51．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，在正方形中，点，点分别为边，上动点，且，连接，交于点，在线段上截取，连接，为的角平分线，交线段于点．有如下结论：①；②；③若时，则的值为；④若，点为中点时，点为上一动点，的最小值为．其中一定正确的结论是　　　　　　　　　　．（请将正确的结论序号填在横线上） 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 ①通过证明，得出，根据，得出，即可判断① ；②过点A作，交延长线于点Ｑ，连接，先证明，得出，，再证明，即可得出，即可判断② ；③如图所示，过点D作于点M，由三线合一得到，证明出四边形是矩形，得到，等量代换得到，推出，即可得到，即可判断③ ；④如图所示，作点A关于的对称点，连接，，和交于点N，以点B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，首先得到，判断出当点，Q，D三点共线时，即点Q和点N重合时，有最小值，即的长度，然后求出所在直线表达式为，所在直线表达式为，联立求出，然后求出，然后利用勾股定理求出，即可判断④ ． 【详解】 解：① ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故① 正确； ②过点A作，交延长线于点Ｑ，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故② 正确； ③如图所示，过点D作于点M ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故③ 正确； ④如图所示，作点A关于的对称点，连接，，和交于点N，以点B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵ ∴点A，G，E， 四点共线 由对称得， ∴ ∴当点，Q，D三点共线时，即点Q和点N重合时，有最小值，即的长度， ∵，点为中点， ∴，， ∴，，，， 设所在直线表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 同理可得，所在直线表达式为 联立得， 解得 ∴ ∵点A关于的对称点， ∴点G是线段的中点 ∴ ∴ ∴的最小值为，故④ 正确． 综上所述，其中一定正确的结论是① ② ③ ④． 故答案为：① ② ③ ④． 【点睛】 本题考查正方形的性质和全等三角形的性质和判定，求角的正切值，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD=3：2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠CDA． ∵∠B+∠BAD=90°，∠BAD+DAC=90°， ∴∠B=∠DAC． ∴△ABD∽△CAD． ∴DB：AD=AD：DC． ∵BD：CD=3：2， ∴设BD=3x，CD=2x． ∴．， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，，，则的长是（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】 解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，点P，点Q分别是上的点，且．设的面积为y，的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意求出，则根据勾股定理可得，则为等边三角形，过点P作于点H，则，最后根据三角形的面积公式求出y的表达式即可． 【详解】 解：∵，E为的中点，则， 在中，， 同理可得， 故为等边三角形，则， ∵，则， 在中，过点P作于点H， 则， 则， ∵， ∴该函数为开口向下的抛物线，时，y的最大值为． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，以及求二次函数最值的方法． 4．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，EF为折痕．若AE＝6，则sin∠BFD的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由折叠性质得出△AEF≌△DEF，则∠EDF＝∠A；由三角形内角和定理及平角的知识得出∠CDE＝∠BFD，在直角△ECD中，根据正弦定义即可得出结果． 【详解】 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8， ∴∠A＝∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF＝∠A， ∴∠EDF＝∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF＝∠BFD+∠BDF+∠B＝180°， ∴∠CDE＝∠BFD， 又∵AE＝DE＝6， ∴CE＝8﹣6＝2， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE＝＝＝， ∴sin∠BFD＝， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数等知识来解决问题． 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（     ） A. 40 B. 80 C. 160 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【分析】 根据、是等边三角形，得出， ，证明，根据全等三角形的性质即可判断① ；根据当时，，但是是变化的，得出不一定相似，即可判断② ；根据题意得出当点重合时，最大，此时 ，当时， 最小，证明，根据相似三角形的性质得出，结合点D是边上一点（不与点B、点C重合），即可判断③ ； 【详解】 解：∵、是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故① 正确； ∵ 故当时，， ∵是变化的， ∴不一定相似，故② 错误； 当点重合时，最大，此时 ， 当时， 最小， 此时， ∵， ， ∴， ∴， ∵点D是边上一点（不与点B、点C重合）， ∴，故③ 正确； 故选：B． 【点睛】 该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，点B，C，E在同一直线上，∠ABC = 60°，点D在CG上，BC = 1，CE = 3，H是AF的中点，那么CH的长是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接AC、CF，根据菱形的性质求出AC、CF，∠ACD＝60°，∠GCF＝30°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】 解：连接AC、CF、GE，且CF、GE交于点O，如图所示： ∵菱形ABCD和菱形CEFG中，BC＝1，CE＝3， ∴，，，CF平分∠GCE，AC平分∠BCD，GE⊥CF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC=BC=1， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵GE⊥CF， ∴， ∵∠OCE=30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是AF的中点， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，菱形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形，是解题的关键． 8．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，半径为1的半圆 上有两个动点，若   ，则四边形 的面积最大值为（  ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查的是垂径定理，解直角三角形．过点O作于点H，连接，分别过点A、H、B作、，于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知，再由梯形的中位线定理可知，，进而可得出结论． 【详解】 解：过点O作于点H，连接，分别过点A、H、B作、，于点E、F、G， ∵，的半径为1， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， ∴ ， ， 故选：B． 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 　　　． 【答案】 【分析】 先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为，若，，则图中阴影部分（扇形）的面积为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据大圆的弦是小圆的切线，则垂直并且平分弦，得到，根据勾股定理求出,再求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】 解：大圆的弦是小圆的切线， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】 本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】 解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 13．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了一次函数与坐标轴交点，勾股定理，先求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再利用两点间距离公式计算的长． 【详解】 解：对于一次函数， 当时，，所以点的坐标为， 当时，，解得：，所以点的坐标为， 点与点之间的距离公式为． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，菱形中，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是　　　 ． 【答案】 【分析】 由菱形的性质，找出B点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，再由勾股定理可求出． 【详解】 解：连接，    由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，连接．则， ∴， 即就是的最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴（等腰三角形三线合一的性质）， 在中，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是菱形的性质．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使成为最小值． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，将边长为2的正方形沿对角线方向平移得到正方形．若正方形与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是正方形面积的一半，则正方形平移的距离为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和平移的性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得到和重叠部分面积，进而求出，即可得到，从而得到答案． 【详解】 解：根据平移的性质可知重叠部分图形是正方形 四边形为正方形且边长为2 ， 重叠部分的面积是正方形面积的一半 重叠部分的面积为 重叠部分的边长为 故答案为：． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的长为　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查的是作已知直线的垂线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先由作图可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】 解：由作图可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 　　　　　． 【答案】 【分析】 由作图得平分，再根据勾股定理求解． 【详解】 解：过D作于F，连接， 由作图得：平分， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，掌握圆周角定理是解题的关键． 18．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=　　　　　． 【答案】8 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解． 【详解】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°， ∴∠BDC=90°-60°=30°， ∴BD=2BC=2×4=8， ∵∠C=90°，∠A=15°， ∴∠ABC=90°-15°=75°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）在半径为2的中，弦长为，点C在上，若，则弦的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2或4 【分析】 本题可先根据圆的半径和弦的长求出圆心到弦的距离，再结合，分情况讨论点的位置，进而求出弦的长．本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及等边三角形和直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）以及特殊三角形（等边三角形和直角三角形）的性质是解题的关键．在解题过程中，要注意点位置的讨论，避免遗漏解． 【详解】 解：过作于，连接， ∵， ∴， ，， ∴ ∴， 情况一：当点在劣弧上时 ∵， ∴ ∴点、、三点共线， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ 情况二：当点在优弧上时， ∵， ∴点、、三点共线， ∴ 综上，弦的长为或 故答案为：2或4． 20．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S． （1）求点C的坐标； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C坐标为     （2）     （3）存在点P或或，使是等腰三角形      【分析】 （1）先求出方程的解，可得，，再由，可得，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，过点A作交CB的延长线于点F，即可求解； （3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解． (1) 小问详解： 解：，解得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴点C坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图， ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下： 根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠BAD，BC=AD=5， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， 当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F， ∴， 设PC=PM=a，则PD=7-a，， ∵PF2+FM2=PM2， ∴，解得：， ∴， ∴此时点P； 当时， ∴， ∴此时点P； 当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则， ∴， ∴PD=7-PC=4， ∴此时点P； 综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 21．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，解直角三角形，是解决问题的关键．画出示意图，每旋转6次是一个循环组，点的对应点落在第三象限，且，即可得到答案． 【详解】 解：由已知可得： 第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，， 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在轴正半轴，， 如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而， ∴在第三象限，且， ∴横坐标为，，纵坐标为，， ， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】 本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】 解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形；     （2）      【分析】 （1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 25．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）在，，，点为直线上一点，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】3或5 【分析】 本题考查的是解直角三角形，根据题意，分点D在边上和在边延长线上两种情况，结合解直角三角形求出的长即可解答． 【详解】 解：当点D在边上时，如图， ∵在中，，，， ∴ ∴设，则， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当点D在边延长线上时，如图， 同理可得． 综上，的长为3或5． 故答案为：3或5． 26．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，为的直径，为弦，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点，连接并延长交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；若直线经过点，，则弧的长为　　　　　　（结果保留）． 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，解直角三角形，等腰三角形的性质，尺规作图等知识点．连接，由作图可得，，垂直平分，求出，由,，得到，，然后解，求出，再由弧长公式即可求解． 【详解】 解：连接， 由作图可得，，垂直平分， 设， ∴， ∴ ∴在中，由得，， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴在中， ∴弧的长度： 故答案为：． 27．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）在中，，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查解直角三角形，涉及正切函数定义、勾股定理等知识，根据题意，分情况求解是解决问题的关键 由，分三种情况：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后过点作出对边的高，构造直角三角形分别进行计算即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，分三种情况： 当为锐角三角形时，过点作于点，如图所示： 在中，， 设，则， ， 由勾股定理可得，则， ， 解得或（负值，舍去）， 则，， 在中，，，则由勾股定理可得， ； 当为直角三角形时，如图所示： 在中，，则， ， ，故此种情况不存在； 当为钝角三角形时，过点作于点，如图所示： 在中，， 设，则， ， 由勾股定理可得，则， ， 解得或（负值，舍去）， 则，， 在中，，，则由勾股定理可得， ． 故答案为：或． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）在中，，，，则边长为　　　　　　． 【答案】7或17 【分析】 本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键，注意分类讨论．根据题意可以画出符合条件的图形，然后根据锐角三角函数即可解答本题． 【详解】 解：在中，过点作，交于点，如图， ∴在中，， ，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴在中，由勾股定理得：，， ， 或， 故答案为：7或17． 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴且． 又， ． ． 又． ∴四边形是平行四边形．     （2）      【分析】 该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是正方形，得出且．结合，得出．结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）过点作于点．根据四边形是正方形，，得出．结合，证出四边形是矩形．得出．结合，得出．在中，由勾股定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作于点． ∵四边形是正方形，， ． 又， ∴四边形是矩形． ． 又， ． 在中，由勾股定理得． 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点G，延长交于点H，当点P在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点C关于直线的对称点P，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点P在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H， 当点P在上方时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点C关于直线的对称点P， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图，当点P在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由对称的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先得出，然后得出，然后结合得到，推出，然后利用求出，然后证明出，设，根据勾股定理求出，过点A作交于点G然后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， 如图，过点A作交于点G    ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是推出． 32．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形；     （2）．      【分析】 （1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴菱形的面积＝． 【点睛】 本题考查菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 33．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）（1）如图①，已知和，易证： ； （2）如图②，在正方形中，点E、F分别在对角线和边上，，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图③，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，EF，．请直接写出线段，，之间的数量关系，不需证明． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），证明如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3） 【分析】 （1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 （3） 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 34．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是　　　　　　　　　． 【答案】7或 【分析】 本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】 解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）已知，点在OB上，点在上，于点，若，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等．如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于M，此时，为的最小值，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于点M， 此时，为的最小值， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）已知在中，，，，则　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分两种情况：① 当为锐角三角形时，作，交于，由可知，利用勾股定理计算出，，的长度即可求解，② 当为钝角三角形时，同理即可求解． 【详解】 解：当为锐角三角形时，如图，作，交于， ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， 由勾股定理可得：，即：， 可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 当为钝角三角形时，如图，作，交于， ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， 由勾股定理可得：，即：， 可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 37．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长． 【详解】 解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB． 在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=． 连接OQ，在Rt△OPQ中，． （2） ∵ ∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC． OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=． ∴PQ长的最大值为． 考点：解直角三角形；勾股定理． 38．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】 解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【点睛】 本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 39．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）九（1）班同学在数学老师的指导下；以“角形的旋转”，为主题，开展数学活动． 【操作判断】（1）如图1，在等边三角形中，将绕点旋转，得到，连接，则________度．若是的中点，连接，则与的数量关系是________． 【迁移探究】（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，在Rt中，，，将绕点逆时针旋转，得到，与，与为对应点，连接，为的中点，连接，当时，求的长． 【答案】（1）90，；（2），；（3）的长为1或 【分析】 （1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 【详解】 （1）解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； （2）解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况进行讨论： ① 如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ② 如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为1或． 【点睛】 本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． 40．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是　　　　　　　．（写出所有正确结论的序号） ①；②四边形是轴对称图形；③；④． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 ①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接，根据①中的结论可知是等腰直角三角形，再结合的长可求出，从而得出结论；③延长、相交于点H，根据题中条件证明，可得，即可证出结论；④取的中点M，连接，可知，即可求出答案． 【详解】 解：① ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ②连接，如图所示， 由①知，是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为对称轴的轴对称图形，故② 正确； ③延长、相交于点H，如图所示， ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由①得，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，    ∴， 由②知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③ 正确； ④取的中点M，连接，如图所示， ∵四边形是矩形，， ∴， 由③知，， ∴， ∴点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴ ，故④ 正确． 故答案为：① ② ③ ④． 【点睛】 本题考查了矩形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题关键． 41．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，矩形中，，连接，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线交于点H，则的长度为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案． 【详解】 解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M， 由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键． 42．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形；     （2）      【分析】 本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 43．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形；     （2）24     （3）      【分析】 此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等面积法进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵，     ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24； (3) 小问详解： ∵，，， ∴， 设平行线与间的距离为， 则， 解得． 故答案为；． 44．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，证明是等边三角形，得出，由折叠的性质可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】 解：如图，作于， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是：　　　　　　． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的应用，勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形． 在上截取，在上截取，连接，证明，则，，由，得，则，可得．故正确；由，通过角度关系，可得，故正确；先证，可得，．由等腰三角形的判定和性质，可得的周长比的周长大3．故正确；设，由勾股定理可得，可求，，则可得，故正确． 【详解】 解：在上截取， ， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ， ．故正确； 平分， ． ， ． ， ， ， ． 即，故正确； 在上截取，连接， 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ． 的周长为，的周长为， 的周长比的周长大3．故正确； ， ． ． ，， ． 设， ． ，， ． ，， ． ． 解得，即． ． ．故正确． 故答案为：． 46．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】 解：如图，连接、，    ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值． 【答案】（1）① 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴．    ②．理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）．理由如下： 如图，过点作于点，得．        ∵和关于对称， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，即 （3） 【分析】 （1）① 证明：，再证明即可；② 由和关于对称，可得．证明，从而可得结论； （2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论； （3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】 （1）① 略 ② 略 （2）略 （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，过点作于点．    ∵， ∴， ． ∴． ∴． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 48．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将线段绕点A旋转，点B的对应点为点C．（点C在格点上）； （2）在边上画出点E，连接，且；（保留作图痕迹） （3）直接写出的长． 【答案】（1） 如图：      （2） 如图：      （3）      【分析】 （1）根据旋转的性质，取格点C，使，，即可． （2）取与格线的交点E，使，即可． （3）取格点G，H，根据，得，根据,，根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：取格点C，使，，点C即为所求作， (2) 小问详解： 解：取与格线的交点E，使，点E即为所求作， 理由：取格点G，H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 49．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）已知，如图1，把边长为4的正方形纸板沿分割线剪下后得到一副七巧板，其中图①是正方形，图②是平行四边形，图③④⑤⑥⑦都是等腰直角三角形．现用该七巧板拼出一个新正方形如图2，图空隙部分是用阴影表示的一个箭头图形，其箭头是由等腰直角三角形和等腰直角三角形以及矩形组成，其中四边形为图①． （1）新正方形的边长为　　　　　　　　　　　； （2）箭头图形的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据七巧板的特性结合题意解答． 【详解】 （1）图2中的分割图如下，结合图1可知， ， ∴ ∴新正方形的边长为． 故答案是：； （2）∵， ∴，， ∴， ∴箭头图形周长为： ， 故答案是： 【点睛】 本题通过七巧板考查常见图形的有关计算能力． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）定义：对于四边形上若存在一点O，使得且，则称这样的四边形是“等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． （1）如图1，四边形是“等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B、C作的垂线，垂足分别为G、H．求证：； （2）如图2，在中，，，，点B、C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的三等分点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是“等垂四边形”，O在上，O是它的“等垂点”，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】（1） 证明：，． ， ． ∵四边形是“等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ；     （2）线段OA的长为3或或      【分析】 （1）证明，则，，即可得到结论； （2）分四种情况：点B在上，点C在上，且点B更靠近点A；点B在上，点C在上，且点B更靠近点M；点B在上，点C在上，且点B更靠近点D；点B在上，点C在上，且点B更靠近点M，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点A时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点C作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点M时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点C作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点D时， 在中，由勾股定理得， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点B作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点M时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点B作于H， 在中，， 在中，， ∵点B在上， ∴， ∴此种情况不成立； 综上所述，的长为3或或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 51．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对三角形的相似进行了深入研究． （1）提出问题 如图1，在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，易知与的关系为____________，进而求出的度数为___________． （2）类比探究 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长． （3）迁移运用 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右侧作，使， ①线段的取值范围是； ②当点到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；     （2）①；②     （3）①，的长为或      【分析】 （1）根据菱形的性质，根据旋转性质，证明是等边三角形，再证明，得到． （2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可． ② 根据正方形的性质，得到，继而得到， 解答即可． （3）① 先证明,进而判断出在射线上运动，确定的最小值与最大值时，点的位置，根据点在两点时，求得的长，即可求得得范围； ② 过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． (1) 小问详解： 解：∵菱形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：；． (2) 小问详解： ① 解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ② 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：① 如图，设交于点， ∵， ∴, ∴点在射线上运动， ∴当时，取得最小值， 即当重合时，重合， ∴ 当重合时，如图， 在矩形中，，， 又∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ 解得：， ∵ ∴三点共线， ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 过点作，交的延长线于点H，过点作于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 过点作于点G， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，特殊角的三角函数应用，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 52．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图1，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是的中点． （1）求的长； （2）如图2，过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求的长； （3）如图3，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意易得是直角三角形，进而得到，由勾股定理得，进而得到的长； （2）过点G作于点P，连接，证得四边形是矩形，进而证得，设，则，易证得是线段的垂直平分线，则，由（1）可知，在中，由勾股定理得，列方程求解的值，从而得到的长； （3）连接，过点O作于点Q，于点T，证明四边形是正方形，进而得到是线段的垂直平分线，证得，进而可证得是等腰直角三角形 ，由勾股定理得，从而得到的长． (1) 小问详解： 解：四边形是正方形，， ，， 是直角三角形， 在中， ， ， 由勾股定理得：， ， ； (2) 小问详解： 解：过点G作于点P，连接，如图所示： ， 是直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 又点F是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； (3) 小问详解： 解：连接，过点O作于点Q，于点T，如图示： ， 四边形是矩形，和都是直角三角形， 在正方形中，， 是等腰直角三角形， ， 矩形是正方形， ，， 点F是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形 ， 由勾股定理得：， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握其相关性质定理，数形结合的思想方法的运用，是解题的关键． 53．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．） （1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形． （2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是筝形；     （2），，      【分析】 （1）根据菱形的性质，得到，，即可证明，得到，即可根据筝形的定义证明结论； （2）分和两种情况讨论，分别求出满足条件的点M的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，以点P为圆心，5为半径画弧，该弧恰经过，，，等4个格点， 且，； ，；，， 四边形、四边形、四边形都是筝形； 当时，也能得到，，，共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形为筝形； 所以网格中其它所有符合条件的点M的坐标是，，． 【点睛】 本题考查了坐标与图形的综合问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间的距离公式，正确理解筝形的定义并能拓展应用是解题的关键． 54．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）已知：是的直径，弦交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点E作直线，分别交于点M、点N．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过N作于点F，连接并延长交于点G，连接，，．求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；      （2） 证明：由（1）得， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）连接，由圆周角定理和平角的定义可证明，则由三线合一定理可证明，据此可证明结论； （2）导角可证明；则可证明，得到；再证明，得到，则可证明； （3）过点B作于H，连接，由三线合一定理可得，证明是的中位线，得到；设的半径为，则，由勾股定理得，解得，则，可求出，，解直角三角形可得；可证明，，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过点B作于H，连接， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 55．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）（多选）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在点C运动过程中，当时，求的值． 【答案】（1）证明：∵AB⊥MN， ∴∠APM=90°， ∴∠D+∠DMP=90°， 又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°， ∴∠DMP+∠CAM=90°， ∴∠CAM=∠D， ∵∠CMA=∠ABC， ∴．     （2）     （3）      【分析】 （1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似； （2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可； （3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接OC， ∵， ∴MN是直径， ∵， ∴OM=ON=OC=5， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴OC⊥MN， ∴∠COE=90°， ∵AB⊥MN， ∴∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠COE， 又∵∠BEP=∠CEO， ∴ ∴， 即 由， ∴， ∴， ， ∴． (3) 小问详解： 过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°， ∴∠CMG+∠GCM=90°， ∵MN是直径， ∴∠MCN=90°， ∴∠CNM+∠DMP=90°， ∵∠D+∠DMP=90°， ∴∠D=∠CNM=∠GCM， ∵， ∴， ∵ ∴设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP， ∴， ∴， 即 ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】 本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题． 56．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，正方形中，在边上，交于，过点作的垂线交于，连接、，交于，则下列结论中①；②；③；④．正确的有　　　　　　　　　（填序号） 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． ①过点作于点，于点，证明四边形是正方形，再判定和全等得，由此可对该结论进行判断； ②过点作交的延长线于点，证明，判定和全等，再证明，判定和全等得，由此可对该结论进行判断； ③过点作，且使，连接，，证明，判定和全等得，，证明，继而判定和全等得，由勾股定理得，进而得，由此可对该结论进行判断； ④根据三角形外角性质得，根据，得，在中，根据即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】 解：①过点作于点，于点，如图1所示： ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 矩形是正方形， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②过点作交的延长线于点，如图2所示： ， 在正方形中，，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 由（1）正确得：， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作，且使，连接，，如图3所示： ， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故结论③正确： ④是和的外角， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是① ② ③ ④． 故答案为：① ② ③ ④． 57．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知正方形，点在直线上，点在射线上，． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，直接写出线段之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，则的长为___________． 【答案】（1） 证明：延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴；     （2）点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，     （3）或      【分析】 （1）延长到点M，使，连接，然后证明，则，那么； （2）点在线段延长线上时，以及点在线段延长线上时，同（1）构造辅助线证明即可； （3）当点在线段上时，则，然后由勾股定理可得，则；点在线段延长线上时，则，然后由勾股定理得，则． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：如图② ，延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 如图③ ，延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 综上：点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，； (3) 小问详解： 解：当点在线段上时，如图： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 点在线段延长线上时， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 58．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点A作交于点I，连接，构造，再延长至K，使，连接，，，构造，由全等三角形的性质，将转化为，根据全等三角形的性质得出此时，设此时，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】 解：如图，过点A作交于点I，连接， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 延长至K，使，连接，，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、G、K三点共线时，最小，即最小， ∵、G、K三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当最小时，， 设此时，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即当最小时，． 故答案为：． 【点睛】 本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等，解题关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 59．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，直角中，，，，在上分别取点，使得为正三角形． （1）求的度数； （2）求边长的最小值． 【答案】（1）     （2）边长的最小值为．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）过E作，根据全等条件得出，设，用x表示出，即可表示出，根据勾股定理得出关于x的表达式，采用配方法求解最小值即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：过E作，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴当时，有最小值， 即的最小值为． 60．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）在直角 中， ，斜边， ，分别在 上取点，使为正三角形，则边长的最小值是 　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 过E作，根据全等条件得出，设，用x表示出，即可表示出，根据勾股定理得出关于x的表达式，采用配方法求解最小值即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 过E作，如图： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴当时，有最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 61．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）已知：如图，内接于，，连接． （1）求证：； （2）点D为弧的中点，连接交于点H，若，求证：为等边三角形； （3）在（2）的条件下，点E为弧上一点，连接，（）交于点X，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：如图所示，连接， ∵点D为弧的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵弧弧， ∴， 又∵， ∴为等边三角形．     （3）      【分析】 （1）连接，设，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可证明结论； （2）连接，证明，则可证明，，证明，得到，则，进而可证明，据此可证明结论； （3）延长至点M，使，连接，过点E作的垂线，垂足为N，过点C作延长线的垂线，垂足为K，证明得到，；可证明，则可求出，；由勾股定理得，则；证明四边形为矩形，得到，，则可求出，据此求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，延长至点M，使，连接，过点E作的垂线，垂足为N，过点C作延长线的垂线，垂足为K， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， 在中，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形综合，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 62．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）已知：五边形内接于，连接相交于点F，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M、H，过点E作的切线交的延长线于点N，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ；     （2） 证明：由（1）得， ， ∴， ∴， ∴， ；     （3）      【分析】 （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，据此可证明结论； （3）可证明，得到；证明，得到；证明，得到；连接并延长交于R，连接，证明，得到，设，，则，可求出，，则，，利用勾股定理可求出，，，则，进而得到，则；可证明H、O、D都在线段的垂直平分线上，则H、O、D在一条直线上，求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得， ∴， ； 又∵， ∴， ∴； ， ∴， 又∵，， ∴， ； 连接并延长交于R，连接， 是的切线， ， 为直径， ， ∴， ； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵， ， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴H、O、D都在线段的垂直平分线上， ∴H、O、D在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，弧，弦和圆周角之间的关系，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解题的关键． 63．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知： 内接于 ，圆心 在 内部，直径 交 于点 ，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点 为 上一点，连接 ，，点 在 上，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，连接 ．若 ，，，，求线段 的长度． 【答案】（1） 解：如图1，连接， ， ， ；     （2） 解：如图2，连接并延长交于点，连接，， ， 为中点， 又为中点， ，， 为直径， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ；     （3）      【分析】 （1）连接，由可得，由等腰三角形三线合一可得； （2）如图2，连接并延长交于点，连接，，先证是的中位线，得出，，再证四边形是平行四边形，即可得出； （3）如图3，连接， 分别过D，P作，的垂线， 垂足分别为L，S，先根据，证明，再证，得出，再证，得出，进而可得，设，则，结合，可得，进而证明，推出，再用勾股定理解，证明，求出，再用勾股定理解，求出，进而可得，最后根据，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，连接， 分别过D，P作，的垂线， 垂足分别为L，S，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 为的直径 ， 设，则， 又， ， ， ， ， ， ，， 又 ， ， ， ， ， 设，则 在中，由勾股定理得 ，，， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 连接，， ， ， ， ． 【点睛】 本题属于圆的综合题，考查圆周角定理，中位线的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等，第3问难度很大，正确作出辅助线是解题的关键． 64．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交y轴于点E，点D横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S； （3）如图2，在（2）的条件下，过点O作，交于点Q，过点Q作，交于点H，连接，点F为线段上一点，连接，过点H作，交于点G，点K在线段上，连接，过点K作，交y轴于点M，连接，直线交抛物线于点N，连接，若，平分，，求点N的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊三角形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过D作轴，垂足为R，设，则，，根据正切的定义列比例式求得，易得、，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过作，过作轴，交的延长线于，再证明可得，即，进而得到，再解直角三角形和线段的和差可得；设，，，由勾股定理列方程可得，则；如图：作交于Q，则，可直线解析式为，易得；如图：过点K作x轴平行线，交延长线于T，过点A作的垂线交直线于S，证明可得，进而得到，则、，，，；如图：过点B作的垂线交直线于，可求得，易得直线解析式为，再与抛物线的解析式联立即可解答． (1) 小问详解： 解：抛物线交y轴于点A，交x轴于点， ， 解得 ， 解析式为． (2) 小问详解： 解：如图：过作轴，垂足为， 设，则， ， ， ，即，解得： 抛物线交轴于点， ，， ． (3) 小问详解： 解：如图：过作，过作轴，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ∴， ∴， ， ， 又∵， ， ， 设，，， ∴，即，解得：， ，即， ∴， 如图：作交于Q，则 设，过，两点， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 由点K在上，设， 如图：过点K作x轴平行线，交延长线于T，过点A作的垂线交直线于S ，平分， ， ， ， ， ∴， ∴，解得：， ∴，，，， 如图：过点B作的垂线交直线于 ， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ，解得： ． ∴直线解析式为， 解析式为和二次函数 联立 解得 或 （舍）， ∴点N的坐标． 65．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）四边形中，，，，，E、F分别是和上的点，连接、、．有如下结论：①；②；③若，，则；④的周长最小值等于周长的．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ② ① 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形周长的计算，对所有知识点灵活运用是解题的关键． 结论① ：利用等腰三角形的性质，进行角度计算即可；结论② ：构造，再证明出得出多种数量关系，即可证出；结论③ ：假设，则，过点作交于点，由勾股定理，求出的长，通过特殊角的直角三角形求出的长，最终求出的长度；结论④ ：利用轴对称的性质，判断出的周长最小值的情况，求出最小值，并与周长进行比较计算即可． 【详解】 解：对于结论① ： ∵，， ∴， 同理，由于，， ∴， ∴， ∴， 故结论① 正确． 对于结论② ： 在的延长线上截取，连接，如下图所示： 在与中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，又∵， ∴， 即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，结合， 故， 即结论② 正确． 对于结论③ ： 过点作交于点，过点作交于点，如图： 由结论① 的结果，，，且为等边三角形，即， ∴，结合勾股定理，结合， 解得，， 假设，则， ∵， ∴， ∵，结合结论② ，可得， ∴， ∵和， ∴， 即， 解得，即，结合， 由勾股定理， 故结论③ 错误． 对于结论④ ：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，同理可得， 计算得出，符合题意， 此时的最小周长为线段的长度， ∵、为、的中点， ∴， 在中，， ∴，, 则的周长为， ∵ ∴的最小周长等于周长的， 故结论④ 错误． 故答案为：① ② ． 66．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）已知：的直径交弦于点，其中点为的中点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦交于点，其中，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，且，连接，，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，． 点为弧的中点， 弧弧， ， 又， ；     （2） 证明：如图，作直径，连接， ，， 在中，， ， ， 是直径， ， 在中，， ，     （3）      【分析】 本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，，根据圆周角定理可得，进而得到； （2）作直径，连接，在中，，得到，再在中，根据即可证明； （3）连接，，过点作于点，令，得到，在，理由勾股定理求得，再解三角形求的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接，，过点作于点． 弧弧弧， ，弧弧， ，， 令，则， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， 解得，（舍）， ，，，， 弧弧， ， ，， ，， ，， ， ． 67．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，作直线． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接、，且，过点作的垂线交于点，过点作交于点，其中．点是上的一个动点，连接，，当与的和最小时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）分别令当时，当时，求出，，，由正切函数的定义求解即可； （2）过点作于点，，由正切函数得，，即可求解； （3）过点作交于点，过点作轴于点．令与的交点为．连接交于点，连接，，在上另外任取一点，连接，，．令，则，，由勾股定理得，由正切函数得， ，，，当为与的交点时，与的和最小，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， ， 当时，， 解得，， ，， ，， 在中，； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 点在抛物线上，点的横坐标为， ， ， 在中， ， 在中，， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，过点作交于点，过点作轴于点．令与的交点为．连接交于点，连接，，在上另外任取一点，连接，，． 令，则，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，， 四边形是平行四边形，， ， ，， ， ， 又， ， 在中，，， 在中，， ， ， ， ， 解得， ，， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 垂直平分， ，， ， ， 当为与的交点时，与的和最小， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ， 同理可求直线的解析式为， ， 解得 ， ． 【点睛】 本题考查了二次函数综合应用，正切函数，解直角三角形的相关计算等；能熟练解直角三角形的相关计算，并找出取得最小值的条件是解题的关键． 68．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，求证：点D在的垂直平分线上； （3）如图3，在（2）的条件下，，点在第二象限内，轴，，直线DE交轴于点，点在线段的延长线上，连接．点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）     （2） 证明：过点D作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点N，连接，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即点G为线段的中点， ∵， ∴点D在的垂直平分线上；     （3）点P的坐标为      【分析】 （1）根据待定系数法可求解； （2）过点D作于点G，取的中点N，连接，由题意易得，通过证明可进行求解； （3）过点C作于点H，设与x的交点为M，由题意易得，则有，，由可设：，则，然后可得，由点P在直线上可设，据此表示出点Q、T的坐标，进而根据直线与直线的斜率之积为，建立方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得： ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点C作于点H，设与x的交点为M，如图所示： 由（2）可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由可设：，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， 由点P在直线上可设，且根据点E在第二象限可知点P也在第二象限，所以，则， ∵， ∴， ∴， ∵点Q为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：，即直线的斜率为 同理可得：直线的斜率为， ∵， ∴直线与直线的斜率之积为， 即，整理得：， 解得：， 当时，此时分母，故舍去， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】 本题主要考查一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定及勾股定理是解题的关键． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（       ）． A. 北偏东 B. 西偏南 C. 南偏西 D. 东偏北 【答案】C 【分析】 本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】 解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，�此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（   ）． A. 1200m B. 2400m C. 400m D. 1200m 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质可得∠ABC=∠α=32°；接下来依据正弦函数的定义，得到sin∠ABC=，然后将已知代入进行计算即可. 【详解】由平行线的性质得 ∠ABC=∠α=30°， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=1200m， ∴AB==2400（m）. 故选B. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义与平行线的性质. 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题意可得，即可求解． 【详解】 解：滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米， ， 则米， 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键． 根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可． 【详解】 解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是　　　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里     （2）救援队先到      【分析】 本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； (2) 小问详解： 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时， ∴救援队先到． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）    （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 【答案】（1）5米     （2）米      【分析】 （1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． (1) 小问详解： 解：过点D作，    由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； (2) 小问详解： 如图，    由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，） 【答案】这款马扎不能符合他的要求 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，过作的垂线交于，交于，根据题意可得，，， ，根据等腰三角形的性质得出，证明，从而得出，算出，，再根据勾股定理算出，从而算出，即可求解； 【详解】 解：连接，过作的垂线交于，交于， 根据题意可得，．，， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点E在上， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这款马扎不能符合他的要求． 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为　　　　　　　　分米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，得到，证明，则，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米， ∴分米， ∵分米， ∴分米， ∴分米， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1）14分米     （2）2分米      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； (2) 小问详解： 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处；2．测量D，B两点间的距离；3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角；4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处；2．测量E，B两点间的距离；3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；4．测量E，D两点间的距离；5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．；2．；3．． 1．；2．；3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直；3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直；3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】 解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆，已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，千米，两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离． 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为D，则，，然后分别解和求出即可． 【详解】 解：如图，过点B作，垂足为D． 由题意得，， ∴，． 在中，， ∴，． 在中，， ∴． 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．    （1）求两楼之间的距离（结果保留根号）； （2）求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）米     （2）92米      【分析】 （1）作于点E，利用三角函数解即可； （2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求． (1) 小问详解： 解：如图，作于点E，则，    由题意知，，， 故， 即两楼之间的距离为米； (2) 小问详解： 解：由题意知， 四边形是矩形， ，， 中，， ， ， 即大厦的高度为92米． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）观察下图，然后完成各题 （1）甲同学从地先沿正东方向走到达地，然后改变方向，沿____偏____方向走____后到达地； （2）甲同学最终的目的地是地，地位于地北偏西方向上，距地6处，请你在图中标出地的位置（保留作图痕迹）； （3）如果甲以的速度出发秒后，乙也沿同一路线以的速度出发，乙出发多少秒后追上甲？ 【答案】（1）北，东，     （2） 如图，即为所求；      （3）乙出发秒后追上甲      【分析】 本题考查了方位角、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据行走的路线图进行解答即可得； （2）根据方位角的定义作图即可得； （3）设乙出发秒后追上甲，根据追上时，甲、乙行走的路程相等建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：沿北偏东方向走后到达地， 故答案为：北，东，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设乙出发秒后追上甲， 由题意得：， 解得， 答：乙出发秒后追上甲． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．C 10．B 11．【答案】（1） 如图，线段AD即为所求．      （2）如图，线段AE即为所求     （3）      【分析】 （1）在方格中找出点B关于点C的对称点点D，连接AD即可； （2）利用旋转变换的性质作图即可； （3）过点A作AT⊥DE于T，求出AD、DT，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点A作AT⊥DE于T． ∵AE＝AD， ∴DT＝ET＝， ∵AD＝， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了作图——翻折变换、旋转变换，勾股定理和解直角三角形等知识点，解题关键是利用数形结合思想构造含∠ADE的直角三角形． 12．【答案】； 【分析】 本题考查了分式的化简与求值和特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的减法法则算减法，再根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，求出a的值后代入，即可求出答案． 【详解】 解：原式         原式 13．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】 解： 14．【答案】，2 【分析】 根据分式的运算法则化简原式，再求出a的值，代入化简结果即可求出答案． 【详解】 解： ． ． 当时，原式． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则和牢记特殊角的三角函数值，本题属于基础题型． 15．【答案】 【分析】 本题考查特殊角三角函数值的混合运算，先求特殊角的三角函数值，，再进行实数的运算即可． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】 解： ． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】 在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 18．【答案】.5 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求正切，连接，再根据勾股定理求出，进而说明是直角三角形，然后根据正切定义解答． 【详解】 解：连接， 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形． 在中，， ∴． 故答案为：． 19．【答案】3 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，先计算负整数指数幂，零指数幂，求算术平方根，代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法． 【详解】 解： 20．【答案】或 【分析】 本题考查长方形的性质、锐角三角函数、解一元二次方程，利用正切定义求解线段长是解答的关键．先证明得到，则，设，则，求得长，再由求解即可． 【详解】 解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，则， 解得，， 即或， ∴或， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：或． 21．【答案】；． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，特殊角三角函数值的混合计算，分母有理化，先把原代数式中第一个分式的分子分母同时分解因式后约分化简，再计算分式减法，接着根据特殊角三角函数值求出x的值，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴原式． 22．【答案】或或 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．连接，过作于，于，根据垂径定理求出值，根据解直角三角形的知识求出和，然后分两种情况求出即可． 【详解】 解：如图所示： 连接，过作于，于， ∴， ∵，， 由垂径定理得：，， ， ∴， ∴； 如图所示 连接，过作于，于，. ∴， ∵，， 由垂径定理得：，， ， ∴， ∴． 故答案为：或． 23．【答案】（1）4     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键； （1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，然后进行计算即可求解． （2）先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，根据分式的性质进行化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： ． ． 24．【答案】 【分析】 本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和零指数幂的运算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】 解： ， 故答案为：． 25．【答案】, 【分析】 先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】 原式 把代入， 考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键. 26．【答案】（1） 如图所示，线段即为所求，      （2） 如图所示，点F即为所求． 【分析】 本题主要考查了求角的正弦值，画旋转图形，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点找到点E的位置，画出对应的图形，过点A作于H，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义可得答案； （2）如图所示，取格点H，连接交于F，则点F即为所求；可证明是等腰直角三角形，则． (1) 小问详解： 解：过点A作于H， 由网格的特点可得， 则，且点E在上， ∴； (2) 小问详解： 略 27．【答案】 【分析】 本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】 解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 28．【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，特殊角的三角函数值，求弧长． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．进而可得，然后根据得出，进而求得，最后根据弧长公式计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ． ． ∴． ． ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的长为：． 29．【答案】3 【详解】 连接OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠BOM= =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3， 故答案为3． 30．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算．原式利用绝对值的代数意义，二次根式运算法则，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】 解： ． 31．【答案】 【分析】先化简分式，再计算x的值，最后把x的值代入化简后的分式，计算出结果． 【详解】原式= =1+ =1+ = 当x=2cos30°+tan45° =2×+1 =+1时． = 【点睛】本题主要考查了分式的加减及锐角三角函数值．解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序． 32．【答案】（1），     （2）     （3）存在，点的坐标为      【分析】 本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． (1) 小问详解： 解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：将点，代入得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为． (3) 小问详解： 解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 33．【答案】2 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，特殊角的正弦值求边长等知识， 连接，根据圆周角定理可得，再证明，即可得出，在中求出的长即可． 【详解】 解：连接， ， ， ，为的切线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 34．【答案】， 【分析】 此题考查了分式的化简求值，特殊角三角函数，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算括号的分式加法，再计算分式的除法，得到化简结果，再求出字母的值，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】 解： ， 当时， 原式 ． 35．【答案】 或 【分析】 此题主要考查了垂径定理以及利用三角函数求特殊角度，利用分类讨论得出是解题关键． 根据弦长与半径的关系，求出弦与半径的夹角和弦与半径的夹角，再根据点和点的位置关系得到的两个可能值． 【详解】 解：分别作，，垂足分别是、． ∵，， ，， ，， ， ，， 当与在圆心的两侧时，， 当与在圆心的同侧时，， ∴∠°或． 故答案为或． 36．【答案】， 【分析】 此题考查了分式的化简求值，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将括号内的式子通分运算，再将除法化为乘法进行约分计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】 解： ． 当时， 原式． 37．【答案】（1） 如图，的面积为，的正切值为．      （2） 如图，是以为底边的等腰三角形，为边上的高． ；       【分析】 （1）在方格纸中作，使其正切值为，由三角形的面积，确定点和点的位置即可； （2）由矩形的性质，可得点，结合等腰三角形的判定和性质，可得，根据勾股定理，结合三角形的面积公式，可得线段与的比值． (1) 小问详解： 解：， ． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴是以为底边的等腰三角形， 由矩形的性质可得为的中点， ∴， ∴是边上的高， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段与的比值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，三角形的高相关的计算． 38．【答案】 【详解】 根据分式加减乘除的运算法则对原式进行化简，再算出a的值，代入即可. 解：原式＝ . 当a＝tan60°﹣2sin30°＝时， 原式＝ ． 39．【答案】； 【分析】 本题综合考查了分式的化简与特殊角的三角函数值．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】 解：原式 ， ， 原式． 40．【答案】（1） 如图1，即为所求；      （2） 如图2，即为所求； ．      【分析】 本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，角的正切值，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键． （1）由题可知，点B满足、这两个条件，说明点B在的垂直平分线上，说明点B在以为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求； （2）由题可知，点D满足，故可以C为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求，取格点E，连接，进而即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由作图可得，， ∴． 41．【答案】3或21 【分析】 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】 解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 42．【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值；根据分式的运算法则把所给的分式化简，再求得的值，代入计算即可. 【详解】 解：原式 当时 原式 43．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查实数的混合运算，正确记忆特殊锐角三角函数值是解答本题的关键． （1）原式代入特殊锐角三角函数值，再进行二次根式乘法运算和零指数幂运算即可得到结论； （2）原式代入特殊锐角三角函数值和化简绝对值，即可得到结论； （3）原式代入特殊锐角三角函数值和乘方运算，即可得到结论． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 44．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ 即，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定与性质． （1）先由平行四边形结合已知可得，，则可得四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）分别解，求出，，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．【答案】（1），，. （2）m=0，∠A=30°，∠B=120°． 【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可； （2）分三种情况进行分析：① 当∠A=30°，∠B=120°时；② 当∠A=120°，∠B=30°时；③ 当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可． 【详解】解：（1）由题意得， sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=， cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=， sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=． （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°． ① 当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验是方程4x2﹣1=0的根． ∴m=0符合题意． ② 当∠A=120°，∠B=30°时，两根为，，不符合题意． ③ 当∠A=30°，∠B=30°时，两根为，， 将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，解得：m=0． 经检验不是方程4x2﹣1=0的根． 综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°． 46．【答案】10 【分析】 根据正切的概念和正方形的性质，求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，证明，求得，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】 解：正方形和正方形， ，， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再进行角度转换是解题的关键． 47．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． 48．【答案】等腰直角 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 49．【答案】 【详解】依题意直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1且正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，∴过B,D分别作，，，的垂线则形成的直角三角形全等，较长直角边为2，较短直角边为1，∴正方形的边长为，∴ 故填 50．【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，三角函数的计算，正确计算是解题的关键．先算括号里的，再进行除法运算，然后将分式的分子分母因式分解，最后化简求值． 【详解】 解： 当 时 原式． 51．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 ①通过证明，得出，根据，得出，即可判断① ；②过点A作，交延长线于点Ｑ，连接，先证明，得出，，再证明，即可得出，即可判断② ；③如图所示，过点D作于点M，由三线合一得到，证明出四边形是矩形，得到，等量代换得到，推出，即可得到，即可判断③ ；④如图所示，作点A关于的对称点，连接，，和交于点N，以点B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，首先得到，判断出当点，Q，D三点共线时，即点Q和点N重合时，有最小值，即的长度，然后求出所在直线表达式为，所在直线表达式为，联立求出，然后求出，然后利用勾股定理求出，即可判断④ ． 【详解】 解：① ∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故① 正确； ②过点A作，交延长线于点Ｑ，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故② 正确； ③如图所示，过点D作于点M ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故③ 正确； ④如图所示，作点A关于的对称点，连接，，和交于点N，以点B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵ ∴点A，G，E， 四点共线 由对称得， ∴ ∴当点，Q，D三点共线时，即点Q和点N重合时，有最小值，即的长度， ∵，点为中点， ∴，， ∴，，，， 设所在直线表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 同理可得，所在直线表达式为 联立得， 解得 ∴ ∵点A关于的对称点， ∴点G是线段的中点 ∴ ∴ ∴的最小值为，故④ 正确． 综上所述，其中一定正确的结论是① ② ③ ④． 故答案为：① ② ③ ④． 【点睛】 本题考查正方形的性质和全等三角形的性质和判定，求角的正切值，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线． 考点02 解直角三角形 1．D 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．B 8．B 9．【答案】 【分析】 先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据大圆的弦是小圆的切线，则垂直并且平分弦，得到，根据勾股定理求出,再求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】 解：大圆的弦是小圆的切线， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 11．【答案】，， 【分析】 本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】 解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 13．【答案】 【分析】 该题考查了一次函数与坐标轴交点，勾股定理，先求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再利用两点间距离公式计算的长． 【详解】 解：对于一次函数， 当时，，所以点的坐标为， 当时，，解得：，所以点的坐标为， 点与点之间的距离公式为． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 由菱形的性质，找出B点关于的对称点D，连接，则就是的最小值，再由勾股定理可求出． 【详解】 解：连接，    由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，连接．则， ∴， 即就是的最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴（等腰三角形三线合一的性质）， 在中，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是菱形的性质．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使成为最小值． 15．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和平移的性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得到和重叠部分面积，进而求出，即可得到，从而得到答案． 【详解】 解：根据平移的性质可知重叠部分图形是正方形 四边形为正方形且边长为2 ， 重叠部分的面积是正方形面积的一半 重叠部分的面积为 重叠部分的边长为 故答案为：． 16．【答案】2 【分析】 本题考查的是作已知直线的垂线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先由作图可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】 解：由作图可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 17．【答案】 【分析】 由作图得平分，再根据勾股定理求解． 【详解】 解：过D作于F，连接， 由作图得：平分， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，掌握圆周角定理是解题的关键． 18．【答案】8 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解． 【详解】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°， ∴∠BDC=90°-60°=30°， ∴BD=2BC=2×4=8， ∵∠C=90°，∠A=15°， ∴∠ABC=90°-15°=75°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°， ∴∠ABD=∠A， ∴AD=BD=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 19．【答案】2或4 【分析】 本题可先根据圆的半径和弦的长求出圆心到弦的距离，再结合，分情况讨论点的位置，进而求出弦的长．本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及等边三角形和直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）以及特殊三角形（等边三角形和直角三角形）的性质是解题的关键．在解题过程中，要注意点位置的讨论，避免遗漏解． 【详解】 解：过作于，连接， ∵， ∴， ，， ∴ ∴， 情况一：当点在劣弧上时 ∵， ∴ ∴点、、三点共线， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ 情况二：当点在优弧上时， ∵， ∴点、、三点共线， ∴ 综上，弦的长为或 故答案为：2或4． 20．【答案】（1）点C坐标为     （2）     （3）存在点P或或，使是等腰三角形      【分析】 （1）先求出方程的解，可得，，再由，可得，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，过点A作交CB的延长线于点F，即可求解； （3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解． (1) 小问详解： 解：，解得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴点C坐标为； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图， ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下： 根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠BAD，BC=AD=5， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， 当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F， ∴， 设PC=PM=a，则PD=7-a，， ∵PF2+FM2=PM2， ∴，解得：， ∴， ∴此时点P； 当时， ∴， ∴此时点P； 当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则， ∴， ∴PD=7-PC=4， ∴此时点P； 综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 21．【答案】 【分析】 本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，解直角三角形，是解决问题的关键．画出示意图，每旋转6次是一个循环组，点的对应点落在第三象限，且，即可得到答案． 【详解】 解：由已知可得： 第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，， 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在轴正半轴，， 如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而， ∴在第三象限，且， ∴横坐标为，，纵坐标为，， ， 故答案为：． 22．【答案】（1） 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形；     （2）      【分析】 （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】 本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．【答案】15 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】 解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 24．【答案】（1） 证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形；     （2）      【分析】 （1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 25．【答案】3或5 【分析】 本题考查的是解直角三角形，根据题意，分点D在边上和在边延长线上两种情况，结合解直角三角形求出的长即可解答． 【详解】 解：当点D在边上时，如图， ∵在中，，，， ∴ ∴设，则， 又， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当点D在边延长线上时，如图， 同理可得． 综上，的长为3或5． 故答案为：3或5． 26．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，解直角三角形，等腰三角形的性质，尺规作图等知识点．连接，由作图可得，，垂直平分，求出，由,，得到，，然后解，求出，再由弧长公式即可求解． 【详解】 解：连接， 由作图可得，，垂直平分， 设， ∴， ∴ ∴在中，由得，， ∴， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴在中， ∴弧的长度： 故答案为：． 27．【答案】或 【分析】 本题考查解直角三角形，涉及正切函数定义、勾股定理等知识，根据题意，分情况求解是解决问题的关键 由，分三种情况：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，然后过点作出对边的高，构造直角三角形分别进行计算即可得到答案． 【详解】 解：根据题意，分三种情况： 当为锐角三角形时，过点作于点，如图所示： 在中，， 设，则， ， 由勾股定理可得，则， ， 解得或（负值，舍去）， 则，， 在中，，，则由勾股定理可得， ； 当为直角三角形时，如图所示： 在中，，则， ， ，故此种情况不存在； 当为钝角三角形时，过点作于点，如图所示： 在中，， 设，则， ， 由勾股定理可得，则， ， 解得或（负值，舍去）， 则，， 在中，，，则由勾股定理可得， ． 故答案为：或． 28．【答案】7或17 【分析】 本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键，注意分类讨论．根据题意可以画出符合条件的图形，然后根据锐角三角函数即可解答本题． 【详解】 解：在中，过点作，交于点，如图， ∴在中，， ，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴在中，由勾股定理得：，， ， 或， 故答案为：7或17． 29．【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴且． 又， ． ． 又． ∴四边形是平行四边形．     （2）      【分析】 该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是正方形，得出且．结合，得出．结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）过点作于点．根据四边形是正方形，，得出．结合，证出四边形是矩形．得出．结合，得出．在中，由勾股定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作于点． ∵四边形是正方形，， ． 又， ∴四边形是矩形． ． 又， ． 在中，由勾股定理得． 30．【答案】或 【分析】 本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点G，延长交于点H，当点P在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点C关于直线的对称点P，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点P在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H， 当点P在上方时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点C关于直线的对称点P， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图，当点P在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由对称的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 31．【答案】 【分析】 首先得出，然后得出，然后结合得到，推出，然后利用求出，然后证明出，设，根据勾股定理求出，过点A作交于点G然后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， 如图，过点A作交于点G    ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是推出． 32．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形；     （2）．      【分析】 （1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴菱形的面积＝． 【点睛】 本题考查菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 33．【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），证明如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3） 【分析】 （1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 （3） 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 34．【答案】7或 【分析】 本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】 解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 35．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称-最短路线问题，垂线段最短，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等．如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于M，此时，为的最小值，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】 解：如图，在的外部作射线，使，过点P作于点，交于点M， 此时，为的最小值， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 36．【答案】或 【分析】 分两种情况：① 当为锐角三角形时，作，交于，由可知，利用勾股定理计算出，，的长度即可求解，② 当为钝角三角形时，同理即可求解． 【详解】 解：当为锐角三角形时，如图，作，交于， ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， 由勾股定理可得：，即：， 可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 当为钝角三角形时，如图，作，交于， ∵，， ∴为等腰直角三角形，则， 由勾股定理可得：，即：， 可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 37．【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长． 【详解】 解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB． 在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=． 连接OQ，在Rt△OPQ中，． （2） ∵ ∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC． OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=． ∴PQ长的最大值为． 考点：解直角三角形；勾股定理． 38．【答案】 【分析】 先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】 解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【点睛】 本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 39．【答案】（1）90，；（2），；（3）的长为1或 【分析】 （1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 【详解】 （1）解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； （2）解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况进行讨论： ① 如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ② 如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为1或． 【点睛】 本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． 40．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 ①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接，根据①中的结论可知是等腰直角三角形，再结合的长可求出，从而得出结论；③延长、相交于点H，根据题中条件证明，可得，即可证出结论；④取的中点M，连接，可知，即可求出答案． 【详解】 解：① ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ②连接，如图所示， 由①知，是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为对称轴的轴对称图形，故② 正确； ③延长、相交于点H，如图所示， ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由①得，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，    ∴， 由②知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③ 正确； ④取的中点M，连接，如图所示， ∵四边形是矩形，， ∴， 由③知，， ∴， ∴点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴ ，故④ 正确． 故答案为：① ② ③ ④． 【点睛】 本题考查了矩形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题关键． 41．【答案】 【分析】 证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案． 【详解】 解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M， 由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴． 故答案为． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明是解本题的关键． 42．【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形；     （2）      【分析】 本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 43．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形；     （2）24     （3）      【分析】 此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为菱形是关键． （1）根据题意可证明，得到，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可； （2）根据，可证明为的中垂线，从而推出四边形为菱形，然后根据条件求出的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可； （3）根据等面积法进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴为的垂直平分线，． ∴平行四边形是菱形． ∵，     ． 在中，， ， ∴， ， ∴四边形的面积为24； (3) 小问详解： ∵，，， ∴， 设平行线与间的距离为， 则， 解得． 故答案为；． 44．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，证明是等边三角形，得出，由折叠的性质可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】 解：如图，作于， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 45．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的应用，勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形． 在上截取，在上截取，连接，证明，则，，由，得，则，可得．故正确；由，通过角度关系，可得，故正确；先证，可得，．由等腰三角形的判定和性质，可得的周长比的周长大3．故正确；设，由勾股定理可得，可求，，则可得，故正确． 【详解】 解：在上截取， ， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ， ．故正确； 平分， ． ， ． ， ， ， ． 即，故正确； 在上截取，连接， 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ． 的周长为，的周长为， 的周长比的周长大3．故正确； ， ． ． ，， ． 设， ． ，， ． ，， ． ． 解得，即． ． ．故正确． 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】 解：如图，连接、，    ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 47．【答案】（1）① 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴．    ②．理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）．理由如下： 如图，过点作于点，得．        ∵和关于对称， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，即 （3） 【分析】 （1）① 证明：，再证明即可；② 由和关于对称，可得．证明，从而可得结论； （2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论； （3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】 （1）① 略 ② 略 （2）略 （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，过点作于点．    ∵， ∴， ． ∴． ∴． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 48．【答案】（1） 如图：      （2） 如图：      （3）      【分析】 （1）根据旋转的性质，取格点C，使，，即可． （2）取与格线的交点E，使，即可． （3）取格点G，H，根据，得，根据,，根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：取格点C，使，，点C即为所求作， (2) 小问详解： 解：取与格线的交点E，使，点E即为所求作， 理由：取格点G，H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 49．【答案】①     ② 【分析】 根据七巧板的特性结合题意解答． 【详解】 （1）图2中的分割图如下，结合图1可知， ， ∴ ∴新正方形的边长为． 故答案是：； （2）∵， ∴，， ∴， ∴箭头图形周长为： ， 故答案是： 【点睛】 本题通过七巧板考查常见图形的有关计算能力． 50．【答案】（1） 证明：，． ， ． ∵四边形是“等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ；     （2）线段OA的长为3或或      【分析】 （1）证明，则，，即可得到结论； （2）分四种情况：点B在上，点C在上，且点B更靠近点A；点B在上，点C在上，且点B更靠近点M；点B在上，点C在上，且点B更靠近点D；点B在上，点C在上，且点B更靠近点M，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点A时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点C作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点M时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点C作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点D时， 在中，由勾股定理得， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点B作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点M时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点B作于H， 在中，， 在中，， ∵点B在上， ∴， ∴此种情况不成立； 综上所述，的长为3或或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 51．【答案】（1）；     （2）①；②     （3）①，的长为或      【分析】 （1）根据菱形的性质，根据旋转性质，证明是等边三角形，再证明，得到． （2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可． ② 根据正方形的性质，得到，继而得到， 解答即可． （3）① 先证明,进而判断出在射线上运动，确定的最小值与最大值时，点的位置，根据点在两点时，求得的长，即可求得得范围； ② 过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． (1) 小问详解： 解：∵菱形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：；． (2) 小问详解： ① 解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ② 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：① 如图，设交于点， ∵， ∴, ∴点在射线上运动， ∴当时，取得最小值， 即当重合时，重合， ∴ 当重合时，如图， 在矩形中，，， 又∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ 解得：， ∵ ∴三点共线， ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 过点作，交的延长线于点H，过点作于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 过点作于点G， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，特殊角的三角函数应用，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 52．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意易得是直角三角形，进而得到，由勾股定理得，进而得到的长； （2）过点G作于点P，连接，证得四边形是矩形，进而证得，设，则，易证得是线段的垂直平分线，则，由（1）可知，在中，由勾股定理得，列方程求解的值，从而得到的长； （3）连接，过点O作于点Q，于点T，证明四边形是正方形，进而得到是线段的垂直平分线，证得，进而可证得是等腰直角三角形 ，由勾股定理得，从而得到的长． (1) 小问详解： 解：四边形是正方形，， ，， 是直角三角形， 在中， ， ， 由勾股定理得：， ， ； (2) 小问详解： 解：过点G作于点P，连接，如图所示： ， 是直角三角形， ， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在和中， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 又点F是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 由（1）可知：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； (3) 小问详解： 解：连接，过点O作于点Q，于点T，如图示： ， 四边形是矩形，和都是直角三角形， 在正方形中，， 是等腰直角三角形， ， 矩形是正方形， ，， 点F是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形 ， 由勾股定理得：， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握其相关性质定理，数形结合的思想方法的运用，是解题的关键． 53．【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是筝形；     （2），，      【分析】 （1）根据菱形的性质，得到，，即可证明，得到，即可根据筝形的定义证明结论； （2）分和两种情况讨论，分别求出满足条件的点M的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当时，以点P为圆心，5为半径画弧，该弧恰经过，，，等4个格点， 且，； ，；，， 四边形、四边形、四边形都是筝形； 当时，也能得到，，，共4个格点，但都找不到对应的点M，使四边形为筝形； 所以网格中其它所有符合条件的点M的坐标是，，． 【点睛】 本题考查了坐标与图形的综合问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间的距离公式，正确理解筝形的定义并能拓展应用是解题的关键． 54．【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；      （2） 证明：由（1）得， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）连接，由圆周角定理和平角的定义可证明，则由三线合一定理可证明，据此可证明结论； （2）导角可证明；则可证明，得到；再证明，得到，则可证明； （3）过点B作于H，连接，由三线合一定理可得，证明是的中位线，得到；设的半径为，则，由勾股定理得，解得，则，可求出，，解直角三角形可得；可证明，，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过点B作于H，连接， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 55．【答案】（1）证明：∵AB⊥MN， ∴∠APM=90°， ∴∠D+∠DMP=90°， 又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°， ∴∠DMP+∠CAM=90°， ∴∠CAM=∠D， ∵∠CMA=∠ABC， ∴．     （2）     （3）      【分析】 （1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似； （2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可； （3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接OC， ∵， ∴MN是直径， ∵， ∴OM=ON=OC=5， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴OC⊥MN， ∴∠COE=90°， ∵AB⊥MN， ∴∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠COE， 又∵∠BEP=∠CEO， ∴ ∴， 即 由， ∴， ∴， ， ∴． (3) 小问详解： 过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°， ∴∠CMG+∠GCM=90°， ∵MN是直径， ∴∠MCN=90°， ∴∠CNM+∠DMP=90°， ∵∠D+∠DMP=90°， ∴∠D=∠CNM=∠GCM， ∵， ∴， ∵ ∴设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP， ∴， ∴， 即 ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 【点睛】 本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题． 56．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． ①过点作于点，于点，证明四边形是正方形，再判定和全等得，由此可对该结论进行判断； ②过点作交的延长线于点，证明，判定和全等，再证明，判定和全等得，由此可对该结论进行判断； ③过点作，且使，连接，，证明，判定和全等得，，证明，继而判定和全等得，由勾股定理得，进而得，由此可对该结论进行判断； ④根据三角形外角性质得，根据，得，在中，根据即可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】 解：①过点作于点，于点，如图1所示： ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 矩形是正方形， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②过点作交的延长线于点，如图2所示： ， 在正方形中，，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 由（1）正确得：， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作，且使，连接，，如图3所示： ， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故结论③正确： ④是和的外角， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是① ② ③ ④． 故答案为：① ② ③ ④． 57．【答案】（1） 证明：延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴；     （2）点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，     （3）或      【分析】 （1）延长到点M，使，连接，然后证明，则，那么； （2）点在线段延长线上时，以及点在线段延长线上时，同（1）构造辅助线证明即可； （3）当点在线段上时，则，然后由勾股定理可得，则；点在线段延长线上时，则，然后由勾股定理得，则． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：如图② ，延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 如图③ ，延长到点M，使，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴.， ∴，即， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴； 综上：点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，； (3) 小问详解： 解：当点在线段上时，如图： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 点在线段延长线上时， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 58．【答案】 【分析】 过点A作交于点I，连接，构造，再延长至K，使，连接，，，构造，由全等三角形的性质，将转化为，根据全等三角形的性质得出此时，设此时，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】 解：如图，过点A作交于点I，连接， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 延长至K，使，连接，，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、G、K三点共线时，最小，即最小， ∵、G、K三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当最小时，， 设此时，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即当最小时，． 故答案为：． 【点睛】 本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等，解题关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 59．【答案】（1）     （2）边长的最小值为．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）过E作，根据全等条件得出，设，用x表示出，即可表示出，根据勾股定理得出关于x的表达式，采用配方法求解最小值即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：过E作，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴当时，有最小值， 即的最小值为． 60．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 过E作，根据全等条件得出，设，用x表示出，即可表示出，根据勾股定理得出关于x的表达式，采用配方法求解最小值即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 过E作，如图： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴当时，有最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 61．【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：如图所示，连接， ∵点D为弧的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵弧弧， ∴， 又∵， ∴为等边三角形．     （3）      【分析】 （1）连接，设，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可证明结论； （2）连接，证明，则可证明，，证明，得到，则，进而可证明，据此可证明结论； （3）延长至点M，使，连接，过点E作的垂线，垂足为N，过点C作延长线的垂线，垂足为K，证明得到，；可证明，则可求出，；由勾股定理得，则；证明四边形为矩形，得到，，则可求出，据此求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，延长至点M，使，连接，过点E作的垂线，垂足为N，过点C作延长线的垂线，垂足为K， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， 在中，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】 本题主要考查了圆与三角形综合，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 62．【答案】（1） 证明：如图1所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ；     （2） 证明：由（1）得， ， ∴， ∴， ∴， ；     （3）      【分析】 （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，据此可证明结论； （3）可证明，得到；证明，得到；证明，得到；连接并延长交于R，连接，证明，得到，设，，则，可求出，，则，，利用勾股定理可求出，，，则，进而得到，则；可证明H、O、D都在线段的垂直平分线上，则H、O、D在一条直线上，求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得， ∴， ； 又∵， ∴， ∴； ， ∴， 又∵，， ∴， ； 连接并延长交于R，连接， 是的切线， ， 为直径， ， ∴， ； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵， ， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴H、O、D都在线段的垂直平分线上， ∴H、O、D在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，弧，弦和圆周角之间的关系，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解题的关键． 63．【答案】（1） 解：如图1，连接， ， ， ；     （2） 解：如图2，连接并延长交于点，连接，， ， 为中点， 又为中点， ，， 为直径， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ；     （3）      【分析】 （1）连接，由可得，由等腰三角形三线合一可得； （2）如图2，连接并延长交于点，连接，，先证是的中位线，得出，，再证四边形是平行四边形，即可得出； （3）如图3，连接， 分别过D，P作，的垂线， 垂足分别为L，S，先根据，证明，再证，得出，再证，得出，进而可得，设，则，结合，可得，进而证明，推出，再用勾股定理解，证明，求出，再用勾股定理解，求出，进而可得，最后根据，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图3，连接， 分别过D，P作，的垂线， 垂足分别为L，S，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 为的直径 ， 设，则， 又， ， ， ， ， ， ，， 又 ， ， ， ， ， 设，则 在中，由勾股定理得 ，，， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 连接，， ， ， ， ． 【点睛】 本题属于圆的综合题，考查圆周角定理，中位线的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等，第3问难度很大，正确作出辅助线是解题的关键． 64．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊三角形的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过D作轴，垂足为R，设，则，，根据正切的定义列比例式求得，易得、，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过作，过作轴，交的延长线于，再证明可得，即，进而得到，再解直角三角形和线段的和差可得；设，，，由勾股定理列方程可得，则；如图：作交于Q，则，可直线解析式为，易得；如图：过点K作x轴平行线，交延长线于T，过点A作的垂线交直线于S，证明可得，进而得到，则、，，，；如图：过点B作的垂线交直线于，可求得，易得直线解析式为，再与抛物线的解析式联立即可解答． (1) 小问详解： 解：抛物线交y轴于点A，交x轴于点， ， 解得 ， 解析式为． (2) 小问详解： 解：如图：过作轴，垂足为， 设，则， ， ， ，即，解得： 抛物线交轴于点， ，， ． (3) 小问详解： 解：如图：过作，过作轴，交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ∴， ∴， ， ， 又∵， ， ， 设，，， ∴，即，解得：， ，即， ∴， 如图：作交于Q，则 设，过，两点， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 由点K在上，设， 如图：过点K作x轴平行线，交延长线于T，过点A作的垂线交直线于S ，平分， ， ， ， ， ∴， ∴，解得：， ∴，，，， 如图：过点B作的垂线交直线于 ， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ，解得： ． ∴直线解析式为， 解析式为和二次函数 联立 解得 或 （舍）， ∴点N的坐标． 65．【答案】① ② ② ① 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形周长的计算，对所有知识点灵活运用是解题的关键． 结论① ：利用等腰三角形的性质，进行角度计算即可；结论② ：构造，再证明出得出多种数量关系，即可证出；结论③ ：假设，则，过点作交于点，由勾股定理，求出的长，通过特殊角的直角三角形求出的长，最终求出的长度；结论④ ：利用轴对称的性质，判断出的周长最小值的情况，求出最小值，并与周长进行比较计算即可． 【详解】 解：对于结论① ： ∵，， ∴， 同理，由于，， ∴， ∴， ∴， 故结论① 正确． 对于结论② ： 在的延长线上截取，连接，如下图所示： 在与中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，又∵， ∴， 即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，结合， 故， 即结论② 正确． 对于结论③ ： 过点作交于点，过点作交于点，如图： 由结论① 的结果，，，且为等边三角形，即， ∴，结合勾股定理，结合， 解得，， 假设，则， ∵， ∴， ∵，结合结论② ，可得， ∴， ∵和， ∴， 即， 解得，即，结合， 由勾股定理， 故结论③ 错误． 对于结论④ ：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，同理可得， 计算得出，符合题意， 此时的最小周长为线段的长度， ∵、为、的中点， ∴， 在中，， ∴，, 则的周长为， ∵ ∴的最小周长等于周长的， 故结论④ 错误． 故答案为：① ② ． 66．【答案】（1） 证明：如图，连接，． 点为弧的中点， 弧弧， ， 又， ；     （2） 证明：如图，作直径，连接， ，， 在中，， ， ， 是直径， ， 在中，， ，     （3）      【分析】 本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，，根据圆周角定理可得，进而得到； （2）作直径，连接，在中，，得到，再在中，根据即可证明； （3）连接，，过点作于点，令，得到，在，理由勾股定理求得，再解三角形求的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接，，过点作于点． 弧弧弧， ，弧弧， ，， 令，则， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，， ， 解得，（舍）， ，，，， 弧弧， ， ，， ，， ，， ， ． 67．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）分别令当时，当时，求出，，，由正切函数的定义求解即可； （2）过点作于点，，由正切函数得，，即可求解； （3）过点作交于点，过点作轴于点．令与的交点为．连接交于点，连接，，在上另外任取一点，连接，，．令，则，，由勾股定理得，由正切函数得， ，，，当为与的交点时，与的和最小，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， ， 当时，， 解得，， ，， ，， 在中，； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 点在抛物线上，点的横坐标为， ， ， 在中， ， 在中，， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，过点作交于点，过点作轴于点．令与的交点为．连接交于点，连接，，在上另外任取一点，连接，，． 令，则，， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ，， 四边形是平行四边形，， ， ，， ， ， 又， ， 在中，，， 在中，， ， ， ， ， 解得， ，， ， 又， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 垂直平分， ，， ， ， 当为与的交点时，与的和最小， 设直线的解析式为， ， 解得 ， ， 同理可求直线的解析式为， ， 解得 ， ． 【点睛】 本题考查了二次函数综合应用，正切函数，解直角三角形的相关计算等；能熟练解直角三角形的相关计算，并找出取得最小值的条件是解题的关键． 68．【答案】（1）     （2） 证明：过点D作于点G，如图所示： ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点N，连接，如图， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即点G为线段的中点， ∵， ∴点D在的垂直平分线上；     （3）点P的坐标为      【分析】 （1）根据待定系数法可求解； （2）过点D作于点G，取的中点N，连接，由题意易得，通过证明可进行求解； （3）过点C作于点H，设与x的交点为M，由题意易得，则有，，由可设：，则，然后可得，由点P在直线上可设，据此表示出点Q、T的坐标，进而根据直线与直线的斜率之积为，建立方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设直线的解析式为，由题意得： ，解得： ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点C作于点H，设与x的交点为M，如图所示： 由（2）可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由可设：，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， 由点P在直线上可设，且根据点E在第二象限可知点P也在第二象限，所以，则， ∵， ∴， ∴， ∵点Q为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：，即直线的斜率为 同理可得：直线的斜率为， ∵， ∴直线与直线的斜率之积为， 即，整理得：， 解得：， 当时，此时分母，故舍去， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】 本题主要考查一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定及勾股定理是解题的关键． 考点03 应用举例 1．C 2．B 3．B 4．【答案】 【分析】 本题考查了坡比的计算，掌握坡比的计算方法是关键． 根据坡比等于垂直高度于水平宽度的比计算即可． 【详解】 解：沿一斜坡向上走12米，高度上升4米， ∴水平宽度（米）， ∴， 故答案为： ． 5．【答案】米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关键． 根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：∵坡的斜坡坡度， ∴，而， 即， 解得，， 经检验符合题意， 由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 6．【答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里     （2）救援队先到      【分析】 本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． (1) 小问详解： 解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； (2) 小问详解： 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时， ∴救援队先到． 7．【答案】（1）5米     （2）米      【分析】 （1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． (1) 小问详解： 解：过点D作，    由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； (2) 小问详解： 如图，    由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 8．【答案】这款马扎不能符合他的要求 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，过作的垂线交于，交于，根据题意可得，，， ，根据等腰三角形的性质得出，证明，从而得出，算出，，再根据勾股定理算出，从而算出，即可求解； 【详解】 解：连接，过作的垂线交于，交于， 根据题意可得，．，， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点E在上， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这款马扎不能符合他的要求． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，得到，证明，则，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】 解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米， ∴分米， ∵分米， ∴分米， ∴分米， 故答案为：． 10．【答案】（1）14分米     （2）2分米      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； (2) 小问详解： 如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 11．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】 解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 12．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为D，则，，然后分别解和求出即可． 【详解】 解：如图，过点B作，垂足为D． 由题意得，， ∴，． 在中，， ∴，． 在中，， ∴． 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 13．【答案】（1）米     （2）92米      【分析】 （1）作于点E，利用三角函数解即可； （2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求． (1) 小问详解： 解：如图，作于点E，则，    由题意知，，， 故， 即两楼之间的距离为米； (2) 小问详解： 解：由题意知， 四边形是矩形， ，， 中，， ， ， 即大厦的高度为92米． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14．【答案】（1）北，东，     （2） 如图，即为所求；      （3）乙出发秒后追上甲      【分析】 本题考查了方位角、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据行走的路线图进行解答即可得； （2）根据方位角的定义作图即可得； （3）设乙出发秒后追上甲，根据追上时，甲、乙行走的路程相等建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：沿北偏东方向走后到达地， 故答案为：北，东，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设乙出发秒后追上甲， 由题意得：， 解得， 答：乙出发秒后追上甲． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），于D，下列四个选项中，错误的是（       ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 4．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，已知是的直径，CD是的弦，，垂足为．若，，则的正弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）在中，，，，则的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（       ）． A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（       ） A.  B.  C.  D. 1 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（       ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 10．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点．若，，则的长是（       ） A. 2 B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）（多选）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD； （2）在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE； （3）连接DE，则cos∠ADE＝　                           　． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 13．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）计算：； 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）计算：　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）计算：． 17．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）在中，，，，则的值为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是　　　　　　　　　　 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）计算： 20．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）已知长方形，，，点为边上一点，若，则的值为　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）在半径为的中，弦，，则的度数为　　　　　　度． 23．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）计算： （1）计算：； （2）化简：． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）计算：　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45° 26．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）将线段绕点A顺时针旋转得到线段，画出线段，直接写出的值． （2）在上找一点F，使（保留作图痕迹，不写作法）． 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，点在优弧上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 29．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为　　． 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）计算： 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）先化简，再求值：1+÷（1﹣），其中x=2cos30°+tan45°． 32．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． （1）求点、点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，，为的切线，点在圆周上，且，，连接，则的长为　　　　　　　　　　 34．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）先化简，再求值：，其中． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）在半径为1的中，，为的两条弦，且，，则的度数为　　　　　　　　　　 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 37．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为4，且一个角的正切值为； （2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段与的比值为______． 38．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）先化简．再求代数式的值． ，其中． 39．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）先化简，再求代数式的值，其中． 40．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出以为底边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上； （2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8，并直接写出此时的值． 41．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为　　　　　　． 42．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）先化简，再求代数式的值，其中 43．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）计算： （1） （2） （3） 44．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在平行四边形中，于点E，F是上一点，且，点O为对角线中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 45．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α）,cosα=-cos（180°-α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小 46．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，已知正方形和正方形，点G在上，与交于点H，，正方形的边长为8，则的长为　　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）计算： （1）； （2）． 48．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如果中，，那么是　　　　　　三角形． 49．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则　　　　　　． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）先化简，再求代数式，其中，． 51．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，在正方形中，点，点分别为边，上动点，且，连接，交于点，在线段上截取，连接，为的角平分线，交线段于点．有如下结论：①；②；③若时，则的值为；④若，点为中点时，点为上一动点，的最小值为．其中一定正确的结论是　　　　　　　　　　．（请将正确的结论序号填在横线上） 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，，，则的长是（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，点P，点Q分别是上的点，且．设的面积为y，的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，EF为折痕．若AE＝6，则sin∠BFD的值为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（     ） A. 40 B. 80 C. 160 D.  6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，等边中，点D是边上一点（不与点B、点C重合），连接，以为边作等边．给出如下三个结论：①；②；③．上述结论一定正确的是（　　） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，菱形ABCD和菱形CEFG中，点B，C，E在同一直线上，∠ABC = 60°，点D在CG上，BC = 1，CE = 3，H是AF的中点，那么CH的长是（   ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，半径为1的半圆 上有两个动点，若   ，则四边形 的面积最大值为（  ） A.  B.  C.  D. 2 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 　　　． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为，若，，则图中阴影部分（扇形）的面积为　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为　　　　　． 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，菱形中，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是　　　 ． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，将边长为2的正方形沿对角线方向平移得到正方形．若正方形与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是正方形面积的一半，则正方形平移的距离为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的长为　　　　． 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交于点M，交于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线交⊙O于点D，交于点E，若，则的长为 　　　　　． 18．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=　　　　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）在半径为2的中，弦长为，点C在上，若，则弦的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S． （1）求点C的坐标； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 23．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 25．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）在，，，点为直线上一点，若，，则的长为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，为的直径，为弦，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点，连接并延长交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；若直线经过点，，则弧的长为　　　　　　（结果保留）． 27．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）在中，，，，则　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）在中，，，，则边长为　　　　　　． 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为　　　　　　． 32．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 33．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）（1）如图①，已知和，易证： ； （2）如图②，在正方形中，点E、F分别在对角线和边上，，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图③，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，EF，．请直接写出线段，，之间的数量关系，不需证明． 34．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）已知，点在OB上，点在上，于点，若，则的最小值为　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）已知在中，，，，则　　　　　　． 37．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 38．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）九（1）班同学在数学老师的指导下；以“角形的旋转”，为主题，开展数学活动． 【操作判断】（1）如图1，在等边三角形中，将绕点旋转，得到，连接，则________度．若是的中点，连接，则与的数量关系是________． 【迁移探究】（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，在Rt中，，，将绕点逆时针旋转，得到，与，与为对应点，连接，为的中点，连接，当时，求的长． 40．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是　　　　　　　．（写出所有正确结论的序号） ①；②四边形是轴对称图形；③；④． 41．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，矩形中，，连接，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线交于点H，则的长度为　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 43．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，平行线与间的距离为　　 ． 44．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是：　　　　　　． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 46．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值． 48．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将线段绕点A旋转，点B的对应点为点C．（点C在格点上）； （2）在边上画出点E，连接，且；（保留作图痕迹） （3）直接写出的长． 49．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）已知，如图1，把边长为4的正方形纸板沿分割线剪下后得到一副七巧板，其中图①是正方形，图②是平行四边形，图③④⑤⑥⑦都是等腰直角三角形．现用该七巧板拼出一个新正方形如图2，图空隙部分是用阴影表示的一个箭头图形，其箭头是由等腰直角三角形和等腰直角三角形以及矩形组成，其中四边形为图①． （1）新正方形的边长为　　　　　　　　　　　； （2）箭头图形的周长为　　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）定义：对于四边形上若存在一点O，使得且，则称这样的四边形是“等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． （1）如图1，四边形是“等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B、C作的垂线，垂足分别为G、H．求证：； （2）如图2，在中，，，，点B、C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的三等分点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是“等垂四边形”，O在上，O是它的“等垂点”，请直接写出所有满足要求的线段的长． 51．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对三角形的相似进行了深入研究． （1）提出问题 如图1，在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，易知与的关系为____________，进而求出的度数为___________． （2）类比探究 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长． （3）迁移运用 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右侧作，使， ①线段的取值范围是； ②当点到的距离为时，请直接写出的长． 52．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图1，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是的中点． （1）求的长； （2）如图2，过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求的长； （3）如图3，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的长． 53．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）筝形在几何学中定义为有两组邻边分别相等的凸四边形叫做筝形．如图1，在四边形中，若，，则四边形即为筝形．（注：画出四边形的任何一边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸多边形．） （1）如图2，在菱形中，点E、F分别是边、上的两个点，，连接和．求证：四边形是筝形． （2）如图3，的方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点O、P均在格点上，，以点O为原点，点O、P所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若点M、N在格点上，且四边形为筝形，例如，如图3中所给出的点M即为所求，请直接写出网格中其它所有符合条件的点M的坐标． 54．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）已知：是的直径，弦交于点E，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点E作直线，分别交于点M、点N．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过N作于点F，连接并延长交于点G，连接，，．求线段的长． 55．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）（多选）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在点C运动过程中，当时，求的值． 56．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，正方形中，在边上，交于，过点作的垂线交于，连接、，交于，则下列结论中①；②；③；④．正确的有　　　　　　　　　（填序号） 57．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知正方形，点在直线上，点在射线上，． （1）当点在线段上时，如图①，求证：； （2）当点在线段延长线上时，如图②；当点在线段延长线上时，如图③，直接写出线段之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，则的长为___________． 58．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为　　　　　　　　． 59．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，直角中，，，，在上分别取点，使得为正三角形． （1）求的度数； （2）求边长的最小值． 60．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）在直角 中， ，斜边， ，分别在 上取点，使为正三角形，则边长的最小值是 　　　　　　． 61．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）已知：如图，内接于，，连接． （1）求证：； （2）点D为弧的中点，连接交于点H，若，求证：为等边三角形； （3）在（2）的条件下，点E为弧上一点，连接，（）交于点X，，，求的半径． 62．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）已知：五边形内接于，连接相交于点F，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M、H，过点E作的切线交的延长线于点N，连接，若，，，求的长． 63．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知： 内接于 ，圆心 在 内部，直径 交 于点 ，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点 为 上一点，连接 ，，点 在 上，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ，连接 ．若 ，，，，求线段 的长度． 64．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，交x轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交y轴于点E，点D横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S； （3）如图2，在（2）的条件下，过点O作，交于点Q，过点Q作，交于点H，连接，点F为线段上一点，连接，过点H作，交于点G，点K在线段上，连接，过点K作，交y轴于点M，连接，直线交抛物线于点N，连接，若，平分，，求点N的坐标． 65．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）四边形中，，，，，E、F分别是和上的点，连接、、．有如下结论：①；②；③若，，则；④的周长最小值等于周长的．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）已知：的直径交弦于点，其中点为的中点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，弦交于点，其中，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，且，连接，，若，，求线段的长． 67．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，作直线． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接、，且，过点作的垂线交于点，过点作交于点，其中．点是上的一个动点，连接，，当与的和最小时，求点的坐标． 68．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点在线段上（点不与点、重合），连接，点在第一象限内，连接，求证：点D在的垂直平分线上； （3）如图3，在（2）的条件下，，点在第二象限内，轴，，直线DE交轴于点，点在线段的延长线上，连接．点为的中点，连接，，交过点且与轴垂直的直线于点，若，求点的坐标． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（       ）． A. 北偏东 B. 西偏南 C. 南偏西 D. 东偏北 2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，�此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（   ）． A. 1200m B. 2400m C. 400m D. 1200m 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）沿一斜坡向上走12米，高度上升4米，这个斜坡的坡度：　　　　　　． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），堤坝高，则迎水坡面的长度是　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）    （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，） 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为　　　　　　　　分米（结果保留根号）． 10．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处；2．测量D，B两点间的距离；3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角；4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处；2．测量E，B两点间的距离；3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；4．测量E，D两点间的距离；5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．；2．；3．． 1．；2．；3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直；3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直；3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆，已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，千米，两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．    （1）求两楼之间的距离（结果保留根号）； （2）求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）观察下图，然后完成各题 （1）甲同学从地先沿正东方向走到达地，然后改变方向，沿____偏____方向走____后到达地； （2）甲同学最终的目的地是地，地位于地北偏西方向上，距地6处，请你在图中标出地的位置（保留作图痕迹）； （3）如果甲以的速度出发秒后，乙也沿同一路线以的速度出发，乙出发多少秒后追上甲？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $