专题05 圆（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题05 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．A 2．A 3．C 4．B 5．【答案】 【分析】 本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】 解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 6．【答案】（1）；     （2）成立； 理由如下： 延长交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即；     （3）      【分析】 （1）如图① 中，延长交于，由等腰直角三角形性质及三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，从而确定；； （2）结论不变．延长交于，交于，如图所示，由三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，从而确定；； （3）由题意知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，当共线时，存在最大值，由勾股定理解答即可得到答案． (1) 小问详解： 解：延长交于，如图所示： 和都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：把绕点在平面内自由旋转，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当共线时，最大， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查几何变换综合题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质、辅助圆-点圆模型、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 7．【答案】（1）1     （2）解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）在中，利用勾股定理求出即可解决问题． （2）首先证明，设，则，在中，，构建方程求出m即可解决问题． （3）如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长，求解，可得的最大面积为，进一步可得答案． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形， ∴，，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长， ∵矩形，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴的最大面积为， 当共线时，面积记为， ∴． 【点睛】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理，圆的基本性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 考点02 过三点的圆 1．C 2．D 3．【答案】（1）； （2）如图： 【分析】 （1）利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段、、的垂直平分线，它们相点即为旋转中心． （2）作图思路：可根据的垂直平分线来确定圆心． 【详解】 解：（1）作线段、、的垂直平分线，它们相交于点，如图， 所以是由绕着点P逆时针旋转得到的． 故答案为：； （2）分别作、垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． 本题综合考查了坐标与图形变化-旋转，垂径定理，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质是确定旋转中心的依据，注意作图中是根据垂径定理作为确定圆心的作图依据． 4．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了画圆，画旋转图形． （1）作的垂直平分线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 垂直于弦的直径 1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．C 11．A 12．C 13．C 14．【答案】5 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】 解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 15．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理和垂径定理等知识．连接，先利用勾股定理求出的长，再由垂径定理即可得的长． 【详解】 解：如图，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 16．【答案】2 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】 解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 17．【答案】（1）     （2） 方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一．      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． (2) 小问详解： 略 18．【答案】 【分析】 连结OA，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r-2）2+32=r2，然后解方程求出r即可． 【详解】 解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r， ∵OD⊥AB， ∴AC=BC=AB=3， 在Rt△OAC中， ∵OA=r，OC=OD-CD=r-2，AC=3， ∴（r-2）2+32=r2，解得r=． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 19．【答案】3或1 【分析】 根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可 【详解】 如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴BD=BC=， 在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1； 当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3． 故答案为1或3． 【点睛】 本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 20．【答案】4 【分析】 本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，由垂径定理得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长计算公式求解即可． 【详解】 解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴都是三角形的中位线， ∴， ∵的周长为21， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 故答案为：4． 21．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 22．【答案】1或7 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，，作直线于F，交于E，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：① 当和在圆心的两侧时，则；② 当和在圆心的同侧时，则． 【详解】 解：如图所示，连接，，作直线于F，交于E，     ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ① 当和在圆心的两侧时，则； ② 当和在圆心的同侧时，则； 则与间的距离为1或7． 故答案为：1或7． 23．【答案】17或7 【分析】 由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：当在点O的两侧，作于M，延长交于N，连接， 因为， 则， ， ，， ， ∴此时弦与之间的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， ， ， ， ， ∴此时弦与之间的距离为7， ∴弦与之间的距离为17或7． 故答案为：17或7． 【点睛】 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 24．【答案】8或2或8 【分析】 连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，分两种情况求出即可． 【详解】 解：①连接，如图所示：    ∵的直径， ∴， ∵弦， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ ②连接，如图所示：    同①得：， ∴； 综上所述，的长为8或2， 故答案为：8或2． 【点睛】 本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键，注意分类讨论． 25．【答案】2或14 【分析】 本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：① 弦与在圆心同侧；② 弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】 解：① 当弦与在圆心同侧时，如图① ，    过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ② 当弦与在圆心异侧时，如图，    过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 26．【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确运用转化的思想． 延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，先在中，由勾股定理得，则，然后证明，那么，当点共线时，取得最小值为，然后可得四边形为矩形，最后对运用勾股定理求解． 【详解】 解：延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则， ∵，，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴取得最小值为， 故答案为：． 27．【答案】或 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据圆的性质和线段的和差关系可得，；再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，据此可求出的长． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦交于点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点C与点D的位置互换时，也满足题意，同理可得， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 28．【答案】或7 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用和垂径定理的实际应用，通过计算下雨前后弦心距的变化，得到水面上升的高度即可． 【详解】 解：如下图，过点O作于E，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当水面没过圆心时， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了1或7． 故答案为∶1或7． 考点04 圆心角 1．B 2．【答案】（1）     （2） 补全条形统计图如下： ；     （3）人      【分析】 本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据条形统计图和扇形统计图的数据即可求解； （2）根据所占比例即可求解； （3）计算出样本中喜欢球类运动所占比例即可求解． (1) 小问详解： 解：由图可知：参加调查的人数共有：人； 表示“C”的人数为：人； ∴表示“C”的扇形圆心角的度数为：； (2) 小问详解： 解：， ∴； (3) 小问详解： 解：人， ∴全校人中喜欢球类运动的有人； 3．【答案】（1）100名     （2） 补全统计图如下：      （3）225人      【分析】 本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，用样本估计总体； （1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例，即可求出“灰”所在扇形的圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数占被调查人数的比例即可. (1) 小问详解： 解：（名） 答：此次调查一共随机采访了100名学生. (2) 小问详解： 解：绿色部分的人数为：（人） 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：. (3) 小问详解： 解：（人） 答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数为225人. 4．【答案】（1）10，20     （2） 如图，即为所求．      （3）72°     （4）450人      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体数量等知识； （1）根据选择200米速度滑冰的学生人数及其占比，可求得抽取的学生人数，根据篮球的占比可求得选择篮球的人数n，抽取的学生数减去所有已知的得到选择足球的人数m； （2）根据（1）中m、n的数值即可补全条形统计图； （3）足球的占比与周角的积即是； （4）1500与选择排球的占比的积即是所求． (1) 小问详解： 解：解：抽取的总人数为：， 则，； 故答案为：10 ， 20； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：由题得，（人） 答：估计该校选择排球的学生约为450人． 5．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．以及勾股定理．熟记相关结论是解题关键． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴, 在中， ∴ ∴ 考点05 圆周角 1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．C 9．B 10．B 11．B 12．D 13．B 14．B 15．D 16．C 17．C 18．A 19．A 20．D 21．D 22．B 23．D 24．【答案】度 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，得出的度数，直径所对的圆周角,进而得到的度数，根据圆周角定理证得，据此进行计算求解即可． 【详解】 解：连接， 四边形内接于， 是的直径 ． 故答案为：． 25．【答案】或 【分析】 本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 分当点A在优弧上时和当点A在劣弧上时两种情况求解即可． 【详解】 解：当点A在优弧上时， ∵， ∴， 当点A在劣弧上时， ． 综上可知，的度数是或． 故答案为：或． 26．【答案】证明：如图，连接， ∵为外接圆的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． 【分析】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键． 连接，先根据圆周角定理可得，根据圆的切线的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得证． 【详解】 略 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 28．【答案】30°或105° 【分析】 先根据条件证明△AOB为等边三角形，第一种情况，再证△AOC为等腰直角三角形，即可得解；第二种情况，直接用圆周角定理即可得解. 【详解】 解：① 如图，连接AO,过O作OD⊥AB于D, 作OE⊥AC于E, ∵AB＝2，OA=OB=OC=2, ∴AB=OA=OB， ∴△ABO为等边三角形. ∴∠BAO=60°. 又∵AC=2， ∴ ， ∴△AOC为等腰直角三角形. 则∠OAC=45°， ∴∠BAC=105°. ② 如图， 同上，△OBC为等边三角形. ∴∠O=60°， ∴∠BAC=30°. 综上，∠BAC的度数为30°或105°. 【点睛】 本题考查了垂径定理及圆周角定理，根据条件能挖掘出图中的特殊三角形从而得到角的条件是解题关键. 29．【答案】（1）证明：在⊙中， ∵， ∴， 又∵, ∴．     （2）⊙的半径为3      【分析】 （1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明； （2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由（1）可知，， ∵直径， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， 即⊙的半径为3． 【点睛】 本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 30．【答案】或或 【分析】 分两种情况，当在劣弧上时，当在优弧上时，再根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】 解：如图，当在劣弧上时， ∵四边形内接于， ∵， ∴， ∴， 当在优弧上时，如图 ∴， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 31．【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理．连接，由，得到是等边三角形，据此求解即可． 【详解】 解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵直径， ∴， ∴． 故答案为：． 32．【答案】（1）的半径为10；     （2）．      【分析】 （1）设，利用勾股定理构建方程求解； （2）证明，可得结论． (1) 小问详解： 解：设， ∵，是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】 33．【答案】证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 是的垂直平分线， ． 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角．连接，根据圆周角定理可知，根据可知是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可证结论成立． 【详解】 略 34．【答案】 【分析】 连接、，过点作于点，由题意可知，平分，四边形内接于，得到，，进而得到，，推出，得到是等边三角形，，由勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】 解：如图，连接、，过点作于点， 由题意可知，平分，四边形内接于， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，垂径定理，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 35．【答案】或或 【分析】 本题考查了圆的基本性质与等腰三角形的角度计算，解题的关键是先判断圆心与弦的位置关系，再结合等腰三角形与三角形内角和求解角度． 先连接、，由，得为等腰直角三角形，；再分两种情况，结合与的夹角为，计算的度数． 【详解】 解：连接、，设与相交于点D． ，， ，为等腰直角三角形， ，． ① 当时，如图1， ， ∴， ∴． ② 当时，如图2， ， ∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）． 故答案为：或． 36．【答案】4 【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，连接，根据圆周角定理求出的度数，即可得出是等边三角形，从而求出的长． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为4， ∴， 故答案为：4． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 由圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】 解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 38．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即．     （2）．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 39．【答案】 【分析】 由三角形外心的性质结合可得出，再根据圆周角定理可得出，从而可求出，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵点O为的外心， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形外心的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 40．【答案】或 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的逆定理，如图，，，通过勾股定理逆定理得，所以，然后通过圆内接四边形即可求出度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴长度等于的弦所对的圆周角是或， 故答案为：或． 41．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点, ∴ ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF=BF； （2）5 ， 【分析】 （1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长． 【详解】 （1）略； （2）解：∵ ∴BC=CD=6， ∵∠ACB=90°， ∴⊙O的半径为5， 【点睛】 此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键． 42．【答案】21 【分析】 本题主要查了圆周角定理，尺规作图．由作法得：平分，再由是半圆O的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：由作法得：平分， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：21 43．【答案】2度 【分析】 本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识．根据尺规作图可得直线是弦的垂直平分线，得到，进而求出，根据圆周角定理即可求出． 【详解】 解：由尺规作图可得直线是弦的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 44．【答案】解：∵是直径， ∴，故① 说法正确； ∵是弧的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的面积为，故② 说法正确． 【分析】 本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形，勾股定理． 根据圆周角定理判断① ，弧、弦、圆心角的关系，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断②． 【详解】 略 45．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ．     （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径．     （3）      【分析】 本题主要考查圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数； （1）根据圆周角定理求出，即可证出结论； （2）根据题意得到，求出，即可证出结论； （3）连接，连接交于点K，求出，得到，设，由勾股定理可求，，，再结合，求出，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，连接交于点K， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， 由勾股定理可求， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ， ， ． 46．【答案】2 【分析】 本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】 解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 47．【答案】（1） 证明：连接，交于点Q，如图所示： ∵平分， ∴， ∴，即点B为的中点， ∵是直径， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴；     （2） 证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴；     （3）      【分析】 （1）连接，交于点Q，由题意易得，然后根据垂径定理的推论可得垂直平分线段，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，由（2）可知：，，即，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，，根据角的和差关系可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，如图所示： 由（2）可知：，，即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 由可设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】 本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质，熟练掌握垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质是解题的关键． 48．【答案】（1） 证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴；     （2） 如图，线段或， 由作图可得， 由圆周角定理可得：，而， 由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即．      【分析】 （1）连接，根据垂径定理以及证明即可； （2）在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则，过点作的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径画圆，连接，取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为，过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可，由作图可得，由圆周角定理可得：，而，由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则， 过点作的垂线，垂足为点， 以为圆心，为半径画圆，连接， 取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为， 过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可． 【点睛】 本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，垂线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 49．【答案】（1） 证明：∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）4      【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E，由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，在和中，，解得，继而得到，则是的中位线，故． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，交于点E， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 解得， 又∵， ， ∴是的中位线， ∴． 50．【答案】（1） 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴．        （2）     （3）      【分析】 （1）连接， 根据弦弧关系有，得，即得 ； （2）设由圆周角定理推论和三角形外角性质得，得到，得到，即得； （3）延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，，过点E作交 延长线于点R，过点B作于点L，证明，，得，得四边形为平行四边形，，得，得，得，由，可得，即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴ 即 ∴， 设 则 ∴ ∵ ∴ ∴. ∴． (3) 小问详解： 解：延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接. ∵ ∴ 又∵ ∴， 过点B作于点L， 则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 连接 则 ∵, ∴是等边三角形， ∴， 过点E作交 延长线于点R， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 【点睛】 本题考查了圆与三角形和四边形综合问题，熟练掌握圆弧、弦关系，圆周角定理及其推论，全等三角形的判定与性质，平行四边形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，构造辅助线，是解题的关键． 51．【答案】① ② ③ 【分析】 如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定② ；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】 解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③ 正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：① ② ③． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 52．【答案】（1） 证明：连结， ∵， ， ， ， ， ∵， ∵， ． ，， ． ．      （2） 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ．      （3）      【分析】 （1）根据相等的圆心角所对的弦相等论证即可； （2）利用截长补短法做辅助线论证即可； （3）通过辅助线构造三角形全等，将构造在直角三角形中，利用三角函数求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长至，使，连接， 作交延长线于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接， ∵是的中点，， ， ∴， ∴， ，， ， ∴ ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 为直径， ， ∵中，， ， ，，． 中，， 中，， ， ∵， ， 为直径， ， 中，， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角的性质、三角形中位线的性质、解直角三角形，关键是添加辅助线构造直角三角形． 考点06 弧长和扇形面积 1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．【答案】 【分析】 本题考查了圆的周长计算，根据圆的周长公式：，其中 为直径直接计算即可． 【详解】 解：（米）． 故答案为 ． 8．【答案】x度 【分析】 根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角． 【详解】 解：根据题意得，圆锥的母线长为：， 设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ， 解得：， 该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长=展开图扇形弧长，圆锥母线长=展开图扇形半径，母线长=，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 9．【答案】 【分析】 把半径和圆心角代入弧长公式即可； 【详解】 故填：． 【点睛】 本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键． 10．【答案】（1） 如图1，即为所求；      （2）如图2，即为所求， 点的坐标为     （3）      【分析】 （1）找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C绕点O顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出，再利用扇形面积公式计算即可． 本题考查了作图-旋转变换，轨迹，解题的关键是掌握旋转变换与中心对称的性质． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标为； (3) 小问详解： 如图3， 根据旋转的性质可得，， ∵， ∴线段在旋转过程中扫过的面积 故答案为：． 11．【答案】． 【详解】 解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得 2πr=， 解得r=cm． 故答案为：． 12．【答案】1 【分析】 本题考查圆锥的展开问题，利用半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长即可求得底面圆的半径． 【详解】 解：半圆形纸片的半径为2，其弧长为 ，此弧长即为圆锥的底面周长． 设圆锥的底面圆半径为， 则， 解得：． 故答案为：1． 13．【答案】 【分析】 本题考查求扇形的面积，利用大扇形的面积减去小扇形的面积，进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】 解：； 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可． 【详解】 解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形， 它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为， 它的面积为． 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 16．【答案】120 【分析】 本题考查扇形的面积以及圆心角问题．设扇形的圆心角为度，根据扇形面积公式 列出方程求解． 【详解】 解：由扇形面积公式得， 化简得， 两边同时除以得，即， 解得． 故答案为：120． 17．【答案】 【分析】 根据扇形面积的计算公式直接解答即可． 【详解】 解：扇形面积为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了扇形面积的计算，关键是熟记扇形面积的计算公式． 18．【答案】 【分析】 利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积弧长半径． 【详解】 解：， ， 扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了扇形面积，关键是根据弧长公式和扇形的面积公式的综合应用解答． 19．【答案】 【分析】 设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，然后计算底面积即可． 【详解】 解：根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为. ， 解得： ； 故答案为：． 【点睛】 本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式，熟练掌握运用这些公式是解题关键． 20．【答案】3π 【分析】 此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解. 【详解】 根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为. 【点睛】 本题扇形面积的计算.熟记扇形面积公式是解题的关键. 21．【答案】 【分析】 先求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥侧面展开图的扇形弧长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】 解：圆锥的底面周长是， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了圆锥侧面积的求法，熟知圆锥的侧面展开图是半径为母线，弧长为底面圆的周长的扇形是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】 解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】 解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为 故答案为：10 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了求扇形面积，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，连接，根据题意可得为圆的直径，利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ， 为圆的直径， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 25．【答案】 【分析】 本题考查了圆锥表面积的求法，熟知圆锥表面积的计算公式是解题的关键． 圆锥的表面积由底面积和侧面积组成，需先利用勾股定理求母线长，再计算侧面积和底面积，最后求和． 【详解】 解：圆锥的母线长 ， 侧面积 ， 底面积 ， 故表面积 ． 故答案为 26．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查了画轴对称图形、旋转图形、弧长、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出，再顺次连接即可得，根据点的位置写出它的坐标即可得； （3）先利用勾股定理可得的长，根据旋转的性质可得，再利用弧长公式计算即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，点旋转到点的过程中所经过的路径长为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为． 27．【答案】 【分析】 本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】 解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 28．【答案】 【分析】根据弧长公式求出半径，利用扇形公式求出面积即可. 【详解】设半径为R ， ∴2= ，解得：R=3， ∴扇形面积为： =3， 故答案为3 【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式，熟练掌握弧长和扇形面积公式是解题关键. 29．【答案】2 【分析】 本题考查了圆锥的表面积，熟练掌握圆锥的表面积公式是解题的关键．设该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，根据圆锥的表面积和扇形弧长公式列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】 解：设该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为， 由题意得， ， 解得 ， ∴该圆锥的底面直径为． 故答案为：2． 30．【答案】（1） 如图所示， 坐标为     （2） 如图所示， 的坐标为     （3）      【分析】 本题考查了作图—平移和旋转，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可得到，根据所作图形可直接写出的坐标； （2）根据旋转的性质找出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可得到，根据所作图形可直接写出的坐标； （3）先利用勾股定理求出，再根据旋转了，利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据题意得， 则， ∴所扫过的面积：． 31．【答案】4cm 【分析】 设扇形的半径长为xcm，根据圆锥的底面周长等于弧长求出侧面扇形的半径，再利用勾股定理求出答案． 【详解】 解：设扇形的半径长为xcm，由题意得 解得x=5， ∴此圆锥的高为 故答案为：4cm． 【点睛】 此题考查扇形的弧长公式，勾股定理，正确理解圆锥侧面的扇形与底面圆之间的关系是解题的关键． 32．【答案】（1） 解：如图，即为所求，，      （2） 解：如图，即为所求，；      （3）      【分析】 本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 33．【答案】12 【分析】 利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高． 【详解】 解：根据圆锥侧面积公式变形可得， 根据圆锥母线公式，可得， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键． 34．【答案】（1）40米     （2）128平方米     （3）3920元      【分析】 （1）花坛的周长等于四个扇形的弧长加上4个正方形的边长； （2）花坛的面积等于5个正方形的面积加上4个扇形的面积； （3）分别求出阴影部分和空白部分的面积，即可得到花费的总费用． (1) 小问详解： 解：这个花坛的周长＝2π×4＋4×4＝8×3＋16＝40（米）； (2) 小问详解： 解：这个花坛的面积＝π×4²＋5×4×4＝48＋80＝128（平方米）； (3) 小问详解： 解：，， 阴影部分的面积：， 空白部分的面积：128-60＝68（平方米）， 购买花草的费用为：20×60＋40×68＝3920（元）， 答：学校购买花草的总费用为3920元． 【点睛】 本题考查扇形的面积、扇形的弧长，解题的关键是综合运用相关知识解题． 35．【答案】（1）     （2）吨      【分析】 本题主要考查和差倍分问题的相关运算，求解有关圆的阴影面积，解题的关键是正确计算和掌握圆的面积公式． （1）根据阴影部分面积等于长方形的面积减去圆的面积，再减去半圆的面积，即可求值； （2）根据小麦的重量除以其占水稻重量的比例，即可求水稻的吨数． (1) 小问详解： 解：由图可知，长方形的宽为，即圆的直径为， 半径为， 长方形的长为：， ． (2) 小问详解： 解：由图可得， 水稻的吨数为：（吨）． 答：水稻的吨数为吨． 36．【答案】（1） 如图所示．     （2） 如图所示．     （3）      【分析】 分别找点，，绕着原点O逆时针旋转90°所对应的点，，，再将点，，连接起来即可； 分别找点，，关于点O成中心对称的对应的点，，，，再将点，，，连接起来即可； 根据勾股定理求出，再根据旋转经过的路径为个圆的周长，结合圆的周长公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 点根据旋转经过的路径长为个圆的周长，圆的半径, 路径长为． 37．【答案】 【分析】 根据题意,得到阴影部分的面积恰好是扇形的面积，根据半径为，圆心角为，代入公式求解即可． 【详解】 如图，则， 所以阴影面积为扇形的面积，即 故答案为：． 【点睛】 本题考查了扇形面积公式，熟练掌握面积分割法，扇形面积公式是解题的关键． 38．【答案】 【详解】 试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°， ∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=． 考点：扇形面积的计算． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列说法正确的个数是（     ） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）有下列说法：①数a的倒数为；②比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变；③小明的身高为160厘米，而小光的身高为1.4米，小光和小明身高的比是；④画一个直径是的圆，圆规的两脚应叉开．其中正确的说法有（       ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）下列命题中正确的是（       ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 4．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A. 15 B.  C. 35 D.  5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）如图①，点在上，线段与的数量关系是             ，位置关系是             ； （2）把绕直角顶点旋转到图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）把绕点在平面内自由旋转，连接，若，，当最大时，直接写出的长是    ． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． （1）如图1，当点F恰好落在边上时，的长为        ； （2）如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为        ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； （3）设的面积为S，则S的取值范围为        ． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（     ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）（1）如图1，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是              （2）如图2，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法) 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． （2）以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，若，，则CD的长为（） A. 5 B. 8 C.  D.  2．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  5．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13m，水面宽AB＝24m，则水的深度CD是（       ） A. 6m B. 6.5m C. 7m D. 8m 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　） A. AE=BE B.  C. OE=DE D. ∠DBC=90° 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，已知的半径为，且的弦垂直平分半径，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）下列说法正确的是（  ） A. 直径是弦，但弦不一定是直径 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 三点确定一个圆 9．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）有以下四个命题中，正确的命题是(        )． A. 反比例函数，当x>-2时，y随x的增大而增大 B. 抛物线与两坐标轴无交点 C. 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，那么边上的高为（       ） A. 3或8 B. 8 C. 2或8 D. 2或3 13．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（       ） A. cm B. cm C. 5cm D. 6cm 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为　　　　　 ． 15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] （1）求出方案1中圆弧形拱桥的半径； （2）为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 18．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，则的半径为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　　　　　． 20．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知 是的两条平行弦，，的半径为13，则弦与的距离为 　　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，的直径，弦，垂足为M，则的长为　　． 25．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）的半径是10，弦，，，则与的距离是　　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，是的直径，是上两点，过点作于点，过点作于点，为上任意一点，若，，，则的最小值是　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知是的直径，弦交于点于，，则的长为　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）一条排水管的截面为圆形，半径，下雨前水面宽，下雨后水面宽度变为8，则水面上升了 　　　　　　． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）下列说法正确的是（       ） A. 三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B. 垂直于弦的直径平分弦 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 长度相等的弧是等弧 2．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，在身心健康中，为我们的学生、为我们的未来奠定好的基础，实验中学校团支部随机抽取了若干位学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查的人数共有             人，在扇形图中，表示“C”的扇形圆心角的度数为             度； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的m； （3）估计全校人中喜欢球类运动的有多少人． 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）某社区对生活垃圾用红、蓝、绿、灰四色收集桶进行分类收集，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数），在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为　　　　　． （3）若该校有1500名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数． 4．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）为提升学生综合素质，更好地发挥体育的育人功能，结合齐齐哈尔市实际，我市制定了初中学业水平考试“体育与健康”科目考试新方案，增加了运动技能类考试项目（四项选一项），包括足球运球、篮球运球、排球垫球和200米速度滑冰．现对某中学初二（1）班全体学生所选的运动技能类项目进行调查，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】记录每位学生所选项目． 【整理数据】整理选择足球运球、篮球运球、排球垫球和200米速度滑冰的学生人数．如表： 项目 足球运球 篮球运球 排球垫球 200米速度滑冰 人数 m n 15 5 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下不完整的条形统计图（图一）和不完整的扇形统计图（图二）． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m=                  ；n=                  ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，足球项目对应的圆心角的度数是                  ； （4）若该中学共有1500名学生，请你估计该校选择排球的学生约为多少人？ 5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 （1）求证：； （2）若，求的长． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（       ） A. 4 B.  C. 6 D.  4．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，点，，在上，若，．则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（       ）． A.  B.  C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（       ） A. 3 B.  C.  D. 2 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，AB是的直径，点C，D在上，，则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　） A. 80° B. 100° C. 120° D. 130° 13．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，是的弦，且，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、、都是的半径，，的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，的直径过弦的中点G，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）下列命题： ①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③任意三点都能确定一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（       ） A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 21．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，是的直径，，，是的弦．若，，则弦的长度为（       ） A.  B.  C. 3 D.                           22．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，内接于，于，交于，为的中点，交于，的直径为．下列结论：；的值为定值；；，其中正确的个数是（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，点在上，连接、，则的度数为　　　　　． 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）若点A，B，C是上的点，如果，那么的度数是　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，为外接圆的直径，且与相切于点．求证：． 27．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于　　　　　　　　　　　　　度． 28．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，若AC＝2，则∠BAC的度数为　　　. 29．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，，求⊙的半径． 30．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）四边形是的内接四边形，连接、，，则　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，直径，，则　　　　　　． 32．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． （1）若，，求的半径． （2）若，求的度数． 33．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：． 34．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，内接于，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交于点，连接，，若的半径为，则的周长为　　　　　　　　　． 35．（2026·黑龙江牡丹江·调研）在半径为1的中，弦，半径与弦相交所成的锐角为，连接，则的度数为　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，点A、B、C在上，，的半径为4，则的长为　　　　　． 37．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是　　　　　　． 38．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 39．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则　　　　　　． 40．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是　　　　　　． 41．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 42．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则是　　　　　　． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是　　　　　． 44．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，以为直径的圆经过原点，点分别在轴、轴上（）， 是弧的中点，连接． 判断下列结论是否正确，并说明理由： ①； ②若，则面积为5． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）内接于，点在边上，射线交于点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作于点F，交于点G，，求证：为的直径； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交边于点H，连接，若，求线段的长． 46．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为　　　　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：是直径，为的弦，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 48．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． （1）如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； （2）实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 49．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，四边形的顶点都在上，是⊙O的直径，点C是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）四边形内接于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点是劣弧上一点，点为劣弧上一点，连接、、， DE与BG相交于点F，连接AF，若，且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，的半径为26，且，，求线段BF的长． 51．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）内接于，为直径，弦交于点，连接，点在弧上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作交于点，交于点，点为中点，，，求的长． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）一个圆形喷水池的半径为5米，则这个圆的面积是（       ）平方米． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）数学活动课上，王芳用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的底面圆的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，AB是的直径，BC是的切线，点B为切点，若，，则劣弧BD的长为（       ） A. cm B. cm C. cm D. cm 5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面圆半径为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（       ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）“中国天眼”是世界上最大的单口径射电望远镜，其上方的圈梁是一个直径为500米的圆，则此圆的周长是　　　　　　　　　米（结果保留π）． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是　　　　　　　　米．（结果保留） 10．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积：________． 11．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）用一个圆心角为150°，半径为2cm的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　　　　　　　　　　cm. 12．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）用半径为2的半圆形纸片，围成一个圆锥（接缝忽略不计），这个圆锥的底面圆半径是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积　　　　　　　　　　　．（结果保留） 14．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是　　　　　度． 17．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）扇形的半径为3，圆心角为90°，则该扇形的面积为　　　　　　．（结果保留） 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）圆心角是120°的扇形，弧长为，则这个扇形的面积为　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，底面积是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为　　　　　　　cm2 21．（2026·黑龙江牡丹江·调研）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）已知圆锥的高为，底面圆的半径为1cm，则该圆锥的表面积是　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 27．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为　　　　　　　. 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为　　　　　　　 30．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为． （1）先将向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （3）在上述（2）的旋转过程中，直接写出所扫过的面积． 31．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 33．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） （1）这个花坛的周长是多少米？ （2）这个花坛的面积是多少平方米？ （3）如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）根据图示的信息，解决下列问题． （1）求阴影图形的面积（结果保留）．    （2）看图列式并计算：求水稻的吨数． 36．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点逆时针旋转得，其中，，分别和，，对应，作出； （2）作出关于点成中心对称的； （3）请计算出绕原点逆时针旋转的过程中点经过的路径长． 37．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 38．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是　　　　．（结果保留π） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列说法正确的个数是（     ） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了圆的相关概念． 根据圆的相关概念作答即可． 【详解】 解：直径所在的直线是圆的对称轴，所以① 错误； 半径相等的两个半圆是等弧，所以② 正确； 能完全重合的两条弧是等弧，所以③ 错误； 同圆或等圆中优弧一定大于劣弧，所以④ 错误． 故选A． 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）有下列说法：①数a的倒数为；②比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变；③小明的身高为160厘米，而小光的身高为1.4米，小光和小明身高的比是；④画一个直径是的圆，圆规的两脚应叉开．其中正确的说法有（       ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查了倒数、比、圆的画法等知识点．根据相关概念逐一判断每个说法的正误． 【详解】 ① ∵，故数的倒数为，∴ ①正确． ② ∵ 比的前项和后项同时乘或除以相同的非零数，比值不变，这是比的基本性质，题干中没有说明相同的数不为0，∴ ②错误． ③ ∵ 小光身高1.4米厘米，小明身高厘米，∴ 小光与小明的身高比为，但说法中为，∴ ③错误． ④ ∵ 画圆时圆规两脚叉开的距离是半径，直径的圆半径为，∴ 应叉开，说法中为，∴ ④错误． 综上，只有①正确，故正确说法有1个． 故选A． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）下列命题中正确的是（       ） A. 平分弦的直径垂直于这条弦 B. 两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C. 直径是一个圆中最长的弦 D. 同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】 本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】 解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A. 15 B.  C. 35 D.  【答案】B 【分析】 如图，连接交于，连接，因为，，所以，所以当最小时，最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接交于，连接， ∴， ∵，， ， ∵点是的中点，即， ∴是的中位线， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小， ∵半径为10， ∴ 此时的最小值． 故选：B． 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，是中考常考题型． 5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】 解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）如图①，点在上，线段与的数量关系是             ，位置关系是             ； （2）把绕直角顶点旋转到图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）把绕点在平面内自由旋转，连接，若，，当最大时，直接写出的长是    ． 【答案】（1）；     （2）成立； 理由如下： 延长交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即；     （3）      【分析】 （1）如图① 中，延长交于，由等腰直角三角形性质及三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，从而确定；； （2）结论不变．延长交于，交于，如图所示，由三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，从而确定；； （3）由题意知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，当共线时，存在最大值，由勾股定理解答即可得到答案． (1) 小问详解： 解：延长交于，如图所示： 和都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：把绕点在平面内自由旋转，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当共线时，最大， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查几何变换综合题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质、辅助圆-点圆模型、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． （1）如图1，当点F恰好落在边上时，的长为        ； （2）如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为        ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； （3）设的面积为S，则S的取值范围为        ． 【答案】（1）1     （2）解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）在中，利用勾股定理求出即可解决问题． （2）首先证明，设，则，在中，，构建方程求出m即可解决问题． （3）如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长，求解，可得的最大面积为，进一步可得答案． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形， ∴，，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长， ∵矩形，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴的最大面积为， 当共线时，面积记为， ∴． 【点睛】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理，圆的基本性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为（     ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【分析】 本题考查了垂直平分线的作法及性质等知识．由作图过程可知：，再根据求解即可． 【详解】 解：由作图过程可知：， ∴， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【详解】 ①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③ ∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④ ∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：① ② ③ ④，共有4个． 故选D． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）（1）如图1，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是              （2）如图2，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】（1）； （2）如图： 【分析】 （1）利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段、、的垂直平分线，它们相点即为旋转中心． （2）作图思路：可根据的垂直平分线来确定圆心． 【详解】 解：（1）作线段、、的垂直平分线，它们相交于点，如图， 所以是由绕着点P逆时针旋转得到的． 故答案为：； （2）分别作、垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． 本题综合考查了坐标与图形变化-旋转，垂径定理，勾股定理等知识点，掌握旋转的性质是确定旋转中心的依据，注意作图中是根据垂径定理作为确定圆心的作图依据． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． （2）以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了画圆，画旋转图形． （1）作的垂直平分线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，若，，则CD的长为（） A. 5 B. 8 C.  D.  【答案】B 【详解】 连接OD，如解图，∵AB为⊙O的直径，弦于点E，∴．∵，，∴⊙O的半径，∴，在中，∵，，∴，∴． 2．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，根据题意可得的半径为，再由，则可以求出，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】 解：连接， ∵的直径， ∴的半径为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中， 即， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，⊙的半径为5，，垂足为，，则弦的长度是（       ） A. 4 B.  C. 8 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键；由及勾股定理得，，从而求得结果． 【详解】 解：∵，，， ∴由勾股定理得，， ∴； 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13m，水面宽AB＝24m，则水的深度CD是（       ） A. 6m B. 6.5m C. 7m D. 8m 【答案】D 【分析】 先由垂径定理求出AC，再由勾股定理求出OC，即可求解． 【详解】 解：由题意，AB是⊙O的弦，OD是⊙O的半径，， ∴， 在中，OA＝13m，m， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】 本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理求出AC是解题的关键． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　） A. AE=BE B.  C. OE=DE D. ∠DBC=90° 【答案】C 【详解】 ∵CD⊥AB， ∴AE=BE，， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°， 不能得出OE=DE． 故选C． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，已知的半径为，且的弦垂直平分半径，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设与的交点为D，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理得到． 【详解】 如图所示，    ∵的半径为， ∴， ∵的弦垂直平分半径， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理等相关知识是解题的关键． 8．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）下列说法正确的是（  ） A. 直径是弦，但弦不一定是直径 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 三点确定一个圆 【答案】A 【分析】 本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、等弧和确定圆的条件，熟练掌握是解题关键． 根据定义和定理逐一判断选项的正确性即可． 【详解】 解：直径是经过圆心的弦，直径是弦；但弦不一定经过圆心，故弦不一定是直径， 故A正确，符合题意； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径，则平分弦的直径不一定垂直于弦，故B错误，不符合题意； 等弧是能完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合（如在不同半径的圆中），故C错误，不符合题意； 不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线时不能确定圆，故D错误，不符合题意； 故选A． 9．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为． 故选：C． 10．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）有以下四个命题中，正确的命题是(        )． A. 反比例函数，当x>-2时，y随x的增大而增大 B. 抛物线与两坐标轴无交点 C. 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 【答案】C 【分析】利用反比例函数的性质、相似形的判定、二次函数的性质及垂径定理等知识逐一判断后即可得到答案. 【详解】A、反比例函数y=-，当x＞0时，y随着x的增大而增大，故错误； B、抛物线y=x2-2x+2与x轴无交点，但与y轴有交点，故错误； C、垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧，故正确， D、底角和底角对应相等或顶角与顶角对应相等的两个等腰三角形相似，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似形的判定、二次函数的性质及垂径定理等知识，关键是掌握有关的定理及定义． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】 解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 12．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，那么边上的高为（       ） A. 3或8 B. 8 C. 2或8 D. 2或3 【答案】C 【分析】 分为两种情况：① 当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点， ② 当圆心在三角形的外部时，连接交于D点，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 分两种情况讨论： ① 如图1，当圆心在三角形的内部时，连接并延长交于D点，连接，    ∵， ∴， 根据垂径定理得，则， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴高； ② 当圆心在三角形的外部时，如图2，连接交于D点，    同理可得：，，， 三角形底边上的高． 所以边上的高是8或2， 故选：C． 【点睛】 本题综合考查了垂径定理和勾股定理的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论． 13．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（       ） A. cm B. cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【分析】 本题考查了圆的弦长性质与勾股定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造矩形和直角三角形，利用弦长、距离与半径的关系列方程求解． 过圆心作的垂线，利用垂径定理得弦的一半为，结合知四边形为矩形，再通过勾股定理先求弦心距的平方，最终求出圆的半径即可． 【详解】 如图：过点O作，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，，半径， 在中，由勾股定理得 即 ① ， 在中，由勾股定理得 即 ② ， 由① ②可知 ， 在中，，由勾股定理得 即， ， ， 解得， ， ， ． 故选C． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为　　　　　 ． 【答案】5 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】 解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理和垂径定理等知识．连接，先利用勾股定理求出的长，再由垂径定理即可得的长． 【详解】 解：如图，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案． 【详解】 解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：2． 17．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] （1）求出方案1中圆弧形拱桥的半径； （2）为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 【答案】（1）     （2） 方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一．      【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，则的半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连结OA，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r-2）2+32=r2，然后解方程求出r即可． 【详解】 解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r， ∵OD⊥AB， ∴AC=BC=AB=3， 在Rt△OAC中， ∵OA=r，OC=OD-CD=r-2，AC=3， ∴（r-2）2+32=r2，解得r=． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　　　　　． 【答案】3或1 【分析】 根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可 【详解】 如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴BD=BC=， 在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1； 当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3． 故答案为1或3． 【点睛】 本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 20．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，由垂径定理得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长计算公式求解即可． 【详解】 解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴都是三角形的中位线， ∴， ∵的周长为21， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 故答案为：4． 21．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为　　　　　． 【答案】1或7 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理． 连接，，作直线于F，交于E，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：① 当和在圆心的两侧时，则；② 当和在圆心的同侧时，则． 【详解】 解：如图所示，连接，，作直线于F，交于E，     ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ① 当和在圆心的两侧时，则； ② 当和在圆心的同侧时，则； 则与间的距离为1或7． 故答案为：1或7． 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知 是的两条平行弦，，的半径为13，则弦与的距离为 　　　　　． 【答案】17或7 【分析】 由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：当在点O的两侧，作于M，延长交于N，连接， 因为， 则， ， ，， ， ∴此时弦与之间的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， ， ， ， ， ∴此时弦与之间的距离为7， ∴弦与之间的距离为17或7． 故答案为：17或7． 【点睛】 本题考查垂径定理，勾股定理，关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 24．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，的直径，弦，垂足为M，则的长为　　． 【答案】8或2或8 【分析】 连接，先根据的直径求出半径的长，再根据垂径定理求出的长，然后根据勾股定理求出的长，分两种情况求出即可． 【详解】 解：①连接，如图所示：    ∵的直径， ∴， ∵弦， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ ②连接，如图所示：    同①得：， ∴； 综上所述，的长为8或2， 故答案为：8或2． 【点睛】 本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键，注意分类讨论． 25．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）的半径是10，弦，，，则与的距离是　　　　　　． 【答案】2或14 【分析】 本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：① 弦与在圆心同侧；② 弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】 解：① 当弦与在圆心同侧时，如图① ，    过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ② 当弦与在圆心异侧时，如图，    过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 26．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，是的直径，是上两点，过点作于点，过点作于点，为上任意一点，若，，，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确运用转化的思想． 延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，先在中，由勾股定理得，则，然后证明，那么，当点共线时，取得最小值为，然后可得四边形为矩形，最后对运用勾股定理求解． 【详解】 解：延长交于点，连接，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则， ∵，，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小值为， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴取得最小值为， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知是的直径，弦交于点于，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据圆的性质和线段的和差关系可得，；再由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长，据此可求出的长． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦交于点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点C与点D的位置互换时，也满足题意，同理可得， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 28．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）一条排水管的截面为圆形，半径，下雨前水面宽，下雨后水面宽度变为8，则水面上升了 　　　　　　． 【答案】或7 【分析】 本题主要考查勾股定理的应用和垂径定理的实际应用，通过计算下雨前后弦心距的变化，得到水面上升的高度即可． 【详解】 解：如下图，过点O作于E，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当水面没过圆心时， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了1或7． 故答案为∶1或7． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）下列说法正确的是（       ） A. 三角形的外心到三角形的三边的距离相等 B. 垂直于弦的直径平分弦 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】 本题考查三角形的外心、垂径定理以及弦与弧的关系，根据定义和定理逐项判断． 【详解】 A．三角形的外心是边垂直平分线的交点，到顶点距离相等，但到边距离相等的是内心，该选项错误； B．由垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，故正确； C．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧之分，不一定相等，该选项错误； D．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，该选项错误； 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，在身心健康中，为我们的学生、为我们的未来奠定好的基础，实验中学校团支部随机抽取了若干位学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查的人数共有             人，在扇形图中，表示“C”的扇形圆心角的度数为             度； （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的m； （3）估计全校人中喜欢球类运动的有多少人． 【答案】（1）     （2） 补全条形统计图如下： ；     （3）人      【分析】 本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据条形统计图和扇形统计图的数据即可求解； （2）根据所占比例即可求解； （3）计算出样本中喜欢球类运动所占比例即可求解． (1) 小问详解： 解：由图可知：参加调查的人数共有：人； 表示“C”的人数为：人； ∴表示“C”的扇形圆心角的度数为：； (2) 小问详解： 解：， ∴； (3) 小问详解： 解：人， ∴全校人中喜欢球类运动的有人； 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）某社区对生活垃圾用红、蓝、绿、灰四色收集桶进行分类收集，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数），在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为　　　　　． （3）若该校有1500名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数． 【答案】（1）100名     （2） 补全统计图如下：      （3）225人      【分析】 本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，用样本估计总体； （1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例，即可求出“灰”所在扇形的圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数占被调查人数的比例即可. (1) 小问详解： 解：（名） 答：此次调查一共随机采访了100名学生. (2) 小问详解： 解：绿色部分的人数为：（人） 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：. (3) 小问详解： 解：（人） 答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数为225人. 4．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）为提升学生综合素质，更好地发挥体育的育人功能，结合齐齐哈尔市实际，我市制定了初中学业水平考试“体育与健康”科目考试新方案，增加了运动技能类考试项目（四项选一项），包括足球运球、篮球运球、排球垫球和200米速度滑冰．现对某中学初二（1）班全体学生所选的运动技能类项目进行调查，对收集到的数据进行了整理、描述和分析． 【收集数据】记录每位学生所选项目． 【整理数据】整理选择足球运球、篮球运球、排球垫球和200米速度滑冰的学生人数．如表： 项目 足球运球 篮球运球 排球垫球 200米速度滑冰 人数 m n 15 5 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下不完整的条形统计图（图一）和不完整的扇形统计图（图二）． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m=                  ；n=                  ； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，足球项目对应的圆心角的度数是                  ； （4）若该中学共有1500名学生，请你估计该校选择排球的学生约为多少人？ 【答案】（1）10，20     （2） 如图，即为所求．      （3）72°     （4）450人      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体数量等知识； （1）根据选择200米速度滑冰的学生人数及其占比，可求得抽取的学生人数，根据篮球的占比可求得选择篮球的人数n，抽取的学生数减去所有已知的得到选择足球的人数m； （2）根据（1）中m、n的数值即可补全条形统计图； （3）足球的占比与周角的积即是； （4）1500与选择排球的占比的积即是所求． (1) 小问详解： 解：解：抽取的总人数为：， 则，； 故答案为：10 ， 20； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：由题得，（人） 答：估计该校选择排球的学生约为450人． 5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∴；     （2）      【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．以及勾股定理．熟记相关结论是解题关键． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴, 在中， ∴ ∴ 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】 解：∵如图：， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（       ） A. 4 B.  C. 6 D.  【答案】B 【分析】 连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：连接，根据作图知垂直平分，    ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选B． 【点睛】 本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，点，，在上，若，．则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理、平行线的性质，推导出是解题的关键．由圆周角定理得，根据平行线的性质即可得解． 【详解】 解：点，，在上，， ， ， ． 故选：B． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（       ）． A.  B.  C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】 解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】 解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（       ） A. 3 B.  C.  D. 2 【答案】A 【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C． ∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°． ∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°． ∵AD为直径，∴∠ABD=90°． ∵AD=6，∴AB=AD=3． 故选A． 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】 解：连接， ， ， 半径，互相垂直， ， ， ． 故选：C． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，AB是的直径，点C，D在上，，则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据圆周角定理求得∠2=2∠D=40°，然后由邻补角的定义求∠1的大小． 【详解】 解：如图，∵∠D=20°， ∴∠2=2∠D=40°． ∴∠1=180°-∠2=140°． 故选：B． 【点睛】 本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】 解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 12．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（　　） A. 80° B. 100° C. 120° D. 130° 【答案】D 【分析】 在优弧上选取一点E，连接AE，BE得圆内接四边形AEBC，根据圆周角定理先求出圆周角的度数，在根据圆内接四边形对角互补的性质即可求解． 【详解】 设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB， ∵∠AOB＝100°， ∴∠E＝∠AOB＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠E＝130°． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质是解题关键． 13．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，是的弦，且，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理．利用邻补角互补求得，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、、都是的半径，，的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理的应用，同弧所对的圆心角是所对的圆周角的两倍是解题关键． 利用圆周角定理，先由求出，再结合与的关系求出，最后由圆周角定理求出． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：B． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，的直径过弦的中点G，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是圆周角定理及垂径定理．根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出． 【详解】 解：∵的直径过弦的中点G， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：D． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）下列命题： ①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③任意三点都能确定一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查圆的基本性质，包括弦、弧、圆心角、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质，需逐项判断正误． 【详解】 ①直径是圆中最长的弦，正确； ②等弧所对的圆心角相等（在同圆或等圆中），正确； ③任意三点不一定能确定一个圆（三点共线时不能），错误； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分它的直径可能不垂直），错误； ⑤圆内接四边形的对角互补，正确； 正确的命题有①、②、⑤，共3个． 故选：C． 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】 解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 18．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角定理，根据圆周角得到，然后根据等边对等角求的度数即可． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，点为半圆上一点，点在直径上，连接，，点，分别在，上，连接，，四边形为正方形，，记和的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质和图象，圆周角定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．过点作交于点，证明，推出，，求得，求得，求得，据此即可判断． 【详解】 解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， 即开口向下的抛物线， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD； （2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（       ） A. ∠COM=∠COD B. 若OM=MN，则∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD 【答案】D 【分析】 由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】 解：由作图知CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故A选项正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN是等边三角形， ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON， ∴∠OCD=∠OCM= ， ∴∠MCD=， 又∠CMN=∠AON=∠COD， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故C选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故D选项错误； 故选D． 【点睛】 本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点． 21．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，是的直径，，，是的弦．若，，则弦的长度为（       ） A.  B.  C. 3 D.                           【答案】D 【分析】 本题考查圆周角定理勾股定理以及度直角三角形的性质．熟练掌握直径所对的圆周角是，是解题的关键．根据圆周角定理，得到，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】 解：如图，连接, ∵是的直径，，是的弦， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：． 22．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，是圆O的直径，是圆O的弦，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据是直径，得到，结合，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到． 【详解】 解：连接， 是圆O的直径， ， ， ， ． 故选：B． 23．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，内接于，于，交于，为的中点，交于，的直径为．下列结论：；的值为定值；；，其中正确的个数是（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，先利用为的斜边上的中线得到，则，再根据对顶角相等得，根据圆周角相等得，于是有，则可对进行判断；作于，连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得，，由于，则，然后根据等角的余角相等得到，于是可根据“”证明，得到，再根据垂径定理由得到，所以，则可对进行判断；在中，利用勾股定理得，加上，，则，于是可对进行判断；利用和三角形面积公式可对进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵为的中点，即为的斜边上的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； 作于，连接，如图， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 在中，∵，，， ∴， ∵为圆的半径，为定值， ∴的值为定值，故正确； ∵， ∴，故正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，点在上，连接、，则的度数为　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，得出的度数，直径所对的圆周角,进而得到的度数，根据圆周角定理证得，据此进行计算求解即可． 【详解】 解：连接， 四边形内接于， 是的直径 ． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）若点A，B，C是上的点，如果，那么的度数是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 分当点A在优弧上时和当点A在劣弧上时两种情况求解即可． 【详解】 解：当点A在优弧上时， ∵， ∴， 当点A在劣弧上时， ． 综上可知，的度数是或． 故答案为：或． 26．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，为外接圆的直径，且与相切于点．求证：． 【答案】证明：如图，连接， ∵为外接圆的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． 【分析】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键． 连接，先根据圆周角定理可得，根据圆的切线的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得证． 【详解】 略 27．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于　　　　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB＝2，⊙O上存在点C，若AC＝2，则∠BAC的度数为　　　. 【答案】30°或105° 【分析】 先根据条件证明△AOB为等边三角形，第一种情况，再证△AOC为等腰直角三角形，即可得解；第二种情况，直接用圆周角定理即可得解. 【详解】 解：① 如图，连接AO,过O作OD⊥AB于D, 作OE⊥AC于E, ∵AB＝2，OA=OB=OC=2, ∴AB=OA=OB， ∴△ABO为等边三角形. ∴∠BAO=60°. 又∵AC=2， ∴ ， ∴△AOC为等腰直角三角形. 则∠OAC=45°， ∴∠BAC=105°. ② 如图， 同上，△OBC为等边三角形. ∴∠O=60°， ∴∠BAC=30°. 综上，∠BAC的度数为30°或105°. 【点睛】 本题考查了垂径定理及圆周角定理，根据条件能挖掘出图中的特殊三角形从而得到角的条件是解题关键. 29．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，，求⊙的半径． 【答案】（1）证明：在⊙中， ∵， ∴， 又∵, ∴．     （2）⊙的半径为3      【分析】 （1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明； （2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由（1）可知，， ∵直径， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， 即⊙的半径为3． 【点睛】 本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 30．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）四边形是的内接四边形，连接、，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 分两种情况，当在劣弧上时，当在优弧上时，再根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题． 【详解】 解：如图，当在劣弧上时， ∵四边形内接于， ∵， ∴， ∴， 当在优弧上时，如图 ∴， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 31．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，直径，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆周角定理．连接，由，得到是等边三角形，据此求解即可． 【详解】 解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵直径， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接． （1）若，，求的半径． （2）若，求的度数． 【答案】（1）的半径为10；     （2）．      【分析】 （1）设，利用勾股定理构建方程求解； （2）证明，可得结论． (1) 小问详解： 解：设， ∵，是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径为10； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【详解】 33．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，中，为的直径，交于点，交于点，．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 又， 是的垂直平分线， ． 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角．连接，根据圆周角定理可知，根据可知是的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可证结论成立． 【详解】 略 34．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，内接于，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交于点，连接，，若的半径为，则的周长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接、，过点作于点，由题意可知，平分，四边形内接于，得到，，进而得到，，推出，得到是等边三角形，，由勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】 解：如图，连接、，过点作于点， 由题意可知，平分，四边形内接于， ，， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，垂径定理，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 35．（2026·黑龙江牡丹江·调研）在半径为1的中，弦，半径与弦相交所成的锐角为，连接，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了圆的基本性质与等腰三角形的角度计算，解题的关键是先判断圆心与弦的位置关系，再结合等腰三角形与三角形内角和求解角度． 先连接、，由，得为等腰直角三角形，；再分两种情况，结合与的夹角为，计算的度数． 【详解】 解：连接、，设与相交于点D． ，， ，为等腰直角三角形， ，． ① 当时，如图1， ， ∴， ∴． ② 当时，如图2， ， ∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）． 故答案为：或． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，点A、B、C在上，，的半径为4，则的长为　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，连接，根据圆周角定理求出的度数，即可得出是等边三角形，从而求出的长． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为4， ∴， 故答案为：4． 37．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 由圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】 解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 38．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即．     （2）．      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 39．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 由三角形外心的性质结合可得出，再根据圆周角定理可得出，从而可求出，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵点O为的外心， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形外心的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 40．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理的逆定理，如图，，，通过勾股定理逆定理得，所以，然后通过圆内接四边形即可求出度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴长度等于的弦所对的圆周角是或， 故答案为：或． 41．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点, ∴ ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF=BF； （2）5 ， 【分析】 （1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长． 【详解】 （1）略； （2）解：∵ ∴BC=CD=6， ∵∠ACB=90°， ∴⊙O的半径为5， 【点睛】 此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键． 42．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是半圆的直径，为半圆上一点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线，连接．若，则是　　　　　　． 【答案】21 【分析】 本题主要查了圆周角定理，尺规作图．由作法得：平分，再由是半圆O的直径，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：由作法得：平分， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：21 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是　　　　　． 【答案】2度 【分析】 本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识．根据尺规作图可得直线是弦的垂直平分线，得到，进而求出，根据圆周角定理即可求出． 【详解】 解：由尺规作图可得直线是弦的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 44．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，以为直径的圆经过原点，点分别在轴、轴上（）， 是弧的中点，连接． 判断下列结论是否正确，并说明理由： ①； ②若，则面积为5． 【答案】解：∵是直径， ∴，故① 说法正确； ∵是弧的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的面积为，故② 说法正确． 【分析】 本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形，勾股定理． 根据圆周角定理判断① ，弧、弦、圆心角的关系，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断②． 【详解】 略 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）内接于，点在边上，射线交于点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作于点F，交于点G，，求证：为的直径； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，交边于点H，连接，若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ．     （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径．     （3）      【分析】 本题主要考查圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数； （1）根据圆周角定理求出，即可证出结论； （2）根据题意得到，求出，即可证出结论； （3）连接，连接交于点K，求出，得到，设，由勾股定理可求，，，再结合，求出，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，连接交于点K， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， 由勾股定理可求， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ， ， ． 46．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】 解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 47．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：是直径，为的弦，平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，交于点Q，如图所示： ∵平分， ∴， ∴，即点B为的中点， ∵是直径， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴；     （2） 证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴；     （3）      【分析】 （1）连接，交于点Q，由题意易得，然后根据垂径定理的推论可得垂直平分线段，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，由（2）可知：，，即，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，，根据角的和差关系可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，如图所示： 由（2）可知：，，即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 由可设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】 本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质，熟练掌握垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质是解题的关键． 48．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度． （1）如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：； （2）实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明） 【答案】（1） 证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴；     （2） 如图，线段或， 由作图可得， 由圆周角定理可得：，而， 由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即．      【分析】 （1）连接，根据垂径定理以及证明即可； （2）在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则，过点作的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径画圆，连接，取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为，过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可，由作图可得，由圆周角定理可得：，而，由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则， 过点作的垂线，垂足为点， 以为圆心，为半径画圆，连接， 取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为， 过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可． 【点睛】 本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，垂线等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 49．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，四边形的顶点都在上，是⊙O的直径，点C是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）4      【分析】 本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E，由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，在和中，，解得，继而得到，则是的中位线，故． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，交于点E， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 解得， 又∵， ， ∴是的中位线， ∴． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）四边形内接于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点是劣弧上一点，点为劣弧上一点，连接、、， DE与BG相交于点F，连接AF，若，且，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，的半径为26，且，，求线段BF的长． 【答案】（1） 解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴．        （2）     （3）      【分析】 （1）连接， 根据弦弧关系有，得，即得 ； （2）设由圆周角定理推论和三角形外角性质得，得到，得到，即得； （3）延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，，过点E作交 延长线于点R，过点B作于点L，证明，，得，得四边形为平行四边形，，得，得，得，由，可得，即得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴ 即 ∴， 设 则 ∴ ∵ ∴ ∴. ∴． (3) 小问详解： 解：延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接. ∵ ∴ 又∵ ∴， 过点B作于点L， 则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ 连接 则 ∵, ∴是等边三角形， ∴， 过点E作交 延长线于点R， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 【点睛】 本题考查了圆与三角形和四边形综合问题，熟练掌握圆弧、弦关系，圆周角定理及其推论，全等三角形的判定与性质，平行四边形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，构造辅助线，是解题的关键． 51．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定② ；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】 解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③ 正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：① ② ③． 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 52．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）内接于，为直径，弦交于点，连接，点在弧上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作交于点，交于点，点为中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连结， ∵， ， ， ， ， ∵， ∵， ． ，， ． ．      （2） 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ．      （3）      【分析】 （1）根据相等的圆心角所对的弦相等论证即可； （2）利用截长补短法做辅助线论证即可； （3）通过辅助线构造三角形全等，将构造在直角三角形中，利用三角函数求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长至，使，连接， 作交延长线于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接， ∵是的中点，， ， ∴， ∴， ，， ， ∴ ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 为直径， ， ∵中，， ， ，，． 中，， 中，， ， ∵， ， 为直径， ， 中，， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、圆周角的性质、三角形中位线的性质、解直角三角形，关键是添加辅助线构造直角三角形． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）一个圆形喷水池的半径为5米，则这个圆的面积是（       ）平方米． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆的面积计算． 直接使用圆的面积公式 计算即可． 【详解】 解： 平方米． 故选 D． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）数学活动课上，王芳用一张半径为，圆心角是的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的底面圆的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了扇形弧长的相关计算，理解题意是解决本题的关键． 圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求解即可． 【详解】 解：由题意得，这个圆锥形帽子的底面圆的周长为： ． 故选C． 3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，该圆锥的母线长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了求圆锥的母线长，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 利用弧长公式建立方程求解． 【详解】 解：设圆锥的母线长为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，AB是的直径，BC是的切线，点B为切点，若，，则劣弧BD的长为（       ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】C 【分析】 根据圆周角定理得∠ABC=90°，利用，，求得∠BAC=30°，AB=4cm，从而得出∠BOD =60°，OB=2cm，根据弧长公式计算即可． 【详解】 解：∵AB是的直径，BC是的切线， ∴∠ABC=90°， ∵，， ∴∠BAC=30°，AB=4cm， ∴∠BOD=2∠BAC=60°，OB=2cm， 劣弧BD的长为=cm， 故选：C． 【点睛】 此题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理及弧长公式是解题的关键． 5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面圆半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆锥的相关知识，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质， 根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于其底面圆周长即可得出答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O， ∴， ， ， 设圆锥底面圆半径为r，则， ∴, 故选：C． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（       ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm 【答案】C 【详解】 解：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长， 利用弧长公式得：l==3πcm， 则重物上升了3πcm， 故选C 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）“中国天眼”是世界上最大的单口径射电望远镜，其上方的圈梁是一个直径为500米的圆，则此圆的周长是　　　　　　　　　米（结果保留π）． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的周长计算，根据圆的周长公式：，其中 为直径直接计算即可． 【详解】 解：（米）． 故答案为 ． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是　　　　　　． 【答案】x度 【分析】 根据勾股定理，可求出母线长为，圆锥的底面周长为，再根据圆锥展开图弧长公式即可求出圆心角． 【详解】 解：根据题意得，圆锥的母线长为：， 设该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ， 解得：， 该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了圆锥侧面展开图求圆心角的问题，注意等量的转化，圆锥的底面周长=展开图扇形弧长，圆锥母线长=展开图扇形半径，母线长=，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是　　　　　　　　米．（结果保留） 【答案】 【分析】 把半径和圆心角代入弧长公式即可； 【详解】 故填：． 【点睛】 本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键． 10．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）直接写出（2）中线段在旋转过程中扫过的面积：________． 【答案】（1） 如图1，即为所求；      （2）如图2，即为所求， 点的坐标为     （3）      【分析】 （1）找到A、B、C关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C绕点O顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可； （3）利用勾股定理求出，再利用扇形面积公式计算即可． 本题考查了作图-旋转变换，轨迹，解题的关键是掌握旋转变换与中心对称的性质． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标为； (3) 小问详解： 如图3， 根据旋转的性质可得，， ∵， ∴线段在旋转过程中扫过的面积 故答案为：． 11．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）用一个圆心角为150°，半径为2cm的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　　　　　　　　　　cm. 【答案】． 【详解】 解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得 2πr=， 解得r=cm． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）用半径为2的半圆形纸片，围成一个圆锥（接缝忽略不计），这个圆锥的底面圆半径是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查圆锥的展开问题，利用半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长即可求得底面圆的半径． 【详解】 解：半圆形纸片的半径为2，其弧长为 ，此弧长即为圆锥的底面周长． 设圆锥的底面圆半径为， 则， 解得：． 故答案为：1． 13．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积　　　　　　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题考查求扇形的面积，利用大扇形的面积减去小扇形的面积，进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】 解：； 故答案为：． 14．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可． 【详解】 解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形， 它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为， 它的面积为． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据弧长公式即可求解． 【详解】 解：扇形的圆心角为，半径为， ∴它的弧长为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）一个扇形的面积为，半径为6，则此扇形的圆心角是　　　　　度． 【答案】120 【分析】 本题考查扇形的面积以及圆心角问题．设扇形的圆心角为度，根据扇形面积公式 列出方程求解． 【详解】 解：由扇形面积公式得， 化简得， 两边同时除以得，即， 解得． 故答案为：120． 17．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）扇形的半径为3，圆心角为90°，则该扇形的面积为　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 根据扇形面积的计算公式直接解答即可． 【详解】 解：扇形面积为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了扇形面积的计算，关键是熟记扇形面积的计算公式． 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）圆心角是120°的扇形，弧长为，则这个扇形的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积弧长半径． 【详解】 解：， ， 扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了扇形面积，关键是根据弧长公式和扇形的面积公式的综合应用解答． 19．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆，底面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，然后计算底面积即可． 【详解】 解：根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为. ， 解得： ； 故答案为：． 【点睛】 本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式，熟练掌握运用这些公式是解题关键． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为　　　　　　　cm2 【答案】3π 【分析】 此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解. 【详解】 根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为. 【点睛】 本题扇形面积的计算.熟记扇形面积公式是解题的关键. 21．（2026·黑龙江牡丹江·调研）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥侧面展开图的扇形弧长，再利用扇形面积公式即可求解． 【详解】 解：圆锥的底面周长是， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了圆锥侧面积的求法，熟知圆锥的侧面展开图是半径为母线，弧长为底面圆的周长的扇形是解题的关键． 22．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】 解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 23．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】 解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为 故答案为：10 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 【答案】 【分析】 本题主要考查了求扇形面积，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，连接，根据题意可得为圆的直径，利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图所示，连接， ， 为圆的直径， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）已知圆锥的高为，底面圆的半径为1cm，则该圆锥的表面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥表面积的求法，熟知圆锥表面积的计算公式是解题的关键． 圆锥的表面积由底面积和侧面积组成，需先利用勾股定理求母线长，再计算侧面积和底面积，最后求和． 【详解】 解：圆锥的母线长 ， 侧面积 ， 底面积 ， 故表面积 ． 故答案为 26．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查了画轴对称图形、旋转图形、弧长、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出，再顺次连接即可得，根据点的位置写出它的坐标即可得； （3）先利用勾股定理可得的长，根据旋转的性质可得，再利用弧长公式计算即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，点旋转到点的过程中所经过的路径长为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为． 27．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】 解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为　　　　　　　. 【答案】 【分析】根据弧长公式求出半径，利用扇形公式求出面积即可. 【详解】设半径为R ， ∴2= ，解得：R=3， ∴扇形面积为： =3， 故答案为3 【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式，熟练掌握弧长和扇形面积公式是解题关键. 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为　　　　　　　 【答案】2 【分析】 本题考查了圆锥的表面积，熟练掌握圆锥的表面积公式是解题的关键．设该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，根据圆锥的表面积和扇形弧长公式列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】 解：设该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为， 由题意得， ， 解得 ， ∴该圆锥的底面直径为． 故答案为：2． 30．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为． （1）先将向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转后得到，试在图中画出图形，并写出点的坐标； （3）在上述（2）的旋转过程中，直接写出所扫过的面积． 【答案】（1） 如图所示， 坐标为     （2） 如图所示， 的坐标为     （3）      【分析】 本题考查了作图—平移和旋转，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质，找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点、、的位置，顺次连接即可得到，根据所作图形可直接写出的坐标； （2）根据旋转的性质找出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可得到，根据所作图形可直接写出的坐标； （3）先利用勾股定理求出，再根据旋转了，利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据题意得， 则， ∴所扫过的面积：． 31．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为　　　　　　　　　． 【答案】4cm 【分析】 设扇形的半径长为xcm，根据圆锥的底面周长等于弧长求出侧面扇形的半径，再利用勾股定理求出答案． 【详解】 解：设扇形的半径长为xcm，由题意得 解得x=5， ∴此圆锥的高为 故答案为：4cm． 【点睛】 此题考查扇形的弧长公式，勾股定理，正确理解圆锥侧面的扇形与底面圆之间的关系是解题的关键． 32．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，，      （2） 解：如图，即为所求，；      （3）      【分析】 本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 33．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高． 【详解】 解：根据圆锥侧面积公式变形可得， 根据圆锥母线公式，可得， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键． 34．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）顺迈学校准备新建一个花坛，花坛的示意图，如图1所示，它是由5个大小相等的正方形和4个大小相等的扇形组成，每一个小正方形的边长是4米．（π取3） （1）这个花坛的周长是多少米？ （2）这个花坛的面积是多少平方米？ （3）如图2所示，学校准备在花坛里种植花草，其中阴影内种植红色花草，空白部分内种植黄色花草，已知每平方米红色花草的价格为20元，每平方米黄色花草价格的比每平方米红色花草的价格多，求学校购买花草的总费用为多少元？ 【答案】（1）40米     （2）128平方米     （3）3920元      【分析】 （1）花坛的周长等于四个扇形的弧长加上4个正方形的边长； （2）花坛的面积等于5个正方形的面积加上4个扇形的面积； （3）分别求出阴影部分和空白部分的面积，即可得到花费的总费用． (1) 小问详解： 解：这个花坛的周长＝2π×4＋4×4＝8×3＋16＝40（米）； (2) 小问详解： 解：这个花坛的面积＝π×4²＋5×4×4＝48＋80＝128（平方米）； (3) 小问详解： 解：，， 阴影部分的面积：， 空白部分的面积：128-60＝68（平方米）， 购买花草的费用为：20×60＋40×68＝3920（元）， 答：学校购买花草的总费用为3920元． 【点睛】 本题考查扇形的面积、扇形的弧长，解题的关键是综合运用相关知识解题． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）根据图示的信息，解决下列问题． （1）求阴影图形的面积（结果保留）．    （2）看图列式并计算：求水稻的吨数． 【答案】（1）     （2）吨      【分析】 本题主要考查和差倍分问题的相关运算，求解有关圆的阴影面积，解题的关键是正确计算和掌握圆的面积公式． （1）根据阴影部分面积等于长方形的面积减去圆的面积，再减去半圆的面积，即可求值； （2）根据小麦的重量除以其占水稻重量的比例，即可求水稻的吨数． (1) 小问详解： 解：由图可知，长方形的宽为，即圆的直径为， 半径为， 长方形的长为：， ． (2) 小问详解： 解：由图可得， 水稻的吨数为：（吨）． 答：水稻的吨数为吨． 36．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点逆时针旋转得，其中，，分别和，，对应，作出； （2）作出关于点成中心对称的； （3）请计算出绕原点逆时针旋转的过程中点经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示．     （2） 如图所示．     （3）      【分析】 分别找点，，绕着原点O逆时针旋转90°所对应的点，，，再将点，，连接起来即可； 分别找点，，关于点O成中心对称的对应的点，，，，再将点，，，连接起来即可； 根据勾股定理求出，再根据旋转经过的路径为个圆的周长，结合圆的周长公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 点根据旋转经过的路径长为个圆的周长，圆的半径, 路径长为． 37．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意,得到阴影部分的面积恰好是扇形的面积，根据半径为，圆心角为，代入公式求解即可． 【详解】 如图，则， 所以阴影面积为扇形的面积，即 故答案为：． 【点睛】 本题考查了扇形面积公式，熟练掌握面积分割法，扇形面积公式是解题的关键． 38．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是　　　　．（结果保留π） 【答案】 【详解】 试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°， ∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=． 考点：扇形面积的计算． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $