专题07 相似（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）若，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）下列各组线段中，能成比例的是（     ） A. 2cm，3cm，5cm，6cm B. 3cm，12cm，0.8cm，2cm C. 0.1cm，0.2cm，0.5cm，0.4cm D. 1cm，2cm，4cm，2cm 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　　　　　 ． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）如图，，与相交于点，且，，，那么的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，，、交于点，则下列比例中成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（     ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（       ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（     ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在矩形中，点在边上，且，与相交于点，若，则（     ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　） A.  B.  C.  D. AD•AB=AE•AC 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，▱ABCD，E点在边CD上，且2CE＝DE，AC与BE相交于点F，△EFC的面积是1，则▱ABCD的面积是(     ) A. 12 B. 13 C. 24 D. 8 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图在中，，，则下列比例式不正确的是( ) A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（       ） A.  B. 是直角三角形 C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D. 3 15．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（     ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图1，在中，，点分别为边上的一点，，连接，点，分别为上的一个动点，连接，若，，设，，点从点运动到点的过程中，当关于的函数的部分图象如图2所示，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点O，E在上，连接，作交于点F，连接交于点，延长交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则．正确的（       ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 18．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）（多选）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）已知等边三角形，，点在上，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，若，则的长为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 24．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　　　　　　　　．（写出一种情况即可） 25．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）矩形中，，对角线交于点，点在上，，连接并延长交矩形一边于点，则的长为　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，点D在上，连接，点E在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，求证：． 27．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 29．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，在中，，，，点D是的中点，点E是的中点，连接．如图2，将绕A点顺时针旋转到点C，D，E首次在同一条直线上，连接．则的长为　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，在AB边上取一点D，使BD＝BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC＝8，BC＝6，求DE的长． 32．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形     （填“是”或“不是”“旋转位似图形”； 如图1，与互为“旋转位似图形”， ①若，，，则     ； ②若，，，则   ； （2）知识运用： 如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值． 33．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 34．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点E作，，连接，，，和，分别交于点M，N．有如下结论：①；②；③；④点G在射线上，连接，，若，则的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　 ． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，作出以为腰，为底边的等腰，并且等腰三角形的面积为； （2）在图中，在边上取点，连接，使得； （3）在图中，作出的高，点为垂足，并直接写出的长． 37．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 38．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知内接于，于点D． （1）如图1，当经过圆心时，求证：； （2）如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长． 39．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）已知，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接； （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于，延长交直线于点，设点横坐标为，的长度为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，取上一点，连接，当，时，求的值． 40．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在矩形中，，点分别在边上，交于点，若是的中点，求：的长． 41．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）已知如图，正方形的边长为2，，且交于点G，，，则①②③四边形为菱形④ 以上结论正确的是　　　　　． 42．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时，；④在旋转过程中，当点D到的距离最短时，的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是：　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则　　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知：，是的弦，，垂足为点，． （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点在弧上，过点作的切线，交延长线上于点，连接，，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，∶∶4，求的值． 45．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 46．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为． ①求点的坐标； ②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，在平面直角坐标系中，且，若的面积为，则的面积为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与都是等边三角形（锐角），连接交于点，交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③连接，则平分；④．上述结论中正确的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若ADE∽ACB，且，DE=10，则BC= 　　　　　　　 ． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，，，点从点出发以1个单位/的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位/的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动　　　　　　秒时，与相似． 9．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知，在中，，，在上，且，在上取一点，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，，是中边的二等分点，图2中、是边的三等分点，图3中、、是边的四等分点…图4中、、、是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得： ①当是边的二等分点： __________________； ②当、是边的三等分点： __________________； ③当、、是边的四等分点： __________________； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第④个等式： _____________． （2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程． （3）请你猜想出的结果（用含的式子表示）． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在矩形中，于点，且与边交于点，与边的延长线交于点． （1）图中与相似的三角形有____________个； （2）若，，求的长． 15．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形 …按此规律继续作下去，得到等边三角形 则点的纵坐标为　　　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为　　　　　　　cm． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是　　　　　　　　里． 4．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）小勇的身高是，他的影长为，若同一时刻测得古塔的影长是；则古塔的高度是　　　　　　m． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，和均为直角，AM与BC交于点D，测得，，，则信号塔的高度为　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是　　　　　　　 ． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，当，则的长度为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）（多选）如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，已知与位似，且与的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． （1）在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； （2）分别写出A，B的对应点C，D的坐标； （3）如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）求的面积为______． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    （1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． （2）顶点的坐标为                 ，与的面积之比为                 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．D 3．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．D 2．D 3．A 4．C 考点03 三角形相似的判定 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．D 9．D 10．C 11．C 12．B 13．D 14．C 15．B 16．A 17．D 18．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【分析】 （1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 19．【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或 【详解】 解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB． 当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB 故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或 20．【答案】（1） 证明：∵，， ∴．     （2）6      【分析】 （1）根据，对顶角相等，即可证明； （2）根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． 21．【答案】 【分析】 根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，结合可得，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得结果． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，推出△DEF∽△CBF，根据面积比等于相似比的平方即可得到答案． 22．【答案】10或6 【分析】 根据题意分情况作图，根据等边三角形的性质、全等三角形及相似三角形的性质即可求解． 【详解】 如图，当E点在AB上，F点在CA延长线上时，作DGAC，交AB于G点 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠BAC=60° ∵∠GDB=∠C=60°，∠BGD=∠BAC=60° ∴△BDG为等边三角形， 设CD=x，则BD=DG=15-x ∵ ∴DE=FE， 又∠DEG=∠FEA，∠EGD=∠EAF=120° ∴△DEG≌△FEA ∴AF=DG=15-x 在Rt△FCD中，∠DFC=90°-∠C=30° ∴FC=2CD=2x ∴AF=2x-15 ∴15-x=2x-15 解得x=10 如图，当E点在AB延长线上，F点在AC上时，作DGAB，交AC于G点 同理可得△DGC是等边三角形 设CD=x， ∴DG=x ∴AE=BE-AB=2BD-AB=2(15-x)-15=15-2x ∵DGBE ∴△FDG∽△FEA ∵ ∴DG=2EA ∴x=2（15-2x） 解得x=6 ∴的长为10或6． 【点睛】 此题主要考查三角形的线段求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质． 23．【答案】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）5； 【分析】 （1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题． （3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵， 等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，（负根舍去） ∴． 【点睛】 本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，能够通过角将问题转化为一线三等角是解题的关键． 24．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 25．【答案】4或6 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据矩形的性质得出．点E在上，时，分点在上和点在上两种情况，分别根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵点E在上，时， ∴需分两种情况： ① 当点在上时，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴； ② 当点在上时，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 综上，的长为4或6． 故答案为：4或6． 26．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：∵点D是的中点， ∴． 又∵， ∴， 又， ∴， ∴．      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由两角相等得到，根据相似三角形的性质即可得到，从而得到答案； （2）点D是的中点，得到，再由（1）中，推出，进而得到，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】 解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 28．【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ． 29．【答案】 【分析】 根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据相似三角形的性质结合，可求得的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 30．【答案】 【分析】 勾股定理求出的长，中点和三角形中位线的性质，求出的长，由旋转不变性，结合勾股定理求出的长，证明，得到，进而求出的长即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， 由旋转性质得，，， ∵C，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 31．【答案】3 【分析】依题意易证△AED∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出DE的长． 【详解】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， 又∵BD＝BC＝6， ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠C＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴＝ ∴DE＝•BC＝×6＝3． 【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质．解题时，利用了“相似三角形对应边成比例”的性质． 32．【答案】（1）是；①；②     （2） 如图： ∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和互为“旋转位似图形”．      （3），      【分析】 （1）根据旋转位似图形的定义； 旋转位似图形的性质，得，根据三角形的内角和，即可； 根据相似三角形的性质，即可； （2）如图，根据，，，得，；根据对顶角相等，得，；再根据，即可； （3）连接，根据勾股定理，求出，过作于，由，；根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，再根据勾股定理，即可求出的长． (1) 小问详解： 两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”， 故答案为：是； ① ∵与互为“旋转位似图形” ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ② ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：是；①；②． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接 ∵为等腰直角三角形，点为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：，． 【点睛】 本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是理解旋转位似图形的定义，相似三角形的判定和性质． 33．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．【答案】（1）     （2） 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；         （3）或      【分析】 （1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 35．【答案】① ④ 【分析】 作，交的延长线于点，根据题意得到，证明，证明，得到，根据平行线的判定即可得到① 正确；由① 知：，得到，由勾股定理求出，求出，即可得到，② 不正确；设，则，，证明，根据相似的性质得到，得到，证明，求出，得到，故③ 不正确；作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值是的长，证明三点共线，求出，即可得到答案． 【详解】 解：作，交的延长线于点， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故① 正确； 由① 知：， 点E是的中点， ， 故② 不正确； 设，则，， 故③ 不正确； 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值是的长，如图， 由对称可知 三点共线 的周长的最小值为：， 故④ 正确． 36．【答案】（1） 如图：即为所求．      （2） 如图：点F即为所求．      （3）      【分析】 本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、格点作图等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理以及三角形面积为确定点C，然后再顺次连接即可； （2）如图：确定格点D使得是等腰直角三角形，延长与的交点F即为所求； （3）先确定点E，再连接与的交点为G，线段即为所求．由求解即可． (1) 小问详解： 解：，等腰三角形的面积为，即即为所求． (2) 小问详解： 解：，，， ∴， ∴是等腰直角三角形． (3) 小问详解： 解：如图：即为所求． 由网格可知：点E、F为格线的中点，连接与的交点为G，易得，即即为所求． ∵点F为格线的中点， ∴ ∴， ∵， ∴，解得：． 37．【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ；     （2）     （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即．      【分析】 （1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 38．【答案】（1） 证明：当经过圆心时， ， 平分， 即；     （2） 证明：连接， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ；      （3）      【分析】 （1）根据垂径定理，即可证明结论； （2）连接，根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，得到，再根据圆周角定理得到，即可证得结论； （3）作直径，连结，设，先证明，得到，进一步推理得到，可求得，再证明，即可利用相似三角形的性质列出方程，求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作直径，连结， 设，则，， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用圆周角定理及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 39．【答案】（1）17     （2）     （3）1      【分析】 （1）先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再根据B、C的坐标，利用勾股定理求解即可； （2）先用待定系数法求出直线解析式为，然后设 ， ，由根据求解即可； （3）连接，先证明，得到，即，再证明，得到，求出直线解析式为，设 ，则，，得到，得到，从而证得，解得，求出，，代入即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴． (2) 小问详解： 解：设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得： ， ∴直线解析式为， ∵点P在抛物线上，， ∴设 ， ， ∴ ， ∴． (3) 小问详解： 解：连接，如图3， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得： ， ∴直线解析式为， ∵点N在直线：上， ∴设 ，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】 本题考查抛物线与坐标轴的交点，抛物线上点的坐标特征，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 40．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线．根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明∽，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求得的长，再直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ∽， ， ， ． ． ． 41．【答案】② ③ ④ 【分析】 根据正方形的性质，求出的长，证明四边形为平行四边形，得到判断① ；平行面积转化得到，得到判断② ；证明，得到，推出，求出的度数，推出，进而得到，推出四边形为菱形，判断③ ；作交的延长线于点，得到为等腰直角三角形，设，则，勾股定理求出的值，进而求出的长，判断④ 即可． 【详解】 解：∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴；故① 错误； ∵， ∴， ∵， ∴；故② 正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形；故③ 正确； 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴；故④ 正确； 故答案为：② ③ ④ ． 【点睛】 本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次根式的混合运算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 42．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题根据题意证明，可判断① ，由三角形外角性质可判断② ，证明，根据相似的性质算出，可判断③ ，取中点F，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，当运动到点时，点D到的距离最短，求出，证明，再由即可求解． 【详解】 解：和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，，，, ， ， ，， 故① 正确； 设， ， ， ， ， ， ， 故② 正确； 当点在的延长线上时，如图所示，     同理可得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故③ 正确； 取中点F，连接， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，如图，     ∴当运动到点时，点D到的距离最短，如图： ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故④ 正确； 故答案为：① ② ③ ④ ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的定义等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果．根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】 解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 44．【答案】（1） 解：如图，连接，，，． ，是的弦，， ， 垂直平分， ，． ， ， ， 又， ， 是的直径．     （2） 解：连接，． 设， ， ． ， ， ． 是的切线， ， ． ， ， ， ．     （3）      【分析】 （1）由， ，推出垂直平分，所以，，可证，根据全等三角形的性质可得，即可得到结论． （2）连接，，设，根据得到， ，可得到以及的度数，同理因为是的切线， 得到，进而求出的度数．然后根据， 得到的度数，得到，即可得到结论． （3）延长交于点，连接，，，作．根据角的等量代换得到．进而证明，由∶∶4得到，设，则，，利用相似三角形的性质求得，的长度， 利用三角函数求得， ，的长度，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长交于点，连接，，，作． ，， ， 是的直径， 三点共线， ，． ， ． ， ，， ， ． ， ， ． ∶∶4， ，， ， ． 设，则，， ， ，， ． ， ，． ， ． ， ， ． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，中垂线的性质，全等三角形，直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 45．【答案】（1），     （2）①，②      【分析】 （1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． (1) 小问详解： 解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； (2) 小问详解： 解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得 ， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】 本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 46．【答案】（1），     （2）①；②的坐标为或．      【分析】 （1）把代入可得反比例函数解析式；再联立 可得的坐标； （2）① 先求解直线为，如图，过作轴交直线于，可得，可得，设，则，再进一步建立方程求解即可；② 如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点，过作轴，作于，作于，由，可得，证明，再进一步求解即可；当与反比例函数相切时，如图，设直线为，结合直线与反比例函数只有1个交点，，求解直线为，过作轴于，过作于，，由为对应点，可得，过作轴，作于，作于，同理进一步可得答案． (1) 小问详解： 解：∵点在反比例函数的图象上． ∴， ∴反比例函数为， ∵正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点， ∴ ， 解得：， ∴ ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：① ∵，， 设直线为， ∴ ， 解得： ， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于， ∴ ， ∵的面积为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； ② 如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点， 过作轴，作于，作于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当与反比例函数相切时，如图， ∵直线过定点， 设直线为， ∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线为， 令，则， ∴， 过作轴于，过作于，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为对应点， ∴为中点， ∵，， ∴， 同理：， ∴，， 过作轴，作于，作于， 同理可得：，，， ∴， ∴，， ∴； 综上：的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．A 2．D 3．B 4．C 5．【答案】15 【详解】 ∵△ADE∽△ACB， ∴， 又，DE=10， ∴BC=15． 故答案为15． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质．利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：因为， 所以， 因为， ∴． 故答案为：． 7．【答案】s或s 【分析】 设运动时间为t，则根据题意可得QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，然后由以，，为顶点的三角形与相似时，可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，进而问题可求解． 【详解】 解：设运动时间为t，由题意可得：QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，则有： ∵，，当以，，为顶点的三角形与相似时， ∴① 当时，则有： ，解得：； ② 当时，则有： ，解得：； 综上所述：当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为s或s； 故答案为s或s． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8．【答案】或2 【分析】 本题考查了相似三角形的性质等知识，注意分类讨论是解题关键．设运动时间为x秒，则，分和两种情况分类讨论，得到比例式即可求解． 【详解】 解：设运动时间为x秒，则． 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 故答案为：或2 9．【答案】或 【分析】 本题考查的是相似三角形的对应边成比例，分两种情况讨论，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】 解：① 当时·，即， 所以； ② 当时，，即, 所以. 综上所述，或． 故答案为：或． 10．【答案】8或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是分两种相似对应情况，利用相似三角形的对应边成比例求解． 先求出的长度，再分和两种相似情况，分别根据对应边成比例列方程，计算得出的长度． 【详解】 解： 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得 故答案为：8或． 11．【答案】（1）；（2）①；②；③；（3） 【分析】 （1）①、②、③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得； （2）根据平行可得两三角形相似，则可得三角形面积的关系； （3）根据前几问的结论寻找规律即可得到结论． 【详解】 （1）解：∵，过五等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； （2）解：① ∵，过二等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； ② ∵，过三等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； ③ ∵，过四等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； （3）解：∵、、、是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行， 则各三角形的相似比为， 面积比为， ∴． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方． 12．【答案】/ 【分析】 根据所给函数图象上的关键点判断出此时点的位置，进而求得此时的高，然后根据三角形相似可得的长；易得当点在上时，有最大值，分别表示出此时的长和边上的高，进而得到用表示的，根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】 解：∵，函数图象过点， ∴此时点在上， 如图，作⊥于点，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即，解得， 由函数图象可得：当点在上时，有最大值． 由题意得：，则， ∴，∴， ∴==， ∴当时，面积有最大值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数的最值等知识，分析函数图象上的点所对应的图形情况，用含的代数式表示是解决本题的关键． 13．【答案】9 【分析】 先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键. 【详解】 解：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 梯形的面积为． 故答案为：9． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等相关知识，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． （1）根据矩形的性质和已知可得，再寻找图中等于的三角形，根据相似三角形的判定，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴① ， 又，，则② 又∵， ∴ ∴③ ， 同理可得，则④ ，⑤ ∵ ∴ ∴⑥ ，⑦ ，⑧ 综上所述，图中与相似的三角形有个， 故答案为： (2) 小问详解： 解：在矩形中，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 15．【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】 解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．A 2．【答案】9 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解． 根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高． 【详解】 解：设光屏上像的高度为． 在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比， 已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高）， 根据比例关系，即，解得：， 故答案为：9． 3．【答案】8 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 4．【答案】米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先证明，再根据相似三角形对应边成比例得出答案即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：米． 5．【答案】12.8 【分析】 本题考查相似三角形的应用，熟悉掌握比值关系是解题的关键． 设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质列式运算即可． 【详解】 解：设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．【答案】15.3 【分析】 本题考查相似三角形的应用；由可得，即可求出. 【详解】 解：∵点A，B，N在同一水平线上，和均为直角， ∴ ∴ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：15.3. 7．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解． 【详解】 解：，且， ， ，即：， 解得：， （）， 树高是， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 9．【答案】路灯杆AB的高度为7m． 【分析】 找出图中的相似三角形，利用三角形相似的性质解决即可． 【详解】 ∵CD∥AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴=，即=① ， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴=，即=② ， 由① ② 得，=， 解得，BD=7.5， ∴=， 解得，AB=7． 答：路灯杆AB的高度为7m． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用．在本题中关键是两组相似三角形中的公共边和身高，这两个量的性质，人的身高不变，AB是公共边，这样就可以解决了． 考点06 位似 1．B 2．D 3．【答案】或 【分析】 本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案． 【详解】 解：，以原点O为位似中心，相似比为， 对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或， 的坐标是或， 故答案为：或． 4．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）点C，D的坐标分别为     （3）      【分析】 此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力．题目比较简单，注意数形结合思想的应用． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形； （2）结合图形，由位似变化的性质，即可求得； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点A，B的坐标分别为，，与的相似比为， ∴点C，D的坐标分别为； (3) 小问详解： 解：∵内部一点M的坐标为， ∴对应点N的坐标为． 5．【答案】（1） 如图所示，就是所求三角形；      （2） 如图所示，就是所求三角形．      （3）28      【分析】 本题考查作图﹣位似变换，平移作图，三角形的面积，解题的关键是理解位似变换，轴对称变换的定义，属于中考常考题型． （1）画出A，B，C平移后的对应点，再连线成三角形即可解决问题； （2）连接，延长到，使得，同法可得连接成，即是所求三角形； （3）利用矩形的面积减去周围3个三角形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，，，与位似，且位似比为， ∴， ∴． 故答案为：28． 6．【答案】（1） 如图所示：即为所求；         （2） ；      【分析】 （1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】 本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）若，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】 解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）下列各组线段中，能成比例的是（     ） A. 2cm，3cm，5cm，6cm B. 3cm，12cm，0.8cm，2cm C. 0.1cm，0.2cm，0.5cm，0.4cm D. 1cm，2cm，4cm，2cm 【答案】D 【分析】 本题考查成比例线段的概念，熟悉掌握比值方法是解题的关键． 利用最小与最大乘积等于中间两乘积的方法逐一判断即可． 【详解】 A：排序为，，，，，，，不成比例，故A不符合； B：排序为，，，，，，，不成比例，故B不符合； C：排序为，，，，，，，不成比例，故C不符合； D：排序为，，，，，，，成比例，故D符合； 故选：D． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）如图，，与相交于点，且，，，那么的值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得，即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】 解：， ， ，， ． 故选：D． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题． 【详解】 解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，，、交于点，则下列比例中成立的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项． 【详解】 解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，已知在中，，延长至，使，连接，交于点，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行四边形性质与相似三角形的判定及性质，解题关键是利用平行四边形性质证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例建立线段关系求解． 先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出相关线段和角的关系；再据此证明，得到对应边成比例关系；最后结合已知线段长度，通过线段间的等量代换求出答案。 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴， ∴． ∴ ， ∵， ∴ ， 则， ∴ ． ∵，且，， ∴，即 ， 解得． 故选：A． 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，已知正方形的边长为6，点E是边上一点，，以为一边作正方形，连接交于点H，则的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，下列各式中错误的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据平行四边形的性质和相似三角形的性质，逐一判断各个选项，即可． 【详解】 解：∵在平行四边形中，AD∥BC， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵CD∥BE， ∴△CDF∽△EAF， ∴， ∵AB=CD， ∴，C选项正确，不符合题意； ∵CD∥BE， ∴∠E=∠FCD， 又∵∠B=∠D， ∴△CDF∽△EBC， ∴，B选项正确，不符合题意； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△EBC， ∴， ∴D错误． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（     ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 【答案】D 【分析】 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】 解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在矩形中，点在边上，且，与相交于点，若，则（     ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据矩形的性质得出，即可证明，根据，得出，根据相似三角形的性质求得，即可求得的长． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选B． 8．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　） A.  B.  C.  D. AD•AB=AE•AC 【答案】D 【分析】 由DE∥BC，AD：DB=2：1，可得△ADE∽△ABC，推出，，推出，由此即可判断. 【详解】 ∵DE∥BC，AD：DB=2：1， ∴△ADE∽△ABC， ∴，， ∴， ∴A、B、C正确， 故选D． 【点睛】 本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了折叠的性质、平行线分线段成比例定理，关键是知识点的灵活应用； 由折叠可得，据此逐一判断各选项即可． 【详解】 解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，C选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，D选项错误，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，在中，点E在边上，射线交延长线于点F，若，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．根据平行四边形的性质，可知，，可得，，即可根据相似三角形的性质求解． 【详解】 解：对于A和B， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选项A和选项B都正确，不符合题意； 对于C和D， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， 故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，▱ABCD，E点在边CD上，且2CE＝DE，AC与BE相交于点F，△EFC的面积是1，则▱ABCD的面积是(     ) A. 12 B. 13 C. 24 D. 8 【答案】C 【分析】 根据平行四边形的性质得△EFC∽△BFA，再由2CE＝DE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出△ABF的面积，由△BFC与△EFC等高，求出△BFC的面积，从而求出△ABC的面积，进而得出结果． 【详解】 解：∵2CE＝DE， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，CD＝AB， ∴△EFC∽△BFA，， ∴， ∵， ∴S△ABF＝9， ∵△CEF∽△ABF， ∴， ∴， ∴S△BFC＝3， ∴S△ABC＝S△ABF＋S△BFC＝12， ∴▱ABCD的面积是，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积计算等知识，利用高相等的两个三角形面积比等于底之比是解题的关键． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图在中，，，则下列比例式不正确的是( ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】先求出四边形DFCE是平行四边形，求出DE=CF，再根据平行线分线段定理和相似三角形的性质逐个判断即可． 【详解】A、∵DE∥BC， ∴，故本选项错误； B、∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，故本选项正确； C、∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE=FC， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴，， ∴，故本选项错误； D、∵DE∥BC， ∴△DEH∞△FBH， ∴， ∵， ∴，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用定理得出比例式是解此题的关键． 13．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（       ） A.  B. 是直角三角形 C.  D.  【答案】D 【分析】 由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明． 【详解】 解：∵在菱形中，对角线与相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故B选项正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，，故A选项正确； ∴BC为斜边上的中线， ∴，故C选项正确； 现有条件不足以证明，故D选项错误； 故选D． 【点睛】 本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则． 【详解】 解：、为边的三等分点，， ，，， ，是的中位线， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在中，，点，在边上，且，若，则的面积为（     ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 过作，设，根据勾股定理求得，再利用相似三角形的判定及性质求出，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】 过作，设， ，， ，，为等腰直角三角形， 为中点，也为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 故选：B． 16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图1，在中，，点分别为边上的一点，，连接，点，分别为上的一个动点，连接，若，，设，，点从点运动到点的过程中，当关于的函数的部分图象如图2所示，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质． 证明是等边三角形，得到，进而得到，根据得到，根据三角形外角的性质得到，即，证明得到，可知当时，，即，作，根据三线合一及勾股定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵当时，， ∴， 即当时，， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 17．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在正方形中，对角线，交于点O，E在上，连接，作交于点F，连接交于点，延长交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则．正确的（       ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，结合全等和相似三角形的判定定理进行推理计算． 根据正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质逐项进行验证． 【详解】 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ， 又∵， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ∴，故① 正确； ， ∴点，点，点，点四点共圆， ， ， ， ， ， ， 又， ，故② 正确； ， ， ， ， ∴，故③ 正确； ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，故④ 正确． 18．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）（多选）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【分析】 （1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】 （1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB　　　　　　　　． 【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或 【详解】 解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB． 当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB 故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，F为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴．     （2）6      【分析】 （1）根据，对顶角相等，即可证明； （2）根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，结合可得，证明△DEF∽△CBF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得结果． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DEF∽△CBF， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，推出△DEF∽△CBF，根据面积比等于相似比的平方即可得到答案． 22．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）已知等边三角形，，点在上，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，若，则的长为　　　　　　． 【答案】10或6 【分析】 根据题意分情况作图，根据等边三角形的性质、全等三角形及相似三角形的性质即可求解． 【详解】 如图，当E点在AB上，F点在CA延长线上时，作DGAC，交AB于G点 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=∠BAC=60° ∵∠GDB=∠C=60°，∠BGD=∠BAC=60° ∴△BDG为等边三角形， 设CD=x，则BD=DG=15-x ∵ ∴DE=FE， 又∠DEG=∠FEA，∠EGD=∠EAF=120° ∴△DEG≌△FEA ∴AF=DG=15-x 在Rt△FCD中，∠DFC=90°-∠C=30° ∴FC=2CD=2x ∴AF=2x-15 ∴15-x=2x-15 解得x=10 如图，当E点在AB延长线上，F点在AC上时，作DGAB，交AC于G点 同理可得△DGC是等边三角形 设CD=x， ∴DG=x ∴AE=BE-AB=2BD-AB=2(15-x)-15=15-2x ∵DGBE ∴△FDG∽△FEA ∵ ∴DG=2EA ∴x=2（15-2x） 解得x=6 ∴的长为10或6． 【点睛】 此题主要考查三角形的线段求解，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质． 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）5； 【分析】 （1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题． （3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵， 等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，（负根舍去） ∴． 【点睛】 本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，能够通过角将问题转化为一线三等角是解题的关键． 24．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　　　　　　　　．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】 解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 25．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）矩形中，，对角线交于点，点在上，，连接并延长交矩形一边于点，则的长为　　　　　　　　　． 【答案】4或6 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据矩形的性质得出．点E在上，时，分点在上和点在上两种情况，分别根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴． ∵点E在上，时， ∴需分两种情况： ① 当点在上时，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴； ② 当点在上时，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 综上，的长为4或6． 故答案为：4或6． 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，点D在上，连接，点E在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴．     （2） 证明：∵点D是的中点， ∴． 又∵， ∴， 又， ∴， ∴．      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由两角相等得到，根据相似三角形的性质即可得到，从而得到答案； （2）点D是的中点，得到，再由（1）中，推出，进而得到，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】 解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：． 28．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ． 29．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据相似三角形的性质结合，可求得的值． 【详解】 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 30．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图1，在中，，，，点D是的中点，点E是的中点，连接．如图2，将绕A点顺时针旋转到点C，D，E首次在同一条直线上，连接．则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 勾股定理求出的长，中点和三角形中位线的性质，求出的长，由旋转不变性，结合勾股定理求出的长，证明，得到，进而求出的长即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， 由旋转性质得，，， ∵C，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，在AB边上取一点D，使BD＝BC，过D作DE⊥AB交AC于E，AC＝8，BC＝6，求DE的长． 【答案】3 【分析】依题意易证△AED∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出DE的长． 【详解】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， 又∵BD＝BC＝6， ∴AD＝AB﹣BD＝4， ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠C＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC， ∴＝ ∴DE＝•BC＝×6＝3． 【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质．解题时，利用了“相似三角形对应边成比例”的性质． 32．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形     （填“是”或“不是”“旋转位似图形”； 如图1，与互为“旋转位似图形”， ①若，，，则     ； ②若，，，则   ； （2）知识运用： 如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”； （3）拓展提高： 如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值． 【答案】（1）是；①；②     （2） 如图： ∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和互为“旋转位似图形”．      （3），      【分析】 （1）根据旋转位似图形的定义； 旋转位似图形的性质，得，根据三角形的内角和，即可； 根据相似三角形的性质，即可； （2）如图，根据，，，得，；根据对顶角相等，得，；再根据，即可； （3）连接，根据勾股定理，求出，过作于，由，；根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，再根据勾股定理，即可求出的长． (1) 小问详解： 两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”， 故答案为：是； ① ∵与互为“旋转位似图形” ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ② ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：是；①；②． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接 ∵为等腰直角三角形，点为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：，． 【点睛】 本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是理解旋转位似图形的定义，相似三角形的判定和性质． 33．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）     （2） 解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；         （3）或      【分析】 （1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 35．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，在正方形中，点E是的中点，连接，过点E作，，连接，，，和，分别交于点M，N．有如下结论：①；②；③；④点G在射线上，连接，，若，则的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　 ． 【答案】① ④ 【分析】 作，交的延长线于点，根据题意得到，证明，证明，得到，根据平行线的判定即可得到① 正确；由① 知：，得到，由勾股定理求出，求出，即可得到，② 不正确；设，则，，证明，根据相似的性质得到，得到，证明，求出，得到，故③ 不正确；作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值是的长，证明三点共线，求出，即可得到答案． 【详解】 解：作，交的延长线于点， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故① 正确； 由① 知：， 点E是的中点， ， 故② 不正确； 设，则，， 故③ 不正确； 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值是的长，如图， 由对称可知 三点共线 的周长的最小值为：， 故④ 正确． 36．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，作出以为腰，为底边的等腰，并且等腰三角形的面积为； （2）在图中，在边上取点，连接，使得； （3）在图中，作出的高，点为垂足，并直接写出的长． 【答案】（1） 如图：即为所求．      （2） 如图：点F即为所求．      （3）      【分析】 本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、格点作图等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理以及三角形面积为确定点C，然后再顺次连接即可； （2）如图：确定格点D使得是等腰直角三角形，延长与的交点F即为所求； （3）先确定点E，再连接与的交点为G，线段即为所求．由求解即可． (1) 小问详解： 解：，等腰三角形的面积为，即即为所求． (2) 小问详解： 解：，，， ∴， ∴是等腰直角三角形． (3) 小问详解： 解：如图：即为所求． 由网格可知：点E、F为格线的中点，连接与的交点为G，易得，即即为所求． ∵点F为格线的中点， ∴ ∴， ∵， ∴，解得：． 37．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ；     （2）     （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即．      【分析】 （1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 38．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知内接于，于点D． （1）如图1，当经过圆心时，求证：； （2）如图2，当不经过圆心时，过点作于点，交于点，交于点，连接、，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：当经过圆心时， ， 平分， 即；     （2） 证明：连接， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ；      （3）      【分析】 （1）根据垂径定理，即可证明结论； （2）连接，根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，得到，再根据圆周角定理得到，即可证得结论； （3）作直径，连结，设，先证明，得到，进一步推理得到，可求得，再证明，即可利用相似三角形的性质列出方程，求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作直径，连结， 设，则，， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径长为． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用圆周角定理及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 39．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）已知，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接； （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于，延长交直线于点，设点横坐标为，的长度为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，取上一点，连接，当，时，求的值． 【答案】（1）17     （2）     （3）1      【分析】 （1）先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再根据B、C的坐标，利用勾股定理求解即可； （2）先用待定系数法求出直线解析式为，然后设 ， ，由根据求解即可； （3）连接，先证明，得到，即，再证明，得到，求出直线解析式为，设 ，则，，得到，得到，从而证得，解得，求出，，代入即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴． (2) 小问详解： 解：设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得： ， ∴直线解析式为， ∵点P在抛物线上，， ∴设 ， ， ∴ ， ∴． (3) 小问详解： 解：连接，如图3， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得： ， ∴直线解析式为， ∵点N在直线：上， ∴设 ，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】 本题考查抛物线与坐标轴的交点，抛物线上点的坐标特征，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 40．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在矩形中，，点分别在边上，交于点，若是的中点，求：的长． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线．根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明∽，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求得的长，再直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ∽， ， ， ． ． ． 41．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）已知如图，正方形的边长为2，，且交于点G，，，则①②③四边形为菱形④ 以上结论正确的是　　　　　． 【答案】② ③ ④ 【分析】 根据正方形的性质，求出的长，证明四边形为平行四边形，得到判断① ；平行面积转化得到，得到判断② ；证明，得到，推出，求出的度数，推出，进而得到，推出四边形为菱形，判断③ ；作交的延长线于点，得到为等腰直角三角形，设，则，勾股定理求出的值，进而求出的长，判断④ 即可． 【详解】 解：∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴；故① 错误； ∵， ∴， ∵， ∴；故② 正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形；故③ 正确； 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴；故④ 正确； 故答案为：② ③ ④ ． 【点睛】 本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，二次根式的混合运算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 42．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时，；④在旋转过程中，当点D到的距离最短时，的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是：　　　　　　　． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 本题根据题意证明，可判断① ，由三角形外角性质可判断② ，证明，根据相似的性质算出，可判断③ ，取中点F，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，当运动到点时，点D到的距离最短，求出，证明，再由即可求解． 【详解】 解：和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，，，, ， ， ，， 故① 正确； 设， ， ， ， ， ， ， 故② 正确； 当点在的延长线上时，如图所示，     同理可得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故③ 正确； 取中点F，连接， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，如图，     ∴当运动到点时，点D到的距离最短，如图： ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故④ 正确； 故答案为：① ② ③ ④ ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的定义等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果．根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】 解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 44．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知：，是的弦，，垂足为点，． （1）如图1，求证：是的直径； （2）如图2，点在弧上，过点作的切线，交延长线上于点，连接，，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，∶∶4，求的值． 【答案】（1） 解：如图，连接，，，． ，是的弦，， ， 垂直平分， ，． ， ， ， 又， ， 是的直径．     （2） 解：连接，． 设， ， ． ， ， ． 是的切线， ， ． ， ， ， ．     （3）      【分析】 （1）由， ，推出垂直平分，所以，，可证，根据全等三角形的性质可得，即可得到结论． （2）连接，，设，根据得到， ，可得到以及的度数，同理因为是的切线， 得到，进而求出的度数．然后根据， 得到的度数，得到，即可得到结论． （3）延长交于点，连接，，，作．根据角的等量代换得到．进而证明，由∶∶4得到，设，则，，利用相似三角形的性质求得，的长度， 利用三角函数求得， ，的长度，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长交于点，连接，，，作． ，， ， 是的直径， 三点共线， ，． ， ． ， ，， ， ． ， ， ． ∶∶4， ，， ， ． 设，则，， ， ，， ． ， ，． ， ． ， ， ． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，中垂线的性质，全等三角形，直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 45．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】（1），     （2）①，②      【分析】 （1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． (1) 小问详解： 解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； (2) 小问详解： 解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得 ， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】 本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 46．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接，，，且的面积为． ①求点的坐标； ②点在轴上，直线与反比例函数的图象只有一个交点，在直线的上方是否存在点，使得？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）①；②的坐标为或．      【分析】 （1）把代入可得反比例函数解析式；再联立 可得的坐标； （2）① 先求解直线为，如图，过作轴交直线于，可得，可得，设，则，再进一步建立方程求解即可；② 如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点，过作轴，作于，作于，由，可得，证明，再进一步求解即可；当与反比例函数相切时，如图，设直线为，结合直线与反比例函数只有1个交点，，求解直线为，过作轴于，过作于，，由为对应点，可得，过作轴，作于，作于，同理进一步可得答案． (1) 小问详解： 解：∵点在反比例函数的图象上． ∴， ∴反比例函数为， ∵正比例函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象相交于点， ∴ ， 解得：， ∴ ， ， ∴； (2) 小问详解： 解：① ∵，， 设直线为， ∴ ， 解得： ， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于， ∴ ， ∵的面积为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； ② 如图，当轴时，直线与反比例函数的图象只有一个交点， 过作轴，作于，作于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当与反比例函数相切时，如图， ∵直线过定点， 设直线为， ∵直线与反比例函数只有1个交点， ∴有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， ∴直线为， 令，则， ∴， 过作轴于，过作于，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为对应点， ∴为中点， ∵，， ∴， 同理：， ∴，， 过作轴，作于，作于， 同理可得：，，， ∴， ∴，， ∴； 综上：的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由等腰可求度数，则度数可知，证明，可得，在中利用三角形内角和定理可知度数． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴． 又， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． 又， ∴，且， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解决三角形中角的度数问题一般运用三角形内角和知识，若不能直接运用，则需要利用特殊图形的性质或全等三角形的性质进行转化，而后求解． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，在平面直角坐标系中，且，若的面积为，则的面积为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，先利用坐标求出与的长度得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为， ∴． 故选： D． 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）如图，有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的最小值为5．上述结论中正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质及菱形的性质是解题的关键．根据折叠的性质及矩形的性质可知四边形是菱形，再根据全等三角形的判定与性质可知，这个结论不一定成立，最后利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故②正确； ∴，， ∴， ∵， 若， ∴， ∴，这个结论不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图所示， 设，则， ∴在中，, ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 故③正确； 当过点时，如图所示，最短，四边形的面积最小， ∴， 当点与点重合时，如图，最长，四边形的面积最大， ∴， ∴， 即的面积的最小值为4． 故④错误； 正确的项为② ③，共两个， 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与都是等边三角形（锐角），连接交于点，交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③连接，则平分；④．上述结论中正确的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查的知识点是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，解题的关键是通过证明三角形全等，结合等边三角形的角度和边长关系，逐一分析每个结论的正确性． 【详解】 和是等边三角形 即 在和中， ，故① 正确； ， ， ， 是的外角 ，所以② 正确； 过作于，于 ， 平分，故③ 正确； ， 不全等， ，故④ 错误， 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若ADE∽ACB，且，DE=10，则BC= 　　　　　　　 ． 【答案】15 【详解】 ∵△ADE∽△ACB， ∴， 又，DE=10， ∴BC=15． 故答案为15． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质．利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：因为， 所以， 因为， ∴． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在中，，，点从点出发以1个单位/的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位/的速度向点运动．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为　　　　　　． 【答案】s或s 【分析】 设运动时间为t，则根据题意可得QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，然后由以，，为顶点的三角形与相似时，可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，进而问题可求解． 【详解】 解：设运动时间为t，由题意可得：QC=2t，BQ=6-2t，BP=t，则有： ∵，，当以，，为顶点的三角形与相似时， ∴① 当时，则有： ，解得：； ② 当时，则有： ，解得：； 综上所述：当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为s或s； 故答案为s或s． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动　　　　　　秒时，与相似． 【答案】或2 【分析】 本题考查了相似三角形的性质等知识，注意分类讨论是解题关键．设运动时间为x秒，则，分和两种情况分类讨论，得到比例式即可求解． 【详解】 解：设运动时间为x秒，则． 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 故答案为：或2 9．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是相似三角形的对应边成比例，分两种情况讨论，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】 解：① 当时·，即， 所以； ② 当时，，即, 所以. 综上所述，或． 故答案为：或． 10．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知，在中，，，在上，且，在上取一点，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长　　　　　　　　　　　． 【答案】8或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是分两种相似对应情况，利用相似三角形的对应边成比例求解． 先求出的长度，再分和两种相似情况，分别根据对应边成比例列方程，计算得出的长度． 【详解】 解： 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得 故答案为：8或． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，，是中边的二等分点，图2中、是边的三等分点，图3中、、是边的四等分点…图4中、、、是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得： ①当是边的二等分点： __________________； ②当、是边的三等分点： __________________； ③当、、是边的四等分点： __________________； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第④个等式： _____________． （2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程． （3）请你猜想出的结果（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；②；③；（3） 【分析】 （1）①、②、③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得； （2）根据平行可得两三角形相似，则可得三角形面积的关系； （3）根据前几问的结论寻找规律即可得到结论． 【详解】 （1）解：∵，过五等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； （2）解：① ∵，过二等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； ② ∵，过三等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； ③ ∵，过四等分点的线段与底边平行， ∴，， 即：； （3）解：∵、、、是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行， 则各三角形的相似比为， 面积比为， ∴． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为　　　　　． 【答案】/ 【分析】 根据所给函数图象上的关键点判断出此时点的位置，进而求得此时的高，然后根据三角形相似可得的长；易得当点在上时，有最大值，分别表示出此时的长和边上的高，进而得到用表示的，根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】 解：∵，函数图象过点， ∴此时点在上， 如图，作⊥于点，则，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即，解得， 由函数图象可得：当点在上时，有最大值． 由题意得：，则， ∴，∴， ∴==， ∴当时，面积有最大值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数的最值等知识，分析函数图象上的点所对应的图形情况，用含的代数式表示是解决本题的关键． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为　　　　　　． 【答案】9 【分析】 先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键. 【详解】 解：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 梯形的面积为． 故答案为：9． 14．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在矩形中，于点，且与边交于点，与边的延长线交于点． （1）图中与相似的三角形有____________个； （2）若，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等相关知识，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． （1）根据矩形的性质和已知可得，再寻找图中等于的三角形，根据相似三角形的判定，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴① ， 又，，则② 又∵， ∴ ∴③ ， 同理可得，则④ ，⑤ ∵ ∴ ∴⑥ ，⑦ ，⑧ 综上所述，图中与相似的三角形有个， 故答案为： (2) 小问详解： 解：在矩形中，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 15．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形 …按此规律继续作下去，得到等边三角形 则点的纵坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【详解】 解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故答案为：． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】 解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故选：A． 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为　　　　　　　cm． 【答案】9 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解． 根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高． 【详解】 解：设光屏上像的高度为． 在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比， 已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高）， 根据比例关系，即，解得：， 故答案为：9． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是　　　　　　　　里． 【答案】8 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】 解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先证明，再根据相似三角形对应边成比例得出答案即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：米． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）小勇的身高是，他的影长为，若同一时刻测得古塔的影长是；则古塔的高度是　　　　　　m． 【答案】12.8 【分析】 本题考查相似三角形的应用，熟悉掌握比值关系是解题的关键． 设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质列式运算即可． 【详解】 解：设古塔的高度为米，根据相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，和均为直角，AM与BC交于点D，测得，，，则信号塔的高度为　　　　　　　． 【答案】15.3 【分析】 本题考查相似三角形的应用；由可得，即可求出. 【详解】 解：∵点A，B，N在同一水平线上，和均为直角， ∴ ∴ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：15.3. 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解． 【详解】 解：，且， ， ，即：， 解得：， （）， 树高是， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，当，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． 【详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）（多选）如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时大华的影长GH=5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 【答案】路灯杆AB的高度为7m． 【分析】 找出图中的相似三角形，利用三角形相似的性质解决即可． 【详解】 ∵CD∥AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴=，即=① ， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴=，即=② ， 由① ② 得，=， 解得，BD=7.5， ∴=， 解得，AB=7． 答：路灯杆AB的高度为7m． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用．在本题中关键是两组相似三角形中的公共边和身高，这两个量的性质，人的身高不变，AB是公共边，这样就可以解决了． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，已知与位似，且与的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了位似图形的性质，正确求出对应的位似比是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案． 【详解】 解：∵与位似，且与的周长之比为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D 【详解】 解：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2，1），然后求在另一侧为（2，-1）． 故选∶D． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案． 【详解】 解：，以原点O为位似中心，相似比为， 对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或， 的坐标是或， 故答案为：或． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． （1）在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为； （2）分别写出A，B的对应点C，D的坐标； （3）如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）点C，D的坐标分别为     （3）      【分析】 此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力．题目比较简单，注意数形结合思想的应用． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形； （2）结合图形，由位似变化的性质，即可求得； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点A，B的坐标分别为，，与的相似比为， ∴点C，D的坐标分别为； (3) 小问详解： 解：∵内部一点M的坐标为， ∴对应点N的坐标为． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）求的面积为______． 【答案】（1） 如图所示，就是所求三角形；      （2） 如图所示，就是所求三角形．      （3）28      【分析】 本题考查作图﹣位似变换，平移作图，三角形的面积，解题的关键是理解位似变换，轴对称变换的定义，属于中考常考题型． （1）画出A，B，C平移后的对应点，再连线成三角形即可解决问题； （2）连接，延长到，使得，同法可得连接成，即是所求三角形； （3）利用矩形的面积减去周围3个三角形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，，，与位似，且位似比为， ∴， ∴． 故答案为：28． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    （1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． （2）顶点的坐标为                 ，与的面积之比为                 ． 【答案】（1） 如图所示：即为所求；         （2） ；      【分析】 （1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】 本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $