专题04 旋转（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】 解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 2．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【分析】 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】 解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图所示，用一些相同的小正方形，拼在一起，排成如下的一些大正方形，按这个规律排列下去，第7个图形中有（       ）个黑色的小正方形． A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】B 【分析】 本题主要考查了图形变化的规律问题，根据所给图形发现黑色小正方形个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形的黑色小正方形的个数特点，可得第个图中黑色小正方形的个数可表示为，据此解答即可求解． 【详解】 解：由图可知，从第2个图开始，每个图都比前面的图多2个黑色的小正方形， ∴第个图中黑色小正方形的个数为：（个）， ∴第7个图形中黑色的小正方形的个数为：（个）． 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了旋转作图，旋转性质，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，再读取A的对应点的坐标，即可作答． 【详解】 解：依题意，画出绕着原点O顺时针旋转得到的，如图所示： ∴A的对应点的坐标为， 故选：D 5．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】 解：绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ． 故选：A． 6．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　） A. 90°﹣α B. α C. 180°﹣α D. 2α 【答案】C 【分析】 根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， ∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB， ∵∠EDB＋∠ADB＝180°， ∴∠ADB＋∠ACB＝180°， ∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α， ∴∠CAD＝180°−α， 故选C． 【点睛】 本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（     ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 【答案】C 【分析】 本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可． 【详解】 解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ……， 由此发现，第n个图形有个棋子， ∴第6个图形有个棋子． 故选：C 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（       ） A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 【答案】B 【分析】 根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【详解】 解：因为第① 个图案中有2个圆圈，； 第② 个图案中有5个圆圈，； 第③ 个图案中有8个圆圈，； 第④ 个图案中有11个圆圈，； …， 所以第⑦ 个图案中圆圈的个数为； 故选：B. 【点睛】 本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键. 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设与的交点为O，由旋转的性质可得，，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再求出即可得到答案． 【详解】 解：设与的交点为O， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． 10．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（       ） A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】B 【分析】 根据旋转的性质确定旋转角，再由∠AOD=∠AOB+∠BOD求解即可． 【详解】 根据旋转的性质可知：∠BOD=40°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=55°， 故选：B． 【点睛】 本题考查旋转的性质，根据题意确定旋转角是解题关键． 11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．过点作轴与点，确定 的长和，根据第次旋转后，点恰好在y轴的负半轴上，据此即可求解． 【详解】 解：如图，过点作轴与点，     ∵点，，，且点B在第一象限内， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴, ∵， ∴第次旋转后，旋转，则点恰好在y轴的负半轴上，即第次旋转后，点的坐标是． 故选：B． 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题重点考查旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等边对等角”、三角形的内角和等于等知识，证明是解题的关键．设交于点，由，且，得，则，由，得，而，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设交于点， ，， ， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 13．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键． 由将绕着点逆时针旋转后得到，可求得，然后由三角形内角和定理，求得的度数，继而求得答案． 【详解】 解：将绕着点B逆时针旋转后得到， ， ∵，， ， ． 故选：B． 14．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交AC于点D，若，则的度数（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，新利用旋转的性质得出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解∶∵绕C点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 故选∶C． 15．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质，运用勾股定理构造方程是解题的关键． 连接，根据正方形的性质及旋转的性质证明，得到，．再证明，得到．设，则，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴， 由旋转可得， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， 即， 解得， ∴． 故选：C． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到，若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，如图，根据旋转的性质得，，，再判断为等边三角形得到，，从而有，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】 解：连接，如图， 绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在中，=， ． 故选：C． 17．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限． 【详解】 解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°， 得点Q所在的象限为第二象限． 故选：B． 【点睛】 本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（       ） A. 7 B. 28 C. 252 D. 63 【答案】B 【分析】 本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形中黑点的个数与白点的个数之差的规律是解题的关键．观察图形可知，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，再代入即可得出答案． 【详解】 解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，， ∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28． 故选：B． 19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 连接，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可． 【详解】 解：连接，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了图形的变化类问题，正确找出规律是解题的关键．找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】 解：∵第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， 第个图案中有个，即个， ， ∴第个图案中有个． ∴按此规律，第⑩个图案中有个黑色三角形． 故选：B． 21．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（     ） A. 4， B. 2， C. 1， D. 3， 【答案】D 【分析】 本题考查平移的性质、旋转的性质、等边三角形的判定；由旋转的性质和平移的性质可得，可证是等边三角形，可得，即可求解. 【详解】 解：∵将沿射线的方向平移，得到， ， ∵将绕点逆时针旋转后，点恰好与点重合， ， 是等边三角形， ∴∠，， ∴， ∴平移的距离为， 故选：D. 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到，由此即可求解． 【详解】 证明：∵绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 23．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，，则可对① ② 进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③ 进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④ 进行判断． 【详解】 解：连接、，如图，     为等边三角形， ， 点是的中心， ，、分别平分和， ，即， 而，即， ，且，， ， ，，所以① 正确； ，所以② 正确； ， 四边形的面积，所以③ 正确； 作于，如图，则， ， ， ，， ， ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值， ④ 正确． 综上，四个结论都是正确的， 故选：D． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律即可求得的坐标，通过图形旋转，找到点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴的横坐标为，且， ∴的横坐标为，且， ， ∴点的横坐标为，且， ∴点的坐标为， 故选：D． 25．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 分为点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解即可． 本题考查了菱形的对称性、坐标与图形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是要分情况讨论． 【详解】 解：根据菱形的对称性可得：当点D旋转到x轴正半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，  ∵， ∴． ∴． ∴． ∴点C的坐标为． 同理：当点D旋转到x轴负半轴时，点C的坐标为． ∴点C的坐标为或． 故选：D． 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（   ） A. 60 B. 90 C. 100 D. 120 【答案】B 【分析】 本题主要考查旋转的性质，设，由旋转的性质可知，，，，由与互补可得，从而查得结论． 【详解】 解：设， 由旋转的性质可知，， ∴，． ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】 解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 28．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（     ） A.  B. 4 C.  D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】 解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 29．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（       ） A. 10 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】 解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 30．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，是等边三角形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与点的距离为4；③；④；⑤．其中结论正确的序号是（       ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【分析】 连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断① 正确，证明是等边三角形，即可判断② 正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③ 正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④ 不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④ 的解题思路，即可判断⑤ 正确． 【详解】 解：连接，过点O作，垂足为D，如图所示： ∵为正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论① 正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故结论② 正确； ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论③ 正确； ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，故结论④ 不正确； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 同结论④ 证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤ 正确； 综上所述：结论① ② ③ ⑤ 正确， 故选：A． 【点睛】 本题考查了图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形面积，面积的割补法，综合掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 31．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（     ） A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，接着根据 ，得出，从而可证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得，于是可得，从而可判断① ；先根据正方形的性质得出，，再根据勾股定理得出，接着求出，设，从而可得，，代入得出，从而可求得，即，从而可判断② ；先根据全等三角形的性质得出，再根据旋转的性质得出，从而可得，也就是平分，从而可判断③ ；根据旋转的性质，对应边的夹角就是旋转角，可判断④ ． 【详解】 解：∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 而， ∴，故① 正确； ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故② 错误； ∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， 即平分，故③ 正确； ∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴与是对应边， ∴，故④ 正确； 综上所述，其中正确的是① ③ ④ ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了根据旋转的性质求解，根据正方形的性质证明，全等的性质和综合（），用勾股定理解三角形，全等三角形综合问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 32．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 33．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 此题考查了旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先求点的坐标，由于是的中点，故，将点绕原点旋转（考虑逆时针和顺时针两种方向），利用旋转的性质计算对应点坐标． 【详解】 解：，， 为中点，即， 如图所示，连接点与点， 则，且为第一象限角平分线， 将线段绕着原点O旋转，则点也绕着原点O旋转， 即将线段绕原点O旋转； 顺时针旋转时，旋转至，则， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则, 在中，则，, 根据所对直角边等于斜边的一半，可知， 由勾股定理可得，, 故， 即将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为； 逆时针旋转时，旋转至，则， 过点作轴垂线，与轴交于点， 由于点与轴的夹角为，则, 在中，，则，, 根据所对直角边等于斜边的一半，可知， 由勾股定理可得，, 故， 即将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为； 综上所述，将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为或． 故选：B． 34．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由正方形性质可得，，，由旋转的性质可得，， 证明，从而得到，，继而得到，再由勾股定理可得，然后设设，则，，，然后根据勾股定理，再解方程即可求解． 【详解】 解：连接， 正方形的面积为8，设正方形的边长为， ， 解得， 则正方形的边长为， 对角线， 绕点顺时针旋转90°得到， ， 又， 所以， 又， 所以， 且，设，则， 在中，，，， 由，得， 解得，（负值舍去）， ， 故选：A． 35．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 在和中，根据，，，证明，可知① ② 符合题意；根据① 可得是等腰直角三角形，故③ 符合题意；④ 根据全等三角形面积相等得：，利用割补法得：，故④ 符合题意；⑤随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，在其它位置时，故⑤ 不符合题意． 【详解】 解：∵，P是的中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，；故① ② 符合题意； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③ 符合题意； ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∴，故④ 符合题意； 由等腰直角三角形的性质，， ∴随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 在其它位置时，故⑤ 不符合题意； 综上所述，正确的结论有：① ② ③ ④ 故选：C 36．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了矩形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，从而判断①；当点H和点G互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得，从而得到，故可判断②；是等腰直角三角形，是的中点，得到，再分别证，，从而判断③；分别求出的最大值以及最小值，从而判断④． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 当点H和点G互相重合时，如图：    ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图：设与相交于点，    ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴，， ， 又（对顶角相等）， ，即， ， ， 又， ，故③正确； 当点和重合时，最短，如图：    此时与都在上， ∵是等腰直角三角形，是的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 当点和点重合时，最大，过点作交于点，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，故④正确． 综上分析可知：正确的有① ② ③ ④． 故选：D． 37．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】 解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故答案为：． 38．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为　　　　　　　　　　　度． 【答案】 【分析】 根据平行线的性质和旋转的性质求出，，求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将在平面内绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 39．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将 向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的图形； （2）画出关于y轴对称的图形； （3）将绕原点顺时针旋转画出旋转后的图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2） 如图所示，即为所求．      （3） 如图所示，即为所求． 【分析】 （1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可． 本题考查了平移作图，对称作图，旋转作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． (1) 小问详解： 解：的三个顶点坐标分别是，，． 将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，则，； (2) 小问详解： 解：的三个顶点坐标分别是，，． 关于y轴对称得到，则，； (3) 小问详解： 解：将绕原点顺时针旋转得到且，，故，． 40．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是　　　　． 【答案】120度 【分析】 先由直角三角形两锐角互余得到，再由旋转性质得到，，结合等腰三角形的判断与性质、三角形内角和定理得到，数形结合表示出求值即可得到答案． 【详解】 解：在中，，则， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 在等腰中，， 则， 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余、旋转性质、等腰三角形判断与性质、三角形内角和定理等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 41．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则　　　　　　　　（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】 本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】 解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 42．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有　　　　　　　个★． 【答案】 【分析】 本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知第n个图形有个★，据此规律求解即可． 【详解】 解：第1个图形有个★， 第2个图形有个★， 第3个图形有个★， 第4个图形有个★， ……， 以此类推，可知第n个图形有个★， ∴第6个图形有个★， 故答案为：． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，所得到的对应点的坐标为　　　　　　． 【答案】和和 【分析】 本题考查了坐标与图形的变换-旋转，根据旋转中心为点O，旋转角度，有两种情形，作出点P的对应点，可得所求点的坐标． 【详解】 解：如图所示，点的坐标为和． 故答案为：和． 44．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标． 【详解】 解：∵A(-1，2)， OC= 4， ∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3， AB//x轴，BM= 3． 将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后， 由旋转得：OM=OM1=OM2=2， ∠AOA1=∠AOA2=90° BM=B1M1=B2M2=3， A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴， ∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)， ∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)， 故答案为： (-2，3)或 (2， -3)． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 45．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，求点A旋转经过的路径的长度（结果保留π）． 【答案】（1） 如图所示．      （2）      【分析】 （1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据弧长公式列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴点A旋转经过的路径的长度． 【点睛】 本题主要考查作图-旋转变换，根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点是解题的关键． 46．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为　　　　　　　　　． 【答案】315 【分析】 先连接、，由旋转性质得，再由等腰三角形三线合一得，进而通过求证，得的长，并表示出的三边，根据勾股定理列出等量关系式，求出、的长，最后根据梯形面积公式求解． 【详解】 解：如图，连接、， 设，由得， 四边形是矩形， ，，， 矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形， ，，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得：（舍去）或， ，， 四边形是直角梯形， ， 故答案为：315． 【点睛】 本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算求解． 47．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． (1) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． (2) 小问详解： 解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 48．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 　　　 ． 【答案】或或 【分析】 根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】 解：由折叠得：，， 分三种情况： 当时，如图： ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； 当时，当和位于射线的同侧时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴此种情况不成立； 当时，如图： ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； 综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 49．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可． 【详解】 解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕O点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕C点顺时针旋转所得， ∴， 由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1， 又∵， 故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键． 50．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 51．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）． （1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）． 【答案】（1）如图，点A1的坐标（6，1）；（2） 【分析】 （1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1； （2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长． 【详解】 解：（1）如图： ∴点A1的坐标（6，1） （2）点B旋转到点B1所经过的路径长==. 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式． 52．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点O，，将绕，旋转得到，交于；将绕旋转得到，交轴于如此进行下去，若点在某段抛物线上，则　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到x轴的距离相等，且，照此类推可以推导得到结果． 【详解】 解：∵， ∴配方可得， ∴顶点坐标为， ∴A1坐标为， ∵由旋转得到， ∴，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； 顶点坐标为，； … 顶点坐标为，； 顶点坐标为， ∵在某段抛物线上，则 故答案为：1． 53．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的． （1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝　 　AP，△CPP'是　 　三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是　 　． （2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系． （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长． 【答案】（1），直角，；（2）；（3）． 【分析】 （1）由旋转的性质可得： ，，，，即可利用勾股定理得到，然后证明，利用勾股定理得到即可得到； （2）将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，，则是等边三角形，可得，，然后证明，可得， 则； （3）将△APD绕点P顺时针旋转90度得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明，利用勾股定理求出，然后证明，即可得到． 【详解】 解：（1）由旋转的性质可得： ，，，， ∴，，， ∴， ∴，是直角三角形， ∴， 故答案为：，直角； （2）如图所示，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，将△APD绕点P顺时针旋转90度得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵PD＝PC，∠CPD＝90°， ∴∠PDC=∠PCD=45°， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线利用旋转的性质进行求解． 54．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B在格点上． （1）直接写出线段的长为__________； （2）只用无刻度的直尺，在网格中按照下列要求完成画图：将点A绕点B顺时针旋转得到点C，标出C点，连接，画出的中线．（保留画中线的画图痕迹） 【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求， ．      【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质和网格的特点可得点C，然后取格点E、F，连接交于点D，根据网格的特点可知，连接，即为所求． (1) 小问详解： 解：由图可知，； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 55．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）的面积为          ． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题考查了作图——轴对称和旋转，熟练掌握轴对称和旋转的性质，得出对应点位置是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （2）根据旋转的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （3）根据三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积为， 故答案为：． 56．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根，搭2条小鱼用14根，……，搭6条小鱼用　　　　　　　　　　根． 【答案】38 【分析】 本题主要考查图形类规律探索，代数式；根据题意找出规律，得到摆第n个图形需用根火柴棒，把代入计算即可． 【详解】 解：观察发现，从第2个图形起，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒， 故摆第n个图形需用根火柴棒， 当时，； 搭6条小鱼用38根， 故答案为：38． 57．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形……按此规律，绕点O旋转得到正方形，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】 解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， 点的坐标为， 故答案为：． 58．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数图像的平移，二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象的平移规则．先对原抛物线进行平移变换，得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】 解：抛物线， 向左平移2个单位，向下平移3个单位后，解析式为，则顶点为， 将所得抛物线绕原点旋转后，顶点变为，开口方向由向上变为向下， 故解析式为． 故答案为：． 59．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能根据旋转的性质依次求出点对应点的坐标并发现规律是解题的关键． 根据所给旋转方式，依次求出点对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：∵点坐标为，点坐标为， ， 在 中，， 由旋转可知，， ， 则点的坐标为． 又 ∵， ∴点的坐标为． 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 由此可见，点的纵坐标按 0，4 循环出现，且横坐标比的横坐标大 12 （为正整数）， 因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 60．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，点O是等边内的一点．，将绕点C按顺时针旋转得到，连接． （1）当时，        ；当时，          ； （2）若，，．求的长． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握旋转的性质； （1）根据旋转的性质可证是等边三角形，可得，再根据角的和差关系即可得解； （2）先求出，再根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：将绕点C按顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 当时，， ， 当时，则， ， 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：由(1)可知，， 当时，， ， ． 61．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，中，． （1）问题：如图1，点D是边上一点（不与B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段之间满足的数量关系式为        ． （2）探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图3，在四边形中，若，则            ． 【答案】（1）；     （2） 解：，理由如下： 由（1）得，， ，， ， ， 在中，，， ；     （3）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质作答即可； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点作，使得，连接，证明，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解：由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点A作，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴在中，，， ， 为直角三角形，且， ，， ， ， 故答案为：． 62．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，的三个顶点都在格点上，坐标分别为． （1）画出绕着点顺时针旋转得到的； （2）在轴上存在一点，当的周长最短时，求点坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 （1）将的三个顶点分别绕着点顺时针旋转得到，连接三个顶点即可得到； （2）先求出长，再由，的周长最短，就是最短，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示，由得到当三点共线时，有最小值，此时，直线与轴的交点就是使的周长最短时的点，利用待定系数法求出直线，求出点坐标即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 则当的周长最短时，就是最短， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示： ， 当三点共线时，有最小值，即的周长最短， 设直线， 将代入得， ， 解得 ， 直线， 当时，，解得， 则点的坐标为． 【点睛】 本题考查旋转作图、求点的坐标，涉及旋转性质、两点之间距离公式、点的对称性求最值，动点最值问题-将军饮马模型、待定系数法求直线解析式、求直线与坐标轴交点等知识，熟练掌握旋转作图、动点最值问题-将军饮马模型解题方法是解决问题的关键． 63．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）中，，，将绕点逆时针旋转度至位置，交于点，若是等腰三角形，则旋转角　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，由旋转可得，，即得，进而得到，，再分和两种情况解答即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴有以下两种情况： ① 当时，， 解得； ② 当时，， 解得； 综上，若是等腰三角形，则旋转角或， 故答案为：或． 64．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在中，，，点M为中点，点N在直线上运动，连接以，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为　　　　． 【答案】 【分析】 设的中点为，连接，过点作交直线于点，依题意得，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为线段的长，然后在中，由得，由此即可得出的最小值． 【详解】 解：设的中点为，连接，过点作交直线于点，如图： 在中，， ， ∵点是的中点， ， ， 根据旋转可得， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含 30 度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 65．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． （1）画出绕点C逆时针旋转后的图形； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 【答案】（1） 如下图即为所求：      （2） 如图所示，      （3）      【分析】 本题考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接点、、即可； （2）先将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）分别作和的垂直平分线，它们的交点满足条件． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：作和的垂直平分线，交于点， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 66．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）当时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论； 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）当时，如图②；当时，如图③，请猜想并直接写出线段，，有怎样的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，则___________． 【答案】（1）由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2）图② ，； 图③ ，； （3）或． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（等）是解题的关键． （1）通过证明三角形全等，将线段、转化到上，从而证明． （2）类比（1）的思路，通过分析图形中线段的位置关系和三角形全等情况，得出线段之间的数量关系． （3）结合（1）（2）的结论，代入已知数据计算的长度． 【详解】 证明：（1）略 （2）图② ，由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 图③ ，由旋转的性质得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）当是图① 的情况时，由（1）知，又由全等知， ∵， ∴． 当是图③ 的情况时，由（2）知，， ∴． 综上，或， 故答案为：或． 67．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 　　　． 【答案】7 【分析】 连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，可证△BDE是等边三角形，利用三角形内角和180°求出∠BAD=，∠EAD=从而得到∠BAE==150°，∠HAE=30°，接着求出EH,AH，再利用勾股定理先后求出BE和CD． 【详解】 解：如图，连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H， 由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BE=BD ∵C为AB中点，点D在AB的处置平分线上， ∴AD=BD=DE，BC=AB=×= ∴∠BAD=，∠EAD= ∴∠BAD+∠EAD= 即∠BAE= ∵∠BDE=60° ∴∠BAE=150° ∴∠HAE=180°-150°=30° ∵AE=4 ∴EH=AE=2，AH=2 ∴BH=AH+AB=2+2=4 ∴BE===2 ∴BD=2 ∴CD===7 故答案为7． 【点睛】 本题考查了图形的旋转，三角形内角和，勾股定理以及含30°的直角三角形，通过做辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 68．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 69．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，故在轴负半轴上，且，由此求解即可． 【详解】 解：∵点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，， 第二次旋转后，点在第二象限，， 第三次旋转后，点在轴负半轴，， 第四次旋转后，点在第三象限，， 第五次旋转后，点在第四象限，， 第六次旋转后，点在轴正半轴，， 如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴循环了次，点在轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查点的坐标规律探索，旋转变换，等边三角形的性质．解题的关键在于能够根据题意找到点规律． 70．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作于点G，根据直角三角形的性质可得，推出，利用证明，推出，即可解答． 【详解】 解：过点D作于点G， 则， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 71．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为　　　　　　　　． 【答案】12152 【分析】 本题考查坐标与图形的变换．然后通过旋转发现，每两个偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，再求得点的横坐标． 【详解】 解：∵点、， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为12152． 故答案为：12152． 72．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是　　　　　　． 【答案】或度 【分析】 本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答． 【详解】 解：∵，， 故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示： 由旋转性质得 则， ∴， ∵， ∴， 故， 即， 故答案为：． 73．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，在中，，，点D为边一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到．当是等腰三角形时，的长为　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 设，由旋转的性质可知，，，当时，利用勾股定理列方程求解；当时，过点作的延长线于点，证明，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：设，则， 由旋转的性质可知，，， 当时，是等腰三角形，则 在中，， ， 解得：； 当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． 74．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1），     （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）或      【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，① 当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ② 当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ② 当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 75．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 【答案】． 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．利用旋转的性质结合平行线的性质证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】 解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴． 76．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）实践与探究：老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？        【实践操作】（1）如图1，航天小组同学将绕中点__________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，三点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）旋转 （2）① 四边形是矩形，证明如下： 证明：由旋转可得：， 由条件可知， 当，，三点共线时，， ， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②或 【分析】 （1）由旋转的性质可得答案； （2）① 由旋转可得：，进而证明，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形； ② 当，三点构成以为斜边的直角三角形时，，结合题意画出图形，运用勾股定理逐一求解即可． 【详解】 解：（1）解：将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形， 故答案为：旋转； （2）① 略 ② 当，三点构成以为斜边的直角三角形时，， 如图，当为锐角时，作于，    ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 如图，当为钝角时，作，垂足为，    同理可证四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ． 综上所述，当，三点构成以为斜边的直角三角形时，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了旋转的概念和性质、平行四边形的判定、矩形的判定和勾股定理等知识点，根据题意正确画出旋转后的大致图形是解答本题的关键． 77．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用：作于点，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，由旋转可得，则由旋转可得，求出，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】 解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 78．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）已知：在中，，．    （1）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； （2）在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 【答案】（1）如图：    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，且， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于点，如图：    由知：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 补全图形如下：    ．      【分析】 （）线段绕点逆时针旋转得到， 得，，故，且，知，而，，平分，有，，从而，可得，，即知，， 又，得； 过点作于点，由知：，由，，得，即可得，故； （）以为顶点，为一边作，设交于，可得，根据将线段绕点顺时针旋转得到得，， 可求出，，证明，即得，知是的垂直平分线，可得 ，，而是等边三角形，有 ，再证，得，即可得． (1) 小问详解： 略； 略； (2) 小问详解： 如图，    以为顶点，为一边作，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 79．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． （1）如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； （2）如图3，当，时，则长为____________； （3）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）     （2）     （3） ，证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． (1) 小问详解： 解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． (2) 小问详解： 解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． (3) 小问详解： 略 80．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】① ③ ③ ① 【分析】 ① 运用反比例函数几何意义得出，求解即可； ② 运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可； ③ 首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式； ④ 运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可． 【详解】 解：① ：∵点和点在同一反比例函数上， ∴，即， ∴． 故① 符合题意； ② ：∵正方形， ∴， ∵点和点在同一反比例函数上， ∴ 即 ∴ ∴点为中点时，，则点为的中点， 故② 不符合题意； ③ 由② 可得， ∴， ∴的等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵将绕逆时针旋转至， ∴， ∴，，．． ∴． ∴三点共线， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，点． ∵设直线的解析式为：， 代入点，点， ， 解得： ． ∴设直线的解析式为：． 故③ 符合题意； ④ ：作点关于的对称点点，连接， 当点、点、点三点共线时，有最小值． ∵正方形，且边长为， ∴，． ∵点关于的对称点点， ∴． 在中， ∴． 即的最小值为， 故④ 不符合题意． ∴符合题意的有① ③ ． 故答案为：① ③ ． 【点睛】 本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 81．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，中，，点P是边上的一个动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则在点P运动过程中，线段的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质，直角三角形所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键， 将Rt△ABC绕点B顺时针旋转得到，再设线段的中点为M，并连接．根据线段的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，取得最小值为．根据求出的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出的长度． 【详解】 解：如下图所示，将绕点B顺时针旋转得到， 设线段的中点为M，并连接． ∵点P是边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴点Q在线段上运动． ∴当，即点Q与点M重合时，线段取得最小值为． ∵， ∴，, ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∴． ∴点C是线段中点． ∵点M是线段的中点， ∴是的中位线． ∴． 故答案为：． 82．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）（1）类比探究：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，探究线段，，的关系？直接写出结论． （2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当时，求证：； （3）如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）； （2）证明：，，        把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，              ，，，， ，，        ，        ，即， ，        ，        ，点、、共线，        在和中，        ，        ，        ，        ， ；        （3） ，证明如下： 把绕点顺时针旋转到的位置，连接，        则，，，，             ，，        ，        又，        ， ，        在和中，        ，        ，        ， ，， ，        ，        是直角三角形，        ，        ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；        （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；        （3）把绕点顺时针旋转到的位置，连接，证明，则，得到是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】 （1）解：正方形中，，，        把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1，         由旋转可得，，，， ，        ，点、、共线，        ， ， ，即，        在和中，        ，        ，        ， ， ； （2）略 （3）略 83．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）等边中，点是边上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转至，过点作于点，连接． 【理论证明】： （）如图①，求证：； 【实践猜想】： （）当点运动到延长线上时，其他条件不变，如图②，请你直接猜想、与的数量关系，不必说明理由； 【动手操作】： （）当点运动到延长线上时，根据题意，请你在图③中将图形补全，并直接写出、与的数量关系，不必说明理由； 【答案】（）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （）； （）补全图形如下： 【分析】 （）证明，可得，，即得，得到，即得到，得，进而根据即可求证； （）同理（）解答即可求解； （）根据题意补全图形，再同理（）得到，进而根据即可求解； 【详解】 （）略 （）解：，理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （），理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 84．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）（多选）如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由） （2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由． （3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______． 【答案】（1）补全图形如下： BC=2BD，理由如下： 连接CD， ∵线段绕点顺时针旋转=60°得到， ∴CP=DP，∠CPD=60°， ∴是等边三角形， ∴∠CDP=∠DCP=60°， ∵点是线段的中点，∠A=60°，AB=AC， ∴是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=∠ACB=30°， ∴∠BCD=60°-30°=30°， ∴BC平分∠PCD， ∴BC是PD的垂直平分线， ∴BD=PB，即：BC=AB=2BD； （2）取BC的中点F，连接PF， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴是等腰直角三角形， ∵P是AB的中点，F是BC的中点， ∴PF是的中位线， ∴PF∥AC， ∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°， ∴是等腰直角三角形， ∴BF=BP，BP=PF， ∵∠DPC=∠BPF=90°， ∴∠BPD=∠FPC， 又∵PD=PC， ∴， ∴BD=CF， ∵BC=BF+FC， ∴BC=BD+BP； （3）BC =BD+BP 【分析】 （1）先补全图形，再连接CD，可得是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，进而即可得到结论； （2）取BC的中点F，连接PF，推出是等腰直角三角形，从而得BF=BP，再证明，进而即可求解； （3）由，可得BD=CF，从而得PF=BP=BF，进而即可得到结论． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）同理第（2）题证明可知：， ∴BD=CF， ∵∠BAC=∠DPC=120°，PF∥AC，PF=AC， 又∵BP=AB，AB=AC， ∴PF=BP=BF， ∴BC=BF+CF=BD+BP． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 85．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）正方形和等腰直角三角形共顶点，将绕点逆时针旋转一周． （1）如图①，当点与点重合时，若．求的长； （2）如图②，为中点．连接、探究的关系，并说明理由； 【答案】（1）     （2） 解：．理由如下： 如图②，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 又∵，， ， ； 延长交于点，设交于T， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， 又∵， ∴．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接，由正方形的性质和勾股定理可得，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，，则可求出，据此利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，证明，得到，延长交于点，设交于T，证明，得到，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：如图①．连接， 四边形为正方形， ，， ∴； ， ，， ∴，， ． (2) 小问详解： 略 86．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． （1）如图1，把绕点A逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； 方法迁移： （2）如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 问题应用与拓展： （3）如图1，若，，则______； （4）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为______． 【答案】（1）； （2）成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与（1）同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）6；（4）5 【分析】 （1）根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案； （2）结合（1）中证明过程即可求解； （3）设，则，，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （4）作旋转后的三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】 解：（1）把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）设，则，，由（1）得， 在中，，即， 解得，（舍去）； 即； （4）中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 87．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形（旋转角大于0°且小于）． （1）如图①，当点F落在的延长线上时，则的长为______； （2）如图②，当点E在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； 【答案】（1）1     （2） 证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ． 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形．      【分析】 （1）根据旋转的性质和矩形的性质可得，再根据勾股定理即可得解； （2）连接，根据矩形的性质和旋转的性质可证，再证明，可得，即可得证． (1) 小问详解： 解：将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用相关知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 88．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）在等边三角形中，为边所在直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1） 证明∶如图①，延长到点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， ， ．     （2）图②结论：；图③结论：      【分析】 （1）延长到点，使，连接，根据旋转的性质和等边三角形性质可证得，可得，进而可得四边形为平行四边形，得出，最后根据线段的等量变换可得结论； （2）如图② ，延长，交于点，连接，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，再根据线段的等量变换可得结论；如图③ ，连接，，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，，再由平行线的性质可得，即得，，最后根据线段的等量变换可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图② ，延长，交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图③ ，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等，根据题意合理做出辅助线是解题的关键． 89．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是　　　　　　　　　． 【答案】18 【分析】 本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值； 将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可 【详解】 解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N， ∵， ∴， ∵将线绕点E逆时针旋转得到线段， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G在过点H且垂直的直线上运动， ，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵， ∴的周长最小值是， 故答案为：18． 90．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点别落在点，处，点在x轴上；依次进行下去…，若点，点，则点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理． 通过旋转发现， 、、……每奇数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】 解：∵，， ∴， ， ∴， ∴，， 即，，，……，， 即， ∴， 当时， ， 即， 由图可知当为奇数时，点纵坐标为0， 故点的坐标为． 故答案为：． 91．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】 解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， 同理， 如此下去，得到线段，，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ，解得， 点的坐标是． 故答案为：． 92．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，线段和的最小值问题，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 连接，延长至E，使得，利用菱形的性质和题中条件证明，推出，接着证明，推出，进而说明的最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】 连接，延长至E，使得，如图所示： 由题知，， 四边形是菱形，，， ，， 又， ，即， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 当A，P，E三点共线时，有最小值，为的长． 连接，过点A作交延长线于F， 则，，， ，， ， 由勾股定理得， 的最小值为． 故答案为：． 93．（2026·黑龙江牡丹江·调研）【发现问题】 如图（1），和都是等边三角形，连接，交于点．与的数量关系为_________，的度数为_________°； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，，连接，．猜想与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； 【实践应用】 将图（2）中的固定，在平面内绕点A旋转．若，，试探究以点C，D，E为顶点的三角形能否成为直角三角形．若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（发现问题）：，60 （类比探究）：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， 如图，延长，使的延长线交于点，交于点， ∵， ， ∴， 即，即； （实践应用）：以点C，D，E为顶点的三角形能成为直角三角形，的长为7或或17或 【分析】 （1）先根据等边三角形的性质得到，，，进而得到，再证明，从而可以得到与的数量关系和的度数； （2）先根据角的差，得到，从而利用证明，得到；再延长，使的延长线交于点，交于点，利用角的关系推出，从而得到； （3）分情况讨论：① 当时，，又因为，可知，，三点共线，利用勾股定理即可求出的长；② 当时，则，延长，过点作，交AD的延长线于点，则，先推出，得到，然后设，则，根据勾股定理可求得，，从而可求得，最后在中，由勾股定理，得；③ 当点在外部，时，过点作交于点，由角的推出，得到，由勾股定理计算得，从而可得，再利用勾股定理即可求得；④ 当点在外部，时，，由（2）知，，可得，，三点共线，设，则，由勾股定理，得，即，求解可得；综上情况分析即可． 【详解】 （1）发现问题： 如图，标记点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）类比探究：略 （3）实践应用： 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， 分情况讨论：① 如图，当点在内部，时， 由（2）知， ∴，，三点共线， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 整理，得， 解得，，（舍去）， ∴； ② 如图，当点在内部，时，则， 延长，过点作，交AD的延长线于点，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 整理，得， 解得，，（舍去）， ∴， ∴， ∴在中， 由勾股定理，得； ③ 如图，当点在外部，时，过点作交于点，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，，由勾股定理，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； ④ 如图，当点在外部，时， 由（2）知， ∴，，三点共线， ∴设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，，（舍去）， ∴ 综上可知，以点C，D，E为顶点的三角形能否成为直角三角形，的长为7或或17或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理以及勾股定理，能够分情况讨论和构造辅助线是解题的关键． 94．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质：延长至，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，当取最大值时，有最大值，即可求解． 【详解】 解：∵， ， 如图，延长至，使，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ∵，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， ∴当三点共线时，有最大值为12， ∴有最大值为6， 故答案为：6． 95．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． 【分析问题】 某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论． 【推理证明】 （1）当点在线段上时，如图①，求证：； 【探究问题】 （2）当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不必证明； 【拓展思考】 （3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积的两倍，则的面积为_____． 【答案】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图② ：；图③ ：； （3）或 【分析】 本题考查旋转性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． （1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图② ：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③ ：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：图② ：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③ ：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过E作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵面积是面积两倍， ∴，又， ∴，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴，则， 由（2）可知，， ∵， ∴， 过A作于M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 96．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方形的边长为10，点是边上一点，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先通过证得，得到与所成的角为，进而当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形，边长为10， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值， 此时为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了全等的性质和综合（），全等三角形综合问题，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 97．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线交直线于点，交于点，当为等腰三角形时，的长为　　　　　． 【答案】2或6． 【分析】 本题主要考查直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和熟练运用分类讨论思想的应用． 由直角三角形的性质得，①当点E是的中点时，连接，则，由旋转得，得，结合垂直平分得，则有是等边三角形，即即可；②，连接，则，结合（1）知垂直平分线得和，可得，得到，利用即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ①当点E是的中点时，连接，如图1， 则， 由旋转得， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ②，如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∵的垂直平分线， ∴，， ∴， 则， ∴， 故答案为2或6． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（       ） A. 5 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． （1）画出 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后的 ； （2）画出 关于原点O 成中心对称的 ； （3）的面积为             ． 【答案】（1） 如图所示：即为所求：      （2） 如图所示：即为所求：      （3）4      【分析】 本题考查了平移和旋转作图，确定对应点是解题关键； （1）确定各顶点向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后的的对应点，即可作图； （2）确定各顶点关于原点O 成中心对称的对应点，即可作图； （3）利用“割补法”即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积； 3．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 【答案】（1） 如图，即为所作；     （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形．并写出点的对应点的坐标； （2）画出将绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）连接，，，求出的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求： 点的坐标为；     （2） 解：如图，即为所求：      （3）8      【分析】 本题主要考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画中心对称图形的方法画出，并写出点的坐标即可； （2）按照画旋转图形的方法画出即可； （3）根据三角形的面积公式求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接，，， ∴的面积为：． 5．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）连接，请直接写出的长． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查作图——旋转变换，中心对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，中心对称变换的性质． （1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接， ． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形① 与图形② 面积相等，即可得到答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形① 与图形② 面积相等， ∴． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．    （1）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________． 【答案】（1） 作图如下，即为所求作的三角形：      （2） 作图如下，即为所求作的三角形：      （3）(2，1)      【分析】 本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可； （2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心(对称中心)． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接，对应点的交点就是旋转中心(对称中心) ，即点， 故答案是：． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】 解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 6．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、该图形是中心对称图形，符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】 解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 10．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 11．（2026·黑龙江牡丹江·调研）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形； B、是轴对称图形而不是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形． 故选：A． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】 解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 14．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称及中心对称的定义，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可．要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】 解：A．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】 解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  等边三角形 B.  平行四边形 C.  正五边形 D.  圆 【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）黑龙江省传统剪纸艺术闻名遐迩．早在纸尚未普及以前，居住在黑龙江的蒙、满、索伦各部族的人们就已用薄片的金属、绢帛、鱼皮和兽皮、桦树皮等镂空剪刻各种图纹和形象了．以下四个剪纸作品中， 不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题的核心是准确把握中心对称图形的定义，通过观察图形旋转后的重合情况来判断．解题时需仔细观察每个选项的图形特征，结合定义逐一分析，从而得出结论．中心对称图形的定义是：将一个图形绕着某一个点旋转后，能与原来的图形重合，则该图形为中心对称图形．解题时需依据此定义，对每个选项的剪纸作品进行观察与判断，找出不满足该条件的选项． 【详解】 选项A，B，C的剪纸作品，将其绕某一合适点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形，不符合“不是中心对称图形”的要求．选项D的剪纸作品，将其绕任意点旋转后，无法与自身重合，因此选项D不是中心对称图形，符合题意． 故选D． 19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形与中心对称图形；根据轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合的图形；即可解答． 【详解】 解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形(绕中心旋转与自身重合)； B、是轴对称图形(有多条对称轴)，但绕中心旋转后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：B． 20．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）窗花寓意吉祥，增添节目气氛，下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：D． 21．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】 解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 22．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列四个图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】先找出轴对称图形，然后再判断找出的图形是否是中心对称图形． 【详解】其中，轴对称图形有：第1、2、3、4个 中心对称图形有：第1、2、3个 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判定，判断中心对称图形时，我们可以将试卷旋转180°，观察得到的图形和原来图形是否一致． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（       ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正方形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形. 【详解】A. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B. 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C. 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D. 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故不符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 25．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A.  三叶玫瑰线 B.  四叶玫瑰线 C.  心形线 D.  笛卡尔叶形线 【答案】B 【分析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 27．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】 解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 29．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义结合选项图形进行判断． 【详解】 解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴． 30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】 本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图是由边长为的小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤围成下列问题： （1）画出以为顶点的四边形（点在小正方形的顶点上），使其为中心对称图形但不是轴对称图形． （2）在的边上画出点，连接，使得的面积与的面积相等（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） 四边形即为所求，如图所示：      （2） 如图所示：       【分析】 本题考查中心对称图形的定义，网格作图，熟练掌握中心对称图形的定义和等面积的性质是解题的关键， （1）利用平行四边形的中心对称性和非轴对称的特点，通过点格点连线构造图形，取格点D，使，且，再连接，因为，，所以四边形是平行四边形，所以四边形是中心对称图形不是轴对称图形； （2）利用中线分面积相等的性质找中点，再结合勾股定理计算线段的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取的中点，连接，，则点即为所求， ∵为所在矩形的对角线， ∴点为格线的中点， ∴由勾股定理得：． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“横纵坐标都互为相反数”是关键．根据关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，直接作答即可． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标特征为：横纵坐标都互为相反数， 可得：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）已知点、点关于原点对称，则的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 1 【答案】B 【分析】 由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可． 【详解】 解：点、点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点坐标的关系和解二元一次方程组，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 4．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）点关于原点对称的点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数解题即可． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 5．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，熟知关于原点对称的两点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ， ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）点关于原点对称的点为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根据关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出和的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握与原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】 解：∵点关于原点对称的点为， ∴点的坐标应为， 即，， ∴，， ∴， 故选：． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A. ﹣1 B. 4 C. ﹣4 D. 1 【答案】D 【分析】 据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，然后再计算a+b 即可． 【详解】 ∵点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称， ∴a=4，b=﹣3， ∴a+b=1， 故选D． 【点睛】 考查关于原点对称的点的坐标特征，横坐标、纵坐标都互为相反数． 8．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出，根据题干中的操作顺序求得，，，，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】 解：如图，作轴，轴，垂足分别为C，D． 由题意得知，和都是等边三角形， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵与关于原点对称，如图， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． ∵点与点关于原点对称， ∴． ∵点绕点顺时针旋转到点， ∴． 观察可知，点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期． ∵， ∴点的坐标与点的相同，为． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了点的坐标的规律．熟练掌握图形的旋转与中心对称，等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 9．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）在直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点的坐标是点坐标的相反数即可得到答案． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ， ， 故答案为：12． 11．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）已知点和关于原点对称，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】 解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=　　　　． 【答案】2 【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而求a+b即可求解． 【详解】 解：∵点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称， ∴b=-3，a=5， ∴a+b=-3+5=2． 故答案是： 2． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． （1）画出点关于原点的对称点，连接，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点与点对应），画出线段，并直接写出经过点的反比例函数解析式． 【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示： ，      【分析】 （1）根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征作图即可得到答案； （2）根据平面直角坐标系中旋转的点的坐标特征作图，再利用待定系数法求函数解析式即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设反比例函数解析式为， 将代入解析式得， 则经过点的反比例函数解析式． 【点睛】 本题考查作图，涉及坐标与图形、关于原点对称作图、旋转作图、求反比例函数解析式等知识，数形结合是解决问题的关键． 15．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）若点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称，则是　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求解． 【详解】 解：∵点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称， ∴m＝－3，n＝2， 则． 故答案为：9． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到处，则点关于原点对称的点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查点的平移及对称问题，掌握平移及对称点的变化规律是解题的关键； 点P向右平移3个单位后得到点，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】 点向右平移3个单位长度，横坐标增加3，纵坐标不变， 因此点的坐标为， 点关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均取相反数，即． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若点与点关于原点成中心对称，则　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，据此求出，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标类规律探索，正方形的性质，勾股定理，先求出，，，，，，，，，…，从而可得（为自然数），再结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：∵点，是正方形的两个顶点， ∴，， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， 同理可得：，，，，，，…， ∴（为自然数）， ∵， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的特点、算术平方根的非负性、求算术平方根等知识． 根据关于原点对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，得到，得到，的值，代入计算即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的． （2）作出关于原点对称的． （3） 可看作是以点（        ，        ）为旋转中心，旋转得到． （4）连接和，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；     （2） 解：如图，即为所求；      （3）；0     （4）6      【分析】 本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点M，则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的，由图即可得出答案； （4）根据网格图和平行四边形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，，，相交于点M， 则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：；0． (4) 小问详解： 解：由图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，设的坐标为，可得，即得，得到点的坐标为，即 ，同理可得点的坐标为，即， 点的坐标为，即，进而得到点的坐标为，据此即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】 解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为，即 ∵轴, ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， ， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B 11．B 12．A 13．B 14．C 15．C 16．C 17．B 18．B 19．C 20．B 21．D 22．A 23．D 24．D 25．D 26．B 27．A 28．B 29．B 30．A 31．B 32．A 33．B 34．A 35．C 36．D 37．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，规律型：点的坐标，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题目中的函数解析式可以得到的顶点坐标和的坐标，利用旋转转化为中点坐标方法，分别可以得到、、的顶点坐标，从而可以得到抛物线顶点坐标的变化特点，从而可以得到的顶点坐标． 【详解】 解：∵， ∴的顶点坐标为， 令， 解得：，， ∴， ∴的顶点坐标绕旋转得的顶点坐标为，即，绕旋转得，即， 同理可得：的顶点坐标为，的顶点坐标为，， ∴的顶点的横坐标为，当为奇数时，的顶点的纵坐标为， ∴的顶点坐标是，即， 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 根据平行线的性质和旋转的性质求出，，求出，根据三角形内角和求出即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵将在平面内绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． ∴旋转角的度数是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 39．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2） 如图所示，即为所求．      （3） 如图所示，即为所求． 【分析】 （1）平移到，根据平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定坐标后，画图即可； （3）根据旋转的性质画图解答即可． 本题考查了平移作图，对称作图，旋转作图，熟练掌握变换的基本特征是解题的关键． (1) 小问详解： 解：的三个顶点坐标分别是，，． 将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，则，； (2) 小问详解： 解：的三个顶点坐标分别是，，． 关于y轴对称得到，则，； (3) 小问详解： 解：将绕原点顺时针旋转得到且，，故，． 40．【答案】120度 【分析】 先由直角三角形两锐角互余得到，再由旋转性质得到，，结合等腰三角形的判断与性质、三角形内角和定理得到，数形结合表示出求值即可得到答案． 【详解】 解：在中，，则， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 在等腰中，， 则， 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余、旋转性质、等腰三角形判断与性质、三角形内角和定理等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． 41．【答案】 【分析】 本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】 解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 42．【答案】 【分析】 本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知第n个图形有个★，据此规律求解即可． 【详解】 解：第1个图形有个★， 第2个图形有个★， 第3个图形有个★， 第4个图形有个★， ……， 以此类推，可知第n个图形有个★， ∴第6个图形有个★， 故答案为：． 43．【答案】和和 【分析】 本题考查了坐标与图形的变换-旋转，根据旋转中心为点O，旋转角度，有两种情形，作出点P的对应点，可得所求点的坐标． 【详解】 解：如图所示，点的坐标为和． 故答案为：和． 44．【答案】或 【分析】 根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标． 【详解】 解：∵A(-1，2)， OC= 4， ∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3， AB//x轴，BM= 3． 将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后， 由旋转得：OM=OM1=OM2=2， ∠AOA1=∠AOA2=90° BM=B1M1=B2M2=3， A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴， ∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)， ∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)， 故答案为： (-2，3)或 (2， -3)． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 45．【答案】（1） 如图所示．      （2）      【分析】 （1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）根据弧长公式列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴点A旋转经过的路径的长度． 【点睛】 本题主要考查作图-旋转变换，根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点是解题的关键． 46．【答案】315 【分析】 先连接、，由旋转性质得，再由等腰三角形三线合一得，进而通过求证，得的长，并表示出的三边，根据勾股定理列出等量关系式，求出、的长，最后根据梯形面积公式求解． 【详解】 解：如图，连接、， 设，由得， 四边形是矩形， ，，， 矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形， ，，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ，，， ， 解得：（舍去）或， ，， 四边形是直角梯形， ， 故答案为：315． 【点睛】 本题考查旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算，关键是做出恰当的辅助线，综合应用旋转的性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，勾股定理和梯形面积的计算求解． 47．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查图形旋转的性质以及勾股定理，牢记图形旋转的性质以及勾股定理是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质可直接求得答案． （2）根据图形旋转的性质，可证得为等腰直角三角形，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得的长度． (1) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴ 根据图形旋转的性质可知． ． (2) 小问详解： 解：根据图形旋转的性质可知，，． ∵， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． ∴． 在中， ． ∴． 48．【答案】或或 【分析】 根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】 解：由折叠得：，， 分三种情况： 当时，如图： ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； 当时，当和位于射线的同侧时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴此种情况不成立； 当时，如图： ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； 综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 49．【答案】 【分析】 将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可． 【详解】 解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕O点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕C点顺时针旋转所得， ∴， 由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1， 又∵， 故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键． 50．【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 51．【答案】（1）如图，点A1的坐标（6，1）；（2） 【分析】 （1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1； （2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长． 【详解】 解：（1）如图： ∴点A1的坐标（6，1） （2）点B旋转到点B1所经过的路径长==. 【点睛】 本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式． 52．【答案】1 【分析】 本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到x轴的距离相等，且，照此类推可以推导得到结果． 【详解】 解：∵， ∴配方可得， ∴顶点坐标为， ∴A1坐标为， ∵由旋转得到， ∴，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； 顶点坐标为，； … 顶点坐标为，； 顶点坐标为， ∵在某段抛物线上，则 故答案为：1． 53．【答案】（1），直角，；（2）；（3）． 【分析】 （1）由旋转的性质可得： ，，，，即可利用勾股定理得到，然后证明，利用勾股定理得到即可得到； （2）将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，，则是等边三角形，可得，，然后证明，可得， 则； （3）将△APD绕点P顺时针旋转90度得到，连接，由旋转的性质可得：，，，，证明，利用勾股定理求出，然后证明，即可得到． 【详解】 解：（1）由旋转的性质可得： ，，，， ∴，，， ∴， ∴，是直角三角形， ∴， 故答案为：，直角； （2）如图所示，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，将△APD绕点P顺时针旋转90度得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵PD＝PC，∠CPD＝90°， ∴∠PDC=∠PCD=45°， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线利用旋转的性质进行求解． 54．【答案】（1）     （2） 如图所示，即为所求， ．      【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质和网格的特点可得点C，然后取格点E、F，连接交于点D，根据网格的特点可知，连接，即为所求． (1) 小问详解： 解：由图可知，； 故答案为：． (2) 小问详解： 略 55．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题考查了作图——轴对称和旋转，熟练掌握轴对称和旋转的性质，得出对应点位置是解题的关键． （1）根据轴对称的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （2）根据旋转的性质得出对应顶点的位置，顺次连接可得，然后由所作图形可得点的坐标； （3）根据三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积为， 故答案为：． 56．【答案】38 【分析】 本题主要考查图形类规律探索，代数式；根据题意找出规律，得到摆第n个图形需用根火柴棒，把代入计算即可． 【详解】 解：观察发现，从第2个图形起，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒， 故摆第n个图形需用根火柴棒， 当时，； 搭6条小鱼用38根， 故答案为：38． 57．【答案】 【分析】 根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】 解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，，， 发现是8次一循环，则余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， 点的坐标为， 故答案为：． 58．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数图像的平移，二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数图象的平移规则．先对原抛物线进行平移变换，得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】 解：抛物线， 向左平移2个单位，向下平移3个单位后，解析式为，则顶点为， 将所得抛物线绕原点旋转后，顶点变为，开口方向由向上变为向下， 故解析式为． 故答案为：． 59．【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能根据旋转的性质依次求出点对应点的坐标并发现规律是解题的关键． 根据所给旋转方式，依次求出点对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：∵点坐标为，点坐标为， ， 在 中，， 由旋转可知，， ， 则点的坐标为． 又 ∵， ∴点的坐标为． 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 由此可见，点的纵坐标按 0，4 循环出现，且横坐标比的横坐标大 12 （为正整数）， 因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 60．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握旋转的性质； （1）根据旋转的性质可证是等边三角形，可得，再根据角的和差关系即可得解； （2）先求出，再根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：将绕点C按顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， 当时，， ， 当时，则， ， 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：由(1)可知，， 当时，， ， ． 61．【答案】（1）；     （2） 解：，理由如下： 由（1）得，， ，， ， ， 在中，，， ；     （3）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质作答即可； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点作，使得，连接，证明，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解：由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点A作，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴在中，，， ， 为直角三角形，且， ，， ， ， 故答案为：． 62．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 （1）将的三个顶点分别绕着点顺时针旋转得到，连接三个顶点即可得到； （2）先求出长，再由，的周长最短，就是最短，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示，由得到当三点共线时，有最小值，此时，直线与轴的交点就是使的周长最短时的点，利用待定系数法求出直线，求出点坐标即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 则当的周长最短时，就是最短， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示： ， 当三点共线时，有最小值，即的周长最短， 设直线， 将代入得， ， 解得 ， 直线， 当时，，解得， 则点的坐标为． 【点睛】 本题考查旋转作图、求点的坐标，涉及旋转性质、两点之间距离公式、点的对称性求最值，动点最值问题-将军饮马模型、待定系数法求直线解析式、求直线与坐标轴交点等知识，熟练掌握旋转作图、动点最值问题-将军饮马模型解题方法是解决问题的关键． 63．【答案】或 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，由旋转可得，，即得，进而得到，，再分和两种情况解答即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】 解：由旋转可得，，， ∴， ∵， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴有以下两种情况： ① 当时，， 解得； ② 当时，， 解得； 综上，若是等腰三角形，则旋转角或， 故答案为：或． 64．【答案】 【分析】 设的中点为，连接，过点作交直线于点，依题意得，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，则的最小值为线段的长，然后在中，由得，由此即可得出的最小值． 【详解】 解：设的中点为，连接，过点作交直线于点，如图： 在中，， ， ∵点是的中点， ， ， 根据旋转可得， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ∴的最小值为线段的长， 在中，， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含 30 度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 65．【答案】（1） 如下图即为所求：      （2） 如图所示，      （3）      【分析】 本题考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接点、、即可； （2）先将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）分别作和的垂直平分线，它们的交点满足条件． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：作和的垂直平分线，交于点， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 66．【答案】（1）由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2）图② ，； 图③ ，； （3）或． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（等）是解题的关键． （1）通过证明三角形全等，将线段、转化到上，从而证明． （2）类比（1）的思路，通过分析图形中线段的位置关系和三角形全等情况，得出线段之间的数量关系． （3）结合（1）（2）的结论，代入已知数据计算的长度． 【详解】 证明：（1）略 （2）图② ，由旋转的性质得． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 图③ ，由旋转的性质得． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）当是图① 的情况时，由（1）知，又由全等知， ∵， ∴． 当是图③ 的情况时，由（2）知，， ∴． 综上，或， 故答案为：或． 67．【答案】7 【分析】 连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H，由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°，可证△BDE是等边三角形，利用三角形内角和180°求出∠BAD=，∠EAD=从而得到∠BAE==150°，∠HAE=30°，接着求出EH,AH，再利用勾股定理先后求出BE和CD． 【详解】 解：如图，连接AD、BE，过点E作EH⊥AB于H， 由旋转知，DE=DB，∠BDE=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BE=BD ∵C为AB中点，点D在AB的处置平分线上， ∴AD=BD=DE，BC=AB=×= ∴∠BAD=，∠EAD= ∴∠BAD+∠EAD= 即∠BAE= ∵∠BDE=60° ∴∠BAE=150° ∴∠HAE=180°-150°=30° ∵AE=4 ∴EH=AE=2，AH=2 ∴BH=AH+AB=2+2=4 ∴BE===2 ∴BD=2 ∴CD===7 故答案为7． 【点睛】 本题考查了图形的旋转，三角形内角和，勾股定理以及含30°的直角三角形，通过做辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 68．【答案】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 69．【答案】 【分析】 每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上，故在轴负半轴上，且，由此求解即可． 【详解】 解：∵点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，， 第二次旋转后，点在第二象限，， 第三次旋转后，点在轴负半轴，， 第四次旋转后，点在第三象限，， 第五次旋转后，点在第四象限，， 第六次旋转后，点在轴正半轴，， 如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴循环了次，点在轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查点的坐标规律探索，旋转变换，等边三角形的性质．解题的关键在于能够根据题意找到点规律． 70．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作于点G，根据直角三角形的性质可得，推出，利用证明，推出，即可解答． 【详解】 解：过点D作于点G， 则， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 71．【答案】12152 【分析】 本题考查坐标与图形的变换．然后通过旋转发现，每两个偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，再求得点的横坐标． 【详解】 解：∵点、， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ， ∴点的横坐标为12152． 故答案为：12152． 72．【答案】或度 【分析】 本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答． 【详解】 解：∵，， 故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示： 由旋转性质得 则， ∴， ∵， ∴， 故， 即， 故答案为：． 73．【答案】或 【分析】 设，由旋转的性质可知，，，当时，利用勾股定理列方程求解；当时，过点作的延长线于点，证明，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：设，则， 由旋转的性质可知，，， 当时，是等腰三角形，则 在中，， ， 解得：； 当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． 74．【答案】（1），     （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）或      【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，① 当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ② 当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ② 当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 75．【答案】． 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．利用旋转的性质结合平行线的性质证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】 解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴． 76．【答案】（1）旋转 （2）① 四边形是矩形，证明如下： 证明：由旋转可得：， 由条件可知， 当，，三点共线时，， ， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②或 【分析】 （1）由旋转的性质可得答案； （2）① 由旋转可得：，进而证明，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形； ② 当，三点构成以为斜边的直角三角形时，，结合题意画出图形，运用勾股定理逐一求解即可． 【详解】 解：（1）解：将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形， 故答案为：旋转； （2）① 略 ② 当，三点构成以为斜边的直角三角形时，， 如图，当为锐角时，作于，    ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 如图，当为钝角时，作，垂足为，    同理可证四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ． 综上所述，当，三点构成以为斜边的直角三角形时，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了旋转的概念和性质、平行四边形的判定、矩形的判定和勾股定理等知识点，根据题意正确画出旋转后的大致图形是解答本题的关键． 77．【答案】 【分析】 本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用：作于点，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，由旋转可得，则由旋转可得，求出，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】 解：作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 由旋转可得， ， ， ， ， 故答案为：． 78．【答案】（1）如图：    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，且， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于点，如图：    由知：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 补全图形如下：    ．      【分析】 （）线段绕点逆时针旋转得到， 得，，故，且，知，而，，平分，有，，从而，可得，，即知，， 又，得； 过点作于点，由知：，由，，得，即可得，故； （）以为顶点，为一边作，设交于，可得，根据将线段绕点顺时针旋转得到得，， 可求出，，证明，即得，知是的垂直平分线，可得 ，，而是等边三角形，有 ，再证，得，即可得． (1) 小问详解： 略； 略； (2) 小问详解： 如图，    以为顶点，为一边作，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 79．【答案】（1）     （2）     （3） ，证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． (1) 小问详解： 解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． (2) 小问详解： 解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． (3) 小问详解： 略 80．【答案】① ③ ③ ① 【分析】 ① 运用反比例函数几何意义得出，求解即可； ② 运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可； ③ 首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式； ④ 运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可． 【详解】 解：① ：∵点和点在同一反比例函数上， ∴，即， ∴． 故① 符合题意； ② ：∵正方形， ∴， ∵点和点在同一反比例函数上， ∴ 即 ∴ ∴点为中点时，，则点为的中点， 故② 不符合题意； ③ 由② 可得， ∴， ∴的等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵将绕逆时针旋转至， ∴， ∴，，．． ∴． ∴三点共线， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，点． ∵设直线的解析式为：， 代入点，点， ， 解得： ． ∴设直线的解析式为：． 故③ 符合题意； ④ ：作点关于的对称点点，连接， 当点、点、点三点共线时，有最小值． ∵正方形，且边长为， ∴，． ∵点关于的对称点点， ∴． 在中， ∴． 即的最小值为， 故④ 不符合题意． ∴符合题意的有① ③ ． 故答案为：① ③ ． 【点睛】 本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 81．【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质，直角三角形所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键， 将Rt△ABC绕点B顺时针旋转得到，再设线段的中点为M，并连接．根据线段的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，取得最小值为．根据求出的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出的长度． 【详解】 解：如下图所示，将绕点B顺时针旋转得到， 设线段的中点为M，并连接． ∵点P是边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴点Q在线段上运动． ∴当，即点Q与点M重合时，线段取得最小值为． ∵， ∴，, ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∴． ∴点C是线段中点． ∵点M是线段的中点， ∴是的中位线． ∴． 故答案为：． 82．【答案】（1）； （2）证明：，，        把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2，              ，，，， ，，        ，        ，即， ，        ，        ，点、、共线，        在和中，        ，        ，        ，        ， ；        （3） ，证明如下： 把绕点顺时针旋转到的位置，连接，        则，，，，             ，，        ，        又，        ， ，        在和中，        ，        ，        ， ，， ，        ，        是直角三角形，        ，        ． 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；        （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证明，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；        （3）把绕点顺时针旋转到的位置，连接，证明，则，得到是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】 （1）解：正方形中，，，        把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1，         由旋转可得，，，， ，        ，点、、共线，        ， ， ，即，        在和中，        ，        ，        ， ， ； （2）略 （3）略 83．【答案】（）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （）； （）补全图形如下： 【分析】 （）证明，可得，，即得，得到，即得到，得，进而根据即可求证； （）同理（）解答即可求解； （）根据题意补全图形，再同理（）得到，进而根据即可求解； 【详解】 （）略 （）解：，理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （），理由如下： 同理（）可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 84．【答案】（1）补全图形如下： BC=2BD，理由如下： 连接CD， ∵线段绕点顺时针旋转=60°得到， ∴CP=DP，∠CPD=60°， ∴是等边三角形， ∴∠CDP=∠DCP=60°， ∵点是线段的中点，∠A=60°，AB=AC， ∴是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=∠ACB=30°， ∴∠BCD=60°-30°=30°， ∴BC平分∠PCD， ∴BC是PD的垂直平分线， ∴BD=PB，即：BC=AB=2BD； （2）取BC的中点F，连接PF， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴是等腰直角三角形， ∵P是AB的中点，F是BC的中点， ∴PF是的中位线， ∴PF∥AC， ∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°， ∴是等腰直角三角形， ∴BF=BP，BP=PF， ∵∠DPC=∠BPF=90°， ∴∠BPD=∠FPC， 又∵PD=PC， ∴， ∴BD=CF， ∵BC=BF+FC， ∴BC=BD+BP； （3）BC =BD+BP 【分析】 （1）先补全图形，再连接CD，可得是等边三角形，从而推出BC是PD的垂直平分线，进而即可得到结论； （2）取BC的中点F，连接PF，推出是等腰直角三角形，从而得BF=BP，再证明，进而即可求解； （3）由，可得BD=CF，从而得PF=BP=BF，进而即可得到结论． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）同理第（2）题证明可知：， ∴BD=CF， ∵∠BAC=∠DPC=120°，PF∥AC，PF=AC， 又∵BP=AB，AB=AC， ∴PF=BP=BF， ∴BC=BF+CF=BD+BP． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 85．【答案】（1）     （2） 解：．理由如下： 如图②，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 又∵，， ， ； 延长交于点，设交于T， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， 又∵， ∴．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）连接，由正方形的性质和勾股定理可得，，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理得到，，则可求出，据此利用勾股定理求解即可； （2）延长至，使，连接，证明，得到，延长交于点，设交于T，证明，得到，则可证明，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：如图①．连接， 四边形为正方形， ，， ∴； ， ，， ∴，， ． (2) 小问详解： 略 86．【答案】（1）； （2）成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与（1）同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）6；（4）5 【分析】 （1）根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案； （2）结合（1）中证明过程即可求解； （3）设，则，，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （4）作旋转后的三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】 解：（1）把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）设，则，，由（1）得， 在中，，即， 解得，（舍去）； 即； （4）中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 87．【答案】（1）1     （2） 证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ． 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形．      【分析】 （1）根据旋转的性质和矩形的性质可得，再根据勾股定理即可得解； （2）连接，根据矩形的性质和旋转的性质可证，再证明，可得，即可得证． (1) 小问详解： 解：将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用相关知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 88．【答案】（1） 证明∶如图①，延长到点，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， ， ．     （2）图②结论：；图③结论：      【分析】 （1）延长到点，使，连接，根据旋转的性质和等边三角形性质可证得，可得，进而可得四边形为平行四边形，得出，最后根据线段的等量变换可得结论； （2）如图② ，延长，交于点，连接，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，再根据线段的等量变换可得结论；如图③ ，连接，，根据旋转的性质，角的等量代换，等边三角形性质可证得，进而可得，，再由平行线的性质可得，即得，，最后根据线段的等量变换可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图② ，延长，交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图③ ，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质等，根据题意合理做出辅助线是解题的关键． 89．【答案】18 【分析】 本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值； 将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可 【详解】 解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N， ∵， ∴， ∵将线绕点E逆时针旋转得到线段， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G在过点H且垂直的直线上运动， ，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵， ∴的周长最小值是， 故答案为：18． 90．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理． 通过旋转发现， 、、……每奇数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】 解：∵，， ∴， ， ∴， ∴，， 即，，，……，， 即， ∴， 当时， ， 即， 由图可知当为奇数时，点纵坐标为0， 故点的坐标为． 故答案为：． 91．【答案】 【分析】 此题主要考查了坐标与图形变化—旋转，点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键． 根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】 解：点的坐标为， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段； ， 同理， 如此下去，得到线段，，， ， 由题意可得出线段每旋转次旋转一周， ∵， 点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在直线上， 可设，， ， ，解得， 点的坐标是． 故答案为：． 92．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，线段和的最小值问题，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 连接，延长至E，使得，利用菱形的性质和题中条件证明，推出，接着证明，推出，进而说明的最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】 连接，延长至E，使得，如图所示： 由题知，， 四边形是菱形，，， ，， 又， ，即， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 当A，P，E三点共线时，有最小值，为的长． 连接，过点A作交延长线于F， 则，，， ，， ， 由勾股定理得， 的最小值为． 故答案为：． 93．【答案】（发现问题）：，60 （类比探究）：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， 如图，延长，使的延长线交于点，交于点， ∵， ， ∴， 即，即； （实践应用）：以点C，D，E为顶点的三角形能成为直角三角形，的长为7或或17或 【分析】 （1）先根据等边三角形的性质得到，，，进而得到，再证明，从而可以得到与的数量关系和的度数； （2）先根据角的差，得到，从而利用证明，得到；再延长，使的延长线交于点，交于点，利用角的关系推出，从而得到； （3）分情况讨论：① 当时，，又因为，可知，，三点共线，利用勾股定理即可求出的长；② 当时，则，延长，过点作，交AD的延长线于点，则，先推出，得到，然后设，则，根据勾股定理可求得，，从而可求得，最后在中，由勾股定理，得；③ 当点在外部，时，过点作交于点，由角的推出，得到，由勾股定理计算得，从而可得，再利用勾股定理即可求得；④ 当点在外部，时，，由（2）知，，可得，，三点共线，设，则，由勾股定理，得，即，求解可得；综上情况分析即可． 【详解】 （1）发现问题： 如图，标记点， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）类比探究：略 （3）实践应用： 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， 分情况讨论：① 如图，当点在内部，时， 由（2）知， ∴，，三点共线， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 整理，得， 解得，，（舍去）， ∴； ② 如图，当点在内部，时，则， 延长，过点作，交AD的延长线于点，则， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 整理，得， 解得，，（舍去）， ∴， ∴， ∴在中， 由勾股定理，得； ③ 如图，当点在外部，时，过点作交于点，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，，由勾股定理，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； ④ 如图，当点在外部，时， 由（2）知， ∴，，三点共线， ∴设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，，（舍去）， ∴ 综上可知，以点C，D，E为顶点的三角形能否成为直角三角形，的长为7或或17或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理以及勾股定理，能够分情况讨论和构造辅助线是解题的关键． 94．【答案】6 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质：延长至，使，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，当取最大值时，有最大值，即可求解． 【详解】 解：∵， ， 如图，延长至，使，连接， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ∵，当且仅当点在线段的延长线上时，等号成立， ∴当三点共线时，有最大值为12， ∴有最大值为6， 故答案为：6． 95．【答案】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图② ：；图③ ：； （3）或 【分析】 本题考查旋转性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． （1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图② ：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③ ：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：图② ：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③ ：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过E作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵面积是面积两倍， ∴，又， ∴，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴，则， 由（2）可知，， ∵， ∴， 过A作于M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 96．【答案】 【分析】 先通过证得，得到与所成的角为，进而当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形，边长为10， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值， 此时为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了全等的性质和综合（），全等三角形综合问题，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 97．【答案】2或6． 【分析】 本题主要考查直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和熟练运用分类讨论思想的应用． 由直角三角形的性质得，①当点E是的中点时，连接，则，由旋转得，得，结合垂直平分得，则有是等边三角形，即即可；②，连接，则，结合（1）知垂直平分线得和，可得，得到，利用即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ①当点E是的中点时，连接，如图1， 则， 由旋转得， ∴， ∵的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ②，如图，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∵的垂直平分线， ∴，， ∴， 则， ∴， 故答案为2或6． 考点02 中心对称及其性质 1．D 2．【答案】（1） 如图所示：即为所求：      （2） 如图所示：即为所求：      （3）4      【分析】 本题考查了平移和旋转作图，确定对应点是解题关键； （1）确定各顶点向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后的的对应点，即可作图； （2）确定各顶点关于原点O 成中心对称的对应点，即可作图； （3）利用“割补法”即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积； 3．【答案】（1） 如图，即为所作；     （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查了轴对称和旋转作图熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键. （1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 4．【答案】（1） 解：如图，即为所求： 点的坐标为；     （2） 解：如图，即为所求：      （3）8      【分析】 本题主要考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握旋转的性质、画旋转图形的方法是解题的关键． （1）按照画中心对称图形的方法画出，并写出点的坐标即可； （2）按照画旋转图形的方法画出即可； （3）根据三角形的面积公式求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接，，， ∴的面积为：． 5．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2） 如图，即为所求．      （3）      【分析】 本题考查作图——旋转变换，中心对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，中心对称变换的性质． （1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，连接， ． 6．【答案】 【分析】 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形① 与图形② 面积相等，即可得到答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形① 与图形② 面积相等， ∴． 7．【答案】（1） 作图如下，即为所求作的三角形：      （2） 作图如下，即为所求作的三角形：      （3）(2，1)      【分析】 本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可； （2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心(对称中心)． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 连接，对应点的交点就是旋转中心(对称中心) ，即点， 故答案是：． 考点03 中心对称图形 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．D 9．D 10．D 11．A 12．A 13．B 14．C 15．B 16．D 17．D 18．D 19．B 20．D 21．A 22．A 23．C 24．D 25．B 26．C 27．A 28．B 29．D 30．A 31．【答案】（1） 四边形即为所求，如图所示：      （2） 如图所示：       【分析】 本题考查中心对称图形的定义，网格作图，熟练掌握中心对称图形的定义和等面积的性质是解题的关键， （1）利用平行四边形的中心对称性和非轴对称的特点，通过点格点连线构造图形，取格点D，使，且，再连接，因为，，所以四边形是平行四边形，所以四边形是中心对称图形不是轴对称图形； （2）利用中线分面积相等的性质找中点，再结合勾股定理计算线段的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：取的中点，连接，，则点即为所求， ∵为所在矩形的对角线， ∴点为格线的中点， ∴由勾股定理得：． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．D 9．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点的坐标是点坐标的相反数即可得到答案． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ， ， 故答案为：12． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】 解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 13．【答案】2 【分析】 根据关于原点对称的点的坐标特征，得到a，b的值，进而求a+b即可求解． 【详解】 解：∵点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称， ∴b=-3，a=5， ∴a+b=-3+5=2． 故答案是： 2． 【点睛】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两点的横纵左边分别互为相反数，是解题的关键． 14．【答案】（1） 如图所示：      （2） 如图所示： ，      【分析】 （1）根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征作图即可得到答案； （2）根据平面直角坐标系中旋转的点的坐标特征作图，再利用待定系数法求函数解析式即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设反比例函数解析式为， 将代入解析式得， 则经过点的反比例函数解析式． 【点睛】 本题考查作图，涉及坐标与图形、关于原点对称作图、旋转作图、求反比例函数解析式等知识，数形结合是解决问题的关键． 15．【答案】9 【分析】 根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求解． 【详解】 解：∵点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称， ∴m＝－3，n＝2， 则． 故答案为：9． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查点的平移及对称问题，掌握平移及对称点的变化规律是解题的关键； 点P向右平移3个单位后得到点，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】 点向右平移3个单位长度，横坐标增加3，纵坐标不变， 因此点的坐标为， 点关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均取相反数，即． 故答案为：． 17．【答案】2 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，据此求出，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 18．【答案】 【分析】 本题考查了坐标类规律探索，正方形的性质，勾股定理，先求出，，，，，，，，，…，从而可得（为自然数），再结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：∵点，是正方形的两个顶点， ∴，， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， 同理可得：，，，，，，…， ∴（为自然数）， ∵， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的特点、算术平方根的非负性、求算术平方根等知识． 根据关于原点对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，得到，得到，的值，代入计算即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．【答案】（1） 解：如图，即为所求；     （2） 解：如图，即为所求；      （3）；0     （4）6      【分析】 本题考查作图-平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点M，则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的，由图即可得出答案； （4）根据网格图和平行四边形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，，，相交于点M， 则可看作以点M为旋转中心，旋转得到的， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：；0． (4) 小问详解： 解：由图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，设的坐标为，可得，即得，得到点的坐标为，即 ，同理可得点的坐标为，即， 点的坐标为，即，进而得到点的坐标为，据此即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】 解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为，即 ∵轴, ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， ， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图所示，用一些相同的小正方形，拼在一起，排成如下的一些大正方形，按这个规律排列下去，第7个图形中有（       ）个黑色的小正方形． A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕着原点O顺时针旋转后，A的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（　　） A. 90°﹣α B. α C. 180°﹣α D. 2α 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（     ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（       ） A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是（       ） A. 45° B. 55° C. 60° D. 65° 11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交AC于点D，若，则的度数（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到，若，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（       ） A. 7 B. 28 C. 252 D. 63 19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（     ） A. 4， B. 2， C. 1， D. 3， 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴且．将菱形绕点旋转，使点落在轴上，则旋转后点的对应点的坐标是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（   ） A. 60 B. 90 C. 100 D. 120 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（     ） A.  B. 4 C.  D. 6 29．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（       ） A. 10 B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，是等边三角形内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与点的距离为4；③；④；⑤．其中结论正确的序号是（       ） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ②③④⑤ 31．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（     ） A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 32．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点O旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 34．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，在中，，，是的中点，，当在内绕顶点旋转时，两边，分别交，于点，．下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤．其中结论正确的个数为（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 36．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，矩形中，，是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作于点，连接，取的中点，连接．点在运动过程中，下列结论：①；②当点和点互相重合时，；③；④．其中结论正确的序号有（     ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 37．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，一段抛物线：记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于另一点；将绕点旋转得，交轴于另一点；……如此进行下去，则的顶点坐标是　　　　　　． 38．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在中，，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，使，则旋转角为　　　　　　　　　　　度． 39．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将 向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的图形； （2）画出关于y轴对称的图形； （3）将绕原点顺时针旋转画出旋转后的图形． 40．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是　　　　． 41．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则　　　　　　　　（结果用含的代数式表示）． 42．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有　　　　　　　个★． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，所得到的对应点的坐标为　　　　　　． 44．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是　　　　　　． 45．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； （2）在（1）的条件下，求点A旋转经过的路径的长度（结果保留π）． 46．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，在矩形中，，将矩形绕着点D逆时针旋转得到矩形，与相交于点M，当点落在延长线上时，若，则四边形的面积为　　　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转后得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 48．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 　　　 ． 49．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 51．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）． （1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）． 52．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点O，，将绕，旋转得到，交于；将绕旋转得到，交轴于如此进行下去，若点在某段抛物线上，则　　　　　　　　　　　． 53．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的． （1）如图1，等腰直角三角形ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，∠APB＝135°，为探究AP，BP，CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP，绕点A逆时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则PP'＝　 　AP，△CPP'是　 　三角形，AP，BP，CP三条线段的数量关系是　 　． （2）如图2，等边三角形ABC内有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB＝150°，请借助第一问的方法探究AP、BP、CP三条线段间的数量关系． （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，点P在四边形的内部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，请直接写出AB的长． 54．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B在格点上． （1）直接写出线段的长为__________； （2）只用无刻度的直尺，在网格中按照下列要求完成画图：将点A绕点B顺时针旋转得到点C，标出C点，连接，画出的中线．（保留画中线的画图痕迹） 55．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）的面积为          ． 56．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，用火柴棒按以下方式搭小鱼，搭1条小鱼用8根，搭2条小鱼用14根，……，搭6条小鱼用　　　　　　　　　　根． 57．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形……按此规律，绕点O旋转得到正方形，则点的坐标为　　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，然后将所得抛物线绕坐标原点旋转，所得抛物线的解析式是　　　　　　　． 59．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点O、B分别落在点处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点．则点的坐标是　　　　　． 60．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，点O是等边内的一点．，将绕点C按顺时针旋转得到，连接． （1）当时，        ；当时，          ； （2）若，，．求的长． 61．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，中，． （1）问题：如图1，点D是边上一点（不与B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段之间满足的数量关系式为        ． （2）探索：如图2，是等腰直角三角形，且，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图3，在四边形中，若，则            ． 62．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，的三个顶点都在格点上，坐标分别为． （1）画出绕着点顺时针旋转得到的； （2）在轴上存在一点，当的周长最短时，求点坐标． 63．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）中，，，将绕点逆时针旋转度至位置，交于点，若是等腰三角形，则旋转角　　　　　　． 64．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在中，，，点M为中点，点N在直线上运动，连接以，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为　　　　． 65．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． （1）画出绕点C逆时针旋转后的图形； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 66．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）提出问题：数学课上，老师给出一个问题，让同学们探究．在中，过点作，将线段绕点旋转，使点落在点处．请解答下列问题： （1）当时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，认真观察，分析条件，通过证明三角形全等，最终证出了结论； 推理证明：根据该同学的思路或其他方法，写出图①的证明过程； 探究问题： （2）当时，如图②；当时，如图③，请猜想并直接写出线段，，有怎样的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，则___________． 67．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 　　　． 68．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，且于点，求的度数． 69．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为　　　　　　　　　　． 70．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为　　　　　　　． 71．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点、，则点的横坐标为　　　　　　　　． 72．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是　　　　　　． 73．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，在中，，，点D为边一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到．当是等腰三角形时，的长为　　　　　　　． 74．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 75．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 76．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）实践与探究：老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？        【实践操作】（1）如图1，航天小组同学将绕中点__________（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】（2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，三点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当，三点构成以为斜边的直角三角形时，请直接写出线段的长． 77．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为　　　　　　　． 78．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）已知：在中，，．    （1）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； （2）在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 79．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． （1）如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； （2）如图3，当，时，则长为____________； （3）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 80．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　． 81．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，中，，点P是边上的一个动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则在点P运动过程中，线段的最小值为　　　　　　　　　． 82．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）（1）类比探究：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，探究线段，，的关系？直接写出结论． （2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，当时，求证：； （3）如图3，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 83．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）等边中，点是边上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转至，过点作于点，连接． 【理论证明】： （）如图①，求证：； 【实践猜想】： （）当点运动到延长线上时，其他条件不变，如图②，请你直接猜想、与的数量关系，不必说明理由； 【动手操作】： （）当点运动到延长线上时，根据题意，请你在图③中将图形补全，并直接写出、与的数量关系，不必说明理由； 84．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）（多选）如图1，在等腰中，，，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图2，若，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段和之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由） （2）如图3，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系，并说明理由． （3）如图4，若，其他条件不变，探究线段、和之间的等量关系为______． 85．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）正方形和等腰直角三角形共顶点，将绕点逆时针旋转一周． （1）如图①，当点与点重合时，若．求的长； （2）如图②，为中点．连接、探究的关系，并说明理由； 86．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． （1）如图1，把绕点A逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； 方法迁移： （2）如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 问题应用与拓展： （3）如图1，若，，则______； （4）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为______． 87．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形（旋转角大于0°且小于）． （1）如图①，当点F落在的延长线上时，则的长为______； （2）如图②，当点E在上时，连接、，求证：四边形是平行四边形； 88．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）在等边三角形中，为边所在直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，过点作交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 89．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是　　　　　　　　　． 90．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点别落在点，处，点在x轴上；依次进行下去…，若点，点，则点的坐标为　　　　　． 91．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；将线段绕点按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段如此下去，得到线段（为正整数），则点的坐标是　　　　　． 92．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为　　　　　　． 93．（2026·黑龙江牡丹江·调研）【发现问题】 如图（1），和都是等边三角形，连接，交于点．与的数量关系为_________，的度数为_________°； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，，连接，．猜想与之间的数量关系及位置关系，并说明理由； 【实践应用】 将图（2）中的固定，在平面内绕点A旋转．若，，试探究以点C，D，E为顶点的三角形能否成为直角三角形．若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 94．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，与中，，，，连接，．P为的中点，连接，把绕点在平面内自由旋转，若，，则旋转过程中线段长度的最大值为　　　　　　． 95．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交直线于点． 【分析问题】 某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论． 【推理证明】 （1）当点在线段上时，如图①，求证：； 【探究问题】 （2）当点在线段的延长线上时，如图②；当点在线段的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不必证明； 【拓展思考】 （3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积的两倍，则的面积为_____． 96．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方形的边长为10，点是边上一点，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值是　　　　　　　． 97．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线交直线于点，交于点，当为等腰三角形时，的长为　　　　　． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（       ） A. 5 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． （1）画出 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后的 ； （2）画出 关于原点O 成中心对称的 ； （3）的面积为             ． 3．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，三个顶点的坐标分别为、． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形； （2）若以点A为旋转中心逆时针旋转后得到的图形为（的对应点为的对应点为），在网格中画出旋转后的图形． 4．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形．并写出点的对应点的坐标； （2）画出将绕原点按逆时针方向旋转后的图形； （3）连接，，，求出的面积． 5．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）画出与关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）连接，请直接写出的长． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．    （1）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·黑龙江牡丹江·调研）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  等边三角形 B.  平行四边形 C.  正五边形 D.  圆 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）黑龙江省传统剪纸艺术闻名遐迩．早在纸尚未普及以前，居住在黑龙江的蒙、满、索伦各部族的人们就已用薄片的金属、绢帛、鱼皮和兽皮、桦树皮等镂空剪刻各种图纹和形象了．以下四个剪纸作品中， 不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）窗花寓意吉祥，增添节目气氛，下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列四个图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（       ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正方形 25．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A.  三叶玫瑰线 B.  四叶玫瑰线 C.  心形线 D.  笛卡尔叶形线 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（       ）． A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.      B.      C.      D.      31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图是由边长为的小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，按步骤围成下列问题： （1）画出以为顶点的四边形（点在小正方形的顶点上），使其为中心对称图形但不是轴对称图形． （2）在的边上画出点，连接，使得的面积与的面积相等（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，请直接写出线段的长度． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）已知点、点关于原点对称，则的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 1 3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）点关于原点对称的点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D. 4 6．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）点关于原点对称的点为，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A. ﹣1 B. 4 C. ﹣4 D. 1 8．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边的边与轴正半轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到……按照此规律，先将三角形绕点顺时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）在直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）已知点和关于原点对称，则的值是　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）若点M（3，a），N（b，﹣5）关于原点对称，则a+b=　　　　． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为． （1）画出点关于原点的对称点，连接，并直接写出点的坐标； （2）在（1）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点与点对应），画出线段，并直接写出经过点的反比例函数解析式． 15．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）若点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称，则是　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到处，则点关于原点对称的点的坐标是　　　　　． 17．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若点与点关于原点成中心对称，则　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移4个单位长度后得到的． （2）作出关于原点对称的． （3） 可看作是以点（        ，        ）为旋转中心，旋转得到． （4）连接和，求四边形的面积． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $