专题06 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）下列命题中叙述正确的是（       ） A. 若方差，则甲组数据的波动较小 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，已知中，，，经过点B和点C，与交于点D，且的圆心O在边上． （1）尺规作图：请根据题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）． （2）判断直线与的位置关系：_____________． （3）若，则的面积_____________． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，分别切圆O于A、B两点，，则的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则　　　　　　度． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 　　　　　 度． 6．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC=5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 9．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，为的直径，C为上一点，过点C的切线交延长线于点E，过点A作于点D，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在中，，是的角平分线，圆心在上，以为弦的交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分面积． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则　　　　　　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为　　　　　． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 15．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，以的边为直径作．点D在劣弧上，是的切线，分别连接、、，其中交于点E，延长交于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）若，求的值． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是5，求的长． 17．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求点到的距离． 18．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为　　　　　　　　　　． 考点03 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（     ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　） A.  B. 2 C.  D. 1 4．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 　　　　　． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接，，若的长为，则正六边形的边长为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 3大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）下列命题中叙述正确的是（       ） A. 若方差，则甲组数据的波动较小 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【分析】 根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】 解：A. 若方差，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意； B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意； D. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，已知中，，，经过点B和点C，与交于点D，且的圆心O在边上． （1）尺规作图：请根据题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）． （2）判断直线与的位置关系：_____________． （3）若，则的面积_____________． 【答案】（1） 解：由题意作图如下：      （2）相切     （3）      【分析】 本题主要考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30度的直角三角形，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点即可； （2）证明即可判断； （3）证明，是等边三角形可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切． 故答案为：相切． (3) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，分别切圆O于A、B两点，，则的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 根据切线的性质得出，即可求得结果． 【详解】 解：连接， ∵分别切圆O于A，B两点， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了切线长定理，作出辅助线根据切线长定理求解是解题的关键． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 3．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】 解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则　　　　　　度． 【答案】40 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出，进而求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． 故答案为：40． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 　　　　　 度． 【答案】50 【详解】连接OA，OB．PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°， 由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，∠P=180°﹣∠AOB=50°． 6．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，则的度数是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，，由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得，由圆周角定理可求得． 【详解】 解：如图，连接，， ∵，， ∴． ∵、都是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 7．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC=5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 根据切线长定理得到CN=CM=5.5，EN=EQ，DQ=DM，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】 解：∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴CN=CM=5.5， ∵DE为⊙O的切线，切点为Q， ∴EN=EQ，DQ=DM， ∴△CDE的周长=CE+CD+DE=CE+EQ+DQ+CD=CE+EN+CD+DM=CN+CM=11， 故答案为：11． 【点睛】 此题主要是考查了切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接，，，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D．若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，容易证明，因此，命题得证； （2）先根据三角函数求出，结合可得，．根据直角三角形的性质和勾股定理，计算出，分别计算和扇形的面积，阴影面积为两者的差． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ． 【点睛】 本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握相关的知识是解题关键． 9．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，为的直径，C为上一点，过点C的切线交延长线于点E，过点A作于点D，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ∵直线与相切于点C， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；     （2）半径为6      【分析】 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得出，证明结论； （2）根据题意得，推出在中，，得，推出，即可以得到，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 由（1）得平分， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即的半径为6． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，得出四边形是正方形是解题关键．根据切线的性质得到，，，进而求得 ， 推出四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理即可得解． 【详解】 解：是的内切圆，三个切点分别为，，， ，，，，， ， ，， 四边形是正方形， 设， 在中，， 即， 解得，（舍去）， 的半径为． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在中，，是的角平分线，圆心在上，以为弦的交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，含有角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据含有角的直角三角形的性质得出，，从而求得半径的值；根据求得即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，在中，， ∴，， 解得：， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴所求图形面积为：． 12．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】 解：如图，连接，    是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形，则剪下的的周长为　　　　　． 【答案】24 【分析】 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 设与分别相切于点E、F，则，因为与相切于点D，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设与分别相切于点E、F，则， 与相切于点D， ，， ， ， ， 剪下的的周长为24， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 15．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，以的边为直径作．点D在劣弧上，是的切线，分别连接、、，其中交于点E，延长交于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．     （2）     （3）      【分析】 （1）由直径所对的圆周角等于可得出，进而可得出，结合已知条件可得出，进一步即可证明是的切线． （2）连接，由切线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出是的垂直平分线，再证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据三角形的面积公式求解即可． （3）根据题意设， (k为非零常数) 则， ，由同角的余角相等得出即，．则可得出，进一步即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图， 连接， ∵是的切线， ∴ 由(1)知， ∵， ， ∴， ∴． ∴是的垂直平分线， ∴， 弧弧， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴ 在中， ， ∴， (3) 小问详解： 由(2)得 ∵， 设， (k为非零常数) 则， ∴在中， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了直径所对的圆周角等于，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定已知性质，切线的判定以及性质，等腰三角形的性质，切点的性质等知识点，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 16．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是5，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理． （1）利用等边对等角求得，，推出，证得，即可得到是的切线； （2）利用圆周角定理结合勾股定理求得，再利用等积法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 17．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求点到的距离． 【答案】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线；     （2）      【分析】 本题是圆的综合题，考查了切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，由于，则根据三角形外角性质得，而，所以，根据平行线的判定得到，再得到，然后根据切线的判定定理得为的切线； （2）过点作的垂线段，利用面积法即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作的垂线段， ，， ,， ， ， ，即点到的距离为． 18．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为　　． 【答案】2或2 【分析】 先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC是等腰直角三角形，当 ∠AOC＝90°，连接OB，根据勾股定理可得斜边AC的长，当 ∠OAC＝90°，同理可求． 【详解】 解：连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵BC＝OA， ∴OB＝BC＝2， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠ACO≤45°， 当∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形时， ∴OC＝OB＝2， ∴AC＝＝＝2； 当∠OAC＝90°，四边形OACB是正方形， OC=2； 故答案为：2或2． 【点睛】 本题考查切斜的性质、等腰直角三角形的判定及其性质、勾股定理，解题的关键是综合运用所学的知识求出OC． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，根据勾股定理求得，可求得内切圆的半径为1，因此的坐标为，然后根据三角形内切圆的性质，可知，，，四边形是正方形，得到，进而得到，，结合，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，然后计算、、的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案． 【详解】 解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图， 点是内切圆的圆心， ，，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， 在中，， 内切圆的半径， 点坐标为， ， ，， ，即点到三边距离都相等， 每次滚动后圆心的纵坐标都为1， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ， 点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，是的直径，D是延长线上一点，且，与相切于点C，连接，且，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理．连接，由切线的性质可得，．根据，可得，结合圆周角定理可知，，所以．根据含角的直角三角形的性质可得，，结合，从而算出与的值，进一步求出 的长． 【详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在直角中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴． 故答案为：4． 考点03 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（     ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正七边形 【答案】B 【分析】 本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】 解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】 解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（　　） A.  B. 2 C.  D. 1 【答案】B 【分析】 明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，根据勾股定理即可求得结果． 【详解】 解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． ∵正方形的外接圆半径为2， ∴正方形的对角线长为4， ∴正方形的边长为＝， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 4．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 　　　　　． 【答案】36° $度 【分析】 先利用正多边形的性质求出∠AED度数、再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴AE=ED，∠AED==108°， ∴∠ADE =∠EAD =（180°-108°）=36°， 故答案为：36°． 【点睛】 本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接，，若的长为，则正六边形的边长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆的弧长公式和正六边形的性质，先求得，再根据弧长求圆的半径，最后解直角三角形即可得到答案． 【详解】 解：∵正六边形， ∴，， ∴， ∴． ∵的长为， ∴，解得， 如图，过点作，则， ∵， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．D 2．【答案】（1） 解：由题意作图如下：      （2）相切     （3）      【分析】 本题主要考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30度的直角三角形，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点即可； （2）证明即可判断； （3）证明，是等边三角形可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切． 故答案为：相切． (3) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 考点02 圆的切线 1．B 2．C 3．C 4．【答案】40 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出，进而求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】 解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． 故答案为：40． 5．【答案】50 【详解】连接OA，OB．PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°， 由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，∠P=180°﹣∠AOB=50°． 6．【答案】 【分析】 连接，，由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得，由圆周角定理可求得． 【详解】 解：如图，连接，， ∵，， ∴． ∵、都是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 7．【答案】11 【分析】 根据切线长定理得到CN=CM=5.5，EN=EQ，DQ=DM，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】 解：∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴CN=CM=5.5， ∵DE为⊙O的切线，切点为Q， ∴EN=EQ，DQ=DM， ∴△CDE的周长=CE+CD+DE=CE+EQ+DQ+CD=CE+EN+CD+DM=CN+CM=11， 故答案为：11． 【点睛】 此题主要是考查了切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键． 8．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的切线．     （2）      【分析】 （1）连接，容易证明，因此，命题得证； （2）先根据三角函数求出，结合可得，．根据直角三角形的性质和勾股定理，计算出，分别计算和扇形的面积，阴影面积为两者的差． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理得，， ． 【点睛】 本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理和扇形面积公式，熟练掌握相关的知识是解题关键． 9．【答案】（1） 证明：如图，连接 ∵直线与相切于点C， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分；     （2）半径为6      【分析】 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得出，证明结论； （2）根据题意得，推出在中，，得，推出，即可以得到，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 由（1）得平分， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即的半径为6． 10．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，得出四边形是正方形是解题关键．根据切线的性质得到，，，进而求得 ， 推出四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理即可得解． 【详解】 解：是的内切圆，三个切点分别为，，， ，，，，， ， ，， 四边形是正方形， 设， 在中，， 即， 解得，（舍去）， 的半径为． 故答案为：． 11．【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，含有角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据含有角的直角三角形的性质得出，，从而求得半径的值；根据求得即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，在中，， ∴，， 解得：， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴所求图形面积为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】 解：如图，连接，    是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．【答案】24 【分析】 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出是解题的关键． 设与分别相切于点E、F，则，因为与相切于点D，所以，，可推导出，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设与分别相切于点E、F，则， 与相切于点D， ，， ， ， ， 剪下的的周长为24， 故答案为：． 14．【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 15．【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线．     （2）     （3）      【分析】 （1）由直径所对的圆周角等于可得出，进而可得出，结合已知条件可得出，进一步即可证明是的切线． （2）连接，由切线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出是的垂直平分线，再证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据三角形的面积公式求解即可． （3）根据题意设， (k为非零常数) 则， ，由同角的余角相等得出即，．则可得出，进一步即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图， 连接， ∵是的切线， ∴ 由(1)知， ∵， ， ∴， ∴． ∴是的垂直平分线， ∴， 弧弧， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴ 在中， ， ∴， (3) 小问详解： 由(2)得 ∵， 设， (k为非零常数) 则， ∴在中， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查了直径所对的圆周角等于，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定已知性质，切线的判定以及性质，等腰三角形的性质，切点的性质等知识点，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 16．【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理． （1）利用等边对等角求得，，推出，证得，即可得到是的切线； （2）利用圆周角定理结合勾股定理求得，再利用等积法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 17．【答案】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线；     （2）      【分析】 本题是圆的综合题，考查了切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，由于，则根据三角形外角性质得，而，所以，根据平行线的判定得到，再得到，然后根据切线的判定定理得为的切线； （2）过点作的垂线段，利用面积法即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作的垂线段， ，， ,， ， ， ，即点到的距离为． 18．【答案】2或2 【分析】 先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC是等腰直角三角形，当 ∠AOC＝90°，连接OB，根据勾股定理可得斜边AC的长，当 ∠OAC＝90°，同理可求． 【详解】 解：连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵BC＝OA， ∴OB＝BC＝2， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠ACO≤45°， 当∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形时， ∴OC＝OB＝2， ∴AC＝＝＝2； 当∠OAC＝90°，四边形OACB是正方形， OC=2； 故答案为：2或2． 【点睛】 本题考查切斜的性质、等腰直角三角形的判定及其性质、勾股定理，解题的关键是综合运用所学的知识求出OC． 19．【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，根据勾股定理求得，可求得内切圆的半径为1，因此的坐标为，然后根据三角形内切圆的性质，可知，，，四边形是正方形，得到，进而得到，，结合，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，然后计算、、的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案． 【详解】 解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图， 点是内切圆的圆心， ，，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， 在中，， 内切圆的半径， 点坐标为， ， ，， ，即点到三边距离都相等， 每次滚动后圆心的纵坐标都为1， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ， 点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 20．【答案】4 【分析】 本题考查切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和圆周角定理．连接，由切线的性质可得，．根据，可得，结合圆周角定理可知，，所以．根据含角的直角三角形的性质可得，，结合，从而算出与的值，进一步求出 的长． 【详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在直角中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴． 故答案为：4． 考点03 正多边形与圆 1．B 2．A 3．B 4．【答案】36° $度 【分析】 先利用正多边形的性质求出∠AED度数、再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴AE=ED，∠AED==108°， ∴∠ADE =∠EAD =（180°-108°）=36°， 故答案为：36°． 【点睛】 本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住正多边形的内角和公式． 5．【答案】 【分析】 本题考查了圆的弧长公式和正六边形的性质，先求得，再根据弧长求圆的半径，最后解直角三角形即可得到答案． 【详解】 解：∵正六边形， ∴，， ∴， ∴． ∵的长为， ∴，解得， 如图，过点作，则， ∵， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $