专题03 反比例函数（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题03 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. y2x B. y C. yx3 D.  2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）下列函数中，是反比例函数的是（       ） A.  B.  C. y＝2x＋1 D. 2y＝x 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个关系式中，是的反比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）函数是反比例函数，则m=（     ）． A.  B.  C.  D. 2或 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（   ） A. 当x＞0时，y＜0 B. y随x的增大而减小 C. 图像在第二、四象限 D. 图像关于直线y＝－x对称 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（       ） A. 6 B.  C. 3 D.  5．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 7．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（       ） A. 4 B. 1 C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知反比例函数的图像经过两点，当时，则k的值可能为（       ） A.  B.  C. 0 D. 1 10．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（       ）． A.  B.  C.  D. 不能确定 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）函数y=-kx+k与函数(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图像可能是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(     ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）关于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A. 图象经过点 B. 函数图象关于轴对称 C. 其图象位于第二、第四象限 D. 当时，随的增大而减小 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，点和点是反比例函数的一个分支上的两点，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（       ） A. 该反比例函数解析式 B. 矩形的面积为2 C. 该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而增大 D. b的取值范围是 21．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A. 9 B. 6 C.  D. 3 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（     ） A. 20 B. 40 C.  D.  23．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（     ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 25．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A.             B.      C.             D.             26．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（     ） A. 4 B.  C. 2 D.  27．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（       ） A. 或 B.  C. 或 D. 或 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（       ） A.  B. 5 C.  D.  29．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D，若点C的横坐标为6，，则k的值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 6 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：　　　　　　． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如果点、、是反比例函数图像上的三个点，则、、的大小关系是　　　　　　　　　　．（用“”连接） 32．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）已知反比例函数y=的图象经过点（1，2），则k的值为　　　　　． 33．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，当时，，，的大小关系是　　　　　　　　（用“”连接）． 34．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是　　　　　　． 35．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则　　　　　　　　　　　（填“>，＜，或=”）． 36．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，若的面积为6，则k的值为　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为　　　　　　． 39．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点． （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图像直接写出不等式时的取值范围． 41．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，，连接．    （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 42．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，直线与双曲线相交于点． （1）求直线及双曲线对应的函数表达式； （2）直接写出关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的函数解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，点的坐标为____________． 44．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=　　　　　　． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 46．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）已知正比例函数与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是　　　　　　　． 47．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． （1）求，，的值； （2）当时，求不等式的解集． （3）求的面积． 48．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积； （3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 49．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，． （1）求的值； （2）过点作直线，求直线的解析式． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）（多选）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积； （3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 52．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 53．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． （1）求点的坐标； （2）点是边上一点，若，求直线的解析式． 54．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）连接，求的面积． 55．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是　　　　　　． 56．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则　　　　　． 57．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C在双曲线上，已知点A坐标．点坐标，点为双曲线上一点，且点的横坐标大于1，轴于点轴于点F，有如下结论：①；②；③；④若，点为轴上一点，当取最小值时，则点坐标为．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（     ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，图像如图所示，则这个反比例函数解析式为　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）小国在学习了压强计算公式后，发现可以通过函数知识研究，，的关系．如图是他在压力一定的前提下画出的压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数图象，根据图象信息，压力的大小是　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是　　　　． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. y2x B. y C. yx3 D.  【答案】B 【分析】 利用反比例函数定义进行解答即可． 【详解】 解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）下列函数中，是反比例函数的是（       ） A.  B.  C. y＝2x＋1 D. 2y＝x 【答案】A 【分析】 根据反比例函数的定义直接可得 【详解】 反比例函数的一般形式为：，据此只有A选项符合 故选A 【点睛】 本题考查了反比例函数的定义，熟悉反比例函数的定义是解题的关键． 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．根据对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：反比例函数中， A、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； B、，此点在函数图象上，故本选项符合题意； C、，此点不在函数图象上，故本选项不合题意； D、，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个关系式中，是的反比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数解析式的形式为是解题的关键．根据反比例函数的一般形式逐项判断即可． 【详解】 解：A． ，x的指数为2，不是反比例函数，故该选项不符合题意； B． 是反比例函数，故该选项符合题意； C． 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不符合题意； D． ，x的指数不为1，不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）函数是反比例函数，则m=（     ）． A.  B.  C.  D. 2或 【答案】C 【分析】 本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）下列关于反比例函数y＝的描述，其中正确的是（   ） A. 当x＞0时，y＜0 B. y随x的增大而减小 C. 图像在第二、四象限 D. 图像关于直线y＝－x对称 【答案】D 【分析】 根据反比例函数的性质进行分析即可． 【详解】 解：在反比例函数中，k2+2＞0． A、该反比例函数图象经过第一、三象限，则当x＞0时，y＞0，结论不正确，不符合题意； B、该反比例函数图象经过第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，结论不正确，不符合题意； C、该反比例函数图象经过第一、三象限，结论不正确，不符合题意； D、图象关于直线y=-x对称，结论正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质判断． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】 解：∵反比例函数图象经过点， ∴设解析式为，代入得， ∴， ∴解析式为． 验证选项：A．：当时，，不满足； B．：当时，，不满足； C．：当时，，不满足； D．：当时，，满足． ∴函数图象必经过点． 故选：D． 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．根据点，利用待定系数法求解即可得． 【详解】 解：设这个函数的解析式为， ∵这个反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个函数的解析式为， 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（       ） A. 6 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】 解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】 解： A、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意； B、反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象相符，故B符合题意； C、由反比例函数的图象在可一、三象限知，则， ∴一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故C不符合题意； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当，则， ∴一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象不符，故D不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（       ） A. 4 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】 解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】 解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知反比例函数的图像经过两点，当时，则k的值可能为（       ） A.  B.  C. 0 D. 1 【答案】D 【分析】 根据，且，判定函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小，继而得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：根据，且， ∴函数图象在这个象限内，y随x的增大而减小， ∴， 故选D． 10．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）已知点在反比例函数图象上，过点作轴于点，若的面积为1，则此反比例函数的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设反比例函数解析式为，根据反比例函数中的几何意义即可得到答案． 【详解】 解：设反比例函数解析式为， 由题意得：， ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 反比例函数解析式为， 故选： A． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（       ）． A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】C 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小． 【详解】 解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数图象上的两点， ∴＝−6，＝−2， ∴y1＜y2． 故选：C． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合，且为定值． 先根据点是反比例函数图象上求出的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：∵点在反比例函数图象上，． A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 13．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）函数y=-kx+k与函数(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图像可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】分k＞0和k＜0两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，D选项符合，C选项错误； 当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，A、B均错误； 故选择：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 考查反比例函数的图象性质．解题关键是明确“反比例函数，当时图象在第二、四象限”；易错点是混淆k的正负所对应的象限． 首先反比例函数中，；其次由图象在第二、四象限，得，即；最后解不等式得． 【详解】 ∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， 解得 ， 故选：C． 15．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】 解：反比例函数，， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上， 、在第二象限内，在第四象限内， ，，， ， ， 故选：C． 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】 当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键． 17．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】 解：由反比例函数（）可知该函数在第一、三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图像上， ∴， 故选D． 【点睛】 本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 18．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(     ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】 解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】 本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）关于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A. 图象经过点 B. 函数图象关于轴对称 C. 其图象位于第二、第四象限 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数的性质．利用反比例函数的图象和性质进行分析得出答案． 【详解】 解：反比例函数，当时，， A、图象经过点，故该选项不正确，不符合题意；        B、函数图象关于原点对称，故该选项不正确，不符合题意； C、图象位于第一、第三象限，故该选项不正确，不符合题意；        D、当时，随的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，点和点是反比例函数的一个分支上的两点，且点B在点A的右侧，则下列说法中，不正确的是（       ） A. 该反比例函数解析式 B. 矩形的面积为2 C. 该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而增大 D. b的取值范围是 【答案】C 【分析】 本题考查的是反比例函数的图象与性质，求解反比例函数的解析式可判断A，利用反比例函数图象上点的坐标特点可判断B，根据反比例函数的性质可判断C，D，从而可得答案． 【详解】 解：∵点和点是反比例函数的一个分支上的两点， ∴， ∴反比例函数，故A不符合题意； ∴矩形的面积为2，故B不符合题意； ∵该反比例函数的另一个分支在第三象限，且y随x的增大而减小    ∴C符合题意； ∵点B在点A的右侧， ∴b的取值范围是，故D不符合题意； 故选C 21．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（　　） A. 9 B. 6 C.  D. 3 【答案】C 【分析】 连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得， 结合，问题得解． 【详解】 连接、，如图， 根据题意有：，， ∵C是y轴上任意一点，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查反比例函数图象k的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数k的几何意义． 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（     ） A. 20 B. 40 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．设点B坐标为，得到，即可得到点E坐标为，点F坐标为，．根据的面积为5，得到，求出，然后根据点E在图象上，从而求出k． 【详解】 解：设点B坐标为， ∵四边形为矩形，并且在第一象限， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴点E坐标为，点F坐标为，． ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 故选：A． 23．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（     ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 2 【答案】B 【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】 解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】 把代入反比例函数得，把代入，得， ∴，故① 错； 联立两函数解析式 ，解得 ， ∴，故② 对； 观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③ 对； 由、、可知，， ∴，故④ 错． 综上，结论② ③ 正确，正确的个数是2个， 故选B． 25．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A.             B.      C.             D.             【答案】A 【分析】 设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】 解：如图所示，           设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（     ） A. 4 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】 解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 27．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（       ） A. 或 B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】 解：把代入得，， ∴， ∴一次函数为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 由 ，解得 或 ， ∴， 由图象可得，当或时，， 故选：． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，点P为直线上一动点，连接PA、PB，则的最小值为（       ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变换等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于直线的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】 解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：A． 29．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D，若点C的横坐标为6，，则k的值为（       ） A.  B. 3 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 过点作于点，由勾股定理构造方程求出，，再根据反比例函数图象同时经过顶点C，D，即可求出答案． 【详解】 解：过点作于点，    ， ∵点C的横坐标为6，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴设，则． ∴，，． 在中， ∵， ∴． 解得：（不合题意，舍去），， ∴，． 设，则， ∵反比例函数的图象同时经过顶点C，D， ∴． ∴． ∴． 故选C． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出和的长时解题的关键． 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【详解】 解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大， ∴， 选取，则， 故答案为：（答案不唯一）． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如果点、、是反比例函数图像上的三个点，则、、的大小关系是　　　　　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】直接把三个点的坐标代入函数解析式，求得、、的值，再比较大小即可. 【详解】解：把、、代入是反比例函数解析式得： =-1；=1；= ∴ 故答案为： 【点睛】本题还有多种方法，也可以结合函数图像确定、、大小，还可以根据函数增减性确定、、大小，要尽可能选择简单方法. 32．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）已知反比例函数y=的图象经过点（1，2），则k的值为　　　　　． 【答案】1 【详解】试题解析：把点代入得， 解得： 故答案为 33．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，当时，，，的大小关系是　　　　　　　　（用“”连接）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数的图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，根据可得到三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】 解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第三象限，且在第一象限， ∴， 故答案为：． 34．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解不等式，由反比例函数的性质，时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得，然后解不等式即可． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则　　　　　　　　　　　（填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【分析】 本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】 解：根据反比例函数的性质，，所以． 36．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】 解： 的面积为6． ＞， 把代入 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】 本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 37．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点A，若的面积为6，则k的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据反比例函数系数k的几何意义可知， 的面积， 再根据图象所在象限求出k的值即可． 【详解】 解：根据比例系数k的几何意义得：的面积． ∵的面积为6， 即， 解得： ， ∵函数图象位于第二象限， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查对反比例函数的性质，理解k的几何意义结合图像的象限可得出答案．． 38．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】 解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 39．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可， 【详解】 解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于两点． （1）求反比例函数的关系式与的值； （2）根据图像直接写出不等式时的取值范围． 【答案】（1），10     （2）或      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入反比例函数并求解，即可求得反比例函数的关系式，再将点代入并求解，即可求得的值； （2）结合图像中一次函数图像再反比例函数图像上方的部分，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 将点代入， 可得，解得； (2) 小问详解： 由（1）可知，， 由图像可知，不等式时的取值范围为或． 41．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，，连接．    （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为；     （2）或      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知一次函数及反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m，把B坐标代入反比例函数解析式求出n，再把A和B点坐标代入一次函数解析式即可解答； （2）利用数形结合的思想即可解决问题． (1) 小问详解： 解：将代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ， 把和代入，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：根据图象，的解集为或． 42．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，直线与双曲线相交于点． （1）求直线及双曲线对应的函数表达式； （2）直接写出关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）直线：，双曲线：     （2）     （3）8      【分析】 本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键． （1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值． (1) 小问详解： 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 把代入，得：， ∴， 把、代入，得： ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为； 故答案为：；． (2) 小问详解： 由图象可知当时，， ∴不等式的解集是， (3) 小问详解： 设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于， ∵、， ∴， ∵一次函数的解析式为，当时，， 当当时，，解得，， ∴点C的坐标是，点D的坐标是 ∴． ∴，， ∴． 43．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的函数解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，点的坐标为____________． 【答案】（1），     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）联立反比例函数与一次函数解析式求得两交点的坐标，进而根据函数图象，即可求解． （3）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象过， ， ， ∴ 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； ∴ (2) 小问详解： 解：联立 解得： 或 ∴一次函数与反比例函数的两个交点分别为， 根据函数图象可知，等式的解集为或 (3) 小问详解： 解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 44．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=　　　　　　． 【答案】6． 【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为     （2）或      【分析】 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）先求出，再求出，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，然后利用面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， 解得 ， ∴． (2) 小问详解： 解：∵直线与y轴交于点C， ∴， ∵，轴， ∴， ∵以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2， ∴， ∴． 46．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）已知正比例函数与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案． 【详解】 解：联立 得， ∵正比例函数与反比例函数的图像交于两点， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 47．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． （1）求，，的值； （2）当时，求不等式的解集． （3）求的面积． 【答案】（1）；；     （2）     （3）      【分析】 （1）将点坐标代入解析式即可； （2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论； （3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积. (1) 小问详解： 解：将点坐标代入得， 解得， 将点坐标代入得， ， 解得，                                      将点坐标代入得， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， 由， 得或，                                                   则直线与双曲线的另一个交点坐标为：                             由函数图象可知： 当时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧 所以当时，不等式的解集为； (3) 小问详解： 解：由得， ∴点的坐标为，    ∵得，， ∴点的坐标为，                            ∴的面积为：. 【点睛】 本题考查了直线与轴的交点、直线与双曲线的交点、求不等式的解集、三角形的面积等，关键是灵活应用知识点解决问题. 48．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知是反比例函数图象上一点，求的面积； （3）结合图象，直接写出当时，不等式的解集为___________． 【答案】（1），     （2）2     （3）      【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、利用图像解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． (1) 小问详解： 解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ，解得： ， ∴一次函数的表达式为． ，与轴交于点． (2) 小问详解： 解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． (3) 小问详解： 解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 49．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，． （1）求的值； （2）过点作直线，求直线的解析式． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质、反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． （1）先根据矩形的性质和线段比设线段的值，再根据点在反比例函数上求点坐标，并求出，然后证明四边形是矩形，根据等积法求出点坐标，将点代入，即可求解； （2）先求直线解析式，再根据，值相同，设直线解析式，最后将点代入求解即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，设，则． ∵点在函数的图象上， ∴，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． ∵点在函数的图象上， ∴． (2) 小问详解： ∵由（1）得四边形是矩形， ∴，， ∵，． ∵设直线解析式， ∴ ， 解得 ． ∴直线解析式． ∵设直线解析式， 又∵， ∴， ∵点在直线上， ∴代入点 解得． ∴直线解析式． 50．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）（多选）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积； （3）直接写出不等式kx+b≤的解集． 【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0 【分析】（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式； （2）联立解析式，可求交点坐标； （3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系． 【详解】（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4 ∵CD⊥x轴 ∴OB∥CD ∴△ABO∽△ACD ∴ ∴ ∴CD=20 ∴点C坐标为（﹣4，20） ∴n=xy=﹣80 ∴反比例函数解析式为：y= 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得： 解得： ∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）当=﹣2x+12时，解得 x1=10，x2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E坐标为（10，﹣8） ∴S△CDE=S△CDA+S△EDA= （3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0 【点睛】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式． 52．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【分析】 （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】 （1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得： ， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 53．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，矩形的顶点，分别在轴和轴上，点的坐标为，反比例函数（）的图象经过上的点，与交于点，是的中点，连接． （1）求点的坐标； （2）点是边上一点，若，求直线的解析式． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了矩形的性质，反比例函数和一次函数的性质，相似三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，又的坐标为，为的中点，则，，，求出，故有双曲线的解析式为，然后把纵坐标代入解析式即可； （）当时，，即，所以，得出，然后根据待定系数法即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的坐标为，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线（）上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴， 此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得 解得 ， ∴直线的解析式为 综上所述，若和相似，则直线的解析式． 54．（25-26学年九上·黑龙江绥化第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点的坐标； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）,；（2）；（3）6 【分析】 （1）由点的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式； （2）联立方程，解方程组即可求得； （3）求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出和，继而求出的面积． 【详解】 解：（1）将代入与中得，， ∴， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解方程组 得 或 ， ∴； （3）设直线与轴，轴交于点，易得， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出的面积． 55．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，反比例函数，二次根式，以及探索，归纳，总结，应用的能力，拥有良好的探索能力是解决本题的关键． 图中出现的都是等边三角形，通过计算找到边长与高之间，坐标与边长之间的规律，根据此规律推理即可． 【详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ，， ， 设的长度为，则的坐标为， 把代入得，解得或（舍去）， ，    ， 设的长度为，同理得到，则的坐标表示为， 把代入得 ， 解得或（舍去）， ，，， ， 设的长度为，同理，为，的坐标表示为， 把，代入得 ， 解得或（舍去） ，，， ， 综上可得：， 故答案为：． 56．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】 解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 57．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的顶点C在双曲线上，已知点A坐标．点坐标，点为双曲线上一点，且点的横坐标大于1，轴于点轴于点F，有如下结论：①；②；③；④若，点为轴上一点，当取最小值时，则点坐标为．上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质以及轴对称的性质．需要根据矩形的性质求出点C的坐标，进而确定反比例函数的表达式，再结合反比例函数的性质、三角形全等的判定与性质以及轴对称的性质来逐一分析各个结论． 【详解】 解：① ∵四边形是矩形，点A坐标，点坐标， ∴点C的坐标为． 又∵点C在双曲线上， 所以，结论① 正确； ② ∵点C的坐标为， ∴是固定的大小， ∵点为双曲线上一点，不是固定的， ∴的大小也不是固定的， ∴与不一定相等，所以结论② 错误； ③ 由① 知双曲线表达式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点C和点都是双曲线上的点， ∴， ∴， ∵ ，结论③ 正确； ④∵，点C的坐标为， 设点D的坐标为， ∴， 整理得， 设， 则原式整理得， 解得（舍去），， ∴（负值舍去）， ∴点D的坐标为， 作点C关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点P，此时取最小值． ·设直线的表达式为， 将，代入可得 ， 解得 ， 所以直线的表达式为． 令，则，解得， 所以点坐标为． ∴结论④ 正确； 综上，① ③ ④ 正确， 故答案为：① ③ ④ ． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（     ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】 解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 2．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】 解：根据题意有：v•t＝s， ∴， 故t与v之间的函数图象为反比例函数图象， 且根据实际意义v＞0、t＞0， ∴其图像在第一象限，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 3．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，图像如图所示，则这个反比例函数解析式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】 设， 把(8，6)代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）小国在学习了压强计算公式后，发现可以通过函数知识研究，，的关系．如图是他在压力一定的前提下画出的压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数图象，根据图象信息，压力的大小是　　　　　　　　　　　． 【答案】100 【分析】 本题考查反比例函数的应用．根据函数图象经过的点坐标满足其函数解析式求解F值即可． 【详解】 解：由函数图象可知，该函数的图象经过点， ∴，解得， 故答案为：100． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流的值是　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键． 设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点，代入解析式求出k．再令，求出此时电流的值． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为， 将，代入解析式得，， ∴， ∴， 令，则（A）， ∴此时电流的值为． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）已知蓄电池两端电压（单位：V）为定值，电流（单位：A）与（单位：）成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了反比例函数．根据题意利用待定系数法求得该反比例函数的表达式，由此即可解答． 【详解】 解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：8． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强　　　　　　　　　　． 【答案】50 【分析】 本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）；     （2）30分钟     （3）有效， 理由：把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的．      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． (1) 小问详解： 解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧时y与x的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ （3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】（1）y=；     （2）半径为28米；     （3）最多是0.4厘米．      【分析】 （1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． (1) 小问详解： 设y与x之间的函数表达式为， ∴7=， ∴k=14， ∴y与x之间的函数表达式为y=； (2) 小问详解： 当x=0.5时，y==28米， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； (3) 小问详解： 当y≥35时，即≥35， ∴x≤0.4， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米． 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 考点02 反比例函数的图象和性质 1．D 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．C 13．D 14．C 15．C 16．D 17．D 18．B 19．D 20．C 21．C 22．A 23．B 24．B 25．A 26．D 27．C 28．A 29．C 30．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【详解】 解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大， ∴， 选取，则， 故答案为：（答案不唯一）． 31．【答案】 【分析】直接把三个点的坐标代入函数解析式，求得、、的值，再比较大小即可. 【详解】解：把、、代入是反比例函数解析式得： =-1；=1；= ∴ 故答案为： 【点睛】本题还有多种方法，也可以结合函数图像确定、、大小，还可以根据函数增减性确定、、大小，要尽可能选择简单方法. 32．【答案】1 【详解】试题解析：把点代入得， 解得： 故答案为 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数的图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，根据可得到三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】 解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第三象限，且在第一象限， ∴， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解不等式，由反比例函数的性质，时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得，然后解不等式即可． 【详解】 解：， ， ， 故答案为：． 35．【答案】= 【分析】 本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】 解：根据反比例函数的性质，，所以． 36．【答案】 【分析】 由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】 解： 的面积为6． ＞， 把代入 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】 本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 37．【答案】 【分析】 根据反比例函数系数k的几何意义可知， 的面积， 再根据图象所在象限求出k的值即可． 【详解】 解：根据比例系数k的几何意义得：的面积． ∵的面积为6， 即， 解得： ， ∵函数图象位于第二象限， ∴． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查对反比例函数的性质，理解k的几何意义结合图像的象限可得出答案．． 38．【答案】 【分析】 首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】 解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 39．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可， 【详解】 解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故答案为：． 40．【答案】（1），10     （2）或      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入反比例函数并求解，即可求得反比例函数的关系式，再将点代入并求解，即可求得的值； （2）结合图像中一次函数图像再反比例函数图像上方的部分，即可获得答案． (1) 小问详解： 解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 将点代入， 可得，解得； (2) 小问详解： 由（1）可知，， 由图像可知，不等式时的取值范围为或． 41．【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为；     （2）或      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知一次函数及反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m，把B坐标代入反比例函数解析式求出n，再把A和B点坐标代入一次函数解析式即可解答； （2）利用数形结合的思想即可解决问题． (1) 小问详解： 解：将代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ， 把和代入，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：根据图象，的解集为或． 42．【答案】（1）直线：，双曲线：     （2）     （3）8      【分析】 本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键． （1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式； （2）根据图象得出不等式的解集即可； （3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值． (1) 小问详解： 把代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； 把代入，得：， ∴， 把、代入，得： ， 解得： ， ∴一次函数的解析式为； 故答案为：；． (2) 小问详解： 由图象可知当时，， ∴不等式的解集是， (3) 小问详解： 设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于， ∵、， ∴， ∵一次函数的解析式为，当时，， 当当时，，解得，， ∴点C的坐标是，点D的坐标是 ∴． ∴，， ∴． 43．【答案】（1），     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）联立反比例函数与一次函数解析式求得两交点的坐标，进而根据函数图象，即可求解． （3）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． (1) 小问详解： 解：一次函数的图象过， ， ， ∴ 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； ∴ (2) 小问详解： 解：联立 解得： 或 ∴一次函数与反比例函数的两个交点分别为， 根据函数图象可知，等式的解集为或 (3) 小问详解： 解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 44．【答案】6． 【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 45．【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为     （2）或      【分析】 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）先求出，再求出，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，然后利用面积公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， 解得 ， ∴． (2) 小问详解： 解：∵直线与y轴交于点C， ∴， ∵，轴， ∴， ∵以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2， ∴， ∴． 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案． 【详解】 解：联立 得， ∵正比例函数与反比例函数的图像交于两点， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 47．【答案】（1）；；     （2）     （3）      【分析】 （1）将点坐标代入解析式即可； （2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论； （3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积. (1) 小问详解： 解：将点坐标代入得， 解得， 将点坐标代入得， ， 解得，                                      将点坐标代入得， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知， 由， 得或，                                                   则直线与双曲线的另一个交点坐标为：                             由函数图象可知： 当时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧 所以当时，不等式的解集为； (3) 小问详解： 解：由得， ∴点的坐标为，    ∵得，， ∴点的坐标为，                            ∴的面积为：. 【点睛】 本题考查了直线与轴的交点、直线与双曲线的交点、求不等式的解集、三角形的面积等，关键是灵活应用知识点解决问题. 48．【答案】（1），     （2）2     （3）      【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、函数图像上点的坐标特征、利用图像解不等式、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，即可求得反比例函数解析式；再利用待定系数法求—次函数的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再构建矩形，用矩形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据函数图象直接确定不等式的解集即可． (1) 小问详解： 解：∵，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于， ∴反比例函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为：． 把点A、点B的坐标代入得： ，解得： ， ∴一次函数的表达式为． ，与轴交于点． (2) 小问详解： 解：∵是反比例函数图象上一点， ∴， 如图：过B作轴，过A作轴，过B作轴，则， ∴， ∴的面积为 ． (3) 小问详解： 解：由函数图象可得的解集为在的下方图象对应x的取值范围，即． 49．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了矩形的判定和性质、反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键． （1）先根据矩形的性质和线段比设线段的值，再根据点在反比例函数上求点坐标，并求出，然后证明四边形是矩形，根据等积法求出点坐标，将点代入，即可求解； （2）先求直线解析式，再根据，值相同，设直线解析式，最后将点代入求解即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，设，则． ∵点在函数的图象上， ∴，， ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． ∵点在函数的图象上， ∴． (2) 小问详解： ∵由（1）得四边形是矩形， ∴，， ∵，． ∵设直线解析式， ∴ ， 解得 ． ∴直线解析式． ∵设直线解析式， 又∵， ∴， ∵点在直线上， ∴代入点 解得． ∴直线解析式． 50．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得，由此即可得． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 51．【答案】（1）y=﹣，y=﹣2x+12（2）S△CDE=140；（3）x≥10，或﹣4≤x＜0 【分析】（1）根据三角形相似，可求出点坐标，可得一次函数和反比例函数解析式； （2）联立解析式，可求交点坐标； （3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系． 【详解】（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4 ∵CD⊥x轴 ∴OB∥CD ∴△ABO∽△ACD ∴ ∴ ∴CD=20 ∴点C坐标为（﹣4，20） ∴n=xy=﹣80 ∴反比例函数解析式为：y= 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得： 解得： ∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12 （2）当=﹣2x+12时，解得 x1=10，x2=﹣4 当x=10时，y=﹣8 ∴点E坐标为（10，﹣8） ∴S△CDE=S△CDA+S△EDA= （3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜0 【点睛】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式． 52．【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2． 【分析】 （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算； （3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】 （1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8， 所以反比例函数解析式为， 把B（n，﹣4）代入， 得﹣4n=﹣8 解得n=2， 把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得： ， 所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2； （2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2， 即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0）， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6； （3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． 53．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了矩形的性质，反比例函数和一次函数的性质，相似三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，又的坐标为，为的中点，则，，，求出，故有双曲线的解析式为，然后把纵坐标代入解析式即可； （）当时，，即，所以，得出，然后根据待定系数法即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的坐标为，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线（）上， ∴， ∴， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， 当时，， 即， ∴， ∴， ∴， 此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得 解得 ， ∴直线的解析式为 综上所述，若和相似，则直线的解析式． 54．【答案】（1）,；（2）；（3）6 【分析】 （1）由点的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式； （2）联立方程，解方程组即可求得； （3）求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出和，继而求出的面积． 【详解】 解：（1）将代入与中得，， ∴， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解方程组 得 或 ， ∴； （3）设直线与轴，轴交于点，易得， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出的面积． 55．【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，反比例函数，二次根式，以及探索，归纳，总结，应用的能力，拥有良好的探索能力是解决本题的关键． 图中出现的都是等边三角形，通过计算找到边长与高之间，坐标与边长之间的规律，根据此规律推理即可． 【详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ，， ， 设的长度为，则的坐标为， 把代入得，解得或（舍去）， ，    ， 设的长度为，同理得到，则的坐标表示为， 把代入得 ， 解得或（舍去）， ，，， ， 设的长度为，同理，为，的坐标表示为， 把，代入得 ， 解得或（舍去） ，，， ， 综上可得：， 故答案为：． 56．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】 解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 57．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质以及轴对称的性质．需要根据矩形的性质求出点C的坐标，进而确定反比例函数的表达式，再结合反比例函数的性质、三角形全等的判定与性质以及轴对称的性质来逐一分析各个结论． 【详解】 解：① ∵四边形是矩形，点A坐标，点坐标， ∴点C的坐标为． 又∵点C在双曲线上， 所以，结论① 正确； ② ∵点C的坐标为， ∴是固定的大小， ∵点为双曲线上一点，不是固定的， ∴的大小也不是固定的， ∴与不一定相等，所以结论② 错误； ③ 由① 知双曲线表达式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点C和点都是双曲线上的点， ∴， ∴， ∵ ，结论③ 正确； ④∵，点C的坐标为， 设点D的坐标为， ∴， 整理得， 设， 则原式整理得， 解得（舍去），， ∴（负值舍去）， ∴点D的坐标为， 作点C关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点P，此时取最小值． ·设直线的表达式为， 将，代入可得 ， 解得 ， 所以直线的表达式为． 令，则，解得， 所以点坐标为． ∴结论④ 正确； 综上，① ③ ④ 正确， 故答案为：① ③ ④ ． 考点03 实际问题与反比例函数 1．B 2．C 3．【答案】 【分析】 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】 设， 把(8，6)代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 4．【答案】100 【分析】 本题考查反比例函数的应用．根据函数图象经过的点坐标满足其函数解析式求解F值即可． 【详解】 解：由函数图象可知，该函数的图象经过点， ∴，解得， 故答案为：100． 5．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键． 设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点，代入解析式求出k．再令，求出此时电流的值． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为， 将，代入解析式得，， ∴， ∴， 令，则（A）， ∴此时电流的值为． 故答案为：． 6．【答案】8 【分析】 本题考查了反比例函数．根据题意利用待定系数法求得该反比例函数的表达式，由此即可解答． 【详解】 解：∵蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系， ∴电流I与R的函数关系为， ∵当时，， ∴，解得， ∴电流I与R的函数关系为， 当时，即， 解得． 故答案为：8． 7．【答案】50 【分析】 本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 8．【答案】（1）；     （2）30分钟     （3）有效， 理由：把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的．      【分析】 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． (1) 小问详解： 解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧时y与x的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． (3) 小问详解： 略 9．【答案】（1）y=；     （2）半径为28米；     （3）最多是0.4厘米．      【分析】 （1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论； （2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意列不等式即可得到结论． (1) 小问详解： 设y与x之间的函数表达式为， ∴7=， ∴k=14， ∴y与x之间的函数表达式为y=； (2) 小问详解： 当x=0.5时，y==28米， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； (3) 小问详解： 当y≥35时，即≥35， ∴x≤0.4， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米． 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $