专题02 二次函数（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）下列函数中，是二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的定义逐项分析即可． 【详解】 A．是一次函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．是一次函数，故不符合题意； D．是反比例函数，故不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A．可能为0，故不一定是二次函数； B．含有项，不是整式，故不是二次函数； C．，满足，是二次函数； D．，是一次函数； 故选：C． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）下列各式中，是关于的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列各式中，是的二次函数的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义：一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫二次函数，判断即可． 【详解】 解：A．是二次函数，故A选项符合题意； B．，等式右边不是整式，故不是二次函数，故B选项不符合题意； C．自变量的最高次数是1，故不是二次函数，故C选项不符合题意； D．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】 解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）在函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】x≠-2． 【详解】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0 解得：x≠-2 故答案为：x≠-2． 【点睛】本题考查分式的性质． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】 解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】 解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】 解：根据题意得，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）在函数中，自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式有意义的条件这一知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，分母不为0列出不等式求解． 【详解】 在函数中，因为分式的分母不能为0， 所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】 略 13．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）函数的定义域是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负；根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 函数的定义域是， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】x≠7． 【分析】 根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】 解：由有意义，得 x-7≠0， 解得x≠7， 故答案为：x≠7． 【点睛】 本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）函数 中，自变量x的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 且 【分析】 根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负且分母不为零的条件，分别求出各部分中 的取值范围，再取交集．本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点是分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．解题中用到的方法是条件分析法，分别明确每个部分的限制条件后综合结果．解题关键是注意 “二次根式在分母” 时，被开方数需同时满足 “大于0”（分母不为0）．易错点是混淆被开方数的条件（误将 “” 写成 “”），或遗漏分式分母不为0的条件． 【详解】 对于函数 ， 要使分式 有意义，需分母 ，即 ； 要使分式 有意义，需分母 ，且二次根式被开方数 ，但由于分母不能为零，因此 ，即 ． 综上，自变量 的取值范围为 且 ． 故答案为： 且 ． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为　　　　　　　　（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质．当时，随的增大而增大，这数是一个开口向下且对称轴为轴的抛物线，这个抛物线的解析式可以是 【详解】 解：二次函数开口向下，对称轴为轴， 二次函数当时，随的增大而增大， 故答案为： ． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．根据二次函数图象的平移方法：左加右减，上加下减，由此可求解问题． 【详解】 解：将二次函的图象沿x轴方向向右平移2个单位，平移后的函数解析式为； 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）将函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 抛物线的顶点坐标为（0，0），则把它向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（3，4），然后根据顶点式写出解析式． 【详解】 解：把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查抛物线顶点坐标的求解，熟练掌握抛物线顶点式的性质是解题关键．利用抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）二次函数的最小值为（       ） A.  B. 5 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数顶点式的性质，由题知二次函数已为顶点式，直接由顶点坐标可得最小值． 【详解】 ∵ 二次函数为顶点式， 其中，，， ∴ 当时，函数取得最小值． 故选：D． 6．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的原则是关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”直接求解即可得到答案． 【详解】 解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是， 故选：A． 9．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的顶点坐标，利用二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 10．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是， 故选：C． 11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）关于二次函数   ，下列说法正确的是（  ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时， 随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 根据二次函数顶点式性质逐项分析即可． 【详解】 解：∵关于二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 12．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，包括开口方向和对称轴，比较点到对称轴的距离来判断函数值的大小，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，二次函数 ，开口向上，对称轴为， ∴点离对称轴越近，函数值越小， ∵点，，在二次函数上 则，， ∵， ∴ ， 故选：C． 13．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（       ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与y轴交于正半轴 D. y有最大值，最大值为 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】 解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新的抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可． 【详解】 解：根据平移法则得新抛物线的解析式为： ． 故选：C． 15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）二次函数的顶点坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的顶点坐标．根据二次根式的顶点式“的顶点坐标为”直接写出顶点坐标即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标为． 故选：C． 16．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】 解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度， 所得到的抛物线为． 故选：D． 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 当时y随x的增大而减小 D. 图象向右平移1个单位长度得到 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 利用二次函数的性质和抛物线平移规律解答． 【详解】 解：对于选项A，二次函数对称轴为，故不符合题意； 对于选项B，顶点坐标为，故不符合题意； 对于选项C，由于抛物线开口向下，且对称轴是直线，所以当时，y随x的增大而减小，故符合题意； 对于选项D，图象向右平移1个单位长度得到，即，故不符合题意； 故选：C． 18．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规则：上加下减、左加右减是解题的关键． 根据平移规律，依次代换即可求解． 【详解】 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 故所得抛物线为． 故选：A． 19．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向下平移个单位长度后的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图像与几何变换，根据“上加下减”的规律进行解答即可，熟知函数图像平移的规律是解题的关键． 【详解】 解：∵向下平移个单位长度， ∴新解析式为， 故选：． 20．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】 解：由， 根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）， 可知顶点坐标为（-1，3）． 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 21．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减，”的规律进行解答即可，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线的图象与性质，熟记抛物线的图象与性质是解决问题的关键． 识别二次函数顶点式，根据二次函数顶点式直接得到抛物线的顶点坐标即可得到答案． 【详解】 解：抛物线是顶点式，则顶点坐标是， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）二次函数的顶点坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接根据二次函数顶点式写出顶点坐标． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点为． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）将向下平移2个单位，再向左平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】 ∵将向下平移2个单位再向左平移2个单位 ∴可得，即． 故答案为． 【点睛】 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 25．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律，左右平移时横坐标左加右减，上下平移时纵坐标上加下减，逐步应用平移规则求解即可． 【详解】 解：原抛物线解析式为， 先向左平移2个单位，根据左加右减，得， 再向上平移3个单位，根据上加下减，得， 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：； 再向上平移5个单位长度，得：， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的平移，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可． 【详解】 解：由函数平移口诀“左加右减，上加下减”可得， 平移后的函数解析式为． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）将抛物线的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平移改变y坐标，向右平移改变x坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可． 【详解】 解：原抛物线的顶点坐标为，先向上平移3个单位，顶点坐标变为，再向右平移1个单位，顶点坐标变为． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是　　　　　　　　 （填“<”、“>”或“=”）． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是． （1）若二次函数，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______． （2）将“特征数”是的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． （3）在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长． 【答案】（1）【2，4，6】     （2）     （3），14      【分析】 （1）根据“左加右减，上加下减”，得出，再结合“特征数”的定义，即可作答． （2）因为函数的“特征数”是，所以这个函数是 ，再结合图象向上平移2个单位，所以 ，即可作答． （3）依题意，分别求出，；因为证明四边形是平行四边形，运用勾股定理列式，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 结合定义：得出对应的函数“特征数”是【2，4，6】， 故答案为：【2，4，6】； (2) 小问详解： 解：∵函数的“特征数”是， ∴这个函数是 ， ∵图象向上平移2个单位， ∴， ∴这个新函数的解析式是， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：依题意，如图所示： ∴把分别代入， 得，， 则； ∴把分别代入 ， 得，， 则； 则 ∴四边形是平行四边形 则 ∴以、、、四点为顶点的四边形的周长是． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，新定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 32．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）将抛物线：向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先把函数解析式变为顶点式，再根据条件平移即可； 【详解】 ， 向下平移3个单位得：， 再向右平移4个单位得：． 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键． 33．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】 解：设，，， ∵抛物线沿直线向上平移， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得，， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y1＜y2 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y1＜y3 【答案】B 【分析】 由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断． 【详解】 ∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣， ∴当x＞时，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是，而， ∴y3＜y1＜y2． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，要比较二次函数值的大小，关键是掌握二次函数的性质． 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断． 【详解】 解：∵若，分别是抛物线上的两个点， ∵对称轴为，开口向下， ∴，故① 正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴； ∴；故② 正确； ∵对称轴为，开口向下， ∴当时，为最大值 ∴ ∴，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴ 由图象可得，当时， ∴ ∴，故④正确； 综上所述，正确的说法是：① ② ③ ④． 故选D． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）随着科技的发展，新能源汽车逐步替代了燃油汽车，如图，、分别表示燃油汽车和新能源汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比新能源汽车每千米所需的费用的2倍多1元，设新能源汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 先求出燃油汽车每千米所需的费用为元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与新能源汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得． 【详解】 解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为元， 由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与新能源汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等， 则可列方程为， 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答． 根据对称性可直接求出坐标． 【详解】 解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴是直线， ∴抛物线与轴的两个交点关于直线对称， ∴， 解得：， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故选：D． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【详解】 ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0． ∴＜0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选C． 7．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【分析】 求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 8．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知是非零实数，在同一直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出两个函数的交点即可判断． 【详解】 解：令， ∴， 解得：， ∴两函数有且只有一个交点， 选项中只有A图符合， 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的图像，本题的关键是能够求出两个函数的交点． 9．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知二次函数的图像如图所示，则下列选项中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抛物线与y轴的交点，判定；抛物线与x轴有两个不同的交点，则判定；设抛物线与x轴正半轴交点横坐标为，则，从而判定即；当时，，当时，，且结合抛物线开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，判定． 【详解】 根据抛物线与y轴的交点，判定， 故A错误，不符合题意； 抛物线与x轴有两个不同的交点， 则， 故B错误，不符合题意； 设抛物线与x轴正半轴交点横坐标为，则， 所以即； 故C错误，不符合题意； 当时，， 当时，，且， 因为抛物线开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大， 所以． 故D正确，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题考查了抛物线的图像及其性质，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和增减性是解题的关键． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由两个函数与y轴的交点是关于x轴对称的，由此确定A选项与C选项不正确；当时，一次函数经过一、三象限，二次函数的开口向上，可求确定D选项不正确． 【详解】 解：∵一次函数与y轴的交点，二次函数与y轴的交点为， ∵b与互为相反数， ∴A与C选项不正确； 当时，一次函数经过一、三象限，二次函数的开口向上，D选项不正确； 故选：B． 【点睛】 本题考查一次函数与二次函数的图象；熟练掌握函数图象的特点，能够通过函数的交点情况、二次函数开口方向、一次函数图象经过的象限情况综合分析解题是关键． 11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）二次函数，当时，y的取值范围是什么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把二次函数解析式配方后，根据抛物线在所给范围内的增减性质即可确定y的取值范围． 【详解】 ∵ ∴抛物线的对称轴为直线x=−3，顶点坐标为(−3，8) ∵二次项系数−2<0 ∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大 ∵x=−4时，y=6 ∴6≤y≤8 当时，函数值y随自变量x的增大而减小 ∵x=0时，y=−10 ∴−10≤y≤8 综合之，当时， 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键，但一定要注意，所给自变量的范围是在对称轴的左边还是右边或者对称轴两边均有．本题则既要考虑对称轴左边的情况，又要考虑对称轴右边的情况． 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的增减性．根据，两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断与的大小关系． 【详解】 解：∵抛物线过，两点， ∴抛物线的对称轴为， ∵，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ∵，， 比较可知C点比点D离对称轴远， ∴对应的纵坐标值小， 即， 故选：C． 13．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入解析式，然后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵点、 在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． 14．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象可得出的正负，结合二次函数与轴的交点情况即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 只有选项B符合题意， 故选：B． 15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（       ） A. 5 B. 7 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】 解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（       ） A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 【答案】D 【分析】 本题主要考查从函数图象中获取有用信息的能力，求出小海变速前的速度为，可得小海变速后的速度为，加速后所用时间为，再列式计算即可． 【详解】 解：小海变速前的速度为， ∵小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍， ∴小海变速后的速度为， ∵， ∴小海在超市购物用了； 故选：D． 17．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）若点，，三点在抛物线的图象上则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是能够根据点到对称轴的距离比较点的纵坐标的大小，即当抛物线开口向上时，距离对称轴越近则点的纵坐标越小；当开口向下时，距离对称轴越近则点的纵坐标越大． 先求出函数的对称轴，再根据三个点与对称轴的距离，结合开口方向确定三点纵坐标的大小． 【详解】 解：抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，且开口向下， ，，， 点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：， ∴顶点为C，则最大， 除顶点C外，到对称轴距离最近的是点B，其次是A， ， 故选A． 18．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤； ③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 ① 由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论① 错误； ② 利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-，结论② 正确； ③ 由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③ 正确； ④ 由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④ 正确． 【详解】 ：① ∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）， ∴-=1， ∴b=-2a， ∴4a+2b=0，结论① 错误； ② ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）， ∴a-b+c=3a+c=0， ∴a=-． 又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴-1≤a≤-，结论② 正确； ③ ∵a＜0，顶点坐标为（1，n）， ∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c， ∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③ 正确； ④ ∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点， 又∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点， ∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④ 正确． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当时，．正确的序号为（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查动点问题及函数图象，平行四边形的判定与性质，根据图象得出是解题关键． 根据函数图象得时，面积最大为10，确定，再结合题意依次计算判断即可． 【详解】 由函数图象可知，当时，点与点重合， ∵点的运动速度为每秒1个单位长度， 四边形为矩形， ， 当时，， 解得， ，故结论① 正确； 点的运动速度为每秒2个单位长度， 当时，， ， ，故结论② 错误； 当时，点的运动路径长为6， 点在边上， ， ，故结论③ 正确； 当时，点的运动路径长为， 点在边上， 四边形为平行四边形， ，故结论④ 正确． 故选C． 20．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故① 正确；将点，代入，得出：，再求出，故② 不正确；根据函数图象可得，故③ 正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④ ，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【详解】 解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故① 正确； 将点，代入得出： ， 得出：， ∴， 再代入得出：，故② 不正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③ 正确； ④ ∵， ∴， 当时，取得最大值，最大为 当或时，取得最小值为 ∴当时，，故④ 错误， ⑤点，在抛物线上，且， 当时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴，故⑤ 正确 正确的个数是3个， 故选：B． 21．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断① ；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断② ；当时，，得到，再结合和，即可判断③ ；当时，有最小值即可判断④ ；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤ ． 【详解】 解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故① 错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故② 正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③ 正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④ 正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤ 错误； 综上所述，正确的结论② ③ ④ ． 故选：C． 22．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：① 由抛物线的开口向下知，故① 错误； ② 由对称轴为， ∴， ∴，则，故② 正确； ③ 由图象可知，当时，，则，故③ 正确； ④ 从图象知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④ 正确； ⑤ 由图象可知，当时，，则，故⑤ 正确； 综上，② ③ ④ ⑤ 正确，共4个． 故选：D． 23．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可，熟练掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解决此题的关键． 【详解】 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，① 正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，② 正确； ∵， ∴，③ 错误； ∵时，， ∴，④ 正确； 根据抛物线的对称性可知，当时，， ∴，⑤ 正确， ∴正确的有① ②④⑤ 共4个， 故选：D． 24．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四 象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除； 故选． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系． 25．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y12；⑤b>m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（       ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【分析】 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；通过点，和点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ， ，所以②正确； 抛物线经过点， 时，， ，所以③错误； 点，离对称轴要比点，离对称轴要远， ，所以④正确． 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最大值， （其中， （其中， ， ， ，所以⑤正确； 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 本题考查了一次函数与二次函数的图像与性质，根据一次函数与二次函数的图像与性质逐一判断即可，掌握一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键． 解：、根据图像可得一次函数中，由此判断需经过第一、二、四象限，不符合题意；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第二、三、四象限；二次函数中，，此选项不符合题意； 、根据图像可得一次函数中，经过第一、二、四象限；二次函数中，，此选项符合题意； 故选：． 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）将抛物线向左平移一个单位长度后得到抛物线解析式为，则的值为（       ） A. 9 B. 17 C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解析式即可解答．抛物线向左平移一个单位，解析式中的被替换为，通过比较系数求出、、的值，再计算． 【详解】 解：将抛物线向左平移一个单位后，解析式为， 展开得， 又平移后解析式为， ，，， ，， ， 故选：C． 28．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断． 【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上， ∴x=ax2+bx+c， ∴ax2+（b-1）x+c=0； 由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根． ∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点， 又∵-＞0，a＞0 ∴-=-+＞0 ∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0， ∴A符合条件， 故选A． 29．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 当抛物线对称轴在y轴右侧时，， ，符号不同， 当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方， 当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方， 故选：B． 30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要综合考查一次函数图象与二次函数图象，解题的关键在于熟练掌握函数图象的性质．根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】 解：A. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； B. 由二次函数图象知，，；由一次函数图象知，，故不符合题意； C. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故符合题意； D. 由二次函数图象知，，，根据对称轴符号 “左同右异”，可得对称轴在轴右侧；由一次函数图象知，，故不符合题意． 故选：C 31．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（                 ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】 A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 32．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①抛物线的开口向上， 与轴的交点为在轴的负半轴上， 对称轴为， 同号，即， 故① 错误； ② 当时，函数值为2， 故② 正确； ④ 当时，， 又， 故④ 正确； ③对称轴， 解得：， 由④ 得 故③ 错误； 综上所述，其中正确的结论是② ④ ； 故选：D． 33．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②图象上有两点和，若，且，则一定有；③；④若方程没有实数根，则；正确的是() A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 ①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；② 由抛物线开口向下，对称轴为，，，得在的右侧，分与两种情况讨论求解即可；③ 由抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得，根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出，据此判断即可；④ 根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可． 【详解】 解∶∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴，抛物线与轴的另一个交点在点和之间，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴，故① 错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为，，， ∴在的右侧， 当时， ∴在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴， 综上所述，故② 正确； ∵抛物线的对称轴， ∴， ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴， ∴， ∴， 故③ 正确； ∵的最大值是， ∴方程没有实数根，则， 结论④ 正确． 综上，可得正确结论的序号是∶② ③ ④ ． 故选∶B． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图像及性质以及二次函数与一元二次方程的关系． 34．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间，下列结论：①；②；③；④．正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，函数图象对称性性质的使用，解题关键是找到各个系数与顶点坐标之间的关系． 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】 解：① ∵函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧，a与b异号， ∴， ∵函数图象与y轴交负半轴， ∴，故，故① 正确； ② ∵抛物线与x轴的一个交点，顶点为， ∴，， 即抛物线线与x轴的一个交点为， ∵ ∴， ∴， ∴，故②正确； ③ 当时，， ∴，故③ 正确； ④ ∵B点关于对称轴对称点为， ∴当时， ， ∵顶点坐标，对称轴， ∴， ∴B点关于对称轴对称点为， ∴当时， ，得， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故④ 错误． 综上所述，正确的有3个。 故选：C． 35．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断① ；根据对称轴x= - 2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③ ；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④ . 【详解】 解：① 观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0， 故① 错误 ②∵对称轴为直线x= - 2 ，OA＝5OB，可得OA=5 ，OB=1 ∴点A（－5，0），点B（1，0） ∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c= 0 ∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0 故②正确 ③ 抛物线的对称轴为直线x=- 2，即       ＝－2 ∴b＝4a ∵a＋b＋c＝0 ∴ 5a＋c＝0 ∴c＝－5a ∴9a＋4c＝－11a＜0， 故③ 正确 ④ 当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c， 当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c 整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a， 故④正确 故选C 【点睛】 本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系． 36．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（       ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 对于①，求出函数与坐标轴的交点坐标即可判断；对于②和③，根据函数图象判断即可；对于④，根据函数的对称轴即可判断；对于⑤，由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，再结合图象即可判断． 【详解】 解：对于①，， 由，得， 函数的图象与轴的交点为， 由，得， 即， 因式分解，得， 或， 解得，， 函数的图象与轴的交点为，， 函数的图象与坐标轴的交点为，，，故①正确； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误； 对于③， 函数的图象与轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为， 当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确； 对于④ ：函数图象的对称轴为，， 若在函数图象上，则也在函数图象上，故④正确； 对于⑤ ：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象可知，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有① ③ ④． 故选：D． 37．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若抛物线的顶点与原点的距离为5，则c的值为（       ） A. 5 B. 9 C. 5或13 D. 9或13 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据题意用c表示出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再根据勾股定理列方程求解c的值即可． 【详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， 其中, ， ∴顶点横坐标，顶点纵坐标， 即顶点为， ∵顶点到原点的距离为5， ∴， 即， ∴或， 故选：C． 38．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点的横坐标在0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的图象开口向下，图象与y轴交于正半轴，顶点的坐标为，及与x轴交点的横坐标在0和1之间，再结合二次函数的性质，进而逐个判断即可得解． 【详解】 解：① ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在正半轴上， ∴， ∴， 故① 正确； ② ∵当时，， ∴， 由① 知， ∴， 故② 错误； ③ ∵，，， 又∵抛物线开口方向向下， ∴若抛物线经过点，点，则， 故③ 正确； ④ ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下， ∴， 故④ 正确； 由题意，过，， ∴可以作图如下： ∴关于x的不等式的解集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集是， 故⑤ 错误． 综上所述，正确的有① ③ ④ ，一共3个． 故选：C． 39．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，其中，，对称轴为，则下列结论：①；②（为任意实数）；③方程的两根为，；④．其中正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，包括对称轴、函数值、方程的根以及函数图象与系数的关系．解题的关键是熟知二次函数的对称轴公式、函数图象的性质以及方程的根与函数图象的关系． 对于① 根据对称轴公式为，以及对称轴为，即可得出结论； 对于② 根据对称轴为，函数图象开口向下，所以当时，二次函数取得最大值，对任意实数，有，可得，将该不等式进行变形，即可得出结论； 对于③ 方程的根就是二次函数与直线交点的横坐标，因为二次函数过点，结合对称轴为，可得该二次函数过另一点，由此得出结论； 对于④ 根据二次函数的图象经过点，所以，又因为对称轴为，且图象经过点，，可得，结合图象，即可得出结论． 【详解】 对于二次函数，其对称轴公式为，已知对称轴为，则，变形可得，故①错误； 因为对称轴为，函数图象开口向下，所以当时，二次函数取得最大值，最大值为，对于任意实数，，则，两边同时减去，得到，故②正确； 方程的根就是二次函数与直线交点的横坐标，因为二次函数过点，且对称轴为，所以另一个交点的横坐标为，即方程的两根为，，所以③正确； 已知二次函数的图象经过点，所以，又因为对称轴为，且图象经过点，，根据二次函数图象的对称性，与轴的另一个交点的横坐标满足，，由，可得，那么，因为，所以，结合图象，当时，，所以④正确． 综上所述，② ③ ④正确，正确的结论有个． 故选：． 40．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点坐标，判断出的符号，即可判断A选项；当时，将代入即可得到b与a的关系，即可判断B选项；根据直线与抛物线的图象有两个交点，即可得,求出x值，在根据交点在图中位置，得到，即可判断C选项；先根据交点在右边，得到,即可得到，在通过根于系数关系判得，再根据，即可得到，即可判断D． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ． ∵抛物线对称轴是直线， 且. ∵抛物线与y轴交于正半轴， ． ， 故A错误； 由图象可知：当时． ． 即． ．即 故B正确； 直线与抛物线的图象有两个交点， , 得． 由图象知， ， ∴C错误； , ． ∵交点在右边， , , ， ， ， , ， ， ， ． ∵直线经过一、二、四象限， ． ， ∴点A的坐标为． 直线当时，， 可得． ， 故D错误． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的性质，二次函数的图象与系数的关系以及一次函数的性质是本题的重点． 41．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断① ，根据顶点坐标求得最值，即可判断② ，把代入，得，故③ 正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④ 错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤ 正确． 【详解】 解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 42．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）二次函数的图象的顶点坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 43．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】x≥-3且x≠0 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】 解：根据题意得：x+3≥0且x≠0， 解得x≥-3且x≠0． 故答案为：x≥-3且x≠0． 【点睛】 本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 44．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）在y轴上画出点P，使最小． 【答案】（1） 如图所示：，即为所求；      （2）     （3）如图      【分析】 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据分割法即可求得的面积； （3）连接与y轴的交点为P，可使最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积为：； 故答案为：6.5； (3) 小问详解： 连接与y轴的交点为P，P点即为所求． 【点睛】 本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】x≠4． 【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故答案为x≠4． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键． 46．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点． （1）求和的值； （2）若点，，是该抛物线上的点，请比较，与的大小，并说明理由． 【答案】（1），     （2） 由（1）得抛物线为：， ∵点，，是该抛物线上的点， 即点，，是该抛物线上的点， ∴，， ， ∴．      【分析】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的求解二次函数的性质是解本题的关键； （1）把点分别代入两个函数解析式建立方程组即可求解； （2）把点，，分别代入抛物线的解析式计算函数值，可得函数值的大小． (1) 小问详解： 解：∵二次函数与一次函数的图象相交于点． ∴ ， 解得： ， (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，已知二次函数过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； 【答案】（1）     （2）平移后函数的解析式为，顶点坐标为      【分析】 本题考查了二次函数图像的性质、待定系数法、二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据平移方式将平移后的解析式写出，用配方法即可求出其顶点坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入二次函数解析式，有： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：平移后的函数解析式为： ， 化简得：， ， ∴顶点坐标为：； 综上，平移后函数的解析式为，顶点坐标为． 48．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下：那么当时，的取值范围为　　　　　． …… -1 0 1 2 3 …… …… 10 5 2 1 2 …… 【答案】或 【分析】 根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出时，，然后再判断出开口方向，写出时，的取值范围即可． 【详解】 解：根据表格可知，二次函数对应抛物线图像的对称轴为直线，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查二次函数的基本性质，解题关键在于判断出抛物线的对称轴以及开口方向. 49．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）已知函数 ，若，则x的值为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了函数值的概念，把代入两个函数解析式求解的值再检验即可． 【详解】 解：由题意可得，， ∴， 解得：，符合题意， 当， 解得：，符合题意； 综上：，则x的值为或， 故答案为：或． 50．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为　　　　　． x …                         1 5 … y … 0 5 9 5         … 【答案】 【分析】 该题考查了二次函数的对称性，由函数值表可知，和时值相等，确定对称轴为；点和的横坐标关于对称轴对称，故y值相等． 【详解】 解：由表格数据，当时时，根据二次函数图象的对称性， 对称轴为． 点和的横坐标平均值， 即两点关于对称轴对称， 因此． 故答案为：． 51．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　．（请按从小到大的顺序排列） 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．分别计算出函数值求解即可． 【详解】 解：∵，，为二次函数的图象上的三点， ∴，，， ∴， 故答案为． 52．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 53．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 　　　． 【答案】﹣1 【分析】 把解析式配方化成顶点式，顶点的纵坐标即为最值． 【详解】 解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为x＝1， ∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点睛】 本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键． 54．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，，分别代入进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵抛物线 经过点，， ∴ ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 则， ∴抛物线的顶点坐标为． 55．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知二次函数y=﹣x2+2x+3． （1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标； （2）当x取何值时，函数值最大？ （3）当y＞0时，请你写出x的取值范围． 【答案】(1) 、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2) 、x=1；(3) 、﹣1＜x＜3． 【详解】试题分析：(1) 、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2) 、(3) 、利用二次函数图象性质作答． 试题解析：(1) 、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴图象顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，有﹣x2+2x+3=0 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； (2) 、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值最大；(3) 、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3． 考点：(1) 、抛物线与x轴的交点；(2) 、二次函数的最值． 56．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． （3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）时，有最大值，最大值为，点的坐标为     （3）存在，点的坐标为或或或      【分析】 （1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点、， ∴ ，解得， ， ∴该抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，过点作轴交于点， 设所在直线的解析式为：，过点， ∴，即所在直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 解：抛物线的表达式为，点的横坐标为， ∴，即，且， ① 如图所示，四边形为平行四边形， ∴，且， ∴点的纵坐标为，，解得，，， ∴点的坐标为， ∴， 设点， ∵， ∴，则，即； ② 如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于， ∴，，， ∴， ∴，且,设，， ∴，解得，，， 当时，，即，则；当时，，即，则， ∴点的坐标为或； ③ 如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴设，则， ∴，即点的坐标为； 综上所示，点的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 57．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）函数 ，其中是常数且，该函数的图象记为G．直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则a的取值为　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数图象综合判断，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由图象可知，不论哪种情况，要使直线与该函数图象恰好只有两个交点，则直线必过顶点，据此建立方程，解方程即可求出a的取值． 【详解】 解：顶点为， 顶点为， 图象有两种情况，如图： 不论哪种情况，要使直线与该函数图象恰好只有两个交点， ∴直线必过顶点， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 58．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）二次函数的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 考查二次函数的性质（顶点式求最值）．解题关键是利用二次函数顶点横坐标公式确定最值点，代入函数求最值；易错点是记错顶点横坐标公式，或代入计算时符号出错． 首先对于二次函数（时函数有最小值），先通过公式计算顶点横坐标；其次将、代入公式，得；最后把代入原函数，计算得y的值，即为函数的最小值． 【详解】 二次函数的顶点横坐标为，代入函数得 ，故最小值为． 故答案为：． 59．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点C． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用-面积问题： （1）将点、代入得到关于、的方程，解方程即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得到答案； （3）令，求得点的坐标，可得，再根据三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的图象与轴交于、两点， ， 解得： ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的解析式为， 该抛物线的顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：令，则， 点C的坐标为，即， 又点， 的面积． 60．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点，，，均在抛物线上，则、、的大小关系是_____． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴，比较各点与对称轴的距离，由于抛物线开口向上，距离对称轴越远的点值越大． 【详解】 解：抛物线的二次项系数，因此抛物线开口向上． 对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由于抛物线开口向上，y值随点到对称轴的距离的增大而增大，， 所以． 61．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，若在其中一段抛物线上，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【详解】 解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得． ∴的解析式与x轴的交点坐标为，，且图象在x轴下方， ∴的解析式为：， 当时，． 故答案为：． 62．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）作抛物线关于轴对称后经过点，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，坐标与轴对称，根据作抛物线关于轴对称后经过点，则原图象经过点关于轴对称的点，即经过点，代入函数解析式，得到，进而得到，整体代入法求值即可． 【详解】 解：∵作抛物线关于轴对称后经过点， ∴原图象经过点关于轴对称的点，即经过点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 63．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在菱形中，，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边、向点运动．给出以下四个结论：①②③当点E、F分别为边、的中点时，是等边三角形④当点E、F分别为边、的中点时，的面积最大．上述结论中正确的序号有　　　　　　　　．(把你认为正确的序号都填上) 【答案】① ② ③ 【分析】 根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号． 【详解】 解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边、向点C运动， ， ，， ， ，①正确； ， ，②正确； ∵在菱形中，， ， 是等边三角形， ∴当点E，F分别为边、的中点时，，， 和是直角三角形，且， ， 是等边三角形，③正确； 的面积菱形的面积的面积的面积的面积 ， 的面积是的二次函数， ∴当时，的面积最大，④错误． 故正确的序号有① ② ③． 【点睛】 本题考查菱形的性质，二次函数的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质；由菱形的性质得线段相等是解题的关键． 64．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知直线分别交轴，轴于，两点，抛物线两点，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合），点是抛物线的顶点．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出的面积． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式求法、二次函数的图象与性质以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和面积割补法是解题的关键． （1）先求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再将其代入抛物线解析式，通过解方程组求出抛物线的系数，从而得到解析式． （2）先求出抛物线与轴的另一个交点的坐标和顶点的坐标，然后通过割补法（如利用梯形、三角形面积公式）计算出的面积． (1) 小问详解： 解：对于直线，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 将、代入抛物线得 ， 将代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴． 又， ∴顶点． 过作轴于， ． 65．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点、、、…、在y轴的正半轴上，点、、、…、在二次函数位于第一象限的图象上．若、、、…、都为等边三角形，则的边长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与特殊的三角形综合，等边三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数与特殊的三角形综合，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，分别过、、作轴的垂线，垂足为，设，均大于0，由、、是等边三角形，可得，，，即，将代入得，可求满足要求的解为，即；同理可求；；进而可得的边长为． 【详解】 解：如图，分别过、、作轴的垂线，垂足为，设，均大于0， ∵、、是等边三角形， ∴，，， ∴， 将代入得， 解得，或（舍去）， ∴； ∴， 将代入得， 解得，或， ∴； ∴， 将代入得， 解得，或（舍去）， ∴； …… ∴的边长为， 故答案为：． 66．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知抛物线的函数关系为，则该抛物线的顶点坐标为　　　　　　（用含a的代数式表示）；若该抛物线与线段有两个公共点，则a的取值范围为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由，可得顶点坐标为：；求解函数与轴的交点坐标分别为：，，抛物线与轴的交点坐标为：，再分两种情况讨论：当时，如图，函数图象与直线在只有1个交点或没有交点，不符合题意，当时，如图，函数图象与直线在有2个交点，可得 ，从而可得答案． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为：； 令，则， 解得：，， 函数与轴的交点坐标分别为：，， 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为：， 当时，如图，        ∴函数图象与直线在只有1个交点或没有交点，不符合题意， 当时，如图，    ∵函数图象与直线在有2个交点， ∴ ， 解得：； 故答案为：， 【点睛】 本题考查的是二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 67．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 【答案】（1）5m；（2）m2 【分析】 （1）根据AB为xm，则BC=（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，解方程可求出x即可； （2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，然后运用二次函数求最值即可． 【详解】 解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m， （1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立， ∴AB长为5m； （2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10， ∴≤x＜8， ∵对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝m，有最大面积的花圃， 即：x＝m， 最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出一元二次方程和函数解析式是解答本题的关键． 68．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】（1）点，点     （2）①（）， ②当时，四边形为平行四边形，理由： ∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③当或时，为直角三角形      【分析】 题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③ 由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． (1) 小问详解： 解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． (2) 小问详解： ①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ② 略 ③ ∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 69．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 　　　　　　．（从小到大排列） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 由于二次函数开口向下（），点和点纵坐标相同，故它们关于对称轴对称，可求对称轴为直线．点在对称轴上，故为最大值．点到对称轴的距离大于点或到对称轴的距离，故．因此大小关系为． 【详解】 由二次函数可知，抛物线开口向下． ∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． ∴点在对称轴上，故为函数的最大值． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，由于抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴． 综上，． 故答案为：． 70．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，且最小值为1． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点，在图象上，比较与的大小． 【答案】（1）     （2）当时，；当时，；当时，．      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出二次函数解析式，并使用差减法比较两个函数值的大小． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出、，并计算的值，再根据的结果来判断与的大小． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线，且最小值为1， ∴顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴设该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，． 71．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，已知二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接，． （1）求a的值； （2）点P为第一象限抛物线上一点，连接、，交y轴于点F，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；（不写自变量取值范围） （3）在（2）的条件下，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两垂线相交于第一象限内点D，交抛物线于点E，延长交于点H，点X为线段上一点，连接、，过点H作x轴的垂线与相交于点Z，，当时，求所在直线的函数解析式． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式等知识． （1）先求出点C的坐标，，再根据正切的定义求出，点A的坐标，把点A的坐标代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）过点P作两坐标轴垂线，垂足分别为R，T，先得出四边形为矩形，与矩形的性质得出，由同角的正切值得出，进一步得出，最后根据代入求解即可． （3）延长DC至点Q，使，连接，，由全等三角形的性质得出，设，由平行线的判定和性质得出，，再证明设，则，根据抛物线对称性，点C和点E关于抛物线的对称轴直线对称求出点E的坐标，由勾股定理求出n的值，进一步求出点H和点X的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可． (1) 小问详解： 解：由，当时，， ∴，， 在中：由， ∴， ∴， 把点代入， 得：； (2) 小问详解： 解：过点P作两坐标轴垂线，垂足分别为R，T， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 在和中： ， ∴， 又，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：延长至点Q，使，连接， 由，令，得， 解得：或， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，又由轴， ∴轴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， 在中：， ∴在中，， ∴， ∴， 设，则， 根据抛物线对称性，点C和点E关于抛物线的对称轴直线对称， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中：， 即：， 解得或（舍） ∴，， ∴， ∴，点， 设直线的函数解析式为， 则 ， 解得 ， 则直线的函数解析式为：； 72．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或．      【分析】 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； (2) 小问详解： 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得 ， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ① 如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ② 如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 73．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0， 5），B（－1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F． ①求点F的坐标； ②求四边形ADEF的面积； （3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①F（，）；②；（3）M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）． 【分析】 （1）可将抛物线的解析式设成交点式，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式． （2）①可先求出直线OE的解析式，然后将直线OE与抛物线的解析式联立，组成方程组，解这个方程组就可得到点F的坐标； ②只需运用割补法就可求出四边形ADEF的面积． （3）可分AE是平行四边形的对角线和一边这两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质就可解决问题． 【详解】 解：（1）如图1， 由于抛物线经过点B（﹣1，0），C（5，0）， 因此该抛物线解析式可设为，把A（0，5）代入，得， 解得：，∴； （2）①如图2， ∵抛物线的对称轴，点A（0，5）和点E关于抛物线对称轴对称， ∴点E的坐标为（4，5）， ∴直线OE的解析式为， 解方程组 ，得 ，或 ， ∴点F坐标为（，）； ② ∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为（2，9）， ∴S四边形ADEF=S△ADE+S△AEF=×4×（9﹣5）+×4×（5+）=； （3）①若AE是平行四边形的对角线，如图3①， 则点M在对称轴上，即在顶点D处，此时点M的坐标（2，9），点N的坐标为（2，1）； ②若AE是平行四边形的一边，如图3①， 则有MN=AE=4，∴点M的横坐标为﹣2或6． Ⅰ．当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）2+4×（﹣2）+5=﹣7， 此时点M的坐标为（﹣2，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）； Ⅱ．当x=6时，y=﹣62+4×6+5=﹣7， 此时点M的坐标为（6，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）． 综上所述：符合要求的点M、N的坐标为 M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）． 74．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）求出当的面积为3时，的值； （3）在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）的值为     （3）或或或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：① 当时， ② 当时， ③ 当时，三种情况分别讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． (3) 小问详解： 解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ① 当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ② 当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③ 当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 75．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在点，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； (3) 小问详解： 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ① 如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ② 如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③ 如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 76．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，且点的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 【答案】（1），；     （2）存在，的面积的最大值为；     （3）存在，，是定值， 设，， ， 直线， ，则， ， ， 整理得：， 由恒成立，则方程的解与无关， ，解得：， ， 设， ， 直线， ， ， ，即符合题意； ，，， 设的直线为， ，解得：， 同理为， ，解得：， ， 整理得：， ， ，则， ，， ．      【分析】 （1）把代入，再解方程可得答案； （2）如图，连接、、、，由抛物线和抛物线与轴有着相同的交点，并且开口方向相同，可设抛物线的解析式为：，再求解抛物线的解析式为，可设点的坐标为两条，再建立函数关系时，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，，可得，，结合，可得，设，证明，即符合题意；设的直线为，可得，解得，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：在抛物线的解析式中， 当时，， ， ， 解得，，， 点在点的左边， ，； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 如图，连接、、、， 抛物线和抛物线与轴有着相同的交点，并且开口方向相同， 可设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴的交点为， ， ， 抛物线的解析式为， 可设点的坐标为， ， ， 根据二次函数的图象和性质知，当时，即点的坐标为时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积问题，勾股定理的应用，二次函数与线段比值为定值问题，本题难度大，对学生要求高，灵活选用合适的方法解题是关键． 77．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）综合与探究 已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点． （1）A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）； （2）求抛物线的解析式； （3）点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大； （4）在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为     （2）抛物线的解析式为     （3）当时，的面积最大，最大值是9     （4）存在点或，使为直角三角形      【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标； （2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）过点P作轴于D，交于点E，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出，利用配方法即可解决最值问题； （4）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点Q的坐标为，则，，，分、及三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：6，0；0，； (2) 小问详解： 解：将、代入，得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： 解：过点P作轴于D，交于点E，如图1所示． 设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是9； (4) 小问详解： 解：当时，有， 解得：，， ∴点C的坐标为， 设点Q的坐标为， 则，，， 分以下三种情况讨论： 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 方程无解． 综上所述：在直线上存在点或，使为直角三角形． 【点睛】 本题考查了一次、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质以及勾股定理． 78．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1）     （2）①，② 5      【分析】 （1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． (1) 小问详解： 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． (2) 小问详解： 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得 解得 ， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式 ， 解得 或 ， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 79．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 【答案】（1）     （2）2     （3）① ②或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）① 求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ② 根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得：， ∴； (2) 小问详解： 由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； (3) 小问详解： ① 当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上： ； ② ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 80．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，． （1）求的值； （2）如图2，点P为第三象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，过点作轴于，D为第二象限一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转90°，点至点，取中点，连接，当，时，求的长度． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由解析式可得，，由得，从而，代入解析式即可求解； （2）作轴于G，交直线于F，求出线的解析式，设，则，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，求出当时，S取得最大值，，证明得，作于点G，则，在中，求出，，，然后利用三角形中位线的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵ ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：如图2，作轴于G，交直线于F， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴ ， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴当时，S取得最大值， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 作于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵N是中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】 本题考查了待定系数法，解直角三角形，二次函数与几何综合，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 81．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，抛物线 与x轴交于点和点 C，交y轴于点 （1）求抛物线的解析式； （2）P是射线上的一个动点，过点 P作轴交抛物线于点 D，连接，当直线平分的面积时，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据（1）中解析式求出点C的坐标，然后求出直线得表达式，设点 P 的坐标为，则，，因此，，根据直线平分的面积，可得，因此，解出a的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：将和代入抛物线解析式，得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，， 或， 即，， 设直线得表达式为， 将点B、点D得坐标代入，得 ， 解得 ， 直线得表达式为， 设点 P 的坐标为，则，， ，， 直线平分的面积， ， ， 即， 解得或（舍去）， 点 P 的坐标为． 82．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）一辆轿车从佳市驶往哈市，同时一辆货车从哈市驶往佳市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达哈市停留一段时间后，按原路原速返回佳市；货车到达佳市比轿车返回佳市早小时，两车到达佳市后均停止行驶，两车距佳市的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息，解答下列问题： （1）轿车的速度是            千米/时，货车的速度是            千米/时； （2）求轿车距佳市的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系式； （3）请直接写出轿车出发多长时间两车之间的距离是千米． 【答案】（1），；     （2） ；     （3）轿车出发 小时或 小时或 小时，两车相距千米．      【分析】 本题主要考查了分段函数、函数图象的应用，解决本题的关键是根据函数图象找出相关信息，根据货车和轿车运动函数图象解决问题． 由函数图象可知货车到达佳市用了小时，佳市与哈市的距离是千米，可以求出货车的速度；再根据两车出发小时相遇，列方程求出轿车的速度； 根据轿车的函数图象，分段求出轿车距佳市的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系式； 分段求出两车之间的距离是千米时行驶的时间． (1) 小问详解： 解：由函数图象可知货车到达佳市用了小时， 货车的行驶速度是(千米小时)； 设轿车的速度是千米小时 由函数图象可知行驶小时两车相遇， 可得：， 解得：， 轿车的速度是千米小时， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：货车从哈市到佳市需要小时，货车到达佳市比轿车返回佳市早小时， 轿车从佳市到哈市，再从哈市返回佳市共有了小时， 又小时， 轿车在哈市停留了小时， 由可知轿车的速度是千米小时， 轿车从佳市到哈市行驶的时间是小时， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述， ； (3) 小问详解： 解：设货车行驶的路程与时间之间的关系式是， 当时，，当时，， 可得： ， 解得： ， 货车行驶的路程与时间之间的关系式是， 两车之间的距离是千米， 当时， 可得：， 解得：或； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时， 可得：， 整理得：， 解得：或， 不符合题意，舍去； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，轿车出发小时或小时或小时，两车相距千米． 83．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法将，代入，即可求解； （2）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴，， ∴直线的解析式为； 联立，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）， ， 点P的坐标为． 84．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求甲休息前的速度和乙的速度； （2）求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】（1）甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时     （2）     （3）乙车出发2小时或3小时，相距30千米      【分析】 本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； (2) 小问详解： 解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则 ， 解得 ， ∴； (3) 小问详解： 解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 85．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】 ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 86．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．过点的直线与抛物线在第一象限交于点． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．试探究是否存在一点，使线段最大．若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点是直线上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，     （2）存在，的最大值为     （3）存在，点的坐标为，或      【分析】 （1）令可求得，坐标，令可求得的坐标，设直线的函数表达式为，将，的坐标代入函数表达式即可求解； （2）设，用含的式子表示的长，再利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况讨论：① 当平行四边形对角线为和时，② 当平行四边形对角线为和时，设，，利用中点公式求解即可． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ，， 令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，的坐标代入得， ， 解得： ， ； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 设，则，， 线段上的一个动点， 在轴下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为； (3) 小问详解： 解：存在，点的坐标为，或； 设，， ，， ① 当平行四边形对角线为和时， 则 ， 解得： 或 （当时，与点重合，不符合题意，舍去） 点的坐标为； ② 当平行四边形对角线为和时， 则 ， 解得： 或 ， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为，或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 87．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，抛物线交x轴于点A和B（A点在B点的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． （1）求直线的解析式并直接写出P点坐标； （2）在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接．过点D作轴于点E，交直线于点F，设D点的横坐标为t，则点D在运动过程中，用t的代数式表示的面积S，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点D在x轴下方，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一点，当的面积S为时，若以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出N点坐标． 【答案】（1）：，     （2）当时，；当时，     （3），，      【分析】 （1）令，解一元二次方程，求出两点坐标，根据二次函数解析式求出点C，利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据二次函数性质可求其顶点P的坐标； （2）分两种情况讨论：D在x轴下方和x轴上方； （3）求出此时t的值及D的坐标，以为边和对角线，利用平行四边形的性质即可求出N； 本题考查二次函数的图象性质、一次函数的解析式的求法、平行四边形的性质等． (1) 小问详解： 解：令，解得， ∴， 由可知， 设直线， 可得 解得， ∴直线的表达式为； 对于二次函数， 其对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； ∴直线的解析式为：，顶点； (2) 小问详解： 解：由题可知，，， 当时，， ； 当时，， ； 综上，当时，； 当时，； (3) 小问详解： 解：当点D在x轴下方时，即当时，， 由得， 当时，， ∴； ① 如图，以为边的平行四边形： 当时， ，M与O重合， 由对称性可知N和D关于对称，故； ② 如图，以为边的平行四边形： 当时， 根据平行四边形对角线互相平分可知， 即， ∴， ∵N在上， ∴， 解得， ∴； ③ 如图，以为对角线的平行四边形： 根据平行四边形的对角线互相平分可知， ∴，即， 根据对称性可知； 综上所述，满足条件的N有，，． 88．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，抛物线交轴于点和（点在点的左侧），交轴于点，顶点坐标为 （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的一半？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在点或或      【分析】 （）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点的坐标，进而可得，，即得，，再利用面积法可求得点到的距离为，再分直线向上和向下两种情况平移，当平移的直线与直线的距离为时，可知抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，据此解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点到的距离为，则， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ① 当直线向上平移到直线，且直线与直线的距离为时，可知此时抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，如图，设直线与轴的交点为，过点作直线于，则， ∵直线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由 ，解得 或 ， ∴点的坐标为或； ② 当直线向下平移到直线，且直线与直线的距离为时，可知此时抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，如图，设直线与轴的交点为，过点作直线于，则， 同理① 可得， ∴， ∴，即点在抛物线的对称轴上， 同理① 可得直线的解析式为， 由 ，解得 或 （不合，舍去）， ∴点的坐标为； 综上，在轴上方的抛物线上存在点或或，使得的面积是面积的一半． 89．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； （3）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （4）当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 【答案】（1）抛物线解析式为；直线解析式为     （2）     （3）     （4）3或      【分析】 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、分类讨论思想等及圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）由题意知，四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得，即可求解； （3）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出m的值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：、， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线解析式为； (2) 小问详解： 解：由题意知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为， ∴、， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； (4) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值， 故这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 故答案为：3或． 90．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、、． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）当时，的值为______； （4）当的值最大时，的值为______． 【答案】（1）     （2）或     （3）     （4）      【分析】 （1）将点、、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点，点的坐标，根据的面积列出方程，求出的值，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质推得。结合题意得出，过点作，则，，，根据等角的余角相等得出，结合三角函数的定义得出，求得，即可列出方程，解方程求出的值，结合题意即可求解； （4）根据两点间的距离公式求出，结合二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：将点、、代入，得 ， 解得： ， 故抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为：， 将、坐标代入，得 ， 解得： ， 故直线的解析式为：； ∵点是线段上的一个动点，，点、分别是抛物线和直线上的点， 故点坐标为，点坐标为， ∴， ∵， 且，的面积为， ∴， 解得或， 当时，， 故点的坐标为； 当时，， 故点的坐标为． 故当的面积为时，点的坐标为或． (3) 小问详解： 解：根据题意可得， 即是等腰直角三角形， ∴； 当时，， 即， 过点作，则，，， ∵，， ∴， 在中，， 故在中，， ∴，， 由（2）可得点坐标为， 即， 解得或， 当时，此时点坐标为，即此时点与点重合，不符合题意，舍去； 故答案为：． (4) 小问详解： 解：由（2）可得点坐标为，， 故， 故， 即当时，的值最大． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求一次函数的解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角函数的定义，两点间的距离公式，二次函数的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 91．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）已知抛物线（a为常数，）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）如图1，当时，若点P是直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作于点H，m为多少时，的值最大，最大值是多少? （3）如图2，当时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．点D是直线上方抛物线上的一个动点，交于点E，设点E的横坐标为n，记，当n为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1），     （2）时，的最大值     （3）时，S有最大值      【分析】 （1）将解析式化为顶点式，即可得到图象的顶点坐标； （2）过点P作轴，勾股定理求出，当的值最大值，的值即最大，利用面积公式求出的值，根据二次函数的性质求解即可； （3）由和等高，则，过点D作轴交于点F，过B点作轴交于点G，由平行线的性质可得，求出直线的解析式，设，则，得到，当时，S有最大值，此时，再求出直线的解析式为，联立 ，即可求出． (1) 小问详解： 解： ， ∴顶点为； (2) 小问详解： 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴时，的面积最大，最大值为，此时的值最大， 的最大值为； (3) 小问详解： 当时，， 令，则或， ∴， ∵， ∴， 过点D作轴交于点F，过B点作轴交于点G， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值， 此时， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴， 联立 ， ∴， ∴当时，S有最大值． 【点睛】 此题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． 92．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；． （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）3     （3）有最大值12，此时点F的坐标为     （4）存在，点Q的坐标，，，      【分析】 （1）把把A(4,0)代入y=x+b，求出b值，从而求出点B坐标，然后根据OA=2OC，求出点C坐标（-2，0），设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)，把B(0-4)代入，即可求解； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出顶点坐标，即可得出点F坐标，再求出对称轴与直线AB的交点坐标，即可求解； （3）过点F作轴，交AB于点E，设点P的横坐标为t，则，则．所以，又因为，则，，根据二次函数最值求解即可； （4）分两种情况：① 当AF为正方形AFMQ的边时，② 当AF为正方形AFMQ的对角线时，分别求出点Q坐标即可． (1) 小问详解： 解：把A(4,0)代入y=x+b，得 4+b=0，解得：b=-4， ∴y=x-4， 当x=0时，y=0-4=-4, ∴B(0,-4)， ∵A(4,0)， ∴OA=4， ∵OA=2OC， ∴OC=2， ∴C（-2，0）, 设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)， 把B(0-4)代入得：-4=a(0+2)(0-4)， 解得：a=， ∴抛物线解析式为y=(x+2)(x-4)=x2-x-4； (2) 小问详解： 解：y=x2-x-4=(x-1)2-, ∵点F与抛物线的顶点重合, ∴F(1,-), 设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图， ∵A（4，0），B（0，-4）， ∴直线AB解析式为：y=x-4， 则当x=1时，y=1-4=-3， ∴E（1，-3）, ∴S△ABF=|-3|×|4-0|=3， 故答案为：3； (3) 小问详解： 解：如图，过点F作轴，交AB于点E， 设点P的横坐标为t，则， ∵直线AB的解析式为， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴当时，有最大值12， ． ∴此时点F的坐标为． (4) 小问详解： 解：过F作FE ⊥x轴于E， ∵A(4,0)，F(2,-4)， ∴AE=2，EF=4，AF=2， 如图，① 当AF为正方形AFMQ的边时，i)有正方形AFM1Q1， 过Q1作Q1N1⊥x轴于N1， ∵∠AEF=∠AN1Q1=90°，∠FAQ1=90°， ∴∠EAF=∠AQ1N1， ∵AF=AQ1， ∴△AEF≌△Q1N1A（AAS）， ∴AN1=EF=4，Q1N1=AE=2， ∴Q1（8，-2）； ii) 有正方形AFQ2M2时， 过Q2作Q2N2⊥EF轴于N2， 同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS）， ∴FN2=AE=2，Q2N2=EF=4， ∴Q2（6，-6） ② 当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P， ∵A（4，0），F（2，-4）， ∴P（3，-2） i)有正方形AQ3FM3时，过Q3作Q3G⊥x轴于G，过M3作M3H⊥x轴于H， 易证△AHM3≌△Q3GA， ∴AH=Q3G，M3H=AG， 设Q3(4+a，b)，则M3(4+b,-a)，    ∴ ，解得： , ∴Q3（5，-3），M3（1，-1） ii) 有正方形AQ4FM4时，过Q4作Q4H⊥x轴于H， 则Q3与M3重合， ∴Q4（1，-1）， 综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标，，，． 【点睛】 本题待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，正方形的判定与性质，本题属二次函数综合题目，综合性强，属中考试压轴题目． 93．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； （3）当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为        ； （4）抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为       ． 【答案】（1）     （2）当时，     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与特殊三角形、平行四边形的存在性问题，与面积的综合问题，以及涉及线段周长最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，先求出直线，设，则，则，由建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）由题意得，，当为等腰直角三角形时，只能是，设，表示出，，再建立方程求解； （4）过点作y轴的对称点，连接，则，那么，故当点三点关系时，取得最小值即为，由平行四边形得到，求出，再由勾股定理求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过点作轴交于点， 对于， 当， ∴， 设直线， 则 ， 解得 ， ∴直线， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴当时，； (3) 小问详解： 解：如图， 由题意得，， ∴当为等腰直角三角形时，只能是， 设 对于，对称轴为直线， ∴， ∴ 将代入，则， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：过点作y轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为的长， ∵平行四边形 ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 94．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）最大值为；     （3）存在，的坐标为或或或      【分析】 本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过、，． ，解得： ， ∴抛物线为：； (2) 小问详解： 如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． (3) 小问详解： 存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ① 如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ② 如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③ 如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④ 如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 95．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图1在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点G，连接、，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接、，当四边形周长取最小值时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）     （2）的最大值为，点P坐标为     （3）      【分析】 （1）将，代入函数表达式，求出和的值； （2）分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为．根据二次函数的表达式求出点C坐标为，进而求出直线的函数表达式为．根据点A和点P的坐标，计算出点D坐标为，点H坐标为，因此，．由可得，则，使用配方法求出的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）过点F作的平行线，交轴于点，连接，，四边形中，和为固定长度，因此当最小时，四边形周长最小．通过轴对称的性质和平行四边形的性质可得，，当I、F、B三点共线时，取到最小值，计算出此时点E的坐标即可． (1) 小问详解： 解：将，代入，得， ， 解得， ， ∴抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为， 将，代入，得， ∴点C坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点D坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴点H坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，取最大值， 此时点P坐标为，在直线上方，符合题意． ∴的最大值为，点P坐标为． (3) 小问详解： 解：如图，过点F作的平行线，交轴于点，连接，， ∵，，， ∴，，， 在直角中，， 四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长最小， ∵点A和点B关于对称， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点I的坐标为， 在直角中，， ∵， ∴当I、F、B三点共线时，取到最小值，此时四边形周长最小， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ， ∴直线的函数表达式为， 由抛物线对称轴公式可得，的对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点F的坐标为， ∵线段在抛物线对称轴上，长度为2，且点E在点F上方， ∴点的坐标为， ∴当四边形周长取最小值时，点E的坐标为． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题关键． 96．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴于点H，交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当的长度为最大值时，求点P的坐标； （3）在（2）问的条件下，连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接．当时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求出直线的解析式，设点，由轴于点H，可设点Q的坐标，从而得到的长度是关于p的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）根据题目条件作图，连接，过点M作轴交于点F，利用待定系数法可求出直线的解析式得到点D的坐标，从而得到的长度；设点，由轴可设点F的坐标，从而得到的长度；由得，代入计算即可求出m的值从而求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点，， ∴ ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 把代入， 得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 设点， ∵轴于点H， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 把代入， 得； (3) 小问详解： 连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接，，过点M作轴交于点F，如图． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 把代入， 得， ∴， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 把代入， 得． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，面积问题，将转化为是解题的关键． 97．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）在平面直角坐标系中，抛物线，分别交轴于A、两点，交轴于点，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第三象限抛物线上一点，连接BC、PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴，连接交于点，连接，若，且的面积等于288，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点B作于点D，交y轴于点E，求出 ，，得，得，，由，得，得，由，得，解得，，得 ，得，，即可求出抛物线的解析式为； （2）过点P作轴于点Q，由，得,即，得，得的面积为； （3）延长交y轴于点H，过点C作的垂线，过点E作y轴的垂线，两垂线交于点D，连接，证出，得，，由得，证出四边形 为平行四边形得，由面积得，，即点P的纵坐标得，代入解析式求出． (1) 小问详解： 解：过点B作于点D，交y轴于点E， 则， ∵， ∴， 对， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 化简，得， 解得（不合）或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，代入， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式的解析式为； (2) 小问详解： 解：过点P作轴于点Q， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为 ； (3) 小问详解： 解：延长交y轴于点H，过点C作的垂线，过点E作y轴的垂线，两垂线交于点D，连接， 则， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（不合）， ∴， 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正切定义，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线，是解题的关键． 98．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标，点C坐标． （1）求a、c的值； （2）如图1，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点E为抛物线顶点，轴于点F，过点P作轴于点D，与分别交于点R、H，过点H作于点G，连接，点N在的延长线上，连接分别交、抛物线于点M、Q，若，，求点Q的横坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）Q的横坐标为      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出点B的坐标，求出点P的坐标，根据求解即可； （3）求出对称轴为直线，顶点E，证明和四边形是矩形，推出；在延长线截取，连接，过A作于点W，可证明，得到，导角证明，得到，可得直线的解析式为；可证明，推出E、G、B三点共线，同理可求出直线的解析式为，设，过M作轴于点S，过N作轴于点T，证明，得到，则可推出，求出，同理可得直线的解析式为，令，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过，． ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）可知抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∵点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，且点P的横坐标为t， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点E的坐标为； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴； 如图所示，在延长线截取，连接，过A作于点W， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、G、B三点共线， 同理可求出直线的解析式为， 设 过M作轴于点S，过N作轴于点T， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴ 同理可得直线的解析式为， 令，解得（舍）或， ∴点Q的横坐标为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出，进而证明是解题的关键． 99．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求的最大值； （3）当时，点坐标为____________； （4）如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得， ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得， ，解得： ， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： 或 ∴点坐标为； (4) 小问详解： 解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： 或 ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 100．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点的坐标为，动点在抛物线上（点不与点重合），线段在轴上（在左），连接，，，且，求线段的长； （3）如图2，在（2）的条件下，点在第二象限，连接，轴，连接，，过点作，，轴，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点落在第三象限），过点作轴，连接，使得，连接，的中点恰好落在抛物线上，当时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入点A的坐标计算即可； （2）设出点C的坐标和的长度，利用抛物线的解析式和，表示出点P，从而表示出和，再根据，列方程求解即可； （3）先分别根据和，轴，求出点P和点E的坐标，从而得到，再通过，得到点的坐标，在得到坐标后，分别延长，，通过平行关系和角度关系，找到此时图中与全等的三角形，设出点G的坐标，根据全等三角形的性质，和30°，60°的特殊角，表示出点K，H的坐标，进而表示出点L的坐标，借助点L在抛物线上，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：代入点，得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：设点，， 则， ∵， ∴点P在的垂直平分线上， ∴点P的横坐标为， 令，则， ∴， ∴， ， 由题意，得， ∴，即， ∴， ∴（负值已舍去），即； (3) 小问详解： 解：如图，过点P作轴，交x轴于点M， 由（2），得，， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， 令，得， 解得，或， 由图及条件“线段绕点G逆时针旋转得到线段，点H落在第三象限”可知，点P在第二象限， ∴， ∴，， 如图，过点E作轴，交x轴于点N， ∵轴， ∴点E的纵坐标等于点B的纵坐标，即点E的纵坐标为， ∴， 由题意，得， ∴， 如图，作，垂足为R，延长，，相交于点S，分别过点H向作垂线，垂足为T， ∵，， ∴点F相当于点P按照与点E到点C相同的平移方式平移得到， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴，， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， 又由旋转的性质，可知， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ，， ∴， ∵点L是的中点，，， ∴， ∵点L在抛物线上， ∴， 解得，或， 当时，，， ∴， 当时，，此时点H不在第三象限，故舍去， ∴． 【点睛】 本题综合考查二次函数的图象与性质，旋转的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，应用设而不求思想，设出参数，通过几何关系表示出点坐标，再通过点在抛物线上，借助抛物线的解析式求出对应的参数的值是解题关键． 101．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在轴上且在点的下方，点在上，，连接，，点为中点，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出，再将点代入可得的值，即可得抛物线的解析式； （2）作轴于点，轴于点，先求出，可得， 中，．中，．可得，得出．，再由三角形面积公式求解即可； （3）作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，先求得．再证明．可得．．．再列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线交轴于点， ． ． ． ． ， 解得：． ∴抛物线的解析式； (2) 小问详解： 解：时， 解得：． ，即， 作轴于点，轴于点， 可得， 中，． 中，． ， 得出． ． ， ； (3) 小问详解： 解：作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，得矩形，矩形， ． ， ， ， ， 轴, ． ．． ，得出． ． ． ． 设， ． ． ． ． 中，． 中，． ． ，（舍）． ． 【点睛】 本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线． 102．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点． （1）求b的值； （2）P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围） （3）在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用一次函数先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可解答； （2）不妨设点，设直线交轴于点，然后用待定系数法求得直线的表达式为：，那么，最后通过得出答案； （3）过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，先表示出，然后结合，得到，，设，证明四边形为矩形，以及，得到，那么为的垂直平分线，，设，则，接着证明，延长交延长线于点，延长交轴于点，连接，证明，得到，推出，作于，证明，，得到，结合，轴，列出，解方程即可． (1) 小问详解： 解：对于一次函数， 令，则；令，则， ∴，， 把，代入二次函数， 得 ， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，二次函数的解析式为： 不妨设点，设直线交轴于点，如图所示： 设直线的表达式为：，代入，， ，解得 ， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交延长线于点，延长交轴于点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 103．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，抛物线，经过点. （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； （3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？ 【答案】（1）抛物线的顶点M坐标为；（2）N（4，5）；（3）在时，该抛物线上有65个“互素正整点” 【分析】 （1）将A、B、C三点坐标代入中即可得到答案； （2）设，求得直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，设设直线CN与x轴交于点D，求出点D的坐标，根据即可列式计算得出点N的坐标； （3）抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为，得到，找到符合条件的值即可得到答案. 【详解】 （1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3）， 解得： ， ∴=, 抛物线的顶点M坐标为； （2）∵N是抛物线上第一象限的点， ∴设（t＞0），又点C（0，-3）， 设直线NC的解析式为，N在直线NC上， 解得k=t-2 ∴直线NC的解析式为y=（t-2）x-3， 设直线CN与x轴交于点D， 当y=0时，x=， ∴D（，0），BD=3﹣， ∵S△NBC=S△ABC， ∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3， 即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6， 整理，得：t2﹣3t﹣4=0， 解得：t1=4，t2=﹣1（舍去）， 当t=4时，t2-2t-3=5， ∴N（4，5）； (3)抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为： ，t为正整数，且， 由性质① ② ，t与的最大公约数， ， 即只需满足即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素， 在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数， 故共有65个数不是3的倍数，满足， 即在时，该抛物线上有65个“互素正整点”. 【点睛】 此题是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确把握和运用相关知识，运用数形结合思想是解题的关键. 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】 解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A.  B.  C.  D. 以上都正确 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（       ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】 解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程的另一个解的取值范围是. 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．在图形上任取一点，点的纵坐标的取值满足或，其中．令，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将变形得，分类讨论：①，②，③，④，分别画出四种情况的图形，求出的取值范围，看是否满足题意，满足题意后即可求得的取值范围． 【详解】 解：将变形得， ① 当时， 此时的取值范围为：或，不满足题意； ② 当时， 此时的取值范围为：或，满足题意，此时； ③ 当时， 此时的取值范围为：或，满足题意， 此时； ④ 当时， 此时的取值范围为：或，不满足题意； 综上，， 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 该题主要考查二次函数图象的基本性质及通过图象判断式子的正负，结合图象，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键． 结合函数图象可得开口向上，，对称轴为，函数图象与轴的交点在轴负半轴，与轴有两个交点等，根据这些基本性质，逐项判断即可得出结果． 【详解】 解：根据函数图象可得：开口向上，，对称轴为， ， ，③ 正确； 函数图象与轴的交点在轴负半轴， ， ∴，① 错误； 根据图象可得，函数图象与轴有两个交点， ∴对应方程有两个根， ∴，即，② 正确； 当时，， ， ， 即，④ 正确； 综上可得：② ③ ④ 正确， 故选：C． 6．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断① ，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③ ，根据，代入，即可判断④ ，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断② ，根据当时，，即可判断⑤ ． 【详解】 解：∵抛物线对称轴，经过点， ， ， 根据图象可得，， ∴，故① 正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③ 错误， ， ∴，故④ 错误， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故② 正确， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 即，（），故⑤ 正确， 故正确的有3个， 故选：C． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（        ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】D 【分析】 由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】 解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 8．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交点C的纵坐标y满足，根据图象判断以下结论： ①；②；③关于x的一元二次方程（）两个根为和1；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（       ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象判断式子的符号，二次函数的图象与各系数符号等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．由抛物线过两点，得抛物线的解析式为，根据抛物线的开口方向可确定a的符号，从而确定b的符号，对称轴方程，从而可判断① ② ③ ；由，得到，根据抛物线与y轴交点C的纵坐标y满足，得到不等式组求解判断④ ；对变形，因式分解得到，再把代入即可求解判断⑤ ． 【详解】 解：抛物线过两点，故设， 整理得：， ∴； 由图象知，抛物线的开口向上，则， ∴，且， ∴， 故① ③ 正确； ∵抛物线过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故② 正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交点C的纵坐标y满足， ∴， ∴，故④ 正确； ∵， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 故⑤ 正确； ∴① ② ③ ④ ⑤ 都正确， 故选：A． 9．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键．综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析． 【详解】 解：由题意，，对称轴为直线， ，即， ， ，故① 正确； ， ，故② 正确； 当时，， ，即， ， ， 解得， ，故③ 错误； ，， ，故④ 正确； 方程的两根、是抛物线与直线交点的横坐标， ，抛物线与 轴交于点 、 ，开口向上， ，，则，， 又， ，故⑤ 正确； 正确的有① ② ④ ⑤ ， 故选：D． 10．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知抛物线，则该抛物线与轴交点的纵坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】 解：在中，当时，， ∴该抛物线与轴交点的纵坐标为， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　　　　　． 【答案】2 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程根的判别式，把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 12．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】 解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 13．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）     （2）这样的实数不存在，理由如下： 因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在．      【分析】 本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论； （2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； (2) 小问详解： 解：略． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）二次函数的图象与轴交点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】 解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　° 【答案】m＞9 【分析】 【详解】 解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 16．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】 解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）抛物线与x轴相交于点、，点A在点B左侧，若，则当时，y　　　　　　0（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出，然后根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点、， 对称轴为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】 解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）抛物线与轴的交点坐标是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】 解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 20．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）已知函数的图象与轴有公共点，则的取值范围为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与x轴的交点问题，当时，原函数为一次函数，符合题意；当时，原函数为二次函数，则关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】 解：当，即时，原函数为，当时，，即此时原函数与x轴交于点，符合题意； 当，即时，原函数为二次函数，则关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上所述，， 故答案为：． 21．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 由二次函数的顶点坐标可得对称轴，进而得到的值，再根据根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∵关于的一元二次方程的两个根分别为和， 根据根与系数的关系，有， ∴， 解得：， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如果二次函数，不论取任何实数,都有，则的取值范围是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由，可知抛物线开口向上，再根据不论x取任何实数，都有，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】 ∵， ∴抛物线开口向上， ∵不论取任何实数，都有， ∴， 即， 解得：. 故答案为. 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系.牢记根的判别式在抛物线中的应用是解题的关键. 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，且，则抛物线的解析式为　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数图象的性质，理解题意，画图分析，找到点C可能在轴的正半轴，也可能在负半轴，两种情况分类讨论是解题的关键． 设点C的坐标为，结合图形，由勾股定理得到，由已知可设抛物线的解析式为：，运用待定系数法即可求解． 【详解】 解：如图，设点C的坐标为，则，由已知可得：， 则由勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点C的坐标为或， 由已知可设抛物线的解析式为：， 分别代入点和， 解得，和， 当时，，即； 当时，，即， ∴抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）坐标系内是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． （3）一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合），用t表示和，并求的最大值． 【答案】（1）；；     （2）、、     （3），，的最大值为4      【分析】 本题主要考查二次函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质以及二次函数图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由顶点式可得抛物线顶点的坐标，令可求出的值，得出点的坐标； （2）根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况讨论求解即可； （3）设经过，，的二次函数解析式为，求出，，，得二次函数解析式为，令，求出，得，可表示出，，得，运用二次函数性质可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴顶点的坐标为； 令， ， 解得：或， ∵点A在点B的左侧， ∴，； (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为， 当为对角线时，的中点坐标为，即， ∴的中点也为， ∵， ∴，， 解得，，， ∴； 当为对角线时，的中点坐标为，即， ∴的中点坐标也为， ∵， ∴，， 解得，， ∴； 当为对角线时，的中点坐标为，即， 则的中点也为 ， ∵， ∴，， 解得，，， ∴， 所以，存在点，坐标为或或． (3) 小问详解： 解：设经过，，的二次函数解析式为， 把，，代入解析式得： ， 解得：，， 把，代入，得： ， 解得， 所以，二次函数解析式为， 令，则， 整理得：， ∵二次函数图象经过点， ∴是方程的一个根，设另一个根为， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上（与点O，B不重合），， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值4． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】 设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可． 【详解】 解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如图， ∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发， 作QE⊥AB交AB于点E， 则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠DBC＝45°， ∴BP＝5−x，QE＝， ∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×(5−x)×=（0＜x≤5）， ∴此时图象为抛物线开口方向向下； （2）点P在BC上运动时，5＜x≤5，如图， ∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发， 作QE⊥BC交BC于点E， 则有AB＋BP＝BQ＝x，∠DBC＝45°， ∴BP＝x−5，QE＝， ∴△BPQ的面积为：y＝BP•QE＝×（x−5）×=（5＜x≤5）， ∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大； 综上，只有选项B的图象符合， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查动点问题的函数图象，分类讨论，正确的求出函数解析式是解题的关键． 3．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】 解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】 解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上： ，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，点E在线段上，当时，点E在线段上，分别根据面积公式列式化简，结合函数图象即可作答． 【详解】 解：∵在正方形中，，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动． ∴（秒），（秒）， ∴当时，点E在线段上，点F在线段上，如图： 则， ∴， 此时，S与t的函数图象为一次函数的图象， 当时，点E在线段上，点F在线段上，如图， 则， ∴，， ∴ ． ∴， 此时，S与t的函数图象是开口向下的二次函数，且时，点三点重合， 综上， ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，正方形边长是，点从点出发，沿的路径运动，则点停止运动，点从点出发，在延长线上向右运动，点与点同时出发，点停止运动时，点也停止运动，点，点的运动速度都是，下列函数图象中能反映的面积与运动时间的函数关系的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 分点P在AB段、BC段分别求出函数表达式，即可求解． 【详解】 解：① 当点P在AB上运动时， t秒时，AP=t=CQ，而AD=CD=4， 故Rt△DAP≌Rt△DCQ（HL）， ∴∠ADP=∠CQD，PD=DQ， ∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP=90°， 即∠PDC=90°，则， ， 当t=4时，y=16； 故t≤4时，函数为开口向上的抛物线，t=4时，S取得最大值为16； ② 当点P在BC上运动时， ∵点P、点Q的运动速度都是1cm/s，故PQ的距离保持不变，为4+4=8， ； 即点P在BC上运动时，S为常数16； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形全等、二次函数、三角形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算求出函数解析式，再判断即可． 【详解】 解：由题意可知：当点C到点E时，；当点A到点E时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角梯形，设与交于点H， ∵，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向下的抛物线； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角三角形，设与交于点H， ∵ ，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向上的抛物线． 综上所述，只有选项A，当时，对应的函数图象是开口向下的抛物线；当时，对应的函数图象是开口向上的抛物线，选项A符合题意． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，② 当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可． 【详解】 解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，    在等边△ABC中，∠ACB＝60°， 在Rt△DEF中，∠F＝30°， ∴∠FED＝60°， ∴∠ACB＝∠FED， ∴ACEF， 在等边△ABC中，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2， ∴S△ABC＝BC•AM＝4， ①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，    由题意可得CD＝x，DG＝x ∴S＝CD•DG＝x2； ②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，    由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x）， ∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4， ③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M， 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，    由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4， ∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x， ∴BM＝4﹣x 在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x）， ∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝（x﹣8）2， 综上，选项A的图像符合题意， 故选：A． 【点睛】 本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键． 9．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意分两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：当时，设，交于点M，过点M作于点N，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 由平移得，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）当时，设，交于点P，过点P作于点Q，如图所示， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 即只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质与二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为　　　　　　米． 【答案】12 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解． 【详解】 解：对于， 令，由得，， ∴足球从离地到落地的水平距离为米， 故答案为：12． 11．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行　　　　　　m才能停下来． 【答案】20． 【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值. 则变形s=-5(t-2)2+20， 所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m. 12．（2026·黑龙江牡丹江·调研）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． （1）求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； （2）求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【答案】（1）抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为     （2）抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为      【分析】 本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． (1) 小问详解： 解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； (2) 小问详解： 当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是　　　　　　　　米 【答案】10 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】 解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 　　　　　s，才能停下来． 【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【详解】 解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 15．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？ （2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ （3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）800元；（2）20元；（3）每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【分析】 （1）用降价前每件利润×销售量列式计算即可得； （2）设每件童装降价元，利用“童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润”列出方程解答即可得； （3）设每件童装降价元，可获利元，利用（2）中的关系列出函数，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】 解：（1）（元）， 答：童装店降价前每天销售该童装可盈利800元； （2）设每件童装降价元， 由题意得：， 解得， 因为要使顾客得到更多的实惠， 所以取， 答：每件童装应降价20元； （3）设每件童装降价元，可获利元， 由题意得：， 整理得：， 将二次函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1250， 答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 16．（2026·黑龙江牡丹江·调研）已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）调整后，如果每件商品降价10元，那么每星期卖出_________件商品； （2）为更多让利于顾客，每件商品应降价多少元，每星期的利润是4320元； （3）每件商品的售价定为多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）400     （2）每件商品应降价8元，每星期的利润是4320元     （3）每件商品的售价定为55元时，每星期的利润最大，最大利润是4500元      【分析】 本题考查二次函数及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键． （1）根据题意直接列式计算即可； （2）设每件商品应降价x元，根据题意列出方程求解即可； （3）设每件商品降价y元，每星期利润为w元，根据题意得出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可 (1) 小问详解： 解：根据题意得：件， 故答案为：400； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价x元，根据题意， 得 解得， ∵更多让利于顾客， ∴ 答：每件商品应降价8元，每星期的利润是4320元． (3) 小问详解： 解：设每件商品降价y元，每星期利润为w元，根据题意， 得 ∵， ∴当时，w有最大值， ∴ 答：每件商品的售价定为55元时，每星期的利润最大，最大利润是4500元． 17．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500． （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】（1）560元     （2）30元     （3）480元      【分析】 （1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题． （2）利用二次函数的性质即可解答问题． （3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题． (1) 小问详解： 当x=22时，y=﹣10x+500=﹣10×22+500=280， 280×（12﹣10）=280×2=560元， 即政府这个月为他承担的总差价为560元； (2) 小问详解： 由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000． ∵a=﹣10＜0， ∴当x=30时，W有最大值4000元． 即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元； (3) 小问详解： 由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000， 解得：x1=20，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000． 又∵x≤26， ∴当20≤x≤26时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元， ∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000． ∵k=﹣20＜0． ∴p随x的增大而减小， ∴当x=26时，p有最小值480元． 即销售单价定为26元时，政府每个月为他承担的总差价最少为480元． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型． 18．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别，从两点同时出发，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）． （1）当时，_________． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）的面积的最大值为_________． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）点从点开始沿边向点以的速度移动，，由此即可求解； （2）的面积为，且，，，由此即可求解； （3）根据（2）中结论，将二次函数变形为顶点式即可求出的面积的最大值． (1) 小问详解： 解：，点从点开始沿边向点以的速度移动，， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：根据题意得，的面积为， ∴，且，， ∴ ∵，，点的速度是，点的速度是， ∴，，即时间，有， ∴的取值范围是， ∴． (3) 小问详解： 解：由（2）的结论得，， ∴当时，的面积的最大值为． 【点睛】 本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图像的性质，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为元时，每天能销售千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低元，每天的销售量就会增加千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板月日销售这种苹果的收入为元，请求出的值． 【答案】（1）；（2）当每千克苹果降价元时，每天的收入最多，最多为元；（3）当的值为或时，老板的收入为元． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用及一元二次方程的应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解最大值； （3）令，根据二次函数解析式建立方程求解即可． 【详解】 解：（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元， 由题意得． （2）， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴当每千克苹果降价元时，该水果店每天的收入最多，最多为元． （3）由题意可得：y， 整理得， 解得，， 答：当的值为或时，老板的收入为元． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；； （2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，从而求出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，然后通过即可求解； （）设该益智玩具的销售单价应定为元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】 解：（）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴ ，解得 ， ∴益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴， 故答案为：；； （）设该益智玩具的销售单价应定为元， 由题意得，， 整理得， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：该益智玩具的销售单价应定为元． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克利润为18元，每天可售出1000千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低0.5元，每天多售出50千克，设这种水果每千克降价元，销售量为千克． （1）求与之间的函数关系式． （2）这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大？求出最大利润． 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为     （2）这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，掌握函数的性质是解题的关键． （1）根据题意直接写出y与x的函数解析式; （2）根据总利润每千克的利润销售量，列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 即y与x之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：设这种水果每天获得的利润为a元， 根据题意，得． ， ∴当时，a最大，最大值为19600． 答：这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元． 22．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），；     （2）这种水果的售价25元/千克或35元/千克；     （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元．      【分析】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意可以写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，与x的函数解析式； (2) 小问详解： 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得， 答：这种水果的售价25元/千克或35元/千克； (3) 小问详解： 解：∵， ， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 23．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）120，     （2）4元或6元     （3）当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用． （1）由每降低1元，则每天的销售量可增加列式即可； （2）根据（1）中所得关系式列方程计算出的值即可； （3）根据总利润与降价元的函数关系式，配方求出最大值即可； (1) 小问详解： 解：若单价降低2元，则每天的销售量是千克； 若单价降低元，则每天的销售量是千克； 故答案为：120，； (2) 小问详解： 解：设单价应降价元， ， 解得，， 答：单价应降价4元或6元； (3) 小问详解： 解：设利润为元，单价降低元， ， ， 有最大值， 当时，的最大值是2250． 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 24．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9. (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积. 【答案】(1) 、y=-+2x+8；(2) 、30. 【详解】 试题分析：根据交点和最值得出顶点坐标，然后将解析式设成顶点式，然后将交点代入求出a的值；将四边形的面积转化成△AOD的面积+四边形DOEC的面积+△BCE的面积进行求解． 试题解析：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．     又∵函数的最大值为9， ∴抛物线的顶点为C（1，9）． 设抛物线的解析式为y=a+9，代入B（4，0），求得a=-1． ∴二次函数的解析式是y=-+9， 即y=-+2x+8． （2） 当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）． 过C作CE⊥x轴于E点． ∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30． 考点： 25．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    （1）求与的函数表达式； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ （3）当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）     （2）公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元     （3）当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元      【分析】 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，设， 将和代入， 得： ，解得： ， 与的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． (3) 小问详解： 解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 26．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为　　　　　元． 【答案】180 【分析】 设每千克降价x元，每天的利润为w元，由题意列函数w=，根据函数的性质解答． 【详解】 解：设每千克降价x元，每天的利润为w元，由题意得 w= = = ∵-20<0， ∴当x=1时，w有最大值，即最大利润为180元， 故答案为：180． 【点睛】 此题考查了二次函数的最值，正确理解题意列得函数关系式及正确掌握函数的性质是解题的关键． 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务： 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件______件，每天的利润是______元； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售单价； 任务3 若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，求此时每天获得的利润． 【答案】任务1：36，1152；任务2：75元；任务3：1248元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1根据降价8元计算销售量和利润； 任务2通过建立一元二次方程求解利润为1050元时的降价额，并选择降价额最大的解； 任务3在销售单价为偶数的条件下，选择优惠力度最大（即销售单价最低）时的利润． 【详解】 解：任务1：降价8元，售价为元．销售量增加件， 故销售量为件． 每件利润为元， 总利润为元． 任务2：设降价x元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元．则 ． 解得或． 而优惠力度最大即降价最多，则， 所以，售价为元． 任务3：设降价x元，每天的利润为y元，则 ∵， ∴二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值, 又因为销售单价为偶数，销售单价为，所以为偶数，则x为偶数， 要优惠力度最大，即x尽可能大,且x为偶数，所以取， 当时，元， 即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元 28．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，把一张长，宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）折合而成的长方体盒子的侧面积是否有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由． 【答案】（1）；     （2）边长为时，侧面积最大为；     （3）边长为时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为      【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出二次函数关系式，同时熟练掌握配方法求二次函数最值的方法． （1）设正方形的边长为，根据长方形的面积公式即可列方程求解； （2）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据长方体的侧面积公式即可得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果； （3）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据长方体的侧面积公式即可得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． (1) 小问详解： 解：设正方形的边长为，则 ． 即． 解得（不合题意，舍去），． 剪去的正方形的边长为． (2) 小问详解： 解：有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为：． 即．（） 改写为． 当时，． 即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为． (3) 小问详解： 解：有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为，盒子的侧面积为． 若按如图所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：． 即． 当时，． 若按如图所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：． 即． 当时，． 比较以上两种剪折方法可得，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为． 29．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）70元     （3）80元      【分析】 本题主要考查一次函数，一元二次方程，二次函数的综合，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件的数量关系列式求解即可； （2）运用销售量乘以每件的利润，由此列式即可求解； （3）设每月总利润为w，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵依题意，得：， ∴y与x的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：∵依题意得：， 即， 解得：， ∵， ∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； (3) 小问详解： 解：设每月总利润为w，依题意得， ， ∵，此图象开口向下， ∴当时，w有最大值为4500元， ∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1）     （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱．      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． (1) 小问详解： 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． （1）求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为     （2）该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键. （1）设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，再根据利润，接着配方求解即可． (1) 小问详解： 设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件． ． 当时，． 答：该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元． 32．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． （1）几秒后四边形的面积是？ （2）若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）在中，由勾股定理可得，根据可得，令，解方程即可求出的值； （2）由（1）可得，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． (1) 小问详解： 解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是； (2) 小问详解： 解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为． 【点睛】 本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题），勾股定理，三角形的面积公式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 33．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某公园要建造一个矩形花坛，一面靠墙（墙长20米），另三面用篱笆围成，篱笆总长为40米． （1）设垂直于墙的一边长为米，求花坛面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求花坛面积的最大值． 【答案】（1）     （2）平方米      【分析】 本题考查了二次函数应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据矩形面积公式建立函数关系式即可，再根据线段长度非负以及题干即可求解自变量的取值范围； （2）利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 则面积， 由题意得， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200， 答：花坛面积的最大值为200平方米． 34．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． （1）求月销售量（件）与的函数关系式； （2）求月利润（元）与的函数关系式． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确得出函数解析式是解题的关键． （）根据售价上涨 元，则销售量减少件，直接求解即可； （）根据题意求函数关系式即可． (1) 小问详解： 解：∵售价上涨 元，则销售量减少件， ∴ ； (2) 小问详解： 解：根据题意得总利润． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）下列函数中，是二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）下列各式中，是关于的二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列各式中，是的二次函数的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）在函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是　　　　　． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　． 10．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）在函数中，自变量x的取值范围是　　　　　． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 13．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）函数的定义域是　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）函数 中，自变量x的取值范围是　　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）写出一个函数表达式，满足：当时，随的增大而增大，则此函数表达式可以为　　　　　　　　（写出一个即可）． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）将二次函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度，平移后的二次函数的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）将函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）二次函数的最小值为（       ） A.  B. 5 C. 1 D.  6．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）抛物线的顶点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）关于二次函数   ，下列说法正确的是（  ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时， 随的增大而减小 12．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（       ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与y轴交于正半轴 D. y有最大值，最大值为 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新的抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）二次函数的顶点坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 当时y随x的增大而减小 D. 图象向右平移1个单位长度得到 18．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）抛物线向下平移个单位长度后的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）二次函数的顶点坐标为　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）将向下平移2个单位，再向左平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式是　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）将抛物线的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）已知，是抛物线上的两点，则和的大小关系是　　　　　　　　 （填“<”、“>”或“=”）． 31．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是． （1）若二次函数，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______． （2）将“特征数”是的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______． （3）在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长． 32．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）将抛物线：向下平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为　　　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＜y3＜y2 B. y3＜y1＜y2 C. y1＜y2＜y3 D. y2＜y1＜y3 2．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）随着科技的发展，新能源汽车逐步替代了燃油汽车，如图，、分别表示燃油汽车和新能源汽车所需费用（单位：元）与行驶路程（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比新能源汽车每千米所需的费用的2倍多1元，设新能源汽车每千米所需的费用为元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 7．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 8．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知是非零实数，在同一直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知二次函数的图像如图所示，则下列选项中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）二次函数，当时，y的取值范围是什么（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A.  B.  C.  D. 无法确定 14．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（       ） A. 5 B. 7 C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）周末小海从家出发，步行前往距家900米的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小海从超市出来后的速度变为原来的1.2倍，到达集合地，小海与家的距离与所用时间的关系如图所示，那么小海在超市购物用了（       ） A. 5分钟 B. 6分钟 C. 7分钟 D. 8分钟 17．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）若点，，三点在抛物线的图象上则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0； ②﹣1≤a≤； ③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 19．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图1，在矩形中分别为边上的动点，点沿折线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点沿着运动，当点到达点时，点随之停止运动．连接，若的面积与运动时间之间的函数图象如图2所示．下列结论中：①边的长度为4；②四边形的面积为20；③当时，点与点的距离为4；④当时，．正确的序号为（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 20．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 21．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（     ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 22．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y12；⑤b>m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（       ） A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 26．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数（为常数，且）的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）将抛物线向左平移一个单位长度后得到抛物线解析式为，则的值为（       ） A. 9 B. 17 C. 1 D.  28．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A.      B.      C.      D.      30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（                 ）． A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 33．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②图象上有两点和，若，且，则一定有；③；④若方程没有实数根，则；正确的是() A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 34．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间，下列结论：①；②；③；④．正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 35．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 36．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上； ⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（       ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④ 37．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若抛物线的顶点与原点的距离为5，则c的值为（       ） A. 5 B. 9 C. 5或13 D. 9或13 38．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点的横坐标在0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 39．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，其中，，对称轴为，则下列结论：①；②（为任意实数）；③方程的两根为，；④．其中正确的有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 40．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 42．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）二次函数的图象的顶点坐标是　　　　　． 43．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）在y轴上画出点P，使最小． 45．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　． 46．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知二次函数与一次函数的图象相交于点． （1）求和的值； （2）若点，，是该抛物线上的点，请比较，与的大小，并说明理由． 47．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，已知二次函数过点，． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； 48．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下：那么当时，的取值范围为　　　　　． …… -1 0 1 2 3 …… …… 10 5 2 1 2 …… 49．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）已知函数 ，若，则x的值为　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为　　　　　． x …                         1 5 … y … 0 5 9 5         … 51．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是　　　　　　　　　　　　　　．（请按从小到大的顺序排列） 52．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值是　　　　　　． 53．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 　　　． 54．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 55．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知二次函数y=﹣x2+2x+3． （1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标； （2）当x取何值时，函数值最大？ （3）当y＞0时，请你写出x的取值范围． 56．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． （3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 57．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）函数 ，其中是常数且，该函数的图象记为G．直线与该函数图象G恰好只有两个交点，则a的取值为　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）二次函数的最小值为　　　　　　　　　　． 59．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点C． （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）连接，求的面积． 60．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）已知点，，，均在抛物线上，则、、的大小关系是_____． 61．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，若在其中一段抛物线上，则　　　　　　　　． 62．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）作抛物线关于轴对称后经过点，则的值为　　　　　　　　． 63．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）如图，在菱形中，，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边、向点运动．给出以下四个结论：①②③当点E、F分别为边、的中点时，是等边三角形④当点E、F分别为边、的中点时，的面积最大．上述结论中正确的序号有　　　　　　　　．(把你认为正确的序号都填上) 64．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知直线分别交轴，轴于，两点，抛物线两点，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合），点是抛物线的顶点．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出的面积． 65．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点、、、…、在y轴的正半轴上，点、、、…、在二次函数位于第一象限的图象上．若、、、…、都为等边三角形，则的边长为　　　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知抛物线的函数关系为，则该抛物线的顶点坐标为　　　　　　（用含a的代数式表示）；若该抛物线与线段有两个公共点，则a的取值范围为　　　　　　． 67．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度． （2）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少m2． 68．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 69．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 　　　　　　．（从小到大排列） 70．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，且最小值为1． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点，在图象上，比较与的大小． 71．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）如图，已知二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接，． （1）求a的值； （2）点P为第一象限抛物线上一点，连接、，交y轴于点F，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；（不写自变量取值范围） （3）在（2）的条件下，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两垂线相交于第一象限内点D，交抛物线于点E，延长交于点H，点X为线段上一点，连接、，过点H作x轴的垂线与相交于点Z，，当时，求所在直线的函数解析式． 72．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 73．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0， 5），B（－1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F． ①求点F的坐标； ②求四边形ADEF的面积； （3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由． 74．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）求出当的面积为3时，的值； （3）在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 75．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 76．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，且点的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 77．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）综合与探究 已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点． （1）A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）； （2）求抛物线的解析式； （3）点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大； （4）在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由． 78．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 79．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． 80．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，连接，． （1）求的值； （2）如图2，点P为第三象限内抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，过点作轴于，D为第二象限一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转90°，点至点，取中点，连接，当，时，求的长度． 81．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，抛物线 与x轴交于点和点 C，交y轴于点 （1）求抛物线的解析式； （2）P是射线上的一个动点，过点 P作轴交抛物线于点 D，连接，当直线平分的面积时，请直接写出点 P 的坐标． 82．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）一辆轿车从佳市驶往哈市，同时一辆货车从哈市驶往佳市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达哈市停留一段时间后，按原路原速返回佳市；货车到达佳市比轿车返回佳市早小时，两车到达佳市后均停止行驶，两车距佳市的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息，解答下列问题： （1）轿车的速度是            千米/时，货车的速度是            千米/时； （2）求轿车距佳市的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系式； （3）请直接写出轿车出发多长时间两车之间的距离是千米． 83．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请直接写出点P的坐标． 84．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求甲休息前的速度和乙的速度； （2）求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 85．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为　　　　　　　． 86．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．过点的直线与抛物线在第一象限交于点． （1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． （2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．试探究是否存在一点，使线段最大．若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． （3）若点在抛物线上，点是直线上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 87．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，抛物线交x轴于点A和B（A点在B点的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． （1）求直线的解析式并直接写出P点坐标； （2）在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接．过点D作轴于点E，交直线于点F，设D点的横坐标为t，则点D在运动过程中，用t的代数式表示的面积S，并直接写出t的取值范围； （3）在（2）的条件下，点D在x轴下方，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一点，当的面积S为时，若以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出N点坐标． 88．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）如图，抛物线交轴于点和（点在点的左侧），交轴于点，顶点坐标为 （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使得的面积是面积的一半？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 89．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．点是第一象限抛物线上一动点，轴于点，交于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）过点、、的圆上有一点，请直接写出的度数为___________； （3）当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （4）当时，抛物线的最大值为3，请直接写出的值为___________． 90．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、、． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）当时，的值为______； （4）当的值最大时，的值为______． 91．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）已知抛物线（a为常数，）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）如图1，当时，若点P是直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作于点H，m为多少时，的值最大，最大值是多少? （3）如图2，当时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．点D是直线上方抛物线上的一个动点，交于点E，设点E的横坐标为n，记，当n为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 92．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；． （3）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 93．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； （3）当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为        ； （4）抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为       ． 94．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 95．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图1在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于、两点，与y轴交于点C，顶点为点G，连接、，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点M． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）如图2，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接、，当四边形周长取最小值时，直接写出点E的坐标． 96．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接．P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作轴于点H，交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当的长度为最大值时，求点P的坐标； （3）在（2）问的条件下，连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接．当时，请直接写出点M的坐标． 97．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）在平面直角坐标系中，抛物线，分别交轴于A、两点，交轴于点，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第三象限抛物线上一点，连接BC、PB、PC，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作轴，连接交于点，连接，若，且的面积等于288，求点P的坐标． 98．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标，点C坐标． （1）求a、c的值； （2）如图1，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点E为抛物线顶点，轴于点F，过点P作轴于点D，与分别交于点R、H，过点H作于点G，连接，点N在的延长线上，连接分别交、抛物线于点M、Q，若，，求点Q的横坐标． 99．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求的最大值； （3）当时，点坐标为____________； （4）如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 100．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点的坐标为，动点在抛物线上（点不与点重合），线段在轴上（在左），连接，，，且，求线段的长； （3）如图2，在（2）的条件下，点在第二象限，连接，轴，连接，，过点作，，轴，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点落在第三象限），过点作轴，连接，使得，连接，的中点恰好落在抛物线上，当时，求点的坐标． 101．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在轴上且在点的下方，点在上，，连接，，点为中点，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，，求点的坐标． 102．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点． （1）求b的值； （2）P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围） （3）在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标． 103．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）如图，抛物线，经过点. （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N点的坐标； （3）我们通常用表示整数的最大公约数，例如. 若，则称a、b互素，关于最大公约数有几个简单的性质：①，其中k为任意整数；②； 若点满足：a，b均为正整数，且，则称Q点为“互素正整点”，当时，该抛物线上有多少个“互素正整点”？ 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A.  B.  C.  D. 以上都正确 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（       ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形．在图形上任取一点，点的纵坐标的取值满足或，其中．令，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，现有结论：①，②，③，④，其中结论正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（        ） A.  B. 且 C.  D. 且 8．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交点C的纵坐标y满足，根据图象判断以下结论： ①；②；③关于x的一元二次方程（）两个根为和1；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（       ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知抛物线，则该抛物线与轴交点的纵坐标为　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）若函数y＝x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　　　　　． 12．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 14．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）二次函数的图象与轴交点坐标是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　° 16．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围　　　　　　． 17．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）抛物线与x轴相交于点、，点A在点B左侧，若，则当时，y　　　　　　0（填“”“”或“”号） 18．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）抛物线与轴的交点坐标是　　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）已知函数的图象与轴有公共点，则的取值范围为　　　　　　　． 21．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如果二次函数，不论取任何实数,都有，则的取值范围是　　　　　　　　 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，且，则抛物线的解析式为　　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）坐标系内是否存在一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． （3）一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合），用t表示和，并求的最大值． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为，动点Q的运动路线为．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·黑龙江牡丹江·调研）如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别从点A，D同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．到达点C停止运动，连接，设运动时间为t（秒）， 的面积为S，则S与t的函数图象正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，正方形边长是，点从点出发，沿的路径运动，则点停止运动，点从点出发，在延长线上向右运动，点与点同时出发，点停止运动时，点也停止运动，点，点的运动速度都是，下列函数图象中能反映的面积与运动时间的函数关系的是（       ） A.      B.      C.      D.      7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A.      B.      C.      D.      9．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点与点．重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点与点重合时停止运动．设运动时间为秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为个平方单位，则与函数关系的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为　　　　　　米． 11．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行　　　　　　m才能停下来． 12．（2026·黑龙江牡丹江·调研）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． （1）求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； （2）求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高与水平的距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是　　　　　　　　米 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 　　　　　s，才能停下来． 15．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？ （2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？ （3）每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？ 16．（2026·黑龙江牡丹江·调研）已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）调整后，如果每件商品降价10元，那么每星期卖出_________件商品； （2）为更多让利于顾客，每件商品应降价多少元，每星期的利润是4320元； （3）每件商品的售价定为多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 17．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500． （1）赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2）设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 18．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别，从两点同时出发，设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：）． （1）当时，_________． （2）求与的函数解析式，并写出的取值范围． （3）的面积的最大值为_________． 19．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为元时，每天能销售千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低元，每天的销售量就会增加千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元，求与的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板月日销售这种苹果的收入为元，请求出的值． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期末）项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克利润为18元，每天可售出1000千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低0.5元，每天多售出50千克，设这种水果每千克降价元，销售量为千克． （1）求与之间的函数关系式． （2）这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大？求出最大利润． 22．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克．设售价为x元/千克()，每天销售量为y千克，每天销售利润为元． （1）分别求出y与x，与x的函数解析式； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）当这种水果的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加． （1）若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示） （2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元，单价应降价多少元？ （3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？ 24．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知：如图，二次函数的图象与x轴交于A(-2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9. (1)求二次函数的解析式； (2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积. 25．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    （1）求与的函数表达式； （2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ （3）当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 26．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为　　　　　元． 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）喜迎元旦，某中学开展“摊”玩计划，万事大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探趣科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交互功能智能摆件，根据以下素材，完成探索任务： 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，填空：平均每天售出智能摆件______件，每天的利润是______元； 任务2 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售单价； 任务3 若智能摆件的销售单价为偶数，在保证盈利的前提下，当优惠力度最大时，求此时每天获得的利润． 28．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）如图，把一张长，宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）折合而成的长方体盒子的侧面积是否有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由． 29．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 30．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图①，桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点B到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 31．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． （1）求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 32．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，、两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为． （1）几秒后四边形的面积是？ （2）若用表示四边形的面积，求经过多长时间取得最小值，并求出的最小值． 33．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某公园要建造一个矩形花坛，一面靠墙（墙长20米），另三面用篱笆围成，篱笆总长为40米． （1）设垂直于墙的一边长为米，求花坛面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求花坛面积的最大值． 34．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． （1）求月销售量（件）与的函数关系式； （2）求月利润（元）与的函数关系式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．B 2．C 3．C 4．A 5．【答案】 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】 解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 6．【答案】x≠-2． 【详解】解：分式有意义，则分式的分母不为零．即x+2≠0 解得：x≠-2 故答案为：x≠-2． 【点睛】本题考查分式的性质． 7．【答案】 【分析】 本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】 解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】 解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】 解：根据题意得，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查分式有意义的条件这一知识点，解题的关键是明确分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件，分母不为0列出不等式求解． 【详解】 在函数中，因为分式的分母不能为0， 所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 故答案为：． 12．【答案】解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】 略 13．【答案】 【分析】 本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负；根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 函数的定义域是， 故答案为：． 14．【答案】x≠7． 【分析】 根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】 解：由有意义，得 x-7≠0， 解得x≠7， 故答案为：x≠7． 【点睛】 本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 15．【答案】 且 【分析】 根据分式分母不为零和二次根式被开方数非负且分母不为零的条件，分别求出各部分中 的取值范围，再取交集．本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点是分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．解题中用到的方法是条件分析法，分别明确每个部分的限制条件后综合结果．解题关键是注意 “二次根式在分母” 时，被开方数需同时满足 “大于0”（分母不为0）．易错点是混淆被开方数的条件（误将 “” 写成 “”），或遗漏分式分母不为0的条件． 【详解】 对于函数 ， 要使分式 有意义，需分母 ，即 ； 要使分式 有意义，需分母 ，且二次根式被开方数 ，但由于分母不能为零，因此 ，即 ． 综上，自变量 的取值范围为 且 ． 故答案为： 且 ． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质．当时，随的增大而增大，这数是一个开口向下且对称轴为轴的抛物线，这个抛物线的解析式可以是 【详解】 解：二次函数开口向下，对称轴为轴， 二次函数当时，随的增大而增大， 故答案为： ． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．B 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．A 9．C 10．C 11．D 12．C 13．C 14．C 15．C 16．D 17．C 18．A 19．A 20．C 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减，”的规律进行解答即可，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】 解：将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查抛物线的图象与性质，熟记抛物线的图象与性质是解决问题的关键． 识别二次函数顶点式，根据二次函数顶点式直接得到抛物线的顶点坐标即可得到答案． 【详解】 解：抛物线是顶点式，则顶点坐标是， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 直接根据二次函数顶点式写出顶点坐标． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点为． 24．【答案】 【分析】 按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】 ∵将向下平移2个单位再向左平移2个单位 ∴可得，即． 故答案为． 【点睛】 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律，左右平移时横坐标左加右减，上下平移时纵坐标上加下减，逐步应用平移规则求解即可． 【详解】 解：原抛物线解析式为， 先向左平移2个单位，根据左加右减，得， 再向上平移3个单位，根据上加下减，得， 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】 解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：； 再向上平移5个单位长度，得：， 故答案为：． 27．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的平移，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可． 【详解】 解：由函数平移口诀“左加右减，上加下减”可得， 平移后的函数解析式为． 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平移改变y坐标，向右平移改变x坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可． 【详解】 解：原抛物线的顶点坐标为，先向上平移3个单位，顶点坐标变为，再向右平移1个单位，顶点坐标变为． 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得， 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质．分别求出，的值，再比较大小即可． 【详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 31．【答案】（1）【2，4，6】     （2）     （3），14      【分析】 （1）根据“左加右减，上加下减”，得出，再结合“特征数”的定义，即可作答． （2）因为函数的“特征数”是，所以这个函数是 ，再结合图象向上平移2个单位，所以 ，即可作答． （3）依题意，分别求出，；因为证明四边形是平行四边形，运用勾股定理列式，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵先向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 结合定义：得出对应的函数“特征数”是【2，4，6】， 故答案为：【2，4，6】； (2) 小问详解： 解：∵函数的“特征数”是， ∴这个函数是 ， ∵图象向上平移2个单位， ∴， ∴这个新函数的解析式是， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：依题意，如图所示： ∴把分别代入， 得，， 则； ∴把分别代入 ， 得，， 则； 则 ∴四边形是平行四边形 则 ∴以、、、四点为顶点的四边形的周长是． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，新定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 32．【答案】 【分析】 先把函数解析式变为顶点式，再根据条件平移即可； 【详解】 ， 向下平移3个单位得：， 再向右平移4个单位得：． 故答案是：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键． 33．【答案】 【分析】 设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】 解：设，，， ∵抛物线沿直线向上平移， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得，， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．B 11．C 12．C 13．A 14．B 15．A 16．D 17．A 18．C 19．C 20．B 21．C 22．D 23．D 24．D 25．A 26．D 27．C 28．A 29．B 30．C 31．D 32．D 33．B 34．C 35．C 36．D 37．C 38．C 39．B 40．B 41．B 42．【答案】 【分析】 将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 43．【答案】x≥-3且x≠0 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】 解：根据题意得：x+3≥0且x≠0， 解得x≥-3且x≠0． 故答案为：x≥-3且x≠0． 【点睛】 本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 44．【答案】（1） 如图所示：，即为所求；      （2）     （3）如图      【分析】 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据分割法即可求得的面积； （3）连接与y轴的交点为P，可使最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积为：； 故答案为：6.5； (3) 小问详解： 连接与y轴的交点为P，P点即为所求． 【点睛】 本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 45．【答案】x≠4． 【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x-4≠0， 解得，x≠4， 故答案为x≠4． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式分母不为0是解题的关键． 46．【答案】（1），     （2） 由（1）得抛物线为：， ∵点，，是该抛物线上的点， 即点，，是该抛物线上的点， ∴，， ， ∴．      【分析】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的求解二次函数的性质是解本题的关键； （1）把点分别代入两个函数解析式建立方程组即可求解； （2）把点，，分别代入抛物线的解析式计算函数值，可得函数值的大小． (1) 小问详解： 解：∵二次函数与一次函数的图象相交于点． ∴ ， 解得： ， (2) 小问详解： 略 47．【答案】（1）     （2）平移后函数的解析式为，顶点坐标为      【分析】 本题考查了二次函数图像的性质、待定系数法、二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据平移方式将平移后的解析式写出，用配方法即可求出其顶点坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入二次函数解析式，有： ， 解得： ， ∴二次函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：平移后的函数解析式为： ， 化简得：， ， ∴顶点坐标为：； 综上，平移后函数的解析式为，顶点坐标为． 48．【答案】或 【分析】 根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出时，，然后再判断出开口方向，写出时，的取值范围即可． 【详解】 解：根据表格可知，二次函数对应抛物线图像的对称轴为直线，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查二次函数的基本性质，解题关键在于判断出抛物线的对称轴以及开口方向. 49．【答案】或 【分析】 本题考查了函数值的概念，把代入两个函数解析式求解的值再检验即可． 【详解】 解：由题意可得，， ∴， 解得：，符合题意， 当， 解得：，符合题意； 综上：，则x的值为或， 故答案为：或． 50．【答案】 【分析】 该题考查了二次函数的对称性，由函数值表可知，和时值相等，确定对称轴为；点和的横坐标关于对称轴对称，故y值相等． 【详解】 解：由表格数据，当时时，根据二次函数图象的对称性， 对称轴为． 点和的横坐标平均值， 即两点关于对称轴对称， 因此． 故答案为：． 51．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．分别计算出函数值求解即可． 【详解】 解：∵，，为二次函数的图象上的三点， ∴，，， ∴， 故答案为． 52．【答案】0 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 53．【答案】﹣1 【分析】 把解析式配方化成顶点式，顶点的纵坐标即为最值． 【详解】 解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为x＝1， ∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点睛】 本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键． 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，，分别代入进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵抛物线 经过点，， ∴ ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 则， ∴抛物线的顶点坐标为． 55．【答案】(1) 、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2) 、x=1；(3) 、﹣1＜x＜3． 【详解】试题分析：(1) 、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2) 、(3) 、利用二次函数图象性质作答． 试题解析：(1) 、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴图象顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，有﹣x2+2x+3=0 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； (2) 、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值最大；(3) 、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3． 考点：(1) 、抛物线与x轴的交点；(2) 、二次函数的最值． 56．【答案】（1）     （2）时，有最大值，最大值为，点的坐标为     （3）存在，点的坐标为或或或      【分析】 （1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点、， ∴ ，解得， ， ∴该抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，过点作轴交于点， 设所在直线的解析式为：，过点， ∴，即所在直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 解：抛物线的表达式为，点的横坐标为， ∴，即，且， ① 如图所示，四边形为平行四边形， ∴，且， ∴点的纵坐标为，，解得，，， ∴点的坐标为， ∴， 设点， ∵， ∴，则，即； ② 如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于， ∴，，， ∴， ∴，且,设，， ∴，解得，，， 当时，，即，则；当时，，即，则， ∴点的坐标为或； ③ 如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴设，则， ∴，即点的坐标为； 综上所示，点的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 57．【答案】或 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数图象综合判断，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由图象可知，不论哪种情况，要使直线与该函数图象恰好只有两个交点，则直线必过顶点，据此建立方程，解方程即可求出a的取值． 【详解】 解：顶点为， 顶点为， 图象有两种情况，如图： 不论哪种情况，要使直线与该函数图象恰好只有两个交点， ∴直线必过顶点， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 58．【答案】 【分析】 考查二次函数的性质（顶点式求最值）．解题关键是利用二次函数顶点横坐标公式确定最值点，代入函数求最值；易错点是记错顶点横坐标公式，或代入计算时符号出错． 首先对于二次函数（时函数有最小值），先通过公式计算顶点横坐标；其次将、代入公式，得；最后把代入原函数，计算得y的值，即为函数的最小值． 【详解】 二次函数的顶点横坐标为，代入函数得 ，故最小值为． 故答案为：． 59．【答案】（1）     （2）     （3）3      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用-面积问题： （1）将点、代入得到关于、的方程，解方程即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得到答案； （3）令，求得点的坐标，可得，再根据三角形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的图象与轴交于、两点， ， 解得： ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的解析式为， 该抛物线的顶点坐标为； (3) 小问详解： 解：令，则， 点C的坐标为，即， 又点， 的面积． 60．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴，比较各点与对称轴的距离，由于抛物线开口向上，距离对称轴越远的点值越大． 【详解】 解：抛物线的二次项系数，因此抛物线开口向上． 对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由于抛物线开口向上，y值随点到对称轴的距离的增大而增大，， 所以． 61．【答案】 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 【详解】 解：∵一段抛物线：， ∴图象与x轴交点坐标为：，， ∵将绕点旋转得，交x轴于点； 将绕点旋转得，交x轴于点； … 如此进行下去，直至得． ∴的解析式与x轴的交点坐标为，，且图象在x轴下方， ∴的解析式为：， 当时，． 故答案为：． 62．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，坐标与轴对称，根据作抛物线关于轴对称后经过点，则原图象经过点关于轴对称的点，即经过点，代入函数解析式，得到，进而得到，整体代入法求值即可． 【详解】 解：∵作抛物线关于轴对称后经过点， ∴原图象经过点关于轴对称的点，即经过点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 63．【答案】① ② ③ 【分析】 根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号． 【详解】 解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边、向点C运动， ， ，， ， ，①正确； ， ，②正确； ∵在菱形中，， ， 是等边三角形， ∴当点E，F分别为边、的中点时，，， 和是直角三角形，且， ， 是等边三角形，③正确； 的面积菱形的面积的面积的面积的面积 ， 的面积是的二次函数， ∴当时，的面积最大，④错误． 故正确的序号有① ② ③． 【点睛】 本题考查菱形的性质，二次函数的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质；由菱形的性质得线段相等是解题的关键． 64．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式求法、二次函数的图象与性质以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和面积割补法是解题的关键． （1）先求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再将其代入抛物线解析式，通过解方程组求出抛物线的系数，从而得到解析式． （2）先求出抛物线与轴的另一个交点的坐标和顶点的坐标，然后通过割补法（如利用梯形、三角形面积公式）计算出的面积． (1) 小问详解： 解：对于直线，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 将、代入抛物线得 ， 将代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴． 又， ∴顶点． 过作轴于， ． 65．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与特殊的三角形综合，等边三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数与特殊的三角形综合，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，分别过、、作轴的垂线，垂足为，设，均大于0，由、、是等边三角形，可得，，，即，将代入得，可求满足要求的解为，即；同理可求；；进而可得的边长为． 【详解】 解：如图，分别过、、作轴的垂线，垂足为，设，均大于0， ∵、、是等边三角形， ∴，，， ∴， 将代入得， 解得，或（舍去）， ∴； ∴， 将代入得， 解得，或， ∴； ∴， 将代入得， 解得，或（舍去）， ∴； …… ∴的边长为， 故答案为：． 66．【答案】①     ② 【分析】 由，可得顶点坐标为：；求解函数与轴的交点坐标分别为：，，抛物线与轴的交点坐标为：，再分两种情况讨论：当时，如图，函数图象与直线在只有1个交点或没有交点，不符合题意，当时，如图，函数图象与直线在有2个交点，可得 ，从而可得答案． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为：； 令，则， 解得：，， 函数与轴的交点坐标分别为：，， 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为：， 当时，如图，        ∴函数图象与直线在只有1个交点或没有交点，不符合题意， 当时，如图，    ∵函数图象与直线在有2个交点， ∴ ， 解得：； 故答案为：， 【点睛】 本题考查的是二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 67．【答案】（1）5m；（2）m2 【分析】 （1）根据AB为xm，则BC=（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，解方程可求出x即可； （2）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃，然后运用二次函数求最值即可． 【详解】 解：设AB＝xm，围成的花圃面积为ym2，则BC长为（24﹣3x）m， （1）根据题意，得x（24﹣3x）＝45， 整理，得x2﹣8x+15＝0， 解得x＝3或5， 当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立， 当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立， ∴AB长为5m； （2）由题意，得S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10， ∴≤x＜8， ∵对称轴x＝4，开口向下， ∴当x＝m，有最大面积的花圃， 即：x＝m， 最大面积为：24×﹣3×（）2＝（m2）． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出一元二次方程和函数解析式是解答本题的关键． 68．【答案】（1）点，点     （2）①（）， ②当时，四边形为平行四边形，理由： ∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③当或时，为直角三角形      【分析】 题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③ 由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． (1) 小问详解： 解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． (2) 小问详解： ①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ② 略 ③ ∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 69．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 由于二次函数开口向下（），点和点纵坐标相同，故它们关于对称轴对称，可求对称轴为直线．点在对称轴上，故为最大值．点到对称轴的距离大于点或到对称轴的距离，故．因此大小关系为． 【详解】 由二次函数可知，抛物线开口向下． ∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． ∴点在对称轴上，故为函数的最大值． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，由于抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴． 综上，． 故答案为：． 70．【答案】（1）     （2）当时，；当时，；当时，．      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出二次函数解析式，并使用差减法比较两个函数值的大小． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出、，并计算的值，再根据的结果来判断与的大小． (1) 小问详解： 解：∵对称轴为直线，且最小值为1， ∴顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴设该二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，． 71．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式等知识． （1）先求出点C的坐标，，再根据正切的定义求出，点A的坐标，把点A的坐标代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）过点P作两坐标轴垂线，垂足分别为R，T，先得出四边形为矩形，与矩形的性质得出，由同角的正切值得出，进一步得出，最后根据代入求解即可． （3）延长DC至点Q，使，连接，，由全等三角形的性质得出，设，由平行线的判定和性质得出，，再证明设，则，根据抛物线对称性，点C和点E关于抛物线的对称轴直线对称求出点E的坐标，由勾股定理求出n的值，进一步求出点H和点X的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可． (1) 小问详解： 解：由，当时，， ∴，， 在中：由， ∴， ∴， 把点代入， 得：； (2) 小问详解： 解：过点P作两坐标轴垂线，垂足分别为R，T， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 在和中： ， ∴， 又，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：延长至点Q，使，连接， 由，令，得， 解得：或， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，又由轴， ∴轴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， 在中：， ∴在中，， ∴， ∴， 设，则， 根据抛物线对称性，点C和点E关于抛物线的对称轴直线对称， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中：， 即：， 解得或（舍） ∴，， ∴， ∴，点， 设直线的函数解析式为， 则 ， 解得 ， 则直线的函数解析式为：； 72．【答案】（1）     （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或．      【分析】 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； (2) 小问详解： 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得 ， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ① 如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ② 如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 73．【答案】（1）；（2）①F（，）；②；（3）M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）． 【分析】 （1）可将抛物线的解析式设成交点式，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式． （2）①可先求出直线OE的解析式，然后将直线OE与抛物线的解析式联立，组成方程组，解这个方程组就可得到点F的坐标； ②只需运用割补法就可求出四边形ADEF的面积． （3）可分AE是平行四边形的对角线和一边这两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质就可解决问题． 【详解】 解：（1）如图1， 由于抛物线经过点B（﹣1，0），C（5，0）， 因此该抛物线解析式可设为，把A（0，5）代入，得， 解得：，∴； （2）①如图2， ∵抛物线的对称轴，点A（0，5）和点E关于抛物线对称轴对称， ∴点E的坐标为（4，5）， ∴直线OE的解析式为， 解方程组 ，得 ，或 ， ∴点F坐标为（，）； ② ∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为（2，9）， ∴S四边形ADEF=S△ADE+S△AEF=×4×（9﹣5）+×4×（5+）=； （3）①若AE是平行四边形的对角线，如图3①， 则点M在对称轴上，即在顶点D处，此时点M的坐标（2，9），点N的坐标为（2，1）； ②若AE是平行四边形的一边，如图3①， 则有MN=AE=4，∴点M的横坐标为﹣2或6． Ⅰ．当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）2+4×（﹣2）+5=﹣7， 此时点M的坐标为（﹣2，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）； Ⅱ．当x=6时，y=﹣62+4×6+5=﹣7， 此时点M的坐标为（6，﹣7），点N的坐标为（2，﹣7）． 综上所述：符合要求的点M、N的坐标为 M1（﹣2，﹣7），M2（6，﹣7），M3（2，9）N1（2，﹣7），N2（2，﹣7），N3（2，1）． 74．【答案】（1）     （2）的值为     （3）或或或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：① 当时， ② 当时， ③ 当时，三种情况分别讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． (3) 小问详解： 解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ① 当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ② 当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③ 当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 75．【答案】（1）     （2）     （3）存在点，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； (3) 小问详解： 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ① 如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ② 如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③ 如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 76．【答案】（1），；     （2）存在，的面积的最大值为；     （3）存在，，是定值， 设，， ， 直线， ，则， ， ， 整理得：， 由恒成立，则方程的解与无关， ，解得：， ， 设， ， 直线， ， ， ，即符合题意； ，，， 设的直线为， ，解得：， 同理为， ，解得：， ， 整理得：， ， ，则， ，， ．      【分析】 （1）把代入，再解方程可得答案； （2）如图，连接、、、，由抛物线和抛物线与轴有着相同的交点，并且开口方向相同，可设抛物线的解析式为：，再求解抛物线的解析式为，可设点的坐标为两条，再建立函数关系时，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，，可得，，结合，可得，设，证明，即符合题意；设的直线为，可得，解得，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：在抛物线的解析式中， 当时，， ， ， 解得，，， 点在点的左边， ，； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 如图，连接、、、， 抛物线和抛物线与轴有着相同的交点，并且开口方向相同， 可设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴的交点为， ， ， 抛物线的解析式为， 可设点的坐标为， ， ， 根据二次函数的图象和性质知，当时，即点的坐标为时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积问题，勾股定理的应用，二次函数与线段比值为定值问题，本题难度大，对学生要求高，灵活选用合适的方法解题是关键． 77．【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为     （2）抛物线的解析式为     （3）当时，的面积最大，最大值是9     （4）存在点或，使为直角三角形      【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标； （2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）过点P作轴于D，交于点E，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出，利用配方法即可解决最值问题； （4）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点Q的坐标为，则，，，分、及三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：6，0；0，； (2) 小问详解： 解：将、代入，得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： 解：过点P作轴于D，交于点E，如图1所示． 设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是9； (4) 小问详解： 解：当时，有， 解得：，， ∴点C的坐标为， 设点Q的坐标为， 则，，， 分以下三种情况讨论： 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 方程无解． 综上所述：在直线上存在点或，使为直角三角形． 【点睛】 本题考查了一次、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质以及勾股定理． 78．【答案】（1）     （2）①，② 5      【分析】 （1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． (1) 小问详解： 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． (2) 小问详解： 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得 解得 ， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式 ， 解得 或 ， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 79．【答案】（1）     （2）2     （3）① ②或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出点坐标，根据点横坐标，得到，进而求出，进行求解即可； （3）① 求出点，点坐标，分，，三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利用周长公式，列出函数关系式即可； ② 根据轴，得到关于对称轴对称，进而求出点坐标，分分，，三种情况，求出的函数关系式，再根据，分别求出满足题意的的值，进而求出的长即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得：， ∴； (2) 小问详解： 由（1）可知：， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴，， ∴； (3) 小问详解： ① 当时，，当时，， ∴，， 由（2）可知：，，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； 综上： ； ② ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：， ∴； ∵， ∴，解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． 80．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由解析式可得，，由得，从而，代入解析式即可求解； （2）作轴于G，交直线于F，求出线的解析式，设，则，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，求出当时，S取得最大值，，证明得，作于点G，则，在中，求出，，，然后利用三角形中位线的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵ ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：如图2，作轴于G，交直线于F， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴ ， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴当时，S取得最大值， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 作于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵N是中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】 本题考查了待定系数法，解直角三角形，二次函数与几何综合，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 81．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）根据（1）中解析式求出点C的坐标，然后求出直线得表达式，设点 P 的坐标为，则，，因此，，根据直线平分的面积，可得，因此，解出a的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：将和代入抛物线解析式，得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，， 或， 即，， 设直线得表达式为， 将点B、点D得坐标代入，得 ， 解得 ， 直线得表达式为， 设点 P 的坐标为，则，， ，， 直线平分的面积， ， ， 即， 解得或（舍去）， 点 P 的坐标为． 82．【答案】（1），；     （2） ；     （3）轿车出发 小时或 小时或 小时，两车相距千米．      【分析】 本题主要考查了分段函数、函数图象的应用，解决本题的关键是根据函数图象找出相关信息，根据货车和轿车运动函数图象解决问题． 由函数图象可知货车到达佳市用了小时，佳市与哈市的距离是千米，可以求出货车的速度；再根据两车出发小时相遇，列方程求出轿车的速度； 根据轿车的函数图象，分段求出轿车距佳市的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数关系式； 分段求出两车之间的距离是千米时行驶的时间． (1) 小问详解： 解：由函数图象可知货车到达佳市用了小时， 货车的行驶速度是(千米小时)； 设轿车的速度是千米小时 由函数图象可知行驶小时两车相遇， 可得：， 解得：， 轿车的速度是千米小时， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：货车从哈市到佳市需要小时，货车到达佳市比轿车返回佳市早小时， 轿车从佳市到哈市，再从哈市返回佳市共有了小时， 又小时， 轿车在哈市停留了小时， 由可知轿车的速度是千米小时， 轿车从佳市到哈市行驶的时间是小时， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述， ； (3) 小问详解： 解：设货车行驶的路程与时间之间的关系式是， 当时，，当时，， 可得： ， 解得： ， 货车行驶的路程与时间之间的关系式是， 两车之间的距离是千米， 当时， 可得：， 解得：或； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时， 可得：， 整理得：， 解得：或， 不符合题意，舍去； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，轿车出发小时或小时或小时，两车相距千米． 83．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法将，代入，即可求解； （2）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴，， ∴直线的解析式为； 联立，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）， ， 点P的坐标为． 84．【答案】（1）甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时     （2）     （3）乙车出发2小时或3小时，相距30千米      【分析】 本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； (2) 小问详解： 解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则 ， 解得 ， ∴； (3) 小问详解： 解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 85．【答案】1 【分析】 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】 ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 86．【答案】（1），，，     （2）存在，的最大值为     （3）存在，点的坐标为，或      【分析】 （1）令可求得，坐标，令可求得的坐标，设直线的函数表达式为，将，的坐标代入函数表达式即可求解； （2）设，用含的式子表示的长，再利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况讨论：① 当平行四边形对角线为和时，② 当平行四边形对角线为和时，设，，利用中点公式求解即可． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得或， ，， 令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，的坐标代入得， ， 解得： ， ； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 设，则，， 线段上的一个动点， 在轴下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为； (3) 小问详解： 解：存在，点的坐标为，或； 设，， ，， ① 当平行四边形对角线为和时， 则 ， 解得： 或 （当时，与点重合，不符合题意，舍去） 点的坐标为； ② 当平行四边形对角线为和时， 则 ， 解得： 或 ， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为，或． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 87．【答案】（1）：，     （2）当时，；当时，     （3），，      【分析】 （1）令，解一元二次方程，求出两点坐标，根据二次函数解析式求出点C，利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据二次函数性质可求其顶点P的坐标； （2）分两种情况讨论：D在x轴下方和x轴上方； （3）求出此时t的值及D的坐标，以为边和对角线，利用平行四边形的性质即可求出N； 本题考查二次函数的图象性质、一次函数的解析式的求法、平行四边形的性质等． (1) 小问详解： 解：令，解得， ∴， 由可知， 设直线， 可得 解得， ∴直线的表达式为； 对于二次函数， 其对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； ∴直线的解析式为：，顶点； (2) 小问详解： 解：由题可知，，， 当时，， ； 当时，， ； 综上，当时，； 当时，； (3) 小问详解： 解：当点D在x轴下方时，即当时，， 由得， 当时，， ∴； ① 如图，以为边的平行四边形： 当时， ，M与O重合， 由对称性可知N和D关于对称，故； ② 如图，以为边的平行四边形： 当时， 根据平行四边形对角线互相平分可知， 即， ∴， ∵N在上， ∴， 解得， ∴； ③ 如图，以为对角线的平行四边形： 根据平行四边形的对角线互相平分可知， ∴，即， 根据对称性可知； 综上所述，满足条件的N有，，． 88．【答案】（1）     （2）存在点或或      【分析】 （）利用待定系数法解答即可求解； （）求出点的坐标，进而可得，，即得，，再利用面积法可求得点到的距离为，再分直线向上和向下两种情况平移，当平移的直线与直线的距离为时，可知抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，据此解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下： 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点到的距离为，则， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ① 当直线向上平移到直线，且直线与直线的距离为时，可知此时抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，如图，设直线与轴的交点为，过点作直线于，则， ∵直线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由 ，解得 或 ， ∴点的坐标为或； ② 当直线向下平移到直线，且直线与直线的距离为时，可知此时抛物线上存在点，使得的面积是面积的一半，如图，设直线与轴的交点为，过点作直线于，则， 同理① 可得， ∴， ∴，即点在抛物线的对称轴上， 同理① 可得直线的解析式为， 由 ，解得 或 （不合，舍去）， ∴点的坐标为； 综上，在轴上方的抛物线上存在点或或，使得的面积是面积的一半． 89．【答案】（1）抛物线解析式为；直线解析式为     （2）     （3）     （4）3或      【分析】 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、分类讨论思想等及圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）由题意知，四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得，即可求解； （3）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出m的值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：、， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线解析式为； (2) 小问详解： 解：由题意知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为， ∴、， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； (4) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值， 故这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 故答案为：3或． 90．【答案】（1）     （2）或     （3）     （4）      【分析】 （1）将点、、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点，点的坐标，根据的面积列出方程，求出的值，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质推得。结合题意得出，过点作，则，，，根据等角的余角相等得出，结合三角函数的定义得出，求得，即可列出方程，解方程求出的值，结合题意即可求解； （4）根据两点间的距离公式求出，结合二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：将点、、代入，得 ， 解得： ， 故抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为：， 将、坐标代入，得 ， 解得： ， 故直线的解析式为：； ∵点是线段上的一个动点，，点、分别是抛物线和直线上的点， 故点坐标为，点坐标为， ∴， ∵， 且，的面积为， ∴， 解得或， 当时，， 故点的坐标为； 当时，， 故点的坐标为． 故当的面积为时，点的坐标为或． (3) 小问详解： 解：根据题意可得， 即是等腰直角三角形， ∴； 当时，， 即， 过点作，则，，， ∵，， ∴， 在中，， 故在中，， ∴，， 由（2）可得点坐标为， 即， 解得或， 当时，此时点坐标为，即此时点与点重合，不符合题意，舍去； 故答案为：． (4) 小问详解： 解：由（2）可得点坐标为，， 故， 故， 即当时，的值最大． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，求一次函数的解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角函数的定义，两点间的距离公式，二次函数的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 91．【答案】（1），     （2）时，的最大值     （3）时，S有最大值      【分析】 （1）将解析式化为顶点式，即可得到图象的顶点坐标； （2）过点P作轴，勾股定理求出，当的值最大值，的值即最大，利用面积公式求出的值，根据二次函数的性质求解即可； （3）由和等高，则，过点D作轴交于点F，过B点作轴交于点G，由平行线的性质可得，求出直线的解析式，设，则，得到，当时，S有最大值，此时，再求出直线的解析式为，联立 ，即可求出． (1) 小问详解： 解： ， ∴顶点为； (2) 小问详解： 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴时，的面积最大，最大值为，此时的值最大， 的最大值为； (3) 小问详解： 当时，， 令，则或， ∴， ∵， ∴， 过点D作轴交于点F，过B点作轴交于点G， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值， 此时， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴， 联立 ， ∴， ∴当时，S有最大值． 【点睛】 此题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． 92．【答案】（1）     （2）3     （3）有最大值12，此时点F的坐标为     （4）存在，点Q的坐标，，，      【分析】 （1）把把A(4,0)代入y=x+b，求出b值，从而求出点B坐标，然后根据OA=2OC，求出点C坐标（-2，0），设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)，把B(0-4)代入，即可求解； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出顶点坐标，即可得出点F坐标，再求出对称轴与直线AB的交点坐标，即可求解； （3）过点F作轴，交AB于点E，设点P的横坐标为t，则，则．所以，又因为，则，，根据二次函数最值求解即可； （4）分两种情况：① 当AF为正方形AFMQ的边时，② 当AF为正方形AFMQ的对角线时，分别求出点Q坐标即可． (1) 小问详解： 解：把A(4,0)代入y=x+b，得 4+b=0，解得：b=-4， ∴y=x-4， 当x=0时，y=0-4=-4, ∴B(0,-4)， ∵A(4,0)， ∴OA=4， ∵OA=2OC， ∴OC=2， ∴C（-2，0）, 设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)， 把B(0-4)代入得：-4=a(0+2)(0-4)， 解得：a=， ∴抛物线解析式为y=(x+2)(x-4)=x2-x-4； (2) 小问详解： 解：y=x2-x-4=(x-1)2-, ∵点F与抛物线的顶点重合, ∴F(1,-), 设抛物线对称轴与直线AB相交于E，如图， ∵A（4，0），B（0，-4）， ∴直线AB解析式为：y=x-4， 则当x=1时，y=1-4=-3， ∴E（1，-3）, ∴S△ABF=|-3|×|4-0|=3， 故答案为：3； (3) 小问详解： 解：如图，过点F作轴，交AB于点E， 设点P的横坐标为t，则， ∵直线AB的解析式为， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴当时，有最大值12， ． ∴此时点F的坐标为． (4) 小问详解： 解：过F作FE ⊥x轴于E， ∵A(4,0)，F(2,-4)， ∴AE=2，EF=4，AF=2， 如图，① 当AF为正方形AFMQ的边时，i)有正方形AFM1Q1， 过Q1作Q1N1⊥x轴于N1， ∵∠AEF=∠AN1Q1=90°，∠FAQ1=90°， ∴∠EAF=∠AQ1N1， ∵AF=AQ1， ∴△AEF≌△Q1N1A（AAS）， ∴AN1=EF=4，Q1N1=AE=2， ∴Q1（8，-2）； ii) 有正方形AFQ2M2时， 过Q2作Q2N2⊥EF轴于N2， 同理可得△AEF≌△FN2Q2（AAS）， ∴FN2=AE=2，Q2N2=EF=4， ∴Q2（6，-6） ② 当AF为正方形AFMQ的对角线时，设AF与QM相交于P， ∵A（4，0），F（2，-4）， ∴P（3，-2） i)有正方形AQ3FM3时，过Q3作Q3G⊥x轴于G，过M3作M3H⊥x轴于H， 易证△AHM3≌△Q3GA， ∴AH=Q3G，M3H=AG， 设Q3(4+a，b)，则M3(4+b,-a)，    ∴ ，解得： , ∴Q3（5，-3），M3（1，-1） ii) 有正方形AQ4FM4时，过Q4作Q4H⊥x轴于H， 则Q3与M3重合， ∴Q4（1，-1）， 综上，存在，当以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标，，，． 【点睛】 本题待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，正方形的判定与性质，本题属二次函数综合题目，综合性强，属中考试压轴题目． 93．【答案】（1）     （2）当时，     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与特殊三角形、平行四边形的存在性问题，与面积的综合问题，以及涉及线段周长最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，先求出直线，设，则，则，由建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）由题意得，，当为等腰直角三角形时，只能是，设，表示出，，再建立方程求解； （4）过点作y轴的对称点，连接，则，那么，故当点三点关系时，取得最小值即为，由平行四边形得到，求出，再由勾股定理求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过点作轴交于点， 对于， 当， ∴， 设直线， 则 ， 解得 ， ∴直线， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴当时，； (3) 小问详解： 解：如图， 由题意得，， ∴当为等腰直角三角形时，只能是， 设 对于，对称轴为直线， ∴， ∴ 将代入，则， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：过点作y轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为的长， ∵平行四边形 ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 94．【答案】（1）     （2）最大值为；     （3）存在，的坐标为或或或      【分析】 本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过、，． ，解得： ， ∴抛物线为：； (2) 小问详解： 如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． (3) 小问详解： 存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ① 如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ② 如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③ 如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④ 如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 95．【答案】（1）     （2）的最大值为，点P坐标为     （3）      【分析】 （1）将，代入函数表达式，求出和的值； （2）分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为．根据二次函数的表达式求出点C坐标为，进而求出直线的函数表达式为．根据点A和点P的坐标，计算出点D坐标为，点H坐标为，因此，．由可得，则，使用配方法求出的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）过点F作的平行线，交轴于点，连接，，四边形中，和为固定长度，因此当最小时，四边形周长最小．通过轴对称的性质和平行四边形的性质可得，，当I、F、B三点共线时，取到最小值，计算出此时点E的坐标即可． (1) 小问详解： 解：将，代入，得， ， 解得， ， ∴抛物线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：分别过点A、P作x轴的垂线，交直线于点、，设点P坐标为， 将，代入，得， ∴点C坐标为， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ， ∴直线的函数表达式为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点D坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴点H坐标为， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，取最大值， 此时点P坐标为，在直线上方，符合题意． ∴的最大值为，点P坐标为． (3) 小问详解： 解：如图，过点F作的平行线，交轴于点，连接，， ∵，，， ∴，，， 在直角中，， 四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长最小， ∵点A和点B关于对称， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点I的坐标为， 在直角中，， ∵， ∴当I、F、B三点共线时，取到最小值，此时四边形周长最小， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ， ∴直线的函数表达式为， 由抛物线对称轴公式可得，的对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点F的坐标为， ∵线段在抛物线对称轴上，长度为2，且点E在点F上方， ∴点的坐标为， ∴当四边形周长取最小值时，点E的坐标为． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题关键． 96．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求出直线的解析式，设点，由轴于点H，可设点Q的坐标，从而得到的长度是关于p的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）根据题目条件作图，连接，过点M作轴交于点F，利用待定系数法可求出直线的解析式得到点D的坐标，从而得到的长度；设点，由轴可设点F的坐标，从而得到的长度；由得，代入计算即可求出m的值从而求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点，， ∴ ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 把代入， 得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 设点， ∵轴于点H， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 把代入， 得； (3) 小问详解： 连接交y轴于点D，M是第一象限内抛物线上的一点，连接，交于点E，连接，，过点M作轴交于点F，如图． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 把代入， 得， ∴， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 把代入， 得． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，面积问题，将转化为是解题的关键． 97．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点B作于点D，交y轴于点E，求出 ，，得，得，，由，得，得，由，得，解得，，得 ，得，，即可求出抛物线的解析式为； （2）过点P作轴于点Q，由，得,即，得，得的面积为； （3）延长交y轴于点H，过点C作的垂线，过点E作y轴的垂线，两垂线交于点D，连接，证出，得，，由得，证出四边形 为平行四边形得，由面积得，，即点P的纵坐标得，代入解析式求出． (1) 小问详解： 解：过点B作于点D，交y轴于点E， 则， ∵， ∴， 对， 令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 化简，得， 解得（不合）或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，代入， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式的解析式为； (2) 小问详解： 解：过点P作轴于点Q， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为 ； (3) 小问详解： 解：延长交y轴于点H，过点C作的垂线，过点E作y轴的垂线，两垂线交于点D，连接， 则， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（不合）， ∴， 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正切定义，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线，是解题的关键． 98．【答案】（1）     （2）     （3）Q的横坐标为      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出点B的坐标，求出点P的坐标，根据求解即可； （3）求出对称轴为直线，顶点E，证明和四边形是矩形，推出；在延长线截取，连接，过A作于点W，可证明，得到，导角证明，得到，可得直线的解析式为；可证明，推出E、G、B三点共线，同理可求出直线的解析式为，设，过M作轴于点S，过N作轴于点T，证明，得到，则可推出，求出，同理可得直线的解析式为，令，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过，． ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：由（1）可知抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∵点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，且点P的横坐标为t， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点E的坐标为； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴； 如图所示，在延长线截取，连接，过A作于点W， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、G、B三点共线， 同理可求出直线的解析式为， 设 过M作轴于点S，过N作轴于点T， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴ 同理可得直线的解析式为， 令，解得（舍）或， ∴点Q的横坐标为． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出，进而证明是解题的关键． 99．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得， ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：； (2) 小问详解： 解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得， ，解得： ， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； (3) 小问详解： 解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： 或 ∴点坐标为； (4) 小问详解： 解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： 或 ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 100．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入点A的坐标计算即可； （2）设出点C的坐标和的长度，利用抛物线的解析式和，表示出点P，从而表示出和，再根据，列方程求解即可； （3）先分别根据和，轴，求出点P和点E的坐标，从而得到，再通过，得到点的坐标，在得到坐标后，分别延长，，通过平行关系和角度关系，找到此时图中与全等的三角形，设出点G的坐标，根据全等三角形的性质，和30°，60°的特殊角，表示出点K，H的坐标，进而表示出点L的坐标，借助点L在抛物线上，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：代入点，得， 解得， ∴； (2) 小问详解： 解：设点，， 则， ∵， ∴点P在的垂直平分线上， ∴点P的横坐标为， 令，则， ∴， ∴， ， 由题意，得， ∴，即， ∴， ∴（负值已舍去），即； (3) 小问详解： 解：如图，过点P作轴，交x轴于点M， 由（2），得，， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， 令，得， 解得，或， 由图及条件“线段绕点G逆时针旋转得到线段，点H落在第三象限”可知，点P在第二象限， ∴， ∴，， 如图，过点E作轴，交x轴于点N， ∵轴， ∴点E的纵坐标等于点B的纵坐标，即点E的纵坐标为， ∴， 由题意，得， ∴， 如图，作，垂足为R，延长，，相交于点S，分别过点H向作垂线，垂足为T， ∵，， ∴点F相当于点P按照与点E到点C相同的平移方式平移得到， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴，， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， 又由旋转的性质，可知， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，， ，， ∴， ∵点L是的中点，，， ∴， ∵点L在抛物线上， ∴， 解得，或， 当时，，， ∴， 当时，，此时点H不在第三象限，故舍去， ∴． 【点睛】 本题综合考查二次函数的图象与性质，旋转的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，应用设而不求思想，设出参数，通过几何关系表示出点坐标，再通过点在抛物线上，借助抛物线的解析式求出对应的参数的值是解题关键． 101．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出，再将点代入可得的值，即可得抛物线的解析式； （2）作轴于点，轴于点，先求出，可得， 中，．中，．可得，得出．，再由三角形面积公式求解即可； （3）作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，先求得．再证明．可得．．．再列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线交轴于点， ． ． ． ． ， 解得：． ∴抛物线的解析式； (2) 小问详解： 解：时， 解得：． ，即， 作轴于点，轴于点， 可得， 中，． 中，． ， 得出． ． ， ； (3) 小问详解： 解：作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，得矩形，矩形， ． ， ， ， ， 轴, ． ．． ，得出． ． ． ． 设， ． ． ． ． 中，． 中，． ． ，（舍）． ． 【点睛】 本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线． 102．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用一次函数先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可解答； （2）不妨设点，设直线交轴于点，然后用待定系数法求得直线的表达式为：，那么，最后通过得出答案； （3）过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，先表示出，然后结合，得到，，设，证明四边形为矩形，以及，得到，那么为的垂直平分线，，设，则，接着证明，延长交延长线于点，延长交轴于点，连接，证明，得到，推出，作于，证明，，得到，结合，轴，列出，解方程即可． (1) 小问详解： 解：对于一次函数， 令，则；令，则， ∴，， 把，代入二次函数， 得 ， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，二次函数的解析式为： 不妨设点，设直线交轴于点，如图所示： 设直线的表达式为：，代入，， ，解得 ， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交延长线于点，延长交轴于点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 103．【答案】（1）抛物线的顶点M坐标为；（2）N（4，5）；（3）在时，该抛物线上有65个“互素正整点” 【分析】 （1）将A、B、C三点坐标代入中即可得到答案； （2）设，求得直线NC的解析式为y=（t-2）x-3，设设直线CN与x轴交于点D，求出点D的坐标，根据即可列式计算得出点N的坐标； （3）抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为，得到，找到符合条件的值即可得到答案. 【详解】 （1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，-3）， 解得： ， ∴=, 抛物线的顶点M坐标为； （2）∵N是抛物线上第一象限的点， ∴设（t＞0），又点C（0，-3）， 设直线NC的解析式为，N在直线NC上， 解得k=t-2 ∴直线NC的解析式为y=（t-2）x-3， 设直线CN与x轴交于点D， 当y=0时，x=， ∴D（，0），BD=3﹣， ∵S△NBC=S△ABC， ∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC﹣yN|= [3﹣（﹣1）]×3， 即×（3﹣）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6， 整理，得：t2﹣3t﹣4=0， 解得：t1=4，t2=﹣1（舍去）， 当t=4时，t2-2t-3=5， ∴N（4，5）； (3)抛物线上的任意正整点R(横纵坐标为正整数的点)可以表示为： ，t为正整数，且， 由性质① ② ，t与的最大公约数， ， 即只需满足即可，又因为3是素数，当且仅当t不是3的倍数时，t与3互素， 在4到100共97个数中，总共有32个数是3的倍数， 故共有65个数不是3的倍数，满足， 即在时，该抛物线上有65个“互素正整点”. 【点睛】 此题是一道二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，解一元二次方程等知识，正确把握和运用相关知识，运用数形结合思想是解题的关键. 考点05 二次函数与一元二次方程 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．C 7．D 8．A 9．D 10．【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】 解：在中，当时，， ∴该抛物线与轴交点的纵坐标为， 故答案为：． 11．【答案】2 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及一元二次方程根的判别式，把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 12．【答案】， 【分析】 本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】 解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 13．【答案】（1）     （2）这样的实数不存在，理由如下： 因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在．      【分析】 本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论； （2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； (2) 小问详解： 解：略． 14．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握求交点的基本方法是解题的关键． 根据题意，求出时的函数值即可得到二次函数图象与y轴的交点坐标． 【详解】 解：当时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 15．【答案】m＞9 【分析】 【详解】 解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴∆＜0，即， 解得. 故答案为m＞9． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】 解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出，然后根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点、， 对称轴为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解． 【详解】 解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 【点睛】 本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】 解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与x轴的交点问题，当时，原函数为一次函数，符合题意；当时，原函数为二次函数，则关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】 解：当，即时，原函数为，当时，，即此时原函数与x轴交于点，符合题意； 当，即时，原函数为二次函数，则关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上所述，， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 由二次函数的顶点坐标可得对称轴，进而得到的值，再根据根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∵关于的一元二次方程的两个根分别为和， 根据根与系数的关系，有， ∴， 解得：， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 由，可知抛物线开口向上，再根据不论x取任何实数，都有，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】 ∵， ∴抛物线开口向上， ∵不论取任何实数，都有， ∴， 即， 解得：. 故答案为. 【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系.牢记根的判别式在抛物线中的应用是解题的关键. 23．【答案】或 【分析】 本题主要考查二次函数图象的性质，理解题意，画图分析，找到点C可能在轴的正半轴，也可能在负半轴，两种情况分类讨论是解题的关键． 设点C的坐标为，结合图形，由勾股定理得到，由已知可设抛物线的解析式为：，运用待定系数法即可求解． 【详解】 解：如图，设点C的坐标为，则，由已知可得：， 则由勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点C的坐标为或， 由已知可设抛物线的解析式为：， 分别代入点和， 解得，和， 当时，，即； 当时，，即， ∴抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 24．【答案】（1）；；     （2）、、     （3），，的最大值为4      【分析】 本题主要考查二次函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质以及二次函数图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由顶点式可得抛物线顶点的坐标，令可求出的值，得出点的坐标； （2）根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，分为对角线、为对角线以及为对角线三种情况讨论求解即可； （3）设经过，，的二次函数解析式为，求出，，，得二次函数解析式为，令，求出，得，可表示出，，得，运用二次函数性质可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴顶点的坐标为； 令， ， 解得：或， ∵点A在点B的左侧， ∴，； (2) 小问详解： 解：设点P的坐标为， 当为对角线时，的中点坐标为，即， ∴的中点也为， ∵， ∴，， 解得，，， ∴； 当为对角线时，的中点坐标为，即， ∴的中点坐标也为， ∵， ∴，， 解得，， ∴； 当为对角线时，的中点坐标为，即， 则的中点也为 ， ∵， ∴，， 解得，，， ∴， 所以，存在点，坐标为或或． (3) 小问详解： 解：设经过，，的二次函数解析式为， 把，，代入解析式得： ， 解得：，， 把，代入，得： ， 解得， 所以，二次函数解析式为， 令，则， 整理得：， ∵二次函数图象经过点， ∴是方程的一个根，设另一个根为， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上（与点O，B不重合），， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值4． 考点06 实际问题与二次函数 1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．A 9．C 10．【答案】12 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解． 【详解】 解：对于， 令，由得，， ∴足球从离地到落地的水平距离为米， 故答案为：12． 11．【答案】20． 【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值. 则变形s=-5(t-2)2+20， 所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m. 12．【答案】（1）抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为     （2）抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为      【分析】 本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． (1) 小问详解： 解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； (2) 小问详解： 当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 13．【答案】10 【分析】 本题主要考查二次函数的应用，理解投掷铅球的成绩就是求抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．令，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】 解：令，得， 解得，（舍）． 所以改运动员此次投掷铅球得成绩是10米． 故答案为：10． 14．【答案】3 【分析】 本题考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【详解】 解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 15．【答案】（1）800元；（2）20元；（3）每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【分析】 （1）用降价前每件利润×销售量列式计算即可得； （2）设每件童装降价元，利用“童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润”列出方程解答即可得； （3）设每件童装降价元，可获利元，利用（2）中的关系列出函数，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】 解：（1）（元）， 答：童装店降价前每天销售该童装可盈利800元； （2）设每件童装降价元， 由题意得：， 解得， 因为要使顾客得到更多的实惠， 所以取， 答：每件童装应降价20元； （3）设每件童装降价元，可获利元， 由题意得：， 整理得：， 将二次函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为1250， 答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 16．【答案】（1）400     （2）每件商品应降价8元，每星期的利润是4320元     （3）每件商品的售价定为55元时，每星期的利润最大，最大利润是4500元      【分析】 本题考查二次函数及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键． （1）根据题意直接列式计算即可； （2）设每件商品应降价x元，根据题意列出方程求解即可； （3）设每件商品降价y元，每星期利润为w元，根据题意得出函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可 (1) 小问详解： 解：根据题意得：件， 故答案为：400； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价x元，根据题意， 得 解得， ∵更多让利于顾客， ∴ 答：每件商品应降价8元，每星期的利润是4320元． (3) 小问详解： 解：设每件商品降价y元，每星期利润为w元，根据题意， 得 ∵， ∴当时，w有最大值， ∴ 答：每件商品的售价定为55元时，每星期的利润最大，最大利润是4500元． 17．【答案】（1）560元     （2）30元     （3）480元      【分析】 （1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题． （2）利用二次函数的性质即可解答问题． （3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题． (1) 小问详解： 当x=22时，y=﹣10x+500=﹣10×22+500=280， 280×（12﹣10）=280×2=560元， 即政府这个月为他承担的总差价为560元； (2) 小问详解： 由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000． ∵a=﹣10＜0， ∴当x=30时，W有最大值4000元． 即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元； (3) 小问详解： 由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000， 解得：x1=20，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000． 又∵x≤26， ∴当20≤x≤26时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元， ∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000． ∵k=﹣20＜0． ∴p随x的增大而减小， ∴当x=26时，p有最小值480元． 即销售单价定为26元时，政府每个月为他承担的总差价最少为480元． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型． 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）点从点开始沿边向点以的速度移动，，由此即可求解； （2）的面积为，且，，，由此即可求解； （3）根据（2）中结论，将二次函数变形为顶点式即可求出的面积的最大值． (1) 小问详解： 解：，点从点开始沿边向点以的速度移动，， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：根据题意得，的面积为， ∴，且，， ∴ ∵，，点的速度是，点的速度是， ∴，，即时间，有， ∴的取值范围是， ∴． (3) 小问详解： 解：由（2）的结论得，， ∴当时，的面积的最大值为． 【点睛】 本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图像的性质，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 19．【答案】（1）；（2）当每千克苹果降价元时，每天的收入最多，最多为元；（3）当的值为或时，老板的收入为元． 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用及一元二次方程的应用，根据题意列出函数解析式，同时考查利用二次函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，销售数量可表示为，利用收入等于每千克的售价乘以销售数量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质即可求解最大值； （3）令，根据二次函数解析式建立方程求解即可． 【详解】 解：（1）设每千克苹果降价元，每天销售这种苹果的收入为元， 由题意得． （2）， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴当每千克苹果降价元时，该水果店每天的收入最多，最多为元． （3）由题意可得：y， 整理得， 解得，， 答：当的值为或时，老板的收入为元． 20．【答案】（1）；； （2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，从而求出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，然后通过即可求解； （）设该益智玩具的销售单价应定为元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】 解：（）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴ ，解得 ， ∴益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴， 故答案为：；； （）设该益智玩具的销售单价应定为元， 由题意得，， 整理得， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：该益智玩具的销售单价应定为元． 21．【答案】（1）y与x之间的函数关系式为     （2）这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元      【分析】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，掌握函数的性质是解题的关键． （1）根据题意直接写出y与x的函数解析式; （2）根据总利润每千克的利润销售量，列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． (1) 小问详解： 解：根据题意，得 即y与x之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：设这种水果每天获得的利润为a元， 根据题意，得． ， ∴当时，a最大，最大值为19600． 答：这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元． 22．【答案】（1），；     （2）这种水果的售价25元/千克或35元/千克；     （3）当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元．      【分析】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据题意可以写出月销售利润y(单位：元)与售价x(单位：元/千克)之间的函数解析式； （2）根据代入，解一元二次方程，即可解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式，化为顶点式即可解答本题． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， ， ∴y与x的函数解析式是，与x的函数解析式； (2) 小问详解： 解：∵每天销售利润为1500元， ∴， 解得， 答：这种水果的售价25元/千克或35元/千克； (3) 小问详解： 解：∵， ， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当售价应定为30元/千克时，可获得最大利润，最大利润是2000元． 23．【答案】（1）120，     （2）4元或6元     （3）当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用． （1）由每降低1元，则每天的销售量可增加列式即可； （2）根据（1）中所得关系式列方程计算出的值即可； （3）根据总利润与降价元的函数关系式，配方求出最大值即可； (1) 小问详解： 解：若单价降低2元，则每天的销售量是千克； 若单价降低元，则每天的销售量是千克； 故答案为：120，； (2) 小问详解： 解：设单价应降价元， ， 解得，， 答：单价应降价4元或6元； (3) 小问详解： 解：设利润为元，单价降低元， ， ， 有最大值， 当时，的最大值是2250． 答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元． 24．【答案】(1) 、y=-+2x+8；(2) 、30. 【详解】 试题分析：根据交点和最值得出顶点坐标，然后将解析式设成顶点式，然后将交点代入求出a的值；将四边形的面积转化成△AOD的面积+四边形DOEC的面积+△BCE的面积进行求解． 试题解析：（1）由抛物线的对称性知，它的对称轴是x=1．     又∵函数的最大值为9， ∴抛物线的顶点为C（1，9）． 设抛物线的解析式为y=a+9，代入B（4，0），求得a=-1． ∴二次函数的解析式是y=-+9， 即y=-+2x+8． （2） 当x=0时，y=8，即抛物线与y轴的交点坐标为D（0，8）． 过C作CE⊥x轴于E点． ∴S四边形ABCD=S△AOD+S四边形DOEC+S△BCE=×2×8+×（8+9）×1+×3×9=30． 考点： 25．【答案】（1）     （2）公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元     （3）当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元      【分析】 本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，设， 将和代入， 得： ，解得： ， 与的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． (3) 小问详解： 解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 26．【答案】180 【分析】 设每千克降价x元，每天的利润为w元，由题意列函数w=，根据函数的性质解答． 【详解】 解：设每千克降价x元，每天的利润为w元，由题意得 w= = = ∵-20<0， ∴当x=1时，w有最大值，即最大利润为180元， 故答案为：180． 【点睛】 此题考查了二次函数的最值，正确理解题意列得函数关系式及正确掌握函数的性质是解题的关键． 27．【答案】任务1：36，1152；任务2：75元；任务3：1248元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1根据降价8元计算销售量和利润； 任务2通过建立一元二次方程求解利润为1050元时的降价额，并选择降价额最大的解； 任务3在销售单价为偶数的条件下，选择优惠力度最大（即销售单价最低）时的利润． 【详解】 解：任务1：降价8元，售价为元．销售量增加件， 故销售量为件． 每件利润为元， 总利润为元． 任务2：设降价x元，则售价为元，销售量为件，每件利润为元．则 ． 解得或． 而优惠力度最大即降价最多，则， 所以，售价为元． 任务3：设降价x元，每天的利润为y元，则 ∵， ∴二次函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值, 又因为销售单价为偶数，销售单价为，所以为偶数，则x为偶数， 要优惠力度最大，即x尽可能大,且x为偶数，所以取， 当时，元， 即当优惠力度最大时，每天获得的利润为1248元 28．【答案】（1）；     （2）边长为时，侧面积最大为；     （3）边长为时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为      【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出二次函数关系式，同时熟练掌握配方法求二次函数最值的方法． （1）设正方形的边长为，根据长方形的面积公式即可列方程求解； （2）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据长方体的侧面积公式即可得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果； （3）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据长方体的侧面积公式即可得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． (1) 小问详解： 解：设正方形的边长为，则 ． 即． 解得（不合题意，舍去），． 剪去的正方形的边长为． (2) 小问详解： 解：有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为：． 即．（） 改写为． 当时，． 即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为． (3) 小问详解： 解：有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为，盒子的侧面积为． 若按如图所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：． 即． 当时，． 若按如图所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：． 即． 当时，． 比较以上两种剪折方法可得，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为． 29．【答案】（1）     （2）70元     （3）80元      【分析】 本题主要考查一次函数，一元二次方程，二次函数的综合，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件的数量关系列式求解即可； （2）运用销售量乘以每件的利润，由此列式即可求解； （3）设每月总利润为w，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵依题意，得：， ∴y与x的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：∵依题意得：， 即， 解得：， ∵， ∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元； (3) 小问详解： 解：设每月总利润为w，依题意得， ， ∵，此图象开口向下， ∴当时，w有最大值为4500元， ∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 30．【答案】（1）     （2） 解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下： 打捞船宽为，距O点，工人站立在打捞船正中间， 工人距O点的距离为：， 将代入，得：， ， 工人的头顶不会触碰到桥拱．      【分析】 本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将代入求解； （2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． (1) 小问详解： 解：，桥拱顶点B到水面的距离是， 顶点B的坐标为， 设， 将代入，得：， 解得， ， 桥拱部分抛物线的函数表达式； (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为     （2）该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键. （1）设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，再根据利润，接着配方求解即可． (1) 小问详解： 设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． (2) 小问详解： 设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件． ． 当时，． 答：该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元． 32．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）在中，由勾股定理可得，根据可得，令，解方程即可求出的值； （2）由（1）可得，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． (1) 小问详解： 解：在中，由勾股定理可得： ， ， 令， 解得：或（不符合题意，故舍去）， 答：秒后四边形的面积是； (2) 小问详解： 解：由（1）可得： ， ， 抛物线开口向上， 当时，取得最小值，其最小值为． 【点睛】 本题主要考查了实际问题与二次函数（图形运动问题），一元二次方程的应用（动态几何问题），勾股定理，三角形的面积公式，因式分解法解一元二次方程，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式是解题的关键． 33．【答案】（1）     （2）平方米      【分析】 本题考查了二次函数应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据矩形面积公式建立函数关系式即可，再根据线段长度非负以及题干即可求解自变量的取值范围； （2）利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 则面积， 由题意得， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200， 答：花坛面积的最大值为200平方米． 34．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确得出函数解析式是解题的关键． （）根据售价上涨 元，则销售量减少件，直接求解即可； （）根据题意求函数关系式即可． (1) 小问详解： 解：∵售价上涨 元，则销售量减少件， ∴ ； (2) 小问详解： 解：根据题意得总利润． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $