黑龙江省大庆市祥阁学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年黑龙江省大庆市祥阁学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，是二次函数的有(    ) ①；②；③；④⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 3.若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.下列说法中，正确的是(    ) A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 平面上的三个点可以确定一个圆 C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 5.已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，四边形ABCD是的内接四边形，若，，则所对圆心角为(    ) A. B. C. D. 7.如图，的直径，BC切于点B，OC平行于弦AD，，则AD的长为(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，正方形ABCD的边BC与BF在同一条直线上，，将沿BC平移，当点F与点C重合时，停止平移.设点B平移的距离为x，与正方形ABCD重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为(    ) A. B. C. D. 10.如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为其中正确结论有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是        . 12.数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时.列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时，        . x … 0 1 2 … y … … 13.将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是        . 14.如图，的半径为5，C是上一点，直线交于A，B两点，垂足为H，已知若将直线l沿OC所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为      . 15.如图，AB是圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，点D是弧BC的中点.若，则的值是      . 16.如图，量角器的0刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺的一边与量角器相切于点C，直尺的另一边交量角器于点A，D，点A在量角器上的读数是，在直尺上的读数是1cm，点D在量角器上的读数为，在直尺上的读数为7cm，则该直尺的宽度为        17.用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，第④个图案有26个黑点…按此规律，第n个图案中黑点的个数为        . 18.如图，P是矩形ABCD对角线AC上的一个动点，以点P为圆心，PC长为半径作若，且，当与矩形ABCD的边相切时，PC的长为        . 三、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题4分 已知函数为常数 求当m为何值时y是x的二次函数； 在的条件下，点在此函数图象上，求a的值. 20.本小题4分 函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： 方程的两个根为______； 当时，则x的取值范围为______；当时，则变量y的取值范围为______； 若方程有实数根，则k的取值范围是______. 21.本小题5分 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 在图中作出的外接圆保留必要的作图痕迹，不写作法，圆心坐标为______； 若在x轴的正半轴上有一点D，设点D的横坐标为m，当时，则m的取值范围是______. 22.本小题6分 本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形直角三角形外与弦斜边相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，，步，步，AB正好与圆城相切于点D，CE，CF也与圆城相切，切点分别为点E，F，求圆城的直径. 小军解决本题时，认为线段CF的长就是的半径，请你说明理由； 请你帮小军计算圆城的直径. 23.本小题7分 某座大桥拱形可近似看作抛物线的一部分.如图，在大桥截面1：11000的比例图上，跨度，拱高，线段DE表示大桥拱内桥长，如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系. 求图中这条抛物线的解析式； 如果DE与AB的距离，求该大桥拱内实际桥长备用数据：，计算结果精确到1米 24.本小题6分 粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具.图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与相切.已知：，粒子注入路径与AB夹角 求的度数； 通过计算，求粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离相关数据： 25.本小题7分 如图，AB是的直径，内接于，点I为的内心，连接CI并延长交于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE， 若，求的度数； 求证： 26.本小题8分 如图，某蔬菜种植大棚一侧框架，它的上半部分是一个等腰，其中腰长AB与底边BC的比是5：8，它的下半部分是矩形BCDE，点F、H是AB边的三等分点，点G、I是AC边的三等分点.已知，制造这一侧框架的材料总长图中所有黑线的长度和为42米，设AB的长是x米，BE的长是y米. 请直接写出y与x的函数关系式______； 若该侧框架围成图形的面积用S表示，请求出S与x之间的函数关系； 当x等于多少时，此框架围成图形的面积最大？最大面积是多少？ 27.本小题9分 如图，AB为的直径，C是上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作，垂足为D，已知AC平分 求证：MC是的切线； 求证：・； 若，求BC的长. 28.本小题10分 已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点 求抛物线的表达式； 如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，垂足为H，求周长的最大值； 若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：①，是二次函数，符合题意； ②，由于不是整式，不是二次函数，不符合题意； ③，不是二次函数，不符合题意； ④，函数中x的最高次数是3，不满足二次函数x最高次数是2的条件，不是二次函数，不符合题意； ⑤，当时，不是二次函数，不符合题意， 故选： 根据二次函数的定义解答即可． 本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的一般式为是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：抛物线中，根据解析式逐项分析判断如下； A.因为，所以抛物线开口向下，不符合题意； B.由题意知：抛物线的对称轴为直线，不符合题意； C.由题意知：抛物线的顶点坐标是，符合题意； D.时，y随x增大而减小，不符合题意； 故选： 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：点P在内且点P到圆心O的距离为5， 故选： 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内 4.【答案】D  【解析】解：平分弦的直径不一定垂直于弦，如：两条直径互相平分，但是不一定垂直， 不正确，不符合题意； 在不同的圆中长度相等的弧不是等弧， 不正确，不符合题意； 平面上不在同一条直线上的三点可以确定一个圆， 不正确，不符合题意； 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点， 正确，符合题意； 故选： 根据定义和性质逐项判断解答即可． 本题主要考查了三角形的内切圆与内心，圆的认识，垂径定理，确定圆的条件，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理等知识点． 5.【答案】B  【解析】解：把一般式化为顶点式可得， 函数图象的对称轴为直线，开口向上， 当时，； 当时，， 当时，， 的取值范围是：， 故选： 先把一般式化为顶点式，得出函数图象的对称轴为直线，开口向上，算出，，对应的函数值，即可得出y的取值范围． 本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握以上知识点是关键． 6.【答案】D  【解析】解：如图，连接OD， ， ， ， ， 故选： 连接OD，OC，想办法求出，可得结论． 本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7.【答案】B  【解析】【分析】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等． 首先由切线的性质得出，根据锐角三角函数的定义求出的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出，又由平行线的性质知，则，在直角中，由余弦的定义求出AD的长． 【解答】解：连接BD， 是直径， ， ， ， ， 切于点B， ， ， 又，， 故选： 8.【答案】C  【解析】解：二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，如图， 当时，， 解得：，， 则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时， ， 解得：； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 有相等的实数解， ， 解得：， 所以当直线与新图象有4个交点时， m的取值范围为 故选： 先求出二次函数的图象与x的交点A、B的坐标，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式，然后求出直线经过点A时m的值和当直线与抛物线有唯一公共点时m的值，从而可确定m的取值范围． 本题考查了主的图象与性质，一次函数、二次函数图象综合判断，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 9.【答案】A  【解析】解：在中，，，设点B平移的距离为x，与正方形ABCD重合部分的面积为y， 当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为y轴； 当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为 综上所述，选项A的图象符合题意，选项B、C、D的图象不符合题意， 故选： 先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 本题主要考查动点问题的函数图象，二次函数的性质，正方形的性质和三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 10.【答案】C  【解析】解：抛物线的图象交x轴于点， ，故①正确； 抛物线的图象交x轴于点、， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 、，， ， 当时，则， ， 解得或不合题意，舍去， 当时，， ， 解得负数舍去， 综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接PH，则， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 当C、P、H共线时，的值最小，即此时的最小，最小值为CH， 在中，，故④正确； 故选： 抛物线过点，求得求得，即可判断①；求得对称轴为直线，即可求得，由，求得，则，即可判断②；分和两种情况求得c的值即可判断③；取点，连接PH，则，可证明∽，由相似三角形的性质可得，则，故当C、P、H共线时，的值最小，即此时的最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 11.【答案】相交  【解析】解：的半径为4，圆心O到直线l的距离为， 又， 直线l与的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 由的半径为4，圆心O到直线l的距离为，利用直线和圆的位置关系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离判断即可求得答案． 此题考查了直线与圆的位置关系，注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 12.【答案】  【解析】解：由表中的数据可知抛物线的对称轴为直线， 和的函数值相等， 时，， 时，， 故答案为： 根据抛物线的图象具有对称性即可得出答案． 本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记抛物线具有对称性． 13.【答案】  【解析】解：将抛物线，平移后的解析式为：， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为： 先把配成顶点式，再由函数图象平移的法则得出平移后抛物线的解析式，进而得出其顶点坐标． 本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律． 14.【答案】2或8  【解析】解：如图，连接OB， ， ， ， 在中，， 又将直线l通过平移使直线l与相切， 直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点， 当向下平移时，直线l平移的距离； 当向上平移时，直线l平移的距离 故答案为：2或 根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出OH，然后利用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线l平移的距离为半径减去OH；当向上平移时，直线l平移的距离为半径加上 本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理． 15.【答案】  【解析】解：是半圆O的直径， ， ， ， 又D是弧BC的中点， ， ， 在中，， ， 故答案为： 依题意可得，从而知，再由D是弧BC的中点，可得，进而知，然后利用正弦的定义求解即可． 本题考查圆周角定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接OD，OC，且OC交AD于点E， 由题知，， ， 由条件可知， ， 交AD于点E， ，， ， ， 设，则， ， 解得负值舍去， ， ， 故答案为： 连接OD，OC，且OC交AD于点E，利用切线的性质和平行线性质推出交AD于点E，再结合直角三角形性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程求解，进而求得CE，即可解题． 本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． 17.【答案】  【解析】解：由所给图形可知， 第①个图案中黑点的个数是； 第②个图案中黑点的个数是； 第③个图案中黑点的个数是； …， 所以第n个图案中黑点的个数是：…… 故答案为： 根据所给图形，依次求出图形中黑点的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑点个数的变化规律是解题的关键． 18.【答案】或  【解析】解：由题意知只能与AD，AB相切， 如图作与M，于N， ，， ， ， 当与AD相切时，， 由矩形性质可知，，， ， ∽， ， ， ， ， 当与AB相切时，， ， ∽， ：：BC， ， ， ， 的长是或， 故答案为：或 由锐角的余弦求出AB，BC的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质即可求出PC的长． 本题主要考查了切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握其性质并能灵活运用分两种情况讨论是解决此题的关键． 19.【答案】解：解：由题意得，且， 解得， 当时y是x的二次函数； ， ， 点在此函数图象上，   【解析】根据二次函数的定义即可求解； 根据得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解． 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 20.【答案】，      【解析】解：由图象可得：方程的两个根为， 故答案为：，； 由图象可得：当时，则x的取值范围为， ， 当时，， 当时，自变量y的取值范 故答案为：；； 由图象可得：若方程有实数根，k取值范围是 故答案为： 根据函数图象即可得出答案； 根据函数图象结合当时，，即可得出答案； 根据函数图象即可得出答案． 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 21.【答案】    【解析】解：如图，圆E即为所求； 由图可知：； 故答案为： 由图可知，圆E与x轴的另一个交点F为， ， 当点D在C，F之间时，如图延长AD交圆于点G，连接BD，BG， 则：， ， ，满足题意， 分别作边AB，BC的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而画出的外接圆，并写出圆心坐标即可； 确定的外接圆与x轴的另一个交点F，根据圆周角定理和三角形的外角的性质，得到点D在点C和点F之间，即可得出m的取值范围． 本题考查尺规作图-作圆，三角形的外接圆，圆周角定理，正确画出图形是解题的关键． 22.【答案】如图1，连接OE，OF， ，CF是的切线， ，， ， ， 四边形OECF是矩形， ， 四边形OECF是正方形， ， 的长就是的半径；   240步  【解析】解：如图1，连接OE，OF， ，CF是的切线， ，， ， ， 四边形OECF是矩形， ， 四边形OECF是正方形， ， 的长就是的半径； 如图2， ，步，步， 步， 设的半径为x步，则步， ，BD是的切线， 步， ，AE是的切线， 步， ， ， 解得：， 的直径为步， 圆城的直径为240步． 如图1，连接OE，OF，由切线的性质得出，由，得出四边形OECF是矩形，由，得出四边形OECF是正方形，得出，即可得出CF的长就是的半径； 由勾股定理求出步，设的半径为x步，则步，由切线长定理得出步，步，由，得出关于x的方程，解方程求出，即可求出圆城的直径． 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，掌握切线的性质，矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，切线长定理是解决问题的关键． 23.【答案】  该大桥拱内实际桥长为388米  【解析】解：在大桥截面1：11000的比例图上，跨度，拱高， 由图知，该抛物线经过点，，， 点为抛物线的顶点， 可设， 代入点，得， 解得， 图中这条抛物线的解析式为 当时，， 解方程得，， 大桥截面的比例为1：11000，可得 该大桥拱内实际桥长为388米． 结合图形，写出A，B，C三点的坐标，根据抛物线的顶点坐标为，可设解析式为，再代入点，求出a的值，可得抛物线的解析式； 根据，求出当时，方程的解，由求出DE的长，再根据比例尺求出该大桥拱内实际桥长． 本题主要考查了二次函数的实际问题，待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． 24.【答案】如图，延长AF，BE交于G，由题意得，AF，BE是的切线， ， ； 如图，过点O作于点E，延长EO交于点P，连接AO，BO， 是的切线， ， ，， 的弦，OE是弦心距，，， ，， ， ， ， 如图，当粒子J运动到P点时，离AB的距离最远， ， 即粒子I到AB的最远距离是  【解析】如图，延长AF，BE交于G，根据切线长定理和等腰三角形的性质即可得到结论； 如图，当粒子运动到P点时，离AB的距离最远，根据切线的性质得到，再根据垂径定理和三角函数得出AO的长，进而解答即可． 本题考查解直角三角形的应用，切线的性质，正确作出辅助线是解题关键． 25.【答案】；   见解析．  【解析】解：是的直径， ，又， ， 四边形ABEC是内接四边形， ， ； 证明：连接AI， 点I为的内心， ，， ， ，， ，， ， ； 利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； 连接AI，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论 本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内心性质、三角形的外角性质知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 26.【答案】    当x等于时，此框架围成图形的面积最大，最大面积是平方米  【解析】解：由题意，：：8，米， 米， 又、H是AB边的三等分点，点G、I是AC边的三等分点， ：AG：：AI：：2：3， 又是公共角， ∽∽， ：HI：：AG：：2： 米， 是矩形BCDE是矩形， 米，米， 根据题意得：，即， ； 过点A作于点N， 则， ， 故答案为：； 由题意，， 当时，S取最大值，最大值为 答：当x等于时，此框架围成图形的面积最大，最大面积是平方米． 先证明∽∽，则有FG：HI：：AG：：2：3，即，再根据矩形的性质得到，，然后得到方程，整理解题即可； 过点A作于点N，根据等腰三角形的性质和勾股定理可以得到，然后根据求出面积即可； 依据题意，由，从而可以判断得解． 本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用，熟练掌握根据实际问题求函数关系式是解题的关键． 27.【答案】证明见解析；  证明见解析；   【解析】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∽， 即 ， ， 即； 解：， ， ， 在中， ，， ∽， ， ， 为的直径， ， 利用等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质和圆的判定定理解答即可； 利用圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用等式的性质和平方差公式解答即可得出结论； 利用勾股定理求得MC，利用相似三角形的判定与性质求得CD，AD，利用勾股定理求得AC，再利用圆周角定理和勾股定理解答即可得出结论． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形判定与性质，熟练掌握圆的有关性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28.【答案】已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； 抛物线的表达式为， 当时，， ， 设直线BC的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得， 直线BC的解析式为， 设，其中，则， ， ，， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长 ， 当时，的周长有最大值，最大值为； 存在以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： 由题意知，抛物线的对称轴为直线，，， 设点P坐标为，点Q坐标为， ①当BC为对角线时，如图2， 依题意得：， 解得， ， ②当BP为对角线时，如图3， 依题意得：， 解得， ； ③当BQ为对角线时，如图4， 依题意得：， 解得， 解得； 综上所述，存在点Q，以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，Q点的坐标为或或  【解析】利用待定系数法解答即可求解； 先求出点C坐标，再求出直线BC的解析式，设，其中，则，可得是等腰直角三角形，得到，进而求出周长，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 设点P坐标为，点Q坐标为，分三种情况：①当BC为对角线时；②当BP为对角线时；当BQ为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组解答即可求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用及性质，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $