专题01 一元二次方程（期中真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（2026·黑龙江牡丹江·调研）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程通过移项化为（）的形式． 将方程右边的移到左边，使方程右边为即可． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式为（）， 将方程两边同时减去，得，对应选项B． 故选：B． 2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 我们从方程的限定词入手，“一元”的意思是等式中只含有一种未知数（不限定该未知数出现的次数）；“二次”的意思是未知数的最高次数是二． 【详解】 解：A、是二元一次方程，故A错误； B、是一元一次方程，故B错误； C、属于一元二次方程，故C正确； D、是分式方程，故D错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项依次是(          ) A. -1和1 B. 1和1 C. 2和1 D. 0和1 【答案】A 【分析】找出2x2-x+1的一次项-x、和常数项+1，再确定一次项的系数即可． 【详解】 2x2-x+1的一次项是-x，系数是-1，常数项是1． 故选A. 【点睛】 本题考查一元二次方程的一般形式． 4．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 直接利用一元二次方程的定义一次进行判断即可． 【详解】 解：、是代数式，所以选项错误，不符合题意； 、是一元二次方程，所以选项正确，符合题意； 、为一元一次方程，所以选项错误，不符合题意； 、含两个未知数，所以选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义：解题的关键是掌握含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．通过定义判断即可． 【详解】 解：A．符合一元二次方程的定义，故A符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； C．等式左边含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．中应该才是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：A． 6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  0      D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解的概念及计算是关键． 根据题意，把代入计算即可． 【详解】 解：是一元二次方程的一个解， ∴， 解得，， 故选：C ． 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（       ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程，求解m的值即可． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴代入得：， 整理得：， 即， ∴， ∴； 故选：A． 8．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）若关于的方程是一元二次方程，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得出二次项系数不为零，即可得答案． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 故选：A． 9．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，形如，（，，均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据形如，（ ，，均为常数）的整式方程判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、中分母有未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、是二元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知方程的一个根为，则代数式的值为（     ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【分析】 本题考查了由一元二次方程根的定义，已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据方程根的意义，得出，再利用该等式对所求代数式进行化简求值． 【详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）下列方程中不一定是一元二次方程的是(     ) A. (a-3)x2=8 (a≠3) B. ax2+bx+c=0 C. (x+3)(x-2)=x+5 D.  【答案】B 【详解】本题根据一元二次方程的定义解答． 解：A. 由于a≠3，所以a−3≠0，故(a−3)x2=8(a≠3)是一元二次方程； B. 方程二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程； C. 方程展开后是：x2−11=0，符合一元二次方程的定义； D. 符合一元二次方程的定义. 故选B. 点睛：本题主要考查一元二次方程的定义.解题的关键要根据一元二次方程必须满足四个条件进行判断，即（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程； （4）含有一个未知数． 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）下列哪个方程是一元二次方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程进行判断即可． 【详解】 解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程属于分式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意； D、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 13．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 【详解】 解：．是一元二次方程，故该选项符合题意； ． 含有两个未知数，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是分式方程不是整式方程，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．含有两个未知数且最高次数为1，则不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 14．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若是方程 的一个根，则代数式 的值是（  ） A. 2022 B. 2020 C. 2018 D. 2016 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，整体代入法求代数式的值． 由一元二次方程的根的定义得，然后将代数式变形后代入计算即可． 【详解】 解：∵ a是方程的根， ∴， 即 ． ∴． 故选A． 15．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知为方程的根，那么的值为（　　） A. -2022 B. 2022 C. 0 D. 4044 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】 解：∵为方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 故选：C． 16．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）请写出一个有一根为2的一般形式的一元二次方程　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设方程的两根是1和2，因而方程是，即，本题答案不唯一． 【详解】 解：设方程的另一根为1， 则根据因式分解法可得方程为， 即． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把代入成立即可． 18．（2026·黑龙江牡丹江·调研）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程的根，能够通过一元二次方程的根计算出参数是解决本题的关键．利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程求解即可． 【详解】 解：将代入方程，得，解得． 故答案为：4． 19．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， 即，， ∴ 故答案为：． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 21．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 【答案】， 【分析】 先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）． 【详解】 解： ∵a是方程x2－x=6的根， ∴a2－a=6． ∴原式=． 22．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知等腰三角形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为8，则的周长　　　　　　　　． 【答案】23或25 【分析】 首先求出一元二次方程的两个根，然后根据等腰三角形的定义分情况讨论即可． 【详解】 ∵， ， 是等腰三角形， ①，不成立； ②， ∴ 此时三边分别为8，8，9， ∴周长为； ③， ∴， 此时三边分别为7，8，8， ∴周长为， 故答案为：23或25． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的解和等腰三角形的定义，分情况讨论是解题的关键． 23．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】 解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：1． 24．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）若是关于的一元二次方程，则　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】 解：由题意知 ， 解得 ， ， 故答案为：1． 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】（1） 解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”；     （2）的值为，的值为6      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即 ， 解得 ， 的值为，的值为6． 26．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； （3）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； (1) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 27．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）写出二次项系数为5，以x1=1，x2=2为根的一元二次方程　　　　　　　　 【答案】5x2﹣15x+10=0 【详解】∵1+2=3，1×2=2， ∴以x1=1，x2=2为根的一元二次方程可为x2−3x+2=0， 当二次项系数为5,方程为5x2−15x+10=0. 故答案为5x2−15x+10=0. 28．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）先化简，再求值：，其中，是方程的根． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 29．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知是方程 的一个根，求代数式 的值． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确掌握代入法是解决本题的关键． 先由一元二次方程的解得到，然后变形为，再整体代入求值． 【详解】 解：∵是方程 的一个根， ∴ ， ． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 【详解】解：x2-6x=-1， x2-6x+9=8， （x-3）2=8． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查用配方法解一元二次方程．通过配方法将方程转化为完全平方形式，从而得出正确选项． 【详解】 解： ∴（添加一次项系数一半的平方） 因此，配方结果为， 故选：B． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（     ） A. 2027 B.  C. 2023 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，求代数式的值，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较系数求出和，再计算的值，熟练掌握配方法是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵用配方法将方程转化为的形式， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据配方法的步骤，进行配方后再进行判断即可． 【详解】 解：， 移项，得： 配方，得：， 即：； 故选A． 【点睛】 本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤：1化，2移，3配，是解题的关键． 5．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（                  ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】先把方程变形为x2−4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x−2）2＝11即可． 【详解】x2−4x＝7， x2−4x＋4＝11， 所以（x−2）2＝11． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）一元二次方程的实数根是　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】 解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）将一元二次方程化成的形式，则　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】 解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）定义新运算： 例如：，．若，则的值为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】 解：∵ 而， ∴① 当时，则有， 解得，； ② 当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 9．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，德强广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化． （1）请用含有、的式子表示德强广场长方形地块的面积为_____平方米．（结果写成最简形式）； （2）求用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （3）若，，求出绿化的总面积． 【答案】（1）     （2）绿化的总面积为平方米；     （3）绿化的总面积为13200平方米．      【分析】 本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键． （1）根据长方形面积公式计算即可； （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （2）把，，代入（2）所求结果中计算求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，长为米，宽为 ， 长方形地块的面积为平方米． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米； (3) 小问详解： 解：当，时， （平方米）， 绿化的总面积为13200平方米． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）是一个完全平方式，且，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征，常数项9是3的平方，因此m的值为，再结合，可得． 【详解】 解：因为是一个完全平方式， 所以它应满足的形式， 因此. 又因为， 所以． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程和配方法解一元二次方程． (1) 用直接开平方法解一元二次方程； (2) 用配方法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 整理得：， 移项得：， 配方得：， 分解因式得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）若代数式可以配方为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可． 【详解】 解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题． 例1分解因式：解： 例2求代数式的最小值．解：，，即代数式的最小值是－4． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_____； （2）当_____时，多项式有最_____值（填“大”或“小”）；这个最值为_____； （3）若实数满足，求的最小值． 【答案】（1）     （2）3，大，6     （3）4      【分析】 本题考查了配方法的应用，包括因式分解、求代数式的最值，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，将多项式转化为完全平方式与常数的和或差的形式． （1）根据题干范例，利用配方法将多项式配方，再利用平方差公式进行因式分解； （2）通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的形式，根据完全平方式的非负性判断最值情况； （3）先根据已知条件用表示出，再将转化为完全平方式，进而求其最小值． (1) 小问详解： 解：1、分解因式 ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， ，则． 当时，多项式有最大值，这个最值为6， 故答案为：3，大，6； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ，即的最小值为4． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】B 【分析】 此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 2．（2026·黑龙江牡丹江·调研）利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有一个实数根 D. 方程无实数根 【答案】A 【分析】 计算判别式的值判断二次方程根的情况即可，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况是解题的关键． 【详解】 解：对于方程 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）解方程最适当的方法是（       ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 求根公式法 D. 因式分解法 【答案】C 【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据解方程的过程即可得到答案． 【详解】 解：， ， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）判断方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程，，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为零且判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和有实数根的条件，先确定二次项系数不为零，再通过判别式求解的取值范围． 【详解】 解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式，即， ∴ ，得． 综上，且． 故选：D． 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 故选：D． 7．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（       ） A. x2﹣2x＋2＝0 B. x（x﹣2）＝﹣1 C. （x﹣k）（x＋k）＝2x＋1 D. x2＋1＝0 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程根的判别式与方程根的对应情况分别进行判断． 【详解】 解：A.∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根，不符合题意； B.方程变形为x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根，不符合题意； C.方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0， ∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根，符合题意； D.∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0， ∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程根的判别式 进行计算即可． 【详解】 解：根据一元二次方程一元二次方程有两个实数根， 解得：， 根据二次项系数 可得： 故选D． 【点睛】 考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 9．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（       ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键． 根据题意得到关于k的不等式，解不等式，同时，即可求解． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， ， 且． 故选：C． 10．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）定义运算：对于任意实数m、n．有，例如，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为（   ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 该题考查了一元二次方程，根据运算定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式大于零且二次项系数不为零求解． 【详解】 解：∵， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴该方程为一元二次方程，且判别式大于等于零． ∴，即， 且判别式， 解得． ∴且． 故选：D． 11．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）一元二次方程根的判别式的值为（　　） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为 ，据此代值计算即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：B． 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(     ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据运算定义将方程转化为二次方程，计算判别式并分析其恒正，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 即． 判别式． ∵， ∴恒成立． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 13．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A. 1 B.  C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零求出m的取值范围即可．． 【详解】 ∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，    解得 ， ∴ 且 ． 故选B． 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．当底边为3，利用根的判别式的意义得到，解得；当腰为3时，把代入关于的方程得，解得． 【详解】 解：当底边为3，两腰为关于的方程的两个根， ， 解得， 此时方程为，解得， 此时三边长为3，2，2，因为，所以能构成三角形； 当腰为3时，把代入关于的方程得， 解得， 此时方程为，解得，， 三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，的值为4或3． 故选：C． 15．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  【答案】A 【分析】 先把方程化为一般式为：有实数，然后根据一元二次方程的定义和的意义可得且，即，再解两个不等式，它们的公共部分即为的取值范围． 【详解】 解：方程化为一般式为：有实数， 关于的一元二次方程有实数根， 且，即，解得， 的取值范围是且． 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 16．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式列不等式求解，然后进行验证即可． 【详解】 解：根据题意，当时， ， 解得，且； 当时，原方程为一元一次方程， 解得，有实数根； 综上，当时，原方程有实数根． 故选：A． 17．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 【答案】D 【分析】 根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】 ∵方程有两个不相同的实数根， ∴ 解得：m＜1． 故选D． 【点睛】 本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】 解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 22．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若关于的方程有实数根，则的最大整数值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 【详解】 解：方程 有实数根，则判别式 ， 其中 ， 由 ，得 ，解得 ， 因此，k的最大整数值为1， 故答案为：1． 23．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）根据配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， 配方： ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴． 24．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将    代入方程， 得 ，即 ， 解得． 25．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知关于 的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】 本题考查了方程的根的情况，一元二次方程根的判别式，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意，分两种情况分析，当时，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到，当时，方程为一元一次方程，即可求解． 【详解】 解：根据题意得当时，， 解得 且， 当时，方程为：为一元一次方程，有实数根， 综上可得： ． 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）利用直接开平方法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 移项，得． 系数化为1，得 两边开平方，得． 解得． (2) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当时，则相应的“勾系一元二次方程”为________； （2）当时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． （3）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1）     （2），，，     （3） 证明：对方程，判别式 ∵ ， ∴ 又 ∵， ∴ 故方程必有实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可求解； （2）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义写出该“勾系一元二次方程”，最后利用公式法解方程即可； （3）根据一元二次方程根的判别式证明即可． (1) 小问详解： 解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 当， ， ， ∴，； 当， ， ， ∴，； ∴“勾系一元二次方程”的根为，，，； (3) 小问详解： 证明：略． 28．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若实数a、b满足，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式、算术平方根的非负性等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据非负数的性质求出，，再根据且，得到k的取值范围即可． 【详解】 ∵， ∴，且， 解得， 又∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即，且， 解得且； 故答案为：且． 29．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根． 【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27 【分析】 方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数且大于0的m的值，求得后再代入方程检验即可． 【详解】 解：解方程 得 ∵原方程有两个不相等的整数根， ∴为完全平方数， 又∵m为整数，且3<m<30， ∴m=8或18 ∴当m=8时，x=17或9 当m=18时，x=39或27 【点睛】 一元二次方程有整数根，必须满足根的判别式Δ=b2-4ac非负或为完全平方数，可根据这两个条件来限定待定系数的取值范围，从而找出解题的思路． 30．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】 解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴ ， 解得 ． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　（填序号） 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】 解：① 若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法① 错误； ② 由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法② 正确； ③ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③ 正确； ④ 若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④ 正确． 故答案为：② ③ ④ ． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）一元二次方程 的根是（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，通过因式分解求解方程，根据零乘积性质得出根． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即． 故选：C． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）下列各式是因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解． 根据因式分解的意义逐个判断即可． 【详解】 解：A．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等式从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．等式右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 4．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）矩形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A. 0或4 B. 0 C. 4 D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，根的判别式，解一元二次方程．矩形的两条对角线长度相等，因此方程有两个相等的实数根，需满足判别式为零，且二次项系数不为零． 【详解】 解：∵矩形的两条对角线相等， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得或， 又∵当时，方程变为，不成立， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，确定出矩形的长和宽，代入周长和面积公式计算即可求解，掌握了解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵矩形的长和宽恰好是方程的两个根， ∴矩形的长为，宽为， ∴矩形的周长为，面积为， 故选：． 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）分解因式：2x2﹣8=　　　　　　　 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【分析】 先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】 2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】 考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）把多项式分解因式的结果为　　　　． 【答案】 【分析】 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】 解： = = 故答案为：． 【点睛】 本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法． 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）把多项式分解因式的结果是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】 解：， 故答案为： ． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）因式分解：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分解因式，先提取公因数5，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 10．（2026·黑龙江牡丹江·调研）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、配方法），掌握不同解法的适用场景与操作步骤是解题关键． （1）通过移项将方程化为标准形式，再利用因式分解法将方程转化为两个一次方程求解； （2）先将二次项系数化为 1，再通过配方把方程转化为完全平方式，最后开平方求解． (1) 小问详解： 解： 解得：， (2) 小问详解： 解： 解得：， 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）把多项式因式分解的结果是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】 解： ． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）因式分解： =　　　． 【答案】． 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ，． (2) 小问详解： 解： ，． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）因式分解：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】 解：原式， 故答案为：． 【点睛】 本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 15．（2026·黑龙江绥化·调研）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ， ， 即， ， 解得：，． 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据因式分解法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解； （3）根据公式法即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 或， 方程的解为，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 方程的解为，； (3) 小问详解： 解：， ，，， ， ， 方程的解为，． 17．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）把多项式分解因式的结果是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式．先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】 解： ． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得． (2) 小问详解： ， 其中， ∴ ∴， 解得． 19．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴， (2) 小问详解： 解： ， ， ∴，． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）因式分解　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】 解： ， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 22．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）把多项式因式分解的结果是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解，需综合运用提公因式法和公式法分解因式求出结果即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是　　　　　　． 【答案】6或 【分析】 先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键． 【详解】 解：， 或 或． ①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是； ②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是． 故答案为：6或． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长．则等腰三角形的周长为　　　　　　 【答案】或 【分析】 运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长． 【详解】 解： 因式分解得，， ∴当时，；当时，； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若关于的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 将x=-2代入方程得：4－2(k+3)+k=0，解得：k=-2，再把k=-2代入原方程求解． 【详解】 将x=-2代入方程得：4－2(k+3)+k=0， 解得：k=-2， ∴原方程为：+x－2=0， 则(x+2)(x－1)=0， 解得：x=-2或x=1， ∴另一个根为1． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题． 27．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）解方程． 【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：整理得， 移项得， 因式分解得． 即， 解得． 28．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围． 【答案】（1） ， 根据题意得：， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证； （2）利用因式分解法，求出方程的两个根为，再由该方程有一实数根大于2，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∴， 解得：， ∵该方程有一实数根大于2， ∴， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 29．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式分解因式的结果是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用．提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 30．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）用适当的方法解下列方程： ． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项，再利用因式分解法解方程． 【详解】 解： 或 ∴，． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）分解因式　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式． 先提公因式a，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法，解方程即可； （2）利用因式分解法，解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，． 33．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）计算下列各题： （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用因式分解法求解； （2）用公式法求解． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 即， 所以或， 解得：，； (2) 小问详解： ， 移项，得， ，，， 所以， 所以， 解得：，． 34．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 35．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了利用配方法和因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：=0 ， 解得    (2) 小问详解： ， ， 配方： ， ∴， ∴ 36．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知，则的值是 　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 37．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 38．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令， 则原式=________________=________________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤； （2）因式分解：． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了因式分解、整体代换的思想，灵活运用整体思想是解题的关键． （1）用x替换可得，再套用完全平方公式进行分解，最后将x换元即可解答； （2）令，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将y还原成即可解答． (1) 小问详解： 解：将看成一个整体，令， 则原式，将还原得，原式． (2) 小问详解： 解：将看成一个整体，令， 则原式 ； 将代入原式，原式． 39．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）因式分解：　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 40．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法和公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得： (2) 小问详解： 解： ∵， ∴ 解得： 41．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根；     （2），另一个根为．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 42．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解法求解即可． （2）利用移项、提取公因式因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 所以； (2) 小问详解： 解： ， ， ， 则或， 所以，． 43．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）多项式因式分解的结果是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 【详解】 解：原式， ， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）用合适的方法解下列方程 （1） （2）； （3） （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）整理后利用直接开平方法解该一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解该一元二次方程即可； （3）利用公式法解该一元二次方程即可； （4）利用公式法解该一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 即或， ； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (4) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 45．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）实数满足，则的值是　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 设，将原方程转化为关于的二次方程，求解后根据实数条件确定答案即可． 本题考查了换元法解方程，根的判别式，熟练掌握换元法是解题的关键． 【详解】 解：设， 则原方程化为 ， 因式分解得 ， 解得或； 当时，，即， 判别式，无实数解； 当时，，即， 判别式，有实数解； 故的值为3， 故答案为：3． 46．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）解方程与化简求值 （1）解方程 ① ② （2）先化简，再代入求值 ，其中是一元二次方程的一个根． 【答案】（1）①，；②，     （2）；2      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）① 方程移项后运用因式分解求解即可； ② 方程运用因式分解法解答即可； （2）根据分式的混合运算的计算法则进行计算即可，化简后，再求出，代入求值即可． (1) 小问详解： 解：① ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ∴，； (2) 小问详解： 解： ； ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式 47．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若一元二次方程的两根恰好是一个直角三角形的两边长，则这个直角三角形的第三边长为　　　　　　　　　　　． 【答案】3或 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，即为直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边：当两根均为直角边时，第三边为斜边；当其中一根为斜边时，第三边为直角边． 【详解】 解方程 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 即直角三角形的两边长为4和5． 当4和5均为直角边时，第三边（斜边）长为 ； 当5为斜边时，第三边长为 ． 故第三边长为3或． 48．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）把看成一个整体，利用因式分解法进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， 解得； (3) 小问详解： ， ， ， 解得； (4) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 49．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）若，则的值为　　　　　． 【答案】2 【分析】 此题考查了求代数式的值、因式分解，熟悉相关性质是解题的关键． 由已知条件可得，然后将所求代数式拆项，整体代入计算． 【详解】 解：∵ ， ∴ ． ∴ ， 把代入，得 ． 故答案为：2． 50．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是　　　　． 【答案】2 【分析】 先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】 解：由题意得：， ． 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 51．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）； （3）（公式法）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 此题考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法与公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ∴或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 52．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是　　　　　． 【答案】10． 【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可． 【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0， 分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0， 解得：x＝或x＝4， 当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去； 则三角形周长为4+4+2＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 53．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）先化简，再求值． ，其中x，y为整数，且满足． 【答案】，0 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式和去括号法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出x，y的值，最后代入化简的结果计算即可． 【详解】 解： ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ． 54．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （）先方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解： ，，， ∴， ， ，． 55．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，利用因式分解法求出，进而可得 ，解不等式组即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为：． 56．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数解析式； （2）若的面积为，在点运动过程中，求出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，坐标平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点的坐标为或      【分析】 （1）过点作于，解方程可得，然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出、和的长，得到点、的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接交于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，再求出，可得为的中点，利用勾股定理可得，再证得是等边三角形，可得，然后分情况讨论，当时，即点在线段上运动时，过点作于，连接，当时，两点重合，则三点共线，不存在，不符合题意；当时，同理即可解答； （3）分情况讨论，① 当是矩形的边时，则，过点作于，首先求出，然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出和，再利用平移的性质得出点的坐标；② 当是矩形的对角线时，则，过点作于，证明，可得然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，再利用平移的性质得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：方程， 解得，（舍去）， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ∴，即， ∴， （负值舍去）， ， 过点作于，如图1， ，， ∴， ∴， ， ， 设直线的解析式为，代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：连接交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则，令时，解得， ， ， ∵， ∴为的中点， 在中，， ， 是等边三角形， ， 当时，即点在线段上运动时，过点作于，连接，如图2， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 当时，两点重合，则三点共线，不存在，不符合题意； 当时，即点在线段上运动时，如图3， 则， ∴， 同理得， ∴的面积； 综上所述，与的函数关系式为 ； (3) 小问详解： 解：存在，点的坐标为或， ① 如图4，当是矩形的边时，则，过点作于， ，， ，即点为与的交点， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ， ； ② 如图5，当是矩形的对角线时，则，过点作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ∴， ， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ， ； 存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标是或． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用相关知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 57．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）（1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中a的值为方程的解． 【答案】（1）， （2）， 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，分式化简求值． （1）先将原方程进行化简，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法进行化简，然后合并同类分式，最后利用已知方程整体代入求值即可． 【详解】 解：（1）， ， ， ∴，． （2）原式 ， ∵a的值为方程的解， ∴， 将代入原式得：， ∴原式的值为． 58．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，点在第二象限，线段的长是一元二次方程的两根，． （1）求点的坐标； （2）求直线的函数解析式； （3）点在直线上，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）直线解析式为；     （3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，一共个点，点坐标为或或或或．      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，菱形的性质，解一元二次方程，等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）解方程可求，的长，即可求解； （2）由直角三角形的性质和勾股定理可求，即可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）先求出点坐标，分三种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求点坐标，由中点坐标公式可求点坐标． (1) 小问详解： 解：线段，的长是一元二次方程的两根， 解得： ， ，； (2) 小问详解： 如图1，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 不合题意舍去，， ，， 点， 设直线解析式 由题意可得， 解得： ， 直线解析式为； (3) 小问详解： 存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，一共个点， 设直线的解析式为 由题意可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 当时，， 点， ， ， 设点，点， 如图，当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， ， 点或 四边形是菱形， 与互相平分， 或 或 或 如图，当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， 或， 点或 四边形是菱形， 与互相平分， 或 或 ， 点或； 当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， ， 点， 四边形是菱形， 与互相平分， 综上所述，点坐标为或或或或． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键． 直接根据根与系数的关系，，代入计算即可． 【详解】 解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）、是方程的两个根，则（     ） A. 4 B. 10 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】 解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）关于的方程有一个根为则另一个根为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】 解：设原方程的另一根为x，则： ， ∴x=4+1=5， 故选C． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可得出答案. 【详解】∵（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根 ∴且k-1≠0 解得：.k＜2且k≠1 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的个数与判别式的关系：① 当时，有两个不等实根；② 当时，有两个相等实根；③ 当时，无实数根. 5．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C.  D. 4010 【答案】B 【分析】 由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】 解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 6．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系． 利用一元二次方程根的定义，将代数式中的项转化为含根的形式，再根据根与系数的关系求值． 【详解】 ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， 同理，， ∴， ∵方程 中，常数项为2025， ∴， 故代数式的值为 2025． 故选：C． 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知方程的两根分别为、，则的值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2024 【答案】B 【分析】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】 解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由方程根的定义和根与系数的关系，整体代入求值． 【详解】 解：∵是方程 的根， ∴ ， 即 ， 又∵ 、是方程的两个实数根， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 9．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）若，是方程的两个解，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后展开所求表达式并代入计算即可． 【详解】 解：∵，是方程的两个解， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）设是方程 的两个根，且－＝1,则m=　　　　　　　. 【答案】3 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 11．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）的值为1或      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 12．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；     （2）；      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． (1) 小问详解： 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解的定义及根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，根据已知可得，，整体代入代数式，即可求解． 【详解】 解：∵，是方程的根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形求值即可． 【详解】 解：， 由根与系数的关系，得：，， 则． 故答案为：. 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根；     （2）3      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 18．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，且满足，求的值． 【答案】（1）且     （2）的值是1      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式可得根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可得到方程解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原方程有两个不相等的实数根， 整理得， ， ， 且； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故的值是1． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是　　　．（填上你认为正确结论的所有序号） 【答案】① ② ． 【详解】① ∵方程中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣2）=（a﹣b）2+4＞0， ∴x1≠x2；故①正确； ② ∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确； ③ ∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2； ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2；故③错误； 综上所述，正确的结论序号是：① ② . 21．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）若关于x的方程的一个根是，则另一个根为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系得到，求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：设另一个根为，由题意可得： ， 解得：， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 　　　　　． 【答案】2022 【分析】 根据一元二次方程根的定义得到 ，则 ，再利用根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是一元二次方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ∴． 故答案为：2022． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握，若 ， 是一元二次方程 （ ）的两根时， ， ． 23．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【答案】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3） ＝4k2+4k+1﹣16k+12 ＝4k2﹣12k+13 ＝（2k﹣3）2+4， ∵（2k﹣3）2≥0， ∴△＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）14． 【分析】 （1）计算判别式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到△＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． 【详解】 （1）略 （2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3， 而AB2+BC2＝AC2＝（）2， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2， 而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC＝7， ∴矩形ABCD的周长为14． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知是方程的两根，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）2     （2）8      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于掌握． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将整理为，再将代入整理后的式子求解，即可解题； （2）提取公因式，将式子整理为，再将代入整理后的式子求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：分别是一元二次方程的两根， ， ； (2) 小问详解： 解： ． 25．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）【阅读材料1】 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，． 我们将上述解题的方法叫换元法． 【阅读材料2】 已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 解方程，可设__________，原方程可化为__________． 经过运算，原方程的解是__________． （2）间接应用： 已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），，，；     （2）      【分析】 本题考查的是换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）设，原方程可化为，再解方程求解y，再分类求解x的值即可； （2）先判断，可得，是方程的两个根，可得，，再利用完全平方公式的变形进行求解即可． (1) 小问详解： 解：解方程，可设，原方程可化为， ∴， 解得：，， 当，则， 解得：， 当时，则，方程无解， ∴原方程的解为：，； (2) 小问详解： ∵的两个根为，，则， ∴，不互为相反数， ∴， ∵实数，满足，，且， ∴， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在， 【分析】 （1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】 本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【分析】 （1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 28．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，矩形的面积，运用了不等式和方程的思想， （1）根据方程有两个实数根可知，求解即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于的方程，求解即可； 解题的关键是掌握：（1）式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根；（2）一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； (2) 小问详解： ∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为， ∴ ， ∴， 解得：，， 由（1）知：， ∴， ∴的值为． 29．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知是方程的两个实数根，则        ，        ，求代数式的值． 【答案】；； 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根与系数的关系求出，，将变形为，整体代入即可求解． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 30．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为、，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根．     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后利用完全平方公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由韦达定理： ∴ 解得：． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】 解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元”可得答案． 【详解】 解：由题意得：． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 4．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【分析】 根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】 解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】 本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件．若设这个百分数为，则可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程增长率问题的实际应用，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．根据题意，第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400，且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x． 【详解】 根据题意可得，， 故选：B． 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了列一元二次方程，设彩纸的宽度为，根据“在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】 解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意列出方程即可求解． 【详解】 解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛， ∴总比赛场数为， ∵总共比赛45场， ∴． 故选：B． 9．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用—变化率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，本题原来的量为100，则二月份和三月份的营业额分别为和，相加即可． 【详解】 解：∵一月份的营业额为100万元， ∴则二月份和三月份的营业额分别为和， ∴第一季度的营业额为， ∴，即．   故选：D ． 10．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经成为人们喜爱的交通工具．经考量，某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的10000辆增加到三月份的14400辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为10000辆，三月份增至14400辆，设平均每月增长率为x，则三月份销量为，然后列出等式即可． 【详解】 解∵ 每月增长率为x， ∴ 二月份销量为， 三月份销量为． 根据题意，三月份销量为14400辆， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程． 【详解】 解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个）， 由题意得． 故选：C 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为万元和万元，三月份销售额甲店比乙店多万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求乙店这两个月的月平均增长率各是多少？（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设乙店的平均增长率为x，则甲店的平均增长率为，根据三月费用列等式求解即可得到答案； 【详解】 解：设乙店的平均增长率为x，则甲店的平均增长率为，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 故选C； 【点睛】 本题考查一元二次方程平均增长实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式并正确求解． 13．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程即可． 【详解】 设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x， 由题意得：， 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程增长率问题的应用，理解题意列出方程是解题的关键． 14．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题成为解题的关键． 根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】 解：依题意可得：． 故选C． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】 设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 16．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】 解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 17．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某商品原价为元，经过两次降价后售价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则可列方程为（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设每次降价的百分率为， 根据题意得， 故选：． 18．（2026·黑龙江牡丹江·调研）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A. 1+x2＝91 B. （1+x）2＝91 C. 1+x+x2＝91 D. 1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 【分析】 如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】 解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x⋅x=x2个， 根据题意可列出方程为：1+x+x2=91， 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 19．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 先求出的长，再根据面积公式列方程即可． 【详解】 解：∵试验田垂直于墙的一边的长为， ∴， 则边使用篱笆， ∵边开有一扇宽的门， ∴， ∵面积为， ∴． 故选：C． 20．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，翰林小区物业计划在一个长米、宽米的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x米的道路，中间是宽2x米的道路，如果停车区域的总面积是平方米，那么x的值是 （     ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：矩形场地长米、宽米，停车位两侧是宽x米的道路，中间是宽2x米的道路， 停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得 即 解得，． ，不合题意舍去， 故选：C． 21．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（       ） A. 4.4% B. 12% C. 20% D. 24% 【答案】C 【分析】 利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可. 【详解】 解：设平均增长率为x，根据题意，得 10=14.4， 解得x=0.2或x=-2.2（舍去）， 所以x=0.2即平均增长率为20%， 故选C. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键. 22．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）初三毕业季，某班级班主任老师送给每名同学一张明信片，同学之间又互送了一张明信片，一共有张明信片，问班级一共有多少名学生？设班级有名学生，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设班级有名学生， 根据题意得：， 故选：． 23．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有　　　　　　个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】 解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 24．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积为，求道路的宽． 【答案】 【分析】 本题考查了平移的性质、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设道路的宽为，根据道路的面积等于长方形地面的面积减去花草的面积建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：设道路的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 25．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】 设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有　　　人被传染. 【答案】448 【详解】 设一个患者一次传染给x人，由题意，得 x（x+1）+x+1=64， 解得：x1=7，x2=-9（舍去）， 第三轮被传染的人数是：64×7=448人． 故答案为：448 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）某商品经过两次涨价，每件零售价由元涨为元，求平均每次涨价的百分率． 【答案】平均每次涨价的百分率为 【分析】 此题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程，涨价一次则乘，涨价两次则乘，直接列一元二次方程求解即可． 【详解】 依题意得：， 解得． 因为，所以； 答：平均每次涨价的百分率为． 28．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）     （2）万元      【分析】 （1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】（1）；     （2）降价元      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为     （2）购买的这种健身器材的套数为200套      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； (2) 小问详解： 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 32．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）某次篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），计划安排66场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? 设应邀请x支球队参加比赛，则列得方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际运用，根据每队都要赛场，再根据“赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）”列方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各台单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品： （1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？ （2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值． 【答案】（1）去乙公司购买花费少．     （2）4或6或12．      【分析】 （1）把数量5分别代入甲乙两家公司的计算即可求出到哪家公司购买花费较少； （2）把数量a分别代入甲乙两家公司计算，费用用含a表示，然后讨论① 当去甲公司花费比乙公司多24元时；② 当去甲公司花费比乙公司少24元时，分别列等式求出a的值即可． (1) 小问详解： 去甲公司购买花费：（40-5×1）×5=175（元）， 去乙公司购买花费：40×5×75%=150（元）， ∵175>150， ∴去乙公司购买花费少． (2) 小问详解： 去甲公司购买花费： a(40-a)=40a-， 去乙公司购买花费：40×75%a=30a， ∴在两家公司购买相差24元， ∴当去甲公司花费较多时， 40a-=30a+24 整理得：-10a+24=0 解得： 当去甲公司花费较少时， 40a-+24=30a 整理得：-10a-24=0， 解得：（舍去） 综上a的值为4或6或12． 【点睛】 本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费=单价×数量这一等量关系，注意分情况讨论“两家公司购买相差24元”是解答此题的易漏点 ． 34．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）月日中华人民共和国国家勋章和国家荣誉称号颁授仪式在人民大会堂隆重举行，我国小麦远缘杂交育种奠基人和农业发展战略专家李振声，在祖国西北耕耘载，培育推广抗病、高产的远缘杂交小麦，被授予“共和国勋章”．某校八年级学生利用课余时间进行劳动实践，准备种植远缘杂交小麦，试验田一边靠学校的墙（墙的最大可用长度为），其他边用长为的篱笆（篱笆正好全部用完，且不考虑接头的部分）围成中间隔有一道篱笆的长方形，在试验田的前端设计了两个宽的小门，供同学们进出．设试验田的一边的长为． （1）求当为何值时，围成的试验田面积为； （2）能围成面积为的试验田吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）当为时，围成的试验田面积为     （2） 不能围成面积为的试验田，理由如下： 根据题意可得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即不能围成面积为的试验田．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设试验田的一边的长为，则，根据长方形的面积列方程即可求解； （2）根据题意列出方程，再利用一元二次方程根的判别式即可判断． (1) 小问详解： 解：设试验田的一边的长为，则， 根据题意可得：， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， 当为时，围成的试验田面积为； (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个     （3）当售价定为55元时利润最大，最大利润为6250元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为，则，根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要使顾客尽可能得到实惠，取， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． (3) 小问详解： 解：设利润为w，则 ， ，函数开口向下， ∴当时，w最大，最大利润为6250元． 36．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园．如图所示，墙长 ，另外三面用长的篱笆围成，其中边开有一扇宽的门(不含篱笆，其它材料制作)， （1）当矩形花园的边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为． （2）矩形花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为     （2） 解：不能， 理由：设边的长为， 则 ， ， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形花园的面积不能达到．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． （2）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设边的长为， 依题意，得：， 解得：， 不符题意，舍去． 答：当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为． (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个．若这两天的销量相对于前一天的增长率均为，求的值． 【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的实际应用．直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而列出方程，求解即可． 【详解】 解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为，则可列方程为：． 令， 则， 即， 解得：或（舍）， 故． 38．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）     （2）元     （3）9元      【分析】 （1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）根据（1）的解析式将x=3代入求出销售量，再根据每千克利润×销售量=总利润列式求解即可； （3）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（2，120）和（4，140）代入得， ， 解得： ， ∴y与x之间的函数关系式为：y=10x+100（0＜x＜20）； (2) 小问详解： 解：根据题意得，x=3时销售量， （元）， 答：当每千克干果降价元时，超市获利元； (3) 小问详解： 解：根据题意得，(60-x-40)(10x+100)=2090； 解得：x1=1，x2=9；整理得：x2-10x+9=0 为了让顾客获得更大实惠，x=9 答：这种干果每千克应降价9元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 39．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）（多选）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 【分析】 （1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解. 【详解】 解：(1) ∵x2－7x＋12＝0， ∴(x－3)(x－4)＝0， ∴＝3或＝4， 则AB＝3，BC＝4， (2)由题意得， ∴，(舍去)， 则t＝4时，AP＝． (3)存在点P，使△CDP是等腰三角形． ①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ． ②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4． ∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，         ∴t＝ ＝9.5(秒)． ③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q， ，， ∴PC＝2PQ＝，        ∴(秒)， 可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．C 11．B 12．B 13．A 14．A 15．C 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 设方程的两根是1和2，因而方程是，即，本题答案不唯一． 【详解】 解：设方程的另一根为1， 则根据因式分解法可得方程为， 即． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题主要考查方程的根的定义，所写的方程只要把代入成立即可． 18．【答案】4 【分析】 本题考查一元二次方程的根，能够通过一元二次方程的根计算出参数是解决本题的关键．利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程求解即可． 【详解】 解：将代入方程，得，解得． 故答案为：4． 19．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， 即，， ∴ 故答案为：． 20．【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 21．【答案】， 【分析】 先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2－x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可（本题整体代入）． 【详解】 解： ∵a是方程x2－x=6的根， ∴a2－a=6． ∴原式=． 22．【答案】23或25 【分析】 首先求出一元二次方程的两个根，然后根据等腰三角形的定义分情况讨论即可． 【详解】 ∵， ， 是等腰三角形， ①，不成立； ②， ∴ 此时三边分别为8，8，9， ∴周长为； ③， ∴， 此时三边分别为7，8，8， ∴周长为， 故答案为：23或25． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的解和等腰三角形的定义，分情况讨论是解题的关键． 23．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】 解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：1． 24．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】 解：由题意知 ， 解得 ， ， 故答案为：1． 25．【答案】（1） 解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”；     （2）的值为，的值为6      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即 ， 解得 ， 的值为，的值为6． 26．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； (1) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 27．【答案】5x2﹣15x+10=0 【详解】∵1+2=3，1×2=2， ∴以x1=1，x2=2为根的一元二次方程可为x2−3x+2=0， 当二次项系数为5,方程为5x2−15x+10=0. 故答案为5x2−15x+10=0. 28．【答案】， 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 29．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确掌握代入法是解决本题的关键． 先由一元二次方程的解得到，然后变形为，再整体代入求值． 【详解】 解：∵是方程 的一个根， ∴ ， ． 考点02 配方法 1．B 2．B 3．B 4．A 5．A 6．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的直接开平方法，解题的关键是将方程变形为，再利用平方根的定义求解；移项得到，然后开平方得到． 【详解】 解：， 移项，得， 直接开平方得， ∴． 故答案为：，． 7．【答案】15 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】 解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 8．【答案】或 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】 解：∵ 而， ∴① 当时，则有， 解得，； ② 当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 9．【答案】（1）     （2）绿化的总面积为平方米；     （3）绿化的总面积为13200平方米．      【分析】 本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键． （1）根据长方形面积公式计算即可； （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （2）把，，代入（2）所求结果中计算求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，长为米，宽为 ， 长方形地块的面积为平方米． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意， ， 绿化的总面积为平方米； (3) 小问详解： 解：当，时， （平方米）， 绿化的总面积为13200平方米． 10．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征，常数项9是3的平方，因此m的值为，再结合，可得． 【详解】 解：因为是一个完全平方式， 所以它应满足的形式， 因此. 又因为， 所以． 故答案为：． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程和配方法解一元二次方程． (1) 用直接开平方法解一元二次方程； (2) 用配方法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 整理得：， 移项得：， 配方得：， 分解因式得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 12．【答案】 【分析】 本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可． 【详解】 解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）3，大，6     （3）4      【分析】 本题考查了配方法的应用，包括因式分解、求代数式的最值，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤，将多项式转化为完全平方式与常数的和或差的形式． （1）根据题干范例，利用配方法将多项式配方，再利用平方差公式进行因式分解； （2）通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的形式，根据完全平方式的非负性判断最值情况； （3）先根据已知条件用表示出，再将转化为完全平方式，进而求其最小值． (1) 小问详解： 解：1、分解因式 ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， ，则． 当时，多项式有最大值，这个最值为6， 故答案为：3，大，6； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ，即的最小值为4． 考点03 公式法 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．B 12．B 13．B 14．C 15．A 16．A 17．D 18．【答案】 【分析】 由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得的范围． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 21．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】 解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 22．【答案】 【分析】 由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 【详解】 解：方程 有实数根，则判别式 ， 其中 ， 由 ，得 ，解得 ， 因此，k的最大整数值为1， 故答案为：1． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）根据配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， 配方： ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴． 24．【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将    代入方程， 得 ，即 ， 解得． 25．【答案】 【分析】 本题考查了方程的根的情况，一元二次方程根的判别式，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意，分两种情况分析，当时，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到，当时，方程为一元一次方程，即可求解． 【详解】 解：根据题意得当时，， 解得 且， 当时，方程为：为一元一次方程，有实数根， 综上可得： ． 26．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）利用直接开平方法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， 移项，得． 系数化为1，得 两边开平方，得． 解得． (2) 小问详解： 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 27．【答案】（1）     （2），，，     （3） 证明：对方程，判别式 ∵ ， ∴ 又 ∵， ∴ 故方程必有实数根．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可求解； （2）先根据求出，再根据“勾系一元二次方程”的定义写出该“勾系一元二次方程”，最后利用公式法解方程即可； （3）根据一元二次方程根的判别式证明即可． (1) 小问详解： 解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 当， ， ， ∴，； 当， ， ， ∴，； ∴“勾系一元二次方程”的根为，，，； (3) 小问详解： 证明：略． 28．【答案】且 【分析】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式、算术平方根的非负性等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据非负数的性质求出，，再根据且，得到k的取值范围即可． 【详解】 ∵， ∴，且， 解得， 又∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 即，且， 解得且； 故答案为：且． 29．【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27 【分析】 方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数且大于0的m的值，求得后再代入方程检验即可． 【详解】 解：解方程 得 ∵原方程有两个不相等的整数根， ∴为完全平方数， 又∵m为整数，且3<m<30， ∴m=8或18 ∴当m=8时，x=17或9 当m=18时，x=39或27 【点睛】 一元二次方程有整数根，必须满足根的判别式Δ=b2-4ac非负或为完全平方数，可根据这两个条件来限定待定系数的取值范围，从而找出解题的思路． 30．【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】 解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴ ， 解得 ． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 31．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】 解：① 若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法① 错误； ② 由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法② 正确； ③ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③ 正确； ④ 若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④ 正确． 故答案为：② ③ ④ ． 考点04 因式分解法 1．C 2．B 3．C 4．C 5．C 6．【答案】2（x+2）（x﹣2） 【分析】 先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】 2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】 考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 7．【答案】 【分析】 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】 解： = = 故答案为：． 【点睛】 本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法． 8．【答案】 【分析】 本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】 解：， 故答案为： ． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了分解因式，先提取公因数5，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 10．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、配方法），掌握不同解法的适用场景与操作步骤是解题关键． （1）通过移项将方程化为标准形式，再利用因式分解法将方程转化为两个一次方程求解； （2）先将二次项系数化为 1，再通过配方把方程转化为完全平方式，最后开平方求解． (1) 小问详解： 解： 解得：， (2) 小问详解： 解： 解得：， 11．【答案】 【分析】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】 解： ． 故答案为：． 12．【答案】． 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ，． (2) 小问详解： 解： ，． 14．【答案】 【分析】 先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】 解：原式， 故答案为：． 【点睛】 本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用配方法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ， ， 即， ， 解得：，． 16．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据因式分解法即可求解； （2）根据因式分解法即可求解； （3）根据公式法即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 或， 方程的解为，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 方程的解为，； (3) 小问详解： 解：， ，，， ， ， 方程的解为，． 17．【答案】 【分析】 本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式．先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】 解： ． 故答案为：． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法法求解即可． （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得． (2) 小问详解： ， 其中， ∴ ∴， 解得． 19．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴， (2) 小问详解： 解： ， ， ∴，． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】 解： ， 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 22．【答案】 【分析】 本题考查因式分解，需综合运用提公因式法和公式法分解因式求出结果即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 23．【答案】6或 【分析】 先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键． 【详解】 解：， 或 或． ①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是； ②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是． 故答案为：6或． 24．【答案】或 【分析】 运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长． 【详解】 解： 因式分解得，， ∴当时，；当时，； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 25．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．【答案】1 【分析】 将x=-2代入方程得：4－2(k+3)+k=0，解得：k=-2，再把k=-2代入原方程求解． 【详解】 将x=-2代入方程得：4－2(k+3)+k=0， 解得：k=-2， ∴原方程为：+x－2=0， 则(x+2)(x－1)=0， 解得：x=-2或x=1， ∴另一个根为1． 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题． 27．【答案】 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：整理得， 移项得， 因式分解得． 即， 解得． 28．【答案】（1） ， 根据题意得：， ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证； （2）利用因式分解法，求出方程的两个根为，再由该方程有一实数根大于2，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ∴， 解得：， ∵该方程有一实数根大于2， ∴， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用．提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 30．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先移项，再利用因式分解法解方程． 【详解】 解： 或 ∴，． 31．【答案】 【分析】 本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式． 先提公因式a，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 32．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法，解方程即可； （2）利用因式分解法，解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，． 33．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用因式分解法求解； （2）用公式法求解． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 即， 所以或， 解得：，； (2) 小问详解： ， 移项，得， ，，， 所以， 所以， 解得：，． 34．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了利用配方法和因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：=0 ， 解得    (2) 小问详解： ， ， 配方： ， ∴， ∴ 36．【答案】2 【分析】 本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 38．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了因式分解、整体代换的思想，灵活运用整体思想是解题的关键． （1）用x替换可得，再套用完全平方公式进行分解，最后将x换元即可解答； （2）令，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将y还原成即可解答． (1) 小问详解： 解：将看成一个整体，令， 则原式，将还原得，原式． (2) 小问详解： 解：将看成一个整体，令， 则原式 ； 将代入原式，原式． 39．【答案】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法和公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ∴或 解得： (2) 小问详解： 解： ∵， ∴ 解得： 41．【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有实数根；     （2），另一个根为．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的一个根是， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 42．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解法求解即可． （2）利用移项、提取公因式因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 所以； (2) 小问详解： 解： ， ， ， 则或， 所以，． 43．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 【详解】 解：原式， ， 故答案为：． 44．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）整理后利用直接开平方法解该一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解该一元二次方程即可； （3）利用公式法解该一元二次方程即可； （4）利用公式法解该一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 即或， ； (2) 小问详解： 解：， ， 或， ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (4) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ． 45．【答案】3 【分析】 设，将原方程转化为关于的二次方程，求解后根据实数条件确定答案即可． 本题考查了换元法解方程，根的判别式，熟练掌握换元法是解题的关键． 【详解】 解：设， 则原方程化为 ， 因式分解得 ， 解得或； 当时，，即， 判别式，无实数解； 当时，，即， 判别式，有实数解； 故的值为3， 故答案为：3． 46．【答案】（1）①，；②，     （2）；2      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）① 方程移项后运用因式分解求解即可； ② 方程运用因式分解法解答即可； （2）根据分式的混合运算的计算法则进行计算即可，化简后，再求出，代入求值即可． (1) 小问详解： 解：① ， ， ， ， ∴，； ②， ， ，， ∴，； (2) 小问详解： 解： ； ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式 47．【答案】3或 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，即为直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边：当两根均为直角边时，第三边为斜边；当其中一根为斜边时，第三边为直角边． 【详解】 解方程 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 即直角三角形的两边长为4和5． 当4和5均为直角边时，第三边（斜边）长为 ； 当5为斜边时，第三边长为 ． 故第三边长为3或． 48．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）把看成一个整体，利用因式分解法进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， 解得； (3) 小问详解： ， ， ， 解得； (4) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 49．【答案】2 【分析】 此题考查了求代数式的值、因式分解，熟悉相关性质是解题的关键． 由已知条件可得，然后将所求代数式拆项，整体代入计算． 【详解】 解：∵ ， ∴ ． ∴ ， 把代入，得 ． 故答案为：2． 50．【答案】2 【分析】 先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】 解：由题意得：， ． 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 51．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 此题考查了解一元二次方程-配方法，因式分解法与公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ∴或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 52．【答案】10． 【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可． 【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0， 分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0， 解得：x＝或x＝4， 当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去； 则三角形周长为4+4+2＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键. 53．【答案】，0 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式和去括号法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出x，y的值，最后代入化简的结果计算即可． 【详解】 解： ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ． 54．【答案】（1），     （2），      【分析】 （）先方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解： ，，， ∴， ， ，． 55．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，求不等式组的解集，利用因式分解法求出，进而可得 ，解不等式组即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 故答案为：． 56．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点的坐标为或      【分析】 （1）过点作于，解方程可得，然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出、和的长，得到点、的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接交于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，再求出，可得为的中点，利用勾股定理可得，再证得是等边三角形，可得，然后分情况讨论，当时，即点在线段上运动时，过点作于，连接，当时，两点重合，则三点共线，不存在，不符合题意；当时，同理即可解答； （3）分情况讨论，① 当是矩形的边时，则，过点作于，首先求出，然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出和，再利用平移的性质得出点的坐标；② 当是矩形的对角线时，则，过点作于，证明，可得然后利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，再利用平移的性质得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：方程， 解得，（舍去）， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ∴，即， ∴， （负值舍去）， ， 过点作于，如图1， ，， ∴， ∴， ， ， 设直线的解析式为，代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：连接交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入，则，令时，解得， ， ， ∵， ∴为的中点， 在中，， ， 是等边三角形， ， 当时，即点在线段上运动时，过点作于，连接，如图2， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 当时，两点重合，则三点共线，不存在，不符合题意； 当时，即点在线段上运动时，如图3， 则， ∴， 同理得， ∴的面积； 综上所述，与的函数关系式为 ； (3) 小问详解： 解：存在，点的坐标为或， ① 如图4，当是矩形的边时，则，过点作于， ，， ，即点为与的交点， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ， ； ② 如图5，当是矩形的对角线时，则，过点作于， ， 是等边三角形， ， ， ，， ∴， ， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ， ； 存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标是或． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用相关知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 57．【答案】（1）， （2）， 【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，分式化简求值． （1）先将原方程进行化简，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法进行化简，然后合并同类分式，最后利用已知方程整体代入求值即可． 【详解】 解：（1）， ， ， ∴，． （2）原式 ， ∵a的值为方程的解， ∴， 将代入原式得：， ∴原式的值为． 58．【答案】（1），     （2）直线解析式为；     （3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，一共个点，点坐标为或或或或．      【分析】 本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，菱形的性质，解一元二次方程，等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）解方程可求，的长，即可求解； （2）由直角三角形的性质和勾股定理可求，即可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）先求出点坐标，分三种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求点坐标，由中点坐标公式可求点坐标． (1) 小问详解： 解：线段，的长是一元二次方程的两根， 解得： ， ，； (2) 小问详解： 如图1，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 不合题意舍去，， ，， 点， 设直线解析式 由题意可得， 解得： ， 直线解析式为； (3) 小问详解： 存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，一共个点， 设直线的解析式为 由题意可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 当时，， 点， ， ， 设点，点， 如图，当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， ， 点或 四边形是菱形， 与互相平分， 或 或 或 如图，当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， 或， 点或 四边形是菱形， 与互相平分， 或 或 ， 点或； 当与为邻边时， 四边形是菱形， ， ， ， 点， 四边形是菱形， 与互相平分， 综上所述，点坐标为或或或或． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后展开所求表达式并代入计算即可． 【详解】 解：∵，是方程的两个解， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．【答案】3 【详解】试题分析：首先根据韦达定理可得：=4，=m，则4-m=1，解得：m=3. 11．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）的值为1或      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 12．【答案】（1） 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；     （2）；      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 13．【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． (1) 小问详解： 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 14．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解的定义及根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，根据已知可得，，整体代入代数式，即可求解． 【详解】 解：∵，是方程的根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形求值即可． 【详解】 解：， 由根与系数的关系，得：，， 则． 故答案为：. 17．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根；     （2）3      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 18．【答案】（1）且     （2）的值是1      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据判别式可得根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可得到方程解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原方程有两个不相等的实数根， 整理得， ， ， 且； (2) 小问详解： 解：由题意得，， ， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故的值是1． 19．【答案】（1） 证明： ， ∵ ∴ 无论m取任何实数，方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，由于，所以，然后解关于的方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据根与系数的关系得， ∵， ， 解得， 即的值为． 20．【答案】① ② ． 【详解】① ∵方程中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣2）=（a﹣b）2+4＞0， ∴x1≠x2；故①正确； ② ∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确； ③ ∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2； ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2；故③错误； 综上所述，正确的结论序号是：① ② . 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系得到，求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】 解：设另一个根为，由题意可得： ， 解得：， 故答案为：． 22．【答案】2022 【分析】 根据一元二次方程根的定义得到 ，则 ，再利用根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是一元二次方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵m，n是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ， ∴． 故答案为：2022． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握，若 ， 是一元二次方程 （ ）的两根时， ， ． 23．【答案】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3） ＝4k2+4k+1﹣16k+12 ＝4k2﹣12k+13 ＝（2k﹣3）2+4， ∵（2k﹣3）2≥0， ∴△＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）14． 【分析】 （1）计算判别式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到△＞0，从而根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长． 【详解】 （1）略 （2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3， 而AB2+BC2＝AC2＝（）2， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2， 而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC＝7， ∴矩形ABCD的周长为14． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式． 24．【答案】（1）2     （2）8      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于掌握． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将整理为，再将代入整理后的式子求解，即可解题； （2）提取公因式，将式子整理为，再将代入整理后的式子求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：分别是一元二次方程的两根， ， ； (2) 小问详解： 解： ． 25．【答案】（1），，，；     （2）      【分析】 本题考查的是换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）设，原方程可化为，再解方程求解y，再分类求解x的值即可； （2）先判断，可得，是方程的两个根，可得，，再利用完全平方公式的变形进行求解即可． (1) 小问详解： 解：解方程，可设，原方程可化为， ∴， 解得：，， 当，则， 解得：， 当时，则，方程无解， ∴原方程的解为：，； (2) 小问详解： ∵的两个根为，，则， ∴，不互为相反数， ∴， ∵实数，满足，，且， ∴， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 26．【答案】（1），；（2）存在， 【分析】 （1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】 本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 27．【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【分析】 （1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，矩形的面积，运用了不等式和方程的思想， （1）根据方程有两个实数根可知，求解即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于的方程，求解即可； 解题的关键是掌握：（1）式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根；（2）一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； (2) 小问详解： ∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为， ∴ ， ∴， 解得：，， 由（1）知：， ∴， ∴的值为． 29．【答案】；； 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根与系数的关系求出，，将变形为，整体代入即可求解． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 30．【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根．     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后利用完全平方公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由韦达定理： ∴ 解得：． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．C 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 13．C 14．C 15．B 16．A 17．B 18．C 19．C 20．C 21．C 22．D 23．【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】 解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 24．【答案】 【分析】 本题考查了平移的性质、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设道路的宽为，根据道路的面积等于长方形地面的面积减去花草的面积建立方程，解方程即可得． 【详解】 解：设道路的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 25．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】 设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 26．【答案】448 【详解】 设一个患者一次传染给x人，由题意，得 x（x+1）+x+1=64， 解得：x1=7，x2=-9（舍去）， 第三轮被传染的人数是：64×7=448人． 故答案为：448 27．【答案】平均每次涨价的百分率为 【分析】 此题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程，涨价一次则乘，涨价两次则乘，直接列一元二次方程求解即可． 【详解】 依题意得：， 解得． 因为，所以； 答：平均每次涨价的百分率为． 28．【答案】（1）     （2）万元      【分析】 （1）由平均增长率问题的解法，列一元二次方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由等量关系列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得， 解得，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 29．【答案】（1）；     （2）降价元      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 30．【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为     （2）购买的这种健身器材的套数为200套      【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； (2) 小问详解： 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 31．【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 32．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际运用，根据每队都要赛场，再根据“赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）”列方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故答案为：． 33．【答案】（1）去乙公司购买花费少．     （2）4或6或12．      【分析】 （1）把数量5分别代入甲乙两家公司的计算即可求出到哪家公司购买花费较少； （2）把数量a分别代入甲乙两家公司计算，费用用含a表示，然后讨论① 当去甲公司花费比乙公司多24元时；② 当去甲公司花费比乙公司少24元时，分别列等式求出a的值即可． (1) 小问详解： 去甲公司购买花费：（40-5×1）×5=175（元）， 去乙公司购买花费：40×5×75%=150（元）， ∵175>150， ∴去乙公司购买花费少． (2) 小问详解： 去甲公司购买花费： a(40-a)=40a-， 去乙公司购买花费：40×75%a=30a， ∴在两家公司购买相差24元， ∴当去甲公司花费较多时， 40a-=30a+24 整理得：-10a+24=0 解得： 当去甲公司花费较少时， 40a-+24=30a 整理得：-10a-24=0， 解得：（舍去） 综上a的值为4或6或12． 【点睛】 本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费=单价×数量这一等量关系，注意分情况讨论“两家公司购买相差24元”是解答此题的易漏点 ． 34．【答案】（1）当为时，围成的试验田面积为     （2） 不能围成面积为的试验田，理由如下： 根据题意可得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即不能围成面积为的试验田．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设试验田的一边的长为，则，根据长方形的面积列方程即可求解； （2）根据题意列出方程，再利用一元二次方程根的判别式即可判断． (1) 小问详解： 解：设试验田的一边的长为，则， 根据题意可得：， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， 当为时，围成的试验田面积为； (2) 小问详解： 略 35．【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个     （3）当售价定为55元时利润最大，最大利润为6250元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． （3）设利润为，则，根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要使顾客尽可能得到实惠，取， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． (3) 小问详解： 解：设利润为w，则 ， ，函数开口向下， ∴当时，w最大，最大利润为6250元． 36．【答案】（1）当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为     （2） 解：不能， 理由：设边的长为， 则 ， ， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形花园的面积不能达到．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． （2）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设边的长为， 依题意，得：， 解得：， 不符题意，舍去． 答：当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为． (2) 小问详解： 略 37．【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的实际应用．直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而列出方程，求解即可． 【详解】 解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为，则可列方程为：． 令， 则， 即， 解得：或（舍）， 故． 38．【答案】（1）     （2）元     （3）9元      【分析】 （1）由待定系数法即可得到函数的解析式； （2）根据（1）的解析式将x=3代入求出销售量，再根据每千克利润×销售量=总利润列式求解即可； （3）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b， 把（2，120）和（4，140）代入得， ， 解得： ， ∴y与x之间的函数关系式为：y=10x+100（0＜x＜20）； (2) 小问详解： 解：根据题意得，x=3时销售量， （元）， 答：当每千克干果降价元时，超市获利元； (3) 小问详解： 解：根据题意得，(60-x-40)(10x+100)=2090； 解得：x1=1，x2=9；整理得：x2-10x+9=0 为了让顾客获得更大实惠，x=9 答：这种干果每千克应降价9元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 39．【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 【分析】 （1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解. 【详解】 解：(1) ∵x2－7x＋12＝0， ∴(x－3)(x－4)＝0， ∴＝3或＝4， 则AB＝3，BC＝4， (2)由题意得， ∴，(舍去)， 则t＝4时，AP＝． (3)存在点P，使△CDP是等腰三角形． ①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ． ②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4． ∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，         ∴t＝ ＝9.5(秒)． ③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q， ，， ∴PC＝2PQ＝，        ∴(秒)， 可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（2026·黑龙江牡丹江·调研）将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项依次是(          ) A. -1和1 B. 1和1 C. 2和1 D. 0和1 4．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）若是一元二次方程的一个解，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  0      D. 2 7．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（       ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 8．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）若关于的方程是一元二次方程，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知方程的一个根为，则代数式的值为（     ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 11．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）下列方程中不一定是一元二次方程的是(     ) A. (a-3)x2=8 (a≠3) B. ax2+bx+c=0 C. (x+3)(x-2)=x+5 D.  12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）下列哪个方程是一元二次方程（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若是方程 的一个根，则代数式 的值是（  ） A. 2022 B. 2020 C. 2018 D. 2016 15．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）已知为方程的根，那么的值为（　　） A. -2022 B. 2022 C. 0 D. 4044 16．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　． 17．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）请写出一个有一根为2的一般形式的一元二次方程　　　　　　　　　　　　　　　　． 18．（2026·黑龙江牡丹江·调研）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为　　　　　　　　　． 19．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根． 22．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知等腰三角形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为8，则的周长　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）若是关于的一元二次方程，则　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 26．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； （3）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 27．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）写出二次项系数为5，以x1=1，x2=2为根的一元二次方程　　　　　　　　 28．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）先化简，再求值：，其中，是方程的根． 29．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知是方程 的一个根，求代数式 的值． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（     ） A. 2027 B.  C. 2023 D.  4．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（                  ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）一元二次方程的实数根是　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）将一元二次方程化成的形式，则　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）定义新运算： 例如：，．若，则的值为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）如图，德强广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化． （1）请用含有、的式子表示德强广场长方形地块的面积为_____平方米．（结果写成最简形式）； （2）求用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （3）若，，求出绿化的总面积． 10．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）是一个完全平方式，且，则　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）解方程 （1）； （2）． 12．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）若代数式可以配方为，则　　　　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题． 例1分解因式：解： 例2求代数式的最小值．解：，，即代数式的最小值是－4． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_____； （2）当_____时，多项式有最_____值（填“大”或“小”）；这个最值为_____； （3）若实数满足，求的最小值． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  2．（2026·黑龙江牡丹江·调研）利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有一个实数根 D. 方程无实数根 3．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）解方程最适当的方法是（       ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 求根公式法 D. 因式分解法 4．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）判断方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 6．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（       ） A. x2﹣2x＋2＝0 B. x（x﹣2）＝﹣1 C. （x﹣k）（x＋k）＝2x＋1 D. x2＋1＝0 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 9．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（       ） A. 且 B.  C. 且 D.  10．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）定义运算：对于任意实数m、n．有，例如，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为（   ） A.  B.  C. 且 D. 且 11．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）一元二次方程根的判别式的值为（　　） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为(     ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由的值确定 13．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县兄弟学校·期中）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A. 1 B.  C. 5 D. 6 14．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）如果等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 4或7 15．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D.  17．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 18．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　． 21．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若关于的方程有实数根，则的最大整数值是　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 24．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 25．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知关于 的方程有实数根，求的取值范围． 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）解下列方程 （1） （2） 27．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当时，则相应的“勾系一元二次方程”为________； （2）当时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． （3）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 28．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若实数a、b满足，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_____________． 29．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根． 30．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　（填序号） 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）一元二次方程 的根是（  ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）下列各式是因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）矩形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A. 0或4 B. 0 C. 4 D. 1 5．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的周长和面积分别是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道外区·期末）分解因式：2x2﹣8=　　　　　　　 7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末）把多项式分解因式的结果为　　　　． 8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨南岗区·期末）把多项式分解因式的结果是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末）因式分解：　　　　　　　　． 10．（2026·黑龙江牡丹江·调研）解方程： （1）； （2）． 11．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨平房区·期末）把多项式因式分解的结果是　　　　　． 12．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）因式分解： =　　　． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）解下列方程： （1） （2） 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）因式分解：　　　　　　　　　　． 15．（2026·黑龙江绥化·调研）解方程： （1） （2） 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）解方程： （1）； （2）； （3）． 17．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨松北区·期末）把多项式分解因式的结果是　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）解方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）解方程： （1）； （2） 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆区学校·期末）因式分解　　　　　　　　　　　 21．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）解下列方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期中）把多项式因式分解的结果是　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是　　　　　　． 24．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长．则等腰三角形的周长为　　　　　　 25．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）因式分解： （1）； （2）． 26．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）若关于的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）解方程． 28．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一实数根大于2，求a的取值范围． 29．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式分解因式的结果是　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）用适当的方法解下列方程： ． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）分解因式　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）解方程： （1）； （2）． 33．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）计算下列各题： （1）解方程： （2）解方程： 34．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）解方程： （1） （2） 36．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知，则的值是 　　　　　． 37．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔龙·期末）解方程： （1） （2） 38．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令， 则原式=________________=________________，将还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤； （2）因式分解：． 39．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）因式分解：　　　　　　　　　　　　　 ． 40．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末）解方程： （1） （2） 41．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 42．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）解方程： （1）； （2）． 43．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）多项式因式分解的结果是　　　　　． 44．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）用合适的方法解下列方程 （1） （2）； （3） （4）． 45．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）实数满足，则的值是　　　　　　　　． 46．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）解方程与化简求值 （1）解方程 ① ② （2）先化简，再代入求值 ，其中是一元二次方程的一个根． 47．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）若一元二次方程的两根恰好是一个直角三角形的两边长，则这个直角三角形的第三边长为　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 49．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）若，则的值为　　　　　． 50．（25-26学年九上·黑龙江大庆第一中学·期中）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是　　　　． 51．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）； （3）（公式法）． 52．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是　　　　　． 53．（25-26学年九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中）先化简，再求值． ，其中x，y为整数，且满足． 54．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 55．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，且，则的取值范围是　　　　　　． 56．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设运动时间为秒． （1）求直线的函数解析式； （2）若的面积为，在点运动过程中，求出与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）点在运动的过程中，坐标平面内是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 57．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）（1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中a的值为方程的解． 58．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，点在第二象限，线段的长是一元二次方程的两根，． （1）求点的坐标； （2）求直线的函数解析式； （3）点在直线上，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）、是方程的两个根，则（     ） A. 4 B. 10 C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）关于的方程有一个根为则另一个根为（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 5．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C.  D. 4010 6．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知方程的两根分别为、，则的值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 2024 8．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（       ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 1 9．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）若，是方程的两个解，则　　　　　　． 10．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）设是方程 的两个根，且－＝1,则m=　　　　　　　. 11．（25-26学年九上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 12．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 13．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 14．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　． 16．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）设，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 18．（25-26学年·黑龙江齐齐哈尔甘南县部分学校·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，且满足，求的值． 19．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程有两个实数根，且，求m的值． 20．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是　　　．（填上你认为正确结论的所有序号） 21．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）若关于x的方程的一个根是，则另一个根为　　　　　． 22．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 　　　　　． 23．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 24．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）已知是方程的两根，求： （1）的值； （2）的值． 25．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）【阅读材料1】 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，． 我们将上述解题的方法叫换元法． 【阅读材料2】 已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 解方程，可设__________，原方程可化为__________． 经过运算，原方程的解是__________． （2）间接应用： 已知实数，满足，，且，求的值． 26．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔克东县第三中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 28．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 29．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）已知是方程的两个实数根，则        ，        ，求代数式的值． 30．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为、，且，求的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦四中双语学校·期末）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 5．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·黑龙江绥化北林区·期末）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件．若设这个百分数为，则可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·黑龙江哈尔滨道里区·期末）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·黑龙江大庆龙凤区·期中）某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为，则所列方程应为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江地·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经成为人们喜爱的交通工具．经考量，某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的10000辆增加到三月份的14400辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为万元和万元，三月份销售额甲店比乙店多万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求乙店这两个月的月平均增长率各是多少？（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔齐齐哈尔四区·期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·黑龙江龙东地·期中）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·黑龙江龙东地区部分学校·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某商品原价为元，经过两次降价后售价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则可列方程为（  ） A.  B.  C.  D.  18．（2026·黑龙江牡丹江·调研）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A. 1+x2＝91 B. （1+x）2＝91 C. 1+x+x2＝91 D. 1+（1+x）+（1+x）2＝91 19．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边的长为，则下列所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）如图，翰林小区物业计划在一个长米、宽米的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x米的道路，中间是宽2x米的道路，如果停车区域的总面积是平方米，那么x的值是 （     ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 21．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（       ） A. 4.4% B. 12% C. 20% D. 24% 22．（25-26学年九上·黑龙江牡丹江·期中）初三毕业季，某班级班主任老师送给每名同学一张明信片，同学之间又互送了一张明信片，一共有张明信片，问班级一共有多少名学生？设班级有名学生，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有　　　　　　个商家参加了交易会． 24．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积为，求道路的宽． 25．（25-26学年九上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为　　　　　． 26．（25-26学年九上·黑龙江绥化绥棱县·期末）一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有　　　人被传染. 27．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末）某商品经过两次涨价，每件零售价由元涨为元，求平均每次涨价的百分率． 28．（25-26学年九上·黑龙江绥化海伦·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆．某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）为推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 29．（25-26学年九上·黑龙江大庆·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 30．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 31．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 32．（25-26学年九上·黑龙江七台河勃利县·期中）某次篮球球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），计划安排66场比赛，应邀请多少支球队参加比赛? 设应邀请x支球队参加比赛，则列得方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗·期中）有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各台单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品： （1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？ （2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值． 34．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）月日中华人民共和国国家勋章和国家荣誉称号颁授仪式在人民大会堂隆重举行，我国小麦远缘杂交育种奠基人和农业发展战略专家李振声，在祖国西北耕耘载，培育推广抗病、高产的远缘杂交小麦，被授予“共和国勋章”．某校八年级学生利用课余时间进行劳动实践，准备种植远缘杂交小麦，试验田一边靠学校的墙（墙的最大可用长度为），其他边用长为的篱笆（篱笆正好全部用完，且不考虑接头的部分）围成中间隔有一道篱笆的长方形，在试验田的前端设计了两个宽的小门，供同学们进出．设试验田的一边的长为． （1）求当为何值时，围成的试验田面积为； （2）能围成面积为的试验田吗？请通过计算说明理由． 35．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔·期中）公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ （3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？ 36．（25-26学年九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园．如图所示，墙长 ，另外三面用长的篱笆围成，其中边开有一扇宽的门(不含篱笆，其它材料制作)， （1）当矩形花园的边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为． （2）矩形花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 37．（25-26学年九上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个．若这两天的销量相对于前一天的增长率均为，求的值． 38．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？ （3）若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？ 39．（25-26学年九上·黑龙江大庆肇源县·期中）（多选）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）． （1）求AB与BC的长； （2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值； （3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $