第三十章 直线与圆的位置关系全章高频重难题型突破（五大高频+二大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系全章高频重难题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 判断直线与圆位置关系（基础选择填空） 题型2 切线证明大题（本章核心必考，中档解答） 题型3 切线性质综合计算（求角度、线段长，中档） 题型4 三角形内切圆（填空、小解答） 题型5 正多边与圆 核心提升·重难题型归纳 题型1 切线长定理综合（线段相等、角度转化，培优） 题型2 直线与圆综合压轴（圆 + 勾股 + 动点 / 范围，期末拉分） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 判断直线与圆位置关系（基础选择填空） 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 3．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是______ ． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是______． ◆题型2 切线证明大题（本章核心必考，中档解答） 6．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 7．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 9．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 10．（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 11．（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． ◆题型3 切线性质综合计算（求角度、线段长，中档） 12．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 16．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 17．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 18．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 19．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． ◆题型4 三角形内切圆（填空、小解答） 20．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 21．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 22．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 23．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 24．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 25．（25-26九年级上·山东滨州·期末）在学习圆的时候，我们知道三角形有内心和外心，内心是它内切圆的圆心，也是三角形三个内角角平分线的交点；外心是它外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点．我们还知道三角形三条中线也会交于一点，它叫做三角形的重心．重心具有一个很重要的性质：三角形的重心是三条中线的三等分点．下面就让我们来证明一下这个性质． 已知：如图，在中，、、分别是边、、的中点．、、为三条中线，它们交于一点． 求证：是三条中线的三等分点． 26．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，为的直径，平分交于点，，． (1)作的内心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． ◆题型5 正多边与圆 27．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 28．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 29．（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 30．（2026·江苏南京·三模）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 31．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 32．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． ◆题型1 切线长定理综合（线段相等、角度转化，培优） 33．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 34．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）如图，在中，． (1)尺规作图：作出的角平分线，与边交于点O，以O为圆心，为半径作，与交点为D． (2)在（1）所作图形中； ①试判断与直线的位置关系，并说明理由； ②若，，求的长． 35．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． ◆题型2 直线与圆综合压轴（圆 + 勾股 + 动点 / 范围，期末拉分） 36．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． (1)的长为______； (2)将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 37．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 38．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测） 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． (1)求的度数； (2)探究线段、、之间的数量关系，并证明． (3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 39．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 40．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2) 已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 一、单选题 1．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重合，轴，交y轴于点 G．将绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A在直线上，且点A的坐标为，半径为2的的圆心P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点P运动的时间为t秒，则当_____秒时，与x轴相切． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 三、解答题 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 10．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题： 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． 求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，李老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是小文同学改编的题目： 如图，为的直径，C为上一点，于点D，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答小文同学改编的题目． (2)小峰同学在小文同学的基础上进行了如下延伸： 若，，求的直径．请你利用所学知识解答小峰同学延伸的题目． 13．（2026·北京平谷·一模）如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． (1)在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； (2)平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； (3)在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． (1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； (2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； (3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系全章高频重难题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 判断直线与圆位置关系（基础选择填空） 题型2 切线证明大题（本章核心必考，中档解答） 题型3 切线性质综合计算（求角度、线段长，中档） 题型4 三角形内切圆（填空、小解答） 题型5 正多边与圆 核心提升·重难题型归纳 题型1 切线长定理综合（线段相等、角度转化，培优） 题型2 直线与圆综合压轴（圆 + 勾股 + 动点 / 范围，期末拉分） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 判断直线与圆位置关系（基础选择填空） 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵圆心到直线的距离为，的半径为，且， ∴直线与的位置关系是相离， 故选：A． 2．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 3．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解：的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）已知的半径为4，圆心O到某直线的距离为，则该直线与的位置关系是______ ． 【答案】相交 【详解】解：的半径为4，圆心O到直线l的距离为，， 直线l与的位置关系是：相交． 故答案为：相交． 5．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相离 【详解】解：， 因式分解得：， 解得：，， 圆的半径是正数， ， ， ， 直线与的位置关系是相离， 故答案为：相离． ◆题型2 切线证明大题（本章核心必考，中档解答） 6．（2026·广东·中考真题）如图，直线经过上的点，且，，．求证：直线是的切线． 【答案】证明：连接 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点在上， ∴为半径， ∴直线是的切线． 7．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 8．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【详解】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 9．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 10．（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【详解】(1)证明：连接， 则， ，， 又， ，则为等边三角形， ，又， ， ， ， ， ，则，即， 又是半径， 是的切线； （2）解：的半径为2，，， ，， ， ， ． 11．（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； (2)证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． ◆题型3 切线性质综合计算（求角度、线段长，中档） 12．（2026·湖北·中考真题）如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 13．（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， 圆内接四边形的对角互补，， ， ， ，分别与相切于点A，B， ， ． 15．（2026·北京海淀·二模）如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 16．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上，已知，则的度数是________． 【答案】/50度 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴ ． 18．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 【答案】30 【详解】解：∵分别和相切于点A、B， ∴， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 19．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． ◆题型4 三角形内切圆（填空、小解答） 20．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 【答案】/ 【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示： ∴，即垂直平分， ∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴点到的三边距离都是的半径， ∵， ∴， ∴半圆的面积为， 即所有点组成的区域的面积为． 21．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，在中，，，点是AB边上一点（不与点A，B重合），点是的内心，则____________． 【答案】/115度 【详解】∵在中，，， ∴； 又∵是的内心， ∴平分，平分， ∴，； 又∵在中，， ∴， ∴， ∴； 又∵在中，， ∴ 22．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：点，点， ，， ∴在中，； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 23．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 24．（2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26九年级上·山东滨州·期末）在学习圆的时候，我们知道三角形有内心和外心，内心是它内切圆的圆心，也是三角形三个内角角平分线的交点；外心是它外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点．我们还知道三角形三条中线也会交于一点，它叫做三角形的重心．重心具有一个很重要的性质：三角形的重心是三条中线的三等分点．下面就让我们来证明一下这个性质． 已知：如图，在中，、、分别是边、、的中点．、、为三条中线，它们交于一点． 求证：是三条中线的三等分点． 【答案】 证明：如图所示，连接， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， 即是中线、的三等分点， 同理可得， 则是中线的三等分点， ∴是三条中线的三等分点． 26．（25-26九年级上·福建龙岩·期末）如图，为的直径，平分交于点，，． (1)作的内心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)如图所示，点即为所求作的点． （2）解：连接 是直径， ， 在中：， 平分， ， ， ，， 又在中：， ， 平分， ， 又， ， ， ． ◆题型5 正多边与圆 27．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 28．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 29．（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 30．（2026·江苏南京·三模）在正十二边形中，顺次连接某几个顶点恰好构成一个正边形，则可以是____________（写出一个）． 【答案】（答案不唯一，均正确） 【详解】解：要使得取出的顶点构成正多边形，顶点个数需要是的正因数且大于等于， 因为的正因数中大于等于的有，，，，所以，任取一个即可，这里取． 31．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 32．（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． ◆题型1 切线长定理综合（线段相等、角度转化，培优） 33．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 34．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）如图，在中，． (1)尺规作图：作出的角平分线，与边交于点O，以O为圆心，为半径作，与交点为D． (2)在（1）所作图形中； ①试判断与直线的位置关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)①与直线相切，理由如下： 如图，过点O作于点E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为半径， ∴与直线相切； ②设的半径为r，则， ∵，为半径， ∴与相切， ∵与直线相切， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 35．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心． 故答案为：内； （2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∵，，，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如下图，连接， ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴，， 设半径为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型2 直线与圆综合压轴（圆 + 勾股 + 动点 / 范围，期末拉分） 36．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． (1)的长为______； (2)将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 【详解】（1）解：连接，如图 ∵切半圆O于点M，， ∴． ∴． 故答案为：． （2）①∵，连接，如图 ∴， ∴， ∵切圆O于点P，切圆O于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②过点O作于N，连接，如图 有，， ∵， ∴， ∴，即． ③如图所示 ∵，点H是的中点， ∴， ∴， ∵点H是的中点，半圆O绕D顺时针旋转，长度为8， ∴点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧， 即点H的轨迹为， ∵C为定点，G是的中点， ∴点G的轨迹是H轨迹的缩放， 即点G的运动路径长为． 37．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 38．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测） 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． (1)求的度数； (2)探究线段、、之间的数量关系，并证明． (3)如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 【详解】（1）解：为直径， ， ∵， ， ∵， ∴； (2)解：，证明如下： 延长至点M，使得，连接， ，， ， 在和中 ∴， ， ， 在中，， ， ． （3）解：过点作交点N， 如图所示： 为直径， ． ， ， ， 平分 ． 又 ， ， 四边形为正方形． ， ， ， ， ． 在和中， ∴， ， 设 ，则， ， 当，取得最大值，最大值为4， 即最大值为4 ． 39．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗? I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）； II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）； III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． 【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆； （2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证． 【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题： （3）证明锐角三角形的三条高交于一点． 已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高． （4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积． 【详解】（1）解：连接、，如图： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，， ∴， 故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （2）解：假设点落在外，交于点，连接， 根据结论II可得：， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，相互矛盾， 故点在上； 故答案为：；． （3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接， ∵，，，四点共圆， ∴， ∵以，，，四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的边上的高． （4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图： ∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，，共圆，即在的外接圆上， ∵， ∴点为的外接圆圆心， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， 设，， 解得：或（舍去）， ∴， 设直线为，将点和点的坐标代入得：， 解得：， 直线为， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时． 40．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，设的半径为，对于内的点和弦，给出如下定义：若点关于直线的对称点在的外部，且，则称点是弦的“限角对称点”． (1)如图1，当时， ①点．在点中，点___________是弦的“限角对称点”； ②若点是弦的“限角对称点”，则弦的长度最大值是___________； (2)已知，设直线与轴，轴分别交于，两点，若线段上始终存在点，使点是某条弦的“限角对称点”，求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点和点关于直线对称， ∴， 故“限角对称点”的定义中，条件“”等价于“”， ①由题意，作出对应点图象如下，取点， ∵，，，，横坐标相同， ∴点A，，D，在同一直线上，且轴， ∵， 又由题意可知，的半径为2，即， ∴是等边三角形， ∴， 由外角的性质，可得，， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 其中，，故不为弦的“限角对称点”， 由图象可知，点，关于直线的对称点显然在外部，且，， 故点，是弦的“限角对称点”； ②求解前，为得到弦最大值情况，先论证三个结论， 结论1：如图所示情况，令，由外角的性质可知， 于是，得结论1：若点C为内一点，且不为圆心，则当为定值时，在远离点C一侧的圆弧上时的长度大于在靠近点C一侧的圆弧上时的长度； 结论2：如图所示情况，， 显然，当与同在远离点C的一侧时，当时，； 结论3：如图所示情况，为定值k，即点C在半径为k的的同心圆上， 设为符合条件的任意一点，为定值，假设此时为满足条件的弦的最大值，且， 取点A，，使得，， 由假设，得，故点A在上， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴在垂直于的直径上， ∴点在所在圆中，相对的最远端， ∴， 又，， ∴两者相矛盾，该情况不存在， 故可得结论3：若点C在内，为定值，当，且在远离点C一侧的圆弧上时，弦取得最大值； 由上述3个结论，可得弦取得最大值的情况为，，如下图，设交x轴于点D， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， 由垂径定理，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得（负值已舍去）， ∴， 此时，， ， ∴此时点C关于的对称点在，满足题意， 故弦的最大值为； （2）解：如图，作于点P， 令，得， ∴， ∴， 令，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，为等腰直角三角形， 以为半径，点O为圆心作圆，由题意，可假设与y轴负半轴交于点B，与x轴正半轴交于点A， 则，，，， ∴， 由外角的性质，，即， ∴， 又由图象，显然点P关于的对称点在的外部， ∴此时点P满足“限角对称点”的定义， ∵点C在内，且在上， ∴，即， 由（1）可知，在题给条件下，当，，且在远离点C的一侧的圆弧上时，取得最大值， 故当一定时，该种情况下，取得最大值，即r取得最大值，且为的“限角对称点”， 当点C在上，的最大值为， 如图，作，取点A，B，使得，，交y轴于点P， 由（1）可知，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得， 又， ∴此时， ∴． 一、单选题 1．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 3．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重合，轴，交y轴于点 G．将绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴点B的坐标为， 第1次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点B的对应点在第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点B的对应点在第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点B的对应点在第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， …… 每4次旋转为一个循环，则， ∴与对应，坐标为． 4．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 5．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知为外一点，连接交于，为的切线，为切点，，，则阴影的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，， ∵为的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A在直线上，且点A的坐标为，半径为2的的圆心P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点P运动的时间为t秒，则当_____秒时，与x轴相切． 【答案】4或8 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，时，；当时，， ， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时，   点是切点，的半径是， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或秒时，与x轴相切， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，点为正六边形的中心，点为中点，连接，若，则的长度为____________． 【答案】 【详解】解：连接，如图 ∵点为正六边形的中心，点为中点， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【详解】解：是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． 10．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用等腰三角形性质和圆周角定理求出、，再结合直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等求解和． （2）连接，先求出相关圆周角和圆心角的度数，再利用切线性质和直角三角形性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题： 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． 求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，李老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是小文同学改编的题目： 如图，为的直径，C为上一点，于点D，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答小文同学改编的题目． (2)小峰同学在小文同学的基础上进行了如下延伸： 若，，求的直径．请你利用所学知识解答小峰同学延伸的题目． 【答案】(1) 证明：连接，如图1： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，作，垂足为，如图： ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设的直径为，即，， 在中，根据勾股定理， 可得：， 在中，根据勾股定理， 可得：， ∴， 解得：； ∴的直径为5； 13．（2026·北京平谷·一模）如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． (1)在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； (2)平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； (3)在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 【详解】（1）解：由题意得，当的半径为时，设圆心到弦的距离为，则， 又∵射线， ∴ ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴圆心到的“弦心衍生点”的距离， ∵，，，， ∴属于“弦心衍生点”的有． （2）解：∵的半径为1， 设点到线段上的点的距离为， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴，，， ∴，，， ∴，即， 当时，，当时，， 两条抛物线的形状，如下图所示， ∴，，，， ∴或． （3）解：设，的半径为，“弦心衍生点”与圆心的距离为m， 半径为1，m的范围：， 当与圆心重合时，r的取值范围与m一致，即：， 当在圆周之外时，即时， ，即 综上所述，且． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）定义：平面直角坐标系中，若一个圆过抛物线与坐标轴的交点，则称这个圆是该抛物线的“轴点圆”． (1)如图，是图中抛物线的“轴点圆”，则点Q________（填“在”或“不在”）这条抛物线的对称轴上； (2)已知点，以P为圆心，为半径作圆．请判断是不是抛物线的“轴点圆”，并说明理由； (3)抛物线的“轴点圆”为，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (4)已知抛物线的顶点为D，点O为坐标原点，点E为“轴点圆”的圆心，则周长的最小值为________． 【详解】（1）解：过点、、， 点在的垂直平分线上， 点、是抛物线与轴的两个交点， 抛物线的对称轴是的垂直平分线， 点在抛物线的对称轴上； 故答案为：在； (2)解：是抛物线的“轴点圆”， 理由如下： 当时，可得方程， 整理得：， 分解因式可得：， 方程的解为：，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 点到点的距离为， 过抛物线与坐标轴的交点， 是抛物线的“轴点圆”； (3)解：直线与相切， 理由如下： 如下图所示，过点作， 已知抛物线， 当时，可得：， 解方程得：，， 抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， 当时，可得：， 抛物线与轴的交点坐标为， 是抛物线的“轴点圆”， 的圆心坐标为，半径为， 当时，， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ， ， ， ， 直线与相切； （4）解：如下图所示，连接，作的垂直平分线， 是抛物线的“轴点圆”， 点在的垂直平分线上， ， 已知抛物线， 当时，， 点的坐标为， ， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， 此时的值最小， 当点、、三点共线时的值最小， 此时， 的周长最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $