专题05 一元一次方程（期中真题汇编，黑龙江专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列方程中是一元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）下列等式中是一元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）下列各式中是一元一次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）下列选项中，是一元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是　　　　　　． 6．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）若是关于的一元一次方程，则　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则　　　　　　． 8．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）写出一个一元一次方程，同时满足方程的解为3，这个方程可以是　　　　　． 9．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是　　　　　　．（写数字） 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）运用等式性质进行的变形，不正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 2．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）下列等式变形正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）下列运用等式性质的变形中，错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列说法错误的是（   ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 5．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）若m，n，c是有理数，则下列结论错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）下列等式变形正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）根据等式的性质进行变形，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）在方程中用含x的代数式表示　　　　　　　　　　　． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）解方程，以下去括号正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若，则的值为（     ） A. 2 B. 5 C. 4 D. -2 3．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）解方程时，去分母正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如表中x和y两个量成反比例关系，则a的值为（       ） x a y 4 A. 2 B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）把方程去分母，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）若x、y满足等式，则（       ） A.  B.  C. 8 D. 2 7．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）是方程的解，则的值为（        ） A.  B.  C. 7 D.  8．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）解方程时，去分母正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（     ） A.  B.  C.  D. 5 10．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）某动点从数轴上的点P出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点Q，且点P，Q所表示的数的绝对值相同，则点Q表示的数为（     ） A. 8 B.  C. 4 D.  11．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）方程的解为　　　　　　． 12．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨南岗区·期中）解方程： （1）； （2）． 13．（25-26学年七上·黑龙江大庆肇源县·期中）若是关于x的一元一次方程． （1）求a的值； （2）请写出这个方程； （3）解这个方程． 14．（25-26学年七上·黑龙江大庆肇源县·期中）若是关于x的方程的解，则　　　　　　． 15．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）解方程： （1） （2） 16．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）定义一种新运算“”: ． 例如： （1）求的值； （2）若，求y的值． 17．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）解方程： （1） （2）． 18．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）解方程 （1） （2） 19．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则　　　　　　　　． 20．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）对于有理数定义一种新运算“”：．已知表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，且，的值为　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）计算： （1） （2） 22．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值是　　　　　　． 23．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）解方程： 24．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若与互为相反数，则 　　　　　　 25．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）解方程： （1） （2） 26．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）解方程： （1） （2） 27．（七·黑龙江牡丹江·期中）若关于x，y的多项式不含项，则　　　　　　　　　 28．（25-26学年七上·黑龙江大庆肇源县·期中）解下列方程： （1）2（x+3）=5（x-3） =-x 29．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）已知数轴上A、B两点对应数分别为、4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A、B距离和为9，则x的值为　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）小马虎在解方程时把看成了a，解得，则原方程的解为 　　　　　　　　　　　； 31．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）计算下列各题 （1） （2） 32．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）解关于的方程，我们也可以这样来解：，因为，所以方程的解为． 请按这种方法解下列方程： （1） （2）． 33．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）解方程． （1）． （2）． 34．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． （1）判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； （3）若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 35．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是[，]的倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图中，点A______的3倍点（填写“是”或“不是”）； （2）、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且，若点是的倍点，则点表示的数为_________． （3）在（2）的条件下，数轴上一动点在、之间，表示的数为，且满足（为常数），若是的倍点，求和的值； 36．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）规定符号表示不相等的两个数a，b中较小的一个数，规定符号表示不相等的两个数a，b中较大的一个数．例如，，．若，则的值为　　　　　． 37．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）解方程 （1） （2） 38．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）阅读材料，学以致用 一般情况下，不成立，但有些数可以使它成立，如，时，成立．我们称使得成立的一对数如m，n为“全面数对”，记作． （1）以下数对中“全面数对”是_____．（填选项） A．       B．       C． （2）若是“全面数对”，求的值． （3）是“全面数对”，求代数式的值． 39．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是． 根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果表示数和的两点之间的距离是3，那么___________； （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，那么的值是___________；当___________时，的值最小，最小值是___________． （3）依照上述方法，的最小值是___________． 40．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）若规定 ，当 时，试求的值． 41．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知关于 x 的方程和的解相同． （1）求m的值； （2）求代数式的值． 42．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·期中）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． （1）①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； （2）若，e是的“反比数”，求； （3）若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 43．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示-4和7的两点之间的距离是______； （2）如果，那么_____． （3），，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是______；最小距离是_____． 44．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）已知3个多项式分别为 ，，， ①若，则； ②多项式化简后是二次三项式； ③若关于的整式（，是不为0的有理数）化简后不含一次项，则； ④若的值是，则的值也是． 其中正确的有　　　　　　（填序号） 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（     ）场 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是(　   　) A. 30岁 B. 20岁 C. 15岁 D. 10岁 3．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进价是（       ）． A. 95元 B. 90元 C. 85元 D. 80元 4．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作3个大花瓶或8个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，可得方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（   ） A. 200 元 B. 210 元 C. 180 元 D. 190 元 6．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知水流的速度为每小时航行8千米，则两码头间的距离为（　　）千米 A. 480 B. 540 C. 240 D. 280 7．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ） A. 2×1000（26﹣x）=800x B. 1000（13﹣x）=800x C. 1000（26﹣x）=2×800x D. 1000（26﹣x）=800x 8．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合做完成此项工作，设甲一共做了x天，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（       ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）在如图的2016年6月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是(　 　) A. 27 B. 51 C. 69 D. 72 11．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）游泳池中有一批小朋友，男生戴蓝色游泳帽，女生戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍．设男孩有x人，则可列方程（　　） A. x=2（x﹣2） B. x﹣1=2（x﹣2） C. x=2（x﹣1） D. x﹣1=2x 12．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县第四中学·期中）一个点从数轴上的原点出发，向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点，则点表示的数是　　　　　　　　　． 13．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时．若船在静水中的平均速度是每小时27千米，则水流速度为每小时 　　　　　千米． 14．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分．已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了　　　　　　　　　　道题． 15．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）老师给学生分苹果，如果每人2个多5个苹果，如果每人3个则少7个苹果，则有　　　　　　　 名学生 16．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知多项式 （1）若该多项式的值与字母x的取值无关，则               ，              ； （2）在（1）的条件下，数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b，则线段               （3）在（2）的条件下，点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动，             秒后M与N表示的数互为相反数． 17．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有　　　　　名学生． 18．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． （1）设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； （2）这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； （3）图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 19．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，求多少人生产螺栓，多少生产螺母？ 20．（七·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． （1）【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； （2）【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． （3）【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 21．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 22．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元． （1）这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元? （2）在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元? 23．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了；另一盒是库存坚果，只能亏本清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了　　　　　　　　　　元． 24．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价150元，文具袋每个定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋x个(，x为整数)． （1）若该学校按方案一购买，需付款               元； 若该学校按方案二购买，需付款               元(用含x的式子表示)； （2）当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同； （3）请你为学校提出最合理化的购买方案?直接写方案 25．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是20，动点、分别从、两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设运动时间为． （1）当时，点P对应的数是______，点Q对应的数是______； （2）当t为何值时，P、Q两点之间相距8个单位长度； （3）当时，若线段和线段同时以1个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 26．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）甲乙两商场销售同一品牌的西装和领带，西装每套250元，领带每条40元，两商场的标价都相同．在春节期间两商场均推出优惠活动： 甲商场规定，购买一套西装送一条领带．乙商场规定，所有商品一律九折出售． 某单位要购买20套西装和x（）条领带奖励职工． （1）当时，去甲商场购买所需要的费用为________元，去乙商场购买所需的费用为________元． （2）求：当x为多少时去甲乙两商场购买的费用相同？ （3）当时，请直接写出最优惠的购买方案，并计算出所需的最少费用． 27．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 28．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）小方家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖．    （1）请直接写出的值：______． （2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含的代数式表示） （3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种装修方案（如下表）．已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种装修方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 装修方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 八折 八五折 2000元 B 九折 八五折 免收 29．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“+”，低于40单的部分记为“－”，下表是小刚这一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） －5 ＋3 －6 0 ＋6 ＋8 ＋14 （1）求小刚这一周一共送餐多少单； （2）若外卖员每周的工资为每单元，小刚想用这周的工资买一台标价为2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利10％销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩120元，请求出的值． 30．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程　　　　　　　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）某快车的计费规则如表1，小明几次乘坐快车的情况如表2，请仔细观察分析表格解答以下问题： 表1：某快车的计费规则 里程费（元/公里） 时长费（元/分钟） 远途费（元/公里） 2.2 12公里及以下 0 次日 3.2 次日 0.55 超出12公里的部分加收 （说明：总费用里程费时长费远途费） 表2：小明几次乘坐快车信息 上车时间 里程（公里） 时长（分钟） 远途费（元） 总费用（元） 5 5 0 13.5 20 12.8 76.8 （1）______，______； （2）列方程求解表2中的； （3）小明的爸爸打快车从机场回家，快车行驶的平均速度是1公里/分钟，到家后小明爸爸支付车费248.3元，请问机场到小明家的路程是多少公里？（用方程解决此问题） 32．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发　　　　　　小时后甲乙相距10千米． 33．（25-26学年七上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在数轴上原点表示数，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，且满足． （1）点表示的数为________，点表示的数为________； （2）若点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，并且在点处相遇，求点所表示的数； （3）在（2）的条件下，、经过几秒相距个单位长度？ （4）在（2）的条件下，若点运动到点后按原路原速立即返回，点继续按原速原方向运动，从点、在点处相遇开始，再经过多少秒，、两点的距离为个单位长度． 34．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． （1）求参加研学的学生人数； （2）已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 35．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 36．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨阿城区·期中）已知，数轴上A、B两点对应的数分别是、4，这两点之间的距离用表示． （1）求的长； （2）点C为数轴上的点，点C对应的数为x，求点C到点A和点B的距离和即的长，直接写出的最小值；（用含x的式子表示） （3）对于数轴上的三个点，给出如下定义，若当其中一个点与其他两个点距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的2倍点．在（2）的条件下，点C在A、B之间，E、F两点分别从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，当运动t秒时，E、F两点恰好分别到达A、B两点，又运动t秒时，E、F两点分别到达M、N两点．接下来E、F两点同时调转方向，保持原速度不变相向而行，同时点P从点M出发沿数轴向右运动，当点P运动5秒时，点P与点F在Q点相遇，此时点E在点F的左侧，，点C为E、P的2倍点，请直接写出点P的运动速度是每秒多少个单位长度． 37．（25-26学年七上·黑龙江伊春南岔县·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______； （2）的最小值为______时，能使取最小值的所有整数x的和是______； （3）若数轴上两点A、B对应的数分别是、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 38．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）如图所示，在数轴上原点O，点A在原点的左侧，所表示的数是a，并且满足．点B在原点的右侧，所表示的数是16． （1）点A表示的数为______； （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度．P、Q两点同时运动，设两点的运动时间为t秒，当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等． （3）在（2）的条件下，若点P运动到点B后，按照原路立即返回，返回的速度变为每秒3个单位长度，点P到达点A停止运动；点Q运动到点A后，立即以原路原速返回，到达点B停止运动．从P、Q开始运动，到点Q停止运动的过程中，当P、Q两点的距离为16个单位长度时，请直接写出符合条件的t的所有值． 39．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、40，P为数轴上一动点，若P点到A、B距离的比为，则点P表示的数为　　　　　　． 40．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）已知是多项式的常数项，是该多项式的次数． （1） ___________； ___________． （2）在（1）的条件下，数轴上，点、分别对应有理数和，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，两点同时出发．当两点间的距离为3个单位长度时，求点表示的数． （3）A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的“强国点”、例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，则点是的“强国点”；又比如表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，则点就不是的“强国点”．但点是的“强国点”． 在（1）的条件下，数轴上，点分别对应实数和，现有一动点从原点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，到达点时立即掉头，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为，当为何值时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”？ 41．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知：A、B是数轴上两点，O为原点，点A、点B所表示的数分别是a、b，且满足． （1）______，______； （2）若点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动，P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，问多长时间P、Q两点之间相距6个单位长度； （3）在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止，在点P休息后沿数轴负方向运动时，点M以每秒3个单位长度的速度从点O出发沿数轴正方向运动，当点P停止时，点Q、点M继续运动．问点P从点A出发多长时间，？ 42．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 （1）已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ （2）如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ （3）小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 43．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 套餐 份盖饭 消费满元，减元；消费满元，减元，依此类推 套餐 份盖饭杯饮料 套餐 份盖饭杯饮料份小菜 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有份盖饭，杯饮料和份小菜． 【数学思考】 （）他们共点了                 份套餐（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （）若他们所点的套餐中共有杯饮料，求他们实际消费的金额； （）若优惠后他们共花费元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 44．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共　　　　　元． 45．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，数轴上点、对应的数分别为，，且，满足，点对应的数为， （1）直接写出_____，_____ （2）点，分别从，两点沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，当，两点到原点的距离相等时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点运动到点处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点运动至点处后又以原速的2倍返回并保持这个速度在之间往返运动，当点停止运动时，点随之停止运动，在点从点返回到停止运动的过程中，求、两点重合时数轴上表示的数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．D 2．D 3．C 4．B 5．【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得且，解之即可得到答案． 【详解】 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1． 6．【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的概念，需熟练掌握概念是解决本题的关键． 根据一元一次方程的概念，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且一次项系数不为0的等式，由此列式求解即可． 【详解】 解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为： ． 7．【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的概念．熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】 解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：2． 8．【答案】2x=6 【分析】根据一元一次方程的定义，只要含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），且还要满足方程的解是3，这样的方程即可，答案不唯一，只要符合以上条件即可． 【详解】答案不唯一，如2x=6等． 故答案为2x=6． 【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．注意方程的解是指能使方程成立的未知数的值． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律，正确理解题意，找到数字的变化规律是解题的关键．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中 分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】 解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验 ： 当 时，，不是的倍数； 当 时，，是的倍数； 当 时，，不是的倍数； 当 时，，不是的倍数． 故仅 满足条件，此时 ，解得 ， 因此抽出的纸牌点数为． 故答案为：． 考点02 等式的性质 1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．D 9．A 10．【答案】 【分析】 本题考查的等式的性质，根据等式的性质用含一个字母的式子表示另一个字母即可解题. 【详解】 解： ， 故答案为：． 考点03 解一元一次方程 1．D 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．A 10．D 11．【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程的解法，通过系数化为1求解即可． 【详解】 解：方程， 两边同时除以，得 ． 故答案为： ． 12．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解法，掌握等式的性质是解题关键． （1）方程两边同时除以，将系数化为1即可； （2）方程两边同时减去即可求解． (1) 小问详解： 解：， 方程两边同时除以得，， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 方程两边同时减去得，， 解得，． 13．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程， 对于（1），根据一元一次方程的定义得且，可得答案； 对于（2），根据（1）写出这个方程； 对于（3），根据移项，系数化为1得出答案． (1) 小问详解： 解：因为是关于x的一元一次方程， 所以且， 解得； (2) 小问详解： 解：因为， 所以； (3) 小问详解： 解：移项，得， 两边都除以，得． 14．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解．将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】 解：把代入方程，得： ，即， 解得 ． 故答案为 2 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）通过去括号，移项，合并同类项及系数化为1后解出方程； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项及系数化为1后解出方程． (1) 小问详解： 解：， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接根据运算法则进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，再进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 则， ∴， 故， 解得， 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程； （1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． (1) 小问详解： 解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． (1) 小问详解： 解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． 19．【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程，相反数，掌握知识点是解题的关键． 先分别求解两个关于的方程，得到它们的解；根据两个解互为相反数的条件，建立关于的方程，进而求解的值， 【详解】 解：解第一个方程， 两边同乘2，得 ， 移项，得 ， 即， 解得 ， 解第二个方程， 两边同乘6（分母2和3的最小公倍数），得 ， 即， 移项，得 ， 即， 解得 ， 由题意，两个方程的解互为相反数，即 ， 解此方程，两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 解得， 故答案为． 20．【答案】 【分析】 本题考查定义新运算，化简绝对值．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算括号内，最后运算除法，即可作答． （2）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 22．【答案】2 【分析】 本题考查了已知方程的解，求参数；一元一次方程的解．根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】 解：依题意，将代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：2． 23．【答案】 【分析】 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算步骤法则是解本题的关键． 方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】 解：∵ ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项：， 系数化为1：． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义列出方程，解方程即可． 【详解】 解：因为与互为相反数，所以， 即， 解得：． 故答案为：． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 27．【答案】 【分析】 多项式不含项，说明项的系数为，先化简原多项式，再令项系数为求出，最后代入计算即可． 【详解】 解： ∵多项式不含项， ∴项的系数为， 即， 解得， ∴． 28．【答案】(1) x=7;(2) x=. 【分析】 按：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤解方程. 【详解】 解：（1）去括号，得 2x+6=5x-15， 移项，得2x-5x=-6-15， 合并同类项，得-3x=-21， 系数化为1，得x=7； （2）去分母，得 5(2x-1) =3(4-3x) – 15x， 去括号，得10x – 5=12-9x-15x， 移项，合并同类项，得34x=17 ， 系数化为1，得   x=. 【点睛】 本题考核知识点：解一元一次方程.解题关键点：理解解方程的一般步骤. 29．【答案】或 【分析】 本题考查数轴上两点距离公式及绝对值方程的应用，根据点P的位置分三种情况讨论：，分别化简绝对值方程并求解． 【详解】 解：点P到点A的距离为，到点B的距离为， 由题意得， 当时，方程化为， 解得； 当时，方程化为，无解； 当时，方程化为， 解得； 故答案为：或． 30．【答案】 【分析】 本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据小马虎的错误方程和解得的x值求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】 解：小马虎将方程误看作，解得：． 代入错误方程：，解得：． 将代入原方程得： ， ， ， ， ． 所以原方程的解为． 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了一元一次方程的特殊解法，解题的关键是正确理解例题中所给的形式，仿照例题解答问题． （1）利用乘法的分配律逆用，然后根据等式的性质解方程； （2）先变形为，然后与（1）一样解方程． (1) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以； (2) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以， 所以． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则运算求解即可； （2）根据运算法则运算求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 34．【答案】（1）是     （2）     （3）      【分析】 本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． (1) 小问详解： 解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． (3) 小问详解： 解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 35．【答案】（1）是；     （2）或．     （3），．      【分析】 本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握3倍点的定义和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据3倍点的定义，计算点到点的距离和点到点的距离，判断是否满足3倍关系． （2）先根据绝对值的非负性求出、的值，再设点表示的数为，根据3倍点的定义列方程求解． （3）先根据（2）确定、的值，再根据是的3倍点列方程求出，进而求出的值． (1) 小问详解： 解：由图可知，点A表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是． 则，． ∵， ∴点A是的3倍点， 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：∵，且，， ∴，， 解得，． 设点E表示的数为， ∵点E是的3倍点， ∴，即． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合，舍去）． 综上，点E表示的数为或． 故答案为：或． (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ∴表示，表示． ∵是的3倍点，表示的数为， ∴，即， ∴， 解得或； ∵在之间， ∴（舍去）； ∴． 36．【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程． 根据符号定义，先确定和的值，再求解即可． 【详解】 解：∵规定符号表示不相等的两个数a，b中较小的一个数，规定符号表示不相等的两个数a，b中较大的一个数， ∴，， 代入方程得：， 即：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 37．【答案】（1）．     （2）．      【分析】 本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解是解题关键． （1）移项将含的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项后系数化为1求解即可． （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可． (1) 小问详解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． (2) 小问详解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 38．【答案】（1）C     （2）     （3）      【分析】 本题考查了新定义，有理数的混合运算，等式的性质，整式的加减—化简求值． （1）根据“全面数对”的定义逐项分析即可； （2）根据“全面数对”的定义列方程求解即可； （3）由是“全面数对”得，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把代入计算即可． (1) 小问详解： A．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；    B．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；        C．∵，， ∴， ∴是“全面数对”． 故选C； (2) 小问详解： ∵是“全面数对”， ∴ 解得； (3) 小问详解： ∵是“全面数对”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 39．【答案】（1）或1     （2）     （3）      【分析】 本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式列方程求解； （2）① 直接去绝对值，合并即可；②表示表示数a的点到数，1，4的点的距离和，要使得距离和最小，则表示数a的点在处即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得或， 故答案为：或1； (2) 小问详解： 解：①∵， ∴， ② ∵，则化为表示数a的点到数，1，4的点的距离和，要使得距离和最小，则表示数a的点在表示数1的点的位置， ∴的最小值等于， 故答案为6，1，9； (3) 小问详解： 解：，则化为表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴当表示数a的点在表示数和2两个点之间（可重合）时，即时，距离之和最小， ∴最小值为． 40．【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． 根据新定义得出，进一步计算即可求解． 【详解】 解：由题意得： 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键． （1）根据两个方程的解相同求出m即可； （2）把m代入求解即可． (1) 小问详解： 解：解方程得， 解方程得， ∵关于 x 的方程和的解相同， ∴， 解得． (2) 小问详解： 解： ． 42．【答案】（1）①；②      （2）0或     （3）6或或或      【分析】 本题主要考查了绝对值的意义，新定义运算，解题的关键是理解绝对值的意义，注意进行分类讨论． （1）根据定义列式计算即可； （2）先求出e的值，然后根据中点定义求出b的值即可； （3）根据中点定义得出，分两种情况讨论：当e是a的“正比数”时，当e是b的“正比数”时，分别列式计算即可． (1) 小问详解： 解：① ∵是的“正比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ② ∵是的“反比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵，e是的“反比数”， ∴， 解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， 解得：或． (3) 小问详解： 解：∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， ∵， ∴当e是a的“正比数”时，， 即， 解得：， ∴， 解得：或； 当e是b的“正比数”时，， 即， ∴， 解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 43．【答案】（1）     （2）或     （3），      【分析】 本题考查了数轴上两点间距离公式的应用、绝对值的几何意义及绝对值方程的解法，解题的关键是熟练掌握“数轴上两点距离等于两点所表示数的差的绝对值”，并能利用绝对值的性质求解方程、计算两点间距离． （1）直接将表示的两个数代入距离公式，代入、计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示到的距离为3，由此列方程求解； （3）先分别解两个绝对值方程，得到、的所有可能值，再计算所有情况下、 两点的距离，对比得出最大和最小距离． (1) 小问详解： 解：根据数轴上两点间距离公式，将、代入得：． 故答案为：11． (2) 小问详解： 解：由绝对值的性质，若，则或， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：2或． (3) 小问详解： 解：解： 由绝对值性质得或， 解得或． 解： 由绝对值性质得或， 解得或． 计算、两点间距离： 当、时，距离为； 当、时，距离为； 当、时，距离为； 当、时，距离为 对比得最大距离为8，最小距离为2． 故答案为：8；2． 44．【答案】③ ④ 【分析】 本题考查了整式的加减、求代数式的值和解一元一次方程，熟知整式的加减法则是解题的关键．分别验证四个陈述的正确性：①通过解方程判断；②通过多项式运算判断项数；③通过合并同类项后一次项系数为零的条件判断；④通过先求x的值再代入计算A的值判断． 【详解】 解：①由，解得，而非，故①错误； ②，为二次二项式，非三项式，故②错误； ③，不含一次项时系数，即，故③正确； ④由，得，代入中，得，故④正确． 故答案为：③ ④． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．A 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．A 12．【答案】 【分析】 本题考查了数轴，根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案，利用数轴上的点左移减，右移加是解题关键． 【详解】 解：由题意，得 ， 故答案为：． 13．【答案】3 【分析】 设水流速度为每小时x千米，则船顺流航行的速度为每小时千米，船逆流航行的速度为每小时千米，根据题意列出方程求解即可得． 【详解】 解：设水流速度为每小时x千米， 由题意可得：， 解得：， 答：水流速度为每小时3千米， 故答案为：3． 【点睛】 题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 14．【答案】8 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，设这个人选错了道题，那么做对了道，根据得了分，可列方程求解． 【详解】 解：设这个人选错了道题，根据题意得 解得， 答：这个人选错了道题． 故答案为：． 15．【答案】12 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，依题意得到等量关系是解题的关键．设有x名学生，根据“如果每人2个多5个苹果，如果每人3个则少7个苹果”，列出方程解答即可． 【详解】 解：设有x名学生，则苹果的数量为，或者表示为，则 ， 解得． 故答案为：12． 16．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的加减运算无关型问题，数轴与动点问题，在数轴上表示有理数，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得，结合该多项式的值与字母x的取值无关，故，解出的值，即可作答． （2）理解题意，得出数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10，再结合两点之间的距离进行列式计算，即可作答； （3）理解题意，得出数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为，结合相反数的定义进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ∵该多项式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：在（1）的条件下，得 ∵数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b， ∴数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10 则线段， (3) 小问详解： 解：依题意，设秒后M与N表示的数互为相反数． ∵点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10， ∴数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为， 依题意，得 ∴． 17．【答案】 【分析】 设这个班有x名学生，根据每人分3本，则剩余20本可知共有本书，根据每人分4本，则还缺25本可知共有本书，由此建立方程求解即可． 【详解】 解：设这个班有x名学生， 由题意得，， 解得， ∴这个班有45名学生， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 18．【答案】（1）     （2）能，这五个数中最小的数为2     （3）115      【分析】 本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设X框最中间的数为a，再分别找出其他四个数，再列式计算，即可作答． （2）理解题意，则，解得，即可求出这五个数中最小的数； （3）先理解题意，得出，故，即可求出五个数的和的最大值． (1) 小问详解： 解：依题意，设X框最中间的数为a， 则X框的其他四个数分别是 ∴ ∴这5个数之和为； (2) 小问详解： 解：这5个数的和能等于50，过程如下： 依题意，当设X框最中间的数为a，则这5个数之和为 故， 解得， ∴这五个数中最小的数是； (3) 小问详解： 解：由（1）得设X框最中间的数为a，则X框的其他四个数分别是，且这5个数之和为； 观察2025年十二月份的日历，有号， 即， 解得， 此时五个数的和的最大值是． 19．【答案】12人生产螺栓，16人生产螺母 【分析】刚好配套．x人生产螺栓，（28−x）人生产螺母，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】刚好配套．x人生产螺栓，（28−x）人生产螺母， 根据题意得：12x×2＝18（28−x）， 解得：x＝12， 则刚好配套，12人生产螺栓． 答：12人生产螺栓，16人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 20．【答案】（1）     （2）①或②或     （3）或      【分析】 （1）利用数轴上两点距离公式，代入两点对应的数，求出绝对值即可得到两点之间的距离； （2）① 先利用数轴上两点距离公式得出，列出绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号求解即可；② 由距离比列出含绝对值的比例等式，利用比例的基本性质化简，分两种情况去掉绝对值解方程得到结果； （3）设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度，则点P、点Q对应的数分别为、；根据题意列出绝对值方程，解出，再回代即可求出点P表示的数． (1) 小问详解： 解：由题意得； (2) 小问详解： 解：① 由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； (3) 小问详解： 解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 21．【答案】（1）（件）     （2）生产螺钉10人，则生产螺母为12人     （3）零件的售价是14元      【分析】 此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键． （1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，列方程解答； （3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价成本价利润求得结论． (1) 小问详解： 解：设工作岗位有y名工人， 根据题意得，， 解得， （件） ∴一共带去了49件礼品； (2) 小问详解： 解：设生产螺钉a人，则生产螺母为人 解得，， （人） 答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名； (3) 小问详解： 解：设x个销售商 解得， （元） 答：零件的售价是14元． 22．【答案】（1）元     （2）元      【分析】 （1）设第一次购进西瓜的进价为每千克元，则第二次购进西瓜的进价为每千克元，根据题意列一元一次方程即可求解． （2）设每千克西瓜的售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解． (1) 小问详解： 设第一次购进西瓜的进价为每千克元，则第二次购进西瓜的进价为每千克元， 依题意得：， 解得：． 答：第一次购进西瓜的进价为每千克元． (2) 小问详解： 设每千克西瓜的售价为元， 依题意得： 解得：． 答：每千克西瓜的售价为元． 【点睛】 此题主要考查了一元一 次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键． 23．【答案】7.5 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． 通过售价和盈利或亏损百分比分别计算两盒坚果的成本，再求总成本与总售价的差值． 【详解】 解：设盈利坚果的成本为元， 根据盈利，得， 解得． 设亏损坚果的成本为元， 根据亏损，得，解得． 总成本为（元）， 总售价为（元）， 因此赚了（元）． 故答案为：7.5． 24．【答案】（1）；     （2）     （3）解：学校提出最合理化的购买方案为，运用方案一，购买书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据题意，分别列式化简，得出按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； （2）理解题意，得，解出的值，即可作答． （3）理解题意，综合运用方案一和方案二进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，（元）， ∴该学校按方案一购买，需付款元； 依题意，（元） ∴若该学校按方案二购买，需付款元； (2) 小问详解： 解：由（1）得按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； 依题意，， 解得 答：当购买文具袋的数量为25时，方案一和方案二价格相同； (3) 小问详解： 解：依题意，运用方案一，购买书包，则（元） 则方案二，（元） ∴（元） ∴学校提出最合理化的购买方案为，运用方案一，购买书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元 25．【答案】（1），；     （2）或；     （3）存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12．      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及两点间距离公式、绝对值方程的求解．熟练掌握数轴上点的运动规律、两点间距离公式以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据动点的起始位置和运动速度、时间，计算动点对应的数． （2）先表示出运动秒后、对应的数，再根据两点间距离公式列出方程求解． （3）先确定时、的位置，再分析线段运动后的、、、的位置，根据距离关系列方程求解，进而求出的距离． (1) 小问详解： 解：点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是． 点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为． ∴． 当时，． 则或． 当时，，． 当时，，． 综上所述：当或时，P、Q两点之间相距8个单位长度； (3) 小问详解： 解：当时，点对应的数为，点对应的数为． 设线段运动的时间为秒，则，此时： 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ． ． 由，得． 分情况讨论： 当时，， 解得． 当时，，得，故此时不成立． 当时，， 解得． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒．． 综上，存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12． 26．【答案】（1）6200，6300     （2）75     （3）最优惠的购买方案：甲商场购买20套西装，乙商场购买80条领带，所需最少费用7880元．      【分析】 本题考查了一元一次方程和有理数的四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）甲商场费用：西装总价钱+20 条以外的领带的价钱；乙商场费用：西装和领带的总价钱； （2）由（1）得出的两种款数列方程求解； （3）把代入（2）中的两个式子算出结果，再求解混合购买的费用，比较即可． (1) 小问详解： 解：当时， 甲商场费用：（元） 乙商场费用：（元） ∴去甲商场购买所需费用为6200元，去乙商场购买所需费用为6300元， 故答案为：6200，6300； (2) 小问详解： 解：甲商场费用： 乙商场费用： ∵费用相同， ∴ 解得 ∴当x为75时，去甲乙两商场购买的费用相同； (3) 小问详解： 解：当时， 全部在甲商场购买费用：（元） 全部在乙商场购买费用：（元） 在甲商场购买20套西装（送20条领带），剩余80条领带在乙商场购买（九折），则费用：（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案：甲商场购买20套西装，乙商场购买80条领带，所需最少费用7880元． 27．【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】 本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：① 当在上时，② 当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】 解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ① 当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ② 当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 28．【答案】（1）3     （2）铺设地面需要木地板；铺设地面需要地砖为平方米；     （3）小方家应选择B种装修方案      【分析】 （1）根据长方形的对边相等，即可求出a的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可． 本题考查了列代数式，长方形的面积，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积，理解A，B两种活动方案是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得：， 解得； (2) 小问详解： 解：铺设地面需要木地板为 平方米； ； 铺设地面需要地砖为平方米； (3) 小问详解： 解：∵卧室2的面积为21平方米， ∴， 解得：， ∴铺设地面需要木地板：平方米， 铺设地面需要地砖：平方米． A种活动方案所需的费用：（元）， B种活动方案所需的费用：（元）， ， 所以小方家应选择B种装修方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低． 29．【答案】（1）300单     （2）7      【分析】 本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算和一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出这一周的送餐超出量，再加上这一周的基准量即可； （2）用一元一次方程表示出数量关系，求解即可． (1) 小问详解： 解： （单）， 答：小刚这一周一共送餐300单； (2) 小问详解： 解：根据题意，得， ， ， ， 故m的值为7． 30．【答案】； 【分析】一个数的3倍可以表示为3x，2倍可以表示为2x，根据题中一个数的3倍比它的2倍多10，即两者之差为10，列出方程即可． 【详解】设这个数为x， 则它的3倍为3x，2倍为2x， 由题意数的3倍比它的2倍多10， 即可知两者之差为10，故答案为3x=2x+10. 【点睛】本题考查了一元一次方程的列法，解题的关键是正确找出题目的相等关系． 31．【答案】（1）     （2）     （3）机场到小明家的路程是50公里      【分析】 本题考查了一元一次方程在乘车问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列方程，是解题的关键． （1）根据表中数据列方程，求解即可得到、的值； （2）根据里程费时长费远途费总费用，列方程求解即可得到答案； （3）设机场到小明家的路程是公里，则按照夜间乘车的计费方式，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， 解得； 由题意可得，， 解得； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意可得，， 解得； (3) 小问详解： 解：设机场到小明家的路程是公里，则 ， 解得， 答：机场到小明家的路程是公里． 32．【答案】1.5或1.7 【分析】 本题考查一元一次方程的应用-行程问题．设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况根据“甲行驶路程+乙行驶的路程=总距离”分别列方程即可求解． 【详解】 解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ① 当两车相遇前，列方程得， 解得 ② 当两车相遇后，列方程得 解得 答：乙出发1.5或1.7小时后甲乙两车相距10千米． 故答案为：1.5或1.7 33．【答案】（1），10；     （2）点C表示的数是；     （3）经过12秒或18秒相距12个单位长度；     （4）再经过3秒或9秒或21秒．      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题、非负数的性质以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间的距离公式、行程问题中的数量关系（路程速度×时间）是解题的关键． （1）根据绝对值和平方数的非负性，求出和的值，从而确定点、表示的数． （2）先求出、两点间的距离，再根据相遇问题的公式路程和=速度和×时间求出相遇时间，进而求出点表示的数． （3）分相遇前和相遇后两种情况，根据路程和=初始距离±相距距离列方程求解． （4）先确定点从到再返回的运动情况，点继续向左运动，分点返回前和返回后两种情况，根据路程关系列方程求解． (1) 小问详解： 解：，， ，， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：设相遇时间为t秒， ∵、两点间的距离为： ∴， 解得， 点P运动的路程为：，点C表示的数为：； (3) 小问详解： 解：设经过t秒相距12个单位长度． 情况一：相遇前相距12个单位长度，， 解得， 情况二：相遇后相距12个单位长度，， 解得， ∴经过12秒或18秒相距12个单位长度． (4) 小问详解： 解： 点从到的距离为：，点从到的时间为：秒， 设再经过秒，、两点的距离为个单位长度． 情况一：点未返回，表示的数：，表示的数：， ， 解得（舍去）， 情况二：点已返回，表示的数：，表示的数：， ， 解得或， 即再经过3秒、9秒或21秒， 、两点的距离为12个单位长度． 34．【答案】（1）学生人数人     （2）租45座更合算      【分析】 本题考查一元一次方程实际应用，有理数乘法计算，有理数比较大小等． （1）根据题意设租45座车辆，则学生人数为，租60座车辆，人数为，继而列方程计算即可得到本题答案； （2）通过题意分别计算花费，再进行比较即可得到本题答案． (1) 小问详解： 解：设租45座车辆，则学生人数为， 租60座车辆，人数为， 列方程： ， 解得： ， ， ， 学生人数： （人）； (2) 小问详解： 解：租45座：5辆，费用元， 租60座：4辆，费用元， ∵：1500 < 1600， ∴租45座更合算． 35．【答案】（1）生产镜架10人，生产镜片12人     （2）6人      【分析】 题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． (1) 小问详解： 解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； (2) 小问详解： 设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得： ， 解得： ， ∴分出6人生产B镜片． 36．【答案】（1）12     （2）12     （3）4或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，两点之间的距离，解题的关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合的思想列出方程． （1）根据数轴上A、B两点对应的数分别是、4，直接求的长即可； （2）根据两点之间线段最短，得出当点在A、B两点之间时，最小，此时，即可求解； （3）由题意可得，则点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点；点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点；则点C为E、P的2倍点，即点C为、的2倍点，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵数轴上A、B两点对应的数分别是、4， ． (2) 小问详解： ∵两点间线段最短， ∴当点在A、B两点之间时，最小， 此时， 的最小值为12． (3) 小问详解： E、F两点分别从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，当运动t秒时，E、F两点恰好分别到达A、B两点， ，． ． 又运动t秒时，E、F两点分别到达M、N两点， ，． ． 当点P运动5秒时，点P与点F在Q点相遇， ． ． 点E在点F的左侧，， ． ． ． ． 点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点； 点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点． 点C为E、P的2倍点，即点C为、的2倍点． 当时， ， ． ． ． 当时， ， ． ． ． 综上所述，点P的运动速度是每秒4或个单位长度． 37．【答案】（1）     （2）6，     （3）点A所对应的数是或      【分析】 本题考查数轴上两点间距离，解一元一次方程等． （1）根据题意用两点间距离公式即可得到本题答案； （2）利用两点间距离公式即可得到本题答案，后可知取值范围，再利用正负数加法即可求得本题答案； （3）分两种情况讨论，利用两点间距离为3列式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵在数轴上A、B两点之间的距离， ∴数轴上表示x和的两点之间的距离表示为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵表示为x到2之间距离和x到之间距离的和， ∴当x在2和之间时有最小值，即， ∴此时x可取的值为：，即所有整数为， ∴能使取最小值的所有整数x的和是：， 故答案为：6，； (3) 小问详解： 解：由题意分为两种情况： ① 当点在点左侧时，点A与点B之间的距离为3个单位长度， ∵数轴上两点A、B对应的数分别是、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动， ∴设运动时间为， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， ∴，解得：， ∴此时点A所对应的数是：， ② 当点在点右侧时，点A与点B之间的距离为3个单位长度， ∵数轴上两点A、B对应的数分别是、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动， ∴设运动时间为， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， ∴，解得：， ∴此时点A所对应的数是：， 综上所述：点A所对应的数是或． 38．【答案】（1）     （2）2秒或6秒     （3）秒或秒或11秒或26秒      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）求方程求出a的值即可； （2）先表示出P、Q两点表示的数，再根据P、Q两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）分4种情况，画出图形列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点P运动到原点需秒，点Q运动到原点需秒 t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当点P在原点左侧时，如图， ， 解得． 当点P在原点右侧时， ， 解得． 综上可知，当t为2秒或6秒时，P、Q两点到原点的距离相等． (3) 小问详解： 解：点P：秒，秒，秒， 点Q：秒，秒， 当P，Q相遇前： ， 解得； 当P，Q第一次相遇后： ， 解得； 当P从点B返回到达点A前： ， 解得； 当P从点B返回到达点A后： ， 解得． 综上可知，当P、Q两点的距离为16个单位长度时， t的值为秒或秒或11秒或26秒． 39．【答案】16或160 【分析】 本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据点P的位置分类讨论，利用距离公式和比例关系列方程求解． 【详解】 解：设点P表示的数为x，则．由，得 当点P在A、B之间时，即，有，代入得，解得． 当点P在B点右侧时，即，有，代入得，解得． 当点P在A点左侧时，即，有，此时，与矛盾，故无解． 因此点P表示的数为16或160． 故答案为：16或160． 40．【答案】（1），3     （2）点表示的数为或；     （3）或或或5      【分析】 本题考查了多项式的定义，一元一次方程的应用，与数轴等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据多项式的定义求解即可； （2）设秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，根据题意得，据此求解即可； （3）分Q从O向N运动；Q从N向M运动讨论，然后根据中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”构造关于t的方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵多项式是三次三项式，常数项是， ∴，． 故答案为：，3； (2) 小问详解： 解：设秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 由题意得， 解得或， 当时，， 当时，； 综上，点表示的数为或； (3) 小问详解： 解：当时，此时Q从O向N运动，则有， ∴Q是的“强国点”， ∴， 解得； 当时，此时Q从N向M运动， ∵中恰好有一个点为其余两个点的“强国点， ∴或， 解得或． 当Q运动到的中点位置时，N是的强国点， 此时，； 综上，当t的值为或或或5时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点． 41．【答案】（1）     （2）或     （3）或或或．      【分析】 本题考查了绝对值的非负性，一元一次方程的几何应用，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，得，即可解得； （2）理解题意，先得点P所表示的数是，点Q所表示的数是，根据P、Q两点之间相距6个单位长度，进行列式计算，即可作答． （3）充分理解题意，分两种情况进行分析，即时或，分别先得点P，点Q，点M所表示的数，最后根据进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即点A、点B所表示的数分别是、11， (2) 小问详解： 解：由（1）得点A、点B所表示的数分别是、11， ∵点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动， ∴点P所表示的数是， ∵点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动， ∴点Q所表示的数是， ∵P、Q两点之间相距6个单位长度 ∴， ∴， 即， ∴或， 解得或； (3) 小问详解： 解：∵在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止， ∴（秒），（秒）， 依题意， 则时，则点P所表示的数是，所表示的数是，点Q所表示的数是， ∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 则时，则点P所表示的数是，所表示的数是，点Q所表示的数是， ∵， ∴， ∴， 当时，则 解得， 当时，则 解得， 综上：或或或． 42．【答案】（1）24元     （2）13吨     （3）11吨      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用-分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）根据7月用水8吨用第一段计费标准，用自来水总费用加上污水处理费用即可求解； （2）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨,列方程，解方程即可求解； （3）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨．根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． (1) 小问详解： 解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； (2) 小问详解： 解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； (3) 小问详解： 解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ① 当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ② 当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 43．【答案】（）；（）元；（）他们点了份套餐，份套餐或份套餐，份套餐，份套餐 【分析】 （）根据套餐饮料杯数套餐饮料杯数，套餐饮料杯数套餐小菜份数，列出代数式即可求解； （）根据份小菜，得到购买套餐份，有杯饮料，即得买了份套餐，购买了套餐份，再计算出原始付款金额，根据优惠政策，计算实际消费的金额即可； （）根据题意得，他们点了份套餐，份套餐，份套餐，分消费满元，减元共花费元和消费满元，减元，共花费元两种情况，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：（）解：∵有份小菜， ∴套餐中有杯饮料， ∴套餐中饮料杯数为杯， ∴他们共点了份套餐， 故答案为：； （）解：∵份小菜， ∴购买套餐份，有杯饮料， ∵套餐中共有杯饮料， ∴购买了份套餐，购买了套餐份， ∴原价为元， ∴他们实际消费的金额是元； （）解：根据题意得，他们点了份套餐，份套餐，份套餐， 当消费满元但不满元时， 由，解得， ∴，， ∴他们点了份套餐，份套餐； 当消费满元时， 由，解得， ∴，， ∴他们点了份套餐，份套餐，份套餐； 综上，他们点了份套餐，份套餐或份套餐，份套餐，份套餐． 44．【答案】3800 【分析】 根据题目中 “销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%”并结合“利润＝利润率×成本”可得等量关系式，设原味麻花的销售利润率为x%，再设三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意列出方程，求得x与y的值，即可得出结论． 【详解】 解：设原味麻花每袋的销售利润率为x%，三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意得： ， 原方程可化为：， 即． 解得x＝50． 则， 解得：y＝100． ∴元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为： （元）． 故答案为：3800． 【点睛】 本题主要考查了方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系并能准确列出方程进行求解是解题的关键． 45．【答案】（1）；2     （2）3或     （3）或或      【分析】 本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值和完全平方的非负性、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，，即可求解； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，再根据，两点到原点的距离相等，列出关于的方程，即可求解； （3）分3种情况讨论：① 当时；② 当时；③ 当时，分别表示出点、对应的数，根据、两点重合列出方程，求出的值，即可求出数轴上表示的数． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：；2； (2) 小问详解： 解：由题意得，点对应的数为，点对应的数为， ∵，两点到原点的距离相等， ∴或， 解得或， ∴的值为3或； (3) 小问详解： 解：点第一次从点运动至点处用时为（秒）， 点从点到点处用时为（秒）， 点从点运动至点处用时为（秒）， 点从点返回至点处用时为（秒）， ∴点从点返回到停止运动为第6秒至第12秒之间， ∴点对应的数为， ① 当时，点对应的数为， ∵、两点重合， ∴， 解得， 此时数轴上表示的数为； ② 当时，点对应的数为， ∵、两点重合， ∴， 解得， 此时数轴上表示的数为； ③ 当时，点对应的数为， ∵、两点重合， ∴， 解得， 此时数轴上表示的数为； ∴综上所述，、两点重合时数轴上表示的数为或或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）下列方程中是一元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是整式方程，是一元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）下列等式中是一元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元一次方程定义进行解答即可． 【详解】 解：A、是分式方程，不是一元一次方程，故此选项错误； B、是二元一次方程，故此选项错误； C、是算式，不是一元一次方程，故此选项错误； D、是一元一次方程，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 3．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）下列各式中是一元一次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元一次方程的概念，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】 解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． A：中，x在分母位置，不是整式方程； B：中，x的最高次数为2； C：，即，只含一个未知数x，且次数为1，是整式方程； D：中含有两个未知数． ∴ 只有C选项是一元一次方程， 故选：C． 4．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）下列选项中，是一元一次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的概念是解题关键． 一元一次方程需满足：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的等式．据此判断各选项即可． 【详解】 A： 是等式，但无未知数，故不是方程． B： 含一个未知数 ，且 的次数为1，故是一元一次方程． C： 含一个未知数 ，但 的最高次数为2，故不是一次方程． D： 是代数式，无等号，故不是方程． ∴ 正确答案是B． 5．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得且，解之即可得到答案． 【详解】 解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：1． 6．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）若是关于的一元一次方程，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元一次方程的概念，需熟练掌握概念是解决本题的关键． 根据一元一次方程的概念，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且一次项系数不为0的等式，由此列式求解即可． 【详解】 解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为： ． 7．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的概念．熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】 解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：2． 8．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）写出一个一元一次方程，同时满足方程的解为3，这个方程可以是　　　　　． 【答案】2x=6 【分析】根据一元一次方程的定义，只要含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），且还要满足方程的解是3，这样的方程即可，答案不唯一，只要符合以上条件即可． 【详解】答案不唯一，如2x=6等． 故答案为2x=6． 【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．注意方程的解是指能使方程成立的未知数的值． 9．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是　　　　　　．（写数字） 【答案】 【分析】 本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律，正确理解题意，找到数字的变化规律是解题的关键．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中 分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】 解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验 ： 当 时，，不是的倍数； 当 时，，是的倍数； 当 时，，不是的倍数； 当 时，，不是的倍数． 故仅 满足条件，此时 ，解得 ， 因此抽出的纸牌点数为． 故答案为：． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）运用等式性质进行的变形，不正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】 解：A、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； B、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； C、如果，那么，原式变形错误，符合题意； D、如果，那么，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）下列等式变形正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【分析】 本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】 A．当时，，此时和不一定相等，故该选项错误，不符合题意； B．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； C．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； D．如果，那么，正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）下列运用等式性质的变形中，错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等式的基本性质．（1）等式两边同加上（或减去）相等的数或式子，两边依然相等；（2）等式两边同乘以（或除以一个不为0）相等的数或式子，两边依然相等；（3）等式两边同时乘方，两边依然相等． 根据等式性质即可进行解答即可． 【详解】 解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，且，则，故本选项错误，符合题意； D、若，则，故本选项正确，不符合题意； 故选∶C． 4．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）下列说法错误的是（   ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】C 【分析】 根据等式的基本性质依次判断即可． 【详解】 A． 两边同时乘以-2，得-2a=-2b， 两边同时加3，得3-2a=3-2b， 故A选项正确，不符合题意； B． 两边同时乘以c，得a=b 故B选项正确，不符合题意； C． 若则或a=-b; 故C选项错误，符合题意； D． 两边同时乘以，c得ac=bc， 故D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】 本题主要考查了等式的基本性质熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．注意：如果两个数的绝对值相等那么这两个数相等或互为相反数． 5．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）若m，n，c是有理数，则下列结论错误的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查等式的性质，需注意分母不能为零．选项A、B、C均正确，而选项D在时除法无意义，因此错误． 【详解】 解：∵是有理数， 选项A：若，则两边同时减去c，得，正确； 选项B：若，则两边同时乘以c，得，正确（即使，也成立）； 选项C：若，且（因分母含c），两边同时乘以，得，正确； 选项D：若，但c可能为 0，此时和无意义，因此结论不一定成立，错误． ∴ 结论错误的是D， 故选：D． 6．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）下列等式变形正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质． 根据等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2：等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可． 【详解】 解：A、若，则，故选项错误； B、若，则，故选项错误； C、若，则，故选项错误； D、若，则，故选项正确． 故选：D． 7．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）根据等式的性质进行变形，正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 本题考查了等式的性质，等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．据此逐项判断即可求解． 【详解】 解：A. 若，则或，错误应用等式性质1，不合题意； B. 若，则，正确，符合题意； C. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意； D. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意． 故选：B 8．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】 解：A、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； B、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； C、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； D、由，且时，可得，原式不正确，该选项符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）如果，那么根据等式的性质下列变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、如果，则，故该选项符合题意； B、如果，则，故该选项不符合题意； C、如果，则，故该选项不符合题意； D、如果，则，故该选项不符合题意， 故选：A. 10．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）在方程中用含x的代数式表示　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的等式的性质，根据等式的性质用含一个字母的式子表示另一个字母即可解题. 【详解】 解： ， 故答案为：． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）解方程，以下去括号正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元一次方程的去括号操作，需根据乘法分配律和符号法则进行计算，注意负数乘以正数得负数． 【详解】 解：∵ ∴去括号后方程为． 故选：D． 2．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若，则的值为（     ） A. 2 B. 5 C. 4 D. -2 【答案】B 【分析】 本题主要考查基本的一元一次方程解法，熟练掌握移项和系数化为的步骤是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤，先移项，再系数化为即可求解． 【详解】 解：， ， ． 故选：B 3．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）解方程时，去分母正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握利用等式的基本性质去分母． 解方程时，去分母需要两边同时乘以分母3，从而消除分母，得到简化方程． 【详解】 解：∵ 原方程 ， 两边同时乘以3， ∴ 故选：A． 4．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）如表中x和y两个量成反比例关系，则a的值为（       ） x a y 4 A. 2 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了反比例关系. 反比例关系中，x和y的乘积为常数，利用已知数据列方程求未知数a即可. 【详解】 解：∵ x和y成反比例， ∴常数， ∴， 解得， 故选：A. 5．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）把方程去分母，正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据等式的基本性质将方程两边都乘以10可得答案． 【详解】 解：方程两边都乘以10，得：． 故选：B 【点睛】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质． 6．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）若x、y满足等式，则（       ） A.  B.  C. 8 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了绝对值和平方的非负性，根据绝对值和平方的非负性列一元一次方程方程并求解，即可得解． 【详解】 ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）是方程的解，则的值为（        ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的解的定义把代入原方程中求出m的值即可得到答案． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 8．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）解方程时，去分母正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元一次方程．去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数6，据此进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴两边同乘6得： ， 即， 故选：C． 9．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知关于x的方程和方程的解相同，则k的值是（     ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】A 【分析】 本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 先解第一个方程得到x的值，由于两个方程的解相同，将该x值代入第二个方程求解k即可． 【详解】 解：∵方程 ， ∴ ，解得：， 将代入方程 得： ，即， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选A． 10．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）某动点从数轴上的点P出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点Q，且点P，Q所表示的数的绝对值相同，则点Q表示的数为（     ） A. 8 B.  C. 4 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考査了数轴上的点表示有理数、相反数、绝对值、一元一次方程的应用等知识，理解相反数的定义是解题关键．根据题意，点在点左侧，且点P，Q所表示的数的绝对值相同，即点P，Q所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数，设点所表示的数为，则点所表示的数为，列出关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】 解：根据题意，点在点左侧，且点P，Q所表示的数的绝对值相同， 所以点P，Q所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数， 设点所表示的数为，则点所表示的数为， 则，解得， 即点表示的数为． 故选：D． 11．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）方程的解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次方程的解法，通过系数化为1求解即可． 【详解】 解：方程， 两边同时除以，得 ． 故答案为： ． 12．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨南岗区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解法，掌握等式的性质是解题关键． （1）方程两边同时除以，将系数化为1即可； （2）方程两边同时减去即可求解． (1) 小问详解： 解：， 方程两边同时除以得，， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 方程两边同时减去得，， 解得，． 13．（25-26学年七上·黑龙江大庆肇源县·期中）若是关于x的一元一次方程． （1）求a的值； （2）请写出这个方程； （3）解这个方程． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程， 对于（1），根据一元一次方程的定义得且，可得答案； 对于（2），根据（1）写出这个方程； 对于（3），根据移项，系数化为1得出答案． (1) 小问详解： 解：因为是关于x的一元一次方程， 所以且， 解得； (2) 小问详解： 解：因为， 所以； (3) 小问详解： 解：移项，得， 两边都除以，得． 14．（25-26学年七上·黑龙江大庆肇源县·期中）若是关于x的方程的解，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解．将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】 解：把代入方程，得： ，即， 解得 ． 故答案为 2 15．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程． （1）通过去括号，移项，合并同类项及系数化为1后解出方程； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项及系数化为1后解出方程． (1) 小问详解： 解：， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 16．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）定义一种新运算“”: ． 例如： （1）求的值； （2）若，求y的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接根据运算法则进行计算，即可作答． （2）理解题意，得，再进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ (2) 小问详解： 解：∵ ∴， 则， ∴， 故， 解得， 17．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）解方程： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程； （1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． (1) 小问详解： 解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 18．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． (1) 小问详解： 解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得，． 19．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程，相反数，掌握知识点是解题的关键． 先分别求解两个关于的方程，得到它们的解；根据两个解互为相反数的条件，建立关于的方程，进而求解的值， 【详解】 解：解第一个方程， 两边同乘2，得 ， 移项，得 ， 即， 解得 ， 解第二个方程， 两边同乘6（分母2和3的最小公倍数），得 ， 即， 移项，得 ， 即， 解得 ， 由题意，两个方程的解互为相反数，即 ， 解此方程，两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 解得， 故答案为． 20．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）对于有理数定义一种新运算“”：．已知表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，且，的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查定义新运算，化简绝对值．根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值即可． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 21．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算括号内，最后运算除法，即可作答． （2）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 22．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了已知方程的解，求参数；一元一次方程的解．根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】 解：依题意，将代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：2． 23．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）解方程： 【答案】 【分析】 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算步骤法则是解本题的关键． 方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】 解：∵ ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项：， 系数化为1：． 24．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中）若与互为相反数，则 　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握相反数定义，是解题的关键．根据相反数定义列出方程，解方程即可． 【详解】 解：因为与互为相反数，所以， 即， 解得：． 故答案为：． 25．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； (2) 小问详解： 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 27．（七·黑龙江牡丹江·期中）若关于x，y的多项式不含项，则　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 多项式不含项，说明项的系数为，先化简原多项式，再令项系数为求出，最后代入计算即可． 【详解】 解： ∵多项式不含项， ∴项的系数为， 即， 解得， ∴． 28．（25-26学年七上·黑龙江大庆肇源县·期中）解下列方程： （1）2（x+3）=5（x-3） =-x 【答案】(1) x=7;(2) x=. 【分析】 按：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤解方程. 【详解】 解：（1）去括号，得 2x+6=5x-15， 移项，得2x-5x=-6-15， 合并同类项，得-3x=-21， 系数化为1，得x=7； （2）去分母，得 5(2x-1) =3(4-3x) – 15x， 去括号，得10x – 5=12-9x-15x， 移项，合并同类项，得34x=17 ， 系数化为1，得   x=. 【点睛】 本题考核知识点：解一元一次方程.解题关键点：理解解方程的一般步骤. 29．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）已知数轴上A、B两点对应数分别为、4，P为数轴上一动点，对应数为x，若P点到A、B距离和为9，则x的值为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查数轴上两点距离公式及绝对值方程的应用，根据点P的位置分三种情况讨论：，分别化简绝对值方程并求解． 【详解】 解：点P到点A的距离为，到点B的距离为， 由题意得， 当时，方程化为， 解得； 当时，方程化为，无解； 当时，方程化为， 解得； 故答案为：或． 30．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）小马虎在解方程时把看成了a，解得，则原方程的解为 　　　　　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据小马虎的错误方程和解得的x值求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】 解：小马虎将方程误看作，解得：． 代入错误方程：，解得：． 将代入原方程得： ， ， ， ， ． 所以原方程的解为． 故答案为：． 31．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）计算下列各题 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 32．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第六十九中学·期中）解关于的方程，我们也可以这样来解：，因为，所以方程的解为． 请按这种方法解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了一元一次方程的特殊解法，解题的关键是正确理解例题中所给的形式，仿照例题解答问题． （1）利用乘法的分配律逆用，然后根据等式的性质解方程； （2）先变形为，然后与（1）一样解方程． (1) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以； (2) 小问详解： 解：因为， 所以， 所以， 所以． 33．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）解方程． （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元一次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则运算求解即可； （2）根据运算法则运算求解即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 34．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． （1）判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； （2）若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； （3）若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 【答案】（1）是     （2）     （3）      【分析】 本题考查新定义“m的后移方程”的定义、一元一次方程的解、代数式求值等知识点，理解“m的后移方程”是解题的关键． （1）先分别求解两个方程，再计算解的差，判断是否为正整数即可解答； （2）根据两个方程的解满足差值2，得到关于n的方程求解即可； （3）根据两个方程的解满足差值4，得到b与c的关系，然后再代入代数式求值即可． (1) 小问详解： 解：解方程可得：， 方程可得：， ∵，即两方程解的差值为正整数， ∴方程是的“m的后移方程”． 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”， ∴，解得：． (3) 小问详解： 解：方程的解为， 方程的解为， ∵关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”， ∴，整理得：， ∴． 35．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨萧红中学·期中）阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是[，]的倍点，根据这个定义解决下面问题： （1）在图中，点A______的3倍点（填写“是”或“不是”）； （2）、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，且，若点是的倍点，则点表示的数为_________． （3）在（2）的条件下，数轴上一动点在、之间，表示的数为，且满足（为常数），若是的倍点，求和的值； 【答案】（1）是；     （2）或．     （3），．      【分析】 本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握3倍点的定义和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据3倍点的定义，计算点到点的距离和点到点的距离，判断是否满足3倍关系． （2）先根据绝对值的非负性求出、的值，再设点表示的数为，根据3倍点的定义列方程求解． （3）先根据（2）确定、的值，再根据是的3倍点列方程求出，进而求出的值． (1) 小问详解： 解：由图可知，点A表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是． 则，． ∵， ∴点A是的3倍点， 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：∵，且，， ∴，， 解得，． 设点E表示的数为， ∵点E是的3倍点， ∴，即． 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不符合，舍去）． 综上，点E表示的数为或． 故答案为：或． (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ∴表示，表示． ∵是的3倍点，表示的数为， ∴，即， ∴， 解得或； ∵在之间， ∴（舍去）； ∴． 36．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）规定符号表示不相等的两个数a，b中较小的一个数，规定符号表示不相等的两个数a，b中较大的一个数．例如，，．若，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程． 根据符号定义，先确定和的值，再求解即可． 【详解】 解：∵规定符号表示不相等的两个数a，b中较小的一个数，规定符号表示不相等的两个数a，b中较大的一个数， ∴，， 代入方程得：， 即：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 37．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）．     （2）．      【分析】 本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解是解题关键． （1）移项将含的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项后系数化为1求解即可． （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可． (1) 小问详解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． (2) 小问详解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 38．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中）阅读材料，学以致用 一般情况下，不成立，但有些数可以使它成立，如，时，成立．我们称使得成立的一对数如m，n为“全面数对”，记作． （1）以下数对中“全面数对”是_____．（填选项） A．       B．       C． （2）若是“全面数对”，求的值． （3）是“全面数对”，求代数式的值． 【答案】（1）C     （2）     （3）      【分析】 本题考查了新定义，有理数的混合运算，等式的性质，整式的加减—化简求值． （1）根据“全面数对”的定义逐项分析即可； （2）根据“全面数对”的定义列方程求解即可； （3）由是“全面数对”得，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把代入计算即可． (1) 小问详解： A．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；    B．∵，， ∴， ∴不是“全面数对”；        C．∵，， ∴， ∴是“全面数对”． 故选C； (2) 小问详解： ∵是“全面数对”， ∴ 解得； (3) 小问详解： ∵是“全面数对”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 39．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是． 根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）如果表示数和的两点之间的距离是3，那么___________； （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，那么的值是___________；当___________时，的值最小，最小值是___________． （3）依照上述方法，的最小值是___________． 【答案】（1）或1     （2）     （3）      【分析】 本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离公式列方程求解； （2）① 直接去绝对值，合并即可；②表示表示数a的点到数，1，4的点的距离和，要使得距离和最小，则表示数a的点在处即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得或， 故答案为：或1； (2) 小问详解： 解：①∵， ∴， ② ∵，则化为表示数a的点到数，1，4的点的距离和，要使得距离和最小，则表示数a的点在表示数1的点的位置， ∴的最小值等于， 故答案为6，1，9； (3) 小问详解： 解：，则化为表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴当表示数a的点在表示数和2两个点之间（可重合）时，即时，距离之和最小， ∴最小值为． 40．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）若规定 ，当 时，试求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． 根据新定义得出，进一步计算即可求解． 【详解】 解：由题意得： 41．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）已知关于 x 的方程和的解相同． （1）求m的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解和代数式求值，准确计算是解题的关键． （1）根据两个方程的解相同求出m即可； （2）把m代入求解即可． (1) 小问详解： 解：解方程得， 解方程得， ∵关于 x 的方程和的解相同， ∴， 解得． (2) 小问详解： 解： ． 42．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·期中）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是． （1）①若是的“正比数”，，则__________； ②若是的“反比数”，，则__________； （2）若，e是的“反比数”，求； （3）若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②      （2）0或     （3）6或或或      【分析】 本题主要考查了绝对值的意义，新定义运算，解题的关键是理解绝对值的意义，注意进行分类讨论． （1）根据定义列式计算即可； （2）先求出e的值，然后根据中点定义求出b的值即可； （3）根据中点定义得出，分两种情况讨论：当e是a的“正比数”时，当e是b的“正比数”时，分别列式计算即可． (1) 小问详解： 解：① ∵是的“正比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ② ∵是的“反比数”， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵，e是的“反比数”， ∴， 解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， 解得：或． (3) 小问详解： 解：∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴， 即， ∵， ∴当e是a的“正比数”时，， 即， 解得：， ∴， 解得：或； 当e是b的“正比数”时，， 即， ∴， 解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 43．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十七中学校·期中）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示-4和7的两点之间的距离是______； （2）如果，那么_____． （3），，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A和点B，则A、B两点间的最大距离是______；最小距离是_____． 【答案】（1）     （2）或     （3），      【分析】 本题考查了数轴上两点间距离公式的应用、绝对值的几何意义及绝对值方程的解法，解题的关键是熟练掌握“数轴上两点距离等于两点所表示数的差的绝对值”，并能利用绝对值的性质求解方程、计算两点间距离． （1）直接将表示的两个数代入距离公式，代入、计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示到的距离为3，由此列方程求解； （3）先分别解两个绝对值方程，得到、的所有可能值，再计算所有情况下、 两点的距离，对比得出最大和最小距离． (1) 小问详解： 解：根据数轴上两点间距离公式，将、代入得：． 故答案为：11． (2) 小问详解： 解：由绝对值的性质，若，则或， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：2或． (3) 小问详解： 解：解： 由绝对值性质得或， 解得或． 解： 由绝对值性质得或， 解得或． 计算、两点间距离： 当、时，距离为； 当、时，距离为； 当、时，距离为； 当、时，距离为 对比得最大距离为8，最小距离为2． 故答案为：8；2． 44．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）已知3个多项式分别为 ，，， ①若，则； ②多项式化简后是二次三项式； ③若关于的整式（，是不为0的有理数）化简后不含一次项，则； ④若的值是，则的值也是． 其中正确的有　　　　　　（填序号） 【答案】③ ④ 【分析】 本题考查了整式的加减、求代数式的值和解一元一次方程，熟知整式的加减法则是解题的关键．分别验证四个陈述的正确性：①通过解方程判断；②通过多项式运算判断项数；③通过合并同类项后一次项系数为零的条件判断；④通过先求x的值再代入计算A的值判断． 【详解】 解：①由，解得，而非，故①错误； ②，为二次二项式，非三项式，故②错误； ③，不含一次项时系数，即，故③正确； ④由，得，代入中，得，故④正确． 故答案为：③ ④． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（     ）场 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意准确列出方程求解． 设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据总积分31分列方程求解． 【详解】 解：设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据题意得： ， 解得：． 答：负场数为2场． 故选：A． 2．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是(　   　) A. 30岁 B. 20岁 C. 15岁 D. 10岁 【答案】B 【详解】本题主要考查一元一次方程的应用．本题等量关系为：5年前甲的年龄=2×5年前乙的年龄．可设乙现在的年龄为x岁，则甲为（x+15）岁，根据等量关系列方程求解． 解：设乙现在x岁，则5年前甲为（x+15-5）岁，乙为（x-5）岁， 由题意得：x+15-5=2（x-5） 解得x=20 故选B． 3．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进价仍获利20%，则该商品的进价是（       ）． A. 95元 B. 90元 C. 85元 D. 80元 【答案】B 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，根据：售价成本利润率成本，列方程求解即可． 【详解】 解：设该商品的进价为元，由题意得 ， 解得， 所以该商品的进价为元， 故选：B． 4．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作3个大花瓶或8个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，可得方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设要安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得出关于的一元一次方程，找出等量关系，正确列出一元一次方程式是解题的关键． 【详解】 解：根据题意得，， 故选：D． 5．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（   ） A. 200 元 B. 210 元 C. 180 元 D. 190 元 【答案】A 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，通过列方程直接求解，注意计算准确． 设进价为x元，根据提高后标价，再打9折，售价为216元，列出方程求解． 【详解】 解：设进价为x元，根据题意得， ∵ 标价， 售价=标价， ∴ ， ， ∴ 进价为200元． 故选：A． 6．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知水流的速度为每小时航行8千米，则两码头间的距离为（　　）千米 A. 480 B. 540 C. 240 D. 280 【答案】C 【分析】 根据顺水速度减去逆水航行的速度等于列出方程，解方程即可求解． 【详解】 设船的速度为，由顺水航行的速度，逆水航行的速度为，两码头间的距离为千米，根据题意得， 解得 故选C 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 7．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ） A. 2×1000（26﹣x）=800x B. 1000（13﹣x）=800x C. 1000（26﹣x）=2×800x D. 1000（26﹣x）=800x 【答案】C 【分析】 此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数，据此设未知数列出方程即可． 【详解】 解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得 1000（26-x）=2×800x， 故C答案正确 故选C 8．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合做完成此项工作，设甲一共做了x天，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设甲一共做了x天，则乙一共做了天，再设总的工作量为单位“1”，根据“效率×时间=工作量”分别用式子表示甲、乙的工作量，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量”即可列出方程． 【详解】 解：设甲一共做了x天，则乙一共做了天， 设工程总量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意可得出方程． 故选：B． 9．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查配套问题，关键是根据部件比例关系列方程，确保部件数量匹配以制作最多仪器．设用立方米钢材做部件，则做部件的钢材为立方米，根据仪器配套要求（个部件配个部件），部件数量应等于部件数量的倍，由此列方程即可． 【详解】 解：用立方米做部件，则用立方米做部件， 由题意可得，． 故选：B． 10．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）在如图的2016年6月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是(　 　) A. 27 B. 51 C. 69 D. 72 【答案】D 【详解】设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x，看是否存在． 解：设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14 故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21 当x=16时，3x+21=69； 当x=10时，3x+21=51； 当x=2时，3x+21=27． 故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72． 故选D． “点睛“此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 11．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）游泳池中有一批小朋友，男生戴蓝色游泳帽，女生戴红色游泳帽．如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍．设男孩有x人，则可列方程（　　） A. x=2（x﹣2） B. x﹣1=2（x﹣2） C. x=2（x﹣1） D. x﹣1=2x 【答案】A 【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，得出男孩比女孩多1人，设男孩有x人，则女孩有(x-1)人，根据每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍列出等式即可. 【详解】解：设男孩x人，根据题意得出： x=2(x-2). 故选A. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程组的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键. 12．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县第四中学·期中）一个点从数轴上的原点出发，向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点，则点表示的数是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了数轴，根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案，利用数轴上的点左移减，右移加是解题关键． 【详解】 解：由题意，得 ， 故答案为：． 13．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流而上，用了2.5小时．若船在静水中的平均速度是每小时27千米，则水流速度为每小时 　　　　　千米． 【答案】3 【分析】 设水流速度为每小时x千米，则船顺流航行的速度为每小时千米，船逆流航行的速度为每小时千米，根据题意列出方程求解即可得． 【详解】 解：设水流速度为每小时x千米， 由题意可得：， 解得：， 答：水流速度为每小时3千米， 故答案为：3． 【点睛】 题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 14．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分．已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了　　　　　　　　　　道题． 【答案】8 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，设这个人选错了道题，那么做对了道，根据得了分，可列方程求解． 【详解】 解：设这个人选错了道题，根据题意得 解得， 答：这个人选错了道题． 故答案为：． 15．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）老师给学生分苹果，如果每人2个多5个苹果，如果每人3个则少7个苹果，则有　　　　　　　 名学生 【答案】12 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，依题意得到等量关系是解题的关键．设有x名学生，根据“如果每人2个多5个苹果，如果每人3个则少7个苹果”，列出方程解答即可． 【详解】 解：设有x名学生，则苹果的数量为，或者表示为，则 ， 解得． 故答案为：12． 16．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）已知多项式 （1）若该多项式的值与字母x的取值无关，则               ，              ； （2）在（1）的条件下，数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b，则线段               （3）在（2）的条件下，点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动，             秒后M与N表示的数互为相反数． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了整式的加减运算无关型问题，数轴与动点问题，在数轴上表示有理数，相反数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号再合并同类项，得，结合该多项式的值与字母x的取值无关，故，解出的值，即可作答． （2）理解题意，得出数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10，再结合两点之间的距离进行列式计算，即可作答； （3）理解题意，得出数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为，结合相反数的定义进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ∵该多项式的值与字母x的取值无关， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：在（1）的条件下，得 ∵数轴上点A 表示的数字为a，点B 表示的数字为b， ∴数轴上点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10 则线段， (3) 小问详解： 解：依题意，设秒后M与N表示的数互为相反数． ∵点M从点A开始，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点N从点 B 开始，以每秒1个单位长度的速度向左运动，且点A 表示的数字为，点B 表示的数字为10， ∴数轴上点M表示的数字为，点N表示的数字为， 依题意，得 ∴． 17．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有　　　　　名学生． 【答案】 【分析】 设这个班有x名学生，根据每人分3本，则剩余20本可知共有本书，根据每人分4本，则还缺25本可知共有本书，由此建立方程求解即可． 【详解】 解：设这个班有x名学生， 由题意得，， 解得， ∴这个班有45名学生， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 18．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）如图（1）是2025年11月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． （1）设X框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； （2）这5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数，若不能请说明理由； （3）图（2）是2025年十二月份的日历，用这样的“X”形框能框出的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】（1）     （2）能，这五个数中最小的数为2     （3）115      【分析】 本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设X框最中间的数为a，再分别找出其他四个数，再列式计算，即可作答． （2）理解题意，则，解得，即可求出这五个数中最小的数； （3）先理解题意，得出，故，即可求出五个数的和的最大值． (1) 小问详解： 解：依题意，设X框最中间的数为a， 则X框的其他四个数分别是 ∴ ∴这5个数之和为； (2) 小问详解： 解：这5个数的和能等于50，过程如下： 依题意，当设X框最中间的数为a，则这5个数之和为 故， 解得， ∴这五个数中最小的数是； (3) 小问详解： 解：由（1）得设X框最中间的数为a，则X框的其他四个数分别是，且这5个数之和为； 观察2025年十二月份的日历，有号， 即， 解得， 此时五个数的和的最大值是． 19．（25-26学年七上·黑龙江鹤岗绥滨县·期中）某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，求多少人生产螺栓，多少生产螺母？ 【答案】12人生产螺栓，16人生产螺母 【分析】刚好配套．x人生产螺栓，（28−x）人生产螺母，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】刚好配套．x人生产螺栓，（28−x）人生产螺母， 根据题意得：12x×2＝18（28−x）， 解得：x＝12， 则刚好配套，12人生产螺栓． 答：12人生产螺栓，16人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 20．（七·黑龙江牡丹江·期中）已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示，且A，B两点之间的距离为．数轴上A，B两点对应的数分别为，2，P为数轴上一动点，且表示的数为m． （1）【发现问题】A，B两点之间的距离是_____________； （2）【解决问题】 ①若，则_____________， ②若点P到、两点的距离比为，则点P表示的数为_____________． （3）【创新应用】现在点P从A点处出发以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时Q从点B处出发，以个单位长度/秒的速度向左运动，当点P与点Q之间的距离是2个单位长度时，直接写出点P表示的数． 【答案】（1）     （2）①或②或     （3）或      【分析】 （1）利用数轴上两点距离公式，代入两点对应的数，求出绝对值即可得到两点之间的距离； （2）① 先利用数轴上两点距离公式得出，列出绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号求解即可；② 由距离比列出含绝对值的比例等式，利用比例的基本性质化简，分两种情况去掉绝对值解方程得到结果； （3）设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度，则点P、点Q对应的数分别为、；根据题意列出绝对值方程，解出，再回代即可求出点P表示的数． (1) 小问详解： 解：由题意得； (2) 小问详解： 解：① 由题意得， ， ， 或， 或； ②点P到、两点的距离比为， ， ， ， 或， 或； (3) 小问详解： 解：设移动了秒时，点P与点Q之间的距离是2个单位长度， 由题意得， ， 化简得或， 解得或， ，， 点P表示的数为或． 21．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 【答案】（1）（件）     （2）生产螺钉10人，则生产螺母为12人     （3）零件的售价是14元      【分析】 此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键． （1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，列方程解答； （3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价成本价利润求得结论． (1) 小问详解： 解：设工作岗位有y名工人， 根据题意得，， 解得， （件） ∴一共带去了49件礼品； (2) 小问详解： 解：设生产螺钉a人，则生产螺母为人 解得，， （人） 答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名； (3) 小问详解： 解：设x个销售商 解得， （元） 答：零件的售价是14元． 22．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）某水果店第一次购进西瓜千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进千克西瓜，进货价比第一次每千克少元，两次进货共花费元． （1）这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元? （2）在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有%的损耗，第二次购进的西瓜有%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利元，每千克西瓜的售价为多少元? 【答案】（1）元     （2）元      【分析】 （1）设第一次购进西瓜的进价为每千克元，则第二次购进西瓜的进价为每千克元，根据题意列一元一次方程即可求解． （2）设每千克西瓜的售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解． (1) 小问详解： 设第一次购进西瓜的进价为每千克元，则第二次购进西瓜的进价为每千克元， 依题意得：， 解得：． 答：第一次购进西瓜的进价为每千克元． (2) 小问详解： 设每千克西瓜的售价为元， 依题意得： 解得：． 答：每千克西瓜的售价为元． 【点睛】 此题主要考查了一元一 次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键． 23．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第四十九中学·期中）小松鼠的坚果店搞“秋日特惠”，两件爆款坚果礼盒售价都是60元，其中一盒坚果因为是当季新采，盈利了；另一盒是库存坚果，只能亏本清仓．小松鼠卖出这两盒坚果后，赚了　　　　　　　　　　元． 【答案】7.5 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． 通过售价和盈利或亏损百分比分别计算两盒坚果的成本，再求总成本与总售价的差值． 【详解】 解：设盈利坚果的成本为元， 根据盈利，得， 解得． 设亏损坚果的成本为元， 根据亏损，得，解得． 总成本为（元）， 总售价为（元）， 因此赚了（元）． 故答案为：7.5． 24．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价150元，文具袋每个定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋x个(，x为整数)． （1）若该学校按方案一购买，需付款               元； 若该学校按方案二购买，需付款               元(用含x的式子表示)； （2）当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同； （3）请你为学校提出最合理化的购买方案?直接写方案 【答案】（1）；     （2）     （3）解：学校提出最合理化的购买方案为，运用方案一，购买书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据题意，分别列式化简，得出按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； （2）理解题意，得，解出的值，即可作答． （3）理解题意，综合运用方案一和方案二进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，（元）， ∴该学校按方案一购买，需付款元； 依题意，（元） ∴若该学校按方案二购买，需付款元； (2) 小问详解： 解：由（1）得按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； 依题意，， 解得 答：当购买文具袋的数量为25时，方案一和方案二价格相同； (3) 小问详解： 解：依题意，运用方案一，购买书包，则（元） 则方案二，（元） ∴（元） ∴学校提出最合理化的购买方案为，运用方案一，购买书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元 25．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是20，动点、分别从、两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设运动时间为． （1）当时，点P对应的数是______，点Q对应的数是______； （2）当t为何值时，P、Q两点之间相距8个单位长度； （3）当时，若线段和线段同时以1个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；     （2）或；     （3）存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12．      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及两点间距离公式、绝对值方程的求解．熟练掌握数轴上点的运动规律、两点间距离公式以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据动点的起始位置和运动速度、时间，计算动点对应的数． （2）先表示出运动秒后、对应的数，再根据两点间距离公式列出方程求解． （3）先确定时、的位置，再分析线段运动后的、、、的位置，根据距离关系列方程求解，进而求出的距离． (1) 小问详解： 解：点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是． 点从点（表示的数是）出发，速度是个单位长度/秒，运动时间秒， ∴点对应的数是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为． ∴． 当时，． 则或． 当时，，． 当时，，． 综上所述：当或时，P、Q两点之间相距8个单位长度； (3) 小问详解： 解：当时，点对应的数为，点对应的数为． 设线段运动的时间为秒，则，此时： 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ． ． 由，得． 分情况讨论： 当时，， 解得． 当时，，得，故此时不成立． 当时，， 解得． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒． 当时，点对应的数为，点对应的数为，，此时秒．． 综上，存在秒或秒时，使得，秒时，为；秒时，为12． 26．（25-26学年七上·黑龙江绥化望奎县·期中）甲乙两商场销售同一品牌的西装和领带，西装每套250元，领带每条40元，两商场的标价都相同．在春节期间两商场均推出优惠活动： 甲商场规定，购买一套西装送一条领带．乙商场规定，所有商品一律九折出售． 某单位要购买20套西装和x（）条领带奖励职工． （1）当时，去甲商场购买所需要的费用为________元，去乙商场购买所需的费用为________元． （2）求：当x为多少时去甲乙两商场购买的费用相同？ （3）当时，请直接写出最优惠的购买方案，并计算出所需的最少费用． 【答案】（1）6200，6300     （2）75     （3）最优惠的购买方案：甲商场购买20套西装，乙商场购买80条领带，所需最少费用7880元．      【分析】 本题考查了一元一次方程和有理数的四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）甲商场费用：西装总价钱+20 条以外的领带的价钱；乙商场费用：西装和领带的总价钱； （2）由（1）得出的两种款数列方程求解； （3）把代入（2）中的两个式子算出结果，再求解混合购买的费用，比较即可． (1) 小问详解： 解：当时， 甲商场费用：（元） 乙商场费用：（元） ∴去甲商场购买所需费用为6200元，去乙商场购买所需费用为6300元， 故答案为：6200，6300； (2) 小问详解： 解：甲商场费用： 乙商场费用： ∵费用相同， ∴ 解得 ∴当x为75时，去甲乙两商场购买的费用相同； (3) 小问详解： 解：当时， 全部在甲商场购买费用：（元） 全部在乙商场购买费用：（元） 在甲商场购买20套西装（送20条领带），剩余80条领带在乙商场购买（九折），则费用：（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案：甲商场购买20套西装，乙商场购买80条领带，所需最少费用7880元． 27．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】 本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：① 当在上时，② 当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】 解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ① 当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ② 当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 28．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）小方家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其他区域铺设地砖．    （1）请直接写出的值：______． （2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米？（用含的代数式表示） （3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米．装修公司有A，B两种装修方案（如下表）．已知卧室2的面积为21平方米，则小方家应选择哪种装修方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？ 装修方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 A 八折 八五折 2000元 B 九折 八五折 免收 【答案】（1）3     （2）铺设地面需要木地板；铺设地面需要地砖为平方米；     （3）小方家应选择B种装修方案      【分析】 （1）根据长方形的对边相等，即可求出a的值； （2）根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积； （3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可． 本题考查了列代数式，长方形的面积，分别求出铺设地面需要木地板与地砖的面积，理解A，B两种活动方案是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，得：， 解得； (2) 小问详解： 解：铺设地面需要木地板为 平方米； ； 铺设地面需要地砖为平方米； (3) 小问详解： 解：∵卧室2的面积为21平方米， ∴， 解得：， ∴铺设地面需要木地板：平方米， 铺设地面需要地砖：平方米． A种活动方案所需的费用：（元）， B种活动方案所需的费用：（元）， ， 所以小方家应选择B种装修方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低． 29．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐量超过40单的部分记为“+”，低于40单的部分记为“－”，下表是小刚这一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） －5 ＋3 －6 0 ＋6 ＋8 ＋14 （1）求小刚这一周一共送餐多少单； （2）若外卖员每周的工资为每单元，小刚想用这周的工资买一台标价为2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利10％销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小刚幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小刚用这周工资买下这台扫地机器人后，还剩120元，请求出的值． 【答案】（1）300单     （2）7      【分析】 本题主要考查正数和负数，有理数的混合运算和一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先表示出这一周的送餐超出量，再加上这一周的基准量即可； （2）用一元一次方程表示出数量关系，求解即可． (1) 小问详解： 解： （单）， 答：小刚这一周一共送餐300单； (2) 小问详解： 解：根据题意，得， ， ， ， 故m的值为7． 30．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨虹桥中学校·期中）一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】； 【分析】一个数的3倍可以表示为3x，2倍可以表示为2x，根据题中一个数的3倍比它的2倍多10，即两者之差为10，列出方程即可． 【详解】设这个数为x， 则它的3倍为3x，2倍为2x， 由题意数的3倍比它的2倍多10， 即可知两者之差为10，故答案为3x=2x+10. 【点睛】本题考查了一元一次方程的列法，解题的关键是正确找出题目的相等关系． 31．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）某快车的计费规则如表1，小明几次乘坐快车的情况如表2，请仔细观察分析表格解答以下问题： 表1：某快车的计费规则 里程费（元/公里） 时长费（元/分钟） 远途费（元/公里） 2.2 12公里及以下 0 次日 3.2 次日 0.55 超出12公里的部分加收 （说明：总费用里程费时长费远途费） 表2：小明几次乘坐快车信息 上车时间 里程（公里） 时长（分钟） 远途费（元） 总费用（元） 5 5 0 13.5 20 12.8 76.8 （1）______，______； （2）列方程求解表2中的； （3）小明的爸爸打快车从机场回家，快车行驶的平均速度是1公里/分钟，到家后小明爸爸支付车费248.3元，请问机场到小明家的路程是多少公里？（用方程解决此问题） 【答案】（1）     （2）     （3）机场到小明家的路程是50公里      【分析】 本题考查了一元一次方程在乘车问题中的应用，理清题中的数量关系，正确列方程，是解题的关键． （1）根据表中数据列方程，求解即可得到、的值； （2）根据里程费时长费远途费总费用，列方程求解即可得到答案； （3）设机场到小明家的路程是公里，则按照夜间乘车的计费方式，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得，， 解得； 由题意可得，， 解得； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意可得，， 解得； (3) 小问详解： 解：设机场到小明家的路程是公里，则 ， 解得， 答：机场到小明家的路程是公里． 32．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发　　　　　　小时后甲乙相距10千米． 【答案】1.5或1.7 【分析】 本题考查一元一次方程的应用-行程问题．设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况根据“甲行驶路程+乙行驶的路程=总距离”分别列方程即可求解． 【详解】 解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ① 当两车相遇前，列方程得， 解得 ② 当两车相遇后，列方程得 解得 答：乙出发1.5或1.7小时后甲乙两车相距10千米． 故答案为：1.5或1.7 33．（25-26学年七上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在数轴上原点表示数，点在原点的左侧，所表示的数是，点在原点的右侧，所表示的数是，且满足． （1）点表示的数为________，点表示的数为________； （2）若点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，并且在点处相遇，求点所表示的数； （3）在（2）的条件下，、经过几秒相距个单位长度？ （4）在（2）的条件下，若点运动到点后按原路原速立即返回，点继续按原速原方向运动，从点、在点处相遇开始，再经过多少秒，、两点的距离为个单位长度． 【答案】（1），10；     （2）点C表示的数是；     （3）经过12秒或18秒相距12个单位长度；     （4）再经过3秒或9秒或21秒．      【分析】 本题主要考查了数轴上的动点问题、非负数的性质以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间的距离公式、行程问题中的数量关系（路程速度×时间）是解题的关键． （1）根据绝对值和平方数的非负性，求出和的值，从而确定点、表示的数． （2）先求出、两点间的距离，再根据相遇问题的公式路程和=速度和×时间求出相遇时间，进而求出点表示的数． （3）分相遇前和相遇后两种情况，根据路程和=初始距离±相距距离列方程求解． （4）先确定点从到再返回的运动情况，点继续向左运动，分点返回前和返回后两种情况，根据路程关系列方程求解． (1) 小问详解： 解：，， ，， ，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：设相遇时间为t秒， ∵、两点间的距离为： ∴， 解得， 点P运动的路程为：，点C表示的数为：； (3) 小问详解： 解：设经过t秒相距12个单位长度． 情况一：相遇前相距12个单位长度，， 解得， 情况二：相遇后相距12个单位长度，， 解得， ∴经过12秒或18秒相距12个单位长度． (4) 小问详解： 解： 点从到的距离为：，点从到的时间为：秒， 设再经过秒，、两点的距离为个单位长度． 情况一：点未返回，表示的数：，表示的数：， ， 解得（舍去）， 情况二：点已返回，表示的数：，表示的数：， ， 解得或， 即再经过3秒、9秒或21秒， 、两点的距离为12个单位长度． 34．（25-26学年七上·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期中） 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． （1）求参加研学的学生人数； （2）已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 【答案】（1）学生人数人     （2）租45座更合算      【分析】 本题考查一元一次方程实际应用，有理数乘法计算，有理数比较大小等． （1）根据题意设租45座车辆，则学生人数为，租60座车辆，人数为，继而列方程计算即可得到本题答案； （2）通过题意分别计算花费，再进行比较即可得到本题答案． (1) 小问详解： 解：设租45座车辆，则学生人数为， 租60座车辆，人数为， 列方程： ， 解得： ， ， ， 学生人数： （人）； (2) 小问详解： 解：租45座：5辆，费用元， 租60座：4辆，费用元， ∵：1500 < 1600， ∴租45座更合算． 35．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． （1）应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； （2）为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】（1）生产镜架10人，生产镜片12人     （2）6人      【分析】 题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． (1) 小问详解： 解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； (2) 小问详解： 设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得： ， 解得： ， ∴分出6人生产B镜片． 36．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨阿城区·期中）已知，数轴上A、B两点对应的数分别是、4，这两点之间的距离用表示． （1）求的长； （2）点C为数轴上的点，点C对应的数为x，求点C到点A和点B的距离和即的长，直接写出的最小值；（用含x的式子表示） （3）对于数轴上的三个点，给出如下定义，若当其中一个点与其他两个点距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的2倍点．在（2）的条件下，点C在A、B之间，E、F两点分别从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，当运动t秒时，E、F两点恰好分别到达A、B两点，又运动t秒时，E、F两点分别到达M、N两点．接下来E、F两点同时调转方向，保持原速度不变相向而行，同时点P从点M出发沿数轴向右运动，当点P运动5秒时，点P与点F在Q点相遇，此时点E在点F的左侧，，点C为E、P的2倍点，请直接写出点P的运动速度是每秒多少个单位长度． 【答案】（1）12     （2）12     （3）4或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，两点之间的距离，解题的关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合的思想列出方程． （1）根据数轴上A、B两点对应的数分别是、4，直接求的长即可； （2）根据两点之间线段最短，得出当点在A、B两点之间时，最小，此时，即可求解； （3）由题意可得，则点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点；点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点；则点C为E、P的2倍点，即点C为、的2倍点，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵数轴上A、B两点对应的数分别是、4， ． (2) 小问详解： ∵两点间线段最短， ∴当点在A、B两点之间时，最小， 此时， 的最小值为12． (3) 小问详解： E、F两点分别从点C出发，沿数轴分别向左、右运动，当运动t秒时，E、F两点恰好分别到达A、B两点， ，． ． 又运动t秒时，E、F两点分别到达M、N两点， ，． ． 当点P运动5秒时，点P与点F在Q点相遇， ． ． 点E在点F的左侧，， ． ． ． ． 点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点； 点从点C出发，运动5秒到达点，再运动5秒到达点，最后运动5秒回到点． 点C为E、P的2倍点，即点C为、的2倍点． 当时， ， ． ． ． 当时， ， ． ． ． 综上所述，点P的运动速度是每秒4或个单位长度． 37．（25-26学年七上·黑龙江伊春南岔县·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______； （2）的最小值为______时，能使取最小值的所有整数x的和是______； （3）若数轴上两点A、B对应的数分别是、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 【答案】（1）     （2）6，     （3）点A所对应的数是或      【分析】 本题考查数轴上两点间距离，解一元一次方程等． （1）根据题意用两点间距离公式即可得到本题答案； （2）利用两点间距离公式即可得到本题答案，后可知取值范围，再利用正负数加法即可求得本题答案； （3）分两种情况讨论，利用两点间距离为3列式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵在数轴上A、B两点之间的距离， ∴数轴上表示x和的两点之间的距离表示为：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵表示为x到2之间距离和x到之间距离的和， ∴当x在2和之间时有最小值，即， ∴此时x可取的值为：，即所有整数为， ∴能使取最小值的所有整数x的和是：， 故答案为：6，； (3) 小问详解： 解：由题意分为两种情况： ① 当点在点左侧时，点A与点B之间的距离为3个单位长度， ∵数轴上两点A、B对应的数分别是、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动， ∴设运动时间为， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， ∴，解得：， ∴此时点A所对应的数是：， ② 当点在点右侧时，点A与点B之间的距离为3个单位长度， ∵数轴上两点A、B对应的数分别是、3，现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动， ∴设运动时间为， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， ∴，解得：， ∴此时点A所对应的数是：， 综上所述：点A所对应的数是或． 38．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）如图所示，在数轴上原点O，点A在原点的左侧，所表示的数是a，并且满足．点B在原点的右侧，所表示的数是16． （1）点A表示的数为______； （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度．P、Q两点同时运动，设两点的运动时间为t秒，当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等． （3）在（2）的条件下，若点P运动到点B后，按照原路立即返回，返回的速度变为每秒3个单位长度，点P到达点A停止运动；点Q运动到点A后，立即以原路原速返回，到达点B停止运动．从P、Q开始运动，到点Q停止运动的过程中，当P、Q两点的距离为16个单位长度时，请直接写出符合条件的t的所有值． 【答案】（1）     （2）2秒或6秒     （3）秒或秒或11秒或26秒      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）求方程求出a的值即可； （2）先表示出P、Q两点表示的数，再根据P、Q两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）分4种情况，画出图形列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点P运动到原点需秒，点Q运动到原点需秒 t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当点P在原点左侧时，如图， ， 解得． 当点P在原点右侧时， ， 解得． 综上可知，当t为2秒或6秒时，P、Q两点到原点的距离相等． (3) 小问详解： 解：点P：秒，秒，秒， 点Q：秒，秒， 当P，Q相遇前： ， 解得； 当P，Q第一次相遇后： ， 解得； 当P从点B返回到达点A前： ， 解得； 当P从点B返回到达点A后： ， 解得． 综上可知，当P、Q两点的距离为16个单位长度时， t的值为秒或秒或11秒或26秒． 39．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨德强中学校·期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、40，P为数轴上一动点，若P点到A、B距离的比为，则点P表示的数为　　　　　　． 【答案】16或160 【分析】 本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据点P的位置分类讨论，利用距离公式和比例关系列方程求解． 【详解】 解：设点P表示的数为x，则．由，得 当点P在A、B之间时，即，有，代入得，解得． 当点P在B点右侧时，即，有，代入得，解得． 当点P在A点左侧时，即，有，此时，与矛盾，故无解． 因此点P表示的数为16或160． 故答案为：16或160． 40．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中）已知是多项式的常数项，是该多项式的次数． （1） ___________； ___________． （2）在（1）的条件下，数轴上，点、分别对应有理数和，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，两点同时出发．当两点间的距离为3个单位长度时，求点表示的数． （3）A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的“强国点”、例如：点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，则点是的“强国点”；又比如表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，则点就不是的“强国点”．但点是的“强国点”． 在（1）的条件下，数轴上，点分别对应实数和，现有一动点从原点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，到达点时立即掉头，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为，当为何值时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”？ 【答案】（1），3     （2）点表示的数为或；     （3）或或或5      【分析】 本题考查了多项式的定义，一元一次方程的应用，与数轴等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据多项式的定义求解即可； （2）设秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，根据题意得，据此求解即可； （3）分Q从O向N运动；Q从N向M运动讨论，然后根据中恰好有一个点为其余两个点的“强国点”构造关于t的方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵多项式是三次三项式，常数项是， ∴，． 故答案为：，3； (2) 小问详解： 解：设秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 由题意得， 解得或， 当时，， 当时，； 综上，点表示的数为或； (3) 小问详解： 解：当时，此时Q从O向N运动，则有， ∴Q是的“强国点”， ∴， 解得； 当时，此时Q从N向M运动， ∵中恰好有一个点为其余两个点的“强国点， ∴或， 解得或． 当Q运动到的中点位置时，N是的强国点， 此时，； 综上，当t的值为或或或5时，中恰好有一个点为其余两个点的“强国点． 41．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）已知：A、B是数轴上两点，O为原点，点A、点B所表示的数分别是a、b，且满足． （1）______，______； （2）若点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动，P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，问多长时间P、Q两点之间相距6个单位长度； （3）在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止，在点P休息后沿数轴负方向运动时，点M以每秒3个单位长度的速度从点O出发沿数轴正方向运动，当点P停止时，点Q、点M继续运动．问点P从点A出发多长时间，？ 【答案】（1）     （2）或     （3）或或或．      【分析】 本题考查了绝对值的非负性，一元一次方程的几何应用，数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，得，即可解得； （2）理解题意，先得点P所表示的数是，点Q所表示的数是，根据P、Q两点之间相距6个单位长度，进行列式计算，即可作答． （3）充分理解题意，分两种情况进行分析，即时或，分别先得点P，点Q，点M所表示的数，最后根据进行列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即点A、点B所表示的数分别是、11， (2) 小问详解： 解：由（1）得点A、点B所表示的数分别是、11， ∵点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发沿数轴正方向运动， ∴点P所表示的数是， ∵点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴正方向运动， ∴点Q所表示的数是， ∵P、Q两点之间相距6个单位长度 ∴， ∴， 即， ∴或， 解得或； (3) 小问详解： 解：∵在（2）的条件下，点P运动到点B休息2秒后以原速的2倍向数轴负方向运动，运动到点A停止， ∴（秒），（秒）， 依题意， 则时，则点P所表示的数是，所表示的数是，点Q所表示的数是， ∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 则时，则点P所表示的数是，所表示的数是，点Q所表示的数是， ∵， ∴， ∴， 当时，则 解得， 当时，则 解得， 综上：或或或． 42．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨风华中学校·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 （1）已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ （2）如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ （3）小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】（1）24元     （2）13吨     （3）11吨      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用-分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）根据7月用水8吨用第一段计费标准，用自来水总费用加上污水处理费用即可求解； （2）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨,列方程，解方程即可求解； （3）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨．根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． (1) 小问详解： 解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； (2) 小问详解： 解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； (3) 小问详解： 解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ① 当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ② 当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 43．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 套餐 份盖饭 消费满元，减元；消费满元，减元，依此类推 套餐 份盖饭杯饮料 套餐 份盖饭杯饮料份小菜 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有份盖饭，杯饮料和份小菜． 【数学思考】 （）他们共点了                 份套餐（用含的代数式表示）； 【问题解决】 （）若他们所点的套餐中共有杯饮料，求他们实际消费的金额； （）若优惠后他们共花费元，请求出他们的套餐是如何搭配的． 【答案】（）；（）元；（）他们点了份套餐，份套餐或份套餐，份套餐，份套餐 【分析】 （）根据套餐饮料杯数套餐饮料杯数，套餐饮料杯数套餐小菜份数，列出代数式即可求解； （）根据份小菜，得到购买套餐份，有杯饮料，即得买了份套餐，购买了套餐份，再计算出原始付款金额，根据优惠政策，计算实际消费的金额即可； （）根据题意得，他们点了份套餐，份套餐，份套餐，分消费满元，减元共花费元和消费满元，减元，共花费元两种情况，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：（）解：∵有份小菜， ∴套餐中有杯饮料， ∴套餐中饮料杯数为杯， ∴他们共点了份套餐， 故答案为：； （）解：∵份小菜， ∴购买套餐份，有杯饮料， ∵套餐中共有杯饮料， ∴购买了份套餐，购买了套餐份， ∴原价为元， ∴他们实际消费的金额是元； （）解：根据题意得，他们点了份套餐，份套餐，份套餐， 当消费满元但不满元时， 由，解得， ∴，， ∴他们点了份套餐，份套餐； 当消费满元时， 由，解得， ∴，， ∴他们点了份套餐，份套餐，份套餐； 综上，他们点了份套餐，份套餐或份套餐，份套餐，份套餐． 44．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨·期中）磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋进价分别是10元，12元，15元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量是2：3：2，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%，且巧克力味麻花销售额比原味麻花销售额多1000元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润共　　　　　元． 【答案】3800 【分析】 根据题目中 “销售原味与巧克力味麻花的总利润率是40%”并结合“利润＝利润率×成本”可得等量关系式，设原味麻花的销售利润率为x%，再设三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意列出方程，求得x与y的值，即可得出结论． 【详解】 解：设原味麻花每袋的销售利润率为x%，三种口味的麻花销量分别是：原味2y袋，麻辣味3y袋，巧克力味2y袋，根据题意得： ， 原方程可化为：， 即． 解得x＝50． 则， 解得：y＝100． ∴元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为： （元）． 故答案为：3800． 【点睛】 本题主要考查了方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系并能准确列出方程进行求解是解题的关键． 45．（25-26学年七上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·期中）如图，数轴上点、对应的数分别为，，且，满足，点对应的数为， （1）直接写出_____，_____ （2）点，分别从，两点沿数轴同时出发向右匀速运动，点速度为3个单位长度/秒，点速度为1个单位长度/秒，若运动时间为秒，运动过程中，当，两点到原点的距离相等时，求的值； （3）在（2）的条件下，若点运动到点处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点运动至点处后又以原速的2倍返回并保持这个速度在之间往返运动，当点停止运动时，点随之停止运动，在点从点返回到停止运动的过程中，求、两点重合时数轴上表示的数． 【答案】（1）；2     （2）3或     （3）或或      【分析】 本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值和完全平方的非负性、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，，即可求解； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，再根据，两点到原点的距离相等，列出关于的方程，即可求解； （3）分3种情况讨论：① 当时；② 当时；③ 当时，分别表示出点、对应的数，根据、两点重合列出方程，求出的值，即可求出数轴上表示的数． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，； 故答案为：；2； (2) 小问详解： 解：由题意得，点对应的数为，点对应的数为， ∵，两点到原点的距离相等， ∴或， 解得或， ∴的值为3或； (3) 小问详解： 解：点第一次从点运动至点处用时为（秒）， 点从点到点处用时为（秒）， 点从点运动至点处用时为（秒）， 点从点返回至点处用时为（秒）， ∴点从点返回到停止运动为第6秒至第12秒之间， ∴点对应的数为， ① 当时，点对应的数为， ∵、两点重合， ∴， 解得， 此时数轴上表示的数为； ② 当时，点对应的数为， ∵、两点重合， ∴， 解得， 此时数轴上表示的数为； ③ 当时，点对应的数为， ∵、两点重合， ∴， 解得， 此时数轴上表示的数为； ∴综上所述，、两点重合时数轴上表示的数为或或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $