专题3.1 指数幂的拓展- 3.2 指数幂的运算性质（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

专题3.1 +3.2指数幂的拓展与指数幂的运算性质 教学目标 理解 n 次方根、根式的概念，掌握根式相关公式，能区分奇数次方根与偶数次方根； 掌握分数指数幂定义，熟练实现根式与分数指数幂的相互转化，了解实数指数幂的意义； 掌握实数指数幂的运算性质，能够完成根式、分数指数幂的化简与求值计算； 掌握整体代换的思想方法，会借助完全平方、立方公式求解条件型代数式的值； 能够结合字母取值范围化简根式，识别运算陷阱，解决综合化简解答类题型。 教学重难点 1.重点 n 次方根与根式的概念，根式核心公式； 根式与分数指数幂的互化； 实数指数幂运算性质，指数幂化简计算； 整体代换法求解条件求值问题。 2.难点 偶次根式化简添加绝对值，结合条件去掉绝对值符号； 分数指数幂底数的限制条件； 立方和、立方差公式参与的高次整体代换求值； 辨析运算易错点，处理带范围约束的综合化简。 知识点 1：n 次方根的概念 定义：如果，，那么x叫做a的n次方根。 n为奇数：实数a的n次方根只有一个，记为； 正数的奇次方根是正数；负数的奇次方根是负数；。 n为偶数： ①a>0，a的n次方根有两个，互为相反数：； ②，负数没有偶次方根； ③。 根式：式子叫做根式；n叫根指数，a叫被开方数。 重要公式 ① （有意义前提下恒成立） ② 易错点：偶数次根式开出来一定是非负数，要加绝对值。 知识点 2：分数指数幂（正分数指数幂） 文字：正数的次幂，等于把a先m次方，再开n次方根。 知识点 3：负分数指数幂 知识点 4：0 的分数指数幂 无意义（分母不能为 0）。 核心前提：分数指数幂中，底数必须大于 0，否则不一定成立！ 【即学即练】 计算____________ 知识点 5：无理数指数幂 为无理数，则是一个确定实数；有理数指数幂可以拓展到实数指数幂。 知识点 6 实数指数幂的运算性质 前提条件： 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 分式乘方： ⚠易错提醒 运算性质成立条件；底数为负数时，分数指数幂不能随便套用公式。 ，没有分配律！ 【即学即练】 计算：． 题型 1：n 次方根与根式概念判断 【典例1】下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【变式2】若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 题型 2：根式与分数指数幂互化 【典例1】（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】的值为（    ） A． B． C． D．0 题型 3：给定范围化简根式 【典例1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 【变式2】化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型 4：基础指数幂直接计算 【典例1】计算______. 【变式1】化简：______． 【变式2】化简为（   ）. A． B． C． D． 【变式3】已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 题型 5：分母有理化与根式混合运算 【典例1】化简：______． 【变式1】已知，则为________. 【变式2】__________． 【变式3】求值：__________. 题型 6：简单条件直接代入求值 【典例1】设，若，则的值是___________． 【变式1】已知a满足，则的值为______. 【变式2】已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【变式3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型 7：整体代换完全平方型 【典例1】已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【变式1】已知，，则的值为______. 【变式2】若，则= ______. 【变式3】已知（，且），则______． 题型 8：整体代换立方公式与换元 【典例1】已知，求的值 【变式1】化简与求值：已知，求的值． 【变式2】正实数满足,若,,求的值. 【变式3】已知，求的值. 题型 9：解答题限定条件化简与改写 【典例1】（1）计算: （2）计算: . 【变式1】化简下式：. 【变式2】求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【典例1】化简： 【变式1】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【变式2】化简求值： (1)； (2). 【变式3】计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 1．下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 4．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 6．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 9．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 10．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 11．计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 12．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 13．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 14．已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 15．已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 16．若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 17．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 18．有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 19． ，则的值为________． 20．求____________________． 21．化简：____________ 1．已知，，则的值为______． 2．使等式成立的实数的取值范围为_____. 3．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 4．已知,求的值. 5．化简与计算： (1)； (2)； (3). 6．计算； 7．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 8．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 9．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 10．已知，求以及的值． 11．化简与计算： (1) (2) 12．化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 13．计算: (1) (2)已知，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 +3.2指数幂的拓展与指数幂的运算性质 教学目标 理解 n 次方根、根式的概念，掌握根式相关公式，能区分奇数次方根与偶数次方根； 掌握分数指数幂定义，熟练实现根式与分数指数幂的相互转化，了解实数指数幂的意义； 掌握实数指数幂的运算性质，能够完成根式、分数指数幂的化简与求值计算； 掌握整体代换的思想方法，会借助完全平方、立方公式求解条件型代数式的值； 能够结合字母取值范围化简根式，识别运算陷阱，解决综合化简解答类题型。 教学重难点 1.重点 n 次方根与根式的概念，根式核心公式； 根式与分数指数幂的互化； 实数指数幂运算性质，指数幂化简计算； 整体代换法求解条件求值问题。 2.难点 偶次根式化简添加绝对值，结合条件去掉绝对值符号； 分数指数幂底数的限制条件； 立方和、立方差公式参与的高次整体代换求值； 辨析运算易错点，处理带范围约束的综合化简。 知识点 1：n 次方根的概念 定义：如果，，那么x叫做a的n次方根。 n为奇数：实数a的n次方根只有一个，记为； 正数的奇次方根是正数；负数的奇次方根是负数；。 n为偶数： ①a>0，a的n次方根有两个，互为相反数：； ②，负数没有偶次方根； ③。 根式：式子叫做根式；n叫根指数，a叫被开方数。 重要公式 ① （有意义前提下恒成立） ② 易错点：偶数次根式开出来一定是非负数，要加绝对值。 知识点 2：分数指数幂（正分数指数幂） 文字：正数的次幂，等于把a先m次方，再开n次方根。 知识点 3：负分数指数幂 知识点 4：0 的分数指数幂 无意义（分母不能为 0）。 核心前提：分数指数幂中，底数必须大于 0，否则不一定成立！ 【即学即练】 计算____________ 【答案】4 【详解】． 知识点 5：无理数指数幂 为无理数，则是一个确定实数；有理数指数幂可以拓展到实数指数幂。 知识点 6 实数指数幂的运算性质 前提条件： 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 分式乘方： ⚠易错提醒 运算性质成立条件；底数为负数时，分数指数幂不能随便套用公式。 ，没有分配律！ 【即学即练】 计算：． 【答案】 【分析】1的任何次幂都是1，负数的偶次幂是正数. 【详解】. 题型 1：n 次方根与根式概念判断 【典例1】下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 【变式1】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 【变式2】若，则下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式有意义的条件和实数指数幂的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由，可知无意义，故A错误， 对于B，底数，指数，符合实数指数幂中底数大于零的情况，故B正确， 对于C，由，可知若，则无意义，故C错误， 对于D，因为根指数是3，任意实数都有唯一的立方根，所以有意义，故D正确. 故选：BD. 【变式3】(多选)已知，则的值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】AD 【详解】∵，∴，∴. 题型 2：根式与分数指数幂互化 【典例1】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【变式1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 【变式2】的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可． 【详解】原式 ． 题型 3：给定范围化简根式 【典例1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】6是偶数，故当时，． 【变式1】（1）若 有意义，化简 －|3－x|； （2）已知y＝＋＋，求实数x及y. 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）由题意知，则。 （2）由题意知 所以，从而. 【变式2】化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)－5 (2)3 (3) (4) 【详解】（1）. （2） （3）， . （4）原式. 当时，原式； 当时，原式． 题型 4：基础指数幂直接计算 【典例1】计算______. 【答案】 【详解】 . 【变式1】化简：______． 【答案】 【分析】利用二次根式的运算性质化简即得. 【详解】 故答案为：. 【变式2】化简为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算计算求解. 【详解】. 故选：B. 【变式3】已知，，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算性质可得. 【详解】. 故选：B. 题型 5：分母有理化与根式混合运算 【典例1】化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 【变式1】已知，则为________. 【答案】 【分析】利用立方差公式即可求解. 【详解】由题意得： . 【变式2】__________． 【答案】 【详解】 【变式3】求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 题型 6：简单条件直接代入求值 【典例1】设，若，则的值是___________． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式结合根式的性质求解即可. 【详解】由，则，即， 所以， 又，则. 故答案为：4. 【变式1】已知a满足，则的值为______. 【答案】2026 【详解】由，得， 因为，所以，故. 【变式2】已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 【变式3】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 题型 7：整体代换完全平方型 【典例1】已知，且 ．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7； (2)47. 【详解】（1）将两边平方，得， 所以 ． （2）由（1）知，两边平方，得， 所以． 【变式1】已知，，则的值为______. 【答案】/ 【分析】利用指数的运算法则进行计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案是：. 【变式2】若，则= ______. 【答案】24 【分析】由指数幂的运算即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 【变式3】已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 题型 8：整体代换立方公式与换元 【典例1】已知，求的值 【答案】 【详解】由题意，， 所以. 【变式1】化简与求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，结合完全平方公式得到和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】由， 两边取平方得，即 两边再取平方，得， 故． 【变式2】正实数满足,若,,求的值. 【答案】8 【分析】利用最小幂换元，设,将转化为关于的表达式， 再借助于立方和和立方差公式提取公因式化简，代入已知条件即可求值. 【详解】最小幂换元，设,则条件化为, ,, 所以原式 . 【变式3】已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. 题型 9：解答题限定条件化简与改写 【典例1】（1）计算: （2）计算: . 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； （2）根据分数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 【变式1】化简下式：. 【答案】 【详解】 【变式2】求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以， 所以. （3）. 【典例1】化简： 【答案】 【详解】 【变式1】计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 . （2）原式 （3）原式. 【变式2】化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式3】计算下列各式： (1)； (2) (3)，其中，. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）因为，故原式. （3） 1．下列说法正确的是（    ） A．负数的次方根不存在，其中 B．因为，所以是的五次方根 C．因为，所以81的四次方根是3 D．1的次方根是1，其中 【答案】B 【详解】对于A，的三次方根为，A错误； 对于B，由，得是的五次方根，B正确； 对于C，81的四次方根是，C错误； 对于D，的平方根是，D错误. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 3．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 4．若代数式有意义，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的性质求解的范围，再根据根式的性质化简即可. 【详解】由题意得：，解得， 故. 故选：C. 5．已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A 6．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 7．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 8．下列各式运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，. 9．如果那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】解：因为二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于零，则，解得． 10．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 11．计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 12．若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . 13．若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 14．已知，则（   ） A．14 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用指数运算法则直接计算即可. 【详解】由可得. 故选：A. 15．已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B 16．若，则（    ） A．-1 B．1 C．2 D．10 【答案】C 【分析】由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 17．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算求解即可. 【详解】由，得. 故选：C 18．有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． 19． ，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，立方和公式及指数运算法则计算即可． 【详解】由得，， 所以． 20．求____________________． 【答案】 【详解】由题意得． 21．化简：____________ 【答案】 【详解】原式. 1．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 2．使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. 3．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式. 4．已知,求的值. 【答案】 【详解】， ， . 5．化简与计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)17 【详解】（1） ； （2） ； （3）. . 6．计算； 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案． 【详解】 ； 7．计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 8．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 9．若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 10．已知，求以及的值． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 11．化简与计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将指数分别相乘后化简； （2）将各项底数化为幂的形式，再根据分数指数幂和负指数幂的运算法则分步计算，最后合并结果. 【详解】（1）； （2），， ，， . 12．化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 13．计算: (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【详解】（1）由 ； （2）由，则. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $