3.1 指数幂的拓展&3.2 指数幂的运算性质(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

　指数幂的拓展 　指数幂的运算性质 学业标准 素养目标 1.通过对有理数指数幂 (a＞0，且a≠1，m，n为整数，且m，n互素)，实数指数幂aα(a＞0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程．(难点) 2．掌握指数幂的运算性质．(重点) 1.通过指数幂有关概念的学习，主要发展数学抽象等核心素养． 2．通过指数幂的运算主要提升数学运算等核心素养. 导学1 正分数指数幂、负分数指数幂 　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ [提示]　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1024，我们把±2叫做1024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根． 　那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ [提示]　 ◎结论形成 分数指数幂的意义 1．正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂． 2．负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义，这就是负分数指数幂． 导学2 无理数指数幂 　我们将正整数指数幂扩充到有理数指数幂，那么指数幂的范围能扩充到无理数指数幂吗？能扩充到实数指数幂吗？ [提示]　能． ◎结论形成 给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝. 导学3 指数幂的运算性质 对任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面运算性质： (1)aα·aβ＝aα＋β；(2)(aα)β＝aαβ； (3)(ab)α＝aαbα；(4)α＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝.(　　) (2)对于a∈R，(a2＋a＋1)0＝1成立．(　　) (　　) (　　) 解析　(1)＝. (2)因为a2＋a＋1≠0，所以(a2＋a＋1)0＝1成立． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.可化为(　　) 解析　 答案　A 3．下列等式一定成立的是(　　) 解析　 答案　D 4. 的值为______． 解析　原式＝－(2－1)3＝－－＝. 答案　 题型一　根式与分数指数幂的互化 1．设a＞0，则表示成分数指数幂是(　　) 解析　 答案　C 2．(多选)下列各式中正确的是(　　) 答案　CD 3．(教材例1拓展)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)． (1)a2；(2) ；(3)·； (4)()2·. 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．　 题型二　指数幂运算性质的应用 　(教材例2迁移)(1)－＝________； (2)计算下列各式． [解析]　(1). (2)①原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝－1＋＋＝. [答案]　(1)　(2)略 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．　 [触类旁通] 题型三　条件求值问题 　(教材例4拓展)已知＝(a＞0)，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解析]　(1)将＝的两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)由a＋a－1＝3， 两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， 即a2＋a－2＝7. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求a2－a－2的值． 解析　设y＝a2－a－2，两边平方，得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45. 所以y＝±3，即a2－a－2＝±3. 2．(变条件)将本例中的条件改为a2＋a－2＝3，求a＋a－1的值． 解析　∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3， 即(a＋a－1)2＝5，故a＋a－1＝±. 条件求值的步骤 [触类旁通] 2．(1)若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于________． (2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值． 解析　(1)因为a>1，b>0，所以ab>a－b， (ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4， 所以ab－a－b＝2. (2)因为 ＝，① 又因为x＋y＝12，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 因为x<y，所以x－y＝－6，③ 将②③式代入①式得＝－. 答案　(1)2　(2)略 知识落实 技法强化 1.根式的定义和性质． 2．分数指数幂的意义． 3．指数幂的运算法则. 1.正确区分()n与两式． 2．指数幂运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算. 学科网（北京）股份有限公司 $$