山东威海市乳山市银滩高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

9月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若复数 满足 ，则 （　） A．1 B． C．2 D． 2．在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 7．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 8．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第四象限 C．的共轭复数 D． 10．在以下命题中，正确的命题有（    ）， A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 11．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题 12．若 是纯虚数，则________. 13．已知，，，则点A到直线BC的距离为__________． 14．棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 四、解答题 15．已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 16．如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，,，设 (1)用表示，并求； (2)求AC1与BD所成角的大小. 17．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.    (1)求证平面； (2)求与平面所成角的大小． 18．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 19．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《9月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D C C B C AD CD 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】 ，故 . 亦可由 . 2．A 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 3．A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 4．D 【分析】根据法向量定义，把平面平行转化为法向量共线，即可求解. 【详解】根据题意那么它们的法向量，是共线向量， 于是，即解之可得. 故选：D. 5．C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 6．C 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 7．B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    8．C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 9．AD 【详解】对于A，，虚部为，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故B错误； 对于C，的共轭复数，故C错误； 对于D，，故D正确. 10．CD 【分析】选项A考虑共线反向的情况；选项B考虑有一个向量是零向量的情况；选项CD利用向量共面的条件证明即可. 【详解】对于A，若共线且反向时，，但是平角，故A错误； 对于B，若，则，但不存在实数，使，故B错误； 对于C，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，，，四点共面，可设， 则 整理 因为， 所以，，，四点共面，故C正确； 对于D，假设共面，设 因为为空间的一个基底，可得，该方程组无解， 假设不成立，故D正确 故选：CD 11．ABC 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 12． 【详解】， 因为是纯虚数， 故且，即. 13． 【分析】根据空间点到线距离公式进行求解即可. 【详解】已知，，， 所以，. 进而，. ，进而. 则点到的距离. 14． 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 15．(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 16．(1) (2)90° 【分析】（1）（2）问均用作为向量把其他向量表示出来，再代入对于公式计算即可. 【详解】（1）， ． （2）∵ ∴，因此AC1与BD所成角的大小为90° 17．(1) 因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角. 【详解】（1）略 （2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角， 因为，所以， 在直角中，， 所以，即与平面所成的角为.    18．(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 19．(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 20．(1)因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. （3）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $