山东省新泰市第一中学2025-2026学年高二上学期1月阶段性考试数学试题

2024级高二上学期阶段性考试 数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：赵玉良审核人：李成金 2026.01 注意事项： 1。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，共40分，每个题目有且只有一个答案） 1.已知空间向量a=(-2,x,3),b=(3,-1,x),若a16,则x=() A.-2 B.-3 C.2 D.3 2.已知双曲线C:+上=1经过点M(4,6),则C的虚轴长为() m 2 A.4V2 B.22 C.√2 D.2 3.已知等差数列{a,}中，4=1，公差d=,则4与a的等比中项是（) A.3 B. C. D. 4,如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于1位置时，拱顶离水面的高度为 2.5m,水面宽度为10m,当水面下降0.7m后，水面的宽度为() 2.5m 10m A.6√3m B.8v2m C.42m D.4√5m 5.圆C:(x-2)2+y2=4,圆C2:x2+y2-4y=0,则圆C与C2() A.相离 B.有3条公切线 C.关于直线x-y=0对称 D.公共弦所在直线方程为x+y+1=0 6.己知M(0,4),N(a,2)两点到直线1：x+y-3=0的距离相等，则a=() A.0 B.2 C.0或2 D.-2或2 7.已如数列a}的首项4=山，且满足a,+分，则此数列的通项公式a,等 于() 试卷第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP A.2n B.n(n+1) c.品 D.(n+1) 2n 8,已知椭圆C导+若-a>6>0的左右焦点分别为兵，5，点4在c上，点B在 y2 轴上，FA1FB,乃A=-FB,则C的离心率为() 3 A.6 6 B. 5 C. D.子 二、多选题（每个小题都有多个答案，全部答对得6分，部分选对得部分分） 9.已知直线：x-y+4=0,动直线2：(m+1)x+y+2m=0(meR),则() A.当m=2时，2不经过第一象限 B.12经过定点(-2,2) C.对任意的m,直线4与2都不重合 D.对任意的m,直线与2都不垂直 10.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a。=9,So=200,则() A.a=1 B.{an}是递增数列 C.当n=4时，Sn取得最小值 D.若Sn>0,则n的最小值为11 已知递增等比数列Q的前项和为.，若4=。-号，则( A4号 B.S<15 C.{na}是公差为lm等差数列 D.{Sn+2}是等比数列 试卷第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分，请把正确答案填到答题卡上） 12.如图，已知矩形ABCD中，AB=2,BC=V2,现将△BCD沿对角线BD折成二 面角C-BD-A,使AC⊥BC,则异面直线AB和CD所成角为 D 13. 已知双曲线C:苦长=a>0b>0)的右焦点为R,一条新近线被以点F为圆 心，2a为半径的圆截得的弦长为2a,则双曲线C的离心率为 14.己知过点P(2,1)的直线1交圆O:x2+y2=9于A,B两点，且AP=3PB,则满足 条件的所有直线1的斜率之和为 四、解答题（本题共5个小题，共计77分，解答时要写现必要的过程或步骤) 15.（本题13分)已知以点A1,2)为圆心的圆A与直线4：3x-4y-20=0相切， 直线：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标： (2)求直线，被圆A截得的最短弦长及此时直线，的方程 16.(本题15分)已知数列{a}满足a+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n-1)3”+1. (I)求{an}的通项公式： ②已知d.=,求数列宁的前n项和. n+1 17.(本题15分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a=4a4,S=42. (I)求数列{a}的通项公式： 2若b.=1og,a,-log2a -,求数列{b}的前n项和T. 试卷第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中， AB⊥AD,CD⊥AD,AB=AD=PD=CD=1,PA=V2,PC=5,点Q为棱PC上一点. B (I)证明：PD⊥平面ABCD; (2)当点Q为棱PC的中点时，求直线PA与平面BD2所成角的正弦值： 3)当二面角P-BD-2的余弦值为5时，求 3 C 19.(本愿17分)已知椭圆C:若+若-a>60的离心率为号，其四个顶点 构成的四边形面积为2√2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若P是C上异于A,B的一点，不垂直于x轴的直线1交椭圆C于M,N两点， APIIOM,BPIION ①证明：kovkow为定值； ②△OMW的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由. 试卷第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 《2024级高二上学期阶段性考试》参考答案 题号 1 2 3 ￥ 5 6 7 8 9 10 答案 D A 0 力 C B AB BD 题号 11 答案 BCD 12.60° 13.2 14.12 15.（1)依题意，点A1,2)到直线4：3x-4y-20=0的距离即为圆A的半径 ,=3-8-20-5,所以圆4的标准方程为c-1+0-2=25: V32+(-47 ----3分 x+y-4=0 x=3 直线l2:(x+y+4)+m(2x+y-7)=0,由 2x+y-7=0? 解得 1y=1' 所以直线2过定点M(3,1).--- -6分 (2)由(1)知|MA=√5<5，点M在圆A内， 当直线l2⊥AM时，直线{被圆A截得的弦长最短，最短弦长为2√r2-AM2=45, --9分 因直线M的斜率w=?,则直线马的斜率为2，方程为y-1=2x-),即 2x-y-5=0.-- ---13分 16.【详解】(1)数列{an}中，a+3a2+5a+…+(2n-1)an=(n-13"+1, 当n≥2时，a+3a2+5a3+…+(2n-3)a1=(n-2)3-+1,--3分 两式相减得(2n-1)a。=(2n-l)3-,解得an=3，-----5分 当n=1时，4=1，满足上式， -6分 所以{a,}的通项公式为a,=3. --7分 (2)由(1)知，4，=3”，1=n+1 +i’d,3时， 两式相减得27=2+上+++n+=1士3”+152+ 1 1- 223，-13分 3 答案第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以z=号品 -15分 17.（1)设{an}的公比为9，由a=4a4,得g=4, -2分 由5=42，得91-4-42，解得4=2- -4分 1-4 所以a。=a,g"1=24-=22m」 -6分 (2)由a,=22,得 a8吸，2,2-ap{14 1 bn= ,-11分 所以z=-升沿卦一动-动 -.15分 18.(1)在四棱锥P-ABCD中，由PD=AD=L,CD=2,PC=√5，PA=√2， 得PD2+CD2=PC2,PD+AD:=PA2,则CD⊥PD,AD⊥PD,-----2分 又CD∩AD=D,且CD,ADc平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD.---4分 (2)由(1)知PD,AD,DC两两垂直，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴 建立空间直角坐标系，-- --5分 则D00,0,A10,0),81,0),P0,0,,C(0,20)，由2为棱PC的中点，得20，L月， P=0,-w.D丽=1,0，D0=0,12, -6分 设平面BDQ的法向量m=(,y,), DB,m=x。+y0=0 则 西m=+=0取61，得瓜=-12，一8分 设直线PA与平面BD2所成角为9，则sin0cosm,上mPA=1 √3 |m ll PAl6×√261 所以直线PA与平面BD2所成角的正弦值为 6 -10分 (3)由(2)知DP=(0,0,1),DB=L,1,0),PC=(0,2,-1), 设P0=1PC=(0,2孔，-)0≤1≤1)，则D0=DP+P0=(0,21,1-), 答案第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 设平面BDQ的法向量元=(，，z), 则 DB.n=x+y=0 D0元=2+1-z,=0’令%=1-山，得 n1=(1-九，1-1,22)， ---13分 设平面BDP的法向量为n2=(x2,2,22),由 DB.n2=x2+y2=0 Dp.n2=z2=0 令2=-1，得 元=1，-1,0)， -15分 由二面角P-BD-Q的余弦值为5，得Ic0s(m, 12-2 V622-4+2231 即 12-1川=5 322-22+1=3， 整理得21-1=0，解得1=分，所以是-号 PC 2 ---17分 19.【详解】(1)由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为)2a2b=22, 且e=e=2 所以a=V2,b=c=l, 椭圆的方程是号+y=1: -2分 (2)①由题意可得A(2,0,B(V20), 设P6%,可得三+-1， 即+2%=2，则kk=,万，当。 y62 。-V2名+2x-221 -7分 因为AP11OM,BP11ON, 1 则kark ap=kokow=-2: 9分 ②易知直线l的斜率存在，设直线1：y=c+n,M(x乃)，N(x2), 联立直线y=x+n和x2+2y2-2,可得(1+2k2)x2+4kx+2n2-2=0, 4kn 可得x+x=1422?夜2m2-2 --11分 Γ1+2k2 yiy2=(kx+n)(kz+n)=k2x x+nk(+x)+n2, 由ow kow==+4n2+2+_1 2n2-22n2-2 2 答案第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 可得=+分 -14分 由弦长公式可得MN=1+k.k,x上+k2.,+x)2-4xx? =V1+k2 2n2-2 M+k2 1+2k2 1+2k2 6m-8P-1)+1于2+ -16分 V2k2+1 点(0,0)到直线1的距离为日=从分+ Vk2+1Vk2+1 所以5awwM= 2 综上可知，△OW的面积为定值三 -17分 答案第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP