专题3.3.2 空间向量坐标表示及应用（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题3.3.2 空间向量坐标表示及应用 教学目标 理解空间向量坐标的生成来源； 掌握向量坐标与点坐标的关系，记住坐标为终点减起点。 熟练掌握空间向量坐标的加、减、数乘、数量积运算；会用坐标公式求解向量模长、两点距离、中点坐标、向量夹角、投影数量与投影向量。 掌握向量平行（共线）、垂直的坐标判定条件；会用坐标处理向量共面、四点共面问题，求解相关参数。 理解直线方向向量、平面法向量的概念，熟练掌握平面法向量的求解步骤；能利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面的平行与垂直关系。 牢记异面直线角、线面角、二面角的向量计算公式，分清各个空间角的取值范围；掌握点到平面距离公式；能够建立空间直角坐标系，解决立体几何证明、求角、距离、动点最值、截面、折叠类综合大题。 教学重难点 1.重点 空间向量坐标四则运算、数量积；向量模长、两点距离、投影向量的坐标计算；向量平行、垂直的坐标条件。 直线方向向量、平面法向量的概念，平面法向量的求解方法。 利用方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的向量计算公式；建系解决基础立体几何大题。 2.难点 投影向量、投影数量的区分与计算；向量共面、四点共面的坐标应用。 平面法向量方程组求解，合理赋值得到简单法向量。 区分向量夹角与立体几何三类空间角，理解异面直线角取绝对值、线面角用正弦、二面角需要看图判断正负。 复杂几何体中建立合适空间直角坐标系；动点参数处理、折叠、截面、距离与最值综合题型；结合法向量完成立体几何推理论证与求值。| 知识点 1：空间向量的坐标表示 单位正交基底两两垂直，模均为1。 空间任意向量，可以唯一写成： 把有序实数组叫做向量的坐标，记作。 向量坐标与点坐标关系 设点，点 ✨口诀：终点坐标减去起点坐标。 特殊：若向量起点在原点O，的坐标就等于终点A的坐标。 【即学即练】 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 知识点 2：空间向量坐标四则运算 设 加法： 减法： 数乘： 数量积（点积）： 知识点 3：模长、夹角的坐标公式 向量模长： 两向量夹角余弦 【即学即练】 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 知识点 4：向量平行、垂直的坐标条件 设 平行（共线） 坐标对应成比例。 垂直（非零向量） 【即学即练】 已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 知识点 5：空间两点距离、线段中点坐标 两点距离： 知识点 6：空间直线的方向向量 定义：直线l上两点A,B，则叫做直线l的方向向量。 一条直线的方向向量不唯一，所有和共线的向量都是这条直线的方向向量。 直线方向向量。 用途： ①两条直线平行它们方向向量平行； ②两条直线垂直它们方向向量垂直。 知识点 7：平面的法向量（重中之重，大题核心） 定义：如果直线平面，则直线l的方向向量叫做平面的法向量，记作。 一个平面法向量有无穷多个，所有互相平行向量都是该平面法向量。 求平面法向量的通用步骤 设平面内两个不共线向量，设法向量 方程组有无穷多解，给其中一个变量赋一个简单数值，解出另外两个，得到一个法向量。 ⚠注意垂直于平面内所有直线的方向向量。 知识点 8：用方向向量、法向量判定线面位置关系 设直线方向向量；直线方向向量； 平面法向量；平面法向量。 线与线 线与面（直线l方向向量，平面法向量） 面与面 知识点 9：空间角的向量计算公式（大题必考） 区分：向量夹角和立体几何角范围不一样！ 异面直线所成角 两异面直线方向向量 取绝对值！异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角直线方向向量，平面法向量 二面角 两个平面法向量 关键：看图判断二面角是锐角还是钝角，决定结果取正还是取负。 知识点 10：空间距离（选学拓展） 点到平面距离：点P，平面内任取一点A，平面法向量 分子取绝对值。 线面距离、面面距离可以转化成点面距离。 题型 1：空间向量基础坐标运算（共线、垂直、模长） 【典例1】已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 【变式2】设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式3】已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 题型 2：共面向量、四点共面（坐标版求参数） 【典例1】已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【变式1】在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【变式2】若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 题型 3：投影向量、投影数量 【典例1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【变式1】给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【变式2】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【变式3】在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 题型 4：动点轨迹、距离与最值问题（建系代数化） 【典例1】如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【变式1】在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【变式2】已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 【变式3】已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 题型 5：立体几何多选综合（正方体、长方体、正四面体、四棱锥） 【典例1】正方体的棱长为，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．在平面上投影的面积为定值 B．一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C．经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D．的最小值为 【变式1】已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 【变式2】下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【变式3】如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则(    ) A． B．的最小值为 C．四面体的体积为定值 D．与平面所成角的正切值的最大值为1 题型 6：基础解答计算题（向量坐标综合） 【典例1】已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【变式1】已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 题型 7：立体几何大题（建系法，线面角、二面角、折叠、截面、体积最值） 【典例1】已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式1】已知定义在上的函数的最小值为. (1)求的值； (2)若为正实数，且，求证：. 【变式2】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 【变式3】如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． (1)求的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 1．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 2．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 5．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 7．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 10．已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 12．已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 14．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 2．平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 3．在三棱锥中，为等边三角形，，平面，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为______． 4．在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 5．已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 6．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 7．在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 8．在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 68．如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 9．设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 10．如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3.2 空间向量坐标表示及应用 教学目标 理解空间向量坐标的生成来源； 掌握向量坐标与点坐标的关系，记住坐标为终点减起点。 熟练掌握空间向量坐标的加、减、数乘、数量积运算；会用坐标公式求解向量模长、两点距离、中点坐标、向量夹角、投影数量与投影向量。 掌握向量平行（共线）、垂直的坐标判定条件；会用坐标处理向量共面、四点共面问题，求解相关参数。 理解直线方向向量、平面法向量的概念，熟练掌握平面法向量的求解步骤；能利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面的平行与垂直关系。 牢记异面直线角、线面角、二面角的向量计算公式，分清各个空间角的取值范围；掌握点到平面距离公式；能够建立空间直角坐标系，解决立体几何证明、求角、距离、动点最值、截面、折叠类综合大题。 教学重难点 1.重点 空间向量坐标四则运算、数量积；向量模长、两点距离、投影向量的坐标计算；向量平行、垂直的坐标条件。 直线方向向量、平面法向量的概念，平面法向量的求解方法。 利用方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的向量计算公式；建系解决基础立体几何大题。 2.难点 投影向量、投影数量的区分与计算；向量共面、四点共面的坐标应用。 平面法向量方程组求解，合理赋值得到简单法向量。 区分向量夹角与立体几何三类空间角，理解异面直线角取绝对值、线面角用正弦、二面角需要看图判断正负。 复杂几何体中建立合适空间直角坐标系；动点参数处理、折叠、截面、距离与最值综合题型；结合法向量完成立体几何推理论证与求值。| 知识点 1：空间向量的坐标表示 单位正交基底两两垂直，模均为1。 空间任意向量，可以唯一写成： 把有序实数组叫做向量的坐标，记作。 向量坐标与点坐标关系 设点，点 ✨口诀：终点坐标减去起点坐标。 特殊：若向量起点在原点O，的坐标就等于终点A的坐标。 【即学即练】 在空间直角坐标系中,已知点,求直线与平面的交点的坐标__________. 【答案】 【分析】先设出P点坐标，根据三点共线可得,再根据向量共线的坐标表示列方程组即可求得P点坐标. 【详解】设直线与平面的交点为,则, 即, 即, , , , 直线与平面的交点的坐标为 知识点 2：空间向量坐标四则运算 设 加法： 减法： 数乘： 数量积（点积）： 知识点 3：模长、夹角的坐标公式 向量模长： 两向量夹角余弦 【即学即练】 在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 知识点 4：向量平行、垂直的坐标条件 设 平行（共线） 坐标对应成比例。 垂直（非零向量） 【即学即练】 已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 知识点 5：空间两点距离、线段中点坐标 两点距离： 知识点 6：空间直线的方向向量 定义：直线l上两点A,B，则叫做直线l的方向向量。 一条直线的方向向量不唯一，所有和共线的向量都是这条直线的方向向量。 直线方向向量。 用途： ①两条直线平行它们方向向量平行； ②两条直线垂直它们方向向量垂直。 知识点 7：平面的法向量（重中之重，大题核心） 定义：如果直线平面，则直线l的方向向量叫做平面的法向量，记作。 一个平面法向量有无穷多个，所有互相平行向量都是该平面法向量。 求平面法向量的通用步骤 设平面内两个不共线向量，设法向量 方程组有无穷多解，给其中一个变量赋一个简单数值，解出另外两个，得到一个法向量。 ⚠注意垂直于平面内所有直线的方向向量。 知识点 8：用方向向量、法向量判定线面位置关系 设直线方向向量；直线方向向量； 平面法向量；平面法向量。 线与线 线与面（直线l方向向量，平面法向量） 面与面 知识点 9：空间角的向量计算公式（大题必考） 区分：向量夹角和立体几何角范围不一样！ 异面直线所成角 两异面直线方向向量 取绝对值！异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角直线方向向量，平面法向量 二面角 两个平面法向量 关键：看图判断二面角是锐角还是钝角，决定结果取正还是取负。 知识点 10：空间距离（选学拓展） 点到平面距离：点P，平面内任取一点A，平面法向量 分子取绝对值。 线面距离、面面距离可以转化成点面距离。 题型 1：空间向量基础坐标运算（共线、垂直、模长） 【典例1】已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，即． 【变式1】已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【详解】向量 ，则. 【变式2】设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 【变式3】已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 题型 2：共面向量、四点共面（坐标版求参数） 【典例1】已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 【变式1】在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 【变式2】若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 【变式3】在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 题型 3：投影向量、投影数量 【典例1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 【变式1】给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 【变式2】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 【变式3】在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 【答案】9 【详解】由已知，， 则的坐标表示为，的坐标表示为， 则向量在上的投影长为. 题型 4：动点轨迹、距离与最值问题（建系代数化） 【典例1】如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 【变式1】在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 【变式2】已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设底面的中心为原点，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，结合已知条件得到，设，，则，再应用向量数量积的运算律及坐标运算得到，最后由柯西不等式得，即可得. 【详解】设底面的中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    因为正四棱锥的底面边长，所以， 侧棱长，则高， 则，，，，， 设向量，则，， 由，整理得， 因为，所以，得， 设，，则，当且仅当时取等号， 由，其中，， 则，，且， 所以， 所以， 由于，而，当且仅当时两处等号同时成立， 所以，则，即为. 【变式3】已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 【答案】 【分析】依题意可根据单位向量设出，根据条件求出，再设出，分别求出，再求出模长. 【详解】对任意，且等号能成立，则到组成平面的最短距离为. 设，由，，得. 设，则最短距离，故. 由得； 代入，得，解得. . 题型 5：立体几何多选综合（正方体、长方体、正四面体、四棱锥） 【典例1】正方体的棱长为，是上底面的一个动点（含边界），，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．在平面上投影的面积为定值 B．一只蚂蚁从点出发沿正方体表面运动到点，则其最短路程为 C．经过，的平面截该正方体的截面不可能为梯形 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】 选项A，如图，是上底面的一个动点，过作，则就是在平面上的投影，因为，所以在平面上投影的面积为定值.故A正确； 选项B，如图1，将平面和平面展平为同一平面，则蚂蚁爬行的最短路程为的长，因为； 如图2，将平面和平面展平为同一平面，则蚂蚁爬行的最短路程为的长，此时. 综上可得，蚂蚁爬行的最短路程为.故B正确； 选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意取点，则，， 因为，所以且，所以经过，的平面截该正方体的截面是梯形.故C错误； 选项D，如图，点是关于平面的对称点，点，则，所以的最小值为．故D正确. 【变式1】已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 【变式2】下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 【变式3】如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则(    ) A． B．的最小值为 C．四面体的体积为定值 D．与平面所成角的正切值的最大值为1 【答案】ACD 【分析】选项A证明平面；选项B将展在同一个面上求最值；选项C首先证明平面，底面积和高均为定值；选项D建系，求线面角，转化为函数求最值. 【详解】 连接， ， 因为平面，平面， ，，且平面， 所以平面，平面， 所以，选项A正确； 将展在同一个面上，如上图， ， ， 的最小值为，选项B错误； 连接，是的中点，是的中点， 所以，平面，且在平面外， 平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，为定值， 三角形的面积为定值，所以四面体的体积为定值， 选项C正确； 建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，， 设，， ， 面的法向量为， 设与平面所成角为，， ， 令，， 当，，时，取得最大值为. 选项D正确. 题型 6：基础解答计算题（向量坐标综合） 【典例1】已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 【变式1】已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 题型 7：立体几何大题（建系法，线面角、二面角、折叠、截面、体积最值） 【典例1】已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 又在三棱柱中，，是线段的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面， 平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点， 所以， 又平面，，平面， 所以，， 又， 所以，， 在中，， 所以是以为底边的等腰直角三角形， 又是线段的中点，所以． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则； 设平面的法向量为，由得， 令，则，     设二面角为，则， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是． 【变式1】已知定义在上的函数的最小值为. (1)求的值； (2)若为正实数，且，求证：. 【答案】(1) (2)设，， 则，，， 又， 则， 所以. 由（1）知. 因为是正数， 所以， 即. 【分析】（1）已知定义在上的函数的最小值，由绝对值的性质可得函数的最小值，即可得到结论. （2）由（1）可得，根据向量的数量积的定义及坐标表示证明即可. 【详解】（1）因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值等于3，即. （2）略 【变式2】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，． (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，若平面平面；求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)在中，因为，， 所以，， 所以，则，即， 又，，， 所以，所以， ，，面， 所以面， 又面，所以面面． （2）以为原点，分别以，为，轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为， 则，，，，， ，，， 设是平面的法向量， 则，取， 设，其中． 则， 连接，因平面，平面，平面平面， 故， 取与同向的单位向量， 设是平面的法向量， 则，取， 由平面平面，知，有，解得． 此时， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 综上所述平面与平面的夹角余弦值为． 【变式3】如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． (1)求的长； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作于点,连接,证明平面，得到，再使用等面积法，计算出，最后求出的长； （2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再计算出平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心,利用求出球心的坐标，再求出点到直线的距离，最后求得三角形的面积. 【详解】（1）作于点,连接， 因为平面平面，平面平面，平面, 所以，平面，平面， 所以，，又，，平面, 所以，平面，平面， 所以，， 由，得 即, 翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，, 在平面四边形中，，那么, 又所以四边形是平行四边形， 所以，, 设，则，， 即，解得, 所以，. （2）在原直角梯形中，作于点，那么 四边形为矩形，, ,所以为等腰直角三角形，， 由于,所以，， 所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形, , 以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么 ,, , 设平面法向量为，平面法向量为，那么 ， 取，则为平面一个法向量， , 取，则为平面一个法向量， , 所以，平面与平面所成角的余弦值为. （3）若四面体的四个顶点都在球上， 由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得 ，解得， 所以，， 点到直线的距离为 , 所以，. 1．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 2．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，得，使得， 则， ，解得. 3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 4．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以，，所以． 5．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 6．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 7．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 8．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 【答案】B 【分析】利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内， 所以直线与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，因为分别为棱的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为在正方体中，， 所以。 所以四点共面， 即直线与共面，故B正确； 对于C，取的中点，连接。 因为为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以。 若，则， 但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 所以与不平行，故C错误； 对于D，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 。 ， 所以直线与不垂直，故D错误. 10．已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 11．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 12．已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 14．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 1．已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 2．平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 【答案】 【分析】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，，从而根据线面垂直的判定及性质得到，，从而得到P在的角平分线上，从而得到，即可得到，再以，，所在的直线分别为，，为轴建立空间直角坐标系，设，，找到所需各点的坐标，从而得到，，再根据即可求出的值，进而即可得到的值． 【详解】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，， 则平面，由平面，则， 又平面，则平面， 又平面，所以，同理， 又，则，则，则P在的角平分线上，所以， 设，则，，则，所以， 设，交点为O，以O为原点， 则以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，    设，，则，则， 则，，，， 所以，， 又，则， 即， 解得，（舍去）， 所以． 3．在三棱锥中，为等边三角形，，平面，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用重心公式得到重心的坐标，结合射影性质平面，通过向量垂直的数量积运算求出；再将该三棱锥外接球等效为直三棱柱外接球，结合底面等边三角形外接圆半径求出外接球半径，最后代入球体体积公式算出结果． 【详解】 设，如图，以为原点，过作平行于的直线为轴， 中边上的高所在直线为轴，为轴建立空间直角坐标系， 由，是等边三角形， 得，，，， 设是的重心， 则的坐标为，即， ，，， 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以，， 解得. 在三棱锥中，平面， 外接球可看作以的外接圆为底面、为侧棱的直三棱柱的外接球， 设的外接圆半径为，则，解得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球的体积． 4．在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式求出外接球半径，代入体积公式求解即可. 【详解】因为为等边三角形，所以， 又， 所以与是全等三角形，故， 又，所以， 以点为原点，以，为轴，轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则，解得. 所以三棱锥外接球的体积为. 5．已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 6．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 7．在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 8．在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 【答案】9 【详解】由已知，， 则的坐标表示为，的坐标表示为， 则向量在上的投影长为. 68．如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． (1)求证； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由． 【答案】(1)由折叠的性质，，且两两垂直， 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， 则，则， ， 故，即． (2) (3)存在，为线段的中点 【分析】（1）根据折叠的性质得出相关线段长度和垂直关系，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，计算得出，从而证明结论； （2）求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解； （3）设在线段上，令，得出，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求出的坐标，得出点的位置． 【详解】（1）略 （2）平面中，，设平面法向量为， 则，令，则； 平面中，，设平面法向量为 则，令，则， 设二面角为，则． （3）设在线段上，令， 则向量， 直线与平面所成角为，由线面角公式： ， 已知，故， 化简整理得，解得或（舍去）， 故点，即为线段的中点． 9．设两两不共线的空间向量，和：定义，的数量积为，满足；定义，的外积为，满足； (1)设，，证明，满足：； (2)探究向量分别和向量，的位置关系并指出的几何意义； (3)假设，，不共面，定义，，的混合积为，证明：等于以，，为同一顶点三条棱的平行六面体体积． 【答案】(1)因为，所以， 而，，，故， 证得． (2)向量分别与向量，垂直， 且的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积. (3)设，由（2）结论可知，向量与向量，垂直且向量，不共线， 所以是向量，所成平面的一个法向量， 又因为， 其中可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 且为该平行六面体的一个底面面积， 而是与平行六面体这一底面的法向量所成夹角的余弦值， 也就是与该底面夹角的正弦值， 所以可表示为该底面上的高， 由平行六面体的体积公式可知， 故证得等于以，和为同一顶点三条棱的平行六面体体积． （2）不妨设， 所以有 ， ， 所以，，得到，，向量分别与向量，垂直． 因为向量，不共线，不妨设一平行四边形，同一起点的邻边长分别为，， 夹角为向量，的夹角，此时平行四边形的面积， 因为，所以可表示为以，为邻边的平行四边形面积， 证得的几何意义为以，为邻边的平行四边形面积． （3）略 10．如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)底面，且底面， 故， 又， 故， 平面，且， 则平面， 又平面， 故． (2) 【分析】（1）根据三棱锥的几何性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出坐标，及平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出线面角的正弦值，进而得出正切值，结合二次函数的性质求出正切值的取值范围． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在上，设， 故，则， 故， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 令， ，故， 故，当时取最小值， 当时取最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $