专题3.2 空间向量与向量运算（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题3.2 空间向量与向量运算 教学目标 理解空间向量的相关基本概念：零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量，知道空间向量可以自由平移； 掌握空间向量的线性运算（加法、减法、数乘），熟练运用三角形法则、平行四边形法则进行向量化简与基底分解； 理解共线向量定理、共面向量定理，会用定理判定三点共线、四点共面； 掌握空间向量数量积定义、运算律，会求向量的模、夹角、投影向量，能利用数量积判断向量垂直； 掌握空间向量坐标运算，会由点的坐标求向量坐标，熟练进行加减、数乘、数量积、平行垂直的坐标计算； 理解空间向量基本定理，认识基底、正交基底、单位正交基底； 能够运用向量工具处理几何体中的距离、动点轨迹、外接球、截面、体积最值、二面角相关综合问题。 教学重难点 1.重点 空间向量线性运算：加法、减法、数乘，向量化简、基底分解； 共线向量定理、共面向量定理，三点共线、四点共面的判定； 空间向量数量积运算，利用数量积求模、夹角、投影，判定垂直； 空间向量的坐标运算，向量平行、垂直的坐标条件； 空间向量基本定理，基底的理解与使用。 2.难点 共面向量定理的灵活运用，四点共面条件的理解； 向量数量积运算律易错辨析，投影向量的理解与计算； 选择合适基底对几何体中复杂向量进行分解； 运用向量解决动点轨迹、外接球、截面、体积、二面角等立体几何综合问题。 知识点 1：空间向量的基本概念 空间向量定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：；或者，A起点，B终点。 向量的模：向量的长度，记作、。 几类特殊向量 零向量：模长为0，方向任意；与任意向量平行。 单位向量：模长等于1的向量。 相等向量：大小相等，方向相同（起点可以不同）。 相反向量：大小相等，方向相反；。 共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在直线平行或重合；。 注意：向量只看大小方向，和位置无关，可以自由平移。 知识点 2：空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 1. 向量加法 三角形法则： 平行四边形法则：同起点两个向量，以它们为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 2. 向量减法 ；共起点，指向被减向量。 3. 数乘向量 模长： 方向： 方向相同； 方向相反； ，零向量。 4. 线性运算运算律 ①交换律： ②结合律：； ③分配律： 【即学即练】 如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 知识点 3：共线向量定理（空间向量平行） 存在实数，使得。 说明： 不能是零向量； 空间中平行向量定理和平面完全一致； A,B,P三点共线。 【即学即练】 已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点 4：共面向量定理 共面向量：向量平行于同一个平面；向量可以平移到同一平面内。 共面向量定理： 如果不共线，则向量与共面存在实数x,y，使得 四点P,A,B,C共面等价条件：； 或。 知识点 5：空间向量的数量积（点积，内积） 向量夹角：，范围 ，两向量同向； ，两向量反向； ，。 数量积定义： ⚠结果是实数，不是向量！ 重要结论 ①；非零向量） ②，； ③。 数量积运算律 交换律 数乘结合： 分配律： ❗易错：不满足结合律，左右两边是不同方向向量。 【即学即练】 已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 知识点 6：空间向量的坐标运算（结合空间直角坐标系） 设 加减： 数乘： 数量积： 模： 夹角余弦： 平行垂直坐标条件 （对应坐标成比例） 向量坐标求法：若， 终点坐标减起点坐标。 知识点 7：空间向量基本定理 如果是空间三个不共面的向量，那么对空间任意一个向量，存在唯一一组实数x,y,z，使得 叫做空间的一个基底； 基底要求三个向量不共面； 如果两两垂直，叫做正交基底；模长都为 1 叫单位正交基底（对应坐标系）。 题型 1：空间向量线性运算（基底分解、化简向量） 【典例1】如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【变式2】在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 【变式3】在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 题型 2：向量共线、三点共线、共面向量 【典例1】若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【变式1】已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【变式2】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 题型 3：空间向量数量积、模长、夹角、投影向量 【典例1】在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【变式2】已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3】已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 题型 4：向量与动点轨迹、球面问题 【典例1】在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D．    【变式1】已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【变式3】已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 题型 5：向量处理立体几何综合多选 【典例1】如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【变式1】如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A．若平面PCD，则 B． C． D． 【变式2】如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 【变式3】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 题型 6：距离、外接球、体积最值、截面参数 【典例1】如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【变式1】如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【变式2】线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 【变式3】在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 题型 7：二面角，线面平行，截面，公共几何体体积 【典例1】如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． (1)求二面角的正切值； (2)若点满足，点满足，且平面，求的值； (3)若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 【变式1】已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【变式2】如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 1．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 9．已知，，则在上的投影向量为________． 1．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 2．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 3．已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 4．四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 5．在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 6．已知，，若，则与的夹角为______. 7．在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 8．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 9．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 空间向量与向量运算 教学目标 理解空间向量的相关基本概念：零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量，知道空间向量可以自由平移； 掌握空间向量的线性运算（加法、减法、数乘），熟练运用三角形法则、平行四边形法则进行向量化简与基底分解； 理解共线向量定理、共面向量定理，会用定理判定三点共线、四点共面； 掌握空间向量数量积定义、运算律，会求向量的模、夹角、投影向量，能利用数量积判断向量垂直； 掌握空间向量坐标运算，会由点的坐标求向量坐标，熟练进行加减、数乘、数量积、平行垂直的坐标计算； 理解空间向量基本定理，认识基底、正交基底、单位正交基底； 能够运用向量工具处理几何体中的距离、动点轨迹、外接球、截面、体积最值、二面角相关综合问题。 教学重难点 1.重点 空间向量线性运算：加法、减法、数乘，向量化简、基底分解； 共线向量定理、共面向量定理，三点共线、四点共面的判定； 空间向量数量积运算，利用数量积求模、夹角、投影，判定垂直； 空间向量的坐标运算，向量平行、垂直的坐标条件； 空间向量基本定理，基底的理解与使用。 2.难点 共面向量定理的灵活运用，四点共面条件的理解； 向量数量积运算律易错辨析，投影向量的理解与计算； 选择合适基底对几何体中复杂向量进行分解； 运用向量解决动点轨迹、外接球、截面、体积、二面角等立体几何综合问题。 知识点 1：空间向量的基本概念 空间向量定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：；或者，A起点，B终点。 向量的模：向量的长度，记作、。 几类特殊向量 零向量：模长为0，方向任意；与任意向量平行。 单位向量：模长等于1的向量。 相等向量：大小相等，方向相同（起点可以不同）。 相反向量：大小相等，方向相反；。 共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在直线平行或重合；。 注意：向量只看大小方向，和位置无关，可以自由平移。 知识点 2：空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 1. 向量加法 三角形法则： 平行四边形法则：同起点两个向量，以它们为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 2. 向量减法 ；共起点，指向被减向量。 3. 数乘向量 模长： 方向： 方向相同； 方向相反； ，零向量。 4. 线性运算运算律 ①交换律： ②结合律：； ③分配律： 【即学即练】 如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 知识点 3：共线向量定理（空间向量平行） 存在实数，使得。 说明： 不能是零向量； 空间中平行向量定理和平面完全一致； A,B,P三点共线。 【即学即练】 已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以 知识点 4：共面向量定理 共面向量：向量平行于同一个平面；向量可以平移到同一平面内。 共面向量定理： 如果不共线，则向量与共面存在实数x,y，使得 四点P,A,B,C共面等价条件：； 或。 知识点 5：空间向量的数量积（点积，内积） 向量夹角：，范围 ，两向量同向； ，两向量反向； ，。 数量积定义： ⚠结果是实数，不是向量！ 重要结论 ①；非零向量） ②，； ③。 数量积运算律 交换律 数乘结合： 分配律： ❗易错：不满足结合律，左右两边是不同方向向量。 【即学即练】 已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，故选项D正确. 知识点 6：空间向量的坐标运算（结合空间直角坐标系） 设 加减： 数乘： 数量积： 模： 夹角余弦： 平行垂直坐标条件 （对应坐标成比例） 向量坐标求法：若， 终点坐标减起点坐标。 知识点 7：空间向量基本定理 如果是空间三个不共面的向量，那么对空间任意一个向量，存在唯一一组实数x,y,z，使得 叫做空间的一个基底； 基底要求三个向量不共面； 如果两两垂直，叫做正交基底；模长都为 1 叫单位正交基底（对应坐标系）。 题型 1：空间向量线性运算（基底分解、化简向量） 【典例1】如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 【变式1】在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 【变式2】在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 【变式3】在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 题型 2：向量共线、三点共线、共面向量 【典例1】若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 【变式1】已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 【变式2】已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 【变式3】已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 题型 3：空间向量数量积、模长、夹角、投影向量 【典例1】在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    【变式1】已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 【变式2】已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式计算模长． 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 【变式3】已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 题型 4：向量与动点轨迹、球面问题 【典例1】在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    【变式1】已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 【变式2】设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】A 【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解. 【详解】设中点为， 若、为同一平面的相邻顶点，则， 则，即， ， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为同一平面的不相邻顶点，则， 则，即， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为体对角线上两顶点，则， 则，即， 则， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零； 综上可得：①正确；②错误. 【变式3】已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 【答案】12 【分析】首先用向量展开四个切点到球面点的距离平方和，结合正四面体内切球四个切点关于球心对称的向量和为零的性质，可得四段距离平方和为定值，原总和的最大值等价于球面上点到顶点的最大距离. 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为： ，则，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 题型 5：向量处理立体几何综合多选 【典例1】如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．存在点，使平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不是定值 D．若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，判断A，对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果. 【详解】对于A，连接，如图， 由于平面，平面，故; 又在正方形中，平面， 故平面，平面，故； 同理可证，而平面， 故平面，由于点为线段上的动点， 当P与B重合时，即有平面，A正确； 对于选项B：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 【变式1】如图，四棱锥的底面为正方形，且侧棱均相等，为棱PA的中点，线段BC上的点满足，记直线PF与AB所成的角为，直线PF与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论正确的有（    ） A．若平面PCD，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由点为中点和线面平行推出点的位置；B选项得到两角余弦的关系，反推角的大小； C选项，表示两角正弦值，得到角的大小； D选项，将用表示，通过向量数量积运算判断. 【详解】A选项，若平面PCD，则点E，F到平面PCD的距离相等， 注意到平面PCD，故为BC的中点，即，正确． B选项不正确，记PF的射影与AB的夹角为， 则，故． C选项正确，记点在平面ABCD内的射影为，点在棱BC上的射影为， 则，，由可得． D选项正确，即， 因为，则在方向上的投影长度是， 所以，． 【变式2】如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算求解判断即可；对于B，根据空间向量的数量积运算律及模长公式求解判断即可；对于C，连接，设，连接，可证明，，可得平面，则点在底面的射影为点，进而判断即可；对于D，结合C可知三棱锥的外接球的球心为点，半径为，进而结合球的表面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由A知，， 而，，， 则 ，故B正确； 对于C，连接，设，连接， 由题意，四边形为正方形，则，， 而，，则为全等的等边三角形， 所以，而为的中点，则， 即，则，即， 因为平面，所以平面， 则点在底面的射影为点， 所以点在底面的射影在线段上，故C正确； 对于D，由C知， 则三棱锥的外接球的球心为点，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 【变式3】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，，点为棱的中点，则（    ）    A． B．平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量运算，线面平行判定定理、线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用，对各个选项进行推理判断. 【详解】连接正方形对角线交于，则是、的中点， 在A选项中，，其中，又是中点，是中点， 是的中位线，故， 因此整理可得：与选项表达式不符，A错误， 在B选项中，由中位线性质得，又平面， 平面，可得平面，B正确， 在C选项中，由平面，平面，得， 正方形对角线互相垂直，故，，平面， 所以平面，平面，故，C正确， 在D选项中，由平面，平面， 可得平面平面，两平面交线为， 点到平面的距离等于点到交线的距离， ，，故，到直线的距离等于的长度， ，因此点到平面的距离为，D正确.    题型 6：距离、外接球、体积最值、截面参数 【典例1】如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 【变式1】如图，已知线段在平面内，线段，线段 ，线段于点.如果，，则的长为 ____. 【答案】 【详解】由，得，由，得，由， 得 ， 所以的长为. 【变式2】线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 【答案】13 【详解】法一：(向量法)由 可得， 又因为，线段AB，BD在平面内， 所以,, 所以， 故,即C，D两点间的距离为13. 法二：（几何法）如图，在长方体中， ， 又因为 所以，，即C，D两点间的距离为13. 【变式3】在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 题型 7：二面角，线面平行，截面，公共几何体体积 【典例1】如图，已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，且平面平面，． (1)求二面角的正切值； (2)若点满足，点满足，且平面，求的值； (3)若点分别为的中点，在图中作出四棱锥与四棱锥相交的公共部分，并直接写出它的体积（不写求解过程）． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）由题意作出所求二面角的平面角，解直角三角形即可求解； （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H，推出平面平面，继而推出，即可求解； （3）先确定四棱锥与四棱锥相交的公共部分的形状，再结合割补法即可求解. 【详解】（1）设的中点为，连接， 是正三角形，故，而平面， 平面平面，平面平面，故平面， 平面，故； 结合，可得， 底面是正方形，则 ， 而平面，故平面， 平面平面，平面平面， 故为二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. （2）设的中点为G，连接，连接,设交点为H， 底面是正方形，则H为的中点， 由于，故，结合，可得， 即E为的中点，则在中有， 平面，平面，故平面， 结合平面，且平面，故平面平面， 又平面平面，平面平面， 故，结合G为的中点，可知F为的中点， 即，而，可得, （3）如图，连接，则，而，故， 则可得共面，设交于点R，交于点S， 则四棱锥与四棱锥相交的公共部分为以为顶点的五面体， 该五面体的体积等于, 由题意可知P到底面的距离为，则N到底面的距离为， 故， ， 由于，故， 则，结合题意知,则, 由平面平面，平面平面，，平面， 得平面， 故； 又，则，则， 故，则，故, 故 ， 即四棱锥与四棱锥相交的公共部分的体积为. 【变式1】已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 【变式2】如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 1．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 2．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 3．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 4．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 6．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 7．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 8．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 9．已知，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【详解】，， 在上的投影向量为. 1．如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 2．如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 3．已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 4．四棱锥的底面为正方形，，，，，平面，则______． 【答案】/ 【分析】法一：可将四棱锥放入正方体中，则可作出截面与正方体各棱交点，再利用相似三角形性质计算即可得解；法二：过点作直线，延长与直线交于点，则交于点，再作出相应的相似三角形，利用相似三角形性质计算即可得解. 【详解】法一：如图1，将四棱锥放入正方体中， 延长与正方体刚好交于点，延长与交于点，连接， 过点作与交于点， 此时，，，，四点共面，则与的交点为点， ，又，则，，， ，. 法二：如图2，过点作直线，延长与直线交于点， 连接交于点，过点作交于点， 则点为上靠近点的四等分点． ，，则，，， 又，． 5．在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______. 【答案】 【分析】过作于，利用已知可得，过作于，进而可得，过作于，为二面角的平面角，计算可求得最大值. 【详解】过作于，因为，， 所以四边形是矩形，所以， 所以，所以， 又因为，，，所以， 又因为，所以， 所以，过作于， 则， 所以，过作于， 因为，又，平面， 所以平面，所以为二面角的平面角， 因为，又，所以， 又因为，所以， 由正弦定理可得，所以. 6．已知，，若，则与的夹角为______. 【答案】 【分析】由求解，再由求解即可. 【详解】因为，，，则，， 所以，解得，所以， ，又， 所以与的夹角为. 7．在三棱锥中，已知，，，，，则的最小值为______. 【答案】2 【分析】根据三棱锥的几何性质，写出各棱之间的向量关系，根据向量模长公式，以及向量垂直的性质，列出方程，求出，进而根据基本不等式，求出的最小值. 【详解】由题意可知，，， 因为，所以， 即， 因为，所以， 即， 所以， 即，化简得，得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 所以. 8．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 9．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程，求可得的长. （2）过点作交的延长线于点，证明为二面角的平面角，解三角形求其余弦值，结合二面角与二面角互补可得结论. （3）过点作，证明平面，过点作交于点，在上取点，使得，证明，结合条件可求. 【详解】（1）因为底面为矩形，所以， 因为平面，底面，所以. 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成的角， 设，则. 在中，. 又，所以，解得或（舍去），所以. （2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接. 因为底面，底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为为的中点，，四边形为矩形， 所以，所以，所以。 所以，设二面角的平面角为，则， 所以，所以. 所以二面角的平面角的正弦值为.    （3）存在符合条件的点，依题意得，， 又，所以. 又，所以，又平面，所以平面. 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，得， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得. 连接，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，易知，所以， 所以.    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $