专题3.4.1直线的方向向量与平面的法向量（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量 教学目标 理解直线方向向量的概念，知道一条直线的方向向量有无穷多个（所有非零共线向量），会由直线上两点求直线的方向向量；熟记坐标轴平行直线的方向向量。 理解平面法向量的定义，明确一个平面的法向量有无穷多个（所有非零共线向量），掌握求平面法向量的通用步骤，会对方程组合理赋值求解法向量；记住坐标平面的特殊法向量。 能够利用方向向量、法向量的平行、垂直关系判定线线、线面、面面的平行与垂直位置关系，注意线面平行证明需要补充 “直线不在平面内” 这一前提条件。 掌握异面直线所成角、线面角、二面角的向量计算公式，分清三类空间角的取值范围，能够区分向量夹角与立体几何空间角的区别。 掌握点到平面距离的向量公式；了解平面点法式方程；能结合方向向量、法向量求解参数、判断命题真假，解决立体几何选择、填空与基础解答证明题。 教学重难点 1.重点 直线方向向量、平面法向量的概念；已知两点求直线方向向量；平面法向量的求解方法。 借助方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的向量计算公式；点到平面距离公式。 利用向量条件求参数，基础立体几何证明。 2.难点 求平面法向量时齐次方程组的赋值技巧，避免得到零向量。 线面平行向量判定的前提：直线不在平面内，容易遗漏条件造成逻辑漏洞。 区分向量夹角与立体几何三类空间角：异面角取绝对值，线面角用正弦，二面角需要结合图形判断正负。 综合命题判断、充分必要条件类题型；结合正方体、棱锥几何体，灵活选取方向向量、法向量完成推理论证。| 知识点 1：直线的方向向量 定义 空间直线l，在直线上任取两点A,B，则向量叫做直线l的方向向量，记作。 一条直线的方向向量不唯一：所有与共线（平行）的非零向量，都是这条直线的方向向量。 方向向量只刻画直线的方向，与位置无关，可以自由平移。 坐标形式 若 简单结论 直线方向向量可以放大、缩小，乘以任意非零实数仍然是该直线方向向量； 若直线平行x轴，方向向量可取； 平行y轴，； 平行z轴，。 【即学即练】 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 知识点 2：平面的法向量 定义 如果一条直线平面，那么直线l的方向向量叫做平面的法向量，记。 一个平面的法向量有无穷多个；所有互相平行的非零向量都是这个平面的法向量。 垂直于平面内任意一条直线，即与平面内任意方向向量点积为 0。 求平面法向量的通用步骤（必考） ①在平面内找两个不共线向量； ②设法向量，根据法向量垂直平面内所有向量，列方程组： ③该方程组是齐次方程组，有无穷多组解；给其中一个未知数赋简单整数，解出另外两个未知数，就得到平面一个法向量。 ⚠注意：赋值不能让x,y,z全部等于 0，不能作为法向量。 特殊平面的法向量 xOy平面：法向量可取 yOz平面：法向量可取 xOz平面：法向量可取 【即学即练】 如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 知识点 3：利用方向向量、法向量判定空间线面位置关系 设： 直线方向向量；直线方向向量； 直线l方向向量； 平面向量；平面法向量。 表格 位置关系 向量等价条件 两直线平行 ，即 两直线垂直 直线平面 ，且直线 直线平面 ，即 平面平面 ，即 平面平面 重要提醒： 证明线面平行：算出之后，一定要写：直线不在平面内，否则逻辑不完整。 【即学即练】 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点 4：方向向量、法向量求空间角 异面直线所成角，两异面直线方向向量 ✅必须加绝对值，异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角，直线方向向量，平面法向量 ⚠记牢：是，不是。 二面角，两个平面法向量 法向量夹角不一定等于二面角，看图判断二面角是锐角还是钝角，再确定正负。 知识点 5：点到平面的距离公式（拓展） 已知点P，平面； 在平面上任取一点A，是平面的一个法向量。 点P到平面距离： 分子一定要取绝对值。 题型 1：方向向量、法向量基础概念与辨析 【典例1】已知空间非零向量，，，则（    ） A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若A，B，C三点不共线，平面外任一点，有，则M，A，B，C四点共面 D．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 【变式2】下列命题为真命题的是（    ） A．已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等边三角形 题型 2：求直线方向向量、平面法向量（基础计算） 【典例1】在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 题型 3：由方向向量、法向量判定位置关系并求参数 【典例1】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【变式2】平面过点，且平面的法向量为，若点在内，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 题型 4：平面点法式方程应用 【典例1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型 5：逻辑命题、充分必要条件（向量与立体几何结合） 【典例1】已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知两条不重合的直线、，两个互不重合的平面、，给出下列命题： ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，，则； ④若，，且，则． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型 6：立体几何多选综合（正方体、平行六面体、正四面体、圆台） 【典例1】在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 【变式1】在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式2】已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【变式3】在正方体中， ， ，， 分别是，， ，的中点，则（   ） A．平面 B． ， ，， 四点共面 C．在线段上存在一点，使得平面 D．在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 题型 7：解答大题（向量证明） 【典例1】已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点 (1)求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）； (2)求的最小值及取得最小值时直线的方程． 【变式1】如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【变式3】如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，且平面PAD⊥底面ABC，PE⊥AD.设PA=t（t>0） (1)求证：PE⊥底面ABC； (2)设O为ABC的重心，.求证：O是三棱锥P-ABC外接球的球心； (3)若平面PCB与平面PCA所成夹角的正弦值的平方等于，求t的值. 1．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 4．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D．． 8．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 9．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 10．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 11．已知动点在正方体的侧面内（包括边界）运动，记向量，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 13．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 15．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 16．已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 17．设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 1．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 2．若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 3．已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 4．已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 5．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 6．在边长为4的正方体中，若，，，则平面PQR与侧面的交线长度为__________. 7．已知点、、分别在棱长为的正方体的棱、、上，且．若为平面内的动点，为棱所在直线上的动点，则的最小值为___________． 8．如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    9．如图，在三棱柱中，，且平面，又平面，为垂足，若（其中），则的值为__________. 10．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 11．如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 12．在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 13．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量 教学目标 理解直线方向向量的概念，知道一条直线的方向向量有无穷多个（所有非零共线向量），会由直线上两点求直线的方向向量；熟记坐标轴平行直线的方向向量。 理解平面法向量的定义，明确一个平面的法向量有无穷多个（所有非零共线向量），掌握求平面法向量的通用步骤，会对方程组合理赋值求解法向量；记住坐标平面的特殊法向量。 能够利用方向向量、法向量的平行、垂直关系判定线线、线面、面面的平行与垂直位置关系，注意线面平行证明需要补充 “直线不在平面内” 这一前提条件。 掌握异面直线所成角、线面角、二面角的向量计算公式，分清三类空间角的取值范围，能够区分向量夹角与立体几何空间角的区别。 掌握点到平面距离的向量公式；了解平面点法式方程；能结合方向向量、法向量求解参数、判断命题真假，解决立体几何选择、填空与基础解答证明题。 教学重难点 1.重点 直线方向向量、平面法向量的概念；已知两点求直线方向向量；平面法向量的求解方法。 借助方向向量、法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的向量计算公式；点到平面距离公式。 利用向量条件求参数，基础立体几何证明。 2.难点 求平面法向量时齐次方程组的赋值技巧，避免得到零向量。 线面平行向量判定的前提：直线不在平面内，容易遗漏条件造成逻辑漏洞。 区分向量夹角与立体几何三类空间角：异面角取绝对值，线面角用正弦，二面角需要结合图形判断正负。 综合命题判断、充分必要条件类题型；结合正方体、棱锥几何体，灵活选取方向向量、法向量完成推理论证。| 知识点 1：直线的方向向量 定义 空间直线l，在直线上任取两点A,B，则向量叫做直线l的方向向量，记作。 一条直线的方向向量不唯一：所有与共线（平行）的非零向量，都是这条直线的方向向量。 方向向量只刻画直线的方向，与位置无关，可以自由平移。 坐标形式 若 简单结论 直线方向向量可以放大、缩小，乘以任意非零实数仍然是该直线方向向量； 若直线平行x轴，方向向量可取； 平行y轴，； 平行z轴，。 【即学即练】 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 知识点 2：平面的法向量 定义 如果一条直线平面，那么直线l的方向向量叫做平面的法向量，记。 一个平面的法向量有无穷多个；所有互相平行的非零向量都是这个平面的法向量。 垂直于平面内任意一条直线，即与平面内任意方向向量点积为 0。 求平面法向量的通用步骤（必考） ①在平面内找两个不共线向量； ②设法向量，根据法向量垂直平面内所有向量，列方程组： ③该方程组是齐次方程组，有无穷多组解；给其中一个未知数赋简单整数，解出另外两个未知数，就得到平面一个法向量。 ⚠注意：赋值不能让x,y,z全部等于 0，不能作为法向量。 特殊平面的法向量 xOy平面：法向量可取 yOz平面：法向量可取 xOz平面：法向量可取 【即学即练】 如图，在直三棱柱中，．以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．以下向量可成为平面的法向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据空间直角坐标系中法向量的求法，求出法向量，逐项判断即可. 【详解】因为； 所以， 设平面的法向量 则有，即 可得，即，故， 写出符合以上条件的向量即可，如：， 故选：CD 知识点 3：利用方向向量、法向量判定空间线面位置关系 设： 直线方向向量；直线方向向量； 直线l方向向量； 平面向量；平面法向量。 表格 位置关系 向量等价条件 两直线平行 ，即 两直线垂直 直线平面 ，且直线 直线平面 ，即 平面平面 ，即 平面平面 重要提醒： 证明线面平行：算出之后，一定要写：直线不在平面内，否则逻辑不完整。 【即学即练】 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据线面垂直的性质判断A；根据面面垂直的性质可判断BC；根据空间位置关系的向量判断方法可判断D. 【详解】对于A，若，由线面垂直的性质可知，A正确； 对于B，若，则可能有或或斜交或，B错误； 对于C，若，但是m不一定在内，故不能推出，C错误； 对于D，因为，，所以直线的方向向量分别与平面的法向量平行， 又因为，所以两平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即，D正确. 故选：AD 知识点 4：方向向量、法向量求空间角 异面直线所成角，两异面直线方向向量 ✅必须加绝对值，异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角，直线方向向量，平面法向量 ⚠记牢：是，不是。 二面角，两个平面法向量 法向量夹角不一定等于二面角，看图判断二面角是锐角还是钝角，再确定正负。 知识点 5：点到平面的距离公式（拓展） 已知点P，平面； 在平面上任取一点A，是平面的一个法向量。 点P到平面距离： 分子一定要取绝对值。 题型 1：方向向量、法向量基础概念与辨析 【典例1】已知空间非零向量，，，则（    ） A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 【答案】BC 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若A，B，C三点不共线，平面外任一点，有，则M，A，B，C四点共面 D．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 【答案】AC 【分析】由对称特征求出点的坐标判断A；举例说明判断BD；利用共面向量定理的推论判断C. 【详解】对于A，点关于轴对称点的坐标为，A正确； 对于B，当时，可能同向共线，此时夹角为，B错误； 对于C，平面外任一点，，由，得四点共面，C正确； 对于D，当时，，它不能作为平面的法向量，D错误. 故选：AC 【变式2】下列命题为真命题的是（    ） A．已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断. 【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面， 所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 此时或，所以不一定成立，故B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， 但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存在实数，使， 所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以， 所以共面且有公共点，所以点在平面内； 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，故D正确；    故选：ACD. 【变式3】下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 B．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C．已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D．以，，为顶点的三角形是等边三角形 【答案】AC 【分析】对于A，由空间中点的对称性可判断；对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，即可判断；对于C，由空间基底的定义可判断；对于D，由两点间的距离公式求出三边的长，即可判断. 【详解】对于A，由空间中点的对称性可知，点关于轴对称的点的坐标为，故A正确； 对于B，在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量，故B错误； 对于C，因为是空间的一组基底，所以不共面，即其中任何一个向量都不能用另外两个向量线性表示，易得中任何一个向量也不能用另外两个向量线性表示， （若设，满足，则有，该方程无解），故C正确； 对于D，由题意可得， ，， 显然，且，则为等腰直角三角形，故D错误. 故选：AC. 题型 2：求直线方向向量、平面法向量（基础计算） 【典例1】在平面中，，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的一个法向量为，由列式求解即可. 【详解】设平面的一个法向量为，则，∴， ∴，令，得. 故选：B. 【变式1】已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 【变式2】已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    【变式3】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 题型 3：由方向向量、法向量判定位置关系并求参数 【典例1】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得. 【详解】因为，所以， 又， 即， 解得：， 所以， 故选：C. 【变式1】已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】由空间向量平行的坐标表示得结论． 【详解】因为，所以，所以，解得， 故选：B． 【变式2】平面过点，且平面的法向量为，若点在内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量与平面内的向量垂直，即可求解. 【详解】， 由于，所以，解得， 故选：A 【变式3】已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用直线的一个方向向量与共线即可求解. 【详解】因为，所以， 因为直线的一个方向向量为，所以， 即，所以， 解得，则. 故选：C. 题型 4：平面点法式方程应用 【典例1】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 【变式1】已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点的任意一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量的性质利用数量积求解. 【详解】因为是平面的一个法向量， 所以， 故， 即， 故选：B 【变式2】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 故选：D. 【变式3】阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线l的方向向量， 则，令，得， 则， 故选：B． 题型 5：逻辑命题、充分必要条件（向量与立体几何结合） 【典例1】已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式1】空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，结合充分、必要条件的概念，即可得答案. 【详解】由可得或，所以推不出， 当时，由于是平面的法向量，可得，所以可推出， 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3】已知两条不重合的直线、，两个互不重合的平面、，给出下列命题： ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，，则； ④若，，且，则． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①由,的法向量垂直，则可以得出，②若，也满足条件，③由条件也可能．④由条件也可能,相交． 【详解】①由于，，且，可知,的法向量垂直，则可以得出，因此①正确． ②若，且，则可满足，，故满足已知条件的,不一定平行，因此②不正确． ③若，又，，于是，也满足条件，故③不正确． ④若，又，，则可能有，故④不正确．综上可知只有①正确． 故选：B． 题型 6：立体几何多选综合（正方体、平行六面体、正四面体、圆台） 【典例1】在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 【答案】ACD 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，D正确. 【变式1】在正方体中，P为的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的性质得出线线垂直，即通过证明平面证明即；对于B，根据线面平行的判定定理，通过证明线线平行得到线面平行，即证明得到平面；对于C，根据平面和平面各自的法向量垂直得到面面垂直；对于D，先找出平面和平面的法向量，然后根据法向量垂直即可得到面面垂直. 根据线面平行、面面垂直、线线垂直的判定定理进行判断即可. 【详解】对于A：因为P为的中点，所以P是正方体体对角线的交点，故A，P，三点共线． 连接，易知，，且平面，故平面 因为平面，所以，即，故A正确； 对于B：由上可知平面即为平面，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C：易知平面即为平面， 因为P为的中点，所以P也为的中点，所以平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而不与垂直，所以平面不与平面垂直， 即平面不与平面垂直，故C错误； 对于D：易知平面即为平面，平面即为平面， 且是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 而，所以平面平面 ，故D正确． 故选：ABD.    【变式2】已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】AC 【分析】依据向量的坐标运算得出，利用向量的求模公式、向量平行的坐标关系、数量积的坐标运算逐一判断. 【详解】由题意得，， ， ， 则，故A正确； 因，故B错误； ，， 则，，故是平面的一个法向量，C正确； ，故D错误. 故选：AC 【变式3】在正方体中， ， ，， 分别是，， ，的中点，则（   ） A．平面 B． ， ，， 四点共面 C．在线段上存在一点，使得平面 D．在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，再利用线面平行的判定定理得到线面平行判断A，利用向量的共面定理可判断B，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直判断C，举特例判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，连接，    由题意得所求结论与正方体边长无关，不妨设正方体边长为， 则，，，，， ，，，，，， 对于A，由题意得，， 则，因为平面，平面， 所以平面，故A正确， 对于B，设， 则， 所以，解得， 故，即 ， ，， 四点共面，故B正确； 对于C，假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，由投影向量公式得在上的投影向量为， 若在上的投影向量为，则， 令，可得，， 由模长公式得， 由空间向量数量积的运算法则可得， 满足，故D正确. 故选：ABD 题型 7：解答大题（向量证明） 【典例1】已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点 (1)求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）； (2)求的最小值及取得最小值时直线的方程． 【答案】(1) (2)最小值为12，直线方程为 【分析】（1）根据直线的截距式方程，结合基本不等式即可求解， （2）根据向量的坐标运算结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意设直线的截距式方程为， 因为直线过，所以， 所以，所以， 当且仅当即且时取等号， 的面积， 所以面积的最小值为12，此时直线l的方程为， 即直线l的方程为. （2），，则 故， 由于， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为25， 因此的最小值为12，此时直线方程为，即. 【变式1】如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【答案】，； 【分析】根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. 【详解】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 【变式2】如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. (2) 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）略 （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系， 则 ， ， 设平面MOB的一个法向量为， 则即， 取，则，， ∴点D到平面MOB的距离， ∴点D到平面MOB的距离为. 法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 【变式3】如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，且平面PAD⊥底面ABC，PE⊥AD.设PA=t（t>0） (1)求证：PE⊥底面ABC； (2)设O为ABC的重心，.求证：O是三棱锥P-ABC外接球的球心； (3)若平面PCB与平面PCA所成夹角的正弦值的平方等于，求t的值. 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)或 【分析】（1）运用面面垂直性质可证； （2）根据平面图形的性质结合勾股定理即可；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再运用题目条件求出t值. 【详解】（1）因为面底面，面底面， 且面,，故底面. （2）因为为的中点，为的中点，且为的重心， 可得，则， 又因为，在中，， 故, 因此是三棱锥外接球的球心. （3）以点为原点，所在方向为轴，过A点且垂直于底面的方向为z轴， 建立如下图的空间直角坐标系，则， 设，则， 故， 设面和面的法向量分别为， 则，令，则 同理求得，故， 则，化简得， 解得或， 当时，，； 同理当时，. 1．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 4．若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 5．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 6．在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 8．在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 9．点，平面的一个法向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面法向量的求解过程求解即可． 【详解】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为． 故选：B． 10．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 11．已知动点在正方体的侧面内（包括边界）运动，记向量，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，将点的坐标用参数表示，进而得到的表达式，再根据参数的取值范围取得的最值. 【详解】设正方体的边长为，以为原点，分别所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，， 因为，所以，当且仅当时， 此时取得最小值，所以的最小值是， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值是，所以的最大值是, 所以的取值范围是， 故选：C. 12．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 13．已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量求出直线的斜率，进而得到直线方程． 【详解】由直线的一个方向向量，得的斜率， 又在y轴上的截距为，所以的方程为，即． 故选：C． 14．已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据法向量与垂直求解即可. 【详解】由点，可得. 因为平面的一个法向量为， 所以，即，解得. 所以，. 故选：B. 15．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 16．已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 17．设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 【答案】ABD 【分析】根据向量的运算得到，根据题意即可判断A；根据，可得到可判断B；通过举反例可判断C；证明点均在平面内可判断D. 【详解】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确； 对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行， 故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误； 对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 1．直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 【答案】1 【分析】借助空间向量性质计算即可得. 【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 2．若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 【答案】或 【详解】当为锐角或直角时，，此时； 当为钝角时，，此时． 所以的可能值为或． 3．已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系，列方程求解． 【详解】由题得，，解得． 4．已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【答案】14 【分析】根据法向量得出线线垂直结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】因为，且，所以，解得. 故答案为：14. 5．下列命题正确的序号是__________. ①若，则； ②若是同一个平面的两个法向量，则； ③若空间向量满足，则； ④异面直线的方向向量不共线. 【答案】④ 【分析】由向量夹角的定义可判断①；由法向量的性质可判断②；当时可得③；由异面直线的方向向量的性质可得④. 【详解】①若，可得或，①错； ②若是同一个平面的两个法向量，则，②错； ③当时，推不出，③错； ④因为异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对. 故答案为：④. 6．在边长为4的正方体中，若，，，则平面PQR与侧面的交线长度为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量，求平面与侧面的交线，再利用两点间的距离公式求交线长度. 【详解】如图：以为原点建立空间直角坐标系，    则，，，所以，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 设平面与直线的交点为，则. 由，所以. 所以平面与平面的交线就是线段. 又. 故答案为： 7．已知点、、分别在棱长为的正方体的棱、、上，且．若为平面内的动点，为棱所在直线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出截面与各棱的交点坐标，数形结合得到当、均与点重合时，取得最小值，求出答案. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，    设平面的一个法向量为，，， 则，取，则，，可得， 设平面交棱于点，则平面，， ，解得，即点， 同理可知，截面交棱于点，交棱于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 当、均与点重合时，取得最小值， 此时， 当、不与点重合或其中一点不与点重合， 均可利用三角形三边关系证明出， 如图，.    综上所述，的最小值为. 故答案为：. 8．如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示）    【答案】（答案不唯一） 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 9．如图，在三棱柱中，，且平面，又平面，为垂足，若（其中），则的值为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再结合体积法求出，两者结合，可求的值. 【详解】因为平面，平面，所以，. 又，所以两两垂直. 故可以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，， 所以，，，. ，. 设平面的法向量为， 则，令，可得. 又，，所以. ， 所以点到平面的距离为：. 所以. 即， 即，，所以. 故答案为： 10．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，. 证明：平面； 【答案】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得， 连接，因为，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为， 在菱形中，，所以为等边三角形，所以， 又因为，平面 ，所以平面， 在中，，可得， 由余弦定理得，可得， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 所以， 因为平面，所以平面. 11．如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 12．在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】(1)连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 13．已知四边形是矩形，平面，，，点在线段、上（不含端点），且满足，，其中． (1)求平面的一个法向量； (2)是否存在，使是平面的法向量？请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下， 由图可知，设， 则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 易知平面的一个法向量为， 当时，，方程无解，所以不存在，使是平面的法向量. 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，设平面的法向量为，建立方程组，求出，即可求解； （2）根据条件求出和平面的一个法向量，再结合条件，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 则， 设平面的法向量为， 可知，即， 令，解得，则平面的一个法向量为. （2）不存在，略. 14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $