3.2 第1课时 空间向量的概念及线性运算(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§2　空间向量与向量运算 第1课时 空间向量的概念及线性运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.类比平面向量,理解空间向量的定义及表示方法,掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算. 逐点清(一)　空间向量的有关概念 [多维理解] 1.空间向量的概念 定义 在空间中,具有大小和方向的量叫作空间向量 表示 向量可用小写字母表示,如a,b,c,…,也可用有向线段表示,如,其中点A叫作向量的起点,点B叫作向量的终点 向量的模 表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模,用|a|表示.规定模为0的向量叫作零向量 自由向量 数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称之为自由向量 2.几种特殊的空间向量 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量 共线向量或 平行向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量) 共面向量 能平移到同一平面内的三个向量叫作共面向量 |微|点|助|解| (1)注意单位向量有无数个,它们的方向并不确定,它们不一定相等,与a(a≠0)方向相同的单位向量为,方向相反的单位向量为-. (2)零向量也有无数个,它们的方向是任意的,但规定所有的零向量都相等. (3)在空间中仍然有:=(AB,CD不共线)⇔四边形ABCD为平行四边形. (4)若两个空间向量相等,则它们的方向相同,且模相等,但起点、终点未必相同. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 解析:选C　零向量与它的相反向量相等,A错误;任意一个非零向量与其相反向量不相等,但它们的模相等,B错误;同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小,C正确;将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球,D错误. 2.给出下列命题:①零向量没有方向;②若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;③若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:选D　零向量的方向是任意的,但并不是没有方向,故①错误;当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,起点和终点不一定相同,故②错误;根据相等向量的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向也要相同,但③中向量a与b的方向不一定相同,故③错误;命题④显然正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错误. 3.[多选]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　　) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 解析:选ABC　由题可知单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;与相等的向量有,,,共3个,故B正确;向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;模为的向量分别为,,,,,,,,共8个,故D错误. 逐点清(二)　空间向量的加减法 [多维理解] 空间向量 的运算 三角形法则 加法 a+b=+= 平行四边形法则 加法 a+b=+= 减法 a-b=-= 加法运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 交换律 a+b=b+a |微|点|助|解| (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=. (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0. (3)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 [微点练明] 1.已知A,B,C,D是空间中互不相同的四个点,则--= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　--=+-=-=. 2.[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向量的是 (　　) A.(+)- B.(-)- C.(-)+ D.(-)- 解析:选ABC　如图所示,(+)-=-=+=;(-)-=-=;(-)+=+=;(-)-=(-)-=+=. 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简-+++,并在图中标出化简结果. 解:在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四边形AA1F1F是平行四边形, 所以=. 同理=,=, 由正六棱柱性质可知=, 所以-+++=-+(++)=+=, 所以化简结果如图所示. 逐点清(三)　空间向量的数乘运算 [多维理解] 定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何意义 λ>0 向量λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 向量λa与向量a的方向相反 λ=0 λa=0,其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb |微|点|助|解| (1)λa=0⇔λ=0或a=0. (2)向量λa与向量a一定是共线向量. (3)利用数乘运算解题时,要结合具体图形,明确表示向量的有向线段,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. [微点练明] 1.如图,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则= (　　) A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析:选A　依题意,=+=+=+(-)=--=a-b-c. 2.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,=2,=,=x+y+z,则x+y+z= (　　) A.- B. C.1 D. 解析:选B　因为=2,=,所以=+=+=-+-=-+-=-++-=+-,故x=,y=,z=-,故x+y+z=. 3.如图,在空间四边形ABCD中,已知点G为△BCD的重心,E,F,H分别为CD,AD,BC的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果. (1)+-; (2)(+-); (3)++. 解:(1)连接EF,∵G是△BCD的重心,∴=.又=,∴由向量加法的三角形法则可知, ++=++=+=.在图中标出,如图所示. (2)连接AH,∵F,H分别为AD,BC的中点,∴(+-)=(2-)=-=-=.在图中标出,如图所示. (3)++=+(-)+(-)=+(+)=+=+=.在图中标出,如图所示. 逐点清(四)　共线向量基本定理 　　空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理. [例1]　设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在唯一实数μ,使得=μ,则解得 [例2]　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线. 证明:如图,连接EF,FB,∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三点共线. |思|维|建|模| 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立. (2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法①是否存在实数λ,使得=λ. ②对空间任意一点,若=x+y,且x+y=1,则P,A,B三点共线. 　　[针对训练] 1.设e1,e2是空间两个不共线的非零向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,求实数k的值. 解:因为=e1+3e2,=2e1-e2, 所以=+=e1+3e2-(2e1-e2) =-e1+4e2, 又A,B,D三点共线, 于是=λ,即2e1+ke2=λ(-e1+4e2), 而e1,e2不共线,因此解得k=-8, 所以实数k的值是-8. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,证明:A1,G,C三点共线. 证明:连接GB,GD,GC1,如图,则=++=++, 因为G是△BC1D的重心, 所以++=0, 又=+,=+, =+, 所以3=++; 即=(++)=, 所以∥,A1,G,C三点共线. [课时检测] 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.向量与的长度相等 B.在空间四边形ABCD中,与是相反向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 解析:选AD　向量与是相反向量,长度相等,A正确;在空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也不一定相反,B错误;空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,C错误;由空间向量的有关概念与性质知D正确. 2.已知空间任意两个向量a,b,则这两个向量一定是　 (　　) A.共线向量 B.共面向量 C.不共线向量 D.共面但一定不共线 答案:B 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量相等的向量共有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选C　如图,与向量大小相等,方向相同的向量有,,,共3个. 4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简+-= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,如图所示,∴+-=+=+=. 5.在四面体ABCD中,E为棱BC的中点,则+(+)= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,因为E为棱BC的中点,所以+(+)=+×2=+=. 6.已知A,B,C三点共线,O为空间不同于A,B,C三点的任一点,则①=2+μ;②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为 (　　) A.1,-1 B.-1,0 C.0,1 D.0,0 解析:选B　∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.又由λ+m+n=0,得=--,由A,B,C三点共线知,--=1,则λ+m+n=0.故选B. 7.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为 (　　) A.= B.∥ C.||=|| D.||≠|| 解析:选B　由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共线,同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共线,所以,共线,即∥. 8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=2,则以下结论正确的是 (　　) A.=++ B.=-+- C.=-+ D.=+- 解析:选D　因为=2,所以=,=-=+-=+-=+(-)-=+-. 9.在四面体OABC中,点M,N分别为OA,BC的中点,若=+x+y,且G,M,N三点共线,则x+y= (　　) A.- B. C. D.- 解析:选B　若G,M,N三点共线,则存在实数λ使得=λ+(1-λ)=++成立,所以=,可得λ=,所以x=y=,可得x+y=. 10.[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=++,=++,则 (　　) A.E为棱D1C1的中点 B.F为棱CC1上更靠近C的三等分点 C.EF=CD1 D.EF∥平面ABB1A1 解析:选ABD　因为=++=++=+,所以-==,则E为棱D1C1的中点,A正确.因为=++=+,所以-==,则F为棱CC1上更靠近C的三等分点,B正确.因为E为棱D1C1的中点,F为棱CC1上更靠近C的三等分点,易得EF≠CD1,C错误.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1,EF⊂平面DCC1D1,所以EF∥平面ABB1A1,D正确. 11.(5分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,N是BC的中点,则向量=　　　　.(用a,b,c表示)  解析:由向量的减法及加法运算可得,=-=+-=+-=b+c-a. 答案:b+c-a 12.(5分)如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=3,N为BC的中点,若=xa+yb+zc,则x+y+z=　　　.  解析:因为=3,N为BC的中点,所以=,=(+).所以=-=(+)-=-a+b+c.因为=xa+yb+zc,所以x+y+z=-++=. 答案: 13.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的向量,写出: (1)的相等向量,的相反向量;(2分) (2)用另外两个向量的和或差表示;(4分) (3)用三个或三个以上向量的和表示.(4分) 解:(1)根据正方体棱与棱之间的关系,的相等向量有,,;的相反向量有,. (2)用“首尾规则”求解,如果只在含的三角形中考虑,有=+,=+,=-,=-.(答案不唯一) (3)用“首尾规则”求解,则=++,=++++.(答案不唯一) 14.(10分)如图,四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线? 解:因为M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD、ABEF都是平行四边形, 所以=++=++.又=+++=-+--,所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2,即与共线. 105 / 161 学科网（北京）股份有限公司 $$