第一章 一元二次方程 单元测评 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版2026—2027学年九上数学第一单元综合测评（国庆典藏） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 一、单选题 1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．2 D．3 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．把方程化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．2，5，0 B．2，，3 C．2，， D．2，，0 5．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（     ） A． B．3 C． D．不能确定 7．已知三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（     ） A．15 B．19 C．15或19 D．18或20 8．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．方程的解是______． 10．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 11．已知是方程的一个根，则________． 12．把一元二次方程 化为一般形式是____________． 13．关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 14．如图，在用配方法解一元二次方程时，有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是_______． 15．已知是关于的一元二次方程的两个根，则_______． 16．为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为________． 17．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积为______． 18．若关于x的方程的两根分别为，3，则方程的解为___________． 三、解答题 19．解下列一元二次方程： (1)（用配方法解）； (2)（用公式法解）． 20．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 22．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 23．已知是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 24．阅读下面的材料并解答后面的问题 小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小强：能．求解过程如下：因为，而，所以的最小值是． 问题： (1)小强的求解过程正确吗？ (2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程． 25．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． (1)如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽； (2)能否使围成矩形的面积为，如果能，试求矩形的长和宽，如果不能，请说明理由． 26．某商店准备购进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加（或降低）1元，销售量将减少（或增多）10台．商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价为多少？ (1)本题如何设未知数较合适？需要列出哪些相关量的代数式？ (2)所列方程的解是否都符合题意？如何解释？ (3)请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？ 27．按要求完成作答 (1)已知关于的一元二次方程的两根的和为，求的值及方程的两根． (2)已知关于的一元二次方程的两根的积为，求的值． 28．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C C C C D 1．B 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、在中，当时，二次项系数为0，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意； C、变形得，，是一元一次方程，故不符合题意； D、的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意． 2．C 【分析】利用一元二次方程中根与系数的关系求解． 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 3．D 【详解】解：， 移项，得． 配方，得．即． 4．C 【详解】解：将方程移项，得一元二次方程的一般形式为， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5．C 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 6．C 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 由得，即， 由得， ∴． 7．C 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合三角形三边关系确定第三边的长，最后计算周长． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和6， ∴ 第三边的长 ， 解方程 得 或 ， ∵ ，， ∴ 第三边的长为5或9， ∴ 该三角形的周长为 或 ． 8．D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 9． 【分析】根据乘积为0的性质，将原方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ∴，． 10． 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式大于，得出，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 11． 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 解得. 12． 【分析】一元二次方程的一般形式为，移项整理原方程即可得到结果． 【详解】解：移项得． 13．2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，两根乘积为常数项与二次项系数的比值，代入已知根即可计算另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得， ∵， ∴， 解得． 14．丁 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，正确求解后判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 或 解得或 故丁的解答有错误． 15． 【分析】已知，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子展开后代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得， ， ∴ ． 16． 【分析】设线上销售量占比的月平均增长率为x．根据6月份和8月份数据列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设线上销售量占比的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍）， 即线上销售量占比的月平均增长率为． 17．24或 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的可能值，根据三角形三边关系确定有效第三边，分情况计算三角形面积． 【详解】解：对方程整理，两边同乘4得， 因式分解得， 解得或， 验证三角形三边关系：∵已知两边长为和， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 分两种情况计算面积： ①当第三边长为时， ∵， ∴该三角形为直角三角形，直角边为和， ∴， ②当第三边长为时，该三角形为等腰三角形，腰长，底边长， 过顶点作底边上的高，如图， 由勾股定理得高， ∴， 综上所述，三角形的面积为24或． 18．， 【分析】利用原方程两根和根与系数的关系得到系数，与的关系，代入所求方程即可求解． 【详解】解：关于的方程的两根分别为，，且， 根据根与系数的关系可得：，， 整理得，， 将，代入方程得：， ，等式两边同除以得：， 因式分解得， 解得，． 19．(1)， (2)， 【分析】（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）找出，，的值，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴，． 20．道路宽度为1m 【分析】设道路宽度为，则6个小矩形的合并在一起的长为，宽为，结合6个小矩形的面积之和为列出方程，求解即可． 【详解】解：设道路宽度为，依题意得 ， 解得，（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 21．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 23．(1) (2) (3)17 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系，得：， ； （2）解：原式； （3）解：原式． 24．(1) 小强的求解过程正确． (2) 能，的最小值为， 求解过程如下： ∵， ∴当时，原式取得最小值. 【分析】（1）验证配方法变形的正确性与最值推导逻辑的合理性. （2）通过配方法变形原式，结合平方的非负性求代数式的最小值. 【详解】（1）解：对于求的最小值，小强的做法是通过配方． ， 因为， 当时，即时，取得最小值． 所以小强的求解过程是正确的． （2）略 25．(1)矩形实验田的长为，宽为； (2)解：不能使围成矩形的面积为． 设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， ， ∴不能使围成矩形的面积为． 【分析】（1）设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可； （2）设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 解得：． ， ， ， ， 此时矩形实验田的长为，宽为； （2）略 26．(1)设应涨价x元，则定价为元，应进货台 (2)所列方程的解为或，两个解均符合题意，代表定价上涨8元，对应销售定价60元、进货100台；代表定价下降2元，对应销售定价50元、进货200台，两种方案都可实现获利2000元的目标 (3)应进货150台，销售定价为55元 【分析】（1）设应涨价x元，根据题意可得定价为元，应进货台； （2）根据题意列一元二次方程求解，再结合实际情况分析； （3）根据题意可得最大利润为，利用配方法可求出利润最大时x的值，进而可得进货量和销售定价． 【详解】（1）解：设应涨价x元，则定价为元，应进货台； （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得或， 所列方程的两个解均符合题意，代表定价上涨8元，对应销售定价60元、进货100台；代表定价下降2元，对应销售定价50元、进货200台，两种方案都可实现获利2000元的目标． （3）解：根据题意最大利润为， 故当时利润最大，为2250元， 此时，， 所以要获得最大利润，则应进货150台，销售定价为55元． 27．(1) 的值为，方程的两根为和． (2) 的值为． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及求解一元二次方程，解决问题的关键是能熟练计算． （1）根据根与系数的关系得到，求出，得到原方程，解方程即可； （2）根据根与系数的关系得到，求出，分类讨论，分别代入原方程求解，即可得答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根的和为， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得，． （2）∵一元二次方程的两根的积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，原方程为， 方程无解，不符合题意，故； 当时，原方程为， ， 综上． 28．(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $