第一章 一元二次方程 单元测试题 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

九年级数学上册 第一章 一元二次方程 单元测试题 苏科版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝2y B．2x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+x+1 2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0 3．若x＝1是方程x2+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1 4．方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（　　） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程3x2+3x+1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 6．若关于x的方程x2+mx+3＝0有两个根x1＝1，x2＝n，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2024 D．﹣2024 7．某文具店七月份销售碳素笔100支，八、九两个月的销售量连续增长，九月份的销售量达到360支，设月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．100（1+x）＝360 B．100（1+2x）＝360 C．100（1+x2）＝360 D．100（1+x）2＝360 8．一元二次方程x2＝x的解为（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝1 9．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 10．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A．8 B．9 C．10 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．已知方程（m+1）x|m|+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 _____ ． 12．若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m的值是_______ ． 13．定义一种运算：a⊗b＝a2﹣ab，例如：1⊗2＝12﹣1×2＝﹣1．若m⊗3的值为5，则﹣2m2+6m的值为________ ． 14．定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是_____ ． 15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则﹣x1+x2的值是_________ ． 16．某戏院举办文艺演出，经调研，票价每张30元，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元，设票价每张x元，则可列方程为____________________ ． 17．甲、乙二人分别由A、B两地同时出发，相向骑车匀速行进．当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米；当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米．则A、B两地的距离是_______ 千米． 18．已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k＝________ ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）解方程： （1）x2﹣6x+6＝0； （2）x2＝﹣4x． 20．（8分）在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 21．（8分）某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同．请问增加了多少行？ 22．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 23．（10分）已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 24．（10分）如图，有一块长为3a米，宽为2a米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． （1）请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； （2）若x＝4，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 25．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿边CA运动，速度为1cm/s．与此同时，点E从点B开始沿边BC运动，速度为2cm/s．当点E到达点C时，点D，E同时停止运动．连接AE，DE，设运动时间为ts，△ADE的面积为Scm2． （1）用含t的代数式表示：CD＝ _____ cm，CE＝ ___________ cm； （2）当CD为何值时 参考答案 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．解：选项A中含x，y两个未知数，不符合题意． 选项B中只含x一个未知数，x的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C中未说明a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意． 选项D中不是等式，不属于方程，不符合题意． 故选：B． 2．解：由题意得：m2﹣4＝0， 解得：m＝±2， ∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣2， 故选：A． 3．解：∵x＝1是关于x的方程x+（a+2）x＝﹣（a+1）的解， ∴1+（a+2）×1＝﹣（a+1）， ∴a＝﹣2， 故选：B． 4．解：移项得，x2+5x＝﹣， 配方，得x2+5x+（）＝﹣+， 整理，得（x+）2＝6． 故选：C． 5．解：∵Δ＝32﹣4×3×1＝﹣3＜0， ∴一元二次方程3x2+3x+1＝0没有实数根． 故选：A． 6．解：由条件可知1+n＝﹣m，1•n＝3， 解得n＝3，m＝﹣4， ∴（m+n）2025＝（﹣4+3）2025＝﹣1． 故选：A． 7．解：由题意得：100（1+x）2＝360， 故选：D． 8．解：∵x2＝x， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：C． 9．解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意； B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意； C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意； D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意． 故选：A． 10．解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得： x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．解：∵方程（m+1）x|m|+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， 解得：m＝1． 故答案为：1． 12．解：∵x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根， ∴42﹣3×4+m＝0， 解得m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 13．解：由题意得m2﹣3m＝5， ∴﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）＝﹣2×5＝﹣10． 故答案为：﹣10． 14．解：∵xΔ4＝8， ∴x（x﹣4）+2×4＝8， x（x﹣4）＝0， ∵x＞0， ∴x﹣4＝0， 解得：x＝4． 故答案为：4． 15．解：∵x1是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的根， ∴﹣2x1﹣2026＝0， ∴﹣2x1＝2026， ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2， ∴原式＝（﹣2x1）+（x1+x2）＝2026+2＝2028． 故答案为：2028． 16．解：设票价每张x元，则可列方程为x[1200﹣20（x﹣30）]＝38500， 故答案为：x[1200﹣20（x﹣30）]＝38500． 17．解：设A、B两地的距离是x千米，甲的速度为V甲千米/时，乙的速度为V乙千米/时， 根据当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米得， 根据当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米得， 所以， 整理得x2﹣26x+120＝0， 解得x1＝20，x2＝6， 当x＝6时，x﹣12＝﹣6＜0，不适合题意，舍去，只取x＝20， 即A、B两地的距离是20千米， 故答案为：20． 18．解：∵a、b、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当a＝4或b＝4时，即x＝4， ∴方程为42﹣6×4+k+2＝0， 解得：k＝6， 当a＝b时，即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0， 解得：k＝7， 综上所述，k的值等于6或7， 故答案为：6或7． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．解：（1）x2﹣6x+6＝0， 移项，得x2﹣6x＝﹣6． 配方，得x2﹣6x+9＝﹣6+9． 即（x﹣3）2＝3． 两边开方，得． ∴，． （2）x2＝﹣4x， 移项，得x2+4x＝0． 提公因式，得x（x+4）＝0． ∴x＝0或x+4＝0． 解得x1＝0，x2＝﹣4． （1），； （2）x1＝0，x2＝﹣4． 20．解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：3+3x+（3+3x）x＝864×50%， 整理得：x2+2x﹣143＝0， 解得：x＝11或x＝﹣13（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． 21．解：设增加了x行，则增加的列数为x， ∵植树8行10列，后来增加了40棵树，增加的行数、列数相同， （8+x）（10+x）﹣10×8＝40， 解得x1＝2，x2＝﹣20（不合题意，舍去）． 答：增加了2行． 22．（1）解：∵x＝3为方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0的一个根， ∴32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， 解得k＝2， 此时方程可化为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3． ∴方程的另一根为x＝1； （2）证明：由题意可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， ∵无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0， ∴Δ＝（k﹣2）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 23．解：（1）关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根． ∴k≠0且Δ＞0， ∴Δ＝12﹣4k×（﹣3）＞0解得， ∴k的取值范围为且k≠0； （2）由根与系数的关系得，，， ∴，即4k2+3k﹣1＝0， ∴（4k﹣1）（k+1）＝0解得或k＝﹣1， 经检验，，k＝﹣1都是原分式方程的解， 由（1）可得，且k≠0． ∴． 24．解：（1）由题意，∵原长方形的长为3a米，宽为2a米，向四周各扩建x米后， ∴新的长为（3a+2x）米，新的宽为（2a+2x）米． ∴S扩建＝（3a+2x）（2a+2x）＝6a2+6ax+4ax+4x2 ＝6a2+10ax+4x2． 答：扩建后的面积为（6a2+10ax+4x2）平方米； （2）由题意，当x＝4 时， ∵，扩建后面积比原面积大400平方米， ∴（3a+8）（2a+8）﹣6a2＝400． ∴a＝8.4． 25．解：（1）∵点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s， ∴CD＝tcm， ∵BC＝8cm，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s， ∴BE＝2tcm， ∴CE＝BC﹣BE＝（8﹣2t）cm， 故答案为：t，（8﹣2t）； （2）由题意可知，0≤t≤4，CD＝tcm，BE＝2tcm，CE＝（8﹣2t）cm，AD＝（6﹣t）cm， ∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，S＝S△ABC， ∴S＝AD•CE＝（6﹣t）（8﹣2t）＝××6×8， 整理得：t2﹣10t+9＝0， 解得：t1＝1，t2＝9（不合题意，舍去）， ∴CD＝1cm， 答：CD＝1cm时，S＝S△ABC． 学科网（北京）股份有限公司 $