专题07 一元一次不等式 重难点十二大题型突破 讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册
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内容正文：
专题07 一元一次不等式重难点十二大题型突破
【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】
【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】
【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】
【题型4：根据不等式组的解集确定字母的取值范围】
【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】
【题型6：球赛积分问题】
【题型7：分配问题】
【题型8：销售利润问题】
【题型9：方案问题】
【题型10：阶梯收费问题】
【题型11：其他问题】
【题型12：定义问题】
【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】
1．若的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此可解本题．
【详解】解：∵的解集为，
∴，解得．
2．已知，且，则n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，且，
，
解得．
3．已知，利用不等式性质写出的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变的性质，对已知不等式变形即可得到的取值范围．
【详解】解：，
∴，
化简得．
4．若，且，是正整数，则的值是______．
【答案】1
【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值．
【详解】解： ，且，
，
解不等式得，
又是正整数，
．
【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】
5．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的正整数解个数确定最大正整数解为6，结合不等号方向推导的取值范围．
【详解】解：解不等式，得
，
∵该不等式的正整数解有6个，
∴正整数解为，
∴ ．
6．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴知，两个负整数解只能是，由此可确定a的取值范围．
【详解】解：根据数轴知，两个负整数解只能是，
所以数a表示的点在表示的点的左边，但不能在表示的点的左边，
即．
7．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据数轴确定不等式的解集，再根据不等式有3个非负整数解，确定该不等式的非负整数解，从而确定的取值范围．
【详解】解：由数轴可得该不等式的解集为，
∵该不等式恰好有3个非负整数解，
∴该不等式的非负整数解为0，1，2，
∴．
8．已知关于，的方程组为且，若为负整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组两个等式相加整理，得到关于的表达式，再结合求出的范围，最后根据为负整数确定的值．
【详解】，
得，
整理得，
，
，
解得，
为负整数，
．
【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】
9．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围．
【详解】解：，
解不等式得：．
解不等式得：．
∴不等式组的解集为．
∵不等式组恰有4个整数解．
∴整数解为．
∴．
10．一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式组的整数解个数，确定解集左端点的取值范围是解题关键.
【详解】解：解不等式，得. 解不等式，得；
∴ 不等式组的解集为；
∵ 不等式组有且仅有两个整数解，且，
∴ 两个整数解为和；
∵ 不是该不等式组的整数解，
∴ ；
∵ 是该不等式组的整数解，
∴ ，
∴ ；
解得；
11．对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据新运算规则化简不等式组，求解得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定m的取值范围即可．
【详解】解：，，
原不等式组化为：，
不等式组的解集为．
不等式组有且只有2个整数解，大于的最小两个连续整数为，
，
解不等式组得．
12．关于的不等式组只有5个整数解，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组得到的解集，再根据不等式组只有个整数解确定整数解范围，进而列出关于的不等式，求解得到的取值范围．
【详解】解不等式组
解①：两边同乘3得，移项得．
解②：两边同乘2得，移项得．
∴不等式组的解集为．
∵不等式组只有5个整数解，
∴这5个整数解为19，18，17，16，15．
可得不等式，
∴，
∴．
【题型4：根据不等式组的解集确定字母的取值范围】
13．若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵不等式组的解集是，
∴．
14．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不等式组无解，则两个不等式的解集没有公共部分，由此求解．
【详解】解：解不等式，得.
∵不等式组无解，
∴．
15．若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，利用“同小取小”的规则列出关于的不等式，求解即可．
【详解】解：∵该不等式组中两个不等式均为小于型，根据一元一次不等式组解集“同小取小”的法则，已知解集为，
∴
移项得 ．
16．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，
解得：．
【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】
17．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组两式相加构造的表达式，代入不等式求解．
【详解】解：，
得：，
∴
∴，
∴
∴ ．
18．已知，且，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键．
先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案．
【详解】解：，
，得
解得：，
将代入①，得，
解得：，
，
，
，
．
故选A．
19．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，
∴，
∴，
故选：D．
20．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先通过消元法用含的代数式表示和，得到，，再代入不等式，得到，再解一元一次不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：∵，
由①得，
把③代入②，得，
整理，得，
解得，
把代入③，得，
将，代入，得，
即，
解得．
【题型6：球赛积分问题】
21．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（ ）
A．3局 B．4局 C．5局 D．6局
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键．
设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值．
【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局，
∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局，
∴ 列不等式：，
展开并整理得：，
，
，
解得：，
∵ x为正整数，
∴ x的最小值为5，
即张老师至少应获胜5局．
故选：C．
22．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息：
A组积分
排名
队伍
胜负
积分
2
温州队
7胜0负
4
金华队
6胜2负
14分
5
余姚队
5胜3负
13分
6
台州队
4胜4负
12分
(1)求温州队的积分．
(2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？
【答案】(1)温州队的积分为14分
(2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场
【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键．
（1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答；
（2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答．
【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分
由题，得
解得，
所以（分）
答：温州队的积分为14分．
（2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛
设胜场，负场
由题，得
解得，
，
答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场．
23．中超联赛一共三十轮，积分规则是胜一场得分，平一场得分，负一场得分，同分的情况下胜场多的排名靠前．现在有一张第六名到第八名被污渍影响的积分表；
名次
队名
场次
胜
平
负
积分
队
队
队
(1)你能否从该表格中的信息求得队的积分为多少？
(2)请你列式计算一下队可能会有几场胜场．
【答案】(1)36
(2)8、9、10、11
【分析】（1）根据题意先计算队平的场次，再根据积分规则计算总积分；
（2）设队的胜场为，则平场为，为正整数，根据排名情况列出不等式，求解的取值范围，再分情况讨论得到队的胜场情况．
【详解】（1）解：由题意得，队平的场次为：（场），
队的积分为（分）．
（2）解：由题意得，队的胜场与平场共场，队的积分为分，
设队的胜场为，则平场为，为正整数，
根据排名规则，可得，
解得，且为正整数．
当时，队的积分为（分），
此时与队同分，但胜场少，不符合题意，舍去；
当时，队的积分为（分），符合题意；
当时，队的积分为（分），符合题意；
当时，队的积分为（分），符合题意；
当时，队的积分为（分），
此时与队同分，因胜场比队少，符合题意．
故队可能有8、9、10、11场胜场．
24．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答）
(2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？
【答案】(1)该班胜9场，负3场
(2)该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：胜场数负场数场，胜场的得分负场的得分分，列方程组，即可求解；
（2）不等关系式：3分线外投篮得分在3分线内（含3分线）投篮得分分，列出不等式，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设该班胜x场，负y场，根据题意得
解得：
答：该班胜9场，负3场
（2）解：设该班在这场比赛中投中了m个得3分的球，则投中个得2分的球，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为4．
答：该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球．
【题型7：分配问题】
25．某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子．由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个．如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满．问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？
【答案】这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式组，注意x只能取整数．设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用，根据最后一个竹筏子不空也不满列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x只能取整数，求出x的值，最后求出总人数即可．
【详解】解：设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用，
根据题意得∶
解得∶，
∵x只能取整数，且，
∴．
∴当时，该校八年级一班共有学生 (人)，
答：这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生．
26．某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？
【答案】该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，列出一元一次不等式组是解题的关键；设该班进步学生有x个，共购买了本书，根据“如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本”列出一元一次不等式组，求解即可．
【详解】解：设该班进步学生有x个，共购买了本书，
由题意得：，
解得：；
由于x为正整数，则x为30或31或32；
当时，则购买了（本）；
当时，则购买了（本）；
当时，则购买了（本）；
答：该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书．
27．将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？
【答案】预定每组分配12名学生
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，根据关键语句“分配给每组的人数比预定人数多1名，那么学生总数超过100人；如果每组分配的人数比预定人数少1名，那么学生人数不到90人”得到学生总数的两个关系式是解决本题的关键．首先设预定每组分配x人，根据题意可得关系式为：（预定每组分配的人数+1）×组数；（预定每组分配的人数-1）×组数，把相关数值代入后可得到不等式组，解不等式组后，取整数解即可．
【详解】解：设预定每组分配x名学生，得
，
解得，
∴整数．
答：预定每组分配12名学生．
28．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？
【答案】该班有学生，本次一共种植棵树
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有名学生，
由题意得，，
解得，
∵是整数，
∴，
∴，
答：该班有学生，本次一共种植棵树．
【题型8：销售利润问题】
29．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元．
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200元，则最少应购进甲型头盔多少个？
【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
(2)最少应购进甲型头盔80个．
【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，根据题意，列出不等式组进行求解即可.
【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元．
根据题意，得，
解得；
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）解：设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，
根据题意，得：，
解得：．
为正整数，
的最小值为80．
答：最少应购进甲型头盔80个．
30．某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元．
(1)求，两种商品每件进价各为多少元．
(2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？
【答案】(1)商品的进价是100元/件，商品的进价是60元/件
(2)购进商品的件数最多为20件
【分析】（1）设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件，根据“购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元”列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设购进件A商品，则购进件B商品，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果．
【详解】（1）解：设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件．
根据题意，
解得，
故A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
（2）解：设购进件A商品，则购进件B商品，
根据题意得，
解得，
的最大值为20．
故购进A商品的件数最多为20件．
31．某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示．
类型
进价（单位：万元/辆）
售价（单位：万元/辆）
A型
27
27.8
B型
24.4
25.8
(1)若该公司购买A，B这两种型号汽车共支付514万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？
(2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不少于20.5万元又不多于21.7万元，该公司有哪几种购车方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】(1)购买A型的汽车10辆，购买B型的汽车10辆
(2)该公司有2种购进方案，分别是购进A型汽车11辆，B型汽车9辆或购进A型汽车12辆，B型汽车8辆．购进A型汽车11辆，B型汽车9辆的方案获得的利润最多，最多利润是21.4万元
【分析】（1）设购买A型的汽车x辆，购买B型的汽车y辆，列二元一次方程组即可解答；
（2）设购买A型的汽车m辆，则购买B型的汽车辆，根据题意列一元一次不等式组，得到的值，再计算即可．
【详解】（1）解：设购买A型的汽车x辆，购买B型的汽车y辆
由题意得，
解得
答：购买A型的汽车10辆，购买B型的汽车10辆；
（2）解：设购买A型的汽车m辆，则购买B型的汽车辆，
由题意得，
解得，
为正整数，
或，
当时，购进B型汽车为9辆，
此时利润为：（万元）
当时，购进B型汽车为8辆，
此时利润为：（万元）
综上：该公司有2种购进方案，分别是购进A型汽车11辆，B型汽车9辆或购进A型汽车12辆，B型汽车8辆．
购进A型汽车11辆，B型汽车9辆的方案获得的利润最多，最多利润是21.4万元．
32．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1
我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2
已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
任务1
确定商品价格
求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
任务2
设计销售方案
求所有的销售方案；
任务3
求出最大收益及最大收益的销售方案
要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件；
任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键．
任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可；
任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可；
任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案．
【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得
答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；
任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，
由题意得，
解得．
因为为整数，所以．故有三种销售方案：
方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；
方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；
方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件．
任务3：方案1获利：（元）；
方案2获利：（元）；
方案3获利：（元）．
因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元．
【题型9：方案问题】
33．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．请根据以上材料，完成下列问题：
(1)求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价；
(2)有哪几种购买方案？
【答案】(1)
A型号新型垃圾桶单价为60元，B型号新型垃圾桶单价为100元
(2)
共有3种购买方案：
方案1：购买A型号垃圾桶118个，B型号垃圾桶82个；
方案2：购买A型号垃圾桶119个，B型号垃圾桶81个；
方案3：购买A型号垃圾桶120个，B型号垃圾桶80个
【分析】（1）设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解；
【详解】（1）解：设A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：A种型号的新型垃圾桶的单价为元，B种型号的新型垃圾桶的单价为元；
（2）解：设购买A种型号的新型垃圾桶个，则购买B种型号的新型垃圾桶个，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或或，
∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；
②购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个；
③购买A种型号的新型垃圾桶个，购买B种型号的新型垃圾桶个.
34．通过市场招标，甲、乙、丙三个学校选择同一商店购买A，B两种品牌的教学设备，甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元．
(1)A，B两种品牌的教学设备的单价分别是多少万元
(2)丙学校如果需要购买的A设备比B设备多台，且两种设备的总台数不少于台，购买的总费用不超过万元，那么丙学校有哪几种购买方案
【答案】(1)A种品牌教学设备的单价为1.6万元，B种品牌教学设备的单价为1.4万元．
(2)丙学校共有2种购买方案：
方案1：购买A设备7台，B设备5台；
方案2：购买A设备8台，B设备6台．
【分析】（1）设A种品牌教学设备的单价为x万元，B种品牌教学设备的单价为y万元，根据“甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元”列方程组求解即可；
（2）设丙学校购买B种设备m台，则购买A种设备台. 根据题意列不等式组，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：设A种品牌教学设备的单价为x万元，B种品牌教学设备的单价为y万元，根据题意，得
，
解得．
答：A种品牌教学设备的单价为1.6万元，B种品牌教学设备的单价为1.4万元．
（2）解：设丙学校购买B种设备m台，则购买A种设备台. 根据题意得，
由①得，
由②得，
∴．
∵m为正整数，
∴或．
当时，；当时，．
综上，丙学校共有2种购买方案：
方案1：购买A设备7台，B设备5台；
方案2：购买A设备8台，B设备6台．
【点睛】
35．某商店决定采购A、B两种型号的纪念品，若采购A型8件，B型5件，需要900元；若采购A型4件，B型3件，需要500元．
(1)求采购A型，B型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A、B两种型号的纪念品共60件，其中采购A型纪念品的数量不超过B型纪念品数量的3倍，且总费用不超过3800元，求共有哪几种采购方案？
【答案】(1)采购A型纪念品每件需50元，B型纪念品每件需100元
(2)有两种采购方案：①采购A型纪念品44件，B型纪念品16件；②采购A型纪念品45件，B型纪念品15件
【分析】（1）设采购A型纪念品每件需元，B型纪念品每件需元，依题意可得：，然后进行求解即可；
（2）设采购A型纪念品件，则采购B型纪念品件，依题意得：，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需元，B型纪念品每件需元，依题意可得：
，
解得：，
答：采购A型纪念品每件需50元，B型纪念品每件需100元．
（2）解：设采购A型纪念品件，则采购B型纪念品件，依题意得：
解得：，
为整数，
或45，则或15；
答：有两种采购方案：①采购A型纪念品44件，B型纪念品16件；②采购A型纪念品45件，B型纪念品15件．
36．某篮球训练营开业抽奖活动，店家计划从商场购进篮球挂件和运动水壶共50个，用于赠送给新报名的学员．已知购买2个篮球挂件和3个运动水壶共需79元，购买5个篮球挂件和7个运动水壶共需190元．
(1)求篮球挂件和运动水壶的单价分别为多少元？
(2)店家计划购进篮球挂件个，购进运动水壶的数量不超过篮球挂件的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有哪几种采购方案？
(3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式：
方式一：购买任意产品每满十件赠送一个运动水壶；
方式二：全场商品享受九折优惠．
在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进篮球挂件最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？
【答案】(1)篮球挂件单价为17元，运动水壶单价为15元
(2)店家一共有4种采购方案：
①购买篮球挂件27个，运动水壶23个，
②购买篮球挂件28个，运动水壶22个，
③购买篮球挂件29个，运动水壶21个，
④购买篮球挂件30个，运动水壶20个
(3)选择方式二采购总价更低
【分析】（1）购买2个篮球挂件和3个运动水壶共需79元，购买5个篮球挂件和7个运动水壶共需190元，据此列出二元一次方程组即可；
（2）根据购进运动水壶的数量不超过篮球挂件的，并且预算总费用不超过810元，据此列出一元一次不等式组即可；
（3）按方式一和方式二分别算出费用，再进行比较即可．
【详解】（1）解：设篮球挂件的单价为元，运动水壶的单价为元，
根据题意，得
解得
答：篮球挂件单价为17元，运动水壶单价为15元；
（2）解：根据题意，得
解得，
为正整数，
，，，，
∴店家一共有4种采购方案：
①购买篮球挂件27个，运动水壶23个，
②购买篮球挂件28个，运动水壶22个，
③购买篮球挂件29个，运动水壶21个，
④购买篮球挂件30个，运动水壶20个；
（3）解：由（2）知店家想要购进篮球挂件最多的方案：篮球挂件30个，运动水壶20个，
方式一：因为买任意产品满十件送一个运动水壶，所以先购买30个篮球挂件和10个运动水壶，可以送4个运动水壶，然后再购买6个运动水壶．
采购总价为（元）；
方式二：采购总价为（元），
，
∴选择方式二采购总价更低．
【题型10：阶梯收费问题】
37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量
单价
不超出6立方米的部分
2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分
4元/立方米
超出10立方米的部分
8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
【答案】(1)；
(2)，；
(3)3月份用水立方米，4月份用水立方米．
【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键．
（1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和．
（2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式．
（3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解．
【详解】（1）解：应交水费：（元），
故答案为：；
（2）解：当时，
水费为（元）
当时，
水费为（元）
故答案为：，；
（3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得，
，即．
当，即时，
水费为．
令，
解得（舍去）．
若，即，
水费为．
令，
解得．
∴3月份用水立方米，4月份用水立方米．
38．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元，
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过千瓦时
超过千瓦时但不超过千瓦时的部分
超过千瓦时的部分
(1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元；
(2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费；
(3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？
【答案】(1)
(2)元
(3)不超过千瓦时
【分析】（）根据用电量不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦列式计算即可；
（）据题意列出方程求出的值，再列代数式表示即可；
（）设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，根据电费的阶梯价格列不等式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴交电费元，
故答案为；
（2）解：由题意得，，
解得，
即超过千瓦时候不超过千瓦时的电费价格为元/千瓦时，
∴当一户居民某月用电量超过千瓦时，这户居民应交的电费为元；
（3）解：设居民一月用电千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元，
当时，由题意可知，其当月的平均电价每千瓦时均不超过元；
当时，由题意得，，
解得，
∴居民一月用电不超过千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，一元一次方程的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
39．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过160千瓦时的部分
x
超过160千瓦时的部分
某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．
(1)求x和超出部分电费单价；
(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．
【答案】(1)，超出部分电费单价是元/千瓦时；
(2)165度到180度．
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先找出关键描述语，根据某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元，等量关系为：不超过160千瓦时电费+超过160千瓦时电费，据此进行列式计算，即可作答．
（2）先确定不等量关系，结合六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，列出不等式组进行求解，即可作答．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得．
∴超出部分的电费单价是（元/千瓦时）．
答：超出部分电费单价是元/千瓦时；
（2）解：设该户居民六月份的用电量是a千瓦时．
则，
解得，
答：该户居民六月份的用电量范围是165度到180度．
40．为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
档次
月用电量（千瓦时）
电价（元/千瓦时）
1档
0.49
2档
0.54
3档
0.79
例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）．
(1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元；
(2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量．
(3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量．
【答案】(1)，
(2)该月圆圆家的用电量为千瓦时
(3)10月最大用电量为250千瓦时
【分析】（1）本题考查了代数式的列法，解题的关键是当时，应缴电费的计算；
（2）本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程式；
（3）本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出不等式并求解．
【详解】（1）根据题意，当时，应缴电费（元）；
当时，应缴电费（元），
故答案为：，；
（2）根据（1）的结论，当时，应缴电费（元），
当时，应缴电费（元），
∵，
∴圆圆家9月用电量的范围为，
∴，
∴，
∴该月圆圆家的用电量为千瓦时；
（3）根据（2）的结论，当时，平均电价（元/千瓦时），
∵，
∴圆圆家10月用电量的范围为，
∴，即，
∴，
∴10月最大用电量为250千瓦时．
【点睛】本题考查了代数式、一元一次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
【题型11：其他问题】
41．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．
(1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？
(2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据运算程序列不等式求出的取值范围；
（2）根据运算程序列不等式组求出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意可得：，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
解得：．
42．长治堆锦，又称堆花，是长治市国家级非遗传统工艺，以丝绸、锦缎为原料，经剪裁、堆贴、刺绣制成各类精美作品．现有甲、乙两位艺人制作该作品，他们制作同一款堆锦作品的工作效率如下：甲艺人单独制作一件作品需要小时；乙艺人单独制作一件作品需要小时．制作一件堆锦作品还需要用到两种丝绸材料：型丝绸（用于打底）：每件需米，每米元；型丝绸（用于装饰）：每件需米，每米元．
(1)甲、乙两位艺人同时开始合作制作一批堆锦作品．先合作完成件作品后，乙因其他任务离开，剩下的作品由甲单独完成．已知从开始到全部完成共用了小时．请问：这批堆锦作品一共有多少件？
(2)若工作室采购丝绸的总费用不超过元，且要求型丝绸的总用量不超过米．工作室最多能制作多少件作品？
【答案】(1)这批堆锦作品一共有9件
(2)工作室最多能制作24件作品．
【分析】（1）先求出甲、乙合作的工作效率，算出合作完成件作品所用时间；再设作品总件数为，表示出甲单独完成剩余件的时间，依据总耗时小时列出一元一次方程，解方程得到作品总数．
（2）先算出单件作品、丝绸的采购成本，设制作作品数量为，结合总采购费用上限、型丝绸总量上限列出一元一次不等式组，求出不等式组解集后取最大整数解，得到最多制作件数．
【详解】（1）解：设这批堆锦作品一共有件，剩下的作品数量为件，根据题意得
，
解得，
答：这批堆锦作品一共有9件．
（2）解：设工作室能制作件作品，根据题意得，
，
解得．
因此的最大整数值为24．
答：工作室最多能制作24件作品．
43．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
类别
甲种原料
乙种原料
维生素的含量/（单位/千克）
600
100
原料价格/（元/千克）
8
4
现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素．
(1)请列出应满足的不等式；
(2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题：
①求出满足题意的的取值范围；
②计算此时这种饮料中维生素含量的范围．
【答案】(1)
(2)①；②维生素含量
【分析】（1）由题中表格所给数据直接列不等式即可；
（2）①由（1）中得到的不等式，结合要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，组成不等式组求解即可；②设维生素的含量为单位，得到，结合①中的取值范围，由不等式性质求解即可．
【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为，
则由题意可得应满足的不等式为；
（2）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为，
，
解得，
满足题意的的取值范围为；
②由①知满足题意的的取值范围为，
设维生素的含量为单位，
则，
，
，
即，
维生素含量．
【题型12：定义问题】
44．对于有理数，，定义新运算，规定：．
如：计算时，，，
计算时，，，
(1)求的值；
(2)若关于正数的不等式组：恰好有个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）根据，代入求解即可；
（2）先表示出与，再得到的取值范围，结合“恰好有个整数解”这一条件求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得；
∵，
又∵为正数，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，即，
∵有5个整数解，
∴，解得．
45．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)③
(2)
【分析】（1）求出各个方程解和不等式组的解集，根据定义进行判断即可；
（2）求出方程解和不等式组的解集，根据“和谐方程”的定义得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
①，解得；
②，解得；
③，解得，
只有在内，
∴不等式组的“和谐方程”有③；
故答案为：③
（2）解：解得到，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∵关于的方程是不等式组的“和谐方程”，
∴，
解得
46．【阅读】
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，．
材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法：
解：，．
，y均为非负数，，即，．
，，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的性质等知识．理解题意，熟练掌握二元一次方程组的应用，不等式的性质是解题的关键．
（1）由题意得，，计算求解即可；
（2）由，可得，由，即，可求，则，然后利用不等式的性质求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：，
．
，y均为非负数，
，即，
．
，
，
，
．
47．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组：
（1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可；
（2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得．
【详解】（1）解：①，，
解得：
，．
②由①得：，
解得：
∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解，
，
．
（2）解：
，
∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，
解得：
，
∴该定值为．
1
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$
专题07 一元一次不等式重难点十二大题型突破
【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】
【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】
【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】
【题型4：根据不等式组的解集确定字母的取值范围】
【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】
【题型6：球赛积分问题】
【题型7：分配问题】
【题型8：销售利润问题】
【题型9：方案问题】
【题型10：阶梯收费问题】
【题型11：其他问题】
【题型12：定义问题】
【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】
1．若的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，且，则n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，利用不等式性质写出的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，且，是正整数，则的值是______．
【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】
5．若关于x的不等式的正整数解有6个，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于，的方程组为且，若为负整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】
9．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．一元一次不等式组有且仅有两个整数解则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．关于的不等式组只有5个整数解，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【题型4：根据不等式组的解集确定字母的取值范围】
13．若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．若不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】
17．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．已知，且，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是______．
【题型6：球赛积分问题】
21．某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（ ）
A．3局 B．4局 C．5局 D．6局
22．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息：
A组积分
排名
队伍
胜负
积分
2
温州队
7胜0负
4
金华队
6胜2负
14分
5
余姚队
5胜3负
13分
6
台州队
4胜4负
12分
(1)求温州队的积分．
(2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？
23．中超联赛一共三十轮，积分规则是胜一场得分，平一场得分，负一场得分，同分的情况下胜场多的排名靠前．现在有一张第六名到第八名被污渍影响的积分表；
名次
队名
场次
胜
平
负
积分
队
队
队
(1)你能否从该表格中的信息求得队的积分为多少？
(2)请你列式计算一下队可能会有几场胜场．
24．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛．
(1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答）
(2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？
【题型7：分配问题】
25．某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子．由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个．如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满．问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？
26．某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？
27．将两个班学生编成人数相等的8组，若每组分配人数比预定多1名，则总数超过100人；若每组分配比预定人数少1名，则总数不足90人，问预定每组分配多少名学生？
28．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？
【题型8：销售利润问题】
29．“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元．
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200元，则最少应购进甲型头盔多少个？
30．某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元．
(1)求，两种商品每件进价各为多少元．
(2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？
31．某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示．
类型
进价（单位：万元/辆）
售价（单位：万元/辆）
A型
27
27.8
B型
24.4
25.8
(1)若该公司购买A，B这两种型号汽车共支付514万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？
(2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不少于20.5万元又不多于21.7万元，该公司有哪几种购车方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
32．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务．
如何安排销售，使总收益最大
素材1
我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．
素材2
已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．
问题解决
任务1
确定商品价格
求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元；
任务2
设计销售方案
求所有的销售方案；
任务3
求出最大收益及最大收益的销售方案
要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【题型9：方案问题】
33．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的．请根据以上材料，完成下列问题：
(1)求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价；
(2)有哪几种购买方案？
34．通过市场招标，甲、乙、丙三个学校选择同一商店购买A，B两种品牌的教学设备，甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元．
(1)A，B两种品牌的教学设备的单价分别是多少万元
(2)丙学校如果需要购买的A设备比B设备多台，且两种设备的总台数不少于台，购买的总费用不超过万元，那么丙学校有哪几种购买方案
35．某商店决定采购A、B两种型号的纪念品，若采购A型8件，B型5件，需要900元；若采购A型4件，B型3件，需要500元．
(1)求采购A型，B型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A、B两种型号的纪念品共60件，其中采购A型纪念品的数量不超过B型纪念品数量的3倍，且总费用不超过3800元，求共有哪几种采购方案？
36．某篮球训练营开业抽奖活动，店家计划从商场购进篮球挂件和运动水壶共50个，用于赠送给新报名的学员．已知购买2个篮球挂件和3个运动水壶共需79元，购买5个篮球挂件和7个运动水壶共需190元．
(1)求篮球挂件和运动水壶的单价分别为多少元？
(2)店家计划购进篮球挂件个，购进运动水壶的数量不超过篮球挂件的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有哪几种采购方案？
(3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式：
方式一：购买任意产品每满十件赠送一个运动水壶；
方式二：全场商品享受九折优惠．
在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进篮球挂件最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？
【题型10：阶梯收费问题】
37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量
单价
不超出6立方米的部分
2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分
4元/立方米
超出10立方米的部分
8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
38．根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从年月日起执行居民生活用电“阶梯电价”收费标准，具体收费标准见下表．若年月份，该市一户居民用电千瓦时，交电费元，
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过千瓦时
超过千瓦时但不超过千瓦时的部分
超过千瓦时的部分
(1)若一户居民用电千瓦时，交电费______元；
(2)若一户居民某月用电量超过千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示这户居民应交的电费；
(3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过元？
39．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过160千瓦时的部分
x
超过160千瓦时的部分
某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．
(1)求x和超出部分电费单价；
(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．
40．为实现可持续发展，资源循环利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计算方案，具体如下表所示：
档次
月用电量（千瓦时）
电价（元/千瓦时）
1档
0.49
2档
0.54
3档
0.79
例：若某住户8月的用电量为300千瓦时，则需缴电费（元）．
(1)若圆圆家某月用电量为千瓦时，请用含的代数式表示，当时，应缴电费为__________元，当时，应缴电费为__________元；
(2)若圆圆家9月共缴电费元，求该月圆圆家的用电量．
(3)圆圆家10月用电的平均费用最高为0.50元/千瓦时，请根据题意列方程并求10月最大用电量．
【题型11：其他问题】
41．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．
(1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？
(2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？
42．长治堆锦，又称堆花，是长治市国家级非遗传统工艺，以丝绸、锦缎为原料，经剪裁、堆贴、刺绣制成各类精美作品．现有甲、乙两位艺人制作该作品，他们制作同一款堆锦作品的工作效率如下：甲艺人单独制作一件作品需要小时；乙艺人单独制作一件作品需要小时．制作一件堆锦作品还需要用到两种丝绸材料：型丝绸（用于打底）：每件需米，每米元；型丝绸（用于装饰）：每件需米，每米元．
(1)甲、乙两位艺人同时开始合作制作一批堆锦作品．先合作完成件作品后，乙因其他任务离开，剩下的作品由甲单独完成．已知从开始到全部完成共用了小时．请问：这批堆锦作品一共有多少件？
(2)若工作室采购丝绸的总费用不超过元，且要求型丝绸的总用量不超过米．工作室最多能制作多少件作品？
43．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示：
类别
甲种原料
乙种原料
维生素的含量/（单位/千克）
600
100
原料价格/（元/千克）
8
4
现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素．
(1)请列出应满足的不等式；
(2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题：
①求出满足题意的的取值范围；
②计算此时这种饮料中维生素含量的范围．
【题型12：定义问题】
44．对于有理数，，定义新运算，规定：．
如：计算时，，，
计算时，，，
(1)求的值；
(2)若关于正数的不等式组：恰好有个整数解，求的取值范围．
45．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围．
46．【阅读】
材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：，．
材料二：已知x，y均为非负数，且满足，求的取值范围．有如下解法：
解：，．
，y均为非负数，，即，．
，，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围．
47．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值．
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