3.1 不等式及其性质（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦一元一次不等式的概念、性质及比较大小，衔接等式知识，通过辨析不等号用法、掌握性质（尤其乘除负数变号规则）及比较大小方法，为后续解不等式构建学习支架。 资料通过“特别提醒”“易错提醒”强化推理意识，结合气温、限速等实际情境列不等式培养模型与应用意识，提供作差法、数轴法等比较大小方法发展抽象能力与几何直观。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固易错点，弥补知识盲点。

第三章 一元一次不等式 3.1 不等式及其性质 课标要点 1.了解不等式的概念，认识常见不等号，能根据实际情境列出简单不等式，区分等式与不等式。 2.掌握不等式的三条基本性质，明确不等式与等式性质的异同，尤其掌握不等号方向的变化规则。 3.能运用不等式基本性质对不等式进行简单变形、化简，为后续解一元一次不等式奠定基础。 4.初步建立不等量思维，能利用不等式解决简单的实际取值范围问题，培养数形结合与类比推理能力。 学习重难点 重点： 1.掌握不等式的概念、不等号用法，能根据题意列简单不等式； 2.熟记不等式三条基本性质，掌握不等式的基本变形方法。 难点： 1.掌握不等式两边乘（除）负数时，不等号方向改变的规则，规避高频易错点； 2.结合实际问题准确列出不等式。 知识点 不等式的概念 1. 不等式：用符号“＞”（或“≥”）、“＜”（或≤），“≠”连接而成的数字式子，叫作不等式，这些用来连接的符号统称不等号。 2. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。 3. 在数轴上表示不等式：表示小于的全体实数，在数轴上对应点A左边的所有点，不包括点A在内（此时表示点A的点是空心的），数轴表示如图3-4；表示大于或等于的全体实数，在数轴上对应点A右边的所有点，包括点A在内（此时表示点A的点是实心的），数轴表示如图3-5；表示大于而小于的全体实数，数轴表示如图3-6。 特别提醒 核心规则：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。 易错提醒 1）混淆不等号含义，≥是大于或等于、≤是小于或等于，包含相等情况； 2）误将等式、代数式当作不等式； 3）“非负数、非正数、不大于、不小于”文字翻译符号容易出错。 随学随练 1．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 知识点 不等式的性质（重点） 1.不等式的基本性质1（传递性）：。 2.不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 易错提醒 1）乘除负数时忘记变号，是解题最大易错点； 2）同时乘0导致不等式变为等式，违背性质使用前提； 3）混淆等式性质与不等式性质，等式无变号要求。 随学随练 1．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）若，则下列不等式一定不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·海南三亚·期末）如果，那么下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，，则的值可能是__________．（写出一个即可） 知识点 比较大小（重点） 例：已知，试比较与的大小。 解法一（直接利用不等式的性质比较大小）：∵2＞1， ∴（不等式的基本性质3） 解法二（利用数轴比较大小）： 在数轴上分别表示的点（） 位于的左边 ∴ 解法三（作差法比较大小）：∵，且 ∴ ∴ 特别提醒 常用方法：作差法、不等式性质法、数轴比较法（右大左小），可灵活选用适配题型。 随学随练 1．比较和的大小，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上三种大小关系都有可能 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）数轴上表示数，的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）比较大小：______． 拓展 方程与不等式核心概念对比 1. 方程与不等式是初中代数两大基础式子类型，核心差异体现在关系表达、符号、解集形式上，是基础概念辨析重点，具体对比如下： 对比维度 方程 不等式 表达关系 表示数量之间的相等关系 表示数量之间的不等关系 连接符号 仅使用等号“=” 使用＞、≥、＜、≤、≠五类不等号 解的特征 一般为有限个确定数值 一般为无数个实数组成的取值范围 活学活用 1．（25-26七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）某日，我市最高气温为，最低气温为，则当天气温（）的变化范围是（     ） A． B． C． D． 题型 不等式的识别 解题贴士 1）判断式子是否含有不等关系符号，含＞、＜、≥、≤、≠任意一种，即为不等式； 2）等式、代数式、算式均不属于不等式。 ▌例1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南永州·期中）周老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·上海·期末）下列式子中：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．不等式是______．（填序号） 题型 列出不等式 解题贴士 1）先抓取题目关键词，转化对应不等符号； 2）再结合题干数量关系，列出规范不等式。 ▌例1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·上海宝山·期末）列不等式表示下列数量关系：x的3倍大于x的一半与1的差______． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·云南红河·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则下列不等式对此标志解释正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·湖南郴州·期末）若一部电梯的载重标准是不超过，设该电梯的载重量为，则x满足的不等式为________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）不大于的倍，用不等式表示为_____________． 题型 不等式的性质 解题贴士 易错：①乘除负数忘记变号（高频错误）；②不等式两边同时平方、取倒数乱套性质；③对不等式一边单独加减、乘除，不同时变形。 ▌例1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2．把不等式化为“”的形式为_______． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）用不等式的性质说明如图所示的事实，正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ▌对点练1-3．（2026·重庆·三模）已知m为正整数，若，则________． ▌对点练1-4．（2026·河北唐山·二模）已知，则一定有，“”中应填的符号是______． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）由得到的条件是________． 题型 比较大小 解题贴士 易错：①仅凭正数、负数主观判断，忽略代数式整体取值；②作差后不会化简判断正负；③乘除负数后大小关系判断错误。 ▌例1．（2026·浙江丽水·二模）在数轴上表示数的点如图所示，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若，则__________．（填“”或“”） ▌例3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·北京·期末）若，则___________；___________．（用“”，“”，或“”填空） ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）若，则__． ▌对点练1-4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 基础通关 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖南永州·期末）若，则下列不等式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·上海·期末）“a的减去的差是非负数”用不等式表示为___________． 8．（25-26七年级下·湖南永州·期中）永州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则该地当日气温的变化范围是______． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若有理数a、b满足，则________．（填“>”、“<”或“=”） 10．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，且，则的取值范围是__________． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知：，求证：． 素养提升 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列判断正确的是(     ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级下·北京顺义·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级下·广东江门·期末）如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围）_______． 5．（25-26七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 6．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若，且，是正整数，则的值是______． 7．（25-26七年级下·重庆梁平·期末）若，则下列各式中错误的个数是___________． （1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）． 8．（2026·重庆·二模）已知，且m为整数，则m的值为______． 9．（25-26七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果，那么．” 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）【理解】小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与的大小． 解： ， ． 【运用】 (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【拓展】 (3)比较与的大小． 迁移创新 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）下面是帆帆同学的数学日记，请阅读并完成任务． 2026年6月3日  星期三  晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的性质或基本事实比较代数式大小的代数推理过程． 例1已知，试比较与的大小． 解：， （依据1） ． 例2已知，，试比较与的大小． 解： ① ．② 由不等式①②，得．（依据2） 任务： (1)帆帆日记中的“依据1”是_______，“依据2”是_______； (2)已知，，，都是正数，且，，请类比帆帆日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）实验背景：在“探秘质量守恒”综合实践课上，某数学兴趣小组用实验室天平测量4个未知质量的砝码（质量各不相同），实验记录如下： 实验步骤 操作描述 天平状态（绘图区） 步骤一 左盘放，右盘放 步骤二 左盘放和，右盘放和 步骤三 左盘放和，右盘放和，此时天平平衡． 任务一：数据分析 (1)根据图1、图2，分别写出能反映砝码质量关系的不等式； 任务二：数据推理 (2)根据图3，请你完成变形__________；（用含的代数式表示） 任务三：数量关系 (3)结合三个图的信息，将四个砝码的质量按从小到大的顺序排列，并写出完整的推理过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 3.1 不等式及其性质 课标要点 1.了解不等式的概念，认识常见不等号，能根据实际情境列出简单不等式，区分等式与不等式。 2.掌握不等式的三条基本性质，明确不等式与等式性质的异同，尤其掌握不等号方向的变化规则。 3.能运用不等式基本性质对不等式进行简单变形、化简，为后续解一元一次不等式奠定基础。 4.初步建立不等量思维，能利用不等式解决简单的实际取值范围问题，培养数形结合与类比推理能力。 学习重难点 重点： 1.掌握不等式的概念、不等号用法，能根据题意列简单不等式； 2.熟记不等式三条基本性质，掌握不等式的基本变形方法。 难点： 1.掌握不等式两边乘（除）负数时，不等号方向改变的规则，规避高频易错点； 2.结合实际问题准确列出不等式。 知识点 不等式的概念 1. 不等式：用符号“＞”（或“≥”）、“＜”（或≤），“≠”连接而成的数字式子，叫作不等式，这些用来连接的符号统称不等号。 2. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。 3. 在数轴上表示不等式：表示小于的全体实数，在数轴上对应点A左边的所有点，不包括点A在内（此时表示点A的点是空心的），数轴表示如图3-4；表示大于或等于的全体实数，在数轴上对应点A右边的所有点，包括点A在内（此时表示点A的点是实心的），数轴表示如图3-5；表示大于而小于的全体实数，数轴表示如图3-6。 特别提醒 核心规则：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。 易错提醒 1）混淆不等号含义，≥是大于或等于、≤是小于或等于，包含相等情况； 2）误将等式、代数式当作不等式； 3）“非负数、非正数、不大于、不小于”文字翻译符号容易出错。 随学随练 1．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题根据不等式的定义判断即可，不等式是用不等号（等）连接表示不等关系的式子，逐个统计符合定义的式子个数即可得到答案． 【详解】解：①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③是等式，不是不等式； ④是代数式，无不等关系，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ⑥，用不等号连接，是不等式； ∴ 不等式共有4个． 2．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断各个式子即可． 【详解】解：①，用表示不等关系，是不等式； ②，用表示不等关系，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④，是整式，没有不等关系，不是不等式； ⑤，用表示不等关系，是不等式； ⑥ ，用表示不等关系，是不等式； 因此是不等式的序号为①②⑤⑥． 知识点 不等式的性质（重点） 1.不等式的基本性质1（传递性）：。 2.不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 3.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 易错提醒 1）乘除负数时忘记变号，是解题最大易错点； 2）同时乘0导致不等式变为等式，违背性质使用前提； 3）混淆等式性质与不等式性质，等式无变号要求。 随学随练 1．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）若，则下列不等式一定不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．（25-26七年级下·海南三亚·期末）如果，那么下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，不等式两边同时减去，不等号方向不变，得，故A错误； B选项，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，故B错误； C选项，不等式两边同时加上，不等号方向不变，得，故C错误； D选项，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，故D正确． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，，则的值可能是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，小于0的数均可） 【分析】不等式变形后不等号方向改变，据此确定的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵，给不等号两边同乘后得到，不等号方向发生改变， ∴根据不等式的性质可得， ∴的值可以是． 知识点 比较大小（重点） 例：已知，试比较与的大小。 解法一（直接利用不等式的性质比较大小）：∵2＞1， ∴（不等式的基本性质3） 解法二（利用数轴比较大小）： 在数轴上分别表示的点（） 位于的左边 ∴ 解法三（作差法比较大小）：∵，且 ∴ ∴ 特别提醒 常用方法：作差法、不等式性质法、数轴比较法（右大左小），可灵活选用适配题型。 随学随练 1．比较和的大小，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上三种大小关系都有可能 【答案】D 【分析】本题需根据的不同取值范围，利用不等式的基本性质分类讨论比较大小． 【详解】对的取值分三种情况讨论： 当时，，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ； 当时，，， ； 当时，，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ； 因此三种大小关系都有可能． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）数轴上表示数，的点的位置如图所示，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴得到，再由不等式的性质求解． 【详解】解：由数轴可得，， 则，，，， 故C选项错误． 3．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）比较大小：______． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质得到的范围，即可比较大小． 【详解】， ，即， 不等式两边同时加，得 ， ． 拓展 方程与不等式核心概念对比 1. 方程与不等式是初中代数两大基础式子类型，核心差异体现在关系表达、符号、解集形式上，是基础概念辨析重点，具体对比如下： 对比维度 方程 不等式 表达关系 表示数量之间的相等关系 表示数量之间的不等关系 连接符号 仅使用等号“=” 使用＞、≥、＜、≤、≠五类不等号 解的特征 一般为有限个确定数值 一般为无数个实数组成的取值范围 活学活用 1．（25-26七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的概念判断各选项即可得到答案． 【详解】首先明确不等式的定义：用不等号（包括，，，，等）连接，表示不等关系的式子叫做不等式． ∵ 选项A、，使用不等号表示不等关系，是不等式； 选项B、，只是一个代数式，没有用不等号连接，不表示不等关系，不是不等式； 选项C、，使用不等号表示不等关系，是不等式； 选项D、，使用不等号表示不等关系，是不等式． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）某日，我市最高气温为，最低气温为，则当天气温（）的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的当日最高气温与最低气温，即可确定气温的变化范围，考查不等式表示数量范围的应用． 【详解】解：∵某日我市最高气温是，最低气温是， ∴当天气温不低于最低气温，且不高于最高气温， 即变化范围为 题型 不等式的识别 解题贴士 1）判断式子是否含有不等关系符号，含＞、＜、≥、≤、≠任意一种，即为不等式； 2）等式、代数式、算式均不属于不等式。 ▌例1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·湖南永州·期中）周老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号（包括,,,,等）表示不等关系的式子叫做不等式， 逐一判断式子是否符合要求即可得到结果. 【详解】解：①含不等号，是不等式； ②含不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，不含不等号，不是不等式； ⑤含不等号，是不等式； ⑥含不等号，是不等式； ∴不等式一共有4个. ▌对点练1-2．（25-26七年级下·上海·期末）下列式子中：① ；②；③ ；④ ；⑤ ．不等式是______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据不等式的定义，找出所有用不等号连接的式子即可． 【详解】解：①是用“ ”连接的式子，是不等式，符合要求； ②是用等号连接的式子，是等式，不是不等式，不符合要求； ③是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合要求； ④是用“”连接的式子，是不等式，符合要求； ⑤是用“”连接的式子，是不等式，符合要求； ∴不等式有①④⑤． 题型 列出不等式 解题贴士 1）先抓取题目关键词，转化对应不等符号； 2）再结合题干数量关系，列出规范不等式。 ▌例1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，今年惊蛰这一天泉州市的最低气温是，最高气温是，则当天气温（）满足的不等关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最低气温是，最高气温是， ． ▌例2．（25-26七年级下·上海宝山·期末）列不等式表示下列数量关系：x的3倍大于x的一半与1的差______． 【答案】 【分析】根据题意列不等式即可． 【详解】解：由题意，得． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·云南红河·期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则下列不等式对此标志解释正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解限速标志的含义即可得解． 【详解】解：限速标志“限速”表示车辆行驶的速度不能超过， 也就是行驶速度要小于或等于，用不等式表示为 ▌对点练1-2．（25-26七年级下·湖南郴州·期末）若一部电梯的载重标准是不超过，设该电梯的载重量为，则x满足的不等式为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，电梯载重量不超过， ▌对点练1-3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【分析】先确定的倍为，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 题型 不等式的性质 解题贴士 易错：①乘除负数忘记变号（高频错误）；②不等式两边同时平方、取倒数乱套性质；③对不等式一边单独加减、乘除，不同时变形。 ▌例1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，，故C、D错误． ▌例2．把不等式化为“”的形式为_______． 【答案】 【分析】将不等式两边同时除以x的系数3，根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，即可将不等式化为的形式． 【详解】解：对于不等式 ， 不等式两边同除以，得． 故答案为：． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，故A不成立，不符合题意； 对于选项B，不等式两边同乘，不等号方向不变，可得，不等式两边再同时减，不等号方向不变，可得，故B一定成立，符合题意； 对于选项C，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，故C不成立，不符合题意； 对于选项D，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，故D不成立，不符合题意． ▌对点练1-2．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）用不等式的性质说明如图所示的事实，正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】根据图形及不等式的性质求解即可． 【详解】解：由第一个图得出：，由第二个图得出：， ∴正确的是如果，那么． ▌对点练1-3．（2026·重庆·三模）已知m为正整数，若，则________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，结合已知条件和为正整数，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ，为正整数， ． ▌对点练1-4．（2026·河北唐山·二模）已知，则一定有，“”中应填的符号是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变，据此判断即可． 【详解】解：， ． ▌对点练1-5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）由得到的条件是________． 【答案】 【详解】解：当时，，即． 故由得到的条件是． 题型 比较大小 解题贴士 易错：①仅凭正数、负数主观判断，忽略代数式整体取值；②作差后不会化简判断正负；③乘除负数后大小关系判断错误。 ▌例1．（2026·浙江丽水·二模）在数轴上表示数的点如图所示，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可知，然后通过不等式的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴可知，， ∵， ∴． ▌例2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若，则__________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可判断两个式子的大小关系. 【详解】解：∵， ∴ . ▌例3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）按要求完成下列各题： (1)根据不等式的基本性质，用不等号填空： 若，则_________； 若，则_________； 若，则_________． (2)已知，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的 3 条基本性质判断： ①不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变； ②不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变； ③不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变； （2）先利用不等式性质3，给两边同乘，不等号反向；再利用不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变，完成大小比较． 【详解】（1）解：若，两边同时加1，则； 若，两边同时乘正数3，则； 若，两边同时乘负数，则． （2）解：， 根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变， ， 两边同时减，不等号方向不变， ． ▌对点练1-1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）若实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴判断出、、的正负及大小情况，然后根据不等式的性质解答． 【详解】解：由图可知，，， A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ∵，， ∴，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； ▌对点练1-2．（25-26七年级下·北京·期末）若，则___________；___________．（用“”，“”，或“”填空） 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）若，则__． 【答案】/小于 【详解】解：∵， 根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变， ∴，即. ▌对点练1-4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）仿例：已知，试比较与a的大小． 方法一 解：因为，，所以． 方法二 解：因为，，所以，所以 根据仿例，请解答：已知，试比较与大小，用两种方法解答． 【答案】 ，方法见解析 【分析】本题使用两种方法比较大小，方法一利用不等式的基本性质推导结果，方法二利用作差法，通过判断差的正负得到大小关系． 【详解】解：方法一：， 不等式两边同乘以负数，不等号方向改变 ； 方法二： 计算两式的差 ． 基础通关 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A的是代数式，不含不等号，不是不等式， 选项B的，选项C的都是用等号连接的等式，不是不等式， 选项D的是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的3倍不大于5，不大于5的含义是小于或等于5， ∴根据题意可得不等式． 3．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵ ①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴ 属于不等式的共有2个． 4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）为了保证学生能正常学习，学校的噪音一般不得超过50分贝．设学校的噪音为（分贝），则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，根据“不得超过”的含义，噪音x应不超过50分贝，即． 【详解】解：∵ 噪音不得超过50分贝， ∴ ， 故选：D． 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式基本性质，不等式两边都加或减同一个数，不等号方向不变；两边都乘或除以同一个正数，不等号方向不变；两边都乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解： ∵ ， A选项：不等式两边同乘，为负数，不等号方向改变，∴ ，A正确； B选项：不等式两边同减，不等号方向不变，∴ ，B错误； C选项：不等式两边同加，不等号方向不变，∴ ，C错误； D选项：不等式两边同除以，为正数，不等号方向不变，∴ ，D错误． 6．（25-26七年级下·湖南永州·期末）若，则下列不等式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、C、D选项正确，不符合题意，B选项错误，符合题意． 7．（25-26七年级下·上海·期末）“a的减去的差是非负数”用不等式表示为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，因此“的减去的差”可表示为. 因为差是非负数，非负数是大于等于的数，所以不等式为. 8．（25-26七年级下·湖南永州·期中）永州市春季某日的最高气温是，最低气温是，则该地当日气温的变化范围是______． 【答案】 【详解】解：∵该地当日最高气温为，最低气温为， 则该地当日气温的变化范围是 9．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若有理数a、b满足，则________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】< 【分析】根据不等式的基本性质，即可得到正确结果. 【详解】解：， ． 10．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，再利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】计算，根据得出，即可得出． 【详解】证明：∵= = =， ∵ ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 素养提升 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下列判断正确的是(     ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出正确的即可． 【详解】解：选项A： ，两边同乘，不等号变向 ，故A错误． 选项B： ，两边同加，不等号方向不变 ，故B正确． 选项C： ，当时，两边同除以，不等号变向，可得；故C错误． 选项D： ，两边同乘，是正数，不等号方向不变 ，故D错误． 故选：B． 2．（25-26七年级下·北京顺义·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴得出，的取值范围及大小关系，再结合不等式的基本性质判断即可． 【详解】由数轴可知：，， ，且， A、，，故A选项错误； B、， ， ，，故B选项正确； C、，，故C选项错误； D、，，故D选项错误． 3．（25-26七年级下·陕西安康·期末）下列不等式的变形正确的是（     ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐一判断变形是否正确即可.不等式变形时，需注意乘除负数要改变不等号方向，乘0时结果变为相等． 【详解】解：A、∵ ，，根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ ，A变形正确； B、∵ 未说明的符号，若，则， ∴ B变形错误； C、∵ 当时，，此时， ∴ C变形错误； D、∵ 不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，， ∴ ，D变形错误． 4．（25-26七年级下·广东江门·期末）如图是某机器零件的设计图纸（图中的长度单位：），用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围）_______． 【答案】 【分析】根据图像信息即可求解． 【详解】解：零件长度的取值范围是：, 即为：． 5．（25-26七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。 【详解】解：， ，不满足原命题的结论， 因此任取一个负数作为即可，如． 6．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若，且，是正整数，则的值是______． 【答案】1 【分析】根据不等式的性质判断出的符号，再结合为正整数的条件即可求出的值． 【详解】解： ，且， ， 解不等式得， 又是正整数， ． 7．（25-26七年级下·重庆梁平·期末）若，则下列各式中错误的个数是___________． （1），（2），（3），（4），（5），（6），（7）． 【答案】 【详解】解：（1）已知，由不等式的基本性质1，不等式两边同时减，不等号方向不变，得，故（1）错误． （2）中，的符号不确定，当时，，原式不成立，故（2）错误． （3）已知，由不等式的基本性质3，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，故（3）错误． （4）已知，由不等式的基本性质2，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，故（4）正确． （5）已知，由不等式的基本性质3得，再由不等式的基本性质1，两边同时加得，故（5）错误． （6）当时，满足，但，故（6）错误． （7）已知，当时，，由不等式的基本性质2得，当时，，故不成立，故（7）错误． 综上，错误的式子共个． 8．（2026·重庆·二模）已知，且m为整数，则m的值为______． 【答案】6 【分析】先估算出的取值范围，再推出的取值范围，即可求出整数的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同时加，得， 又，且为整数， ． 9．（25-26七年级下·江苏南京·期末）代数推理：证明“如果，那么．” 【答案】 证明：∵， ∴， ∴ 即 ∴． 【分析】利用不等式的性质，通过作差判断符号证明结论，先根据已知条件得到两个差为负数，再计算两个差的和，判断和的符号即可推导出结论． 【详解】略 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）【理解】小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与的大小． 解： ， ． 【运用】 (1)比较与的大小； (2)比较与的大小． 【拓展】 (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【详解】（1）解： ， ， ∴ （2）解： ∵ ∴ ， 可得 ∴ （3）解： 当，即时，差大于0 ∴ 当，即时，差等于0 ∴ 当，即时，差小于0 ∴ 迁移创新 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）下面是帆帆同学的数学日记，请阅读并完成任务． 2026年6月3日  星期三  晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的性质或基本事实比较代数式大小的代数推理过程． 例1已知，试比较与的大小． 解：， （依据1） ． 例2已知，，试比较与的大小． 解： ① ．② 由不等式①②，得．（依据2） 任务： (1)帆帆日记中的“依据1”是_______，“依据2”是_______； (2)已知，，，都是正数，且，，请类比帆帆日记中例2的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的性质3；不等式的传递性； (2) 【分析】（1）首先回忆不等式的基本性质，因为例1中是不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，所以对应找对应的性质作为依据1；因为例2中是根据两个同向不等式的大小传递得到最终结论，所以对应找对应的性质作为依据2． （2）首先利用已知的和，根据不等式两边乘同一个正数不等号方向不变的性质，得到和的大小关系；再利用已知的和，同理得到和的大小关系；最后根据不等式的传递性，结合两个中间结论得到和的大小关系． 【详解】（1）解：根据不等式的基本性质：对变形过程的依据进行判断即可得到结果． 例1中给两边同乘负数，不等号方向改变，对应不等式基本性质3； 例2中由、推出，对应不等式的传递性． （2）解：类比例2的分步推理结合不等式性质推导： 已知，是正数， 根据不等式性质2，两边同乘正数不等号方向不变， 得 ① ， 又已知，是正数，两边同乘正数不等号方向不变， 得② ， 根据不等式的传递性，由①②可得． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）实验背景：在“探秘质量守恒”综合实践课上，某数学兴趣小组用实验室天平测量4个未知质量的砝码（质量各不相同），实验记录如下： 实验步骤 操作描述 天平状态（绘图区） 步骤一 左盘放，右盘放 步骤二 左盘放和，右盘放和 步骤三 左盘放和，右盘放和，此时天平平衡． 任务一：数据分析 (1)根据图1、图2，分别写出能反映砝码质量关系的不等式； 任务二：数据推理 (2)根据图3，请你完成变形__________；（用含的代数式表示） 任务三：数量关系 (3)结合三个图的信息，将四个砝码的质量按从小到大的顺序排列，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)， (2) (3) ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴； ∴． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据等式的性质求解即可； （3）根据等式以及不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $