专题3.4 一元一次不等式（组）的应用（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦一元一次不等式（组）的应用这一核心知识点，承接不等式的性质与解法，构建“实际问题→抽象不等关系→建立模型→求解检验”的完整学习支架，涵盖工程、销售、行程等八大应用题型。 该资料以真实情境（如运输残土、古代结绳记数）培养数学眼光，通过典例与变式训练提升数学思维（推理与运算），规范建模过程强化数学语言（模型意识）。课中助教师系统教学，课后供学生查漏补缺，有效提升应用能力。

专题3.4 一元一次不等式（组）的应用 教学目标 1. 能从实际问题中识别不等关系，建立一元一次不等式（组）模型，规范求解并检验解的合理性。 2. 掌握“实际问题→抽象建模→求解检验”的解题流程，提升数学建模与逻辑推理能力。 3. 体会不等式在生活决策中的应用，养成严谨审题、规范表达的数学习惯。 教学重难点 1.重点 （1）准确提取实际问题中的不等关系（如“至少”“不超过”），正确列出一元一次不等式（组）。 （2）熟练掌握列不等式（组）解应用题的完整步骤，规范书写解答过程并验证解集。 2.难点 （1）挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“≥”“≤”“>”“<”，突破“等量”到“不等”的思维转换。 （2）结合实际意义检验解集合理性，处理整数解、边界值取舍等问题，避免脱离实际的错误。 知识点01 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式（组），建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题的答案． （2）列不等式（组）解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式（组）． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【即学即练1】1．如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“不能超过”是不等关系中的“小于或等于”，即；同时货物质量必须为正数，即，综合可得取值范围． 【详解】解：由题意，该人形机器人每次搬运的货物质量不能超过， ∴． 又∵货物质量为正数， ∴． 综上，x的取值范围是． 2．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总工艺品数量得到B型工艺品数量，再分别计算两种原料的总用量，根据总用量不超过剩余原料量列出不等式组即可. 【详解】∵ 制作个A型工艺品，一共制作100个工艺品， ∴ B型工艺品的数量为个. ∵ 制作个A型需甲原料千克，制作个B型需甲原料千克， 甲原料总用量不能超过剩余的29千克， ∴ . ∵ 制作个A型需乙原料千克，制作个B型需乙原料千克， 乙原料总用量不能超过剩余的千克， ∴ . 综上，可得不等式组：． 3．牛河梁遗址属于新石器时代晚期的红山文化，距今年至年．牛河梁遗址的发现，将中华文明向前推进了多年．为了近距离了解红山文化，凌源市某校七年级名学生和位带队老师到牛河梁遗址博物院开展研学活动，需统一乘坐客车前往．某客运公司有两种型号的客车可供租用，两种型号的客车载客量和租金如下表所示． 车型 型 型 载客量/人 租金/元 学校综合考量，计划租用辆客车保障出行，现需解决以下问题： (1)最多可以租用多少辆型客车，能满足所有师生的乘车需求？ (2)共有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【答案】(1)最多可以租用辆型客车 (2)共有三个方案，方案一：租用辆型客车和辆型客车，方案二：租用辆型客车和辆型客车，方案三：租用辆型客车；租用辆型客车和辆型客车租金最低 【分析】（1）设租用辆型客车，则租用型客车为辆，根据题意可知总载客量不小于师生总数，列出不等式求解的最大整数值； （2）在总车辆辆的约束下，结合载客量需求确定型客车的可能取值，再计算各方案租金并比较得出最佳方案． 【详解】（1）解：设租用辆型客车，则租用型客车为辆．由题意得， ， 解得： 为非负整数， 最大为． 答：最多可以租用辆型客车． （2）解：由（1）可得，最多可以租用辆型客车，则型客车只能有、、三种方案， 方案一：租用辆型客车和辆型客车，租金为（元）， 方案二：租用辆型客车和辆型客车，租金为（元）， 方案三：租用辆型客车，租金为（元）． 答：租用辆型客车和辆型客车租金最低． 题型01 工程问题 【典例1】（25-26七年级下·天津西青·期末）某工程队计划要在7天内完成400土方的工程，第一天完成了60土方．若现在要求比原定计划至少提前2天完成任务，则以后几天平均每天要完成的土方量可以是（     ） A．86 B．82 C．80 D．78 【答案】A 【分析】解题思路为计算剩余工作量与剩余可用天数，列出不等式求解得到每天至少需要完成的土方量，再结合选项选出正确答案． 【详解】解：设以后几天平均每天完成土方 由题意可知，原定计划7天，已经完成1天，要求至少提前2天完成，因此剩余可用天数为天， 剩余需要完成的土方量为， ∵剩余4天完成的总土方量需要不小于剩余土方量， ∴可得不等式 ， 解得 ， 结合选项，只有86满足条件． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建________米． 【答案】72 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，乙工程队平均每天至少要修建x米，根据“14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程”，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：乙工程队平均每天至少要修建x米，根据题意得 ， 解得． 即乙工程队平均每天至少要修建72米． 故答案为：72 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作________天． 【答案】20 【分析】本题考查工程问题与一元一次不等式的结合应用，掌握用工作量表示工作天数的方法，以及根据费用约束建立不等式的思路是解题的关键． 设甲工程队工作天，根据工程完成条件，乙工程队工作天数为，再根据施工费用限制列出不等式求解． 【详解】解：设甲工程队工作天，则乙工程队工作天数为 天． 总施工费用为 ． 化简得 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故甲工程队至多工作天． 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级上·上海·阶段检测）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天，设甲乙两队合作完成这项工程需要天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解； （）设乙工程队工作的总天数为天，由题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需天， 设甲乙两队合作完成这项工程需要天， 由题意得，， 解得， 答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要天； （2）解：设乙工程队工作的总天数为天， 由题意得，， 解得， 答：乙工程队工作的总天数为天． 题型02 销售问题 【典例1】（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·福建南平·期末）某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“原本未达到满减，加购元后满足满减优惠”列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵小王需要加购商品才能满足优惠条件，说明原本元未达到满减门槛，加购后总金额满足满减要求， ∴可得不等式组 ， 解得， ∴的取值范围是． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）某奶茶店推出开业特惠活动：单次消费满30元可享八折优惠；若先办理10元的会员卡后再消费，可享七折优惠（办卡费用直接计入本次总消费）．小明想买单价为8元的奶茶若干杯，他至少买________杯时，办卡消费更划算． 【答案】 【分析】本题设购买奶茶的杯数为正整数，分别表示两种方案的消费金额，根据办卡更划算列一元一次不等式求解，结合为正整数得到最小取值． 【详解】解：设小明买杯奶茶，为正整数杯奶茶的原价总金额为元不办卡消费时，单次满元可享八折， 由 得（为正整数）， 此时不办卡总花费为元； 办卡消费时，总花费为元要使办卡消费更划算， 可得不等式 整理得 解得 因为为正整数，所以的最小值为 验证可知时，办卡花费均高于不办卡，因此至少买杯． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机． (1)求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？ (2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年最多购买多少套A型一体机？ 【答案】(1)今年每套A型一体机价格为1.2万元，B型一体机价格为万元 (2)该市明年最多购买611套A型一体机． 【分析】（1）今年每套A型一体机的价格为万元，每套B型一体机的价格为万元，根据价格差和总费用的等量关系列二元一次方程组求解； （2）设明年购买A型一体机的数量，根据B型总费用不低于A型总费用的不等关系列一元一次不等式，求最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设今年每套A型一体机的价格为万元，每套B型一体机的价格为万元， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：今年每套A型一体机价格为万元，B型一体机价格为万元； （2）设该市明年购买套A型一体机，则购买B型一体机套， ∴明年每套A型一体机的价格为万元，每套B型一体机价格为万元， 根据题意，得 ， 解得 ， ∵为正整数， ∴的最大值为611， 答：该市明年最多购买611套A型一体机． 题型03 行程问题 【典例1】（2026·山西晋中·二模）某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（    ） A．小亮成功超越小华率先到达终点 B．小亮仍未超越小华 C．小亮与小华同时到达终点 D．两人仍保持原有距离 【答案】A 【分析】分别分析及的实际意义，进而根据判断“…”表示的情境即可． 【详解】解：小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺， 则表示小华冲刺的时间， 设小亮冲刺时的平均速度为， 则表示小华冲刺时小亮冲刺的路程， 小华在距终点时暂时领先，身后处的小亮也同时发起冲刺， 则为小亮距终点的距离， ∴表示小华冲刺时小亮冲刺的路程大于小亮距终点的距离，即小亮成功超越小华率先到达终点． 【变式1】（25-26七年级下·河南许昌·期末）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想到A站乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为（如图所示）．已知小明步行的速度为，公交车的速度是小明步行速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为________m． 【答案】140 【分析】先设小明到A站之间的距离最大是，再根据小明到A站所用时间小于等于公交车到A站所用时间得出不等式，求出解集即可． 【详解】解：设小明到A站之间的距离最大是，根据题意，得 ， 解得， 所以小明到A站之间的距离最大为． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据给定的地铁收费标准，先确定6元对应的最大乘坐里程，再计算7元对应的最大乘坐里程，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得，6元最多可乘坐，花费7元比6元多1元，可额外再乘坐， 因此7元最多可乘坐的里程为 ， 因此的取值范围是． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型04 运输问题 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意可得载重量为吨的卡车共有辆，载重量为吨的卡车共有辆，再根据题意列出不等式即可，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）年，文旅迎来爆发式增长．某文创工作室定制了份周边徽章，每份成本为元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润率，设徽章的销售单价为元份，则可列不等式为：________________． 【答案】 【分析】先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 【详解】解：设徽章的销售单价为元/份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为 份，总销售额为 元． ∵总成本为 元． ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【变式3】（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【答案】(1)一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤 (2)果园至少还需要9个果农挑担 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，根据“一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程，求解即可； （2）设果园还需要y个人挑担，根据题意列一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意 ∴， 答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤； （2）解：设果园还需要y个人挑担，由题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为9． 答：果园至少还需要9个果农挑担． 题型05 比赛问题 【典例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个班要胜场，则负场，根据总得分至少20分的不等关系列不等式求解即可． 【详解】解：设这个班要胜场，则负场， 由题意得， 化简得， 解得， ∴的最小值为， ∴这个班至少要胜场． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出指令卡总数量，再根据最后一个小组的卡片数量范围列出不等式组即可． 【详解】∵参赛小组共有个，每个小组分张剩余张， ∴指令卡总数量为张， 若每个小组分配张，仅最后一个小组不足张， 则前个小组共分配张， 最后一个小组分得的指令卡数量为张， ∵题目要求最后一个小组有指令卡但不足张， ∴可得不等式组． 【变式2】（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【答案】18 【分析】根据各数量间的不等关系正确列出一元一次不等式即可求解，题数为正整数，需根据不等式解集取最小正整数得到结果． 【详解】解：设他答对的题数为，则答错或不答的题数为，根据题意列不等式得： ， 解得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对的题数是18． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需48元，购买5支钢笔和1本笔记本需68元， (1)购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ (2)若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过800元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】(1)一支钢笔12元，一本笔记本8元； (2)学校最多可以购买40支钢笔 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设一支钢笔元，一本笔记本元，根据“购买2支钢笔和3本笔记本需48元，购买5支钢笔和1本笔记本需68元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买支钢笔，则购买本笔记本，根据总价单价数量结合购买的费用不超过800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设一支钢笔元，一本笔记本元， 根据题意得：， 解得：． 答：一支钢笔12元，一本笔记本8元； （2） 解：设学校购买支钢笔，则购买本笔记本，根据题意得：， 解得：． 答：学校最多可以购买40支钢笔． 题型06 古代问题 【典例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数，若她采集到的一筐野果不少于45个，则在第2根绳子上的打结数至少是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想． 设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数）， 根据题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取最小值4．即在第2根绳子上的打结数至少是4． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．根据运行程序，第二次运算结果小于或等于28，第三次运算结果大于28列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴， 故答案为． 【变式2】（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元 (2)方案一：购买箱橙汁，箱可乐；方案二：购买箱橙汁，箱可乐；方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）设购买箱橙汁，则购买箱可乐，根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元， 解得， 答：每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元； （2）解：设购买箱橙汁，则购买箱可乐， 根据题意可得， 解得 为正整数， 可以是， 该单位共有种购买方案， 方案一：购买箱橙汁，箱可乐； 方案二：购买箱橙汁，箱可乐； 方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【变式3】（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． (1)若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； (2)假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【答案】(1)每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人 (2)当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据六个哨所的总人数为21人，即可得出关于与二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设六个哨所的总人数为人，将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意列方程得：， 解得， 答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； （2）解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， ∴， 随的增大而减小， 当时，最大值，当时，最小值， 答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 题型07 分段收费问题 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第．一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型08 方案问题 【典例1】（25-26七年级下·山东日照·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是80元．若该社团用1200元购买这两种球（篮球、足球都购买）且1200元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（     ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设出两种球的购买个数，根据总费用列出方程，化简后寻找符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买篮球个，足球个，其中均为正整数， 根据题意列方程得： ∴ ∵为正整数 ∴，且是的倍数， ∴，且为正偶数， ∴的取值为，共个符合条件的解，即共有种购买方案． 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据总费用列出方程后，结合购买数量为正整数且两种球都购买的要求，找出所有符合条件的解，即可得到方案数量． 【详解】解：设购买排球个，购买足球个， 由题意可知，，均为正整数， 根据总费用可得方程：， 整理得，， 变形得，． ∵是正整数，且， ∴是整数，且两种球都买，即， 是3的倍数，且， 的取值为，，，，对应的取值为，，，，均符合要求， 因此，共有4种购买方案． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）文具店销售的某种笔记本原售价是每本a元，现在推出促销活动，凡一次购买5本或以上可享受优惠，第一种优惠方案：5本按原价，其余按七折优惠；第二种优惠方案：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量笔记本的情况下，使第一种方案比第二种方案更优惠，则至少购买__________本笔记本． 【答案】16 【分析】设购买本笔记本，根据题意列出不等式，求出的范围，再结合是整数求出的最小值即可解答． 【详解】解：设购买本笔记本， 根据题意得，， 由题意可知， ∴， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为16， 即至少购买16本笔记本． 【变式3】（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 【答案】(1)方案一：10000元，方案二：10800元 (2)当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，根据已知条件列出不等式是解题的关键． （1）根据方案一，买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，计算总价；方案二所有商品打九折，计算总价即可； （2）分别列出方案一和方案二的付款表达式，比较大小，确定省钱的方案即可． 【详解】（1）解：购买洗衣机10台，电磁炉20台， 方案一：买10台洗衣机送10台电磁炉，还需购买10台电磁炉，付款为 （元） 方案二：所有商品按付款，付款为 （元） 因此，方案一需付款10000元，方案二需付款10800元； （2）解：设购买电磁炉x台（）， 方案一付款为：， 方案二付款为：， ， 当，即时，，则方案一省钱； 当，即时，，则方案二省钱； 当，即时，，则两种方案付款相同， 因此，当时，选择方案一省钱，当时，选择方案二省钱，当时，两种方案均可． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过时警示音响起，且甲、乙的体重分别为．若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为，则满足题意的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了于实际问题抽象出一元一次不等式组，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．由图可得，甲的重量为，且进入电梯后，警示音没有响起；乙的重量为，进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过时警示音响起，甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为， 由图可知： 甲的重量为，且进入电梯后，警示音没有响起， 所以此时电梯乘载的重量，解得， 因为乙的重量为，且进入电梯后，警示音响起， 所以此时电梯乘载的重量，解得， 因此． 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 4．（25-26七年级·上海·假期作业）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，需根据得分条件列出不等式，求解后取符合题意的最大整数解即可． 【详解】解：设小玉答错或不答的试题道数为道，则答对的试题道数为道， ∵小玉得分超过95分， ∴， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 计算得：， 系数化为1（不等号方向改变）得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为6， 即小玉至多可以答错6道试题， 故选：B． 5．（25-26七年级·上海·假期作业）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在站．他从站往站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式．可设小明的速度是分，则公交车速度是分，看手机后走的时间为分，，两公交站之间的距离为，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可． 【详解】解：设小明的速度是分，则公交车速度是分，看手机后走的时间为分，，两公交站之间的距离为， 到公交站：， 解得， 则， 到公交站：， 解得． 故，两公交站之间的距离最大为． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分3～4次服完．”设一次服用这种药品，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式在实际生活中的应用，准确理解题意是解题的关键．根据每日用量范围和服用次数，应分别求出每日服用3次和4次时，单次服用剂量x的取值范围，再将两个范围取并集即可得到最终结果． 【详解】解：当每日服用3次时，单次服用剂量为，则每日用量为， 根据题意得， 解得， 当每日服用4次时，单次服用剂量为，则每日用量为， 根据题意得， 解得， 综上所述，x的取值范围为． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 【答案】10 【分析】根据成品茶叶总质量表示出成品银针的质量，再结合鲜茶叶使用量不超过75千克的条件，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设生产出的成品毛尖为千克，则生产出的成品银针为千克． 根据题意，得． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 计算得． 系数化为1，得． 故生产出的成品毛尖至多为10千克． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 【答案】2026 【分析】本题考查“逐步确定”策略，根据题意，先确定之间，满足除以8余2的数，再在这些数中确定除以7余3的数，再确定除以5余1的数即可． 【详解】解：设八八数之剩二的数为， 由题意，， ∴，即， ∴满足题意的整数为共13个数， ∴满足条件的数有2002，2010，2018，2026，2034，2042，2050，2058，2066，2074，2082，2090，2098，共13个数， 这13个数中满足七七数之剩三的数只有2026和2082两个数， 2026和2082两个数中满足五五数之剩一的只有2026； 故共有兵2026人； 故答案为：2026. 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）夏天天气炎热，西瓜作为消暑水果需求量大增，某水果批发公司需要考虑从农场运输西瓜到城市销售，已知3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可以运输多少吨西瓜？ (2)该公司计划用两种货车共12辆运输一批西瓜，A型货车运输一次费用为1500元，B型货车运输一次费用为2000元，若运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元，请你列出所有运输方案． 【答案】(1)每辆A型货车一次可以运输6吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输8吨西瓜； (2)一共有三种方案：方案一、使用A型货车3辆，使用B型货车9辆；方案二、使用A型货车4辆，使用B型货车8辆；方案一、使用A型货车5辆，使用B型货车7辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每辆A型货车一次可以运输x吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输y吨西瓜，根据3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜建立方程组求解即可； （2）设使用A型货车m辆，则使用B型货车辆，根据运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型货车一次可以运输x吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输y吨西瓜， 由题意得，， 解得， 答：每辆A型货车一次可以运输6吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输8吨西瓜； （2）解：设使用A型货车m辆，则使用B型货车辆， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为3或4或5， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一、使用A型货车3辆，使用B型货车9辆；方案二、使用A型货车4辆，使用B型货车8辆；方案一、使用A型货车5辆，使用B型货车7辆． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 14．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 【答案】(1)每个篮球140元，每个足球80元 (2)21个 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据已知列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据总费用低于元列出一元一次不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元， 由题意可得， 解得， 每个篮球元，每个足球元； （2）设购买足球个，则购买篮球个， 由题意可得，解得， 为足球的个数，应为正整数， 的最小值为， 至少购买足球个． 15．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）某购物平台推出以下两种图书促销方式： 方式一：满100元减50元． 方式二：单件图书打六折（即按原价的计算）． 请回答下列问题： (1)若购买一册书的原价是80元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额． (2)设购买的图书原价为t元，按原价是否满100元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需支付的金额（用含t的代数式表示），填写在下表： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 (3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？ (4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式． 【答案】(1)按方式一购买需要支付的金额为80元，按方式二购买需要支付的金额为元 (2)表见解析 (3)元时，按两种方式支付金额相同 (4)当时，按方式二购买更省钱，当时按方式一购买更省钱，当时，两种方式费用一样，当时，按照方案式购买更省钱 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用； （1）根据题意列算式求解即可； （2）根据题意列出代数式，完成列表； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解； （4）根据题意分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：按方式一购买需要支付的金额为：80元． 按方式二购买需要支付的金额为：元． （2）解：根据题意，补全表格如下： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 （3）解：根据题意，得， 解得： 答：元时，按两种方式支付金额相同； （4）解：由题意，结合（2），得 当时，方式一是按原价购买，方式二是打六折购买，故方式二购买更省钱； 由得， 由， 由得， 答：当时，按方式二购买更省钱； 当时，按方式一购买更省钱； 当时，两种方式费用一样； 当时，按照方式二购买更省钱． 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东东营·期末）我市某日的最低气温是，最高气温是，则当天气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵某日的最低气温是，最高气温是， ∴当天气温且，即． 2．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组． 【详解】解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页． ∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数， ∴． ∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数， ∴． 因此可得不等式组． 3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列不等式即可 【详解】解：∵分钟， ∴总用时需小于8分钟， ∵步行路程为米， ∴小跑路程为米， ∴小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， ∴所列不等式为 ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）年“·中国旅游日”是第个中国旅游日，其中厚重的河南熠熠生辉，少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某次河南文旅知识竞赛共有道选择题，答对一题得分，答错或不答一题扣分，要使总分不低于分，则至少应答对的题数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以总分不低于分为不等关系，设答对题数为未知数列一元一次不等式，取最小正整数解，即可得到答案． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意可列不等式：， 解得：， ∵为正整数，， ∴的最小正整数解为， ∴至少应答对的题数为． 5．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 【答案】6 【分析】根据“一间宿舍不空也不满”的条件列出正确的不等式组，结合房间数为正整数的限制即可求解． 【详解】解：设安排住宿的房间有间，则住宿生总人数为人 根据题意，得 由①得，； 由②得， ∴不等式组的解集为， 故取整数，那么安排住宿的房间有间． 7．（25-26七年级下·上海·期末）“与的3倍的和不小于5”，根据题意列出的不等式是__________． 【答案】/ 【分析】拆解题目语句，先得到对应代数式，再根据“不小于”的含义列不等式． 【详解】解：由题意得． 8．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）端午节期间新洲超市举办摸彩活动，单次消费金额每满88元可以拿到1张摸彩券．已知小聪妈妈一次购买4盒“端午礼盒”拿到3张摸彩券；小明妈妈一次购买2盒“端午礼盒”和2盒干果拿到4张摸彩券．若每盒“端午礼盒”的售价是m元，每盒干果的售价是90元，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据拿到的摸彩券数量确定总消费的取值范围，列出一元一次不等式组，求解后取交集得到的取值范围． 【详解】解：∵ 单次消费每满元得张摸彩券，小聪妈妈拿到张摸彩券， ∴ 总消费满足， 即， 化简得 ①. ∵ 小明妈妈总消费为，拿到张摸彩券， ∴ 总消费满足， 即， 解得 ②. 取①②的交集，可得. 9．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 10．（24-25七年级下·重庆·期末）学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 三、解答题 11．（25-26七年级下·湖南永州·期中）某码头现有甲种货物和乙种货物．拟用A、B两种集装箱将其运走，已知甲种货物和乙种货物可装满一个A型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个B型集装箱，若共使用了50个集装箱，几种具体的运输方案？你会怎样设计？ 【答案】共有3种运输方案，具体方案为：①A型集装箱28个，B型集装箱22个；②A型集装箱29个，B型集装箱21个；③A型集装箱30个，B型集装箱20个． 【分析】设安排A中集装箱个，则安排B中集装箱个，根据题意建立不等式组，然后求出其解集，根据解集就可以确定装运方案． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，； 当时，； 当时，． 故有三种运输方案： 方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 12．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 【答案】(1)； (2)商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少 【详解】（1）解：顾客选择方案一，共花费元， 顾客选择方案二，需要花费元； （2）解：当，即时，方案一花费小于方案二花费； 当，即时，方案一花费与方案二花费相同； 当，即时，方案一花费大于方案二花费； 故商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少． 13．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． (1)若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 【答案】(1)； (2)当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 【分析】（1）根据收费方式，列出代数式即可； （2）分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意， 若小明选择会员卡的收费方式，需要花费元； 若小明选择普通卡的收费方式，需要花费元； （2）解：若，解得， 即当时，小明办普通卡更划算； 若，解得， 即当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同； 若，解得， 即当时，小明办会员卡更划算． 答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算． 14．（26-27八年级上·山东德州·开学考试）通过市场招标，甲、乙、丙三个学校选择同一商店购买A，B两种品牌的教学设备，甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元． (1)A，B两种品牌的教学设备的单价分别是多少万元 (2)丙学校如果需要购买的A设备比B设备多台，且两种设备的总台数不少于台，购买的总费用不超过万元，那么丙学校有哪几种购买方案 【答案】(1)A种品牌教学设备的单价为1.6万元，B种品牌教学设备的单价为1.4万元． (2)丙学校共有2种购买方案： 方案1：购买A设备7台，B设备5台； 方案2：购买A设备8台，B设备6台． 【分析】（1）设A种品牌教学设备的单价为x万元，B种品牌教学设备的单价为y万元，根据“甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元”列方程组求解即可； （2）设丙学校购买B种设备m台，则购买A种设备台. 根据题意列不等式组，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设A种品牌教学设备的单价为x万元，B种品牌教学设备的单价为y万元，根据题意，得 ， 解得． 答：A种品牌教学设备的单价为1.6万元，B种品牌教学设备的单价为1.4万元． （2）解：设丙学校购买B种设备m台，则购买A种设备台. 根据题意得， 由①得， 由②得， ∴． ∵m为正整数， ∴或． 当时，；当时，． 综上，丙学校共有2种购买方案： 方案1：购买A设备7台，B设备5台； 方案2：购买A设备8台，B设备6台． 【点睛】 15．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 【答案】(1)每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元 (2)3平方米和4平方米 【分析】（1）设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每平方米黄瓜种植成本为x元，每平方米番茄种植成本为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每平方米黄瓜种植成本为8元，每平方米番茄种植成本为6元； （2）解：设黄瓜的种植面积为t平方米，则番茄的种植面积为平方米， 根据题意得： 解得：， 因为t为正整数， 所以或， 即黄瓜种植面积的所有可能整数值为3平方米和4平方米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 一元一次不等式（组）的应用 教学目标 1. 能从实际问题中识别不等关系，建立一元一次不等式（组）模型，规范求解并检验解的合理性。 2. 掌握“实际问题→抽象建模→求解检验”的解题流程，提升数学建模与逻辑推理能力。 3. 体会不等式在生活决策中的应用，养成严谨审题、规范表达的数学习惯。 教学重难点 1.重点 （1）准确提取实际问题中的不等关系（如“至少”“不超过”），正确列出一元一次不等式（组）。 （2）熟练掌握列不等式（组）解应用题的完整步骤，规范书写解答过程并验证解集。 2.难点 （1）挖掘实际问题中的隐含不等关系，区分“≥”“≤”“>”“<”，突破“等量”到“不等”的思维转换。 （2）结合实际意义检验解集合理性，处理整数解、边界值取舍等问题，避免脱离实际的错误。 知识点01 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式（组），建立解决问题的数学模型，通过解不等式（组）可以得到实际问题的答案． （2）列不等式（组）解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式（组）． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【即学即练1】1．如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 3．牛河梁遗址属于新石器时代晚期的红山文化，距今年至年．牛河梁遗址的发现，将中华文明向前推进了多年．为了近距离了解红山文化，凌源市某校七年级名学生和位带队老师到牛河梁遗址博物院开展研学活动，需统一乘坐客车前往．某客运公司有两种型号的客车可供租用，两种型号的客车载客量和租金如下表所示． 车型 型 型 载客量/人 租金/元 学校综合考量，计划租用辆客车保障出行，现需解决以下问题： (1)最多可以租用多少辆型客车，能满足所有师生的乘车需求？ (2)共有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 题型01 工程问题 【典例1】（25-26七年级下·天津西青·期末）某工程队计划要在7天内完成400土方的工程，第一天完成了60土方．若现在要求比原定计划至少提前2天完成任务，则以后几天平均每天要完成的土方量可以是（     ） A．86 B．82 C．80 D．78 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某项道路修建工程原计划在14天内修路2120米，前4天由甲工程队单独完成，之后乙工程队与甲工程队合作完成剩余工程．已知甲工程队平均每天可修建100米，为了按期或提前完成，乙工程队平均每天至少要修建________米． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作________天． 【变式3】（24-25六年级上·上海·阶段检测）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？ (2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数． 题型02 销售问题 【典例1】（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·福建南平·期末）某商店促销优惠，每单消费满元减元．小王在该店铺内已选购了元的商品，为满足优惠条件，又加购了一件元的商品．则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）某奶茶店推出开业特惠活动：单次消费满30元可享八折优惠；若先办理10元的会员卡后再消费，可享七折优惠（办卡费用直接计入本次总消费）．小明想买单价为8元的奶茶若干杯，他至少买________杯时，办卡消费更划算． 【变式3】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A，B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机． (1)求今年每套A型、B型一体机的价格分别是多少万元？ (2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年最多购买多少套A型一体机？ 题型03 行程问题 【典例1】（2026·山西晋中·二模）某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（    ） A．小亮成功超越小华率先到达终点 B．小亮仍未超越小华 C．小亮与小华同时到达终点 D．两人仍保持原有距离 【变式1】（25-26七年级下·河南许昌·期末）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想到A站乘公交车，从上查到一辆公交车与自己的距离为（如图所示）．已知小明步行的速度为，公交车的速度是小明步行速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为________m． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）某市地铁收费标准如下：不超过2元；超过到（含）4元；超过到（含）6元；超过的部分，每增加1元可再乘坐．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了7元（无优惠），设他乘坐地铁的里程为，则的取值范围是____________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型04 运输问题 【典例1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）太原地铁“一号线”正在进行修建，预计年年底通车试运营，标志色为梦想蓝，现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，该车队需要一次运输残土不低于吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共辆，若购进载重量为吨的卡车辆，则需要满足的不等式为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）年，文旅迎来爆发式增长．某文创工作室定制了份周边徽章，每份成本为元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润率，设徽章的销售单价为元份，则可列不等式为：________________． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【变式3】（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 题型05 比赛问题 【典例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某校组织学生参加STEM教育教学竞赛的机器人编程挑战环节，需要将若干任务指令卡分配给参赛小组．若每个小组分配6张指令卡，还剩余15张；若每个小组分配7张指令卡，则最后一个小组有指令卡但不足3张，设参赛小组有x个，则下列列式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了20道选择题，答对1道得5分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于85分，则他至少要答对的题数是_______． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需48元，购买5支钢笔和1本笔记本需68元， (1)购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ (2)若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过800元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 解：设学校购买支钢笔，则购买本笔记本，根据题意得：， 解得：． 题型06 古代问题 【典例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数，若她采集到的一筐野果不少于45个，则在第2根绳子上的打结数至少是（  ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是__________． 【变式2】（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【变式3】（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． (1)若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； (2)假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 题型07 分段收费问题 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第．一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型08 方案问题 【典例1】（25-26七年级下·山东日照·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是80元．若该社团用1200元购买这两种球（篮球、足球都购买）且1200元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（     ） A．6 B．7 C．4 D．5 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划拿出1200元钱全部用于购买排球和足球（两种都买），已知排球每个80元，足球每个60元，则购买方案有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）文具店销售的某种笔记本原售价是每本a元，现在推出促销活动，凡一次购买5本或以上可享受优惠，第一种优惠方案：5本按原价，其余按七折优惠；第二种优惠方案：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量笔记本的情况下，使第一种方案比第二种方案更优惠，则至少购买__________本笔记本． 【变式3】（25-26七年级上·天津河北·阶段检测）某电器商店销售一种洗衣机和电磁炉，洗衣机每台定价800元，电磁炉每台定价200元．“十一”假期商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一台洗衣机送一台电磁炉； 方案二：洗衣机和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要在该商店购买洗衣机10台，电磁炉x台（）．单独用方案一或方案二购买． (1)若购买电磁炉的数量是20台，按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？ (2)根据购买电磁炉的数量，设计一种省钱的购买方案． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下图表示甲、乙两人依次进入电梯时，电梯因超重而响起警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过时警示音响起，且甲、乙的体重分别为．若甲进入电梯前，电梯内已乘载的重量为，则满足题意的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级·上海·假期作业）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至多可以答错的试题道数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26七年级·上海·假期作业）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在站．他从站往站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分3～4次服完．”设一次服用这种药品，则x的取值范围为________． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）茶叶采摘之后需要经历摊晾、杀青、揉捻、干燥等环节才能制作成我们平时所喝的茶叶．已知生产1千克成品毛尖需要鲜茶叶毛尖4千克，生产1千克成品银针需要鲜茶叶银针3.5千克．若某一天生产了成品茶叶共20千克，所使用的现摘茶叶不超过75千克，则生产出的成品毛尖至多为__________千克． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 12．（24-25七年级下·重庆·期末）夏天天气炎热，西瓜作为消暑水果需求量大增，某水果批发公司需要考虑从农场运输西瓜到城市销售，已知3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可以运输多少吨西瓜？ (2)该公司计划用两种货车共12辆运输一批西瓜，A型货车运输一次费用为1500元，B型货车运输一次费用为2000元，若运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元，请你列出所有运输方案． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 14．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． (1)求每个篮球、足球分别为多少元？ (2)该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 15．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）某购物平台推出以下两种图书促销方式： 方式一：满100元减50元． 方式二：单件图书打六折（即按原价的计算）． 请回答下列问题： (1)若购买一册书的原价是80元，分别计算按方式一和方式二进行购买所需支付的金额． (2)设购买的图书原价为t元，按原价是否满100元分两种情况，分别写出按方式一、方式二购买时需支付的金额（用含t的代数式表示），填写在下表： 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 (3)购买图书的原价在什么范围内，两种方式支付的金额相同？ (4)根据以上结果，分析如何根据图书原价选择更省钱的购买方式． 原价t的范围 方式一支付金额 方式二支付金额 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东东营·期末）我市某日的最低气温是，最高气温是，则当天气温的变化范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·辽宁鞍山·开学考试）学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）年“·中国旅游日”是第个中国旅游日，其中厚重的河南熠熠生辉，少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某次河南文旅知识竞赛共有道选择题，答对一题得分，答错或不答一题扣分，要使总分不低于分，则至少应答对的题数为（     ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题 6．（25-26七年级下·河南南阳·期末）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，那么安排住宿的房间有____________间． 7．（25-26七年级下·上海·期末）“与的3倍的和不小于5”，根据题意列出的不等式是__________． 8．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）端午节期间新洲超市举办摸彩活动，单次消费金额每满88元可以拿到1张摸彩券．已知小聪妈妈一次购买4盒“端午礼盒”拿到3张摸彩券；小明妈妈一次购买2盒“端午礼盒”和2盒干果拿到4张摸彩券．若每盒“端午礼盒”的售价是m元，每盒干果的售价是90元，则m的取值范围是________． 9．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 10．（24-25七年级下·重庆·期末）学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 三、解答题 11．（25-26七年级下·湖南永州·期中）某码头现有甲种货物和乙种货物．拟用A、B两种集装箱将其运走，已知甲种货物和乙种货物可装满一个A型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个B型集装箱，若共使用了50个集装箱，几种具体的运输方案？你会怎样设计？ 12．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 13．（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式（注：不足一个小时的按一小时计算）： 收费方式 详细介绍 会员卡 办卡费180元/月，每小时收费4元 普通卡 无办卡费，每小时收费6元 设小明8月去文体中心活动的总时间为小时（为整数）． (1)若小明选择会员卡的收费方式，需要花费______元；若小明选择普通卡的收费方式，需要花费______元； (2)对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明怎样选择花费较少？ 14．（26-27八年级上·山东德州·开学考试）通过市场招标，甲、乙、丙三个学校选择同一商店购买A，B两种品牌的教学设备，甲学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元；乙学校购买了台A设备，台B设备，共用了万元． (1)A，B两种品牌的教学设备的单价分别是多少万元 (2)丙学校如果需要购买的A设备比B设备多台，且两种设备的总台数不少于台，购买的总费用不超过万元，那么丙学校有哪几种购买方案 15．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）为丰富校园劳动实践活动，学校将一块长方形菜地分配给七年级1班作为班级劳动实践基地．七年级1班计划在这块菜地上种植黄瓜和番茄两种蔬菜，且两种蔬菜都必须种植．相关信息如下： 信息1：种植1平方米黄瓜与1平方米番茄共需成本14元；种植2平方米黄瓜和3平方米番茄共需成本34元． 信息2：每平方米黄瓜每月可收获3.5千克，每平方米番茄每月可收获2.5千克． 请根据以上信息解答下列问题： (1)求每平方米黄瓜、每平方米番茄的种植成本各为多少元？ (2)在实际种植时，测得该班级菜地的总面积为12平方米，若计划使每月两种蔬菜的总产量不低于32.5千克且种植总成本不超过80元，请求出黄瓜种植面积的所有可能整数值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $