专题02三角形的中线、角平分线、高同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题02三角形的中线、角平分线、高同步培优讲义 ✺知识框架 ❇三角形的中线、角平分线、高是三角形的三类核心重要线段，是研究三角形边角关系、面积计算与几何推理的基础。本节知识围绕定义、几何表达、图形性质、位置特征及实际应用展开，形成完整的基础几何知识体系。 1.角形中线：定义、几何语言、重心概念、面积等分性质 2.三角形角平分线：定义、几何语言、内角等分性质、与射线型角平分线的区别 3.三角形的高：定义、几何语言、不同三角形的高的位置规律、垂直性质与面积应用 4.综合应用：图形辨析、规范作图、角度与面积计算、基础几何推理。 ✅本节主要研究三角形的三种基本线段。中线用于等分对边和三角形面积，角平分线用于等分三角形内角，高用于构造垂直关系、求解图形面积。三角形的中线、角平分线恒在图形内部，高的位置随三角形类型变化，是本节重难点与易错点。 ✺学习目标 1.掌握三角形中线、角平分线、高的基本定义与核心性质，能够准确区分三种线段，厘清三角形角平分线与普通射线型角平分线的本质差异。 2.熟练运用规范几何语言描述线段关系，可独立完成锐角、直角、钝角三角形三种线段的规范作图，能够利用线段性质完成边长、角度、面积的基础计算。 3.逐步建立几何图形直观认知，养成规范作图、严谨推理的良好习惯，培养数形结合的数学思维，夯实三角形几何的学习基础。 ✺题型归纳 题型1.根据三角形中线求长度 题型2.根据三角形中线求面积 题型3.重心的概念 题型4.三角形角平分线的定义 题型5.画三角形的高 题型6.与三角形的高有关的计算问题 题型7.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、三角形的高 定义： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。高是线段，垂线是直线， 三角形三条高的交点称为垂心 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于点D或∠ADB=∠ADC=90°。 知识点二、三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 任意三角形都有三条中线，且全部位于三角形内部。三角形三条中线的交点称为重心。 ★三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等. 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC中点。 知识点三、三角形的角平分线 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部。 ★三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 几何表达形式：AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=∠BAC 知识四、三角形的高、中线、角平分线的交点 ★“三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在的直线都分别相交于一点。 三种线段 线的位置 交点名称 图形 三角形的高 锐角三角形：三条高均在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合、一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部、一条高在内部； 垂心（拓展） 三角形的中线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条中线全部在三角形内部 重心 三角形的角平分线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线全部在三角形内部， 内心（拓展） 知识点五、三角形的高、中线、角平分线的共性与区别 1.共性： ◆三者均为线段，均由三角形顶点出发，另一端落在对边或对边所在直线上； ◆每个三角形的三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。 2.核心区别 ◆中线：平分对边；一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形； ◆角平分线：平分三角形的内角，用于角度等量转化； ◆高：与对边所在直线垂直，可构造直角，用于面积计算；高的位置随三角形类型改变。 ✺题型精讲 题型1.根据三角形中线求长度 1．如图，是的中线，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 3．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 题型2.根据三角形中线求面积 1．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 2．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 __ ． 3．如图，在四边形中，，分别是，边的三等分点（，）．已知四边形的面积是平方厘米，求四边形的面积． 题型3.重心的概念 1．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 2．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 3．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 题型4.三角形角平分线的定义 1．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 3．填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 题型5.画三角形的高 1．下列各图中，正确画出的边边上的高的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 3．下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 题型6.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．某村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是200，那么这口水井到土地边沿的距离是_______米． 3．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 二、填空题 4．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1）___________________； （2）_________________________； （3）_______________； 5．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为_______. 6．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 三、解答题 7．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 8．如图，在中，D是边上一点，，交于点E，，交于点F． (1)若是的角平分线，求证：； (2)若，求证：是的角平分线． 9．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 10．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的中线、角平分线、高同步培优讲义 ✺知识框架 ❇三角形的中线、角平分线、高是三角形的三类核心重要线段，是研究三角形边角关系、面积计算与几何推理的基础。本节知识围绕定义、几何表达、图形性质、位置特征及实际应用展开，形成完整的基础几何知识体系。 1.角形中线：定义、几何语言、重心概念、面积等分性质 2.三角形角平分线：定义、几何语言、内角等分性质、与射线型角平分线的区别 3.三角形的高：定义、几何语言、不同三角形的高的位置规律、垂直性质与面积应用 4.综合应用：图形辨析、规范作图、角度与面积计算、基础几何推理。 ✅本节主要研究三角形的三种基本线段。中线用于等分对边和三角形面积，角平分线用于等分三角形内角，高用于构造垂直关系、求解图形面积。三角形的中线、角平分线恒在图形内部，高的位置随三角形类型变化，是本节重难点与易错点。 ✺学习目标 1.掌握三角形中线、角平分线、高的基本定义与核心性质，能够准确区分三种线段，厘清三角形角平分线与普通射线型角平分线的本质差异。 2.熟练运用规范几何语言描述线段关系，可独立完成锐角、直角、钝角三角形三种线段的规范作图，能够利用线段性质完成边长、角度、面积的基础计算。 3.逐步建立几何图形直观认知，养成规范作图、严谨推理的良好习惯，培养数形结合的数学思维，夯实三角形几何的学习基础。 ✺题型归纳 题型1.根据三角形中线求长度 题型2.根据三角形中线求面积 题型3.重心的概念 题型4.三角形角平分线的定义 题型5.画三角形的高 题型6.与三角形的高有关的计算问题 题型7.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、三角形的高 定义： 从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段，叫做三角形这条边上的高。高是线段，垂线是直线， 三角形三条高的交点称为垂心 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的高或AD⊥BC于点D或∠ADB=∠ADC=90°。 知识点二、三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 任意三角形都有三条中线，且全部位于三角形内部。三角形三条中线的交点称为重心。 ★三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等. 几何表达形式：AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=BC或BC=2BD=2DC或D为BC中点。 知识点三、三角形的角平分线 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 任意三角形有三条角平分线，均在三角形内部。 ★三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。 几何表达形式：AD是△ABC的角平分线或∠BAD=∠CAD=∠BAC 知识四、三角形的高、中线、角平分线的交点 ★“三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在的直线都分别相交于一点。 三种线段 线的位置 交点名称 图形 三角形的高 锐角三角形：三条高均在三角形内部； 直角三角形：两条高与直角边重合、一条高在内部； 钝角三角形：两条高在三角形外部、一条高在内部； 垂心（拓展） 三角形的中线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条中线全部在三角形内部 重心 三角形的角平分线 无论锐角、直角、钝角三角形，三条角平分线全部在三角形内部， 内心（拓展） 知识点五、三角形的高、中线、角平分线的共性与区别 1.共性： ◆三者均为线段，均由三角形顶点出发，另一端落在对边或对边所在直线上； ◆每个三角形的三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。 2.核心区别 ◆中线：平分对边；一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形； ◆角平分线：平分三角形的内角，用于角度等量转化； ◆高：与对边所在直线垂直，可构造直角，用于面积计算；高的位置随三角形类型改变。 ✺题型精讲 题型1.根据三角形中线求长度 1．如图，是的中线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的中线， ∴点是线段的中点， 即． 2．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 3．已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 题型2.根据三角形中线求面积 1．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 2．已知：如图所示，在中，点D，E，F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 __ ． 【答案】1 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， 是的中点， ，， ， 是的中点， ． 【点睛】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，分别是，边的三等分点（，）．已知四边形的面积是平方厘米，求四边形的面积． 【答案】平方厘米 【分析】连接，由得，利用等高三角形面积比等于底之比得，同理得，因此，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 平方厘米． 题型3.重心的概念 1．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 2．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 3．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态． 【提出问题】探究的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 任务1：若的面积为6，求的面积． 任务2：求的值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． 任务1：根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； 任务2：结合任务1可知，再根据与同高即可求解； 【详解】解：任务1：以点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点． ∴，． ∴． ∴． 任务2：由题意可知． 又． ∴． ∵与同高， ∴，即， ． 题型4.三角形角平分线的定义 1．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 2．如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有__________个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 3．填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件得出，由角平分线的定义以及等量代换得出，即可得出． 【详解】略 题型5.画三角形的高 1．下列各图中，正确画出的边边上的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的． 2．下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 【答案】①④ 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高所在的直线也都交于一点，因此④正确； 综上，正确的说法有①④共2个． 3．下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【答案】解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 【详解】略 题型6.与三角形的高有关的计算问题 1．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 2．某村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是200，那么这口水井到土地边沿的距离是_______米． 【答案】5 【详解】解：设这口水井到土地边沿的距离为，原三角形三边长分别为，，，由题意得， 原三角形面积为， ∵原三角形面积等于三个小三角形面积之和，每个小三角形的高都为， ∴， 整理得 ， 代入，得到 ， 解得， 即这口水井到土地边沿的距离是米． 3．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：略． （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 2．如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意得到，进而得到，最后由中线等分三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵， 则以边为底，与等高， ， ，则， ， 是的中线， ． 3．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 二、填空题 4．如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1）___________________； （2）_________________________； （3）_______________； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为_______. 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 6．如图，，与交于点，，，，则的长是______． 【答案】 【分析】以为底、为高表示面积，再以为底、为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出的长． 【详解】解：，即， 以为底时，的高为， ， ，即， 以为底时，的高为， ， ∴， ∴， 把，，代入得： ． 三、解答题 7．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 8．如图，在中，D是边上一点，，交于点E，，交于点F． (1)若是的角平分线，求证：； (2)若，求证：是的角平分线． 【答案】(1)证明：∵， ∴，． ∵是的角平分线， ∴． ∴； (2)证明：由（1）可知，． 又∵， ∴． ∴是的角平分线． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义判定即可； （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 9．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 10．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $