专题01三角形的概念、三角形的边 同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题01三角形的概念、三角形的边 同步培优讲义 ✺知识框架 1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形. 2.三角形元素：顶点、边、内角；符号记作△ABC. 3.三角形分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为三边都不相等的三角形、等腰三角形（等腰三角形包含底腰不等的等腰三角形、等边三角形）. 4.三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. 5.应用：判断线段能否构成三角形；求第三边取值范围；等腰三角形边长、周长计算. ✅三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。三角形可按角、按边分类，等边三角形属于特殊的等腰三角形。本节核心是三角形三边关系：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两线段之和大于最长线段；等腰三角形边长问题需要分类讨论，并用三边关系检验结果。 ✺学习目标 1.理解三角形的定义，识别三角形的顶点、边、内角，掌握三角形的符号表示。 2.掌握三角形按角、按边两种分类方式，明确等边三角形是特殊的等腰三角形。 3.掌握三角形三边关系定理及其推论，能判断三条线段可否组成三角形，求出第三边的取值范围。 4.利用三边关系求解等腰三角形的边长与周长，掌握分类讨论并检验的解题思路。 ✺题型归纳 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.三角形的分类 题型4.等腰三角形的定义 题型5.构成三角形的条件 题型6.确定第三边的取值范围 题型7.三角形三边关系的应用 题型8.三角形的稳定性及应用 题型9.四边形的不稳定性 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、三角形的有关概念 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成元素：顶点：相邻两边的公共端点； 边：构成三角形的三条线段； 内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角。 表示方法：顶点为A,B,C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 要点：构成三角形需同时满足：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接。 知识点二 、三角形的分类 按角分类： 直角三角形：三角形中有一个角是直角。 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角。 钝角三角形：三角形中有一个角是钝角。 按边分类：分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形包含腰与底边不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形的稳定性：三角形三边长度确定，三角形的形状、大小就唯一确定，这就是三角形的稳定性。 性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 知识点三 三角形三边关系 定理：三角形两边的和大于第三边。 几何语言：在△ ABC中， AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB。 推论：三角形两边的差小于第三边。 几何语言：在△ ABC中， |AB-BC|<AC，|AB-AC|<BC，|BC-AC|<AB。 简便判定：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段。 知识点四、三角形三边关系基础应用 1.已知三角形两边长a,b，则第三边c的取值范围：|a-b|<c<a+b 2.等腰三角形计算：分情况讨论腰长与底边长，求出边长后，必须用三边关系检验，舍去不能构成三角形的解。 【易错点提醒】 1.忽略定义条件：三条线段在同一直线上时，无法组成三角形。 2.判定误区：无需逐一验证三组不等式，只需检验两短边之和大于最长边。 3.等腰三角形漏检验：分类求出边长后，不验证三边关系，保留不符合题意的解。 4.概念误区：等边三角形不是独立类别，属于等腰三角形。 ✺题型精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 3．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【分析】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【详解】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 题型2.三角形的个数问题 1．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 2．如图，共有_______个三角形． 【答案】8/八 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形从而数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：，共8个． 故答案为：8． 3．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 题型3.三角形的分类 1．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 2．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 【答案】 6 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：以为边的三角形是； 的三个内角是；其中的对边是； 以为一个内角的三角形是； 图中共有，个三角形； 故答案为：；；；；； 3．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 【答案】(1)6；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到锐角三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形，然后可以找到边所对的角； 【详解】（1）解：由图可知， 图中三角形有，，，，，， ∴图中有6个三角形， ∵，， ∴， ∴图中直角三角形有，，，，共4个， 故答案为：6；4； （2）解：观察图形可得：为钝角三角形，，，，为直角三角形， ∴锐角三角形是， 故答案为：； （3）解：由图可知，线段所在的三角形是， ∴边所对的角是； 故答案为：． 题型4.等腰三角形的定义 1．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 2．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，等腰三角形的腰长为， ∴， ∵、分别与两边垂直 ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 故答案为5． 3．如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 【答案】等腰三角形有3个，分别是，， 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键； 由在中，，根据等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∴图中的等腰三角形有3个，分别是，，． 题型5.构成三角形的条件 1．下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】验证每组中两较短线段的长度和是否大于最长线段，即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、B、C选项中，两条较短线段的长度和等于最长线段，均不能构成三角形． D选项中，，能构成三角形． 2．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】 15 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 3．现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． (1)小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； (2)同学们一共可以组成_____________个三角形． 【答案】(1)或 (2)7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题的关键是： （1）分为腰和为腰两种情况讨论，先根据三角形三边关系验证三角形是否存在，然后根据三角形的周长公式求解即可； （2）根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解∶若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 若以为腰时，，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上，该三角形的周长为或； （2）解：设三角形的第三边长为， 根据题意，得， ∴， 又第三边长在内， ∴第三边的长为、、、、、、，共7条， ∴一共可以组成7个三角形， 故答案为：7． 题型6.确定第三边的取值范围 1．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 2．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系得到第三边的取值范围，再结合第三边为奇数的条件确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 可得 ， 即 ， ∵ 为奇数， ∴ ． 3．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 题型7.三角形三边关系的应用 1．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形两边长分别为和， ∴，即， 各选项中只有符合取值范围． 2．一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数确定符合要求的的值． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 3．已知，，是的三边，，，且三角形的周长为偶数．求的值． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合“三角形的周长为偶数”，即可获得答案． 【详解】解：∵，，是的三边，，， ∴， 即， ∴,即， ∵三角形的周长为偶数， ∴， ∴． 题型8.三角形的稳定性及应用 1．如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 2．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 3．[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 题型9.四边形的不稳定性 1．如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 【答案】B 【详解】解：由题意得许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有不稳定性的特点． 2．从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】解；A、B、D这三个选项中的图形应用的是三角形的稳定性，C选项中的图形应用的是四边形的不稳定性． 3．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【详解】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 ✺课堂小练 一、单选题 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 3．下面四组小棒，能围成三角形的共有（     ）组． ①10厘米、8厘米、3厘米；②8厘米、8厘米、18厘米 ③3厘米、7厘米、5厘米；④7厘米、15厘米、15厘米 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】比较每组较短两边之和与最长边的大小，判断能否围成三角形即可． 【详解】解：①，能围成三角形； ②，不能围成三角形； ③，能围成三角形； ④，能围成三角形； 综上，能围成三角形的共有3组． 二、填空题 4．如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的__________（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 【答案】稳定性 【详解】解：小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性． 5．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 三、解答题 6．如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1) 图中有6个三角形：，，，，，． (2) 锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】（1）略 （2）略 7．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． （2）解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 8．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的概念、三角形的边 同步培优讲义 ✺知识框架 1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形. 2.三角形元素：顶点、边、内角；符号记作△ABC. 3.三角形分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为三边都不相等的三角形、等腰三角形（等腰三角形包含底腰不等的等腰三角形、等边三角形）. 4.三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边. 5.应用：判断线段能否构成三角形；求第三边取值范围；等腰三角形边长、周长计算. ✅三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形。三角形可按角、按边分类，等边三角形属于特殊的等腰三角形。本节核心是三角形三边关系：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两线段之和大于最长线段；等腰三角形边长问题需要分类讨论，并用三边关系检验结果。 ✺学习目标 1.理解三角形的定义，识别三角形的顶点、边、内角，掌握三角形的符号表示。 2.掌握三角形按角、按边两种分类方式，明确等边三角形是特殊的等腰三角形。 3.掌握三角形三边关系定理及其推论，能判断三条线段可否组成三角形，求出第三边的取值范围。 4.利用三边关系求解等腰三角形的边长与周长，掌握分类讨论并检验的解题思路。 ✺题型归纳 题型1.三角形的识别与有关概念 题型2.三角形的个数问题 题型3.三角形的分类 题型4.等腰三角形的定义 题型5.构成三角形的条件 题型6.确定第三边的取值范围 题型7.三角形三边关系的应用 题型8.三角形的稳定性及应用 题型9.四边形的不稳定性 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、三角形的有关概念 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 组成元素：顶点：相邻两边的公共端点； 边：构成三角形的三条线段； 内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角。 表示方法：顶点为A,B,C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。 要点：构成三角形需同时满足：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接。 知识点二 、三角形的分类 按角分类： 直角三角形：三角形中有一个角是直角。 锐角三角形：三角形中三个角都是锐角。 钝角三角形：三角形中有一个角是钝角。 按边分类：分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形包含腰与底边不相等的等腰三角形和等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形的稳定性：三角形三边长度确定，三角形的形状、大小就唯一确定，这就是三角形的稳定性。 性质对比：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 实际应用：桥梁、起重机、人字形屋顶等建筑与器械，都会利用三角形的稳定性。 知识点三 三角形三边关系 定理：三角形两边的和大于第三边。 几何语言：在△ ABC中， AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB。 推论：三角形两边的差小于第三边。 几何语言：在△ ABC中， |AB-BC|<AC，|AB-AC|<BC，|BC-AC|<AB。 简便判定：判断三条线段能否组成三角形，只需验证较短两条线段的和大于最长线段。 知识点四、三角形三边关系基础应用 1.已知三角形两边长a,b，则第三边c的取值范围：|a-b|<c<a+b 2.等腰三角形计算：分情况讨论腰长与底边长，求出边长后，必须用三边关系检验，舍去不能构成三角形的解。 【易错点提醒】 1.忽略定义条件：三条线段在同一直线上时，无法组成三角形。 2.判定误区：无需逐一验证三组不等式，只需检验两短边之和大于最长边。 3.等腰三角形漏检验：分类求出边长后，不验证三边关系，保留不符合题意的解。 4.概念误区：等边三角形不是独立类别，属于等腰三角形。 ✺题型精讲 题型1.三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，顶点F的对边是______． 3．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 题型2.三角形的个数问题 1．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，共有_______个三角形． 3．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 题型3.三角形的分类 1．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．如图，根据图形填空． （1）以为边的三角形是_______； （2）的三个内角是______________，其中的对边是_______； （3）以为一个内角的三角形是______； （4）图中共有_______个三角形． 3．已知：如图，在中，，，垂足为D，点C在线段上，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，其中直角三角形有______个． (2)锐角三角形是______． (3)边所对的角是______． 题型4.等腰三角形的定义 1．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 2．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 3．如图，在中，，点D在BC上，且，图中的等腰三角形有几个？请写出来． 题型5.构成三角形的条件 1．下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 3．现有和的小棒各一根，同学们要在长度为的15根（长度均不相同）整厘米长的小棒中取一根，使其与和的小棒首尾顺次相接组成三角形． (1)小明取一根小棒后，发现可与和的小棒组成等腰三角形，求该三角形的周长； (2)同学们一共可以组成_____________个三角形． 题型6.确定第三边的取值范围 1．已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为奇数，则第三边的长为______________． 3．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 题型7.三角形三边关系的应用 1．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长可能是（     ） A． B． C． D． 2．一个三角形的三边长分别为3，9，x，若x为偶数，则x的值为________．（写出一个即可） 3．已知，，是的三边，，，且三角形的周长为偶数．求的值． 题型8.三角形的稳定性及应用 1．如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互余 2．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 3．[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 题型9.四边形的不稳定性 1．如图，许多学校门口都装有四边形可收缩门，它反映了四边形具有（     ）的特点． A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．旋转不变性 2．从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 3．根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． ✺课堂小练 一、单选题 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．下面四组小棒，能围成三角形的共有（     ）组． ①10厘米、8厘米、3厘米；②8厘米、8厘米、18厘米 ③3厘米、7厘米、5厘米；④7厘米、15厘米、15厘米 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．如图，小明的桌子坏了，于是他给桌子加了两根木条，这样桌子就比较牢固了．小明这样做的数学原理是利用了三角形的__________（选填“稳定性”或“不稳定性”）． 5．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 三、解答题 6．如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 7．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 8．按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $